2.1.1 函数的概念和图象(一)
第二章 2.1函数
1．函数的基本概念 (1)函数的定义设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . (2)函数的定义域、值域函数y ＝f (x )，x ∈A 中，自变量取值的范围(数集A )叫做这个函数的定义域，所有函数值构成的集合{y |y ＝f (x )，x ∈A }叫做这个函数的值域．(3)确定一个函数的两个要素：定义域和对应法则． 2．常见函数定义域的求法类型 x 满足的条件 2nf (x )，n ∈N ＋f (x )≥0 1f (x )与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a >0，a ≠1)f (x )>0log f (x )g (x ) f (x )>0，且f (x )≠1，g (x )>0tan f (x )f (x )≠k π＋π2，k ∈Z3.求函数解析式常用方法有：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．函数的表示法(1)函数的常用表示方法：列表法、图象法、解析法．(2)分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数． 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( × ) (2)映射是特殊的函数．( × )(3)分段函数是由两个或几个函数组成的．( × ) (4)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )(5)函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 的交点最多有1个．( √ )1．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x答案 C解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C. 2．函数f (x )＝1(log 2x )2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 答案 C解析 要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x >0，(log 2x )2－1>0，解得x >2或0<x <12.故f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞)． 3．(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x )，x ＜1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12 答案 C解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝2log 212－1＝2log 212×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.4．(教材改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )答案 B解析 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]，故选B. 5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②解析 对于①，函数是映射，但映射不一定是函数；对于②，f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数；对于③，函数y ＝2x (x ∈N )的图象不是一条直线；对于④，函数的定义域和值域不一定是无限集合.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， (x ≥0)，－1， (x <0)的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．(1)下列四组函数中，表示同一函数的是( )A ．y ＝x －1与y ＝(x －1)2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lg x100(2)下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 (1)D (2)B解析 (1)A 中两函数对应法则不同；B 、C 中的函数定义域不同，答案选D.(2)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象，故选B. 题型二 函数的定义域命题点1 求给定函数解析式的定义域 例2 (1)函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为( ) A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1] (2)函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 (1)A (2)C解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ≥0，x ＋3>0，解得－3<x ≤0，所以函数f (x )的定义域为(－3,0]，故选A.(2)要使函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1有意义，需满足x ＋1>0且x －1≠0，得x >－1，且x ≠1，故选C.命题点2 求抽象函数的定义域例3 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 016]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是( )A ．[0,2 015]B ．[0,1)∪(1,2 015]C ．(1,2 016]D ．[－1,1)∪(1,2 015](2)若函数f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则f (lg x )的定义域为( ) A ．[－1,1] B ．[1,2] C ．[10,100] D ．[0，lg 2]答案 (1)B (2)C解析 (1)令t ＝x ＋1，则由已知函数的定义域为[1，2 016]，可知1≤t ≤2 016.要使函数f (x ＋1)有意义，则有1≤x ＋1≤2 016，解得0≤x ≤2 015，故函数f (x ＋1)的定义域为[0,2 015]．所以使函数g (x )有意义的条件是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2 015，x －1≠0，解得0≤x <1或1<x ≤2 015.故函数g (x )的定义域为[0,1)∪(1,2 015]．故选B.(2)因为f (x 2＋1)的定义域为[－1,1]，则－1≤x ≤1，故0≤x 2≤1，所以1≤x 2＋1≤2.因为f (x 2＋1)与f (lg x )是同一个对应法则，所以1≤lg x ≤2，即10≤x ≤100，所以函数f (lg x )的定义域为[10,100]．故选C. 命题点3 已知定义域求参数范围例4 若函数f (x )＝2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. 思维升华 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数①无论是已知定义域还是求定义域，均是指其中的自变量x 的取值集合； ②对应f 下的范围一致．(3)已知定义域求参数范围，可将问题转化，列出含参数的不等式(组)，进而求范围．(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)的定义域是________．(2)函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为____________________________________．答案 (1)[12，32] (2)(－1,1)解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －12)中的自变量x 需要满足⎩⎨⎧0≤x ＋12≤2，0≤x －12≤2，解得12≤x ≤32，所以函数g (x )的定义域是[12，32]．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1<x <1.题型三 求函数解析式例5 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x )·x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7， ∴f (x )＝2x ＋7. (3)(解方程组法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x 代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)解方程组法：已知f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )＝__________________. 答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－12x (x ＋1)(3)23lg(x ＋1)＋13lg(1－x ) (－1<x <1) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－12x (x ＋1)．(3)当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．2．分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(2)(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1] C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)解析 (1)当x <1时，e x －1≤2，解得x ≤1＋ln 2， ∴x <1.当x ≥1时，x 13≤2，解得x ≤8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]．(2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C.答案 (1)(－∞，8] (2)C温馨提醒 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，然后选定相应关系式代入求解． (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围． (3)当自变量含参数或范围不确定时，要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论．[方法与技巧]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应法则是否相同． 2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行． 3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、解方程组法． 4．分段函数问题要分段求解． [失误与防范]1．复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．A 组 专项基础训练 (时间：25分钟)一、选择题1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2 C ．f (x )＝x 2，g (x )＝|x |D ．f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x 答案 C解析 在A 中，定义域不同，在B 中，解析式不同，在D 中，定义域不同．2．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于( ) A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥1} C ．∅ D ．{x |－1≤x <1}答案 A解析 M ＝(－1,1)，N ＝(－1，＋∞)，故M ∪(∁R N )＝{x |x <1}，故选A.3．已知f (x )为偶函数，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)等于( )A ．－3＋2B ．1C ．3 D.3＋2 答案 D解析 因为f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin π3＝3， f (4)＝log 24＝2，所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝3＋2. 4．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x答案 B解析 (待定系数法)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0，∴g (x )＝3x 2－2x ，选B.5．已知函数f (x )满足f (2x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝log 2xB ．f (x )＝－log 2xC ．f (x )＝2－x D ．f (x )＝x －2答案 B解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21x ＝－log 2x .二、填空题6．已知函数f (x )＝log 21x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.答案 －78解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1＝23，解得a ＝－78.7．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则y ＝f (log 2x )的定义域是________． 答案 [2，4]解析 ∵函数f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴－1≤x ≤1，∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.8．(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________． 答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg [(－3)2＋1]＝lg 10＝1， ∴f (f (－3))＝f (1)＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0；当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3.三、解答题9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解 当－3≤x <－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段(右端点除外)，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将点(－3,1)，(－1，－2)代入，可得f (x )＝－32x －72； 当－1≤x <1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)，将点(－1，－2)，(1,1)代入，可得f (x )＝32x －12； 当1≤x <2时，f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －32x －72，－3≤x <－1，32x －12，－1≤x <1，1，1≤x <2.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案 [0,3)解析 因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ， 所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数y ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点．当a ＝0时，函数y ＝13的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3.综上所述，a 的取值范围是[0,3)．12．若函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则 (1)f (2)f (12)＝________； (2)f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋f (14)＋…＋f (12 017)＝________. 答案 (1)－1 (2)0解析 (1)∵f (x )＋f (1x )＝x 2－1x 2＋1＋1－x 21＋x 2＝0， ∴f (x )f (1x )＝－1(x ≠±1)，∴f (2)f (12)＝－1. (2)∵f (3)＋f (13)＝0，f (4)＋f (14)＝0，…， f (2 017)＋f (12 017)＝0，∴f (3)＋f (4)＋…＋f (2 017)＋f (13)＋…＋f (12 017)＝0. 13．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ]，(a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有________个．答案 5解析 由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4|x |＋2≤2，得0≤|x |≤2，满足条件的整数数对有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)，共5个．14．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1， 即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.15．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？(4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？解(1)点A表示无人乘车时收支差额为－20元，点B表示有10人乘车时收支差额为0元，线段AB上的点表示亏损，AB延长线上的点表示赢利．(2)图2的建议是降低成本，票价不变，图3的建议是提高票价．(3)斜率表示票价．(4)图1、2中的票价是2元．图3中的票价是4元．。
高中数学第二章函数概念与基本初等函数I函数的概念函数的概念名师导航学案苏教版
2。
1 函数的概念和图象2.1。
1 函数的概念名师导航知识梳理1.函数的概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有__________的数f （x)和它对应,那么就称f:A →B 为从集合A 到集合B 的函数，记作y=f （x)，x ∈A.其中x 叫__________，x 的取值范围A 叫做函数y=f （x ）的__________;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合{f(x ）|x ∈A ｝(⊆B ）叫做函数y=f(x ）的__________。
函数符号y=f （x)表示“y 是x 的函数"，有时简记作函数__________。
（1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f:A →B ，这里A ，B 为__________的数集.（2)A:定义域；{f(x ）|x ∈A}：值域,其中｛f(x ）｜x ∈A}__________B ；f ：对应法则，x ∈A,y ∈B.(3）函数符号：y=f （x ）↔y 是x 的函数，简记f(x).2。
已学函数的定义域和值域(1)一次函数f （x ）=ax+b(a ≠0):定义域为__________，值域为__________;(2）反比例函数f(x ）=xk （k ≠0）：定义域为__________，值域为__________； （3）二次函数f （x)=ax 2+bx+c （a ≠0）:定义域为__________，值域:当a 〉0时,为__________；当a 〈0时，为__________。
3。
函数的值:关于函数值f(a ）例：f （x)=x 2+3x+1，则f(2)= __________.4。
函数的三要素：对应法则f 、定义域A 和值域{f(x ）|x ∈A}.只有当这三要素__________时,两个函数才能称为同一函数。
疑难突破有关函数概念的理解剖析:(1)如果一个函数需要几条限制时，那么定义域为各限制所得x 的范围的交集。
高中数学 第2章 函数2.1.1函数的概念和图象(一)配套课件 苏教版必修1
2.1.1 函数的概念和图象(一)
【学习要求】 1．理解函数的概念，明确决定函数的三个要素； 2．学会求某些函数的定义域； 3．掌握判定两个函数是否相同的方法； 4．理解静与动的辩证关系． 【学法指导】 通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要 数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数， 体会对应法则在刻画函数概念中的作用，感受学习函数的必要 性与重要性.
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练一练•当堂检测(jiǎn cè)、目标达成 落实处 2．下列关于函数与区间的说法正确的是___④_____．(填序号)
①函数定义域必不是空集，但值域可以是空集； ②函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了； ③数集都能用区间表示； ④函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应． 解析 函数的值域不可能为空集，故①错； 当两函数的定义域和值域分别相同时，但两函数的对应法则可 以不同，故②错； 由于整数集没法用区间表示，故③错． 只有④正确．
(3) 若 f(x) 是 偶 次 根 式 ， 那 么 函 数 的 定 义 域 是 ____根__号__(ɡ_ē_n__h_à_o_)_内__的_式__子__不__小__于__零___的实数的集合； (4)若 f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是 ____使__各__部__分__式__子_都__有__意__义___________的实数的集合(即使每个部 分有意义的实数的集合的交集)； (5)若 f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本 身有意义且符合____实__际__意__义______的实数的集合.
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填一填·知识要点(yàodiǎn)、记下 疑难点 2．求函数的定义域实质上是求使函数表达式有意义的自变量的取
第一部分 第2章 2.1 2.1.1 第一课时 函数的概念
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[例 4] 求下列函数的值域： (1)y＝x＋1， x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3， x∈[0,3)； 2x＋1 (3)y＝ ；(4)y＝2x－ x－1. x－3
③定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元 素，反之，当值域只有一个元素时，定义域也只有一个 元素．
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解析： 由函数的定义可知函数定义域中的每一个元素在值域 中一定有惟一确定的元素与之对应，故①正确；②函数的定 义域和值域可以为有限集合，如 f(x)＝ x＋ 1，x∈{1,2,3}，则 y∈ {2,3,4}，故②不对；函数的三要素中，定义域和对应法则 是最重要的，当定义域和对应法则确定后，函数的值域也就 确定了，故③正确；根据函数定义可知，当定义域中只有一 个元素时， 值域也只有一个元素， 但当值域只有一个元素时， 定义域却不一定只有一个元素，如 f(x)＝ 1， x∈R.
2 则必须 3x－2>0，即 x> ， 3 2 故所求函数的定义域为 {x|x> }． 3
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1 ③要使函数 y＝ x＋1＋ 有意义，则必须 2－ x
x＋1≥ 0， 2－x≠0. 即 x≥－1 且 x≠2.
故所求函数的定义域为{x|x>－ 1 且 x≠ 2}． (2)由－1≤ x－ 5≤ 5，得 4≤x≤10，所以函数 f(x－5)的 定义域是[4,10]．
[例 2] (1)求下列函数的定义域 －x 4x＋ 8 ① y＝ 2 ；② y＝ ； 2x － 3x－ 2 3x－ 2 1 ③ y＝ x＋ 1＋ . 2－ x (2)已知函数 f(x)的定义域为[－ 1,5]， 则 f(x－ 5)的定义 域为 ________． 3
函数的概念和图象
口琴和弹吉它，那把重音口琴，给我的朋友固定在一个金属架子上，这架子可以套在头上，这架子一旦套在头上，正好能让嘴够着，这样一来两只手就给腾了出来。他就这样一边吹口琴一边弹吉它，是什么曲子，记不清了，是一首一首连着吹下去，是时下的，摇滚的，热烈的，有那么点热烈
的不着边际，是没有内容的热烈，这可能就是中国九十年代摇滚的特征。吉它的声音混着口琴的声音让我再也捕捉不到以往那种感觉。忽然，我的朋友换了花样，节奏一下子大变，是：“鸣哇哇——鸣哇哇——鸣哇哇——”我忽然忍不住乐了，那个渐渐远去的时代，忽然一晃，就像门口那个
一种乐器，但它可以算是喜剧性的。但它又根本无法和锣鼓相比，锣鼓算乐器吗?当然算，锣鼓其实也是一种难以确定性格的乐器，但它出现在喜庆的场面太多了，所以，锣鼓一响起来，人们就兴奋了，这是历史的潜移默化。在中国，死人而敲锣打鼓是没有的事，喜庆的日子又离不开它，它
? 中国的乐器里，最不可思议的是埙，它在你耳边吹响，你却会觉得很远，它在很远的地方吹动，你又会觉得它很近。这是一种以韵取胜的乐器。是一种事不关己高高挂起超然独行的性格，世上的事都和它好像没有一点点关系，它是在梦境里的音韵，眼
到一个抽象的角落里让你去做具象的想象。琵琶也是这样。《十面埋伏》这支曲子里就有马在不停地奔跑，雨也在曲子里下着，云在曲子里黑着，有火在曲子里惨淡地红着。琵琶、古筝都是这样的大角色演员。而古琴和箫却是极孤独而不合群的避世者，别的乐器是声，而箫和古琴却是韵，需
要更大的耐性去领略，需要想象的合作，不是铺排得很满，而是残缺的，像马远的山水，再好，只是那么一个角落，树也是一棵两棵地吝啬在那里半死不活，需要读它的人用想象和它进行一种合作。听箫曲和古琴曲要闭上眼睛，要让自己暂时离开柴米油盐的现实，饿着肚子和有着强烈的肉欲
(5)
示范教案(第2章_函数概念与基本初等函数Ⅰ_2.1.1)
第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ本章概述函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础.学生在初中已经初步接受了函数的知识，掌握了一些简单函数的表示方法、性质和图象，本章在初中学习的基础上，继续系统学习函数知识，培养学生应用函数知识的意识，并对后续选修课程中要涉及的函数知识打下良好的基础.本章在学生学习函数知识的过程中是一个重要的环节.一、课标要求1.函数的概念和图象(1)学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.(2)了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.(3)结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.(4)通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物，了解生活中的函数实例.2.基本初等函数(1)了解指数函数模型的实际背景.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x 的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.(2)理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x 符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).(3)知道指数函数f(x)=a x 与对数函数f(x)=log a x 互为反函数(a ＞0，a≠1)，初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义.(4)通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数y=x,y=x 3,y=x -1,y=x 21的图象，了解它们的变化情况.3.函数的应用(1)通过二次函数的图象，懂得判断一元二次方程根的存在性与根的个数，通过具体的函数例子，了解函数零点与方程根的联系.根据函数图象，借助计算器或电脑，学会运用二分法求一些方程的近似解，了解二分法的实际应用，初步体会算法思想.(2)借助计算机作图，比较指数函数、对数函数、幂函数的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的关系.收集现实生活中普遍使用的几种函数模型的案例，体会三种函数模型的应用价值，发展学习应用数学知识解决实际问题的意识.二、本章编写意图与教学建议1.在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合与对应的语言来刻画“单值对应”，领悟函数就是一个从一个数集到另一个数集的单值对应.“单值对应”是函数对应法则的根本特征.箭头图给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合的方向性，应突出“输进”与“输出”的关系.2.教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.3.教材“阅读”中力求通过信息技术与课程内容的整合，激发学生对数学学习的兴趣，体现数学的应用性，教学中应鼓励学生探索，把现代教育技术作为学习的研究和探究解决问题的工具.例如，用Excel可以解决陌生函数的图象的大致形状，增加直观性.为以后研究函数的性质和学习方程的近似解、数据拟合等打下基础.4.本章通过学习用二分法求方程近似解的方法，使学生体会函数与方程之间的关系，通过一些函数模型的实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的广泛应用，进一步认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决一些生活中的简单问题.三、教学内容及课时安排建议本章教学时间约29课时:2.1.1 函数的概念和图象3课时2.1.2 函数的表示方法1课时2.1.3 函数的简单性质3课时2.1.4 映射的概念1课时2.2.1 分数指数幂2课时2.2.2 指数函数3课时2.3.1 对数2课时2.3.2 对数函数3课时2.4 幂函数1课时2.5.1 二次函数与一元二次方程2课时2.5.2 用二分法求方程的近似解1课时2.6 函数模型及其应用3课时探究案例——钢琴与指数曲线1课时实习作业1课时本章复习2课时2.1函数的概念和图象2.1.1函数的概念和图象整体设计教材分析先从初中学过的变量观点的函数概念说起，借助对应关系和集合语言得到了函数更为确切的定义，然后学习映射的概念，之后再用映射的概念来研究函数，使同学们对函数概念的理解更加深刻.定义域、对应法则是函数的两个要素.判断两个函数是否相同只需判断它们的定义域、对应法则是否相同即可.对函数符号y=f(x)的理解是同学们学习中的难点.这是一个抽象的数学符号，也仅仅是函数符号，它表示“y是x的函数”，指对定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y=f(x)，既不表示“y等于f与x的乘积”，也不一定是解析式.要注意符号f(a)与f(x)的区别与联系，f(a)表示当自变量x=a时函数f(x)的值，它是一个常量；而f(x)是自变量x的函数.在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)在x=a时的一个特殊值.学习过程中要充分理解教材中的几个例题，感受函数概念的应用，体会求函数定义域、函数在x取某些特定值时的函数值和值域、函数关系式的转化的方法，体会换元法的应用.三维目标(1)了解构成函数的要素.(2)会求一些简单函数的定义域和值域.(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域.(4)通过实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用.重点难点教学重点:理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数.教学难点:符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示.课时安排3课时教学过程第一课时函数的概念(一)导入新课设计思路一(问题导入)阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：(1)估计人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据，从人口统计年鉴中可以查得我国从1949年至1999年人口数据资料如下表所示，你能根据这个表说出我国人口的变化情况吗？年份1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 1999 人口数/百万542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 1246(2)一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落的时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9x2.若一物体下落2 s，你能求出它下落的距离吗？(3)下图为某市一天24小时内的气温变化图，①上午8时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？②大约在什么时刻，气温为0 ℃？③大约在什么时刻内，气温在0 ℃以上？其中：(1)人口数量与时间的变化关系问题；(2)物体自由落体运动中下落的高度与时间的变化关系问题；(3)某市一天中的温度与时间的变化关系问题.思考1.分析、归纳以上三个实例，它们有什么共同点.2.引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系.3.根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. 设计思路二(情境导入)社会生活中，地球正在逐渐变暖，为什么？中国的国内生产总值为什么在逐年增长？上述这些变化的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化.那么我们如何用数学模型来刻画这两个变量之间的关系？这数学模型又有什么特征？学好本章便可弄清这两个问题.推进新课新知探究设计思路一函数的有关概念(1)函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A→B 为从集合A 到集合B 的一个函数.记作：y=f(x),x ∈A.其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x ∈A}叫做函数的值域.注意：①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘x.(2)构成函数的三要素是什么？定义域、对应关系和值域.(3)初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？通过三个已知的函数：y=ax+b ，(a≠0)，y=ax 2+bx+c ，(a≠0)，y=xk ，(k≠0)， 比较描述性定义和集合，与对应语言刻画的定义，谈谈体会.设计思路二对于导入新课设计思路一的问题解答：(1)解：我国人口随时间的变化是逐渐增加的.(2)解：1 s→4.9 m ， 2 s→19.6 m ，对任一时刻x ，都有唯一的下落距离y 与之对应.(3)解：①上午8时的气温约是0 ℃，全天的最高、最低气温分别是9 ℃和-2 ℃； ②大约在上午8时和晚上22时，气温为0 ℃；③大约在8到22时刻内，气温在0 ℃以上.总结：对任一时刻t ，都有唯一的温度θ与之对应.思考解答：上述三个问题中，都反映出两个变量之间的关系，当一个变量的取值确定后，另一个变量的值也随之唯一确定.回忆初中学习的函数的概念，如何用集合语言来阐述上述三个问题的共同特点？每个问题均涉及两个非空数集A ，B ：A B问题1 {1949，1954，…，1999} ｛542，603，…1246｝问题2 ｛x|x≥0｝ ｛y|y≥0｝问题3 ｛t|0≤t≤24｝ ｛θ|-2≤θ≤9｝存在某种对应法则，对于A 中任意元素x ，B 中总有一个元素y 与之对应.问题1 问题2 单值对应：对于A 中的任一个元素x ，B 中有唯一的元素y 与之对应.或一个输入值对应到唯一的输出值.总结：单值对应为一对一，多对一，而不能一对多.函数的概念：(1)设A ，B 是两个非空的数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数.记为y=f(x)，x ∈A.其中，所有的输入值x 组成的集合A 叫函数的定义域.(2)函数是建立在两个非空的数集上的单值对应，x 叫自变量，y 叫因变量.问：上述的三个问题中的对应是否是单值对应，是否是函数，且函数的定义域是什么？ 答：是的，都上单值对应，同时也都是函数，每个集合都是非空的数集.记忆技巧：在定义的记忆中，要抓住几个关键词，使用定义时要注意数形结合，增加对单值定义的理解.应用示例思路1例1 已知函数f(x)=3+x +21+x . (1)求函数的定义域；(2)求f(-3)，f(32)的值； (3)当a ＞0时，求f(a)，f(a-1)的值.分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.解：(1)使函数有意义，必须满足 x+3≥0，且x+2≠0，化简得到：x≥-3且x≠-2，所以函数的定义域为{x|x≥-3且x≠-2}.(2)f(-3)=-1,f(32)=332++833332321+=+.(3)f(a)=213+++a a ,f(a-1)=1122)1(13)1(+++=+-++-a a a a . 点评：在解题时要注意(3)的求解，此时的x 就是a 、a-1，所以只要把它们作为x 代入. 例2 设一个矩形的周长为80，其中一边长为x ，求它的面积关于x 的函数的解析式，并写出定义域.分析：这是一道应用题，要把一个实际问题转化为数学问题，转化时应注意使实际问题有意义.解：由题意知，另一边长为2280x -，且边长为正数，所以0＜x ＜40. 所以面积s=2280x -·x=(40-x)x,(0＜x ＜40), 所以s(x)=(40-x)x,(0＜x ＜40).点评：引导学生小结几类函数的定义域：(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R .(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.(即求各集合的交集).(5)满足实际问题有意义.例3 下列函数中哪个与函数y=x 相等？(1)y=(x )2；(2)y=33x ；(3)y=2x ；(4)y=x x 2. 分析：(1)构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数).(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.解：(1)、(4)与函数y=x 不相等，因为定义域不同；(3)与函数y=x 不相等，因为对应关系不同；只有(2)与函数y=x 相等.点评：在判断时要注意函数表达式的化简，同时注意化简前后的等价变形，不然就不是原函数了.例4 比较下列两个函数的定义域与值域：(1)f(x)=(x-1)2+1,x ∈{-1,0,1,2,3};(2)f(x)=(x-1)2+1.分析：定义域与值域是函数的两个要素，通过解析式可以得出两者的关系.解：(1)函数的定义域为{-1，0，1，2，3}，因为f(-1)=(-1-1)2+1=5，同理f(0)=2，f(1)=1，f(2)=2，f(3)=5，所以这个函数的值域为{1，2，5}；(2)函数的定义域为R ，因为(x-1)2+1≥1，所以这个函数的值域是{y|y≥1}.点评：函数的值域就是函数值的取值集合，我们可以把函数的值域表示成{y|y=f(x)，x ∈A}.例5 已知函数y=ax ax ++312的定义域为R ，求a 的取值范围. 分析：本题是从函数的定义域的逆向思维的角度来设计的一个问题，所以考虑问题时会有一个暂时的停顿.同时要注意分类思想.解：当a=0时，y=x31，函数的定义域不是R ； 当a≠0时，只要9-4a 2＜0，得a ＞23或a ＜23-. 综上所述，a ＞23或a ＜23-. 点评：对于参数问题的求解，可先把它当作已知的，然后再用相关的知识求解.也就是以退为进.思路2例1 判断下列对应是否为函数：(1)x→x2,x≠0,x ∈R ; (2)x→y,这里y=x 2,x ∈N ,y ∈R ;(3)x→y,这里y 2=x,x ∈N ,y ∈R ;(4)x→y,这里y=x+1,x ∈{1,2,3,4,5},y ∈{0,2,3,4,6}.分析：根据定义来进行判断.解：(1)(2)是函数，(3)(4)不是函数.例2 如下图所示的对应x→y ，能表示函数的是______.分析：可以用与y 轴平行的直线来截，如有两个交点就不是函数图象.答案：A 、D点评：函数概念的要点：(1) A ，B 为非空数集.(2) A 中的任一个元素，B 中都有唯一的元素与之对应；而B 中的元素在A 中的对应元素可以不唯一，也可以没有.从上述三个问题中我们可以看出，函数可以用列表、图象、解析式来表示.对给定的函数必须要指明定义域，对于用解析式表示的函数如果没指明定义域，则认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合.例3 求下列函数的定义域：(1)f(x)=1-x ;(2)f(x)=11+x ;(3)f(x)=1231+-x x. 分析：运用函数的定义域的求法，就是根据满足的几个条件来进行判断和列式. 解：(1) {x|x≥1}；(2){x|x ∈R 且x≠-1}；(3){x|x ∈R 且x≠0且x≥21-}. 点评：注意几个满足条件就可以了.例4 已知函数y=f(x)的定义域是(-1，1)，求y=f(x+1)的定义域.解：因为y=f(x)的定义域是(-1,1),所以-1＜x+1＜1,所以-2＜x ＜0.所以y=f(x+1)的定义域为{x|-2＜x ＜0}.点评：隐函数的定义域要紧扣定义进行求解.例5 已知函数y=a x ax ++32的定义域为R ，求a 的取值范围.解：⎩⎨⎧≤-=∆>,049,02a a ∴a ∈[23,+∞). 点评：挖掘概念的内涵，是解决这类问题的思维的关键.知能训练1.y=x 1111++的定义域是( )A.x≠0的一切实数B.x≠-1且x≠0的一切实数C.x ＞0的一切实数D.x≠0且x≠-1且x≠21-的一切实数 2.如图，在直角坐标系的第一象限内，△AOB 是边长为2的等边三角形，垂直底的直线x ＝t (0≤t≤2)截这个三角形所得阴影部分面积为f(t)，则y=f(t)的图象大致是()3.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤+),2(,2),21(,),1(,22x x x x x x 若f(x)＝3，则x 等于( )A.1B.1或23 C.1，±3 D.3 4.函数y=x x -+-22的定义域是___________，值域是___________.5.(1)若f(x)=x 2+1，则f(3x+2)=___________.(2)若f(x-1)=2x 2-1，则f(x)=_________，f(0)=_________,f(1)=_________,f[f(0)]=_________.6.已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∞∈),,0[,),0,(,12x x x x 求f(x+1).解答：1.D ；2.D ；3.D ；4.{x|x=2},{y|y=0}；5.(1)9x 2+12x+5，(2)2x 2+4x+1，1，7，7；6.解：由已知得：f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈++-∞∈++),,0[1,)1(),0,(1,112x x x x所以f(x+1)=⎪⎩⎪⎨⎧+∞-∈+--∞∈+).,1[,)1(),1,(,112x x x x课堂小结今天我们学习了函数的概念、函数的定义域和值域等，体会用集合间的特殊对应来表示函数，这是学生认识的进步，是今后学习函数的基础.本节课我们从不同的角度对定义域做了研究，在今后学习函数的过程中，应该要求学生一看到函数，马上就要去想它的定义域，避免因定义域的忽略而出现解题的错误.作业课本第28页习题2.1(1) 1、2.设计感想1.注重学生学习函数概念的心理建构过程建构主义学习理论认为：应把学习看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景及情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：(1)问题中所研究的两个变量是相互联系的；(2)其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；(3)对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应.同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构.2.注重函数概念与信息技术适时性、适度性的结合由于初中刚进高中的高一学生，思维较为单一，认识比较具体，注意不够持久，并且高中数学比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习.应用信息技术时要根据教学需要、学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维.函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励、引导学生通过交流与讨论，来更好地学习和理解函数.(设计者：王银娣)第二课时 函数的概念(二)导入新课设计思路一(复习导入)在上节课我们学习了函数的定义，从定义中我们可以看出，构成函数有三个要素：定义域、值域和解析式，在函数的定义中大家要能体会出通过符号来解决问题的思想，也就是把实际的问题抽象成数学问题，函数也是高中数学中抽象思维要求最强的一个知识，也是有着广泛用途的一个数学知识，同时也推动了人类认识的进步.本节课将在上一节课的基础上对函数作更深一个层次的了解.这个认识我们将会在以后的学习中逐步加深.设计思路二(事例导入)函数在数学及实际生活中有着广泛的应用，在我们身边就存在着很多与函数有关的问题，如在我们身边就有不少函数的实例，我们看下面的一个实例：夏天，大家都喜欢吃西瓜，而西瓜的价格往往与西瓜的重量有关.某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元.此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧，可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我钱，当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱.同学们，你知道顾客是怎样识破店主坑人的吗？其实数学问题时刻伴随着我们，只要你注意观察、积累，并学以致用，就能成为聪明人，因为数学可以使人聪明起来.答案：若西瓜重9斤以下则最多应付4.5元，若西瓜9斤以上，则最少也要5.4元，不可能出现5.1元这样的价钱，所以店主坑人了.推进新课新知探究1.函数的概念关键词：任意、唯一.2.构成函数的三要素是:定义域、对应关系和值域.3.函数的值域：若A 是函数y=f(x)的定义域，则对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应.我们将所有输出值y 组成的集合称为函数的值域.应用示例思路1例1 求下列函数的值域：(1)y=x2-;(2)y=x 2+x-1; (3)y=x 2-2x,x ∈[2,3];(4)y=x 2-2x,x ∈[-1,1].分析：这些函数都可以用基本函数的方法来解决，解题时要注意它们的定义域，不然就会造成值域的范围的扩大.解：(1){y|y ∈R ,y≠0}(基本函数法)；(2)[45-,+∞)(基本函数法)； (3)[0，3](函数图象法)；(4)[-1,3](函数图象法).变式训练1.求函数y=x 2-2x,x ∈[-2,5]的值域.解：[-1,15](函数图象法).2.求函数y=x 1-,x ∈(-1,0)∪(0,2)的值域. 解：(-∞,21-)∪(1,+∞)(函数图象法). 点评：函数图象法就是根据基本函数的图象，通过已知的图象来观察出要解决的函数的值域的方法，主要从图象的高低来进行判断.例2 若一次函数y=f(x)满足f(1)=1,f(-1)=3，求f(x)的解析式.分析：一次函数是一条直线，有两个点，直线就会被唯一确定，所以本题使用待定系数法就很容易求得.解：设f(x )=ax+b,(a≠0)(待定系数法)，由题意可得⎩⎨⎧=+-=+,3,1b a b a 解得⎩⎨⎧=-=,2,1b a 所以f(x)=-x+2.点评：使用待定系数法时，在设系数时要注意符合一次函数的定义，同时在解方程时要依据所设的条件，注意增根和减根的现象.例3 二次函数y=f(x)对任意x ∈R ，有f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x ，求f(x)的解析式.分析：本题根据恒等式的特征进行解题，所以在代入计算时要有足够的耐心进行计算，同时要保证计算的准确性.解：设f(x)=ax 2+bx+c,(a≠0)，由题意可得a(x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2x 2-4x,即2ax 2+2bx+(2a+2c)=2x 2-4x,所以⎪⎩⎪⎨⎧=+-==,022,42,22c a b a 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==,1,2,1c b a所以f(x)=x 2-2x-1.点评：与例2的解法相似，但有其自身的特点，复杂的程度比一次的高，所以计算的时候准确性要注意，不然即使方法正确，答案也容易错.例4 y=f(x)满足f(x+1)=x 2-7x-1，求f(x)的解析式.分析：本题求函数的解析式是从配凑法、换元法的角度来解决这个问题，在运算过程中，要明白解题的目的.解法一：f(x+1)=x 2-7x-1=(x+1)2-9x-2=(x+1)2-9(x+1)+7，所以f(x)=x 2-9x+7.解法二：令x+1=t ，所以x=t-1，代入可得f(t)=(t-1)2-7(t-1)-1=t 2-9t+7，所以f(x)=x 2-9x+7.点评：这两种求函数解析式的方法比较常见，其中配凑法要在目的的导引下来进行有效的变形，换元法比较容易操作.例5 函数y=f(x)满足f(x x 1+)=221xx x ++，求f(x)的解析式. 分析：本题看上去比较复杂，但是方法仍用配凑法，当然也可以用换元法，下面就这两种方法分别给出解答，然后观察比较.解：(换元法)令x x 1+=t ，则x=11-t ，代入可得 f(t)=22)1(11)1(1)1(1-+-+-t t t =1+(t-1)+(t-1)2=t 2-t+1,所以f(x)=x 2-x+1. 另解：(配凑法)f(x x 1+)=221x x x ++=222212xx x x x x +--++=(x x 1+)2-x x 1++1，所以f(x)=x 2-x+1. 点评：两种方法比较下来，我们感觉第一种容易上手，易于操作，学生也比较容易把握，方法二要求技巧性比较强，对基础好的同学可以作要求，它能培养学生的观察能力.思路2例1 已知f(x)=x1,g(x)=x 2+x+1，求f[g(2)]和g[f(2)]的值. 分析：这是一个求函数值的问题，它分为两层，从里层开始计算，一层一层地计算，实际上就是按照函数的定义来进行分解.解：f[g(2)]=f(7)=71,g[f(2)]=g(21)=47. 点评：学生对这类问题的求解，开始的时候有点难，但随着对函数定义的理解，这类问。
函数的概念和图象(第1课时函数的概念)-高一数学教学课件(苏教版2019必修一)
课本练习
4. 判断下列对应是否为函数：
是
1
2
(1) x→－ x，x∈R；
(2) x→1，x∈R；
是
(3) x→y，其中 y＝∣x∣，x∈R，y∈R；
是
(4) t→s，其中s＝t，t∈R，s∈R；
是
(5) x→y，其中y＝x，x∈ [0，＋∞)，y∈R；
1199
1258
1300
1335
1368
概念归纳
一、函数
(1) 概念：
①定义：一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对
于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有______的实数y和它对应，那么就称f：
唯一
A→B为从集合A到集合B的一个函数.
② 记法：y＝f(x)，x∈A.
③定义域：x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；
(6) x→y，其中y为不大于的最大整数，x∈R，y∈Z.
不是
是
课本练习
5.
1
2
已知函数f(x)＝x－x ，求f(0)，f(1)，f( )，f(n＋1)－f(n).
2
解 ∵f(x) ＝ x－x2；
∴f(0) ＝ 0－02 ＝ 0；
f( ＝ 1－12 ＝ 0；
1
f( )
2
＝
1
1 2
－( )
2
2
＝
国人口的变化情况吗?
表5-1-1 1979~2014 年我国人口数据表
年份
1979
1984
1989
1994
1999
2004
2009
2014
人口数/百万
蒋王中学2.1.1函数的概念和图象(1)
第二章、函数概念与基本初等函数2．1．1 函数的概念和图象（1）一、学习目标：1、理解函数的概念，了解函数的三要素；2、通过对函数抽象符号的认识与使用，提高在符号表示方面的能力；3、通过函数定义由变量观点向映射观点的过渡，从发展与联系的角度看待数学学习。
重点、难点：理解函数的概念与要素。
二、课前自学：阅读必修一第21—23页并完成下列问题。
1、一物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式29.4x y =，若一物体下落2s ,则该物体下落的距离_____m 。
2、江苏高考成绩查分热线，当你输入一考生的准考证号码，就对应得到该考生的高考成绩，你还能找到类似的对应吗？3、你能抽象出函数的定义吗？4、下列对应中是函数的有________（1）R x x xx ∈≠→,0,2； （2）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里； （3）R y R x x y y x ∈∈=→,,,这里（4）Z y Z x x y y x ∈∈=→,,,这里5、对于函数B A f →:而言，集合B 一定是其值域C 吗？6 、必修一第24页1、2。
三、问题探究例1、下列各组中的两个函数是否是同一函数？（1）22)(x y x y ==与； （2）2)()(t t g x x f ==与（3）11)(1)(2-⋅+=-=x x x g x x f 与； （4）1)(11)(2+=--=x x g x x x f 与例2、已知),(2)(),1,(11)(2R x x x g x R x x x f ∈+=-≠∈+=求： （1）的值)2(),2(g f ； （2）))2((g f 的值。
例3：求下列函数的定义域：（1）1)(-=x x f ； （2）11)(+=x x g ； （3）11)(+=x x f ； （4）14)(2--=x x x g例4：求下列函数的值域：（1）}3,2,1,0,1{,1)1()(2-∈+-=x x x f ； （2）42)(2+-=x x x g四、反馈小结反馈：必修一第24页3、4、5、6；第28页2。
2020-2021学年苏教版必修1 2.1.1 第1课时 函数的概念 学案
2.1函数的概念2．1.1函数的概念和图象第1课时函数的概念1.了解构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域．2.理解函数的概念．3.掌握求函数定义域的方法．[学生用书P15]函数的概念一般地，设A、B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域，与输入值x对应的所有输出值y组成的集合称为函数的值域．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应法则确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．函数f(x)＝xx－1的定义域为()A．[0，1)B．(1，＋∞)C．[0，1)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)答案：C3．已知f(x)＝x2＋1，则f(2)＝________，若f(x)＝3，则x＝________．答案：5 ±2相同函数的判断[学生用书P15]下列各组函数是否表示同一函数？ (1)f (x )＝2x ＋1与g (x )＝4x 2＋4x ＋1； (2)f (x )＝x 2－xx与g (x )＝x －1；(3)f (x )＝2x －1(x ∈Z )与g (x )＝2x ＋1(x ∈Z )．【解】 (1)g (x )＝（2x ＋1）2＝|2x ＋1|与f (x )＝2x ＋1对应法则不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(2)f (x )＝x 2－xx ＝x －1(x ≠0)与g (x )定义域不同，因此f (x )与g (x )不是同一个函数．(3)f (x )与g (x )对应法则不同，不是同一个函数．(1)当一个函数的对应法则和定义域确定后，其值域也随之得到确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，为同一个函数．(2)讨论函数是否为同一个函数问题时，要保持定义域优先的原则，判断两个函数是否相等，要先求定义域，若定义域不同，则不相等；若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应法则是否相同．1.下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( )A ．f (m )＝2m －1(m ＞2)B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )C ．f (x )＝2x ＋1(x ＞2)D ．f (x )＝x －2(x ＜－1)解析：选A.对于A ，函数y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应关系均相同，故为相等的函数；对于B ，两函数的定义域不同，因此不是相等的函数；对于C ，两函数的对应关系不同，因此不是相等的函数；对于D ，两函数的定义域与对应关系都不相同，故也不是相等的函数．求函数的定义域[学生用书P16]求下列函数的定义域： (1)y ＝（x ＋1）2x ＋1－1－x ；(2)y ＝5－x|x |－3.【解】 (1)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，1－x ≥0，解得x ≤1，且x ≠－1，即函数的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}．(2)要使函数式有意义，自变量x 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧5－x ≥0，|x |－3≠0，解得x ≤5，且x ≠±3，即函数的定义域为{x |x ≤5，且x ≠±3}．(1)①求函数的定义域，其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为准则，其原则有：a.分式中分母不为零；b ．偶次根式中，被开方数非负；c.对于y ＝x 0要求x ≠0.d.实际问题中函数定义域，要考虑实际意义．②函数的定义域一定要用集合或区间的形式表示．(2)第(1)题易出现y ＝x ＋1－1－x ，错求定义域{x |x ≤1}，在求函数定义域时，不能盲目对函数式变形．2.求下列函数的定义域：(1)f (x )＝11－x ＋x ；(2)f (x )＝1－x ＋11＋x.解：(1)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≠0，x ≥0，所以x ≥0且x ≠1，所以f (x )＝11－x＋x 的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1＋x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x >－1，即－1<x ≤1，所以f (x )＝1－x ＋11＋x的定义域为(－1，1]． 求函数值和值域[学生用书P16]已知f (x )＝12－x (x ∈R ，x ≠2)，g (x )＝x ＋4(x ∈R )．(1)求f (1)，g (1)的值； (2)求f [g (x )]．【解】 (1)f (1)＝12－1＝1，g (1)＝1＋4＝5.(2)f [g (x )]＝f (x ＋4)＝12－（x ＋4）＝1－2－x ＝－1x ＋2(x ∈R ，且x ≠－2)．1．在本例条件下，求g [f (1)]的值及f (2x ＋1)的表达式． 解：g [f (1)]＝g (1)＝1＋4＝5.f (2x ＋1)＝12－（2x ＋1）＝－12x －1⎝⎛⎭⎫x ∈R ，且x ≠12. 2．若将本例g (x )的定义域改为{0，1，2，3}，求g (x )的值域． 解：因为g (x )＝x ＋4，x ∈{0，1，2，3}， 所以g (0)＝4，g (1)＝5，g (2)＝6，g (3)＝7. 所以g (x )的值域为{4，5，6，7}．(1)求函数值的方法①先要确定出函数的对应关系f 的具体含义，②然后将变量取值代入解析式计算，对于f [g (x )]型的求值，按“由内到外”的顺序进行，要注意f [g (x )]与g [f (x )]的区别．(2)求函数值域的常用方法①观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；②配方法：此法是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；③分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；④换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．3.求下列函数的值域：(1)y ＝2x ＋1；(2)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1，5)； (3)y ＝3x －1x ＋1；(4)y ＝x ＋x .解：(1)因为x ∈R ，所以2x ＋1∈R ， 即函数的值域为R .(2)配方：y ＝x 2－4x ＋6＝(x －2)2＋2，因为x ∈[1，5)，如图所示． 所以所求函数的值域为[2，11)． (3)借助反比例函数的特征求．y ＝3（x ＋1）－4x ＋1＝3－4x ＋1，显然4x ＋1可取0以外的一切实数，即所求函数的值域为{y |y ≠3}． (4)设u ＝x (x ≥0)，则x ＝u 2(u ≥0)， y ＝u 2＋u ＝⎝⎛⎭⎫u ＋122－14(u ≥0)． 因为由u ≥0，可知⎝⎛⎭⎫u ＋122≥14，所以y ≥0.所以函数y ＝x ＋x 的值域为[0，＋∞)．理解函数的概念应关注五点(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(4)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式． (5)除f (x )外，有时还用g (x )、u (x )、F (x )、G (x )等符号来表示函数．判断下列对应是否为函数： (1)x →2x，x ≠0，x ∈R ；(2)x →y ，这里y 2＝x ，x ∈N ，y ∈R ；(3)集合A ＝R ，B ＝{－1，1}，对应关系f ：当x 为有理数时，f (x )＝－1；当x 为无理数时，f (x )＝1，该对应是不是从A 到B 的函数？(4)A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，B ＝R .对任意的(x ，y )∈A ，(x ，y )→x ＋y .[解] (1)是，对于任意一个非零实数x ，2x 被x 唯一确定，所以当x ≠0时，x →2x 是函数．这个函数也可以表示为f (x )＝2x(x ≠0)．(2)不是，当x ＝4时，y 2＝4，得y ＝2或y ＝－2，不是有唯一值和x 对应，所以x →y (y 2＝x )不是函数．(3)是，满足函数的定义，在A 中任取一个值，B 中有唯一确定的值和它对应． (4)不是，因为集合A 不是数集．(1)错因：判断一个从A 到B 的对应是否为函数，易忽视定义域应为非空数集的要求，还容易忽视A 中任一元素在B 中都要有元素与之对应的判断，好多同学只判断A 中元素在B 中的对应元素是否唯一．(2)防范：函数是一种特殊的对应，要检验给定两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：①定义域和对应关系是否给出；②对定义域内的任一x ，是否在B 中存在唯一的值与之对应．1．函数f (x )＝1＋x －2x 的定义域是( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．[－1，0)∪(0，＋∞)D ．R解析：选C.要使函数有意义，x 的取值需满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，x ≠0，解得x ≥－1，且x ≠0，则函数的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)．2．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f （2）f ⎝⎛⎭⎫12等于( )A ．1B ．－1 C.35D ．－35解析：选B.f (2)＝35，f ⎝⎛⎭⎫12＝－35，所以f （2）f ⎝⎛⎭⎫12＝－1.故选B.3．已知函数f (x )＝x ＋2x －6，则f (f (14))＝________；若f (x )＝3，则x ＝________.解析：f (14)＝14＋214－6＝168＝2，故f (f (14))＝f (2)＝2＋22－6＝－1；由f (x )＝x ＋2x －6＝3，解得x ＝10.答案：－1 104．设一个函数的解析式为f (x )＝2x ＋3，它的值域为{－1，2，5，8}，则此函数的定义域为__________．解析：分别令y ＝－1，2，5，8解出x ＝－2，－12，1，52.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－12，1，52[学生用书P88(单独成册)])[A 基础达标]1．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3B ．y ＝x 2－1与y ＝x －1C ．y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)D ．y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z解析：选C.A 项中两函数的定义域不同；B 项，D 项中两函数的对应关系不同．故选C.2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x解析：选C.若f (x )＝|x |，则f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )；若f (x )＝－x ，则f (2x )＝－2x ＝2f (x )；若f (x )＝x ＋1，则f (2x )＝2x ＋1，不满足f (2x )＝2f (x )．3．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：选 B.y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．4．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正数，且f (f (－1))＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．2解析：选A.因为f (x )＝ax 2－1，所以f (－1)＝a －1， f (f (－1))＝f (a －1)＝a ·(a －1)2－1＝－1. 所以a (a －1)2＝0.又因为a 为正数，所以a ＝1.5．函数f (x )＝（x －1）04－2x的定义域用区间表示为________．解析：要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2)． 答案：[0，1)∪(1，2) 6．函数y ＝1－1x的值域为________．解析：定义域要求1－1x ≥0且x ≠0，故有1－1x ≥0且1－1x ≠1，所以函数的值域为{y |y ≥0且y ≠1}． 答案：{y |y ≥0且y ≠1}7．如果函数f ：A →B ，其中A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，对于任意a ∈A ，在B 中都有唯一确定的|a |和它对应，则函数的值域为________．解析：由题意知，对a ∈A ，|a |∈B ， 故函数值域为{1，2，3，4}． 答案：{1，2，3，4}8．若函数f (x )的定义域为[－2，1]，则g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤1，－2≤－x ≤1，即－1≤x ≤1.故g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1，1]． 答案：[－1，1]9．已知函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域为R ，求实数k 的值．解：函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1的定义域即是使k 2x 2＋3kx ＋1≠0的实数x 的集合．由函数的定义域为R ，得方程k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解． 当k ＝0时，函数y ＝kx ＋1k 2x 2＋3kx ＋1＝1，函数定义域为R ，因此k ＝0符合题意；当k ≠0时，k 2x 2＋3kx ＋1＝0无解，即Δ＝9k 2－4k 2＝5k 2<0，不等式不成立．所以实数k 的值为0.10．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝6x 2－3x ＋2；(2)f (x )＝3x －1＋1－2x ； (3)f (x )＝(x －2)0＋2x ＋1. 解：(1)要使函数有意义，只需x 2－3x ＋2≠0， 即x ≠2且x ≠1.所以函数的定义域为{x |x ∈R ，x ≠2且x ≠1}．(2)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧3x －1≥0，1－2x ≥0，解得13≤x ≤12，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13≤x ≤12. (3)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧x －2≠0，2x ＋1≥0，x ＋1≠0，解得x >－1且x ≠2，所以函数的定义域为{x |x >－1且x ≠2}．[B 能力提升]1．已知f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (72)等于( ) A ．p ＋q B ．3p ＋2q C ．2p ＋3qD ．p 3＋q 2解析：选B.因为f (ab )＝f (a )＋f (b )， 所以f (9)＝f (3)＋f (3)＝2q ， f (8)＝f (2)＋f (2)＋f (2)＝3p ，所以f (72)＝f (8×9)＝f (8)＋f (9)＝3p ＋2q .2．已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________．解析：法一：因为f (x )＝1x ＋1，所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}．法二：因为f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋1＝x ＋1x ＋2，所以x ＋2≠0 且x ＋1≠0，即x ≠－2且x ≠－1.所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}． 答案：{x |x ≠－2且x ≠－1}3．若函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[－1，2]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． 解析：由题意易得y ＝f (x ＋1)中的x 满足－1≤x ≤2，所以0≤x ＋1≤3，所以函数y ＝f (x )的定义域为[0，3]．答案：[0，3]4．(选做题)已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12，f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13的值； (2)求证：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x 是定值；(3)求2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017的值． 解：(1)因为f (x )＝x 21＋x 2，所以f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝221＋22＋⎝⎛⎭⎫1221＋⎝⎛⎭⎫122＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝321＋32＋⎝⎛⎭⎫1321＋⎝⎛⎭⎫132＝1. (2)证明：f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 21＋x 2＋⎝⎛⎭⎫1x 21＋⎝⎛⎭⎫1x 2＝x 21＋x 2＋1x 2＋1＝x 2＋1x 2＋1＝1，是定值． (3)由(2)知，f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1， 因为f (1)＋f (1)＝1， f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝1， f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＝1， f (4)＋f ⎝⎛⎭⎫14＝1， …f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝1，所以2f (1)＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫13＋…＋f (2 016)＋f ⎝⎛⎭⎫12 016＋f (2 017)＋f ⎝⎛⎭⎫12 017＝2 017.。
高一数学教案课题：函数的概念和图象(1).doc
课题：函数的概念和图象（1）一、阅读课本完成下列问题：1.函数的概念：设A 、B 是两个 ，如果按某种对应法则f,对于集合A 中的 在集合B 中 和它对应，这样的对应叫从A 到B 的一个 ，通常记为 其中所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y=f(x)的 ，与输入值对应的输出值y 组成的集合叫函数的 。
2.函数的三要素是 、 、1．函数的定义：（1）传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有＿＿＿＿＿＿＿＿与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，自变量x 的取值的集合叫做＿＿＿＿＿＿，自变量x 的值对应的y 的值叫做＿＿＿＿＿，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）近代定义：如果,A B 都是非空的数集，那么A 到B 的映射f ：A B →就叫做A 到B的函数，记作()y f x =，其中x A ∈，y B ∈，原象的集合叫做函数()y f x =的定义域，象的集合C （C B ⊆）叫做函数()y f x =的值域。
2、函数的三要素问题1）、若给出两个函数()()2,x x g x x f ==，它们是否是同一函数？如何判断两个函数是否为同一函数问题2）、如何理解函数符号()x f ？以()53+=x x f 为例作出解释。
问题3）、假设A 、B 是两个非空的数集，()x f 是从集合A 到集合B 的一个函数。
那么A 就是这个函数的定义域，B 就是这个函数的值域吗？ 3、函数的图象问题：垂直于x 轴的直线与一个函数图象交点可以有哪些情况？三、师生研究：例1课本（P22例1）变：设{}{}20,20≤≤=≤≤=y y N x x M ，给出下列4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有 个例题2课本（P22例2）变：1、判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y52-=x y （2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y（3）x x f =)( 2)(x x g = （4）x x f =)( 33)(x x F =（5）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f变：2、已知函数f(x)=x 2+1,求 (1) f(0),f(1),f(a) (2) f(2a),f(2x),f(x+1)(3)求f[f(x)],并比较与[f(x)]2是否相等。
苏教版高三数学复习课件2.1 函数的概念和图象
【例3】 (2009·湖北联考题)已知函数f(x＋2)＝
求f
·f(－2)的值．
及f(－2) 代入后求得要求的值．
思路点拨：分别求出f
解：∵f
＝tan
＝1.而f(－2)＝f(－4＋2)
＝log2[－(－4)]＝log24＝2.
∴f
·f(－2)＝2.
变式4：(2010·北京东城质检题)设函数f(x)＝
道了，所以，若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求
出来了． 6．纠正“函数就是解析式”的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约， 而且其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理问题的 指导．能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的 解析式．
7．函数的常用表示方法，及各自的优点． (1)表示函数的记法是y＝f(x)，常用方法是解析式、列表法、图象法． (2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做 这个函数的解析表达式，简称解析式．用解析法表示函数的优点是：①函数 关系清楚；②给自变量一个值，可求它的函数值；③便于研究函数的性质．
(2)用 等式 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通
常叫做函数的解析表达式，简称解析式．
(3)用 图象 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
4．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通 分段函数 常叫做 5．映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个 元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集 映射 合B的 ．
变式3：求下列函数的定义域： (1) ；(2)y＝loga(ax－1)(a＞0且a≠1)．
解：(1)由
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第2章 §2.1 函数的概念及其表示
3.已知 f(x3)＝lg x，则 f(10)的值为
A.1
B.3 10
√C.13
1
令x3＝10，则x＝103.
1 D. 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
考试要求
1.了解函数的含义. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
内容索引
第一部分
落实主干知识
第二部分
探究核心题型
第三部分
教材改编题
y＝x－2 1与 v＝t－2 1的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相 同，所以是同一个函数，故选项 D 正确.
教材改编题
3.已知函数 f(x)＝lenx，x，x≤x>00，，
则函数
f
f
13等于
A.3
B.－3
√C.13
D.－13
由题意可知，f 13＝ln 13＝－ln 3，
思维升华
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其 中的x的取值集合； (2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求出； (3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在 [a，b]上的值域.
课时精练
第
一 部 分
落实主干知识
知识梳理
1.函数的概念 一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意 一个数x， 按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 唯一确定 的数y和它对应，那 么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素 (1)函数的三要素： 定义域 、 对应关系 、 值域 . (2)如果两个函数的 定义域 相同，并且 对应关系 完全一致，则这两个函 数为同一个函数.
2.1.1函数的概念和图像 课件
建构数学
(1)
1
1
2
3
2
4
5
3
6
(2)
1
1
-1
2
4
-2
3 -3
9
A 乘2 B
A 平方 B
f(x)=2x
建构数学
观察下列两个非空数集A、B的元素之间 的对应关系，它们有什么共同点？
1
1
2
3
2
4
5
3
6
A 乘2 B
(1)
1
1
-1
2
4
-2
3 -3
9
A 平方 B
(2)
1
1
2
1/2
3
4
1/3
1/4
A 求倒数 B
(3)
建构数学
函数的定义： 设A、B是非空 的数集 ，如果按照某种对应
法则f，对于集合A中的每一个 数x，在集合B中 都有惟一 的元素y和它对应，这样的对应叫做 从A到B的一个函数 ，通常记为
f(x)=x2
x∈{1,2,3} x∈{-3,-2,-1,1,1/2
3
4
1/3
1/4
A 求倒数 B
g(x)=1/x x∈{1,2,3,4}
回顾反思 理解函数的定义我们要注意些什么呢？
1.函数是非空数集到非空数集上的一种对应；
2.集合A中每一个元素在集合B中有唯一输出值， 集合B中每一个元素在集合A中未必有输入值；
2013版高考数学 2.1.1 第1课时 函数的概念课件 苏教版必修1
提升总结：求函数的值域需要注意的问题有哪些？
（1）要看清函数的定义域；
（2）最后的结果一定要写成区间或集合的形式。
1.函数y
1 的定义域是 _____ x 1
【解析】要使函数式有意义，须满足x 1 0 x -1.故定义域为 -1, . 【答案】 -1, .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ二次函数
(a 0)
R
例 1 判断下列对应是否为函数： 2 （1）x ,x 0 ,x R; x （2）x y ,这里 y 2 x ,x N ,y R
函数的定义
（2）考虑输入值为4，即当x=4时输出值y由 y 2 = 4 给 出，得y=2和y=-2.这里一个输入值与两个输出值对应（不
当x 2时，y 4.9 22 19.6 m
3.如图为某市一天24小时内的气温变化图。
(1)全天的最高、最低气温分别是多少？
9 ℃、-2 ℃
(2)在什么时刻，气温为0℃? 7时与23时
(3)在什么时段内，气温在0℃以上？7时-23时
θ/℃
10 8 6 4 2
O -2
2
4
6
8
10
函数的值域为 1，2，5 .
2 （2）函数的定义域为 R, 因为（x 1） 1 1 ,所以这个函
数的值域为 y y 1 .
求下列函数的值域：
2 （ 1 ）f ( x) （x -1） 1；
（2）f ( x) x 1，x 1 ，2
解：（1）值域为 {y y ? （2）值域为 (2 ，3 ]. 1} .
例 2 求下列函数的定义域： （1）f ( x) x 1 1 （2）g(x) x 1
《函数的概念与基本初等函数Ⅰ》
2.对数的运算性质:
对数运算有如下性质: log a MN log a M log a N , M log a log a M log a N N 其中 a 0, a 1, M 0, N 0
1 2
当a 0, a 1, M 0时, log a M n n log a M , n R .
proper num ber .
通常将以10为底的对数称为常用对数 commonlog arithm.
在科学技术中 常常使用以e 为底的对 , 数, 这 种 对数 称为自然对数 ( natural log arithm) , e 2.71828 是 一个无理 数 .正数N 的自然对数loge N 一般记为 ln N .
对数函数的图象与性质
a 1
0 a 1
图象见几 何画板 图象见几 何画板
图 象
1定义域: 0,; 2值域: R ; 性 3图象过点1,0; 4 在0,上是
质
单调增函数;
在0,上是 单调减函数;
那么它的反函数记作 f 1 x . y
为y a x的反函数.一般地, 如果y f x 存在反函数,
yx
1
(1,1)
1 2
2 在第一象限内, 函数的图
象随 x 的增大而上升 函数在 , 区间0,上是单调增函数.
y x3
O
1
x
§2.5函数与方程
1.二次函数与一元二次方程
当a 0 时, 可以得到方程ax2 bx c 0的根与函数 y ax2 bx c 的图象之间的关系如下表所示. ,
1
1 定义域: R ; 2 值域: 0, ; 性 3图象过定点0,1; 质 4 在R上 在R上是
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2.1.1 函数的概念和图象（一）
一、教学目标
1．知识与技能
（1）能利用集合与对应关系的语言来刻画函数
（2）了解函数的定义域及对应法则的含义
2．过程与方法
经历函数概念的发生过程，并归纳函数的概念，提高学生解决问题的能力和语言表达能力．
3．情感、态度与价值观
在探索函数本质的过程中,体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型,使学生养成运用无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯．二、重点难点
教学重点：利用集合与对应关系的语言来刻画函数
教学难点：对应法则f的理解
三、教学过程
（一）创设情境
我们生活在这个世界上，每时每刻都在感
受其变化．请大家看下面的实例：
（1）一枚炮弹发射，经26秒后落地击中
目标，射高为845米，炮弹距地面高度h（米）
随时间t（秒）的变化而变化，其规律是
2
=-．
1305
h t t
（2）近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空臭氧层空洞面积随时间变化而变化情况．
（3）国际上常用恩格尔系数（食物支出金额÷总支出金额）反映一个国家人民生活质量的高低．从下表中的数据，可以看出“八五”计划以来我们城镇居民的生活质量发生了显著的变化．
（二）讲解新课
问题1：在上面的每一个变化过程中，存在哪些变化的量？这些变化过程有什么共同的特点？
问题2：在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？
问题3：如何用集合的观点来理解函数的概念？
每一个问题均涉及两个非空数集A、B的关系．存在某种对应法则f，对于A 中的某个元素x，B中总有一个元素y与之对应．
问题4：如何理解对应法则f ？
问题5．如何用集合的观点来表述函数的概念？
给出函数的定义．指出对应法则和定义域是构成一个函数的要素．
一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则 f，对于集合A 中的每一个元素 x，在集合B中都有惟一的元素 y和它对应，这样的对应叫做从A到 B的一个函数，通常记为y＝f (x)，x ∈A．
其中，所有的输入值 x组成的集合A叫做函数y＝f (x)的定义域．
函数的近代定义：集合语言、对应的观点．
在掌握函数时，必须把握以下几点：
（1）函数是一种特殊的对应f：B
A→，集合A，B是非空的数的集合．（2）对应法则的方向是从A到B．
（3）特别注意“非空”、“数集”、“每一个”、“惟一”这几个关键词．例1 判断下列对应是否为集合A到 B的函数：
（1）A＝｛1，2，3，4，5｝，B＝｛0，2，4，6，8｝， x ∈A，f：x→2x；（2）A＝R，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y＝x；
（3）A＝[0，＋∞)，B＝R，x ∈A，f：x → y ，y2＝x．
解（1）对于集合A中的元素5，在集合B找不到中所对应的元素10，故这个对应不是从集合A到 B的函数；
（2）对于任意一个实数x，x被x惟一确定，所以这个对应是从集合A到 B 的函数，这个函数也可以表示为 f (x)＝x；
（3）考虑输入值为4，即当x＝4 时输出值y，由y2＝4给出，得y＝2和 y ＝－2．这里一个输入值与两个输入值对应（不是单值对应），所以，x → y（y2＝x）不是函数．
研究函数时，除了符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号表示．例2 已知函数f(x)=3x2-5x+2，求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)．
分析求x分别等于3、-2、a、a+1时函数f(x)的值．
解 f(3)=3×32-5×3+2=14，
f(-2)=3×(-2)2-5×(-2)+2=8+52，
f(a)=3a2-5a+2，
f(a+1)=3(a+1)2-5(a+1)+2=3a2+a．
说明：区别符号f(x)和f(a)，f(a)表示x＝a时函数f(x)的值，而f(x)是一个函数．
（三）课堂小结
1．函数的集合观点的概念及其与初中的定义的区别.
2．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的抽象的数学表示，f是对应法则，它可以是解析式，也可以是图象、表格．
（四）课后作业
P24练习Ex 5，6；P28习题 1，2，5．。