《矢量分析》PPT课件 (2)
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第1章 矢量分析(2)
r en
r r r r ψ = ∫ dψ =∫ F ⋅ dS = ∫ F ⋅ endS
r r 其中： 面积元矢量； 其中： S = endS ——面积元矢量； 面积元矢量 d
S S
r dS
面积元矢量
r ——面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量； 面积元的法向单位矢量 en
r r r dψ = F ⋅ endS ——穿过面积元 dS 的通量。 穿过面积元 的通量。
∆x ∆x ∂Fx Fx (x0 − , y0 , z0 ) ≈ Fx ( x0 , y0 , z0 ) − 2 2 ∂x
通量值为
P
∆y
∆x y
x0 , y0 , z0
o
由此可知，穿出前、 由此可知，穿出前、后两侧面的净
x
在直角坐标系中计算
r ∇⋅ F
∂Fx ∆x ∆x [Fx (x0 + , y0 , z0 ) − Fx (x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z = ∆x∆y∆z 2 2 ∂x
r ∇⋅ F(x, y, z) = lim
称为矢量场的散度。 称为矢量场的散度。 散度
∫
S
r r F(x, y, z) ⋅ dS ∆V
∆V →0
散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元 体积之比的极限。 体积之比的极限。
散度的表达式： 散度的表达式：
r ∂Fx ∂Fy ∂F 直角坐标系 ∇⋅ F = + + z ∂x ∂y ∂z r φ 圆柱坐标系 ∇⋅ F = ∂(ρFρ ) + ∂F + ∂Fz ρ∂ρ ρ∂φ ∂z
∇C = 0 ∇(Cu) = C∇u 梯度运算的基本公式： 梯度运算的基本公式： ∇(u ± v) = ∇u ± ∇v ∇(uv) = u∇v + v∇u ∇f (u) = f ′(u)∇u
工学第1章矢量分析课件
Ay
y
方向角与方向余弦： , ,
co sA x, co sA y, co sA z
|A |
|A |
|A |
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
• 12.奥斯特的电生磁和法拉第的磁生电奠定了电磁学的基 础。
电磁学理论的完成者——英国的物理学家麦克斯韦（18311879）。麦克斯韦方程组——用最完美的数学形式表达了宏 观电磁学的全部内容 ，从理论上预言了电磁波的存在。
工学第1章矢量分析
三、电磁学应用突飞猛进（19世纪中至今）
• 1866年，德国的西门子发明了使用电磁铁的发电机，为 电力工业开辟了道路。
Ay
y
所以： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
工学第1章矢量分析
矢量： AAxa ˆxAya ˆyAza ˆz
z
模的计算： |A| Ax2Ay2Az2
Az
A
单位矢量：
a ˆ|A A||A A x|a ˆx|A A y|a ˆy|A A z|a ˆz
o
Ax
cosa ˆxcosa ˆycosa ˆz x
工学第1章矢量分析
• 5. 1785年，法国科学家库仑在实验规律的基础上，提出了 第一个电学定律：库仑定律。使电学研究走上了理论研究的 道路。
• 6. 1820年，由丹麦的科学家奥斯特在课堂上的一次试验中， 发现了电的磁效应，从此将电和磁联系在一起 。
• 7. 1822年，法国科学家安培提出了安培环路定律，将奥斯 特的发现上升为理论。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
工学第1章矢量分析
例1：在直角坐标系中，x 方向的大小为 6 的矢量如何表
示？
6 aˆ x
第3讲 矢量分析(2)
P 穿出该六面体的净通量为
Fx Fy Fz S F dS x xyz y xyz z xyz
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
F lim
S
F dS V
V 0
Fx Fy Fz x y z
u • 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 l
方向导数的概念
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
3. 标量场的梯度
标量场的场函数为 ( x, y, z, t ) a.方向导数：
d 空间变化率，称为方向导数。 dl
P1
dn
P
P2
dl
d 为最大的方向导数。 dn
0
0 d
b.梯度 定义：标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数， 其方向为该点所在等值面的法线方向。 d ˆ an 数学表达式： grad dn
计算
d d d n d cos d a a ˆn ˆl dn dl d n dl d n d grad d l
l1 l2 l3 l4
Fy1y Fz 2 z Fy 3 y Fz 4 z
Fy1 Fy M
Fy z
M
z 2
z
3
4 z M
C 2
Fz y Fz 2 Fz M y M 2 Fy z Fy 3 Fy M z M 2 F y Fz 4 Fz M z y M 2
Si
散度定理是闭合曲面积分
与体积分之间的一个变换关系。
散度体积分=闭合面通量
三. 矢量场的环流和旋度
1. 矢量场的环流与旋涡源
第1章矢量分析
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中的grad 是英文字 gradient 的缩写。
若引入算符，在直角坐标系中该算符 可表
示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可以表示为
grad
z P'(x ', y ', z ')
例 计算 1 及 1 。
R
R
r – r'
磁石吸铁
电荷之间的作用力 库仑定律
电流产生磁场
电流之间的作用力 安培定律
时变磁场产生时变电场 电磁感应定律
重大突破
1873年英国科学家麦克斯韦（1831—1879）提出了位 移电流的假设，认为时变电场可以产生时变磁场，并建 立了严格的数学方程——麦克斯韦方程。
麦克斯韦预言电磁波的存在，后来在1887年被德国物 理学家赫兹（1857—1894）的实验证实。
r'
P(x, y, z)
这里 R r r 0
O
r
y
表示对 x, y, z 运算
x
表示对 x, y, z 运算
z P'(x ', y ', z ') r – r'
解
r xex yey zez
r xex yey zez
r' r
O
P(x, y, z) y
R (x x)ex ( y y)ey (z z)ez
静电场与恒定磁场相互无关、彼此独立，可以分别 进行研究。因此，本书先讨论静电场和恒定磁场，然 后再介绍时变电磁场。
物质属性
电磁场与电磁波是客观存在的一种物质，因为它 具有物质的两种重要属性：能量和质量。但是，电磁 场与电磁波的质量极其微小，因此，通常仅研究电磁 场与电磁波的能量特性。
《矢量分析与场论》PPT课件
实验证实麦氏方程组—电磁波的存在 近代俄国的波波夫和意大利的马可尼—电磁波传消息 无线电 当今电信时代——“电”、“光”通信
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
电磁应用
γ射线
医疗上用γ射线作为“手术刀”来切除肿瘤
x 射线
医疗、飞机安检，X射线用于透视检查
紫外线
医学杀菌、防伪技术、日光灯
可见光
七色光(红、橙、黄、绿、青、蓝、紫 ）
s r•d S v •Α d V v d V 3 • R 3
1.3.2矢量场的环量及旋度 1、环量的定义
设有矢量场A，l为场中的一条封闭的有向曲线， 定义矢量场A环绕闭合路径l的线 积分为该矢量的 环量，记作
l A dll A cosdl
矢量的环量和矢量穿过闭合面的通量一样，都是 描绘矢量场A性质的重要物理量，同样都是积分 量。为了知道场中每个点上旋涡源的性质，引入 矢量场旋度的概念。
红外线
在特定的红外敏感胶片上能形成热成像（热感应）
微波
军事雷达、导航、电子对抗 微波炉
无线电波
通信、遥感技术
本章主要内容
1、矢量及其代数运算 2、圆柱坐标系和球坐标系 3、矢量场 4、标量场 5、亥姆霍兹定理
1.1矢量及其代数运算
1.1.1标量和矢量
电磁场中遇到的绝大多数物理量， 能够容易地区分为 标量（Scalar）和矢量(Vector)。 一个仅用大小就能够 完整描述的物理量称为标量， 例如， 电压、温度、 时间、质量、电荷等。 实际上， 所有实数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量， 电场、磁场、 力、速度、力矩等都是矢量。例如， 矢量A可以表示 成
《矢量分析与场论》PPT 课件
课程体系
电磁理论
电磁基本理论
电磁工程
产生、辐射、
《矢量分析》多媒体课件
z
az
ax
ay
M
z=z1平面
ax ay az ay az ax
x x=x1平面
y
y=y1平面
az ax ay
思考：单位坐标矢量ax、ay、az是不是常矢量？？
（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）
直角坐标系
➢ 任意矢量A的表示： A Axax Aya y Azaz
α，β，γ分别为矢量A与坐标轴的夹角，cosα ， cosβ ，cosγ称为矢量的方向余弦
B
AB A B cosA,B
A
•两个矢量的 点积是一个标 量，可正可负
Bcos
A
点积等于矢量A的模与矢量B在矢量A的方向上的投影大小 的乘积，或者说等于矢量B的模和矢量A在矢量B方向上 的投影大小的乘积。
0
A
B
A
B
A B 两矢量垂直的充要条件 A // B
矢量的点积（标量积，标积）
标量场与矢量场
矢量
➢矢量：具有大小和方向的量
➢矢量的表示：A＝aAA (
A
aA
A
)，其中A表示模
或长度，aA表示方向的单位矢量 （大小为1）.
AA
A ＝aAA
aA
aA
A A
A A
矢量的分量表示法
➢ 利用正交坐标系中的坐标单位矢量，可以把矢量分解为：
A Axa x Aya y Aza z
➢标量积的结果是标量，满足交换律和分配律
AB BA
A (B C) A B A C
➢并且有: A A A2 Ax2 Ay2 Az2
点积的计算方法：
矢量分析课件2-56页文档资料
数.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
lz l
l x o
l
ly y
cosl x,cosl y,cosl z
x
l
l
l
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
第二章 场论
§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
u 1 l M 2
第二章 场论
§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
uG l 0G coG s,l (0) l
l 0 co i c so j c so k
G uiu juk
x y z
当 coG ,sl0 ()1,即 l 方向与 G 方向一致.
第一部分矢量分析基础课件PPT
课外学习实训
间形成的曲面。
一、学习报告 而对于无界空间（不存在边界面）：
1、直角坐标系适用于场呈面对称分布的问题求解，如无限大面电荷分布产生电场分布。
将位于球坐标系下的P点（1，30°，90°）处的矢量 若矢量场 分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：
常数C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；
，标量场 在 处沿 方向为等值面方向（无改变） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（作用力，电、磁场强度） 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
Ae er 在此基础上，撰写一篇关于对三个常用坐标系单位坐标矢量认识的学习报告，并另外设计一个类似的悖论。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 若 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无源，或正源负源代数和为0。
矢量代数运算
A e x A x e y A y e z A zB e x B x e y B y e z B z
矢量的加法和减法
A B e x ( A x B x ) e y ( A y B y ) e z ( A z B z )
说明： 1、矢量的加法符合交换律和结合律：
，则称在该区域V内，场 为无旋场。
dS e dl dl e ddz (
无源）
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该z 曲面的闭合曲线上的环流。
2、两个矢量的点积为标量
dSz ezdldl ez dd
体积元
dVdddz
圆柱坐标系中的线元、面元和体积元
说明：圆柱坐标系下矢量运算方法：
式中：C 为常数；
u , v 为坐标变量函数；
1.4 矢量场的通量与散度 表征空间某点处标量场场值沿特定方向变化率。
第二章矢量分析
则有:
g
式中
ex ey e z grad x y z
( , , ) x y z
梯度(gradient)
哈密顿算子
二. 梯度的物理意义 • 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; • 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即该点最大方向导数; • 梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）相垂直的方向，它 指向函数的增加方向. 例1 三维高度场的梯度 例2 电位场的梯度
体积元
0.1 正交坐标系
1、直角坐标系：x y z • 单位向量： ex，ey，ez • 长度元：dl = exdx + eydy + ezdz • 面积元：dS = exdydz + eydzdx + ezdxdy • 体积元：dV = dxdydz
单位矢量
e
e
ez
任意矢量A在直角坐标系下的表达式
• 若矢量场处处A=0，称之为无旋场。
四、斯托克斯(Stockes)定理
A 是环量密度，即围绕单位面积环路上的环量。
因此，其面积分后，环量为
l A dli ( A) dSi
i
l A dl ( A ) dS
S
Stocke’s定理
• 矢量函数的线积分与面积分的互换。 • 该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系
• A= 0 (负源)
在矢量场中，若• A= 0，称之为有源场， 称为(通量)源密度；若矢量场
中处处• A=0，称之为无源场。
四、高斯公式(散度定理)
divA lim
v 0
1 v
A dS
S
矢量分析与场论okPPT课件
P 尾
①矢量的表示： ②矢量的大小：
E 、 E 或 OP
模或绝对值
E O首
（|E| 、E、 |E|或 |OP|）
③矢量的方向： 单位长度矢量： E 0 ，|E 0| =1
E= |E| E0
3
（一）矢量分析
三、矢量的坐标表示：
①直角坐标系：
z
A A x e x A y e y A z e z
②分配律： A ( B C ) A B A C
③与数量叉积：
(k A ) B k (A B )
④ 特殊的叉积：
平行： AB0 正交：|AB|A10 B
（一）矢量分析
五、矢量的乘法： （二）矢量积、叉积：
⑤ 不服从交换律： A B (B A )
⑥在坐标系内计算叉积：
ex ey ez
复习
矢量分析 场论
1
第一部分
整体概述
THE FIRST PART OF THE OVERALL OVERVIEW, PLEASE SUMMARIZE THE CONTENT
（一）矢量分析
一、标量：
只有大小而没有方向的量
(长度、时间、电压、体积、温度、电量等）
既有大小又有方向的量
二、矢量： (力、速度、电场强度、磁感应强度等）
v(x,y,z)
,力场
F(x,y,z)
空间任一点都有一矢量 A ， A是空间坐标(、时间)的函数。
动态场：场量与时间有关 （时变场）
f( x ,y ,z ,t),A ( x ,y ,z ,t)
静态场：场量与时间无关 （恒定场）
f(x ,y ,z ),A (x ,y ,z )
12
（二）场 论
④ 特殊的点积： 同向、反向、正交
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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等值面研究的意义:数量场中所发生的物理过程在不同的等值面 上是不同的.
精选ppt
4
§1 场
例1 求数量场 (x通y)过2点z
的等M值(1面,0,1方) 程。
解: 点M的坐标是x01,y00 ,则,z该0 点1的数量场值为
(x0y0)2z00.其等值面方程为:
(xy)2z0
或
z (xy)2
精选ppt
第二章 场论
§1 场 §2 数量场的方向导数和梯度 §3 矢量场的通量及散度 §4 矢量场的环量及旋度 §5 几种重要的矢量场
精选ppt
1
§1 场
一、概念
如果在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个 确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。如在教 室中温度的分布确定了一个温度场，在空间电位的分布确定了 一个电位场。如果这物理量是数量,就称这个场为数量场;如果是 矢量,就称这个场为矢量场。若该物理量与时间无关，则该场称 为稳定场(静态场)； 若该物理量与时间有关，则该场称为不稳 定场(时变场)。
z
uuco suco sucos
l x
y
z
其中 u , u , u x y z
是在点 M 0 处的
偏导数.
lz l
l x o
l
ly y
coslx ,cosly,coslz
x
l
l
l
精选ppt
13
§2 数量场的方向导数和梯度
例4 求函数 u x2在y点2z2 处沿M(1,0,1)
li2j2k
如力场,速度场等.
精选ppt
6
§1 场
矢量线 在曲线上每一点处,曲线都和对应该点的矢量 相A切.
I
+
XB
如:静电场中的电力线、磁场中的磁力线等等。 矢量线研究的意义: 能够了解矢量场中各点矢量方向以及整个矢 量场的分布.
精选ppt
7
§1 场
讨论 矢量线的方程
M(x,y,z)
设 M(x,为y,z矢) 量线上任意一点，其矢径为
为数量场函数 u(M ) 在点 M 0 处沿 l方向的方 向导数.其大小与方向 l 有关
20度
10度
精选ppt
12
§2 数量场的方向导数和梯度
在直角坐标系中,方向导数有如下计算公式:
如果函数 u(x, y,z) 在点 M0(x0,y0,z0)处可微;co,sco,sco为s
l 方向的方向余弦,则函数 u在点 M 0 处沿 l 方向的方向导数为:
解: 矢量场满足的微分方程为
dx dy dz Ax Ay Az
dx dy dz xy2 x2y y2z
从而有
dx xy 2
dx xy 2
dy x2y
dz y 2z
z C1x 解之即得矢量方程x2 y2 C2
C1和C2是积分常数。
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§1 场
例3 求矢量场
A x i z y j z ( x 2 y 2 ) k
在直角坐标系里有:
graG d uuiujuk x y z
引进哈密顿矢量微分算子: i jk x y z
gra du uuiujuk x y z
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§1 场 二、数量场的等值面
如果数量场确定了,则场中各点处的场点值 u就确定了,对于静态
场,它是只是空间坐标的函,
u(x,y,z)[x (1)25 (x y y2)z2z2]
如温度场,电位场,高度场等.
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§1 场
等值面 数量场中量值相等的点构成的面. u(x,y,z)c(c为常数 u c1 u c2 u c3
y1x 2
x2y2z26
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§2 数量场的方向导数和梯度
一、方向导数
考虑标量场中两个等值面 u,uu
定义数量函数 u(x, y,z) 沿给定方向 l 的变化率
uu M l
u M0
lim u u ulim u (M ) u (M 0) u
M M M M 0
0
M M 0
M 0M
lM 0
u 1 l M 2
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§2 数量场的方向导数和梯度
二、梯度 u
u
l2
u l1
uG l0G coG s,l0 ()
uuco suco suco l3 s
l x
y
z
l l0 co i c so j c sk o
G uiujuk
x y z
当 coG ,sl0()1,即 l 方向与 G 方向一致.
通过点 M(2,的1,1矢)量线方程。
解: 矢量场满足的微分方程为
dxdy dz xz yz (x2y2)
由 dx dy xz yz
y C1x
由
dy yz
dz (x2
y2)
x2y2z2C2
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§1 场
M(2,1,1)
C1
1 2
y C1x x2y2z2C2
C2 6
所以过点 M(2,的1,1矢) 量线方程为:
rxiyjzk
则微分
d r di x dj y dkz
r
0
（在M处与矢量线相切的矢量）
与在M处的场矢量A A xiA y 共j 线A z 。k
因此有： dx dy dz Ax Ay Az
矢量线的微分方程
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§1 场
例2 求矢量场 A x2 i y x 2 的y j矢 量z线2 k y 方程。
方向的方向导数.
解: u x , u y , u z x x 2 y 2 z 2 y x 2 y 2 z 2 z x 2 y 2 z 2
的l 方向余弦为: co s1,co s2,co s2
3
3
3
则 uuco suco sucos
l x
y
z
u x 1 y 2 z 2 l x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23 x 2 y 2 z 23
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§1 场
三、矢量场的矢量线
如果矢量场确定了,则场中各点处的矢量 A就确定了,对于静态场,
它是只是空间坐标的函数.
AA (x,y,z)
或
A A x ( x , y , z ) i A y ( x , y , z ) j A z ( x , y , z ) k
例如,在直角坐标系下,
A ( x ,y ,z ) x 2 i y x 2 y j z 2 k y
u
G
l max
结论: ① 矢量 G的方向就是数量函数
u(M )变化率最大的方向.
② 矢量 的G模正好是这个最大变化率的数值.
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§2 数量场的方向导数和梯度
定义梯度
大小:最大方向导数 G
数量场 u(M ) 在M点的梯度是一个矢量
gradGu
方的向方:向最(大即方G向的导方数向所)在