函数的凹凸性

函数的凹凸性专题

一、函数凹凸性的定义

1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2

)

()()2(2121x f x f x x f +<

+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数；

2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈∀21,，若恒有2

)

()()2(2121x f x f x x f +>

+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数.

二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征

如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ，

222(,())A x f x ，过点

12

2

x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.

2、切线斜率特征

凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)('

'≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减.

3、增量特征

设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ∆时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ∆∆∆越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ∆∆∆越来越小.

由此，对x 的每一个单位增量x ∆，函数y 的对应增量),3,2,1( =∆i y i

凹函数的增量特征是：i y ∆越来越大； 凸函数的增量特征是：i y ∆越来越小. 三、常用的不等式

1、二次函数2

)(x x f =中，

2

)2(2

2

2

b

a b a +≤+； )0(1)(>=x x f 1

12

b a +

≤

3、指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x

中，2

2

y x y x a a a

+≤+；

4、对数函数)10(log )(<<=a x x f a 中，2

log log 2log y

x y x a a a

+≤

+； 5、对数函数)1(log )(>=a x x f a 中，2

log log 2log y

x y x a a a

+≥

+； 6、幂函数)0()(3

>=x x x f 中，2

)2(3

33b a b a +≤+； 7、幂函数2

1

)(x x f =中，

2

2b

a b

a +≤+； 8、正弦函数)0(sin )(π<<=x x x f 中，2

sin sin 2sin

B

A B A +≥

+； 9、余弦函数)2

0(cos )(π

<

<=x x x f ，2

cos cos 2cos

B

A B A +≥

+； 10、正切函数)2

0(tan )(π

<

<=x x x f ，2

tan tan 2tan

B

A B A +≤

+.

四、函数凹凸性在高考中的应用

1、（05湖北理6）在x

y 2=，x y 2log =，2

x y =，x y 2cos =四个函数中，当1021<<

2

)

()()2(

2121x f x f x x f +>

+恒成立的函数的个数是·······································（ ） 、A 0 、B 1 、C 2 、

D 3 2、（06重庆理9）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，)(x f 表示弧AB 与弦AB 所围成弓形面积的2倍，则函数)(x f y =的图象是·······························································（ ）

3、（07江西理8） 四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、

杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为4321,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是·····································（ ）

A 、412h h h >>

B 、321h h h >>

C 、423h h h >>

D 、142h h h >>

4、（98全国理10）向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系的图象如下图所示，那么水瓶的形状是·······························································（ ）

5、（09广东理8） 已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为甲v 和乙v .（如图2所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）

A 、在1t 时刻，甲车在乙车前面

B 、1t 时刻后，甲车在乙车后面

C 、 在0t 时刻，两车的位置相同

D 、0t 时刻后，乙车在甲车前面

6、（00江西理7）若1>>b a ，b a P lg lg ⋅=，)lg (lg 21b a Q +=

，2

lg b

a R +=，则·······（ ） 、

A Q P R << 、

B R Q P << 、

C R P Q << 、

D Q R P << 7、（11山东理9）函数x x

y sin 22

-=

的图象大致是········································（ ）