2.1.1 函数的概念和图象(一)

2.1.1 函数的概念和图象（一）

一、教学目标

1．知识与技能

（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数

（2）了解函数的定义域及对应法则的含义

2．过程与方法

经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．

3．情感、态度与价值观

在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．二、重点难点

教学重点：利用集合与对应关系的语言来刻画函数

教学难点：对应法则f的理解

三、教学过程

（一）创设情境

我们生活在这个世界上，每时每刻都在感

受其变化．请大家看下面的实例：

（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中

目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）

随时间t（秒）的变化而变化，其规律是

2

=-．

1305

h t t

（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．

（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．

（二）讲解新课

问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？

问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？

问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？

每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A 中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．

问题4：如何理解对应法则f ？

问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？

给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．

一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A 中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为y＝f (x)，x ∈A．

其中，所有的输入值 x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．

函数的近代定义：集合语言、对应的观点．

在掌握函数时，必须把握以下几点：

（1）函数是一种特殊的对应f：B

A→，集合A，B是非空的数的集合．（2）对应法则的方向是从A到B．

（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到 B的函数：

（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y＝x；

（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y2＝x．

解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到 B的函数；

（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x)＝x；

（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x → y（y2＝x）不是函数．

研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．

分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．

解 f(3)=3×32-5×3+2=14，

f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，

f(a)=3a2-5a+2，

f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．

说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．

（三）课堂小结

1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.

2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．

（四）课后作业

P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．