北京市中考数学专题复习几何变换
中考数学复习《图形变换》建议讲义及练习
北京市西城区重点中学-第二学期初三数学中考复习《图形变换》复习建议平移、轴对称和旋转是几何变换中的基本变换. 通过平移、轴对称、旋转变换可以使复杂图形简单化、一般图形特殊化, 分散条件集中化. 从图形变换的角度思考问题, 可以整体把握图形的性质, 解决问题的思路更加简明、清晰. 当图形运动变化的时候, 从运动变换的角度分析图形, 更容易发现不变量和特殊图形.一、《考试说明》的要求二、图形变换在近年中考中的呈现方式显性: 题目以图形变换的语言叙述或图形本身具有变换的特征.隐性: 解决问题时需利用图形变换的观点分析和思考, 并能适当添加辅助线构造所需图形.三、对图形变换的认识过程1. 掌握图形变换的概念和性质;2. 对已学图形和常用辅助线的再认识:(1) 从图形的构成和图形特点分析图形的轴对称性、中心对称和旋转对称性.(2) 从图形变换的角度分析添加辅助线后构造出的图形性质.3. 掌握基本辅助线:(1) 中点、中线——中心对称——倍长中线——中位线(2) 等腰三角形、角平分线、垂直平分线——轴对称——截长补短;(3) 平行四边形、梯形——平移;(4) 正多边形、共端点的等线段——旋转;4. 利用图形变换的观点分析和思考问题并能适当添加辅助线构造特殊图形.5. 用变换的性质解决坐标系中的图形变换问题, 用变换的观点研究函数的平移和对称.四、复习建议1. 基本概念明晰平移、轴对称、旋转都是全等变换, 只改变图形的位置, 不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同, 故变换前后具有各自的性质.(2) 旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°), 满足旋转的性质, 由旋转的性质可以得到中心对称性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心.2 对应点到旋转中心的距离相等. 对称点所连线段被对称中心所平分.3 旋转前、后的图形全等. 关于中心对称的两个图形是全等图形2. 三种变换之间的一些联系.①连续两次对称轴平行的轴对称变换可实现一次平移.②以两垂直直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现中心对称变换.③以两相交直线为对称轴, 连续做轴对称变换可实现旋转变换.例: 已知△ABC, 直线PQ、PR, 作△ABC关于PQ的对称图形△A'B'C', 再作△A'B'C'关于PR的对称图形△A''B''C'', 则△ABC与△A''B''C''的关系是以P为中心将△ABC旋转2∠QPR得到△A''B''C'' . 由此可知, 将一个图形关于两条相交直线轴对称两次, 则可得到原图形关于两直线交点的旋转两倍夹角后的图形.3. (1) 常见的平移有: 平移梯形的腰、对角线、高、平行四边形等.(2) 涉及到“对称”均可考虑对称变换.如沿等腰三角形的底边上的高翻折, 沿角的平分线翻折等.(3) 常用到旋转的有绕等边三角形的一个顶点旋转60º, 绕正方形的一个顶点旋转90º、绕等腰三角形的顶点旋转, 旋转角等于等腰三角形的顶角等.五、专题复习平移变换1. (湖北黄冈) 如图, 把Rt △ABC 放在直角坐标系内, 其中 ∠CAB =90°, BC =5, 点A 、B 的坐标分别为(1, 0) 、(4, 0) , 将△ABC 沿x 轴向右平移, 当点C 落在直线y =2x -6上时, 线段 BC 扫过的面积为( C ) A . 4 B . 8 C . 16 D . 822. 如图, 在梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠B =90°, ∠C =45°, AD =1, BC =4, E 为AB 中点, EF //DC 交BC 于点F , 求EF 的长．2233. (北京) 如图, 已知△ABC .(1) 请你在BC 边上分别取两点D , E (BC 的中点除外) , 连结AD , AE , 写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件, 并表示出面积相等的三角形; (2) 请你根据使(1) 成立的相应条件, 证明AB +AC > AD +AE . 4. 如图, 在Rt △ABC 中, AD =BC , CD =BE . 求∠BOE 的度数? 45︒轴对称变换BO ADCEABCOyxABCCBDEA●轴对称计算．5. (怀柔二模) 如图(a ) , 有一张矩形纸片ABCD , 其中AD =6cm , 以AD 为直径的半圆, 正好与对边BC 相切,将矩形纸片ABCD 沿DE 折叠, 使点A 落在BC 上, 如图(b ), 则半圆被覆盖部分(阴影部分) 的面积为___π23349+_____.6. (江苏南京) 如图, 菱形纸片ABCD 中,∠A =60︒, 将纸片折叠, 点A 、D 分别落在A'、D' 处, 且A'D' 经过B , EF 为折痕, 当D' F ⊥CD 时, FDCF的 值为( A ) A . 213- B . 63 C . 6132-D .813+7. (1) 如图, 在直角坐标系中, 将矩形OABC 沿OB 对折, 使点A 落在点A '处, 若OA =3, 1=AB , 则点A' 的坐标是多少? (23,23) (2) 如图, 把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中, 使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上,连结OB , 将纸片OABC 沿OB 折叠, 使点A 落在A' 的位置, 若OB =5,21tan =∠BOC , 则点A' 的坐标是多少?●最短路径问题．(a )CBFE AA'DD'基本图形已经归纳总结在总复习书中8.(天津)在平面直角坐标系中, 矩形OACB 的顶点O 在坐标原点, 顶点A 、B 分别在x 轴、 y 轴的正半轴上, 3OA =, 4OB =, D 为边OB 的中点.(Ⅰ) 若E 为边OA 上的一个动点, 当△CDE 的周长最小时, 求点E 的坐标; (1, 0)(Ⅱ) 若E 、F 为边OA 上的两个动点, 且2EF =, 当四边形CDEF 的周长最小时,求点E 、F 的坐标. (31, 0), (37, 0)9. 如图1, 已知等边△ABC 的边长为1, D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点(均不与点A 、B 、C 重合) , 记△DEF 的周长为p .(1) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点, 则p =_____;23(2) 若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点, 则p 的取值范围是 .23≤ p < 3 小亮和小明对第(2) 问中的最小值进行了讨论, 小亮先提出了自己的想法: 将△ABC 以AC 边为轴翻折一次得1AB C △, 再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △, 如图2所示. 则由轴对称的性质可知, 112DF FE E D p ++=, 根据两点之间线段最短, 可得2p DD ≥. 老师听了后说: “你的想法很好, 但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化, 所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说: “那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法, 写出你的答案.●轴对称证明题．A B CO DD'Ey xxy C B DOA10. (西城)已知: 在如图1所示的锐角三角形ABC 中, CH ⊥AB 于点H , 点B 关于直线CH 的对称点为D , AC 边上一点E 满足∠EDA =∠A , 直线DE 交直线CH 于点F ． (1) 求证: BF ∥AC ;(2) 若AC 边的中点为M , 求证: 2DF EM ;(3) 当AB =BC 时(如图2) , 在未添加辅助线和其它字母的条件下, 找出图2中所有与BE 相等的线段, 并证明你的结论．旋转变换●旋转变换的常见应用(一) 以等边三角形为背景的旋转问题11.如图, C 为BD 上一点,分别以BC , CD 为边向同侧作等边△ABC 与△ECD , AD , BE 相交于点M . ①探究线段BE 和AD 的数量关系和位置关系. 在图中你还发现了什么结论?②当△ECD 绕点C 在平面内顺时针转动到如图所示的位置时, 线段BE 和AD 有何关系. 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?③如图, A 、D 、E 在一直线上, △ABC 、△CDE 是等边三角形, 若BE =15cm, AE =6cm, 求CD 的长度及∠AEB 的度数. 9cm, 60°12. 如图, D 是等边△ABC 内一点, 将△ADC 绕C 点逆时针旋转, 使得A 、D两点的对应点分别ABCD EM AB EDCAB CDEM图1图2为B 、E , 则旋转角为_60︒_, 图中除△ABC 外, 还有等边三角形是_△DEC __.13. 已知E 为正△ABC 内任意一点. 求证: 以AE 、BE 、CE 为边可以构成一个三角形. 若∠BEC =113︒, ∠AEC =123︒, 求构成三角形的各角度数. 63︒, 53︒, 64︒14. 如图, △ABC 是等边三角形, BM = 2, CM = 3, 求AM 的最大值、最小值. 5, 1(二) 以正方形或等腰直角三角形为背景的旋转问题15. 如图①, B ,C ,E 是同一直线上的三个点, 四边形ABCD 与四边形CEFG 都是正方形.连接BG ,DE . (1) 探究BG 与DE 之间的大小关系, 并证明你的结论; (2) 当正方形CEFG 绕点C 在平面内顺时针转动到如图②所示的位置时, 线段BG 和ED 有何关系? 在转动的过程中, 特别是在一些特殊的位置, 你还会发现什么结论? 有哪些结论是不随图形位置的变化而改变的呢?16. 如图1, 已知点D 在AC 上, △ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形, 点M 为EC 的中点.图①图②MCAMCA第12题图 第13题图A B C DE FGAB CDEF G(1) 求证: △BMD 为等腰直角三角形.(2) 将△ADE 绕点A 逆时针旋转︒135, 如图2, (1)中的“△BMD 为等腰直角三角形”成立吗?. (3) 我们是否可以猜想, 将△ADE 绕点A 任意旋转一定的角度, 如图3, (1)中的“△BMD 为等腰直角三角形”均成立？(不用说明理由) .(三) 以一般等腰三角形为背景的旋转问题17. (1)如图①, 已知在△ABC 中, AB =AC , P 是△ABC 内部任意一点, 将AP 绕A 顺时针旋转至AQ , 使∠QAP =∠BAC , 连接BQ 、CP . 求证: BQ = CP . (2) 如图②,将点P 移到等腰三角形ABC 之外, (1)中的 条件不变, “BQ =CP ” 还成立吗?18. 在等腰△ABC 中, AB =AC , D 是△ABC 内一点, ∠ADB =∠ADC . 求证: ∠DBC =∠DCB .小结: (1) 只要图形中存在公共端点的等线段, 就可能形成旋转型问题.(2) 当旋转角是60︒时, 作一个图形旋转后的图形的存在等边三角形; 当旋转角是90︒时, 存在等腰直角三角形. 反之, 如果图形中存在两个等边三角形或等腰直角三角形, 可以从图形旋转的角度分析图形关系.●旋转变换在综合题中的应用ABCPQABCP Q图①图②图1图2图319. 在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°, tan ∠BAC = 21, 点D 在边AC 上(不与A , C 重合) , 连结BD , F 为BD 中点.(1) 若过点D 作DE ⊥AB 于E , 连结CF 、EF 、CE , 如图1． 设CF kEF =, 则k = ; 1 (2) 若将图1中的△ADE 绕点A 旋转, 使得D 、E 、B 三点共线, 点F 仍为BD 中点, 如图2所示. 求证: BE - DE = 2CF ;(3) 若BC =6, 点D 在边AC 的三等分点处, 将线段AD 绕点A 旋转, 点F 始终为BD 中点, 求线段CF 长度的最大值. 4 −5320. △ABC 和△DBE 是绕点B 旋转的两个相似三角形, 其中∠ABC 与∠DBE 、∠A 与∠D 为对应角. (1) 如图1, 若△ABC 和△DBE 分别是以∠ABC 与∠DBE 为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B 、C 、D 在同一直线上的位置时, 请直接写出线段AD 与线段EC 的关系; 垂直相等 (2) 若△ABC 和△DBE 为含有30︒角的两直角三角形, 且两个三角形旋转到如图2的位置时, 试确定线段AD 与EC 线段的关系, 并说明理由; AD ⊥EC , 33=EC AD(3) 若△ABC 和△DBE 为如图3的两个三角形, 且∠ACB = α, ∠BDE = β, 在绕点B 旋转的过程中, 直线AD 与EC 夹角的度数是否改变? 若不改变, 直接写出用含α、β 的式子表示夹角的度数; 若改变, 请说明理由. 180° − α – β21. (北京) 请阅读下列材料:ABEDCABCDE30︒30︒图1 ABCDE图2 图3BCA DE FBDEA FC BAC 1图2图备图问题: 如图1, 在菱形ABCD 和菱形BEFG 中, 点A , B , E 在同一条直线上, P 是线段DF 的中点, 连结PG , PC . 若∠ABC = ∠BEF = 60︒, 探究PG 与PC 的位置关系及PCPG的值. 小聪同学的思路是: 延长GP 交DC 于点H , 构造全等三角形, 经过推理使问题得到解决. 请你参考小聪同学的思路, 探究并解决下列问题: (1) 写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PCPG的值; (2) 将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转, 使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上, 原问题中的其他条件不变(如图2) . 你在(1) 中得到的两个结论是否发生变化? 写出你的猜想并加以证明.(3) 若图1中∠ABC =∠BEF = 2α (0︒ < α < 90︒), 将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度, 原问题中的其他条件不变, 请你直接写出PCPG的值(用含α的式子表示) .函数与变换22. (房山二模) 已知关于x 的一元二次方程 x 2 – 3x + k – 1 = 0有实数根, k 为正整数. (1) 求k 的值;(2) 当此方程有两个不为0的整数根时, 将关于 x 的二次函数y = x 2 – 3x + k – 1的图象向下平移 2个单位, 求平移后的函数图象的解析式; (3) 在(2) 的条件下, 将平移后的二次函数图象 位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折, 图象的其余 部分保持不变, 得到一个新的图象G . 当直线 y = 5x + b 与图象G 有3个公共点时, 请你直接写出b 的取值范围.23. (北京)已知二次函数22(3(1)22)t y t x x =++++在0x =与2x =的函数值相等.ECBG F APDE图1 图2(1) 求二次函数的解析式;(2) 若一次函数y = kx + 6的图象与二次函数的图象都经过点A (3-, m ) , 求m 与k 的值; (3) 设二次函数的图象与x 轴交于点B , C (点B 在点C 的左侧 ) , 将二次函数的图象B , C 间的部分(含点B 和点C ) 向左平移n (0n >) 个单位后得到的图象记为G , 同时将(2) 中得到的 直线y = kx + b 向上平移n 个单位.请结合图象回答: 平移后的直线与图象G 有公共点时, n 的取值范围.24. (丰台二模) 如图, 经过原点的抛物线 y = -x 2 + bx (b > 2) 与x 轴的另一交点为A , 过点P (1,2b) 作直线PN ⊥x 轴于点N , 交抛物线于点B . 点B 关于抛物线对称轴的 对称点为C . 连结CB , CP .(1) 当b = 4时, 求点A 的坐标及BC 的长; (2) 连结CA , 求b 的适当的值, 使得CA ⊥CP ;(3) 当b = 6时, 如图2, 将△CBP 绕着点C 按逆时针方向旋转, 得到△CB'P', CP 与抛物线 对称轴的交点为E , 点M 为线段B'P' (包含端点) 上任意一点, 请直接写出线段EM 长度 的取值范围.图1图2。
北师大版中考数学复习《图形的变换》
Day7 图形的变换一、几何变换（轴对称、平移、旋转、折叠）1、图形的平移：2、图形的轴对称：对称，如图直线L是这两个图形的对称轴，点A和点E是对称点★记忆：简单来说就是能使得两个图形重合的直线就是对称轴。
要区分“对称轴”和“轴对称图形”。
“对称轴”是一条直线，“轴对称图形”是两个全等的图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线如图▲ABC和▲EFG是以直线L为对称轴的轴对称图形如图，两个▲关于直线L对称，直线L是对应点B和点F连线BF的垂直平分线3、图形的翻折翻折前后图形全等（对应线段和对应角都分别相等）4、图形的旋转转动一个角度，’、5、中心对称（特殊的旋转）二、视图、展开图、位似作图1、投影用光线照射物体，在某个平面上得到的影子叫做物体的投影.由一点（光源）（位似变换），2、三视图：主视图、俯视图、左视图①看得见的部分画成实线，被遮挡而看不见的部分画成虚线3、展开图有些立体图形是由一些平面图形围成的，将这些立体图形的表面剪开可以展开成平面图形，这样的平面图形称为相应立体图形的展开图。
注意：不是所有的立体图形都有平面展开图，如球体就不能展开。
4、位似作图（1）几何作图：对应点到位似中心的距离之比等于位似比★记忆：位似即位置相似，位置距离成比例位似又分为同侧位似和异侧位似★注意：位似比，即位似图形的相似比，指的是题目要求画的新图形与参照的原图形的相似比，所以以不同的图形为参照图，所得的位似比不同。
如上面左图同侧位似中，如果题目的意思是“以▲ABC为参照的原图，▲DEF为新图形，求出位似比”，则此时的位似比=DOAO= 95；而如果题目的意思是“以▲DEF为参照的原图，▲ABC为新图形，求出位似比”则此时的位似比=AODO= 59总之位似比总是原图形的数值作分母，口诀：位似比即旧分之新（位似比=新旧）（2）代数作图：如果以原点为位似中心，位似比为k，则原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（一kx，一ky）★记忆：如果是同侧位似则位似对应点的坐标是（kx，ky），如果是异侧位似则位似对应点的坐标是（一kx，一ky）。
北京中考专题复习几何综合
北京中考专题复习几何综合几何综合题型一般以基本图形为载体，如正方形、特殊平行四边形、等边、等腰、直角三角形等。
这些题目考查的是运用图形变换（平移、旋转、轴对称）分析图形中基本量之间的数量关系的探究过程。
初中数学中，涉及到九大几何模型，包括中点类辅助线、角平分线、垂直平分线类辅助线、相似模型、旋转之手拉手模型、旋转之对角互补模型、旋转之半角模型、旋转之构造等边三角形、旋转之费马点模型和最短距离问题。
解题思路是从复杂的图形中抽出简单图形，在简单图形中进行逻辑推导，应用相关几何模型，找到解题思路。
中点类辅助线是一种重要的几何模型，其中倍长中线是常用的方法。
凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。
在△ABC中，AD是BC边中线，可以直接倍长，延长AD到E，使DE=AD，然后连接BE。
另外，也可以通过间接倍长的方法，即作CF⊥AD于F，作BE⊥AD 的延长线于E，然后连接BE。
还可以利用平行线间线段有中点的特点，如AD∥BE，F为DE中点，可构造8字全等△ADF≌△HEF。
在矩形ABCD中，BD=BE，F为DE中点，可以探究AF与CF之间的位置关系。
在平行四边形ABCD中，BC=2AB，M为AD中点，CE⊥AB，可以求证∠EMD=3∠___。
另一个常用的几何模型是构造中位线，其中已知三角形的两边有中点时，可以连接这两个中点构造中位线。
已知一边中点时，可以在另一边上取中点，连接构造中位线。
如果已知一边中点，过中点作平行线可构造相似三角形。
在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H，可以求证∠BGE=∠CHE。
此外，在直角三角形中，有斜边中点时常作斜边中线；有斜边的倍分关系线段时，也常常作斜边中线。
在三角形Rt△ABC中，点D是斜边AB的中点。
连接CD可以得到CD=AD=BD，从而构造出等腰三角形。
北京市2019年中考数学总复习题型突破(06)图形变换课件
关于直线 DE 的对称点为 F,连接 EF 并延长交 BC 于点 G,连接 DG,过点 E 作 EH⊥DE 交 DG 的延长线
于点 H,连接 BH.
(1)求证:GF=GC;
(2)用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系,并证明. 解:(1)证明:连接 DF,如图:∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F,
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
(2)作点 C 关于直线 DE 的对称点 G,连接 CG,FG.
∵△ PAE 是等腰直角三角形,从而 PE= 2AE.∴BH= 2AE.
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
2.[2018·北京延庆初三统一练习] 如图 Z6-2,正方形 ABCD 中,点 E 是 BC 延长线上一点,连接 DE,过点 B
作 BF⊥DE 于点 F,连接 FC.
①依据题意补全图形; ②用等式表示线段 DF,BF,CG 之间的数量关系,并加以证明.
图Z6-2
类型1 证明线段之间的数量关系（针对2018 27题,2017 28题,2015 28题）
(2)①补全图形如图所示. ②数量关系为:BF=DF+CG. 证明:如图,在 BF 上取点 M 使得 BM=DF,连接 CM.∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC=DC. ∵∠FBC=∠CDF,BM=DF,∴△ BMC≌△DFC.∴CM=CF,∠BCM=∠DCF. ∴∠MCF=∠MCD+∠DCF=∠MCD+∠BCM=∠BCD=90°,∴△ MCF 是等腰直角三角形.∴∠BFC=45°. ∵点 C 与点 G 关于直线 DE 对称,∴CF=GF,∠CFE=∠GFE.∵BF⊥DE,∠BFC=45°,∴∠CFE=45°, ∴∠CFG=90°,∴∠CFG=∠MCF,∴CM∥GF.∵CM=CF,CF=GF,∴CM=GF, ∴四边形 CGFM 是平行四边形,∴CG=MF.∵BF=BM+MF,∴BF=DF+CG.
数学北师大版八年级下册中考几何综合专题--图形变换
点B所走的路线长
线段OA扫过的面积 线段OB扫过的面积
2.5 π 4.5 π 12.5 π
O
E D
A
AB所扫过的扇形面积是多少？
B
12.5 π -4.5 π=8 π
变换3——轴对称
3、如图，矩形ABCD沿EF折叠，C与A重合， 若AB=4，AD=8，求BF的长度。
2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对 角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是 C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使 点D落在D′处，点D′恰好与点A重合． （1）求证：△ABG≌△C′DG；
变换1——平移
1、如图，∠ABC=90°，Rt△ABC沿CB的方向 平移 2 3 得Rt△DEF，AP=2，DE=5，求四边形 BEDP的面积。 （3+5）× 2 3 = 8 3
变式：
2
A 2
8 3
P
D
8 3
求四边形ACFP的面积。
转化思想
C
2 3
5
3
F
B2 3 E
（1）猜想三角形POQ的形状，说明理 等腰直角三角形 由。 （2）猜想AP,DP,PQ三条线段的关系？ （3）设正方形边长为4，AP=x，用x 表示PQ，求出PQ最小值？
2 2 2 PQ x ( 4 x )
2 2 x 8 x 16 所以， PQ 最小值为 2 2 2 2 (x 2 ) 8
（3）平行四边形对边相等； （4）等量代换；
1、正方形ABCD对角线交于O，另一个正方形 OEFG的顶点放在O点，绕着O点旋转，分别与 正方形的边交于点P、Q。问两个这个正方形 的重叠部分的面积与正方形ABCD面积的关系？
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题(含解析)
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—几何图形变换综合压轴题1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB的中点，点P为直线BC 上的动点（不与点B点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）观察猜想：如图①，线段BQ与CP的数量关系是 ；∠CBQ＝ ；（2）探究证明：如图②，当点P在CB的延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．2．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，A（a，b），且a，b满足|3a﹣4b|+＝0．（1）求点A的坐标；（2）如图2，点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动，点E从点B出发，以每秒2个单位的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为t，当S△AOD＜S△AOE时，求t的取值范围；（3）如图3，将线段BC平移，使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上，点C的对应点为N，连接BN交y轴于点P，当OM＝3OP时，求点M的坐标．3．探究（1）如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，作CM⊥AB交AB于点M，点D为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE交射线CB于点F，连接BD、BE填空：①线段BD、BE的数量关系为 ．②线段BC、DE的位置关系为 ．推广：（2）如图②，在等腰三角形ABC中，∠ACB＝β，作CM⊥AB交AB于点M，点D为△ABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转β度得到线段CE，连接DE、BD、BE，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由．应用：（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB＝3．作BM⊥AC交AC于点M，点D为射线BM上一点，以点B为旋转中心将线段BD逆时针旋转60°得到线段BE，连接DE交射线BA于点F，连接AD、AE．当以A、D、M为顶点的三角形与△AEF全等时，请直接写出DE的值．4．小圆同学对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究．（一）猜测探究在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．（1）如图1，若M是线段BC上的任意一点，请直接写出∠NAB与∠MAC的数量关系是 ；NB与MC的数量关系是 ；（2）如图2，点E是AB延长线上一点，若M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．（二）拓展应用如图3，在△A1B1C1中，A1B1＝7，∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，P是B1C1上的一点，C1P＝，连接A1P，将A1P绕点A1按顺时针方向旋转75°，得到线段A1Q，连接B1Q，则△A1B1Q的面积是 ．5．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CD⊥AB于D．（1）如图1，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到CF，连接AF交CD于点G，连接DF，求证：AG＝GF；（2）如图2，点E是线段CB上一点，连接ED，将线段ED绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接AF交CD于点G，若＝，求；（3）如图3，点K、E分别在边AB、BC上，将线段EK绕点E逆时针旋转90°得到EF，连AF交CD于点G，连接KG，若KG∥BC，则＝，CE＝3，则AF的长为 ．6．在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连接NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连接MC，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连接DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连接EQ，则EQ的最小值为 ．7．同学们应该都见过光线照射在平面镜上出现反射光线的现象．如图1，AB是放置在第一象限的一个平面镜，一束光线CD经过反射后的反射光线是DE，DH是法线，法线垂直于镜面AB．入射光线CD和平面镜所成的角∠BDC叫做入射角，反射光线DE与平面镜所成的角∠ADE叫做反射角．镜面反射有如下性质：入射角等于反射角，根据以上材料完成下面问题：（1）如图1，法线DH交x轴于点F，交y轴于点H，试探究∠DFC与∠DAH之间的数量关系并加以证明；（2）如图2，第一象限的平面镜AB交x轴于点B，交y轴于点A，x轴负半轴上也放置了一块平面镜，入射光线CD经过两次反射后得到反射光线EG，DH是法线．射线CD和EG 的反向延长线交于点P．①若第一象限平面镜与x轴夹角为26°，问入射角∠BDC为多少时，反射光线EG与AB平行？②若∠DCE＞∠DEC，平面镜AB绕点D旋转，是否存在一个定值k，使得∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF总是成立，若存在请求出值，若不存在，请说明理由．8．已知△ABC为等边三角形，取△ABC的边AB，BC中点D，E，连接DE，如图1，易证△DBE为等边三角形，将△DBE绕点B顺时针旋转，设旋转的角度∠ABD＝α，其中0＜α＜180°．（1）如图2，当α＝30°，连接AD，CE，求证：AD＝CE；（2）在△DBE旋转过程中，当α超过一定角度时，如图3，连接AD，CE会交于一点，记交点为点F，AD交BC于点P，CE交BD于点Q，连接BF，请问BF是否会平分∠CBD？如果是，求出α，如果不是，请说明理由；（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段AF，BF和CF之间的数量关系，并说明理由．9．如图1，点C是线段AB上一点，将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，连接BE，AD，并延长AD交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）连接CF，猜想AF，EF，CF存在的等量关系，并证明你猜想的结论．（3）如图2，延长AB到G，使BG＝CB，将线段BG沿直线BE上下平移，平移后的线段记为B'G'，若∠ABE＝60°，当CB'+CG'的值最小时，请直接写出tan∠G'CG的值．10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣6，0），B（0，8），AB＝10，点C在线段OB上，现将△AOC翻折，使得线段AO的对应边AD落到AB上，点O的对应点是点D，折痕为AC．（1）求点C的坐标；（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于点H，求OH的长；（3）在（2）的条件下，若点P从点C出发，沿着C﹣D﹣A运动，速度为每秒1个单位，时间为t，是否存在t值，使得△AOP的面积为12，若存在求出t的值；若不存在，请说明理由．11．【问题发现】在某次数学兴趣小组活动中，小明同学遇到了如下问题：（1）如图1，在等边△ABC中，点P在内部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB 的长．经过观察、分析、思考，他对上述问题形成了如下想法：将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，寻找PA、PB、PC三边之间的数量关系…请你根据上面分析，完成该问题的解答过程；【学以致用】参考小明思考问题的方法，解决下面问题：（2）如图2，在等边△ABC中，AC＝7，点P在△ABC内，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面积；（3）如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在△ABC内，且PA＝1，PB＝，PC＝，求AB的长．12．（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为 ；②∠BEC＝ °．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB 边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE 的长是多少？（直接写出答案）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°，点E、F分别在边AD、AB上，将△AEF沿EF 折叠，使得点A的对应点A′恰好落在边CD上．（1）延长CB、A′F交于点H，求证：；（2）若A′点为CD的中点，求EF的长；（3）AA′交EF于点G，再将四边形纸片BCA′F折叠，使C点的对应点C′恰好落在A′F上，折痕MN分别交边CD、BC于点M、N，连接C′G，则C′G的最小值为 ．14．黄金三角形就是一个等腰三角形，且其底与腰的长度比为黄金比值．如图1，在黄金△ABC中，AB＝AC，点D是AB上的一动点，过点D作DE∥AC交BC于点E．（1）当点D是线段AB的中点时，＝ ；当点D是线段AB的三等分点时，＝ ；（2）把△BDE绕点B逆时针旋转到如图2所示位置，连接AD，CE，判断的值是否变化，并给出证明；（3）把△BDE绕点B在平面内自由旋转，若AB＝6，BD＝2，请直接写出线段CE的长的取值范围．15．如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝30°．【操作发现】①如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在AB边上时，则∠ACD的度数是 ；②△BDC的面积与△AEC的面积之间的数量关系是 ．【探究论证】当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，猜想△BDC的面积与△AEC的面积的数量关系，并说明理由．【拓展应用】已知∠ABC＝60°，点D是其角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使△DCF与△BDE的面积相等，请直接写出相应的BF的长．16．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：图形W关于经过点（m，0）且垂直于x轴的直线的对称图形为W'，若点P恰好在图形W'上，则称点P是图形W关于点（m，0）的“关联点”．（1）若点P是点Q（3，2）关于原点的“关联点”，则点P的坐标为 ；（2）如图，在△ABC中，A（1，1），B（6，0），C（4，﹣2）．①点C关于x轴的对称点为C'，将线段BC'沿x轴向左平移d（d＞0）个单位长度得到线段EF（E，F分别是点B，C'的对应点），若线段EF上存在两个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，则d的取值范围是 ．②已知点M（m+1，0）和点N（m+3，0），若线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，求m的取值范围．17．如图①，△ABC、△ADE均为等边三角形，点D、E分别在边AB、AC上．将△ADE绕点A沿顺时针方向旋转，连接BD、CE．（1）如图②，可以根据三角形全等判定定理 证得△ADB≌△AEC．（A）边边边；（B）边角边；（C）角边角；（D）角角边．（2）如图③，求证：△ADB≌△AEC．（3）当点D、E、C在同一条直线上时，∠EDB的大小为 度．18．已知：在平面直角坐标系中，点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，点B在第二象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．（1）直接写出点A，点B的坐标：点A（ ， ），点B（ ， ）；（2）在图①中的y轴上找到一点P，使得三角形ABP的周长最小，则这个最小周长是 ；（3）在图①中，若△ABC是等腰直角三角形，当点C在AB的左侧时，请直接写出点C 的坐标 ；（4）如图②，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D不与点A重合，是x轴上一个动点，点E是AD中点，连接BE．把BE绕着点E顺时针旋转90°得到FE即（∠BEF＝90°，BE＝FE），连接BF、CF、CD．直接写出∠FCD的度数 ．19．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），试猜想线段AE、CF、EF之间存在的数量关系为 ．（不需要证明）；（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE、CF、EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．20．（1）如图1，在正方形ABCD中，∠FAG＝45°，请直接写出DG，BF与FG的数量关系，不需要证明．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，E，F分别是BC上两点，∠EAF＝45°．①写出BE，CF，EF之间的数量关系，并证明；②若将（2）中的△AEF绕点A旋转至如图3所示的位置，上述结论是否仍然成立？若不成立，直接写出新的结论，无需证明．（3）如图4，△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于G，且GF＝2，GE＝3，则S△AEF＝ ．答案1．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，∴OC＝AB＝OB，∴△COB为等边三角形，∴∠COB＝60°，∴∠COP+∠BOP＝60°，由旋转的性质可知，∠POQ＝60°，OP＝OQ，∴∠BOQ+∠BOP＝60°，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°，故BQ＝CP；120°；（2）当点P在CB的延长线上时，（1）中结论成立，理由如下：∵∠COB＝∠POQ＝60°，∴∠COB+∠BOP＝∠POQ+∠BOP，即∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴BQ＝CP，∠OBQ＝∠OCP＝60°，∴∠CBQ＝∠CBO+∠OBQ＝120°．2．解：（1）|3a﹣4b|+＝0，∴，∴，∴A（8，6）；（2）由（1）知，A（8，6），∵AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，∴AC＝8，AB＝6，由运动知，OD＝t，OE＝2t，当点E在OB上时，即0＜t＜4，则OE＝8﹣2t，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（8﹣2t）×6＝3（8﹣2t），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（8﹣2t），∴t＜，即0＜t＜，当点E在BO的延长线上时，即t＞4，则OE＝2t﹣8，∴S△AOD＝OD•AC＝t×8＝4t，S△AOE＝OE•AB＝×（2t﹣8）×6＝3（2t﹣8），∵S△AOD＜S△AOE，∴4t＜3（2t﹣8），∴t＞12，即0＜t＜或t＞12；（3）如图，设点M（0，m），∴M（0，m）（m＜0），则OM＝﹣m，由平移的性质得，N（﹣8，m+6），过点N作NE⊥x轴于E，∴OB＝OE＝8，NE＝m+6，S△BEN＝BE×NE＝×16×|m+6|＝8|m+6|，S△BOP+S梯形OPNE＝×OB×OP+（OP+NE）×OE＝×8OP+（OP+|m+6|）×8＝4OP+4OP+4|m+6|，∵S△BEN＝S△BOP+S梯形OPNE，∴8|m+6|＝4OP+4OP+4|m+6|，∴OP＝|m+6|，∵OM＝3OP，∴﹣m＝3×|m+6|，∴m＝﹣或m＝﹣18，∴M（0，﹣）或（0，﹣18）．3．解：（1）如图①中，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠ECF＝∠DCF＝45°，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBE（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．故BD＝BE，BC⊥DE．（2）结论：（1）中的结论仍然成立．理由：如图②中，∵CA＝CB，∠ACB＝α，CM⊥AB，∴∠ACM＝∠BCM＝α，∵∠ECD＝α，∴∠ECF＝∠DCF＝α，∵CD＝CE，CB＝CB，∴△CBD≌△CBF（SAS），∴BD＝BE，∵CD＝CE，∴BC垂直平分线段DE，∴BC⊥DE．（3）如图③中，当△AFE≌△AMD时，AF＝AM，∵∠AFD＝∠AMD＝90°，∵AD＝AD，∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL），∴∠DAF＝∠DAM＝30°，∴∠DBA＝∠DAB＝30°，∴DA＝DB，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝60°，BF＝AF＝，∵BD＝BE，∴△BDE是等边三角形，∴DF＝EF＝BF•tan30°＝，∴DE＝2EF＝．如图③﹣1中，当点D在BM的延长线时，则AF＝AM＝，DE＝2DF＝3．如图③﹣2中，当EF＝AM＝DF时，也满足条件，此时DE＝BD＝AB＝3，综上所述，满足条件的DE的值为或3或3．4．解：（一）（1）结论：∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．理由：如图1中，∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．故∠NAB＝∠MAC，BN＝CM．（2）如图2中，（1）中结论仍然成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠NAB＝∠MAC，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．（二）如图3中，方法一：在A1C1上截取A1N＝A1B1，连接PN，作NH⊥B1C1于H，作A1M⊥B1C1于M．∵∠C1A1B1＝∠PA1Q，∴∠QA1B1＝∠PA1N，∵A1Q＝A1P，A1B1＝AN，∴△QA1B1≌△PA1N（SAS），∴B1Q＝PN，在Rt△A1B1M中，∵∠A1B1M＝60°，A1B1＝7，∴B1M＝，∴A1M＝＝，∵∠MA1C1＝∠B1A1C1﹣∠B1A1M＝75°﹣30°＝45°，∴A1C1＝A1M＝，∴NC1＝A1C1﹣A1N＝﹣7，在Rt△NHC1中，∵∠C1＝45°，∴NH＝NC1•＝﹣，∴＝×（）＝，∵＝M＝，∴＝﹣＝＝，方法二：如图4，过点Q作QG⊥A1B于点G，过点P作PH⊥A1C1于点H，∵∠QA1G＝∠PA1H，∠A1GQ＝∠PHA1＝90°，A1Q＝A1P，∴△A1QG≌△A1PH（AAS），∴QG＝PH，∵∠A1B1C1＝60°，∠B1A1C1＝75°，∴∠C1＝180°﹣∠A1B1C1﹣∠B1A1C1＝45°，∴△PHC1是等腰直角三角形，∴PH＝＝1，∴QG＝1，∴△A1B1Q的面积为．故．5．（1）证明：如图1中，∵∠ACB＝90°，CB＝CA，CD⊥AB，∴CD＝DB＝AD，∵CD＝CF，∠DCF＝∠ADC＝90°，∴AD∥CF，AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∴AG＝GF．（2）解：如图2中，连接BF，过点E作EJ⊥BC交AB于J．∵CE：AC＝2：7，∴可以假设CE＝2k，AC＝7k，∵AC＝BC﹣EC＝7k，∠ACB＝90°，∴BE＝BJ＝5k，AB＝7k，∵CD⊥AB，∴BD＝AD＝k，∴CD＝AD＝BD＝k，∵EJ∥AC，∴＝＝，∴AJ＝×7k＝2k，∴DJ＝k，∵∠DEF＝∠BEJ＝90°，∴∠BEF＝∠JED，∵∠ABC＝45°，JE⊥BC，∴∠EBJ＝∠E＝45°，∴EB＝EJ，∵EB＝EJ，EF＝DE，∴△BEF≌△JED（SAS），∴BF＝DJ＝k，∠EBF＝∠EJD＝45°，∴∠FBA＝∠GDA＝90°，∴GD∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴DG＝BF＝k，∴CG＝CD﹣DG＝k﹣k＝k，∴＝＝．（3）如图3中，连接BF，过点F作FH⊥BC于H．∵AK：KB＝4：3，∴可以假设AK＝4k，BK＝3k，则AD＝BD＝k，DK＝DB﹣BK＝k，∵∠KBE＝∠KFE＝45°，∴K，B，F，E四点共圆，∴∠KBF+∠KEF＝180°，∵∠KEF＝90°，∴∠KBF＝∠ADC＝90°，∴DG∥BF，∵AD＝DB，∴AG＝GF，∴BF＝2DG，∵KG∥BC，∴∠DKG＝∠ABC＝45°，∵∠KDG＝90°，∴DG＝DK＝k，∴BF＝k，∴KF＝＝＝k，AF＝＝＝5k ，∴EK＝EF＝KF＝k，∵FH⊥BC，∠FBH＝45°，∴BH＝FH＝k，EH＝＝＝k，∴BE＝BH+EH＝2k，∵BC＝AB，∴（2k+3）＝7k，∴k＝，∴AF＝5×＝10．故答案为10．6．解：【探究】如图②中，结论成立．理由：∵∠MAN＝∠CAB，∴∠NAB+∠BAM＝∠BAM+∠MAC，∴∠BAN＝∠CAM，∵AB＝AC，AN＝AM，∴△NAB≌△MAC（SAS），∴BN＝CM．【拓展】如图③中，在DF上取一点H，使DH＝DE＝8，连接PH，过点H作HM⊥EF 于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝75°，∵∠EDF＝75°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，过点D作DG⊥EF于G，在Rt△DEG中，DE＝8，∠DEG＝60°，∴∠EDG＝30°，∴EG＝DE＝4，∴DG＝EG＝4，∵∠F＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∠DGF＝90°∴∠F＝∠GDF＝45°，∴DG＝GF＝4，∴DF＝DG＝4∴FH＝DF﹣DH＝4﹣8，在Rt△HMF中，∠F＝45°，∴HM＝FH＝（4﹣8）＝4﹣4，即：EQ的最小值为4﹣4．故4﹣4．7．解：（1）∠DFC＝∠DAH，理由如下：∵∠ADF+∠DAH+∠AOF+∠DFO＝360°，∠ADF＝∠AOF＝90°，∴∠DAH+∠DFO＝180°，又∵∠DFO+∠DFC＝180°，∴∠DAH＝∠DFC；（2）①设∠BDC＝x°＝∠ADE，∵∠DBF＝26°，∠FDB＝90°，∴∠DFB＝64°，∵∠BDC＝x°，∴∠FDC＝90°﹣x°＝∠EDF，∵∠EDF+∠DEF＝∠DFB，∴90°﹣x°+∠DEF＝64°，∴∠DEF＝x°﹣26°，∴∠DEP＝2∠DEF＝2x°﹣52°，∵EG∥AB，∴∠ADE＝∠DEP，∴x°＝2x°﹣52°，∴x＝52，∴当入射角∠BDC为52°时，反射光线EG与AB平行；②k＝2，理由如下：∵∠DCE＝180°﹣∠CDF﹣∠DFC，∠EDF＝∠DFC﹣∠DEC，∠EDF＝∠CDF，∴∠DCE＝180°﹣∠DFC﹣（∠DFC﹣∠DEC）＝180°﹣2∠DFC+∠DEC，∵∠DFC＝∠OFH，∠OFH＝90°﹣∠OHF，∴∠DCE＝180°﹣2（90°﹣∠OHF）+∠DEC，∴∠DCE﹣∠DEC＝2∠OHF，又∵∠DCE﹣∠DEC＝k∠OHF，∴k＝2．8．证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．9．（1）证明：如图1中，∵将CA绕点C顺时针旋转90°得到CE，∴CA＝CE，∠ACD＝∠ECB＝90°，∵将CB绕点C旋转，使点B的对应点D落在CE上，∴CD＝CB，∴△ACD≌△ECB（SAS），∴∠A＝∠E，∵∠A+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠EDF，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠EFD＝90°，∴AF⊥BE．（2）解：如图1中，连接CF．结论：AF﹣EF＝CF．理由：过点C作CT⊥CF，交AF于T．∵∠DFB+∠DCB＝90°+90°＝180°，∴D，C，B，F四点共圆，∴∠DFC＝∠DBC＝45°，∵∠FCT＝90°，∴∠CTF＝∠CFT＝45°，∴CT＝CF，FT＝CF，∵∠ACE＝∠TCF＝90°，∴∠ACT＝∠ECF，∵CA＝CE，CT＝CF，∴△ACT≌△ECF（SAS），∴AT＝EF，∴AF﹣EF＝AF＝AT＝FT＝CF．（3）解：如图2中，设CB＝BG＝m．∵CB＝BG＝B′G′，B′G′∥BC，∴四边形CBG′B′是平行四边形，∴CB′＝BG′，∴CB′+CG′＝CG′+G′B，作点C关于直线GG′的对称点T，连接BT交GG′于G′，此时CG′+G′B的值最小，作TH∥CG交GG′于H，设CT交GH于O．∵CO＝OT，∠THO＝∠OGC，∠HOT＝∠COG，∴△THO≌△CGO（AAS），∴TH＝CG＝2m，OG＝OH，在Rt△CGO中，∵∠CGO＝∠CBE＝60°，CG＝2m，∴OG＝OH＝CG•cos60°＝m，∵HT∥BG，∴HG′：GG′＝HT：GB＝2：1，∴HG′＝m，GG′＝m，过点G′作G′K⊥BG于K，则GK＝GG′＝m，G′K＝m，CK＝2m﹣m＝m，∴tan∠GCG′＝＝＝．10．解：（1）设C（0，m），∵A（﹣6，0），B（0，8），∴OA＝6，OB＝8，由翻折的性质可知，∠CDA＝∠AOC＝90°，OC＝CD＝m，∵S△AOB＝S△AOC+S△ACB，∴•OA•OB＝•OC•OA+•AB•CD，∴6×8＝6m+10m，∴m＝3，∴C（0，3）．（2）如图2中，由翻折的性质可知，OA＝AD＝6，CD＝OC＝3，∵AB＝10，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣6＝4，∴BD：AB＝4：10＝2：5，∴S△BOD＝•S△AOB＝××6×8＝，∵OC：OB＝3：8，∴S△CDO＝S△BOD，∵OH⊥CD，∴×3×OH＝×，∴OH＝．（3）如图3中，设P（m，n）．∴S△POA＝12，∴×6×n＝12，∴n＝4，∴当点P在线段AB上时，PA＝PB＝5，此时P（3.4），∴PD＝AD﹣PA＝6﹣5＝1，∴CD+PD＝3+1＝4，∴t＝4（s）．当点P′在线段CD上时，CP′＝t，则有S四边形AOCD﹣S△ADP′﹣S△P′OC＝S△P′OA，∴2××3×6﹣×6×（3﹣t）﹣××t＝12，∴t＝（s）．综上所述，满足条件的t的值为4s或s．11．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°，得到△ABD，连接PD，如图1所示：则△APD是等边三角形，∠APC＝∠ADB＝150°，PC＝DB＝4，∴∠ADP＝60°，DP＝AP＝3，∴∠PDB＝90°，∴PB＝＝＝5；解：（2）将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP′C，连接PP′，如答图1所示：则△APP′是等边三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，∴PP′＝PC，即AP＝PC，∵∠APC＝90°，∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，∴PC＝2，∴AP＝，∴S△APC＝AP•PC＝××2＝7；（2）如答图2中，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD．由旋转性质可知；BD＝PA＝1，CD＝CP＝2，∠PCD＝90°，∴△PCD是等腰直角三角形，∴PD＝PC＝×2＝4，∠CDP＝45°，∵PD2+BD2＝42+12＝17，PB2＝（）2＝17，∴PD2+BD2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠BDC＝135°，∴∠APC＝∠CDB＝135°，∵∠CPD＝45°，∴∠APC+∠CPD＝180°，∴A，P，D共线，∴AD＝AP+PD＝5，在Rt△ADB中，AB＝＝＝．12．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故BD＝CE；60；（2），∠BEC＝45°．理由如下：△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，∠ACB＝∠AED＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝135°，∵Rt△ABC和Rt△ADE中，，，，∴，∴，又∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE，∴∠ADB＝∠AEC＝135°，，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝45°，∵，∴，∴，∴；（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，如图4中，当D，E，B在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，综上所述，CE的长为或．13．（1）证明：如图1中，延长CD到T，使得DT＝DE，连接TE．∵四边形ABCD是菱形，∴DT∥AB，∠A＝∠C＝60°，∴∠TDE＝∠A＝60°，∵DT＝DE，∴△DET是等边三角形，∴∠T＝∠C＝60°，∵∠EA′F＝∠A＝60°，∴∠TA′E+∠CA′H＝120°，∵∠CA′H+∠A′HC＝120°，∴∠TA′E＝∠A′HC，∴△A′HC∽△EA′T，∴＝，∵ET＝DE，AE＝A′E，∴＝．（2）解：如图2中，延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，交AB于H，连接A′B、BD，CF．∵∠A＝60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF＝60°，∴∠MFD＝30°，设MD＝x，则DF＝2x，FM＝x，∵DA′＝1，∴MA′＝x+1，∴（x+1）2+（x）2＝（2﹣2x）2，解得：x＝0.3，∴DF＝0.6，AF＝1.4，∴AH＝AF＝0.7，FH＝AF•sin∠A＝1.4×＝，∵CD＝BC，∠C＝60°，∴△DCB是等边三角形，∵A′是CD的中点，∴BA′⊥CD，∵BC＝2，DA′＝A′C＝1，∴BA′＝，设BE＝y，则A′E＝2﹣y，∴（）2+y2＝（2﹣y）2，解得：y＝0.25，∴AE＝1.75，∴EH＝AE﹣AH＝1.75﹣0.7＝1.05，∴EF＝＝＝．（3）解：如图3中，过点G作GH⊥AB于H，过点G作GP⊥A'F于P，过点A′作A'Q⊥AB于Q．∵四边形ABCD是菱形，∴DA＝AB＝BC＝CD＝2，AB∥CD，∵∠BAD＝60°，∴A'Q＝∵A'与A关于EF对称，∴EF垂直平分AA'，AQ＝QA′，∴AG＝A'G，∠AFE＝∠A'FE，∴GP＝GH，又∵GH⊥AB，A'Q⊥AB∴GH∥A'Q，∴GH＝A'Q＝，所以GC'≥GP＝，当且仅当C'与P重合时，GC'取得最小值．故答案为．14．解：（1）如图1中，由题意，＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠C＝∠B，∴DB＝DE，∵＝，∴＝＝．故答案为，．（2）结论：＝的值不变．理由：如图2中，∵△BDE∽△BAC，∴＝，∠DBE＝∠ABC，∴∠DBA＝∠EBC，∴△EBC∽△DBA，∴＝＝．（3）∵AB＝6，BD＝2，又∵＝＝，∴BC＝3﹣3，BE＝﹣1，∵BC﹣BE≤EC≤BE+BC，∴2﹣2≤EC≤4﹣4．15．解：（1）①∵∠C＝90°，∠B＝30°．∴∠BAC＝60°，∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上．∴AC＝CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°；故60°；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC、AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；故S△BDC＝S△AEC；（2）如图3，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，∵，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC；（3）如图4，过点D作DF∥BE，∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∵DF∥BE，∴∠FDB＝30°，∴∠FBD＝∠FDB＝30°，∴FB＝FD，∴四边形DEBF是菱形，所以BE＝DF，且BE、DF上的高相等，此时S△DCF＝S△BDE；过点D作DF1⊥BD，∵∠ABC＝60°，FD∥BE，∴∠F1FD＝∠ABC＝60°，∵BF＝DF，∠FBD＝∠ABC＝30°，∠F1DB＝90°，∴∠FDF1＝∠ABC＝60°，∴△DFF1是等边三角形，∴DF＝DF1，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝×60°＝30°，∴∠CDF＝180°﹣∠BCD＝180°﹣30°＝150°，∠CDF1＝360°﹣150°﹣60°＝150°，∴∠CDF＝∠CDF1，∵在△CDF和△CDF1中，，∴△CDF≌△CDF1（SAS），∴点F1也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝×4÷cos30°＝2÷＝，∴BF＝，BF1＝BF+FF1＝＝，故BF的长为或．16．解：（1）∵点P是点Q（3，2）关于原点的关联点，∴P，Q关于原点对称，∴P（﹣3，2），故答案为（﹣3，2）．（2）①如图1中，当d＝4时，线段BC′平移到HG位置，此时线段EF上存在1个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，当d＝6时，线段BC′平移到NM位置，此时线段EF上存在2个△ABC关于点（1，0）的“关联点”，观察图象可知，满足条件的d的范围为：4＜d≤6故4＜d≤6．②如图2中，当m＝3时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图3中，当m＝5时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图4中，当m＝7时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，如图5中，当m＝9时，线段MN上存在△ABC关于点（m，0）的“关联点”，观察图象可知满足条件的m的为：3≤m≤5或7≤m≤9．17．（1）解：根据SAS可以证明△ADB≌△AEC．故答案为B．（2）证明：∵△ABC、△ADE均为等边三角形，∴AD＝AE，AB＝AC．由旋转得：∠DAB＝∠EAC，在△ADB和△AEC中，，∴△ADB≌△AEC（SAS）．（3）解：如图③，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠AEC＝120°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝120°，∴∠EDB＝60°；如图④，∵△ADE是等边三角形，∴∠ADE＝∠AED＝60°，∵△ADB≌△AEC，∴∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠EDB＝60°+60°＝120°，∴∠EDB的大小为60°或120°，故60或120．18．解：（1）∵点A是x轴负半轴上一点且OA＝3，∴A（﹣3，0），∵点B在第二条象限内，到x轴的距离是3，到y轴的距离是2．∴B（﹣2，3）．故﹣3，0；﹣2，3；（2）如图①﹣1中，取点A关于y轴对称的对称点A'，连接BA'交y轴于点，则点P即为所求，过点B作BC⊥x轴于点C．∴AP＝A'P，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+AA'+BA'．∵A（﹣3，0），B（﹣2，3），A'（3，0），∴AB＝＝＝，A'B＝＝，∴三角形ABP的周长的最小值为AB+A'B＝+；（2）如图①﹣2中，。
【中考复习方案】(北京专版)2016中考数学 第8单元 几何变换、投影与视图 第31课时 图形的平移、旋转课件
旋转 把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角 旋转中心，转动 度，叫做图形的旋转．点O叫做________ 的角叫做________ 旋转角 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度 (1)对应点到旋转中心的距离________ 相等 ； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角 ________； 全等 (3)旋转前、后的图形________
考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
方法模型 平移的坐标特征 平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐 标上移加，下移减． (1)点(x，y)向右(或向左)平移a(a＞0)个单位长度后，对 应点的坐标为(x± a，y)； (2)点(x，y)向上(或向下)平移a(a＞0)个单位长度后，对 应点的坐标为(x，y±a)．
图31－5
[解析] 设移动的距离为x，则x(12－x)＝32，解得x1＝ 4，x2＝8.
考点聚焦
考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
热考5 中心对称图形的辨别 例5 [2015· 东城期末] 下列安全标志图中，是中心对称 图形的是( B )
图31－6
考点聚焦
考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
考点聚焦 考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
考点●2
平移作图
基本步骤： (1)确定平移方向； (2)确定图形中的关键点； (3)将关键点沿指定的方向平移指定的距离； (4)连接各点得到原图形平移后的图形．
考点聚焦
考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
考点●3 定义 图形的旋转 有三个基本 条件 旋转的 性质
考点聚焦
考向探究
第31课时┃ 图形的平移、旋转
方法模型 本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状 和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直 线上)且相等，对应线段平行(或在一条直线上)且相等，对 应角相等．
九年级数学中考总复习十：几何变换北师大版
中考总复习十：几何变换要点分析我们在研究、解决几何问题时，常常把多边形和圆的问题转化为三角形(特别是直角三角形)来解决．然而有些图形结构中无法找到可解的三角形，这时我们就需要将已知的三角形进行平移、旋转或轴对称变换，从而将一些分散的元素(线段或角)重新组合成新的三角形，在新的图形结构中寻求元素之间的关系．这个转化过程就是几何变换的过程．经典例题一、用旋转变换分析解决问题例1．(顺义一模25题)已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC 的中点M，连结DM和BM．(1)若点D在边AC上，点E在边AB上，且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；(2)如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么(1)中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．图①图②解析：(1)根据“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”，不难证明，且．(2)如图，作，，连接BD、BF．则≌．可得，．相当于将绕点B旋转得到．，，且．四边形EDCF是平行四边形．是EC中点，是DF中点．垂直平分DF．可得，且．反思一下：由于本题的第(1)问探究的两条线段在特殊位置关系下的数量关系和位置关系，因此证明起来并不困难．而第(2)问探究的两条线段在一般位置关系下的关系，我们以旋转的观点可以清楚地看出这两条线段在运动变化过程中的不变关系．那么第(1)问中的情况是否也符合这个一般规律呢？我们可以用第(2)问中的旋转方法再来研究第(1)问中的特殊情况(如图所示)．二、用平移变换分析解决问题例2．(西城一模24题)已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出的取值范围．解析：(1)易求C．过A、B、C三点的抛物线的解析式为．(2)可得抛物线的对称轴为，顶点D的坐标为，设抛物线的对称轴与x轴的交点为G．直线BC的解析式为，可设点P的坐标为．解法一：如图1，作OP∥AD交直线BC于点P，连结AP，作PM⊥x轴于点M．∵OP∥AD，∴∠POM=∠GAD，tan∠POM=tan∠GAD．∴，即．解得．经检验是原方程的解．此时点P的坐标为．但此时，OM＜GA．∵，∴OP＜AD，即四边形的对边OP与AD平行但不相等，∴直线BC上不存在符合条件的点P．解法二：如图2，取OA的中点E，作点D关于点E的对称点P，作PN⊥x轴于点N．则∠PEO=∠DEA，PE=DE．可得△PEN≌△DEG ．由，可得E点的坐标为．NE=EG=，ON=OE－NE=，NP=DG=．∴点P的坐标为．∵x=时，，∴点P不在直线BC上．∴直线BC上不存在符合条件的点P ．用平移变换的想法解题：解法三：如图2，点D向上平移个单位长度，再向右平移2.5个单位长度得到点A．若四边形ODAP为平行四边形，则需要点O向上平移个单位长度，再向右平移2.5个单位长度得到点P．而此时点P坐标为(，)，它不在抛物线上．因此不存在符合条件的点P．(3)的取值范围是．说明：如图3，由对称性可知QO=QH，．当点Q与点B重合时，Q、H、A三点共线，取得最大值4(即为AH的长)；设线段OA的垂直平分线与直线BC的交点为K，当点Q与点K重合时，取得最小值0．反思一下：第(2)问中探究平行四边形的存在性，可以直接根据平行四边形的判定方法解题．显然根据角的关系判定或根据边的关系判定计算量比较大．因此，我们考虑变换一下判定的方法，即OP和AD平行且相等看成D到A和O到P各自平移的方向和长度是相同的．这样，解题的过程就变得容易多了．三、用轴对称变换分析解决问题例3．(海淀一模25题)已知抛物线经过点A(0，4)、B(1，4)、C(3，2)，与x轴正半轴交于点D．(1)求此抛物线的解析式及点D的坐标；(2)在x轴上求一点E，使得△BCE是以BC为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED上动点P作直线PF//BC，与BE、CE分别交于点F、G，将△EFG沿FG翻折得到△E′FG．设P(x，0)，△E′FG与四边形FGCB重叠部分的面积为S，求S与x的函数关系式及自变量x的取值范围．解：(1)抛物线的解析式为，点D(4，0)．(2)点E(，0)．(3)可求得直线BC的解析式为．从而直线BC与x轴的交点为H(5，0)．如图1，根据轴对称性可知S△E ′FG=S△EFG，当点E′在BC上时，点F是BE的中点．∵FG//BC，∴△EFP∽△EBH．可证EP=PH．∵E(-1，0)，H(5，0)，∴P(2，0)．(i) 如图2，分别过点B、C作BK⊥ED于K，CJ⊥ED于J，则．当-1＜x≤2时，∵PF//BC，∴△EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC．∴，∵P(x，0)，E(-1，0)，H(5，0)，∴EP=x+1，EH=6．∴．图2 图3(ii) 如图3，当2＜x ≤4时，在x轴上截取一点Q，使得PQ=HP，过点Q作QM//FG，分别交EB、EC于M、N．可证S=S四边形MNGF，△ENQ∽△ECH，△EMN∽△EBC．∴，．∵P(x，0)，E(-1，0)，H(5，0)，∴EH=6，PQ=PH=5－x，EP=x+1，EQ=6－2(5－x)=2x－4．∴．同(i)可得，∴．综上，反思一下：本题第(3)问是一个轴对称变换的问题，在图3的情况中直接求重叠部分的面积是比较困难的，我们作一个BC关于FG的对称图形，得到梯形MNGF，它的的面积就容易求得了．我们希望每一位同学在解综合题后，都能及时进行总结和反思，掌握几何变换的基本方法和一般规律，力求在变化中解决千变万化的数学综合题．1．在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且，，BD=DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系．(I)如图1，当点M、N在边分别AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是____________；此时____________；(II)如图2，点M、N分别在边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q=____________(用、L表示)．2．在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A(0，2)，点C(-1，0)，如图所示，抛物线经过点B．(1)求点B的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．1．(I)BM、NC、MN之间的数量关系BM+NC=MN．此时．(II)结论仍然成立．设，，，．设，，是周长为L的等边三角形，，．欲求的周长Q与L的关系，只要解决MN与x、y、L的关系．如图，作，与AC边的延长线交于点E．≌．，．．≌..的周长．．(III)设，则．作交AC于点E，则≌．，．不难证明≌．．的周长．2．解：不难求得(1)点B的坐标为(，1)；(2)抛物线解析式为；(3)方法一：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则可以设直线BC交抛物线于点，由题意，直线BC的解析式为：，不难求得P1(1，-1)．此时．为等腰直角三角形．②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作AF∥BC，交抛物线于点，由题意，直线AF的解析式为，不难求得点的坐标为(2，1)或(-4，4)，而(-4，4)显然不合题意，故舍去．同理，有，为等腰直角三角形．综上所述，在抛物线上存在点，使△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形．方法二：①若以AC为直角边，点C为直角顶点；则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△，过点作轴于M．∵1=，，；∴△≌△∴==2，∴==1，可求得点P 1(1，)；经检验点P1(1，-1)在抛物线上，使得△是等腰直角三角形；②若以AC为直角边，点A为直角顶点；则过点A作，且使得，得到等腰直角三角形△，过点P2作轴于N，同理可证△≌△；∴==2，== 1，可求得点(2，1)；经检验点(2，1)也在抛物线上，使得△也是等腰直角三角形．用平移变化的想法解题：解法三：①若点C为直角顶点，则C为的中点．由，，可得P1(1，-1)，此时P1在抛物线上．②若点A为直角顶点，可知在第一象限，有四边形为正方形．由点C向右平移1个单位长度、向上平移2个单位长度得到A，可知P1(1，-1)经过同样的平移方式得到(2，1)，此时也在抛物线上．。
北京中考数学PPT第八单元 几何变换、投影与视图
图 37－5
第37课时┃ 京考探究
解： (1)∵将 Rt△ABC 沿斜边 AB 向右平移得到 Rt△DEF， ∴DF∥AC，∴△PDB∽△CAB. ∴S△ PDB∶S△ CAB＝(BD∶BA)2. 在 Rt△ACB 中，∠A＝60°，AC＝1， 3 ∴AB＝2，BC＝ 3，∴S△ CAB＝ . 2 ∵AB＝AD＋BD， 1 AD＝ ， 2 3 9 3 ∴BD＝ ，∴S△ PDB＝ . 2 32
(1)中心对称的两个图形，对称点所连线 段都经过对称中心，而且被对称中心 平分 ________； 全等 (2)成中心对称的两个图形________
中心对 称的 性质
第38课时┃ 考点聚焦
考点4
图形 线段 平行四 边形 正方形
常见中心对称图形
对称中心 相关性质 线段中点 对角线的 平行四边形的对边相等，对角 交点 相等，对角线互相平分 正方形的四条边相等，四个角 对角线的 都是直角，对角线相等且互相 交点 垂直平分
第38课时┃ 考点聚焦
矩形 菱形
对角线 的交点 对角线 的交点 圆心
矩形的对边相等，四个角都是直 角，对角线相等且互相平分 菱形的四条边相等，对角相等， 对角线互相垂直平分 在同圆或等圆中，如果两个圆心 角、两条弧或两条弦中有一组量 相等，那么它们所对应的其余各 组量也分别相等
圆
第38课时┃ 京考探究
第37课时┃ 京考探究
►
热考二
平面直角坐标系中的坐标
例3 在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)已知点A(3，1)，联结OA，平移线段OA，使点O 落在点B.设点A落在点C，作如下探究： 探究一：若点B的坐标为(1，2)，请在图①中作出 平移后的线段，则点C的坐标是________；联结AC、BO， 请判断O、A、C、B四点构成的图形的形状，并说明理 由； 探究二：若点B的坐标为(6，2)，按探究一的方法， 判断O、A、B、C四点构成的图形的形状．
北京中考几何知识点归纳
北京中考几何知识点归纳北京中考几何知识点归纳涵盖了初中阶段几何学的核心概念和定理，以下是对这一部分内容的详细总结：1. 几何基础知识：- 点、线、面、体的定义和特性。
- 平面几何与立体几何的区别。
2. 直线与角：- 直线、射线、线段的特点和性质。
- 角的分类（锐角、直角、钝角、平角、周角）和性质。
- 角度的度量和换算。
3. 三角形：- 三角形的分类（等边、等腰、直角、锐角、钝角三角形）。
- 三角形的内角和定理（内角和为180°）。
- 三角形的外角定理。
- 三角形的中线、高线、角平分线、中位线的性质。
4. 四边形：- 平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定。
- 梯形的分类和性质。
- 四边形的对角线性质。
5. 圆：- 圆的定义和圆周角定理。
- 弧、弦、直径、半径、圆心角的性质。
- 切线的性质和判定。
- 圆的面积和周长的计算。
6. 相似与全等：- 相似图形和全等图形的定义与性质。
- 相似比和全等比的计算。
- 相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS、HL）。
7. 几何变换：- 平移、旋转、反射等几何变换的性质。
- 几何变换在图形证明中的应用。
8. 面积与体积：- 不规则图形面积的近似计算方法。
- 规则图形（如三角形、四边形、圆形）的面积计算。
- 立体图形（如长方体、圆柱、圆锥、球）的体积和表面积计算。
9. 几何证明：- 证明的基本方法和步骤。
- 常见几何证明的类型（如证明全等、相似、平行、垂直等）。
10. 坐标几何：- 坐标系中点的坐标表示。
- 坐标几何中图形的性质和计算。
结束语：通过以上对北京中考几何知识点的归纳，我们可以看到几何学在中考中的重要性和广泛性。
掌握这些基础知识点，不仅有助于解决中考中的几何问题，也为高中阶段的数学学习打下坚实的基础。
希望同学们能够认真学习和理解这些知识点，提高自己的几何解题能力。
(完整版)北京中考压轴几何综合分类解析
二、几何综合题几何综合题是中考试卷中常有的题型，它主要考察学生综合运用几何知识的能力，这种题常常图形较复杂，波及的知识点许多，题设和结论之间的关系较隐蔽，经常需要增添协助线来解答．解几何综合题，一要注企图形的直观提示；二要注意剖析发掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创建条件打好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转变结论来探究思路，找到解决问题的重点．常有的几何综合有六类：此中包含几何的三大变换，平移、旋转、对称。
还有特别角，比如 30°，45°，60°，120°，150°等。
此外还有特别点问题，比如线段中点。
四点共圆在模拟考试中也略有波及。
自然还有一些比较特别的，需要详细剖析题意得出结论。
一、几何三大变换几何变换一般解题思路依据变换性质，变换前后对应线段，对应角相等阶梯。
平移类：做协助线方向，对应点连线，中（石景山） 27．如图，在等边△ABC中，D为边AC的延伸线上一点(CD AC) ，平移线段 BC，使点 C 挪动到点 D ，获得线段 ED，M 为 ED 的中点，过点 M 作 ED 的垂线，交 BC 于点F，交 AC 于点 G．（1）依题意补全图形；（2）求证： AG = CD ；（ 3 ）连结DF并延伸交AB 于点H ，用等式表示线段AH 与CG 的数目关系，并证ABCE M D明．旋转类：确立已知旋转线段，找寻与已知旋转线段有关的线段，进行旋转，结构全等三角形。
特别角易（房山）27．已知：Rt△ ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．（1）如图 1，点 D 是 BC 边上一点 (不与点 B， C 重合 ) ，连结 AD ，过点 B 作 BE⊥ AD，交AD 的延伸线于点 E，连结 CE．若∠ BAD =α，求∠ DBE 的大小 (用含α的式子表示 ) ；（2）如图 2，点 D 在线段 BC 的延伸线上时，连结 AD ，过点 B 作 BE⊥AD，垂足 E 在线段AD 上，连结CE．①依题意补全图2；②用等式表示线段EA， EB 和 EC 之间的数目关系，并证明．CCD EBA B A图 1图 2中（门头沟） 27．如图，∠ AOB = 90°， OC 为∠ AOB 的均分线，点 P 为 OC 上一个动点，过点P 作射线 PE 交 OA 于点 E．以点 P 为旋转中心，将射线 PE 沿逆时针方向旋转 90°，交OB 于点 F．（1）依据题意补全图（2）如图 1，假如点证明；（3）如图 2，假如点量关系．1，并证明PE = PF；E 在 OA 边上，用等式表示线段OE，OPE 在 OA 边的反向延伸线上，直接写出线段和OF 之间的数目关系，并OE， OP 和 OF 之间的数AACCEPPOO B BE图 1 图 2中（密云） 27．已知△ ABC 为等边三角形，点 D 是线段 AB 上一点（不与A、 B 重合）．将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转60°获得线段CE．连结 DE 、 BE．（1）依题意补全图 1 并判断 AD 与 BE 的数目关系．（2）过点 A 作AF EB 交EB延伸线于点 F ．用等式表示线段EB、DB 与 AF 之间的数目关系并证明．C CA DB A D B图 1 图 2易（平谷） 27．在△ABC 中，∠ ABC=120°，线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60°获得线段 AD ，连结 CD，BD 交 AC 于 P．（1）若∠ BAC =α，直接写出∠ BCD 的度数（用含α的代数式表示）；（2）求 AB， BC，BD 之间的数目关系；（3）当α=30°时，直接写出 AC， BD 的关系．DCPA B对称：依据垂直均分线的性质，连结协助线，结构全等三角形（通州） 27．如图，在等边△ ABC 中，点 D 是线段 BC 上一点．作射线 AD，点 B 对于射线 AD 的对称点为 E．连结 CE 并延伸，交射线 AD 于点 F．（1）设∠ BAF＝α，用α表示∠ BCF的度数；（2）用等式表示线段 AF、 CF、 EF 之间的数目关系，并证明．ADB CEF对称（大兴） 27．在 Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 °， CA =CB．点 D 为线段 BC 上一个动点（点 D 不与点 B， C 重合），连结 AD，点 E 在射线 AB 上，连结 DE ，使得 DE=DA．作点 E 对于直线 BC 的对称点 F ，连结 BF， DF .（1）依题意补全图形；（2）求证：∠ CAD=∠ BDF ；（3）用等式表示线段 AB， BD ， BF 之间的数目关系，并证明．二、特别角类：依据特别角，以不损坏特别角为原则，结构直角三角形。
北京市2001-2012年中考数学试题分类解析专题4：图形的变换
一、选择题1. （2003年北京市4分）如果圆柱的底面半径为4cm ，底面为5cm ，那么它的侧面积等于【 】A. 220cm πB. 240cm πC. 20cm 2D. 40cm 22. （2004年北京市4分）如果圆锥的底面半径为3cm ，母线长为4cm ，那么它的侧面积等于【 】（A ）24πcm 2 （B ）12πcm 2 （C ）12cm 2 （D ）6πcm 23. （2006年北京市课标4分）将如图所示的圆心角为90的扇形纸片AOB 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA 与OB 重合（接缝粘贴部分忽略不计），则围成的圆锥形纸帽是【 】4. （2007年北京市4分）下图所示是一个三棱柱纸盒，在下面四个图中，只有一个是这个纸盒的展开图，那么这个展开图是【】5. （2008年北京市4分）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如左图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是【】6. （2009年北京市4分）若下图是某几何体的三视图，则这个几何体是【】7. （2010年北京市4分）美术课上，老师要求同学们将下图所示的白纸只沿虚线裁开，用裁开的纸片和白纸上的阴影部分围成一个立体模型，然后放在桌面上，下列四个示意图中，只有一个．．．．符合上述要求，那么这个示意图是【】8. （2012年北京市4分）下图是某个几何体的三视图，该几何体是【】二、填空题1. （2001年北京市4分）如果圆柱的母线长为3cm，底面半径为2cm，那么这个圆柱的侧面积是▲ cm2．2. （2002年北京市4分）如果圆锥母线长为6cm，底面直径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是▲ cm2．3. （2002年北京市4分）一种圆筒状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为20cm×60m，经测量这筒保鲜膜的内径Φ1、外径Φ的长分别为3.2cm，4.0cm，则该种保鲜膜的厚度约为▲ cm（π取3.14，结果保留两位有效数字）．4. （2006年北京市大纲4分）如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于▲ cm2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
图形变换之平移目的与方向：等腰、直角三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系 什么时候用平移？ （1）平行四边形与平移由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与之平行且相等的线段。
因此，对于已知条件中有平行四边形的几何题，我们可以考虑用平移变换。
1、 (2012. 5)22．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．图1 图2小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；图2、设P 是矩形ABCD 内一点，请你作出一个四边 形，使它的两对角线互相垂直，长度分别为AB 、BC ，且四条边长分别等于PA 、PB 、PC 、PD（2）共线相等线段与平移因为在平移变换下，与平移方向平行的线段变为与之共线且相等的线段。
所以，对于已知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。
3、设B 、C 是△PAD 的边AD 上的两点，且AB=CD ，求证：PA+PD>PB+PC（3）不共线线段与平移两条线段既不平行也不共线，但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段，使两条线段有一个公共端点，并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形，再利用特殊三角形的性质再加上其他相关条件使问题解决。
4、设线段AB 与CD 相等，且夹角为60°，求证AC+BD>AB 解法提示：平移后形成等边三角形5、 5、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1080，D 为AC 的延长线上一点，M 为BD 的中点，AD=BC 求 求证：AM ⊥MC注：AD=BC 与AM ⊥MC 两个条件可以互换解法提示：平移BC ，得到平行四边形BCDE 和等腰△ADE ，由∠ADE=∠ACB=360，得到∠EAD=720，∠EAB=360∠EBA=∠EBC+∠CBA=720，∠AEB=720，所以AE=AB ，M 为CE 中点，所以AM 与MC 垂直A DO B EB OCD A IHGFABCDE6、（2006北京）25．25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。
请解答下列问题：（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。
7、（2011.5西）25．在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的交点为P .（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2）若AC =，CD =，求∠APE 的度数.8.（2010.6西）24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．（1）如图1，求证：AP ＜21（AB +AC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥21DE ．9. ∆ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM=AC,点N 在AC 上，且AN=MC, AM 与BN 相交于点P ，求证：∠BPM ＝45°CM N轴对称目的：一般是构造：特殊三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系应用信息：直角---（平角的）角平分线---轴对称共顶点互补角---角平分线---轴对称二倍角---角平分线---轴对称1、在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB+CE>AC+BE2、已知△ABC中，AC=3，BC=7，∠C=2∠B，求AB的长. 2、3、四边形ABCD，∠C=90°，∠ADC=30°，AD=3，，BD=2AB，∠ABC与∠DBC互补，求BC的长。
3、4、5、4、（2010北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探究∠DBC与∠ABC度数的比值.请你完成下列探究过程：先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.观察图形，AB与AC的数量关系为________________；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.5、B、D、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，CD=2km，BD=3km，在D村的正北方向有一个A村，测得∠B AC＝45°，今将△ABC区域进行规划，除其中面积为4km2的水塘外，准备把剩余的作为绿地，试求绿化用地面积．AB6、（2011.5东22.）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长.小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1.她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形.设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值.（1）请你帮小萍求出x的值.(2) 参考小萍的思路，探究并解答新问题：如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.请你按照小萍的方法画图,得到四边形AEGF，求△BGC的周长.（画图所用字母与图1中的字母对应）7、（2012.5朝）23. 阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②8、（2011.5海25．）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设CF kEF=，则k = ；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．9、（2013.5西）24．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，点P在△ABC的内部．(1) 如图1，AB=2AC，PB=3，点M、N分别在AB、BC边上，则cosα=_______，△PMN周长的最小值为_______；(2) 如图2，若条件AB=2AC不变，而PA=2，PB=10，PC=1，求△ABC的面积；(3) 若PA=m，PB=n，PC=k，且cos sink m nαα==，直接写出∠APB的度数．A ABCADEFBDEAFC BAC1图2图备图旋转目的：依据旋转的性质构造特殊三角形、全等三角形、相似三角形即完善图形的关系共端点等线段，两个中心转呀嘛转基本图形1：共顶点的顶角相等的等腰三角形形成旋转全等在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，则△ABD≌△ACE基本图形2：等边△ABC，P是△ABC形内一点，连结PA、PB、PC，以点A为旋转中心，将△ABP 逆时针旋转60度，可以得到△APD为等边三角形，可以将PA、PB、PC三边组成一个新三角形△PCD，已知PA、PB、PC的长可以求出∠APB、∠APC、∠BPC变换背景：等腰直角三角形，旋转△ADB变换背景：正方形ABCD，旋转△AEB 1、（2011.5房）已知：等边三角形ABC，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；2、(2011.5丰)已知:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究下列问题:（1）如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD=______；（2）如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ______；（3）如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.3、（2010.5西24．）如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于E，E恰为BC的中点，2tan=B.（1）求证：AD=AE；（2）如图2，点P在BE上，作EF⊥DP于点F，连结AF.求证：AFEFDF2=-；（3）请你在图3中画图探究：当P为射线E C上任意一点（P不与点E重合）时，作EF⊥DP 于点F，连结AF，线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论.DCBA A BCDA BCDCB图1图1EB CA D图3EB CA D图2E CBA DFP4、（2012海淀期末）24. 已知在□ABCD中，AE⊥BC于E，DF平分∠ADC 交线段AE于F.（1）如图1，若AE=AD，∠ADC=60︒, 请直接写出线段CD与AF+BE之间所满足的等量关系;（2）如图2, 若AE=AD，你在（1）中得到的结论是否仍然成立, 若成立,对你的结论加以证明, 若不成立, 请说明理由；（3）如图3, 若AE :AD =a :b，试探究线段CD、AF、BE之间所满足的等量关系，请直接写出你的结论.5、（2011北京24） (7分)在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．(1)在图1中，证明：CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．几何图形问题的解决，主要依据基本图形的性质和借助基本图形之间的关系。