求数列通项公式的各种方法(非常全)

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龙文教育个性化辅导授课教案

教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 课题：数列的通项公式

教学目标：掌握数列通项公式的求法 教学重难点：构造等差等比数列

一、教学内容：

一、利用

{

1(2)1(1)

n n S S n S n n a --≥==

例1．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数

2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；

解：

22(1)4

2

31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--

23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时

当2,62

6 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分

练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列

{a n }的通项a n

解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，②

由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2)

当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;

当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3

2．设数列{}n a 的前n 项的和

1412

2333

n n n S a +=

-⨯+，1,2,3,n =

（Ⅰ）求首项1a 与通项n a ；

（Ⅱ）设2n

n n

T S =，1,2,3,

n =，证明：1

32

n

i i T =<

∑ 解：（I ）

2111412

2333a S a ==-⨯+

，解得：12a =

1n n +(1)3n +-+n

22

2(

3(333)3

-++11n +-22(

3-32

1)32]a a ⋅

⋅⋅⋅⋅⨯32

a a ⋅

⋅⋅

n -n 3

2

a a ⋅

⋅=

31(1)(2)n n a n -++-≥，22n a ==取得2=

。2

n 3

a ⋅

⋅{}1n a ∴+是以1n a ∴+=

2

!2

3

⋅⋅

a

lg lg

龙文教育教务处：

学生作业：

教师： 学生： 时间： 2012 年 月 日

1、 在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

2、已知数列{}n a 中，311=

a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

3、已知数}{n a 的递推关系为4321+=

+n n a a ，且11=a 求通项n a 。

4、在数列{}n a 中，11=a ,22=a ，n n n a a a 3

13212+=

++，求n a 。