《圆与圆的位置关系》练习题
2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)(解析版).
2.5直线与圆、圆与圆的位置关系(精练)1直线与圆的位置关系1.(2022·山东滨州)已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,圆22:20C x y x +-=,则直线l 与圆C 的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】D【解析】直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=,即2(2)(2)(35)0x m x y m x y -+-++-=,由2020350x x y x y -=⎧⎪-=⎨⎪+-=⎩解得21x y =⎧⎨=⎩,因此,直线l 恒过定点(2,1)A ,又圆22:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,显然点A 在圆C 外,所以直线l 与圆C 可能相离,可能相切,也可能相交,A ,B ,C 都不正确,D 正确.故选:D2(2021·黑龙江)直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--,半径为2,圆心到直线的距离为341125-+=,所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切.故选:B3.(2022·辽宁·瓦房店市高级中学高二期末)直线()1R y kx k =+∈与圆22(1)(1)4x y -+-=的位置关系是()A .相交B .相切C .相离D .不确定【答案】A【解析】直线()1R y kx k =+∈恒过定点()0,1,又22(01)(11)14-+-=<,即点()0,1在圆22(1)(1)4x y -+-=内部,所以直线与圆相交;故选:A4.(2022·湖北省武汉市汉铁高级中学高三阶段练习)直线230kx y k +--=与圆22450x y x +--=的位置关系是()A .相离B .相切C .相交D .相交或相切【答案】C【解析】直线230kx y k +--=即()()320k x y -+-=,过定点()3,2,因为圆的方程为22450x y x +--=,则223243540+-⨯-=-<,所以点()3,2在圆内,则直线与圆相交.故选:C5.(2021·重庆市两江中学校高二阶段练习)已知过点(3,1)P 的直线与圆22(1)(2)5x y -+-=相切,且与直线10x my --=垂直,则m =()A .12-B .12C .2-D .2【答案】C【解析】设过点(3,1)P 的直线为l .(1)当l 的斜率不存在时,直线l :3x =.圆22(1)(2)5x y -+-=的圆心到l 的距离为312-=≠,所以不是圆的切线,不合题意.(2)当l 的斜率存在时,直线l :()13y k x -=-.=k =2.因为l 与直线10x my --=垂直,所以121m⨯=-,解得:m =-2.故选:C6.(2022·全国·高二课时练习)若直线:420l kx y k -++=与曲线y =有两个交点,则实数k 的取值范围是()A .{}1k k =±B .3{|}4k k <-C .3{|1}4k k -≤<-D .3{|1}4k k -≤<【答案】C【解析】由题意,直线l 的方程可化为(2)40x k y +-+=,所以直线l 恒过定点(2,4)A -,y =可化为224(0)x y y +=≥其表示以(0,0)为圆心,半径为2的圆的一部分,如图.当l 与该曲线相切时,点(0,0)到直线的距离24221kd k +==+,解得34k =-.设(2,0)B ,则40122AB k -==---.由图可得,若要使直线l 与曲线24y x =-314k -≤<-.故选:C.7.(2022·贵州遵义·高二期末(文))若直线():100l ax by ab +-=>始终平分圆()()22:124C x y -+-=的周长,则11a b+的最小值为()A .322+B .6C .7D .32+【答案】A【解析】圆C 的圆心为()1,2C ,由题意可知,直线l 过圆心C ,则21a b +=,因为0ab >,则0a >且0b >,因此,()1111222332322b a b a a b a b a ba b a b ⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭当且仅当2a b 时,等号成立,故11a b+的最小值为322+.故选:A.8.(2022·广西梧州·高二期末(文))已知对任意的实数k ,直线l :0kx y k t --+=与圆C :2210x y +=有公共点,则实数t 的取值范围为()A .[3,0)-B .[3,3]-C .(,3](0,3]-∞-D .(,3)[0,3]-∞-【答案】B【解析】由直线0kx y k t --+=可化为(1)-=-y t k x ,则直线l 过定点(1,)t ,因为直线l :kx y k t --+0=与圆C :2210x y +=有公共点,所以定点(1,)t 在圆C 上或圆C 内,可得22110t +≤,解得33t -≤≤,故选:B9.(2022·江西上饶·高二期末(文))已知直线2y kx =-与圆22(1)1x y -+=相交,则实数k 的取值范围是()A .3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B .3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C .3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由题意,圆心()1,0到直线20kx y --=1,即22441k k k -+<+,解得34k >故选:D10.(2022·浙江·温州中学高二期末)已知直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,则实数k 的取值范围是()A .3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C .30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为直线10kx y k -+-=与圆22(2)1x y -+=有两个不同的交点,1<,即2860k k -<,解得304k <<,所以实数k 的取值范围是30,4⎛⎫⎪⎝⎭,故选:B.2直线与圆的弦长1.(2021·浙江高二期末)已知过点()1,3P 的直线l 被圆()2224x y -+=截得的弦长为l 的方程是()A.43130x y +-=B.34150x y +-=C.34150x y +-=或1x =D.43130x y +-=或1x =【答案】D【解析】圆()2224x y -+=的圆心为点()2,0,半径为2r =,圆心到直线l 的距离为1d ==.①若直线l 的斜率不存在,则直线l 的方程为1x =,此时圆心到直线l 的距离为1,合乎题意;②若直线l 的斜率存在,可设直线l 的方程为()31y k x -=-,即30kx y k -+-=,圆心到直线l的距离为1d ==,解得43k =-.此时直线l 的方程为43130x y +-=.综上所述,直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.故选:D.2(2022·贵溪市)直线y kx =被圆222x y +=截得的弦长为()A.B.2C.D.与k 的取值有关【答案】A【解析】由于圆222x y +=的圆心在直线y kx =上,所以截得弦为圆222x y+=,故截得的弦长为.故选:A 3.(2022·江苏·高二)过点(-2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x +4y =0截得的弦最长的直线的方程是()A .x +y +1=0B .x +y -1=0C .x -y +1=0D .x -y -1=0【答案】A【解析】由题意得,圆的方程为()221(2)5x y -++=,∴圆心坐标为()1,2-.∵直线被圆截得的弦长最大,∴直线过圆心()1,2-,又直线过点(-2,1),所以所求直线的方程为211221y x +-=+--,即10x y ++=.故选:A .4.(2022·全国·模拟预测)(多选)已知直线l :()()121740m x m y m ---+-=,圆C :2224200x y x y +---=,则()A .直线l 恒过定点()1,3B .直线l 与圆C 相交C .圆C 被x 轴截得的弦长为D .当圆C 被直线l 截得的弦最短时,34m =【答案】BD【解析】依题意,直线l :()()121740m x m y m ---+-=可化为()2740x y m x y --+++-=,由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =,1y =,即直线l 过定点()3,1P ,A 不正确;圆C :22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ,半径=5r ,||PC r =<,即点P 在圆C 内,直线l 与圆C 恒相交,B 正确;圆心C 到x 轴的距离2d =,则圆C 被x 轴截得的弦长为==C 不正确;由于直线l 过定点()3,1P ,圆心(1,2)C ,则直线PC 的斜率121312k -==--,当圆C 被直线l 截得的弦最短时,由圆的性质知,l PC ⊥,于是得1221m m -=-,解得34m =,D 正确.故选:BD5.(2022·湖北恩施·高二期末)(多选)已知直线l :()()221310m x m y m ++---=与圆C :()()222116x y -++=交于A ,B 两点,则弦长|AB |的可能取值是()A .6B .7C .8D .5【答案】BC【解析】由()()221310m x m y m ++---=,得()23210x y m x y +-+--=,令230210x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得1,1,x y =⎧⎨=⎩故直线l 恒过点(1,1)M .圆心(2,1)C ,半径4r =,CM ==,则2AB r ≤≤,即8AB ≤≤.故选:BC.6.(2022·辽宁辽阳市·高二期末)已知圆22:4850C x y x y +-+-=,直线:20l mx y m --=.(1)证明:直线l 与圆C 相交.(2)设l 与圆C 交于,M N 两点,若MN =,求直线l 的倾斜角及其方程.【答案】(1)证明见解析;(2)答案见解析.【解析】(1)证明:直线:2()0l m x y --=过定点()2,0,因为224250-⨯-<,所以点()2,0在圆C 的内部,故直线l 与圆C 相交.(2)圆C 的标准方程为()2225()42x y -++=,则圆C 的圆心坐标为4(2,)C -,半径为5,且圆心C 到直线l 的距离()22242411m md m m ---==++因为2225213MN d =-=,所以23d =由24231m =+,得33m =±当33m =时﹐直线l 的方程为()323y x =-,倾斜角为6π当33m =-时﹐直线l 的方程为()323y x =--,倾斜角为56π3圆与圆的位置关系1.(2022·西藏)圆x 2+y 2-2x +4y =0与直线2x +y +1=0的位置关系为()A .相离B .相切C .相交D .以上都有可能【答案】C【解析】圆x 2+y 2-2x +4y =0的圆心坐标为(1,2)-,半径5r =圆心(1,2)-到直线2x +y +1=0的距离2221(2)15521d ⨯+-+==+由555d r =<=,可得圆与直线的位置关系为相交.故选:C2.(2022·陕西渭南)已知圆1C :()()22321x y -++=与圆2C :()()227150x y a -+-=-,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 等于()A .14B .34C .14或45D .34或14【答案】D【解析】圆1C :()()22321x y -++=的圆心为()113,2,1C r -=,圆2C :()()227150x y a -+-=-的圆心为()227,1,50C r a =-()()221237215C C -+--=,因为圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,故圆1C 与圆2C 相内切或外切,故215r -=或215r +=,从而26=r 或24r =,所以2506r a =-=或2504r a =-=,解得:34a =或14a =所以实数a 等于34或14故选:D3.(2022广东)圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】A【解析】圆221:20C x y x +-=,即22(1)1x y -+=,表示以1(1,0)C 为圆心,半径等于1的圆.圆222:(1)(2)9C x y -++=,表示以2(1,2)C -为圆心,半径等于3的圆.∴两圆的圆心距|20|2d =--=,231=-,故两个圆相内切.故选:A.4.(2022·江西)已知圆()221:210C x y x my m R +-++=∈关于直线210x y ++=对称,圆2C 的标准方程是()()222316x y ++-=,则圆1C 与圆2C 的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】B【解析】22210x y x my +-++=即()222124m m x y 骣琪-++=琪桫,圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭,因为圆1C 关于直线210x y ++=对称,所以圆心1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线210x y ++=上,即12102m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭,解得2m =,()()22111x y -++=,圆心()1,1-,半径为1,()()222316x y ++-=,圆心()2,3-,半径为4,5=,因为圆心间距离等于两圆半径之和,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相切,故选:B.5.(2022云南)已知圆1C 的标准方程是()()224425x y -+-=,圆2C :22430x y x my +-++=关于直线10x +=对称,则圆1C 与圆2C 的位置关系为()A.相离B.相切C.相交D.内含【答案】C【解析】由题意可得,圆()()221:4425C x y -+-=的圆心为()4,4,半径为5因为圆222:430C x y x my +-++=关于直线10x ++=对称,所以2102m-+=(),得m =,所以圆()(222:24C x y -++=的圆心为(2,,半径为2,则两圆圆心距12C C =1252725C C -<<=+,所以圆1C 与圆2C 的位置关系是相交,故选:C .6.(2022·上海中学东校高二期末)已知圆22:28M x y ax +-=截直线:0l x y -=所得的弦长M 与圆22:(1)4N x y +-=的位置关系是()A .内切B .相交C .外切D .相离【答案】B【解析】由22:28M x y ax +-=,即()2228y a x a +=+-,故圆心(),0M a ,半径M r =所以点M 到直线:0l x y -=的距离d =故解得:1a =±;所以()1,0M ±,3M r =;又22:(1)4N x y +-=,圆心()0,1N ,2N r =,所以MN ==,且15M N M N r r r r -=<<=+,即圆M 与圆N 相交,故选:B.7.(2022·湖南岳阳·高二期末)圆221:1O x y +=与圆222:680O x y x y m +-++=外切,则实数m =_________.【答案】9【解析】圆1O 的圆心()10,0O ,半径11r =,圆2O 的圆心()23,4O -,半径2r =125O O =根据题意可得:1212O O r r =+,即51=9m =故答案为:9.8.(2022·上海徐汇·高二期末)已知圆221:(2)(2)1C x y -+-=和圆2222:()(0)C x y m m m +-=>内切,则m 的值为___________.【答案】72【解析】圆1C 的圆心为()2,2,半径为11r =,圆2C 的圆心为()0,m ,半径为2r m =,所以两圆的圆心距()()22202d m =-+-,又因为两圆内切,有()()222021d m m =-+-=-,解得72m =.故答案为:72.9.(2023·全国·高三专题练习)已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切,此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________.【答案】34【解析】由题可知:221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=,即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m 由两圆向外切可知()()224030225-+--=+-m ,解得16m =所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为22431211-==+d ,设圆2C 的半径为R则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为221229342-=-=R d 故答案为:344圆与圆的弦长1.(2021·辽宁高三其他模拟)圆O :229x y +=与圆1O :()()222316x y -+-=交于A 、B 两点,则AB =()A.6B.5C.67813D.123913【答案】D【解析】圆O 的半径3r =,圆1O 的半径14r =,113OO =故在1AOO中,22211111cos sin21313r OO rAOO AOOr OO+-∠===⇒∠=⋅,故1sin21313ABr AOO AB=∠=⇒=.故选:D2.(2021·山东济南市·高二期末)(多选)已知圆221:1C x y+=和圆222:40C x y x+-=的公共点为A,B,则()A.12||2C C=B.直线AB的方程是14x=C.12AC AC⊥D.||2AB=【答案】ABD【解析】圆1C的圆心是()0,0,半径11r=,圆()222:24C x y-+=,圆心()2,0,22r=,122C C∴=,故A正确;两圆相减就是直线AB的方程,两圆相减得1414x x=⇒=,故B正确;11AC=,22AC=,122C C=,2221212AC AC C C+≠,所以12AC AC⊥不正确,故C不正确;圆心()0,0到直线14x=的距离14d=,2AB===,故D正确.故选:ABD3.(2021·全国高二课时练习)(多选)圆221:20x y xO+-=和圆222:240O x y x y++-=的交点为A ,B ,则有()A.公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B.线段AB 中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB的长为2D.P 为圆1O 上一动点,则P 到直线AB 距离的最大值为212+【答案】ABD【解析】对于A,由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ,B ,两式作差可得440x y -=,即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=,故A 正确;对于B,圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0,1AB k =,则线段AB 中垂线斜率为1-,即线段AB 中垂线方程为:()011y x -=-⨯-,整理可得10x y +-=,故B 正确;对于C,圆221:20x y x O +-=,圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==,半径1r =所以AB ==,故C 不正确;对于D,P 为圆1O 上一动点,圆心1O ()1,0到0xy -=的距离为2d =,半径1r =,即P 到直线AB 距离的最大值为12+,故D 正确.故选:ABD4.(2022·全国·高二专题练习)已知圆22110C x y +=:与圆22222140C x y x y +++-=:.(1)求证:圆1C 与圆2C 相交;(2)求两圆公共弦所在直线的方程;(3)求经过两圆交点,且圆心在直线60x y +-=上的圆的方程.【答案】(1)证明见解析(2)20x y +-=(3)226620x y x y +--+=【解析】(1)证明:圆2C :2222140x y x y +++-=化为标准方程为()()221116x y +++=,()21,1C ∴--,4r =圆221:10C x y +=的圆心坐标为()10,0C ,半径为=R,12C C ∴44<,∴两圆相交;(2)解:由圆221:10C x y +=与圆222:22140C x y x y +++-=,将两圆方程相减,可得2240x y +-=,即两圆公共弦所在直线的方程为20x y +-=;(3)由22222214010x y x y x y ⎧+++-=⎨+=⎩,解得3113x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩或,则交点为()3,1A -,()1,3B -,圆心在直线60x y +-=上,设圆心为()6,P n n -,则AP BP ==3n =,故圆心()3,3P ,半径4r AP ==,∴所求圆的方程为()22(3)316x y -+-=.5.(2021·湖南·嘉禾县第一中学高二阶段练习)已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :22410x y y +--=.(1)证明:圆1C 与圆2C 相交;(2)若圆1C 与圆2C 相交于A ,B 两点,求AB .【答案】(1)证明见解析;【解析】(1)圆1C 的标准方程为()()22114x y +++=,圆心为()1,1--,半径为2,圆2C 的标准方程为()2225x y +-=,圆心为()0,2∴圆1C 和圆2C =22<,可知:圆1C 和圆2C 相交,得证.(2)由(1)结论,将圆1C 与圆2C 作差,得:直线AB 的方程为2610x y +-=,圆2C 的圆心()0,2到直线AB=,∴AB =6.(2022·江苏·高二单元测试)已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系;(2)求公共弦所在直线的方程;(3)求公共弦的长度.【答案】(1)相交(2)240x y -+=(3)【解析】(1)将两圆方程化为标准方程为221:(1)(5)50C x y -++=,222:(1)(1)10C x y +++=,则圆1C 的圆心为(1,5)-,半径1r =圆2C 的圆心为(1,1)--,半径2r =12C C =12r r +=12r r -=121212r r C C r r ∴-<<+,∴两圆相交.(2)将两圆方程相减,得公共弦所在直线的方程为240x y -+=.(3)由22222102402280x y x y x y x y ⎧+-+-=⎨+++-=⎩,解得40x y =-⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴两圆的交点坐标为(4,0)-和(0,2).∴=5切线问题1.(2022·全国·高二课时练习)设圆221:244C x y x y +-+=,圆222:680C x y x y ++-=,则圆1C ,2C 的公切线有()A .1条B .2条C .3条D .4条【答案】B【解析】由题意,得圆()()2212:312C x y -+=+,圆心()11,2C -,圆()()2222:534C x y ++=-,圆心()23,4C -,∴125353C C -<=+,∴1C 与2C 相交,有2条公切线.故选:B .2.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()221:9C x y a +-=与圆()222:1C x a y -+=有四条公切线,则实数a 的取值可能是()A .-4B .-2C .D .3【答案】AD【解析】圆心()10,C a ,半径13r =,圆心()2,0C a ,半径21r =.因为两圆有四条公切线,所以两圆外离.又两圆圆心距d =31>+,解得a <-或a >3.(2022·全国·高二课时练习)(多选)已知圆()()22:211M x y -+-=,圆()()22:211N x y +++=,则下列是M ,N 两圆公切线的直线方程为()A .y =0B .3x -4y =0C.20x y -=D.20x y -=【答案】ACD【解析】圆M 的圆心为M (2,1),半径11r =.圆N 的圆心为N (-2,-1),半径21r =.圆心距2d =>,两圆相离,故有四条公切线.又两圆关于原点O 对称,则有两条切线过原点O ,设切线方程为y =kx1=,解得k =0或43k =,对应方程分别为y =0,4x -3y =0.另两条切线与直线MN 平行,而1:2MN l y x =,设切线方程为12y x b =+1=,解得2b =±,切线方程为20x y -+=,20x y --=.故选:ACD .4.(2022·全国·高二专题练习)过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______.【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时,因为过点()1,2,所以直线:1l x =,此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ,此时直线:1l x =与圆221x y +=相切,满足题意;当直线l 的斜率存在时,设斜率为k ,所以:l 2(1)y k x -=-,即20kx y k --+=,因为直线l 与圆相切,所以圆心到直线的距离1d r ==,解得34k =,所以直线l 的方程为3450x y -+=.综上:直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为:1x =或3450x y -+=5.(2022·全国·高二专题练习)求过点()13M -,的圆224x y +=的切线方程__________.【答案】326122633y x ++=+或326122633y x --=+【解析】过点()13M -,的斜率不存在的直线为:1x =-,圆心到直线的距离为1,与圆相交,当斜率存在,设其为k ,则切线可设为()31y k x -=+.2=,解得:33k +=或33k -=.所以切线方程为:326122633y x ++=+或326122633y x --=+.6(2022·广东·中山一中高三阶段练习)已知圆22:240C x y x y m +--+=.若圆C 与圆22:(2)(2)1D x y +++=有三条公切线,则m 的值为___________.【答案】11-【解析】由22240x y x y m +--+=,得22(1)(2)5x y m -+-=-,所以圆C 的圆心为()1,2C 因为圆22:(2)(2)1D x y +++=,所以圆D 的圆心为()22D ,--,半径为1,因为圆C 与圆D 有三条公切线,所以圆C 与圆D 相外切,即1CD ==+,解得11m =-,所以m 的值为11-.故答案为:11-.7.(2022·全国·高二课时练习)已知圆221:64120C x y x y +-++=与圆222:1420C x y x y a +--+=,若圆1C 与圆2C 有且仅有一个公共点,则实数a 的值为___________.【答案】34或14【解析】设圆1C ,圆2C 的半径分别为1r ,2r .圆1C 的方程可化为22(3)(2)1x y -++=,圆2C 的方程可化为22(7)(1)50x y a -+-=-.由两圆相切,得1212C C r r =+或1212C C r r =-.因为11r =,125C C ==,所以215r +=或215r -=,可得24r =或26=r 或24r =-(舍去),因此5016a -=或5036a -=,解得34a =或14a =.故答案为:34或148.(2022·贵州黔东南·高二期末(理))若圆221x y +=与圆()()22416x a y -+-=有3条公切线,则正数a =___________.【答案】35=∴3,0,3a a a =±>∴=又6最值问题1.(2022·广东·高三阶段练习)已知C :222220x y x y +---=,直线l :220x y ++=,M 为直线l 上的动点,过点M 作C 的切线MA ,MB ,切点为A ,B ,当四边形MACB 的面积取最小值时,直线AB 的方程为____.【答案】210x y ++=【解析】C :222220x y x y +---=的标准方程为22(1)(1)4x y -+-=,则圆心()11C ,,半径2r =.因为四边形MACB 的面积2•2CAMS SCA AM AM ====,要使四边形MACB 面积最小,则需CM 最小,此时CM 与直线l 垂直,直线CM 的方程为()121y x -=-,即21y x =-,联立21220y x x y =-⎧⎨++=⎩,解得()0,1M -.则CM =则以CM 为直径的圆的方程为221524x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,与C 的方程作差可得直线AB 的方程为210x y ++=.故答案为:210x y ++=.2.(2021·广东·南海中学高二阶段练习)已知圆22:(4)(3)1C x y -++=和两点(,0)A a -、(,0)(0)B a a >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则a 的最小值为()A .1B .6C .3D .4【答案】D【解析】由90APB ∠=︒得点P 在圆222x y a +=上,所以,点P 在圆222x y a +=上,又在圆C 上,所以,两圆有交点,因为圆222x y a +=的圆心为原点O ,半径为a ,圆C 的圆心为()4,3-,半径为1.所以,|1|1a OC a -≤≤+,即|1|5146a a a -≤≤+⇒≤≤所以,a 的最小值为4.故选:D3.(2021·吉林油田高级中学高二开学考试)已知圆P 的方程为22680x y x y ++-=,过点()1,2M -的直线与圆P 交于A ,B 两点,则弦AB 的最小值为()A .B .10C .D .5【解析】圆P 的方程可化为()()223425x y ++-=,则(3,4),5P r -=,因为()()22132425-++-<,故点()1,2M -在圆内,过点()1,2M -的最长弦一定是圆P 的直径,当AB PM ⊥时,AB 最短,此时PM =则AB ==故选:A .4.(2022·浙江·杭州市富阳区场口中学高二期末)过点(7,-2)且与直线2360x y -+=相切的半径最小的圆方程是()A .()()22515x y -++=B .()()225113x y -+-=C .()()224413x y -++=D .()()221652x y -++=【答案】B【解析】过点()7,2A -作直线2360x y -+=的垂线,垂足为B ,则以AB 为直径的圆为直线2360x y -+=相切的半径最小的圆,其中AB =(),B a b ,则221732360b a a b +⎧⨯=-⎪-⎨⎪-+=⎩,解得:34a b =⎧⎨=⎩,故AB 的中点,即圆心为7342,22+-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即()5,1,故该圆为()()225113x y -+-=故选:B5.(2022·江苏·高二专题练习)已知M 是圆22:1C x y +=上一个动点,且直线1:310(R)l mx y m m --+=∈与直线2:310(R)l x my m m +--=∈相交于点P ,则||PM 的取值范围是()A.1,1⎤⎦B.1⎤⎦C.1,1⎤⎦D.1⎤⎦【答案】B【解析】直线1:310(R)l mx y m m --+=∈整理可得,(3)(1)0m x y ---=,即直线1l 恒过(3,1),同理可得,直线2l 恒过(1,3),又()110m m ⨯+-⨯=,∴直线1l 和2l 互相垂直,∴两条直线的交点P 在以(1,3),(3,1)为直径的圆上,即P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=,设该圆心为M ,圆心距||1MC =>,∴两圆相离,1||1PM ∴-+ ,||PM ∴的取值范围是1].故选:B .。
圆与圆的位置关系练习题
圆与圆的位置关系练习题一、选择题1. 两个圆的半径分别为2cm和3cm,圆心距为5cm,那么这两个圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含2. 两个圆的半径都是5cm,圆心距为10cm,那么这两个圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含3. 两个圆的半径分别为4cm和6cm,圆心距为8cm,那么这两个圆的位置关系是()A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含二、填空题1. 两个圆的半径分别为r1和r2,圆心距为d,若d > r1 + r2,则这两个圆的位置关系是______。
2. 两个圆的半径分别为r1和r2,圆心距为d,若d = r1 + r2,则这两个圆的位置关系是______。
3. 两个圆的半径分别为r1和r2,圆心距为d,若|r1 r2| < d< r1 + r2,则这两个圆的位置关系是______。
三、判断题1. 两个圆的半径分别为5cm和7cm,圆心距为12cm,那么这两个圆相交。
()2. 两个圆的半径分别为8cm和10cm,圆心距为15cm,那么这两个圆相切。
()3. 两个圆的半径分别为6cm和9cm,圆心距为18cm,那么这两个圆相离。
()四、解答题1. 已知两个圆的半径分别为4cm和6cm,圆心距为10cm,求这两个圆的位置关系。
2. 两个圆的半径分别为5cm和7cm,它们的位置关系是相切,求圆心距。
3. 两个圆的半径分别为8cm和10cm,它们的位置关系是相交,求圆心距的范围。
4. 已知两个圆的半径分别为3cm和5cm,圆心距为8cm,求这两个圆的位置关系,并说明理由。
五、作图题1. 画出两个半径分别为3cm和5cm的圆,使它们的圆心距为7cm,并标出两圆的位置关系。
2. 画出两个半径均为4cm的圆,使它们的圆心距为8cm,并标出两圆的位置关系。
3. 画出两个半径分别为6cm和8cm的圆,使它们的圆心距为10cm,并标出两圆的位置关系。
圆与圆的位置关系综合练习
圆与圆的位置综合练习一.选择题(共10小题)1.(2010•防城港)在数轴上,点A所表示的实数是﹣2,⊙A的半径为2,⊙B的半径为1,若⊙B与⊙A外切,则在数轴上点B所表示的实数是()A.1B.﹣5 C.1或﹣5 D.﹣1或﹣32.(2009•肇庆)若⊙O1与⊙O2相切,且O1O2=5,⊙O1的半径r1=2,则⊙O2的半径r2是()A.3B.5C.7D.3或73.(2009•临沂)已知⊙O1和⊙O2相切,⊙O1的直径为9cm,⊙O2的直径为4cm.则O1O2的长是()A.5cm或13cm B.2.5cm C.6.5cm D.2.5cm或6.5cm4.(2009•佛山)将两枚同样大小的硬币放在桌上,固定其中一枚,而另一枚则沿着其边缘滚动一周,这时滚动的硬币滚动了()A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈5.(2009•滨州)已知两圆半径分别为2和3,圆心距为d,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是()A.0<d<1 B.d>5 C.0<d<1或d>5 D.0≤d<1或d>56.(2008•雅安)已知两圆圆心距是5,半径分别为2和3,则两圆的位置关系为()A.相离B.相交C.内切D.外切7.(2008•宁夏)已知⊙O1和⊙O2相切,两圆的圆心距为9cm,⊙O1的半径为4cm,则⊙O2的半径为()A.5cm B.13cm C.9cm或13cm D.5cm或13cm8.(2007•肇庆)若两圆没有公共点,则两圆的位置关系是()A.外离B.外切C.内含D.外离或内含9.(2007•襄阳)如图,△ABC是边长为10的等边三角形,以AC为直径作⊙O,D是BC上一点,BD=2,以点B 为圆心,BD为半径的⊙B与⊙O的位置关系为()A.相交B.外离C.外切D.内切10.(2007•泰安)半径分别为13和15的两圆相交,且公共弦长为24,则两圆的圆心距为()A.或14 B.或4C.14 D.4或14二.填空题(共8小题)11.(2012•攀枝花)如图,以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切,⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D,且∠ADC=60°,过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A.若⊙O2的面积为π,则四边形ABCD的面积是_________.12.(2011•绍兴)如图,相距2cm的两个点A、B在直线l上.它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分别平移到点A1,B1的位置时,半径为1cm的⊙A1,与半径为BB1的⊙B相切.则点A平移到点A1,所用的时间为_________s.13.(2010•宁夏)如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是_________米.14.(2008•绍兴)如图中的圆均为等圆,且相邻两圆外切,圆心连线构成正三角形,记各阴影部分面积从左到右依次为S1,S s,S3,…,S n,则S12:S4的值等于_________.15.(2008•三明)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB交小圆于C、D两点,AC=CD=DB,分别以C、D为圆心,以CD为半径作圆.若AB=6cm,则图中阴影部分的面积为_________cm2.16.(2007•河池)若两圆的半径分别为5cm和3cm,圆心距为1cm,则这两个圆的位置关系是_________.17.(2004•郫县)已知半径3cm,4cm的两圆外切,那么半径为6cm且与这两圆都相切的圆共有_________个.18.(2000•嘉兴)如图,⊙O1与⊙O2交于点A,B,延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D,延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E.已知AC=6,AD:BC:BE=1:1:5,则DE的长是_________.三.解答题(共5小题)19.(2012•鼓楼区二模)如图,已知边长为10的菱形ABCD,对角线BD、AC交于点O,AC=12,点P在射线BD 上运动,过点P分别向直线AB、AD作垂线,垂足分别为E、F.(1)对角线BD长为_________;(2)设PB=x,以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时,求x的值.20.(2008•静安区二模)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=4,BC=12,点E在边BA的延长线上,AE=2,点F在BC边上,EF与边AD相交于点G,DF⊥EF,设AG=x,DF=y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(2)当AD=11时,求AG的长;(3)如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切,求这两个圆的半径.21.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位,以O为原点建立平面直角坐标系,圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8.解答下列问题:(1)求⊙A 的半径;(2)请在图中将⊙A 先向上平移6 个单位,再向左平移8个单位得到⊙D,并写出圆心D的坐标;(3)观察你所画的图形,对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想,并直接写出你的结论.聪明的小伙伴,你完成整张试卷全部试题的解答后,如果还有时间对问题(3)的猜想结论给出证明,将酌情另加1~5分,并计入总分.22.如图,在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧,测量大的圆形工件的直径,设两圆钢棒的外侧的距离为xmm,工件的直径为Dmm.(1)求出D(mm)与x(mm)之间的函数关系式;(2)当图形工件的直径D小于圆钢棒的直径时,上面所求得的D与x的函数关系式还是否仍然适用?请说明理由.23.实验探究:同学们,你注意过烟盒里的香烟是如何摆放的吗?已知,一个烟盒的长为56mm,宽为22mm,高为87mm,一根烟的直径是8mm,若把20根香烟摆放在烟盒中,请你探究合理的摆放方法.圆与圆的位置综合练习参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.(2010•防城港)在数轴上,点A所表示的实数是﹣2,⊙A的半径为2,⊙B的半径为1,若⊙B与⊙A外切,则在数轴上点B所表示的实数是()A.1B.﹣5 C.1或﹣5 D.﹣1或﹣3考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:本题直接告诉了两圆的半径及位置关系,根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案.外离,则P>R+r;外切,则P=R+r;相交,则R﹣r<P<R+r;内切,则P=R﹣r;内含,则P<R﹣r.(P表示圆心距,R,r分别表示两圆的半径).解答:解:设数轴上点B所表示的实数是b,则AB=||b﹣(﹣2)|=|b+2|,⊙B与⊙A外切时,AB=2+1,即|b+2|=3,解得b=1或﹣5,故选C.点评:本题考查了由数量关系及两圆位置关系求圆心坐标的方法.2.(2009•肇庆)若⊙O1与⊙O2相切,且O1O2=5,⊙O1的半径r1=2,则⊙O2的半径r2是()A.3B.5C.7D.3或7考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:两圆相切,包括了内切或外切,即d=R+r,d=R﹣r,分别求解.解答:解:∵这两圆相切∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切或外切,O1O2=5,⊙O1的半径r1=2,所以r1+r2=5或r2﹣r1=5,解得r2=3或7.故选D.点评:本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法.两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:外离d>R+r;外切d=R+r;相交R﹣r<d<R+r;内切d=R﹣r;内含d<R﹣r.3.(2009•临沂)已知⊙O1和⊙O2相切,⊙O1的直径为9cm,⊙O2的直径为4cm.则O1O2的长是()A.5cm或13cm B.2.5cm C.6.5cm D.2.5cm或6.5cm考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:半径不相等的两圆相切有两种情况:内切和外切,不要只考虑其中一种情况.由⊙O1与⊙O2的直径分别为9cm和4cm得两圆的半径分别为4.5cm、2cm;当两圆外切时,O1O2=4.5+2=6.5(cm);当两圆内切时,O1O2=4.5﹣2=2.5(cm),所以O1O2的值为6.5cm或2.5cm.注意,相同半径的两圆只有外切与外离,而没有内切与内含的位置关系.解答:解:∵⊙O1和⊙O2相切,∴两圆可能内切和外切,∴当两圆外切时,O1O2=4.5+2=6.5(cm);当两圆内切时,O1O2=4.5﹣2=2.5(cm);∴O1O2的长是2.5cm或6.5cm.∴故选D.点评:本题考查两圆的位置关系.特别注意:两圆相切,则可能有两种情况,内切或外切.4.(2009•佛山)将两枚同样大小的硬币放在桌上,固定其中一枚,而另一枚则沿着其边缘滚动一周,这时滚动的硬币滚动了()A.1圈B.1.5圈C.2圈D.2.5圈考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题;转化思想.分析:根据自身的周长和滚动的周长求解.解答:解:设圆的半径是r,则另一枚沿着其边缘滚动一周所走的路程是以2r为半径的圆周长,即是4πr,它自身的周长是2πr.即一共滚了2圈.故选C.点评:此题要特别注意正确分析另一枚则沿着其边缘滚动一周所走的路程.5.(2009•滨州)已知两圆半径分别为2和3,圆心距为d,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是()A.0<d<1 B.d>5 C.0<d<1或d>5 D.0≤d<1或d>5考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:若两圆没有公共点,则可能外离或内含,据此考虑圆心距的取值范围.解答:解:若两圆没有公共点,则可能外离或内含,外离时的数量关系应满足d>5;内含时的数量关系应满足0≤d<1.故选D.点评:考查了两圆的位置关系和数量关系之间的等价关系.6.(2008•雅安)已知两圆圆心距是5,半径分别为2和3,则两圆的位置关系为()A.相离B.相交C.内切D.外切考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:由两圆的半径分别2和3,圆心距为5,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.解答:解:∵两圆的半径分别为2和3,圆心距为5,又∵2+3=5,∴两圆的位置关系是外切.故选D.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r的数量关系间的联系.7.(2008•宁夏)已知⊙O1和⊙O2相切,两圆的圆心距为9cm,⊙O1的半径为4cm,则⊙O2的半径为()A.5cm B.13cm C.9cm或13cm D.5cm或13cm考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题;分类讨论.分析:根据两圆的位置关系与圆心距和两圆半径之间的数量关系之间的联系即可解决问题.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:外离,则d>R+r;外切,则d=R+r;相交,则R﹣r<d<R+r;内切,则d=R﹣r;内含,则d<R﹣r.解答:解:两圆相切时,有两种情况:内切和外切.当外切时,另一圆的半径=9+4=13cm;当内切时,另一圆的半径=9﹣4=5cm.故选D.点评:本题考查了两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有两种情况.8.(2007•肇庆)若两圆没有公共点,则两圆的位置关系是()A.外离B.外切C.内含D.外离或内含考点:圆与圆的位置关系.分析:此题要求两个圆的位置关系,可观察两个圆之间的交点个数,一个交点两圆相切(内切或外切),两个交点两圆相交,没有交点两圆相离(外离或内含).解答:解:外离或内含时,两圆没有公共点.故选D.点评:此题考查的是两个圆之间的位置关系,解此类题目时可根据两个圆的交点个数来判断两个圆的位置关系.9.(2007•襄阳)如图,△ABC是边长为10的等边三角形,以AC为直径作⊙O,D是BC上一点,BD=2,以点B 为圆心,BD为半径的⊙B与⊙O的位置关系为()A.相交B.外离C.外切D.内切考点:圆与圆的位置关系;等边三角形的性质.专题:压轴题.分析:要判断两圆的位置关系,需要明确两圆的半径和两圆的圆心距,再根据数量关系进一步判断两圆的位置关系.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:外离,则d>R+r;外切,则d=R+r;相交,则R﹣r<d<R+r;内切,则d=R﹣r;内含,则d<R﹣r.解答:解:根据题意,得:圆O的直径是10,点B到点O的距离是5,则5>5+2,所以⊙B与⊙O的位置关系为外离.故选B.点评:本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.10.(2007•泰安)半径分别为13和15的两圆相交,且公共弦长为24,则两圆的圆心距为()A.或14 B.或4C.14 D.4或14考点:相交两圆的性质.分析:利用了连心线垂直平分公共弦,勾股定理求解,注意两圆相交的情况有两种情况.解答:解:如图,圆A与圆B相交于点C,D,CD与AB交于点E,AC=15,BC=13,由于连心线AB垂直平分CD,有CE=12,△ACE,△BCE是直角三角形,由勾股定理得,AE=9,BE=5,而两圆相交的情况有两种,当为左图时,AB=AE﹣BE=9﹣5=4,当为右图时,AB=AE+BE=14.故选D.点评:本题利用了连心线垂直平分公共弦,勾股定理.二.填空题(共8小题)11.(2012•攀枝花)如图,以BC为直径的⊙O1与⊙O2外切,⊙O1与⊙O2的外公切线交于点D,且∠ADC=60°,过B点的⊙O1的切线交其中一条外公切线于点A.若⊙O2的面积为π,则四边形ABCD的面积是12.考点:相切两圆的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;矩形的判定与性质;切线长定理.专题:计算题;压轴题.分析:设⊙O1的半径是R,求出⊙O2的半径是1,连接DO2,DO1,O2E,O1H,AO1,作O2F⊥BC于F,推出D、O2、O1三点共线,∠CDO1=30°,求出四边形CFO2E是矩形,推出O2E=CF,CE=FO2,∠FO2O1=∠CDO1=30°,推出R+1=2(R﹣1),求出R=3,求出DO1,在Rt△CDO1中,由勾股定理求出CD,求出AH==AB,根据梯形面积公式得出×(AB+CD)×BC,代入求出即可.解答:解:∵⊙O2的面积为π,设⊙O2的半径是r,则π×r2=π∴⊙O2的半径是1,∵AB和AH是⊙O1的切线,∴AB=AH,设⊙O1的半径是R,连接DO2,DO1,O2E,O1H,AO1,作O2F⊥BC于F,∵⊙O1与⊙O2外切,⊙O1与⊙O2的外公切线DC、DA,∠ADC=60°,∴D、O2、O1三点共线,∠CDO1=30°,∴∠DAO1=60°,∠O2EC=∠ECF=∠CFO2=90°,∴四边形CFO2E是矩形,∴O2E=CF,CE=FO2,∠FO2O1=∠CDO1=30°,∴DO2=2O2E=2,∠HAO1=60°,∵O1O2=2O1F(在直角三角形中,30度角所对的直角边等于斜边的一半),又∵O1F=R﹣1,O1O2=R+1,∴R+1=2(R﹣1),解得:R=3,即DO1=2+1+3=6,在Rt△CDO1中,由勾股定理得:CD=3,∵∠HO1A=90°﹣60°=30°,HO1=3,∴AH==AB,∴四边形ABCD的面积是:×(AB+CD)×BC=×(+3)×(3+3)=12.故答案为:12.点评:本题考查的知识点是勾股定理、相切两圆的性质、含30度角的直角三角形、矩形的性质和判定,本题主要考查了学生能否运用性质进行推理和计算,题目综合性比较强,有一定的难度.12.(2011•绍兴)如图,相距2cm的两个点A、B在直线l上.它们分别以2cm/s和1cm/s的速度在l上同时向右平移,当点A,B分别平移到点A1,B1的位置时,半径为1cm的⊙A1,与半径为BB1的⊙B相切.则点A平移到点A1,所用的时间为或3s.考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题;数形结合;分类讨论.分析:首先设点A平移到点A1,所用的时间为ts,根据题意求得AB=2cm,AA1=2tcm,BB1=tcm,再分别从内切与外切四种情况分析求解,即可求得答案.解答:解:设点A平移到点A1,所用的时间为ts,根据题意得:AB=2cm,AA1=2tcm,A1B=(2﹣2t)cm,BB1=tcm,如图,此时外切:2﹣2t=1+t,∴t=;如图,此时内切:2﹣2t=1﹣t,∴t=1,此时两圆心重合,舍去;或2﹣2t=t﹣1,解得:t=1,此时两圆心重合,舍去;如图,此时内切:2t﹣t+1=2,∴t=1,此时两圆心重合,舍去;如图:此时外切:2t﹣t﹣1=2,∴t=3.∴点A平移到点A1,所用的时间为1或3s.故答案为:或3.点评:此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是注意数形结合与方程思想,分类讨论思想的应用,注意别漏解.13.(2010•宁夏)如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是米.考点:相切两圆的性质.专题:压轴题.分析:连接三个圆的圆心,构造等边三角形.根据等边三角形的性质进行求解.解答:解:连接三个圆的圆心,构造等边三角形,则等边三角形的边长是1.根据等边三角形的三线合一和勾股定理,得等边三角形的高是.则其最高点与地面的距离是(1+)米.点评:此题主要是构造等边三角形,根据等边三角形的性质进行计算.14.(2008•绍兴)如图中的圆均为等圆,且相邻两圆外切,圆心连线构成正三角形,记各阴影部分面积从左到右依次为S1,S s,S3,…,S n,则S12:S4的值等于19:7.考点:相切两圆的性质.专题:压轴题;规律型.分析:首先正确求得第一个图形的面积,然后结合图形发现面积增加的规律,从而进行分析求解.解答:解:设圆的半径是1,在第一个图形中,阴影部分的面积是3π﹣π=π;观察图形发现:阴影部分的面积依次增加1.5π.所以第四个图形的面积是2.5π+1.5π×3=7π,第12个图形的面积是2.5π+1.5π×11=19π.所以它们的比值是.点评:此类题的关键是找规律,根据规律进行计算.15.(2008•三明)如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AB交小圆于C、D两点,AC=CD=DB,分别以C、D为圆心,以CD为半径作圆.若AB=6cm,则图中阴影部分的面积为4πcm2.考点:圆与圆的位置关系.分析:根据圆的中心对称性,大圆与小圆之间的部分全等,故阴影部分的面积是两圆面积差的一半.解答:解:观察图形,发现:阴影部分的面积是两圆面积差的一半,即S阴影=(S大圆﹣S小圆)=(π×32﹣π×12)=4π.点评:这里要能够把阴影部分合到一起整体计算.16.(2007•河池)若两圆的半径分别为5cm和3cm,圆心距为1cm,则这两个圆的位置关系是内含.考点:圆与圆的位置关系.分析:先计算两圆半径的和与差,再与圆心距比较,得出结论.解答:解:因为5﹣3>1,根据圆心距与半径之间的数量关系可知,⊙O1与⊙O2的位置关系是内含.点评:本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为d:外离d>R+r;外切d=R+r;相交R﹣r<d<R+r;内切d=R﹣r;内含d<R﹣r.17.(2004•郫县)已知半径3cm,4cm的两圆外切,那么半径为6cm且与这两圆都相切的圆共有4个.考点:圆与圆的位置关系.专题:压轴题.分析:两圆相切有内切和外切两种情况,本题只要画出图形加以判断即可.解答:解:如图:与两圆相切的有4个.点评:本题考查的是圆与圆的位置关系,解此类题目常常要结合图形再进行判断.18.(2000•嘉兴)如图,⊙O1与⊙O2交于点A,B,延长⊙O2的直径CA交⊙O1于点D,延长⊙O2的弦CB交⊙O1于点E.已知AC=6,AD:BC:BE=1:1:5,则DE的长是9.考点:圆内接四边形的性质;解分式方程;圆与圆的位置关系;相交两圆的性质;相似三角形的判定与性质.专题:压轴题.分析:连接公共弦AB,构成圆内接四边形ABED,根据圆内接四边形的性质,可证明△ABC∽△EDC,从而得出与AD、BC、BE有关的比例线段,根据AD:BC:BE=1:1:5,设线段长度,代入比例式可求CD、CE的长,在Rt△EDC中,用勾股定理求ED.解答:解:连接AB,在圆内接四边形ABED中,∠BAC=∠E,∠ABC=∠EDC,因为AC为⊙O2直径,则∠ABC=90°,于是△ABC∽△EDC,因为AD:BC:BE=1:1:5,所以,设AD=x,BC=x,BE=5x;于是:=,即6x2=36+6x,x2﹣x﹣6=0,解得x=3,x=﹣2(负值设去),在Rt△EDC中,ED==9.点评:本题考查的是对圆心角和圆周角的关系,以及圆的内接四边形的外角和相应的内对角关系的应用.解答此类题关键是通过角的关系,在解题中应用中间角来寻找等量关系.三.解答题(共5小题)19.(2012•鼓楼区二模)如图,已知边长为10的菱形ABCD,对角线BD、AC交于点O,AC=12,点P在射线BD 上运动,过点P分别向直线AB、AD作垂线,垂足分别为E、F.(1)对角线BD长为16;(2)设PB=x,以PO为半径的⊙P与以DF为半径的⊙D相切时,求x的值.考点:相切两圆的性质;勾股定理;菱形的性质.分析:(1)根据菱形性质求出AO长,OB=OD,AC⊥BD,根据勾股定理求出BO,即可求出BD;(2)设PB=x,则PD=BD﹣PB=16﹣x.在Rt△PFD中,求出DF=DP•cos∠ADB=(16﹣x),分为两种情况:①当⊙P与⊙D外切时:第一种情况,当P点在点O的左侧,PO=8﹣x,根据相切两圆性质得出PO+DF=PD,代入得出方程(8﹣x)+(16﹣x)=16﹣x,求出x即可;第二种情况,当P点在点O的右侧,PO=x﹣8,根据相切两圆的性质得出PO+DF=PD,代入得出方程(x﹣8)+(16﹣x)=16﹣x,求出方程的解即可;②当⊙P与⊙D内切时:第三种情况,PO=PB﹣OB=x﹣8,根据OP﹣DF═PD,得出方程(x﹣8)﹣(16﹣x)=16﹣x,求出即可;第四种情况,点P在点D右侧时,PF=OD=8,则DP=10,PB=26.解答:(1)解:∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC=6,OB=OD,AC⊥BD,由勾股定理得:BO===8,∴BD=16,故答案为:16.(2)PB=x,则PD=BD﹣PB=16﹣x.∵PF⊥AD,∴在Rt△PFD中,DF=DP•cos∠ADB=(16﹣x);①当⊙P与⊙D外切时:情况一:当P点在点O的左侧,PO=OB﹣PB=8﹣x,此时PO+DF=PD,∴(8﹣x)+(16﹣x)=16﹣x,解得,x=6;情况二:当P点在点O的右侧,PO=PB﹣OB=x﹣8,此时PO+DF=PD,∴(x﹣8)+(16﹣x)=16﹣x,解得,x=;②当⊙P与⊙D内切时:情况三:点P在D的左侧时,PO=PB﹣OB=x﹣8,∵PD>DF,∴DF﹣OP═PD,∴(x﹣8)﹣(16﹣x)=16﹣x,解得,x=;情况四:点P在点D右侧时,DF=OD=8,则DP=10,PB=26,综上所述,PB的长为6或或或26.点评:本题考查了解直角三角形,菱形的性质,勾股定理,相切两圆的性质等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目综合性比较强,难度偏大,注意要进行分类讨论.20.(2008•静安区二模)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AD∥BC,AB=4,BC=12,点E在边BA的延长线上,AE=2,点F在BC边上,EF与边AD相交于点G,DF⊥EF,设AG=x,DF=y.(1)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;(2)当AD=11时,求AG的长;(3)如果半径为EG的⊙E与半径为FD的⊙F相切,求这两个圆的半径.考点:相似三角形的判定与性质;勾股定理;相切两圆的性质.专题:压轴题;探究型.分析:(1)先根据AD∥BC,∠B=90°求出∠EAG=∠B=90°,在Rt△AEG中根据勾股定理可用x表示出EG的值,再根据平行线分线段成比例可得出=,进而可得到关于x、y的关系式,由二次根式有意义的条件求出x的取值范围即可;(2)由△DFG∽△EAG可得到=,可用x表示出GD的值,再把AD=11代入即可求出x的值,进而得出AG的长;(3)①当⊙E与⊙F外切时,EF=EG+FD=EG+FG,再由△DFG∽△EAG即可求出AG=AE=2,进而可得出⊙E与⊙F的半径;②当⊙E与⊙F内切时,EF=FD﹣EG,再把EF、FD及ED的关系式代入即可求出x的值,由勾股定理即可求出两圆的半径.解答:解:(1)∵AD∥BC,∠B=90°,∴∠EAG=∠B=90°,∴EG==,∵=,∴FG===,∵∠DFG=∠EAG=90°,∠EGA=∠DGF,△DFG∽△EAG,∴=,∴=,∴y关于x的函数解析式为y=,定义域为0<x≤4.(2)∵△DFG∽△EAG,∴=,∴=,∴GD=.当AD=11时,x+=11,x1=1,x2=,经检验它们都是原方程的根,且符合题意,所以AG的长为1或.(3)当⊙E与⊙F外切时,EF=EG+FD=EG+FG,∴FD=FG,∵△DFG∽△EAG,∴∠E=∠AGE=∠FGD=∠GDF.∴AG=AE=2;∴⊙E的半径EG=,⊙F的半径FD=.当⊙E与⊙F内切时,EF=FD﹣EG,∴3=﹣,∵≠0,∴3=,∴x=1,∴⊙E的半径EG==,⊙F的半径FD=,∴⊙E的半径为2,⊙F的半径为4;或⊙E的半径为,⊙F的半径为4.点评:本题考查的是相似三角形的判定与性质、勾股定理及两圆相切的性质,涉及面较广,难度较大,在解(3)时要注意分两圆外切与内切两种情况进行讨论.21.如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1个单位,以O为原点建立平面直角坐标系,圆心为A(3,0)的⊙A被y轴截得的弦长BC=8.解答下列问题:(1)求⊙A 的半径;(2)请在图中将⊙A 先向上平移6 个单位,再向左平移8个单位得到⊙D,并写出圆心D的坐标;(3)观察你所画的图形,对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想,并直接写出你的结论.聪明的小伙伴,你完成整张试卷全部试题的解答后,如果还有时间对问题(3)的猜想结论给出证明,将酌情另加1~5分,并计入总分.考点:垂径定理;勾股定理;圆与圆的位置关系;坐标与图形变化-平移.专题:作图题.分析:(1)连接AB,根据垂径定理求出BO,根据勾股定理求出AB即可;(2)根据已知画出图形即可,根据平移规律求出D的坐标即可;(3)根据图形即可得出结论.解答:(1)解:∵x轴⊥y轴,A在x轴上,∴BO=CO=4,连接AB,由勾股定理得:AB==5,答:⊙A的半径是5.(2)解:如图:圆心D的坐标是(﹣5,6).(3)解:⊙D 与⊙A 的位置关系是外切.点评:本题考查了对勾股定理,垂径定理,圆与圆的位置关系,坐标与图形变化﹣平移等知识点的应用,解此题的关键是根据题意画出图形,培养了学生分析问题的能力,同时也培养了学生观察图形的能力,题型较好,难度适中.22.如图,在平台上用直径为100mm的两根圆钢棒嵌在大型工件的两侧,测量大的圆形工件的直径,设两圆钢棒的外侧的距离为xmm,工件的直径为Dmm.(1)求出D(mm)与x(mm)之间的函数关系式;(2)当图形工件的直径D小于圆钢棒的直径时,上面所求得的D与x的函数关系式还是否仍然适用?请说明理由.考点:相切两圆的性质;勾股定理;切线的性质.专题:计算题.分析:(1)设三圆的圆心分别为A、B、C,连接AB,则AB过切点E,连接AC,则AC过切点F,连接BC,AN,AN交BC于M,由题意得出AB=AC=50+,BC=x﹣(50+50)=x﹣100,AN=﹣50,在△ABM中根据勾股定理得出D和x的方程,求出即可;(2)根据(1)结合图形仍能得出函数解析式,即可得出答案.解答:(1)解:如图设三圆的圆心分别为A、B、C,连接AB,则AB过切点E,连接AC,则AC过切点F,连接BC,AN,AN交BC于M,由题意得:AB=AC=50+,BC=x﹣(50+50)=x﹣100,AN=﹣50,∵AC=AB,AM⊥BC,∴BM=CM=(x﹣100)=x﹣50,在Rt△ABM中,由勾股定理得:AB2=AM2+BM2,∴=+,即D=x2﹣x+25.(2)解:当图形工件的直径D小于圆钢棒的直径时,上面所求得的D与x的函数关系式能仍然适用,因为那样时,三圆同时与平台相切,有两大圆都与小圆相切时,得出的方程与(1)中的方程相同,所有上面所求得的D与x的函数关系式能仍然适用.点评:本题考查了相切两圆的性质,切线的性质,勾股定理等知识点的应用,能根据题意得出方程是解此题的关键,主要考查学生的观察能力和构造直角三角形的能力,题目比较典型,有一定的难度.23.实验探究:同学们,你注意过烟盒里的香烟是如何摆放的吗?已知,一个烟盒的长为56mm,宽为22mm,高为87mm,一根烟的直径是8mm,若把20根香烟摆放在烟盒中,请你探究合理的摆放方法.考点:相切两圆的性质;勾股定理.专题:计算题.分析:分为两种情况:(1)并列摆放,根据烟的直径和烟盒的长、宽得出只能放14根;(2)若错位摆放,连接O1O2、O2O3、O3O1,解答:解:(1)若并列摆放,如图①,因为烟的直径为8mm,所以AD方向上能并排放(根)烟,而在AB方向上,因为8×3=24>22,所以只能放两根,即烟盒只能放2×7=14(根)烟,此法不行.(2)若错位摆放,如图②,连接O1O2、O2O3、O3O1,则O2O3=O3O1=8mm,△O1O2O3为等腰三角形,过O3作O3E⊥O1O2,则E是O1O2的中点.=7(mm).所以在Rt△O1O3E中,(mm).故排列后中排所需空间长度=(mm),三排所需宽度为AB=22mm,故此摆放符合要求.点评:本题考查了对相切两圆的性质,勾股定理,等腰三角形性质的运用,主要培养学生分析问题和解决问题的能力,注意:分类讨论啊.。
圆和圆的位置关系习题
圆和圆的位置关系练习题一、选择题一、若两圆的半径别离为3和4,两个圆的圆心距为10,则两圆的位置关系是( ). (A )内含 (B )相交 (C )外切 (D )外离二、已知两圆的半径别离是5和6,圆心距x 知足不等式组522841314x x x x +⎧+>⎪⎨⎪-<+⎩,则两圆的位置关系是( ) A .内切 B .外切 C .相交 D .外离3、两等圆⊙O 和⊙O ′相外切,过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ,A 、B 是切点,则∠AOB 等于( )A.90°B.60°C.45°D.30°4.如图,⊙O 1和⊙O 2内切,它们的半径别离为3和1,过O 1作⊙O 2的切线, 切点为A,则O 1A 的长为355.半径为1cm 和2cm 的两个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个6.如图,矩形ABCD 中,AB=18,AD=25,去掉一个与三边相切的⊙M 后,余下部份能剪出的最大圆的直径是( ) A .8 B .7 C .6 D .47.如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m 的圆两两相垒立在水平的地面上, 则雕塑的最高点到地面的距离为[ ] A .232+ B.233+ C.222+ D. 223+ 8、下列说法(1)两圆没有公共点,则两圆必然外离.(2)若两个大小不等的圆的圆心距为0,那么两圆必然内含(3)半径相等的两个圆的位置关系只有三种.(4)相切两圆必然是轴对称图形,且对称轴必过切点. 其中正确的有( )个 A .1 B .2 C .3 D. 4 二、填空题9.三角形三边长别离为五、1二、13,以三角形三个极点为圆心的三个圆两两外切,则三个圆的半径别离为____________. 10.两个圆的半径别离为R 和r (R >r ),圆心距为d ,若R 2+d 2-r 2=2Rd ,则两圆的位置关系为________________ 11.半径为5cm 的⊙O 外一点P ,则以点P 为圆心且与⊙O 相切的⊙P 能画________个.12.两圆内切时圆心距是2,这两圆外切时圆心距是5,两圆的半径别离是________、________. 13.两圆的半径别离为10cm 和R 、圆心距为13cm ,若这两个圆相切,则R 的值是________. 14.已知两圆半径别离为八、6,若两圆相切,则圆心距为____________.15.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x 2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是_____________.16.圆心都在y 轴上的两圆⊙O 1、⊙O 2,⊙O 1的半径为5,⊙O 2的半径为1,O 1 的坐标为(0,-1),O 2的坐标为(0,3),则两圆⊙O 1与⊙O 2的位置关系是________.17.若⊙O 1的半径为5,⊙O 1、⊙O 2内含,且两圆的圆心距为4,则⊙O 2半径的取值范围O 2O 1A AB是 .18、如图两个同心圆中,大圆的弦AB 是小圆的切线.弦AB 的长为8厘米,则圆环的面积为 . 19.已知两圆没有公共点,且半径别离为7和3,则圆心距的取值范围为__________________20.两圆半径长别离是R 和r(R>r),圆心距为d,若关于x 的方程x 2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________.21.在直角坐标系中,⊙O 的圆心在原点,半径为3,⊙A 的圆心A 的坐标为(-3,1),⊙O 半径为1,那么⊙O 与⊙A 的位置关系是_______.22.如图3,两圆轮叠靠在墙边,已知两轮半径别离为4和1,则它们与墙的切点A ,B 间的距离为________.23.已知⊙O 1、⊙O 2相交于A,B 半径 别离为3和4且O 1O 2 =5,则AB=____________24. 已知⊙O 1、⊙O 2相交于A,B 且AB=6,⊙O 1的直径为10则,⊙O 2的直径为8则O 1O 2=____________ 26.⊙O 的半径为 5 cm ,点P 是⊙O 外一点,OP =8 cm ,⊙O 和⊙P 相切,⊙P 的半径________. 三.解答题27.若两圆的圆心距d 知足等式│d -4│=3,且两圆的半径是方程x 2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.28、已知⊙1O 、⊙2O 相交于点A 、B ,∠A 1O B = 120°,∠A 2O B = 60°,1O 2O = 6cm 。
圆与圆的位置关系(3)典型题(精选)
一、两圆的公切线1. 两圆的外公切线(1) 求两圆外公切线长:构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的差为边的特征直角三角形.如图,设大圆的半径为R ,小圆的半径为r ,两圆的圆心距为d ,两外公切线的夹角为α,则两圆的外公切线长为:()22l d R r --,sin 2R rdα-=αPO 1O 2A B CR rd l(2) 求两圆内公切线长:构造外公切线、圆心距、大圆与小圆半径的和为边的特征直角三角形. 2. 两圆的内公切线αO 1O 2A B C R r d l 如图,设大圆的半径为R ,小圆的半径为r ,两圆的圆心距为d ,两外公切线的夹角为α,则两圆的内公切线长()22l d R r -+,sin 2R rdα+=一、两圆的公切线【例1】 已知两圆的半径分别为3cm 和5cm ,圆心距为9cm ,则两圆的公切线有 条;【例2】 两圆半径分别为8和3,外公切线长为9,则两圆的位置关系是 ( )A.内切B.相交C.外切D.外离C BAO 2O 1例题知识点圆与圆的位置关系(3)【例10】 如图,O ⊙′与O ⊙外离,设P 和Q 是一条内公切线和两条外公切线的交点.那么PQ 的长是( ) A .内公切线长和外公切线长的平均数 B .当且仅当O ⊙和O ⊙′的半径相等时,等于一条外公切线长 C .永远等于一条外公切线的长 D .大于一条外公切线的长【例3】 如图,已知1O ⊙与2O ⊙外切,外公切线AB 与12O O 、⊙⊙分别相切于A B 、两点,AB 与12O O 的夹角30P ∠=︒,若122O O =,求两圆的半径及外公切线长.【例4】 半径分别为R r 、(R r >)的两个圆12O O 、⊙⊙相交,公切线与连心线的夹角为30︒,则两圆公切线长为______________.【例5】 已知,如图1O ⊙与2O ⊙外离,AB CD 、两条内公切线交于P 点,若1210O O =,且1O ⊙的半径为2,2O ⊙的半径为3,求两条内公切线长及它们所夹锐角的度数.【例11】 如图,两个等圆O ⊙与O ⊙′外切,过O 作O ⊙′的两条切线OA OB 、,A B 、为切点,则AOB ∠=__________.【例12】 两圆内切于P ,大圆的弦AB 切小圆于C ,则APC BPC ∠=∠.EQ A CB MNP【例13】 已知:如图,1O ⊙与2O ⊙内切于点T ,1O ⊙的弦TA TB 、交2O ⊙于点C 和D ,若253TC DC TA ==,,求AB 的长.【例14】 半径为R 、r 的两圆O 、O '外切于C ,外公切线AB 分别切两圆于A 、B 两点,试求ABC ∆的面积.ABOO'C【例15】 已知:如图所示.1O ⊙与2O ⊙外切于P ,AC 是过P 的割线,1O ⊙于A .交2O ⊙于C ,BC 切2O ⊙于C ,过点1O 作直线AB 交BC 于B .求证:AB BC ⊥.【例16】 如图,1O 和2O 为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==,,求1O 的半径r .BA【例17】 如图,12n O O O ,为Rt ABC ∆的内切等圆,43AC BC ==,,求1O 的半径r .【例18】 如图,若两等圆12O O ,与Rt ABC ∆的边BC 及AC AB ,的延长线相切,且两等圆外切,求此时两等圆的半径r .【例19】 若将n 个等圆12n O O O ,,放到ABC ∆外相邻两圆相外切,且与线段BC 相切,与线段AB AC ,的延长线相切,求这些圆的半径r .BA二、连心线的性质【例20】 已知12O O 、⊙⊙相交于点A B 、,公共弦与连心线12O O 交于点G ,若48AB =,12O O 、⊙⊙的半径分别是3040,,那么12AO O ∆的面积是________________.【例21】 已知两个等圆⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点,且⊙O 1经过O 2,则四边形O 1AO 2B 是( )A .平行四边形B .菱形C .矩形D .正方形【例22】 如图,1O ⊙与2O ⊙外切于点T,它们的半径之比为2:3,AB 是它们的外公切线,A B 、是切点,且AB =12O O 的值是_____________.【例23】 已知两圆半径分别是4,5,公共弦长为6,求两圆的圆心距.【例24】 已知1O ⊙与2O ⊙相交于A 、B 两点,且4cm AB =,两圆半径分别为6cm 和4cm ,求12O O 的长.【例25】 已知12O O 、⊙⊙相交于A 、B 两点,两圆半径分别为3cm 和5cm ,且12120O AO ∠=︒,求AB 的长.【例26】 半径为13和半径为5的两个圆相交,圆心距为12,则这两圆公共弦长为______________.【例27】 如图,把1O ⊙向右平移8个单位长度得2O ⊙,两圆相交于A B 、,且12O A O A ⊥,则图中阴影部分的面积是_____________.。
《圆与圆的位置关系》练习题(含答案)
10题B A O'O O 3O 218题O 1A 20题B A 19题16题P O 《圆与圆的位置关系》练习题1.⊙O 1与⊙O 2的半径分别为3cm 和8cm,①若两圆相切,则圆心距O 1O 2= ;②若O 1O 2=4㎝,则两圆 ;③若两圆相交,则圆心距O 1O 2的取值范围为 ;④若两圆有公共点,则圆心距O 1O 2的取值范围为 。
2.相切两圆的半径分别为8㎝和x ㎝,圆心距为10㎝,则x 的值为 。
3.⊙O 1与⊙O 2相切,⊙O 1的半径为6cm ,①若O 1O 2=4㎝,则⊙O 2的半径为 ;②若O 1O 2=8㎝,则⊙O 2的半径为 。
4.两圆半径之比为3︰5,若两圆相外切,且圆心距为8㎝,则两圆相内切时,圆心距为 .5.在平面直角坐标系中,A 、B 两点的坐标分别是(0,5)、(12,0),分别以A 、B 为圆心作⊙A 、⊙B ,①若两圆的半径分别是8、3,则两圆的位置关系为 ;②若两圆的半径分别是15、2,则两圆的位置关系为 ;③若两圆的半径分别是7、6,则两圆的位置关系为 ;④若⊙A 的半径为8㎝,则当⊙B 的半径为 时,两圆相切。
6.半径分别为2、4、6的三个圆两两外切,则以这三个圆的圆心为顶点的三角形的形状为 .7.△ABC 的三边分别为AB=5㎝、BC=6㎝、AC=7㎝,若分别以A 、B 、C 三点为圆心作⊙A 、⊙B 、⊙C ,它们两两外切,则⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为 。
8.若两圆半径分别为r 1、r 2,圆心距为d,关于x 的一元二次方程x 2-2r 1x+(r 2-d)2=0有两个相等的实数根,则这两圆的位置关系为 。
9. ⊙O 1与⊙O 2是等圆,且两圆交于A 、B 两点,⊙O 1经过⊙O 2的圆心O 2,连接O 1A 、O 1B 、O 2A 、O 2B ,则四边形O 1AO 2B 的形状为 。
10.如图所示,两个等圆⊙O 与⊙O ’相外切,则∠AOB 的度数为 。
圆和圆的位置关系-数学习题及答案
1、:已知:两个等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,⊙O1经过点O2。
求∠O1AB的度数2、:如图,已知⊙O1和⊙O2相交于点A、B,O1在⊙O2上,AC是⊙O1的直径,CB与⊙O2相交于点D,连结AD。
(1)求证:AD是⊙O2的直径。
(2)求证:DA=DC。
(1)证明:AD是圆O1的直径;【模拟试题】(答题时间:25分钟)1. 若两圆无公共点,则两圆的位置关系为___________。
2. 若两圆有公共点,则两圆的位置关系为___________。
3. 已知两圆半径为12.4cm 和7.3cm ,则两圆相切时,圆心距等于___________。
4. 已知两圆的半径之比为3:5,若两圆内切时圆心距等于6cm ,则两圆的半径分别为___________;若两圆无公共点,则圆心距d 的取值范围为___________。
5. 若两圆半径为r 和R ,圆心距为d ,且d<R+r ,则两圆位置关系为___________。
6. 若两圆的半径分别是2cm 和4cm ,圆心距是1cm ,则两圆的位置关系是___________。
7. 在△ABC 中,∠C=90°,AC=4cm ,BC=3cm ,圆A 、圆B 、圆C 两两外切,则圆C 的半径是___________。
8. 若两圆直径分别是8+t 和8-t ,圆心距为16,则两圆的位置关系为___________。
9. 若两圆半径分别为R 和r (R>r ),其圆心距为d ,且有Rd 2d r R 222=+-,则两圆的位置关系为___________。
10. 若两圆半径分别为R 和r ,圆心距为d ,且r R d -≥,则两圆位置关系为___________。
11. 已知圆O 1和圆O 2相切,这个图形是___________对称图形,它的对称轴是___________,切点与对称轴的位置关系为___________。
12. 两个半径相等的圆的位置关系有___________种。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()A.5-4B.-1C.6-2D.【答案】A【解析】圆关于轴对称圆的圆心坐标,半径不变,圆的圆心坐标半径的最小值为连接圆与圆圆心,再减去两圆的半径因此的最小值【考点】圆与圆的位置关系.2.若圆与圆()的公共弦长为,则_____.【答案】1【解析】因为圆与圆()的公共弦所在的直线方程为:;又因为两圆的公共弦长为,所以有.【考点】圆与圆的位置关系.3.圆和圆的位置关系为.【答案】内切【解析】通过利用两点间的距离公式计算,寻找其与两圆的半径和,差的关系,判断可知,所以内切.【考点】两圆位置关系的判断.4.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理:.圆心坐标为,代入直线方程,解得:,代入得圆的方程:.【考点】经过两圆交点的圆的方程5.圆与圆的位置关系为()A.两圆相交B.两圆相外切C.两圆相内切D.两圆相离【答案】A【解析】∵,,∴两圆的圆心距,所以两圆相交,故选A.【考点】圆与圆的位置关系.6.两圆相交于点A(1,3)、B(m,-1),两圆的圆心均在直线x-y+c=0上,则m+c的值为()A.3B.2C.0D.-1【答案】A【解析】由圆的知识可知公共弦的垂直平分线过两圆的圆心,中点为代入直线得,【考点】圆与圆的位置关系点评:两圆相交时,两圆心的连心线是公共弦的垂直平分线7.圆: 与圆: 的位置关系是A.外离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】∵的圆心为(-2,2)半径为1圆的圆心为(2,5)半径为4,∴,∴两圆外切,故选D【考点】本题考查了两圆的位置关系点评:通过两圆心的距离与半径和(差)的比较即可得到两圆的位置关系8.已知圆与圆相交,则圆与圆的公共弦所在的直线的方程为()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵,,∴两圆的公共弦所在直线方程为x+2y-1=0,【考点】本题考查了圆与圆的位置关系点评:两圆相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程9.两圆x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的连心线方程为()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0.C.3x-y-9=0.D.4x-3y+7=0【答案】C【解析】解:因为两圆的圆心为(2,3)(3,0),则由两点式可知连心线的方程为3x-y-9=0.选C10.(本题满分14分)已知圆,圆,动点到圆,上点的距离的最小值相等.(1)求点的轨迹方程;(2)点的轨迹上是否存在点,使得点到点的距离减去点到点的距离的差为,如果存在求出点坐标,如果不存在说明理由.【答案】(1)点的轨迹方程是.(2)点的轨迹上不存在满足条件的点.【解析】本试题主要是考查了动点的轨迹方程的求解,以及满足动点到定点的距离差为定值的点是否存在的探索性问题的运用。
《圆和圆的位置关系》典型例题
《圆和圆的位置关系》典型例题例1已知两圆半径之比是5:3,如果两圆内切时,圆心距等于6,问当两圆的圆心距分别是24、5、20、0时,相应两圆的位置关系如何?例2 已知两相交圆的半径分别为5cm和4cm,公共弦长为6cm,求这两圆的圆心距.例3(武汉市,2002)已知:如图,⊙O和⊙O1内切于A,直线OO1交⊙O于另一点B,交⊙O1于另一点F,过B点作⊙O1的切线,切点为D,交⊙O于C 点,DE⊥AB垂足为E.求证:(1)CD=DE;(2)若将两圆内切改为外切,其他条件不变,(1)中的结论是否成立?请证明你的结论.例4 (宁波市,2002)如图,⊙O’经过⊙O的圆心,E、F是两圆的交点,直线OO’交⊙O于点Q、D,交⊙O’于点P,交EF于点C且EF=,sin∠P=.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)求⊙O和⊙O’的半径的长;(3)点A在劣弧上运动(与点Q、F不重合),连结PA交于点B,连结BC并延长交⊙O于点G,设CG=x,PA=y.求y关于x的函数关系式.例5两圆的半径分别是方程的两根且两圆的圆心距等于3,则两圆的位置关系是()(A)外离(B)外切(C)内切(D)相交参考答案例1 解:设大圆半径R=5x∵两圆半径之比为5: 3,∴小圆半径r=3x,∵两圆内切时圆心距等于6,∴5x-3x=6,∴x=3,∴大圆半径R=15,小圆半径r=9,当两圆圆心距d l=24时,有d l=R+r,∴此时两圆外切;当两圆圆心距d2=5时,有d2<R-r, ∴此时两圆内含;当两圆圆心距d3=20时, 有R-r<d3<R+r, ∴此时两圆相交;当两圆圆心距d4=0时,两圆圆心重合,两圆为同心圆.说明:此题考察学生对两圆位置的数量认识与形象思维的联想能力.考察数形结合能力.选题角度:考查两圆五种位置关系的题目例2 解:分两种情况:(1)如图1,设⊙O1的半径为r1=5cm,⊙O2的半径为r2=4cm.圆心O l,02在公共弦的异侧.∵O1O2垂直平分AB,∴AD=.连O1A、O2A,则..(cm).(2)如图2,圆心O l,O2在公共弦AB的同侧,同理可求O1D=4cm,O2D=(cm).(cm).说明:①此题为基本题目;②此题未给出图形,所以应分两种情况求解;若题中给出图形,按已知图形分析求解即可;若题中已知的相交两圆是等圆时,两相交等圆的圆心只能在公共弦两侧.选题角度:已知两圆相交,求两圆圆心距的题目例3 证明:(1)连结DF、AD,∵AF为⊙O1的直径,∴FD⊥AD,又DE⊥AB,∴∠DFE=∠EDA,∵BC为⊙O1的切线,∴∠CDA=∠DFE,∴∠CDA=∠EDA,连结AC,∵AB为⊙O的直径,∴AC⊥BC,又AD公共,∴R t△EDA≌R t△CDA,∴CD=DE.(2)当两圆外切时,其他条件不变,(1)中的结论仍成立.证法同(1).说明:①此题应用“如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上”、双垂直、弦切角、全等三角形等知识;②第(2)问是开放性问题.选题角度:主要应用“如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上”这一结论解决的综合题例4 证明:(1)连结OE,∵OP是⊙O’的直径,∴∠OEP=90°,∴PE是⊙O的切线.(2)设⊙O、⊙O’的半径分别r、r’.∵⊙O与⊙O’ 交于E、F,∴EF⊥OO’,.∴在R t△EOC、R t△POE中,∠OEC=∠OPE.∴sin∠OEC= sin∠OPE=,∴sin∠OEC=,即r,,得r=4.在R t△POE中,sin∠OPE=,∴r’=8.(3)按题意画图,连结OA,∵∠OEP=90°,CE⊥OP,∴PE2=PC·PO.又∵PE是⊙O的切线,∴PE2=PB·PA,∴PC·PO=PB·PA,即,又∵∠CPO=∠APO,∴△CPB∽△APO,∴,∴BC=60/PA.由相交弦定理得BC·CG=EC·CF,∴BC=15/CG,∴PA=4CG,即y=4x().选题角度:主要考查切线的判定、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数、切割线定理及相似形等知识的综合题。
4.2.2圆与圆的位置关系习题课
链接中考
例1.已知A点的坐标为(0,3),⊙A的半径为1, 点B在x轴上 (1)若点B坐标为(4,0), ⊙B半径为3,判 断⊙A与⊙B的关系。 (2)若⊙B过点 M(2,0),与⊙A相切, B点坐标 。
3● A
F
●
●
E
B
B O
M
B 4
●
例2 在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm, 点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度 移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/s的速度,如果 点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D 时,另一点随之停止运动。设运动时间为t(s)。 如果⊙P和⊙Q的半径分别是2cm,3cm,那么t为 何值时, ⊙P和⊙Q相切(只要求出2个t值)? D
知识梳理
r
O
d
R
Q
外离
内含
d﹥ R+r
R Q rO d
d﹤ R-r
d
Q O
外切
Q O
d= R+r
d
内切
d= R-r
两圆相交时,d与两圆半径R、r之间的关系 又是怎样的呢? R-r﹤ d﹤ R+r
例1.已知⊙O1、⊙O2 的半径为R、r,圆心 距d=5,R=2. (1)若⊙O1与⊙O2外切,求r; (2)若r=7,⊙O1与⊙O2有怎样的位置 关系? (3)若r=4,⊙O1与⊙O2有怎样的位置 关系?
例2.定圆⊙O半径为3cm,动圆⊙P半径为 1cm.
内切 时,OP为 当两圆 外切 怎样的图形上运动? 当两圆相切时, OP为多少? P
O
cm?点P在
3、当两圆外切时,圆心距为18,当两圆 内切时,圆心距为8,求这两个圆的半径.
圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系【基础知识点】12例题1、如图 ,⊙A与⊙B内切,⊙A与⊙C外切,⊙A、⊙B、⊙C的半径分别是,2+,∠BAC=60°,求BC的长。
2-62,2623、两圆的公切线:和两个圆都想切的直线叫做两圆的公切线,包括外公切线、内公切线。
(1)外公切线:两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线。
(2)内公切线:两个圆在公切线两旁时,这样的公切线叫做内公切线。
(3)公切线的长:公切线上两个切点间的距离叫做公切线的长。
4、两圆相交的重要定理:相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
例题2、已知⊙1和⊙2的半径分别为8cm和5cm,它们相交于A、B,且AB=6cm,求圆心距O1O2.(自己作图,考虑两种情况,分类讨论:圆心在AB同侧或者异侧)例题3、如图,已知直角三角形ABC的斜边AB为4,内切圆半径为26 ,求三角形ABC的面积。
例题4、(2011•南京)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.P为BC的中点,动点Q从点P出发,沿射线PC方向以2cm/s的速度运动,以P为圆心,PQ长为半径作圆.设点Q运动的时间为t s.(1)当t=1.2时,判断直线AB与⊙P的位置关系,并说明理由;(2)已知⊙O为△ABC的外接圆.若⊙P与⊙O相切,求t的值.例题5、(2008•威海)如图,点A,B在直线MN上,AB=11厘米,⊙A,⊙B的半径均为1厘米.⊙A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,⊙B的半径也不断增大,其半径r(厘米)与时间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0).(1)试写出点A,B之间的距离d(厘米)与时间t(秒)之间的函数表达式;(2)问点A出发后多少秒两圆相切?例题6、(2011•绵阳)如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,以AD为直径的半圆O与BC 相切.(1)求证:OB⊥OC;(2)若AD=12,∠BCD=60°,⊙O1与半⊙O外切,并与BC、CD相切,求⊙O1的面积.例题7、(2007•南充)如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图,它由置放于地面l上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的⊙A构成.点B、C分别是两个半圆的圆心,⊙A分别与两个半圆相切于点E、F,BC长为8米.求EF的长.例题8(2011•黄石)已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,点O1在⊙O2上,C为⊙O2上一点(不与A,B,O1重合),直线CB与⊙O1交于另一点D.(1)如图(1),若AD是⊙O1的直径,AC是⊙O2的直径,求证:AC=CD;(2)如图(2),若C是⊙O1外一点,求证:O1C丄AD;(3)如图(3),若C是⊙O1内的一点,判断(2)中的结论足否成立.例题9、(2006•成都)已知:如图,⊙O与⊙A相交于C,D两点,A,O分别是两圆的圆心,△ABC内接于⊙O,弦CD交AB于点G,交⊙O的直径AE于点△CDE,连接BD.(1)求证:△ACG∽△DBG;(2)求证:AC2=AG•AB;6,15,且CG:CD=1:4,求AB和BD的长(3)若⊙A,⊙O的直径分别为5【课堂练习】一、填空与选择1、(2010•宁夏)如图是三根外径均为1米的圆形钢管堆积图和主视图,则其最高点与地面的距离是__米.2、(2010•菏泽)如图,在正方形ABCD中,O是CD边上的一点,以O为圆心,OD为半径的半圆恰好与以B为圆心,BC为半径的扇形的弧外切,则∠OBC的正弦值为________3、(2008•绍兴)如图中的圆均为等圆,且相邻两圆外切,圆心连线构成正三角形,记各阴影部分面积从左到右依次为S1,Ss,S3,…,Sn,则S12:S4的值等于__________。
与圆有关的位置关系训练题
与圆有关的位置关系训练题一、选择题1.(2022秋•烟台期末)已知⊙O的半径为3,OP=5,则点P与⊙O的位置关系是()A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.不能确定2.(2022秋•东阳市期末)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,点D是AC 的中点,若以AB为直径作圆,则下列判断正确的是()A.点C一定在⊙O外B.点C一定在⊙O上C.点D一定在⊙O外D.点D一定在⊙O上3.(2022秋•越秀区校级期末)已知⊙O的直径是8,P点到圆心O的距离为6,则P点与⊙O的位置关系是()A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.无法确定4.(2022秋•荔湾区校级期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=4cm,以点C为圆心,以5cm长为半径作圆,则AB的中点D与⊙C的位置关系是()A.圆上B.圆外C.圆内D.不确定5.(2022秋•泰山区期末)如图,点P(3,4),⊙P半径为2,A(2.5,0),B (5,0),点M是⊙P上的动点,点C是MB的中点,则AC的最大值是()A.32B.52C.72D.926.(2022秋•桃城区校级期末)以直角坐标系的原点O为圆心,√2为半径作⊙O,则点P(﹣1,1)与⊙O的位置关系是()A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定7.(2022秋•霸州市期末)已知AB是⊙O的任意一条直径,求证:⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形.下列为证明过程,嘉琪为保证推理更严谨,想在方框中“∵OP=OP′,”和“∴PM=MP′,”之间做补充,下列叙述正确的是()证明:如图,设点P是⊙O上除点A、B以外任意一点,过点P作PP′⊥AB,交⊙O于点P′,垂足为点M,若点M与圆心O不重合,连接OP,OP′,在△OPP′中,∵OP=OP′,∴PM=MP′,则AB是PP′的垂直平分线,若点M与圆心O重合,显然AB是PP′的垂直平分线,∴对于圆上任意一点P,在圆上都有关于直线AB的对称点P′∴⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形.A.推理严谨,不必补充B.应补充:∴△OPP′是等腰三角形C.应补充:又∵PP′⊥ABD.应补充:∴△OPP′是等腰三角形,又∵PP′⊥AB8.(2022秋•河西区校级期末)已知的⊙O半径为3cm,点P到圆心O的距离OP=2cm,则点P()A.在⊙O外B.在⊙O上C.在⊙O内D.无法确定9.(2022秋•安徽期末)如图,⊙O是△ABC的外接圆,若△OBC为等腰直角三角形,则tan A的值为()A.1B.√33C.√22D.√310.(2022秋•鼓楼区校级期末)下列说法正确的是()A.三点确定一个圆B.三角形的外心到三角形三边的距离相等C.平分弦的直径垂直于弦D.垂直于弦且过圆心的直线平分这条弦11.(2022秋•滨城区校级期末)如图,等腰Rt△ABC内接于圆O,直径AB=2√2,D是圆上一动点,连接AD,CD,BD,且CD交AB于点G.下列结论:①DC平分∠ADB;②∠DAC=∠AGC;③当BD=2时,四边形ADBC的周长最大;④当AD=CD,四边形ADBC的面积为8√3,正确的有()A.①②B.①②③C.①③④D.②③④12.(2022秋•和硕县校级期末)如图,△ABC内接于⊙O,∠C=30°,AB=4,则⊙O的半径为()A.√3B.2C.2√3D.4 13.(2022•馆陶县模拟)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB=2,AC=√3,BC =1,则AĈ的长是()A.π3B.2π3C.√3π3D.2√3π314.(2022秋•定海区期中)△ABC的外心在三角形的内部,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断15.(2021秋•厦门期末)如图,△ABC内接于圆,弦BD交AC于点P,连接AD.下列角中,是AB̂所对圆周角的是()A.∠APB B.∠ABD C.∠ACB D.∠BAC 16.(2022秋•海淀区校级月考)如图,等腰△ABC内接于⊙O,其中AB=BC,下列结论不一定成立的是()A.∠1=∠2B.∠2=∠4C.∠AOB=2∠1D.∠AOC=4∠1 17.(2022秋•安徽期末)如图,若圆O的半径为3,点O到一条直线的距离为3,则这条直线可能是()A.l1B.l2C.l3D.l418.(2022秋•江北区校级月考)在平面直角坐标系xOy中,以点A(3,4)为圆心,4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定19.(2021秋•辛集市期末)⊙O的半径为4,直线m上一点P与点O的距离为1,则直线m与⊙O的位置关系为()A.相离B.相交C.相切D.无法判断20.(2022秋•海淀区校级月考)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,以A 为圆心作一个半径为3的圆,下列结论中正确的是()A.点B在⊙A内B.直线BC与⊙A相离C.点C在⊙A上D.直线BC与⊙A相切21.(2021秋•双滦区期末)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,以A为圆心2.5为半径的圆.下列结论中正确的是()A.直线BC与圆O相切B.直线BC与⊙O相离C.点B在圆内D.点C在圆上22.(2021秋•遵化市期末)设⊙O的半径是6cm,点O到直线l的距离为d,⊙O 与直线l有公共点,则()A.d>6cm B.d=6cm C.0≤d<6cm D.0≤d≤6cm 23.(2021秋•北仑区期末)⊙O的半径为5,若直线l与该圆相交,则圆心O到直线l的距离可能是()A.3B.5C.6D.10 24.(2021秋•阳谷县期末)已知在直角坐标平面内,以点P(﹣2,3)为圆心,2为半径的圆P与x轴的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.相离、相切、相交都有可能25.(2022秋•昭阳区校级期末)已知△ABC中,∠C=90°,BC=a,CA=b,AB=c.⊙O是△ABC的内切圆,下列选项中,⊙O的半径为()A.a+b−c2B.a−b−c2C.2abcD.aba+b26.(2022秋•越秀区校级期末)如图,在⊙O中,AB̂=AĈ,BC=8,AC=4√5,I是△ABC的内心,则线段OI的值为()A.1B.5−√10C.2√5−3D.5−2√5 27.(2022秋•石家庄期末)如图,点I为△ABC的内心,AB=5,AC=4,BC =3,将∠ACB平移使其顶点与I重合,则图中阴影部分的面积为()A.1B.2524C.2625D.3228.(2022秋•安徽期末)如图,在△ABC中,AB=BC,过点B作BD⊥AC于点D,P是△ABC内一点,且∠BPC=108°,连接CP交BD于点E,若点P 恰好为△ABE内心,则∠PEB的度数为()A.36°B.48°C.60°D.72°29.(2022秋•邹城市校级期末)如图,△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F,且AB=8,BC=17,CA=15,则阴影部分(即四边形CEOF)的面积是()A.4B.6.25C.7.5D.9 30.(2022秋•南开区校级期末)如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,且∠A=90°,BC=10,CA=8,则⊙O的半径是()A.1B.√3C.2D.2√3二、填空题31.(2022秋•阳西县期末)如图,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠P AB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.32.(2022秋•西城区期末)已知⊙O的半径为5,点P到圆心O的距离为8,则点P在⊙O(填“内”“上”或“外”).33.(2022秋•白云区校级期末)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,其中AB=4,∠AOC=120°,P为⊙O上的动点,连AP,取AP中点Q,连接CQ,则线段CQ的最大值为.34.(2022秋•通州区期末)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,4)为⊙O上一点,B为⊙O内一点,请写出一个符合条件要求的点B的坐标.35.(2022秋•西城区期末)如图,AB是⊙O的直径,C为⊙O上一点,且AB ⊥OC,P为圆上一动点,M为AP的中点,连接CM.若⊙O的半径为2,则CM长的最大值是.36.(2021秋•椒江区校级期中)如图所示,正三角形ABC的边长为4,AE=2AD,AD=BE,BD交CE于点F,则△DEF的外接圆半径长为.37.(2022秋•丰台区期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(4,0),B (3,3),点P是△OAB的外接圆的圆心,则点P的坐标为.38.(2022秋•万全区期末)如图,一次函数y=−√33x+1的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,作△ABO的外接圆⊙C,则图中阴影部分的面积为.(结果保留π)39.(2021秋•润州区期中)如图,AD为△ABC的外接圆⊙O的直径,若∠BAD =58°,则∠ACB=.40.(2022秋•蕉城区校级期末)如图,△ABC内接于⊙O,连接AO并延长交BC于点D,交⊙O于点E,若DE=1,AD=5,∠ADC=30°,则BC的长为.41.(2022秋•海淀区校级月考)已知如图,M(m,0)是x轴上动点,⊙M半径r=2√2,若⊙M与直线y=x+2相交,则m的取值范围是.42.(2022秋•鼓楼区期中)已知⊙O的半径为10cm,圆心O到直线l的距离为12cm,则直线l与⊙O的位置关系是.43.(2022•顺城区模拟)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是2cm,则直线l与⊙O的位置关系是.44.(2021秋•重庆期末)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,4.8cm长度为半径画圆,则直线AB与⊙O的位置关系是.45.(2022春•龙华区校级月考)已知⊙O的半径为3,直线m上有一动点P,OP=3,则直线与⊙O的位置关系是.46.(2022秋•河西区校级期末)如图,⊙I是直角△ABC的内切圆,切点为D、E、F,若AF=10,BE=3,则△ABC的面积为.47.(2022秋•南关区校级期末)如图,点O为△ABC的内心,∠A=70°,则∠BOC的度数为.48.(2022秋•金华期末)如图,⊙O是△ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,,CA=2,则⊙O的半径是.且∠A=90°,BC=5249.如图,设边长为6的等边三角形内切圆的半径、外接圆的半径分别为r,R,则R﹣r的值为.50.(2022秋•海港区期末)如图,点O是△PMN的内心,PO的延长线和△PMN 的外接圆相交于点Q,连接NQ、MO、NO,若∠MNQ=15°,则∠MON的度数为.三、解答题51.(2022秋•江阴市校级月考)平面直角坐标系中,点A(2,9)、B(2,3)、C(3,2)、D(9,2)在⊙P上.(1)在图中清晰标出点P的位置;(2)点P的坐标是,⊙P的半径是.52.(2022秋•江阴市校级月考)如图,点A在⊙O内,点B,C在⊙O上,若OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,求BC的长.53.(2021秋•利川市期末)如图,△ABC内接于⊙O,若⊙O的半径为6,∠B =60°,求AC的长.54.(2022秋•广饶县校级期末)如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,点C在⊙O上,CA=CD,∠D=30°.(1)试判断直线与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为5,求点A到CD所在直线的距离.55.(2021秋•昆明期末)如图,点O是△ABC的内心,AO的延长线和△ABC 的外接圆相交于点D,连结CD.求证:OD=CD.。
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高三数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.在平面直角坐标xoy中,设圆M的半径为1,圆心在直线上,若圆M上不存在点N,使,其中A(0,3),则圆心M横坐标的取值范围 .【答案】【解析】设,由得:化简得:,表示为以为圆心,2为半径的圆,由题意得圆B与圆无交点,即或,解得圆心M横坐标的取值范围为:【考点】动点轨迹,圆与圆位置关系2.设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为________.【答案】3【解析】∵l与圆相交所得弦的长为2,=,∴m2+n2=≥2|mn|,∴|mn|≤.l与x轴交点A(,0),与y轴交点B(0,),∴S=·|△AOB |||=·≥×6=3.3.已知圆和两点,,若圆上存在点,使得,则的最大值为()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意知,点P在以原点(0,0)为圆心,以m为半径的圆上,又因为点P在已知圆上,所以只要两圆有交点即可,所以,故选B.【考点】本小题主要考查两圆的位置关系,考查数形结合思想,考查分析问题与解决问题的能力. 4.已知圆C的方程为,若以直线上任意一点为圆心,以l为半径的圆与圆C没有公共点,则k的整数值是()A.l B.0C.1D.2【答案】【解析】由题意知,直线过定点,圆与圆相离.圆心到直线大于,所以,,解得,故的整数值为,选.【考点】圆与圆的位置关系,点到直线的距离公式.5.圆:与圆:的公共弦长等于.【答案】【解析】将的方程化为标准方程得:.将两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为:.圆心到弦的距离为,所以弦长.【考点】两圆的位置关系及弦长.6.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成,两相接点M、N均在直线x=5上.圆弧C1的圆心是坐标原点O,半径为r1=13;圆弧C2过点A(29,0).(1)求圆弧C2所在圆的方程;(2)曲线C上是否存在点P,满足PA=PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在,请说明理由;(3)已知直线l:x-my-14=0与曲线C交于E、F两点,当EF=33时,求坐标原点O到直线l 的距离.【答案】(1)x2+y2-28x-29=0.(2)P不存在(3)【解析】(1)由题意得,圆弧C1所在圆的方程为x2+y2=169.令x=5,解得M(5,12),N(5,-12),又C2过点A(29,0),设圆弧C2所在圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则,解得所以圆弧C2所在圆的方程为x2+y2-28x-29=0.(2)假设存在这样的点P(x,y),则由PA=PO,得(x-29)2+y2=30(x2+y2),即x2+y2+2x-29=0.由解得x=-70(舍去);由解得x=0(舍去).所以这样的点P不存在.(3)因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1=13,r2=15,因为EF>2r1,EF>2r2,所以E、F两点分别在两个圆弧上.设点O到直线l的距离为d,因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14,0),所以EF=15+,即=18,解得d2=,所以点O到直线l的距离为.7.已知圆C1:x2+y2-2y=0,圆C2:x2+(y+1)2=4的圆心分别为C1,C2,P为一个动点,且直线PC1,PC2的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹M的方程;(2)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C,D,使得|C1C|=|C1D|?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.【答案】(1)+y2=1(x≠0)(2)不存在【解析】(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0,1),和C2(0,-1),设动点P的坐标为(x,y),则直线PC1,PC2的斜率分别为(x≠0)和 (x≠0).由已知条件得=-(x≠0),即+y2=1(x≠0).所以动点P的轨迹M的方程为+y2=1(x≠0).(2)假设存在满足条件的直线l,易知点A(2,0)在椭圆M的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆M无交点,此时不符合题意,所以直线l斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x-2).联立方程组得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,①依题意Δ=-8(2k2-1)>0,解得-<k<.当-<k<时,设交点分别为C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x,y),则x1+x2=,则x==,所以y0=k(x-2)=k=.要使|C1C|=|C1D|,必须C1N⊥l,即k·kC1N=-1,所以k·=-1,即k2-k+=0,因为Δ1=1-4×=-1<0,∴k2-k+=0无解,所以不存在直线,使得|C1C|=|C1D|,综上所述,不存在直线l,使得|C1C|=|C1D|.8.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ax-6=0(a>0)的公共弦的长为2,则a=________.【答案】1【解析】x2+y2+2ax-6=0(a>0)可知圆心为(-a,0),半径为,两圆公共弦所在方程为(x2+y2+2ax-6)-(x2+y2)=-4,即x=,所以有2-2=2解得a=1或-1(舍去).9.设集合,,若存在实数,使得,则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】首先集合实际上是圆上的点的集合,即表示两个圆,说明这两个圆相交或相切(有公共点),由于两圆半径都是1,因此两圆圆心距不大于半径这和2,即,整理成关于的不等式:,据题意此不等式有实解,因此其判别式不大于零,即,解得.【考点】两圆位置关系及不等式有解问题.10.若点和点到直线的距离依次为和,则这样的直线有()A.条B.条C.条D.条【答案】C【解析】以点为圆心,以为半径长的圆的方程为,以点为圆心,且以为半径的圆的方程为,则直线为两圆的公切线,,即圆与圆外切,因此两圆的公切线有条,即直线有三条,故选C.【考点】1.两圆的位置关系;2.两圆的公切线11.圆与圆的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切 D相离【答案】B【解析】两圆圆心间的距离,两圆半径的差为和为,因为,故两圆相交,选B.【考点】圆与圆的位置关系.12.若直线y=kx与圆-4x+3=0的两个交点关于直线x+y+b=0对称,则()A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2【答案】A【解析】:若直线与圆的两个交点关于直线对称,则直线与直线垂直,故斜率互为负倒数,可知,而过弦的中点,且与弦垂直的直线必过圆心,而圆心的坐标为,代入直线得,.【考点】直线与圆的位置关系,考查学生数形结合能力.13.两圆和的位置关系是()A.相交B.外切C.内切D.外离【答案】C【解析】圆的圆心为,半径;圆的方程可以变形为,其圆心为,半径.圆心距,所以圆内切于圆.【考点】平面内两圆的位置关系.14.已知圆,直线.(Ⅰ)若与相切,求的值;(Ⅱ)是否存在值,使得与相交于两点,且(其中为坐标原点),若存在,求出,若不存在,请说明理由.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)m=9±2【解析】(Ⅰ)由圆方程配方得(x+1)2+(y-3)2=9,圆心为C(-1,3),半径为 r = 3, 2分若l与C相切,则得=3,∴(3m-4)2=9(1+m2),∴m =. 5分(Ⅱ)假设存在m满足题意。
圆与圆的位置关系(1)典型题(精选)
一、圆与圆的位置关系1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系可以是两圆相交、两圆相切(内切或外切)、两圆相离、两圆内含.设两个圆为1O 、2O ,半径分别为1R 、2R ,且12R R ≥,1O 与2O 间距离为d ,那么就有 12d R R >+⇔两圆相离; 12d R R =+⇔两圆相外切; 12d R R =-⇔两圆相内切; 1212R R d R R -<<+⇔两圆相交; 12d R R <-⇔两圆内含(这里12R R ≠).2. 连心线的性质连心线是指通过两圆圆心的一条直线.连心线是它的对称轴.两圆相切时,由于切点是它们唯一的公共点,所以切点一定在对称轴上. 如果两圆1O 、2O 相交于A 、B 两点,那么12O O 垂直平分AB .如果两个半径不相等的圆1O 、圆2O 相离,那么内公切线交点、外公切线交点都在直线12O O 上,并且 直线12O O 上,并且直线12O O 平分两圆外公切线所夹的角和两圆内公切线所夹的角. 如果两条外公切线分别切圆1O 于A 、B 两点、切圆2O 于C 、D 两点,那么两条外公切线长相等,且AB 、 CD 都被12O O 垂直平分.一、圆与圆位置关系的确定【例1】 右图是北京奥运会自行车比赛项目标志,图中两车轮所在圆的位置关系是( )A .内含B .相交C .相切D .外离【例2】 如图是一个五环图案,它由五个圆组成.下排的两个圆的位置关系是( )A .内含B .外切C .相交D .外离例题知识点圆与圆的位置关系(1)【例3】 右图是一个“众志成城,奉献爱心”的图标,图标中两圆的位置关系是A .外离B .相交C .外切D .内切【例4】 如图,日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆,这两个圆的位置关系是 .【例5】 图中圆与圆之间不同的位置关系有( )A .2种B .3种C .4种D .5种【例6】 大圆半径为6,小圆半径为3,两圆圆心距为10,则这两圆的位置关系为( )A .外离B .外切 C.相交 D .内含【例7】 已知⊙O 1的半径r 为3cm ,⊙O 2的半径R 为4cm ,两圆的圆心距O 1O 2为1cm ,则这两圆的位置关系是( ) A .相交 B .内含 C .内切 D .外切【例8】 已知1O ⊙与2O ⊙的半径分别为5cm 和3cm ,圆心距127cm O O =,则两圆的位置关系是( )A .外离B .外切C .相交D .内切【例9】 两圆的圆心坐标分别是)0,和()01,,它们的半径分别是3和5,则这两个圆的位置关系是( ) A .相交B .外离C .外切D .内切【例10】 已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为6和3,O 1、O 2的坐标分别是(5,0)和(0,6),则两圆的位置关系是( ) A .相交 B .外切 C .内切 D .外离【例11】 分别以梯形ABCD 的上底AD 、下底BC 的长为直径作⊙1O 、⊙2O ,若两圆的圆心距等于这个梯形的中位线长,则这两个圆的位置关系是____________.【例12】 如图,A ⊙,B ⊙的半径分别为1cm ,2cm ,圆心距AB 为5cm .如果A ⊙由图示位置沿直线AB向右平移3cm ,则此时该圆与B ⊙的位置关系是_____________.【例13】 已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根,且122O O =,则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 .【例14】 已知1O ⊙与2O ⊙半径的长是方程27120x x -+=的两根,且1212O O =,则1O ⊙与2O ⊙的位置关系是___________.【例15】 已知关于x 的一元二次方程()22104x R r x d -++=无实数根,其中R r 、分别是12O O ⊙、⊙的半径,d 为此两圆的圆心距,则12O O ⊙、⊙的位置关系为______________.【例16】 已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程28209x x -+=的两根,且121OO =,则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是_________.【例17】 如图,1O ⊙和2O ⊙的半径为1和3,连接12O O 交2O ⊙于点P ,128O O =,若将1O ⊙绕点P 按顺时针方向旋转360︒,则1O ⊙与2O ⊙共相切_______次.【例18】 如图,点A B ,在直线MN 上,11AB =厘米,A B ,的半径均为1厘米.A 以每秒2厘米的速度自左向右运动,与此同时,B 的半径也不断增大,其半径r (厘米)与时间t (秒)之间的关系式为1r t =+(0)t ≥.(1)试写出点A B ,之间的距离d (厘米)与时间t (秒)之间的函数表达式; (2)问点A 出发后多少秒两圆相切?【例19】 如图,A B 、⊙⊙的圆心A B ,在直线l 上,两圆半径都为1cm ,开始时圆心距4cm AB =,现A B ⊙⊙,同时沿直线l 以每秒2cm 的速度相向移动,则当两圆相切时,A ⊙运动的时间为 秒.l【例20】 如右图a ,在矩形ABCD 中,20cm AB =,4cm BC =,点P 从A 开始沿折线A B C D ---以4cm/s的速度移动,点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/s 的速度移动,如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发,当其中一点到达D 时,另一点也随之停止运动.设运动时间为(s)t . (1)t 为何值时,四边形APQD 为矩形?(2)如右图b ,如果P ⊙和Q ⊙的半径都是2cm ,那么t 为何值时,P ⊙和Q ⊙外切?图a二、圆与圆位置关系的性质【例21】 已知1O 和2O 外切,它们的半径分别为2cm 和5cm ,则12O O 的长是( )A .2cmB .3cmC .5cmD .7cm【例22】 O 的半径为3cm ,点M 是O 外一点,4OM cm =,则以M 为圆心且与⊙O 相切的圆的半径是 cm .【例23】1O ⊙和2O ⊙相切,1O ⊙的直径为9cm ,2O ⊙的直径为4cm .则12O O 的长是_________.【例24】 如图,1O ,2O ,3O 两两相外切,1O 的半径11r =,2O 的半径22r =,3O 的半径33r =,则123O O O △是( )A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .锐角三角形或钝角三角形【例25】 若A ⊙和B ⊙相切,它们的半径分别为8cm 和2cm ,则圆心距AB 为_______________.【例26】已知两圆半径分别为2和3,圆心距为d,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是( ) A.01d<d>d>D.01≤或5dd<<B.5d>C.01<<或5【例27】一条皮带安装在半径是14和4的两只皮带轮上(皮带紧绷且不相交),若皮带在两只轮子切点间的距离是24,那么两轮圆心间的距离是___________.5和4cm,这两个圆的圆心距是【例28】已知相切两圆的半径分别为cm【例29】已知⊙O1和⊙O2的半径分别为1和4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距O1O2的取值范围在数轴上表示正确的是.A BC D。
圆与圆的位置关系2
y
y=x y=3
·
O
x
题型四:圆系方程:
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和
圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则 过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0
(λ为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的 公共弦所在直线方程). ② ⊙O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙O2: x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,公共弦方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.
2、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm, 求⊙O1和 ⊙O2的位置关系.设:
外切 外离 (2)O1O2=7cm ________ (1)O1O2=8cm ______ 内切 相交 (3)O1O2=5cm _______(4)O1O2=1cm _________ 内含 (5)O1O2=0cm _______
特例
内含:两圆无公共点,并且一个圆上的点都在
另一个圆的内部时,叫两圆内含.
圆心距d:两圆心之间的距离
探究
两圆的位置关系中两圆圆心距与两圆半径 间有怎样的数量关系?
列表如下:
外 离 外 切 相 交 内 切 内 含
d r1 r2 d r1 r2 r1 r2 d r1 r2 d r1 r2 d r1 r2
(2)化为标准式后知 r1 因为 r1 r2
圆与圆的位置关系复习
检测:
2.如图,某城市公园的雕塑是由3个直径为1m的圆两两 相垒立在水平的地面上,则雕塑的最高点到地面的距离 为( )
2 3 2
A
3 3 2
B
2 2 3 2
2
2
C
D
3.如图,在边长为3cm的正方形
ABCD中,⊙O1与⊙O2相外切,
且⊙O1分别与DA、DC边相切,
⊙O2分别与BA、BC边相切,则
圆心距O1 O2为
圆与圆的位置关系练习题
学习目标
熟练运用圆与圆的位置 关系解题。
巩固圆与圆的位置关系。
自学指导:
互相交流,回 忆圆与圆的位 置关系有几种? 怎样判断?
比较点与圆, 直线与圆,圆 与圆的位置关 系。
5分钟后检测。
两个半径相等的⊙O1和 ⊙O2分别与⊙O外切和内切,
并且O1O=7cm, O2O=5cm,则⊙O与⊙O1 的半径分别是___________。
。D O1AFra bibliotekCO2 B
小结:
圆圆 与和 圆圆 的的 位置关位置 系关 系
外离 内含 外切 内切
相交
没
有 公
相
共
点
离
一
个
公
共 点
相 切
两
个
公
共 点
相 交
当堂训练: • P103 16 17
如图,王大伯家房屋后有一块长
12m,宽8m的
D
C
矩形空地,他在以长边BC为直径的
O
半圆内种菜.
A
B
他家养的一只羊平时拴在A处的一
棵树上,拴羊 的绳长为3m.问羊是否能吃到菜?
为什么?
O
D
C
圆与圆的位置关系题目
圆与圆的位置关系题目1. 选择题:以下哪个图形不是由圆和圆的位置关系构成的?A. 圆内接四边形B. 圆外切四边形C. 圆内切三角形D. 椭圆2. 填空题:两个圆的半径分别是5cm和8cm,如果它们的圆心距是10cm,那么这两个圆的关系是________。
3. 选择题:如果一个圆的圆心在另一个圆的内部,并且它们的圆心距小于两圆半径之和,那么这两个圆的关系是________。
A. 相交B. 内含C. 外切D. 相离4. 简答题:请解释为什么两个圆的圆心距等于两圆半径之和时,这两个圆是外切的?5. 计算题:如果两个圆的半径分别是6cm和10cm,求这两个圆的外接四边形的面积。
6. 选择题:如果一个圆的圆心在另一个圆的外部,并且它们的圆心距等于两圆半径之差,那么这两个圆的关系是________。
A. 相交B. 内含C. 外切D. 相离7. 填空题:两个圆的半径分别是3cm和5cm,如果它们的圆心距是4cm,那么这两个圆的关系是________。
8. 简答题:请解释为什么两个圆的圆心距等于两圆半径之差时,这两个圆是相离的?9. 计算题:如果两个圆的半径分别是8cm和12cm,求这两个圆的外接矩形的面积。
10. 选择题:如果一个圆的圆心在另一个圆的内部,并且它们的圆心距等于两圆半径之差,那么这两个圆的关系是________。
A. 相交B. 内含C. 外切D. 相离11. 填空题:两个圆的半径分别是2cm和4cm,如果它们的圆心距是6cm,那么这两个圆的关系是________。
12. 简答题:请解释为什么两个圆的圆心距等于两圆半径之差时,这两个圆是相离的?13. 计算题:如果两个圆的半径分别是4cm和7cm,求这两个圆的外接正方形的面积。
14. 选择题:如果一个圆的圆心在另一个圆的外部,并且它们的圆心距大于两圆半径之和,那么这两个圆的关系是________。
A. 相交B. 内含C. 外切D. 相离15. 填空题:两个圆的半径分别是1cm和3cm,如果它们的圆心距是5cm,那么这两个圆的关系是________。
圆和圆的位置关系经典例题+练习
例1. 已知⊙O 1、⊙O 2半径分别为15cm 和13cm ,它们相交于A 、B 两点,且AB 长24cm ,求O 1O 2长。
分析:该题没有给出图形,两圆相交有两种可能性: 1. 两圆心在公共弦的两侧; 2. 两圆心在公共弦的同侧;因此,我们必须分两种情况来解。
解:(1)连结O 1O 2交AB 于C (2)连结O 1O 2并延长交AB 于C ∵⊙O 1 ⊙O 2交于A 、B 两点 ∴⊥,且O O AB AC AB cm 121212== 在Rt △AO 1C 中,由勾股定理: O C O A AC cm 11222215129=-=-=() 在Rt △AO 2C 中,由勾股定理: O C O A AC cm 22222213125=-=-=∴如图(1) O 1O 2=O 1C+O 2C=14cm如图(2) O 1O 2=O 1C -O 2C=4cm例1是两圆相交时的一题两解问题,希望引起同学们的重视。
例2. 如图,⊙O 1与⊙O 2外切于点P ,AC 切⊙O 2于C 交⊙O 1于B ,AP 交⊙O 2于D ,求证:(1)PC 平分∠BPD(2)若两圆内切,结论还成立吗?证明你的结论。
证明:(1)过P 点作公切线PM 交AC 于M 点 ∵AC 切⊙O 2于C∴MP=MC ∴∠MCP=∠MPC在⊙O1中,由弦切角定理:∠BPM=∠A∵∠CPD为△APC的外角∴∠CPD=∠A+∠MCP=∠BPM+∠MPC=∠BPC∴PC平分∠BPD。
(2)两圆内切时仍有这样的结论。
证明:过P点作公切线PM交AB延长线于M∵AM切⊙O2于C,∴MC=MP∴∠MPC=∠MCP∴∠MPB=∠A∵∠MCP为△CPA的外角∠MCP=∠CPA+∠A又∠MPC=∠MPB+∠BPC∴∠BPC=∠CPA即PC平分∠BPD。
在解决有关两圆相切的问题时,过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线,利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理,可使问题迎刃而解。
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高二数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.已知动圆与圆和圆都外切,则动圆圆心的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.双曲线的一支【答案】D【解析】设动圆的圆心坐标为(x,y),半径为,由于动圆与圆和圆都外切,所以,所以,根据双曲线的定义可知动圆的轨迹为双曲线的一支.【考点】1.圆与圆的位置关系;2.双曲线的定义.2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程,使直线m被圆C1截得的弦长为4,与圆C截得的弦长是6.【答案】(1) 两圆相离 (2) 4x-7y+19=0【解析】(1)先由圆方程确定圆心坐标和半径,然后根据两圆心之间的距离与两圆半径和差的关系,判断两圆的位置关系;(2)由条件可知两弦长分别是两圆的直径,故所求直线过两圆圆心,故求连心线的直线方程即可.试题解析:(1)圆C1的圆心C1(-3,1),半径r1=2;圆C2的圆心C2(4,5),半径r2=2.∴C1C2==>r1+r2,∴两圆相离.(2)由题意得,所求的直线过两圆的圆心,即为连心线所在直线,易得连心线所在直线方程为:4x-7y+19=0.【考点】1.两圆位置关系的判断;2.直线方程.3.已知一个动圆与圆C:相内切,且过点A(4,0),则这个动圆圆心的轨迹方程是_______________.【答案】【解析】设动圆的圆心为P(x,y),半径为r,由题意,,∴,∴动圆圆心P的轨迹是以A、C为焦点的椭圆,所以a=5,c=4,∴,∴动圆圆心的轨迹方程是【考点】本题考查了轨迹方程的求法点评:熟练掌握椭圆的定义是解决此类问题的关键,属基础题4.如图,已知圆,圆.(1)若过点的直线被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)设动圆同时平分圆、圆的周长.①求证:动圆圆心在一条定直线上运动;②动圆是否过定点?若过,求出定点的坐标;若不过,请说明理由.【答案】(1)或(2)①求出圆心的轨迹方程为直线即可;②动圆过定点和【解析】(1)由题意可知,,,由图知直线的斜率一定存在,设直线的方程为,即因为直线被圆截得的弦长为,所以圆心到直线的距离为……3分解得或,所以直线的方程为或.……6分(2)①证明:设动圆圆心,由题可知则化简得,所以动圆圆心在定直线上运动.……10分②动圆过定点设,则动圆的半径为动圆的方程为整理得……14分,解得或所以动圆过定点和.……16分【考点】本小题主要考查直线与圆的位置关系.点评:求解直线与圆的位置关系,主要看圆心到直线的距离与半径的关系,设直线方程时要注意直线的适用条件.5.圆与圆的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离【答案】B【解析】两个圆的圆心距等于所以两个圆相交.【考点】本小题主要考查两个圆的位置关系.点评:判断两个圆的位置关系,主要是根据两个圆的圆心距与半径的和或差的关系.6.已知两圆x2+y2="1" 和 (x+1)2+(y-3)2=10相交于A、B两点, 则直线AB的方程是________.【答案】【解析】两圆方程作差可得直线AB的方程是.【考点】本小题主要考查两圆的公共点所在直线的方程.点评:两个圆相交时,两个圆的方程相减即可得到直线AB的方程.7.两圆相交于点,两圆的圆心均在直线上,则的值为()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为两圆的相交弦所在的直线与圆心连线的直线垂直,且被其平分,因此可知AB的中点坐标在直线上,代入可知为将m的值代入上式解得c=2,因此可知m+c=-1,选A.【考点】本试题考查了圆与圆的位置关系,以及直线与圆的位置关系的综合运用。
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析
高一数学圆与圆的位置关系试题答案及解析1.圆和圆的公切线条数为()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】由圆整理得,它的圆心坐标,半径为1.由圆整理得,它的圆心坐标,半径为2.,所以两个圆相交,所以两个圆的公切线有2条.【考点】两圆的公切线条数及方程的确定;圆与圆的位置关系及其判定.2.经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交点,并且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.【答案】【解析】设经过两圆交点的圆的方程为,整理为,再整理:.圆心坐标为,代入直线方程,解得:,代入得圆的方程:.【考点】经过两圆交点的圆的方程3.圆与圆的位置关系是()A.外离B.相交C.内切D.外切【答案】D【解析】由两圆的方程可知,,∴,故两圆的位置关系为外切.【考点】圆与圆的位置关系.4.圆和的位置关系为()A.外切B.内切C.外离D.内含【答案】A【解析】两圆的圆心为,半径为,而,则两圆相外切.【考点】本题考查两圆的位置关系,可以通过圆心距与半径和差的大小比较来判断.5.已知圆,交于A、B两点;(1)求过A、B两点的直线方程;(2)求过A、B两点,且圆心在直线上的圆的方程.【答案】(1)(2)【解析】(1)过圆与圆交点的直线,即为两圆公共弦的直线.所以过A、B两点的直线方程. 5分(2)设所求圆的方程为. 6分则圆心坐标为 8分∵圆心在直线上∴将圆心坐标代入直线方程,得 9分解得. 11分∴所求圆的方程为. 12分【考点】圆与圆的位置关系与圆的方程点评:两圆相交时,其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可,求解圆的方程的题目常采用待定系数法:设出圆的方程,根据条件列出关于参数的方程组,解方程组得到参数值最后写出方程6.圆和的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切【答案】D【解析】根据题意,由于圆的圆心(1,0),半径为1,和的圆心为(-2,0),半径为4,则可知圆心距d=3,而半径和为5,半径差为3,可知圆心距小于半径差,因此可知是两圆的相互内切,故选D.【考点】两圆的位置关系点评:解决两圆的位置关系的关键是根据圆心距和半径和的关系来确定,属于基础题,也是重要的知识点。
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《圆与圆的位置关系》练习题(09年中考试题选)
一、选择
1. (泸州)已知⊙O 1与⊙O 2的半径分别为5cm 和3cm ,圆心距020=7cm ,则两圆的位置关系为( )
A .外离
B .外切
C .相交
D .内切
2. (滨州)已知两圆半径分别为2和3,圆心距为d ,若两圆没有公共点,则下列结论正确的是( )
A .01d <<
B .5d >
C .01d <<或5d >
D .01d <≤或5d > 3.若两圆的半径分别是1cm 和5cm ,圆心距为6cm ,则这两圆的位置关系是( )
A .内切
B .相交
C .外切
D .外离
4. .(益阳市)已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为1和4,如果两圆的位置关系为相交,那么圆心距O 1O 2的取值范围在数轴上表示正确的是
5.(肇庆)10.若1O ⊙与2O ⊙相切,且
1
25O O =,1O ⊙的半径
12r =,则2
O ⊙的半径2r 是( )
A . 3
B . 5
C . 7
D . 3 或7
6. (遂宁)如图,把⊙O 1向右平移8个单位长度得⊙O 2,两圆相交于A.B ,且O 1A ⊥O 2A ,
则图中阴影部分的面积是
A.4π-8
B. 8π.16π 7.(常德市)如图4,两个同心圆的半径分别为3cm 和5cm ,弦AB 与小圆相切于点C ,则
AB 的长为( )
A .4cm
B .5cm
C .6cm
D .8cm
8.(荆州年)如图,两同心圆的圆心为O ,大圆的弦AB 切小圆于P ,两圆的半径分别为6,3,
则图中阴影部分的面积是( ) A .π B .π C .3π D .2π 9.(乌鲁木齐市)若相交两圆的半径分别为1和2,则此两圆的圆心距可能是( ).
A .1
B .2
C .3
D .4 10.(陕西省)图中圆与圆之间不同的位置关系有 ( )
A .2种
B .3种
C .4种
D .5种 二、填空 11.(济宁市)已知两圆的半径分别是2和3,圆心距为6,那么这两圆的位置关系是 . 12. (齐齐哈尔市)已知相交两圆的半径分别为5cm 和4cm ,公共弦长为6cm ,则这两个圆
的圆心距是_____________.
13.(锦州)如图所示,点A.B 在直线MN 上,AB=11cm ,⊙A 、.⊙B 的半径均为1cm ,⊙A
以每秒2cm 的速度自左向右运动,与此同时,⊙B 的半径也不断增大,其半径r(cm)与时
B . D .
A . C .
间t(秒)之间的关系式为r=1+t(t≥0),当点A 出发后____秒两圆相切.
14. (重庆)已知1O ⊙的半径为3cm ,2O ⊙的半径为4cm ,两圆的圆心距12O O 为7cm ,则1
O ⊙与2O ⊙的位置关系是 .
15. (莆田)已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根,且
122O O =,则1O ⊙和2O ⊙的位置关系是 .
16.(宜昌)如图,日食图中表示太阳和月亮的分别为两个圆,
这两个圆的位置关系是 .
17.(绍兴市)如图,A ⊙,B ⊙的半径分别为1cm ,2cm ,圆心距AB
为5cm .如果A ⊙由图示位置沿直线AB 向右平移3cm ,则此时该圆与B ⊙的位置关系是__________.
18.(威海)如图,⊙O 1和⊙O 2的半径为1和3,连接O 1O 2,交⊙O 2于点P ,O 1O 2=8,若将
⊙O 1绕点P 按顺时针方向旋转360°,则⊙O 1与⊙O 2共相切_______次. 19.(大兴安岭)已知相切两圆的半径分别为cm 5和cm 4,这两个圆的圆心距是 . 20.(佛山市)已知ABC △的三边分别是a b c ,,,两圆的半径12r a r b ==,,圆心距d c =,则这两个圆的位置关系是 . 三、解答 21.(兰州)如图16,在以O 为圆心的两个同心圆中,AB 经过圆心O ,且与小圆相交于点A .
与大圆相交于点B .小圆的切线AC 与大圆相交于点D ,且CO 平分∠ACB . (1)试判断BC 所在直线与小圆的位置关系,并说明理由; (2)试判断线段AC .AD .BC 之间的数量关系,并说明理由;
(3)若8cm 10cm AB BC ==
,,求大圆与小圆围成的圆环的 面积.(结果保留π)
22.(凉山州)如图,在平面直角坐标系中,点1O 的坐标为(40)-,,以点1O 为圆心,8为半径
的圆与x 轴交于A B ,两点,过A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°的角,且交y 轴于C
点,以点2(135)O ,
为圆心的圆与x 轴相切于点D . (1)求直线l 的解析式;
(2)将2O ⊙以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移,当2O ⊙第一次与1O ⊙外切时,求
2O ⊙平移的时间.
23.(枣庄市) 如图,线段AB 与⊙O 相切于点C ,连结OA ,OB ,OB 交⊙O 于点D ,已知6OA OB ==
,AB = (1)求⊙O 的半径;
(2)求图中阴影部分的面积.
第23题图
C
O
A
B
D
24.(上海市).在直角坐标平面内,O 为原点,点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(0,4),
直线CM x ∥轴(如图7所示).点B 与点A 关于原点对称,直线b x y +=(b 为常数)
经过点B ,且与直线CM 相交于点D ,联结OD . (1)求b 的值和点D 的坐标;
(2)设点P 在x 轴的正半轴上,若△POD 是等腰三角形,求点P 的坐标;
(3)在(2)的条件下,如果以PD 为半径的⊙P 与⊙O 外切,求⊙O 的半径.
25.(漳州)如图,点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上,点C 在O ⊙上,AC CD =,30D ∠=°,
(1)求证:CD 是O ⊙的切线;
(2)若O ⊙的半径为3,求BC 的长.(结果保留π
x
b。