拉氏变换

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拉氏变换

6
63 s3

et 7e2t 6e3t
(2). 包含有共轭极点的情况 1,2
例2 求
F(s)

s1 s(s2 s 1)
的拉氏反变换。
13
s1 0,
s2,3

2
j
2
s1
s1
F(s)
s(s2

s 1)

s s
1 2
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
1
1
s 1 s2 1
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
t n (n 1，2，3， )
9
t neat (n 1，2，3， )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1

a
1

j
3 2
1
由此得：
1 1
2 0
s1
A

s(s2

s

1)

s s0

1
s1
s
1
F(s)

s(s2

s 1)

s
1 2

j
3 2

s

常用的拉氏变换表

常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。

它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。

而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。

拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。

下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。

其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。

其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。

例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。

在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。

通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。

拉氏变换

A01 r 1 A02 r 2 p0 t f (t ) [ t t A0 r ]e (r 1)! (r 2)! Ar 1e pr1t An e pnt t0
13
例：解：
s3 求反变换。 ( s 2) 2 ( s 1) A01 A02 A3 F ( s) 2 s 2 s 1 ( s 2) s3 A01 [ ( s 2) 2 ] s 2 1 ( s 2) 2 ( s 1) F (s)
定义：
1 c j f (t ) F ( s)e st ds 2j c j
根据上式求反变换显然很复杂，一般采用下面的方法求反变换。设F(s)为：
b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) a0 s n a1s n1 an1s an
F (s)
f (t ) te2t 2e2t 2et (t 2)e2t 2et
t 0
14
习题一、求拉氏变换
(1) f (t ) 0.5(1 cos3t ) (3) f (t ) e at sin t (2) f (t ) 1 e t e 4t (4) f (t ) te 2t
1
1
例：已知解：
F ( s)
F (s)
s 1 s ( s 2 s 1)
求 f(t)
A A s A2 s 1 0 21 s( s 2 s 1) s s s 1
s0 0 s1, 2 1 j 3 0.5 j 0.866 2 2
三个极点：
( n1) (0) 0 特别，当初值 f (0) f (0) f (0) f

拉氏变换

t s 0
9、卷积定理：若f1(t), f2(t)可拉氏变换，且有L[f1(t)]=F1(s)，L[f2(t)]=F2(s),则
F1 ( s) F2 ( s ) L[ f1 ( ) f 2 (t )d ]
0
t

t
0
f1 ( ) f 2 (t )d为f1 (t）、f 2 (t）的卷积
2、时域平移定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
L[ f (t a)] e F ( s)
as
3、时域微分定理：若f(t)可拉氏变换，且有 L[f(t)]=F(s)，则
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 ) dt d n f (t ) L[ ] s n F ( s ) s n 1 f (0 ) s n 2 f (1) (0 ) ...... f ( n 1) (0 ) dt n df (t ) (1) f (0 ) |t 0 dt d n 1 f (t ) f ( n 1) (0 ) |t 0 n 1 dt
f (t ) R(t ) t 1(t )......... t 0 .......
F ( s) L[ R(t )] te dt
st 0 令u t dv e

t
e
st
st
s

0

e dt s
st
e 1 2 |0 2 s s
n Ai pi t 1 1 f (t ) L [ F ( s )] L [ ] Ai e i 1 ( s pi ) i 1 n
(2)当F(s)中的极点pl为l重极点时，F(s)可以表示为

信号与系统第6章拉氏变换

t
L[
f ( )d ] F(s) f 1(0)
s
s
其中：
f (1) (0)
0
f ( )d ，为常数
4、延时（时域平移）
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t t0)u(t t0)] est0 F(s)
5、S域平移
若： L[ f (t)] F(s) ，则
L[ f (t)eat] F(s a)
]/
ds
显然
K12
d[(s
p1)k ds
F (s)]
s p1
继续微分：
K13
1 2
d
2[(s
p1)k ds2
F (s)]
s p1
一般形式：
K1i
(i
1 1)!
d i1[(s
p1)k dsi1
F (s)]
i 1,2,,k
s p1
举例：
F (s)
s2 s(s 1)3
F(s)
K11 (s 1)3
K12 (s 1)2
如果A(s) 的阶次高于B(s) ，可以先用长除法，后用上面
的方法：
举例：
F
(s)
s3 (s
5s2 1)(s
9s 2)
7
则展开后应有：
F
(s)
s
2
(s
s3 1)(s
2)
F(s) s 2 2 1 s 1 s 2
f (t) ' (t) 2 (t) 2et e2t t 0
E(s) D(s)
为求 K1i ，上式两边同乘以(s p1)k
(s
p1)k
F
(s)
K11
K12

拉氏变换

确定。可对应于平面上的点 (x, y)，这样表示复数的
平面称为复平面或 z 平面。其中 x 轴称为实轴，y
轴称为虚轴。
y
Z（a，b）
z=a+bi uuur OZ (a,b)
O
x
复数的表示
• 代数形式： z x iy
• 三角形式： z r(cos i sin ) r | z | Arg z
例1
求 : f (t) sin( t)的象函数
解
F(s)
sin(t )

1

2
j
(e j t

e j t
)

1 2j

S
1
j

S
1
j

S2 2
注：欧拉公式 re jt r[cos(t) sin(t)]
2）. 微分性质
➢ 斜坡信号（Ramp Function）
r(t)

R

t

u(t)

Rt 0
r（t）
t0 t0
u(t)-----单位阶跃函数
Rt t g（）=R

时间 t
斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。
➢抛物线信号（Parabolic Function）
r
(t
)

0.5R

t
2

u(t
)

0.5R 0
t
s0
f (0 ) lim f (t) lim SF (S)
t0
s
证：
df (t) dt

sF (s)

拉氏变换

1 1 1 2 = − + 2 2 s ⎛ 3⎛ ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎜s+ ⎟ +⎜ ⎜s+ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ ⎝ s+
3 2 ⎞ 1⎞ ⎛ 3 ⎜ ⎟ ⎟ +⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
续
⎡ s+1 ⎤ 所以f (t ) = L ⎢ 2 ⎥ s s + s + 1 ⎣ ⎦
−1
(
)
－ 1 式中，L 是表示进行拉氏反变换的符号
常用函数拉氏变换对照表
s s 2 + w2
拉氏变换续表
典型函数的拉氏变换
单位阶跃函数1 （ t） ⎧0( t < 0) 1( t ) = ⎨ ⎩1( t ≥ 0)
F ( s ) = L[1( t )] = ∫
∞
0
1 − st ∞ 1( t )e dt = − e s 0
A3 A1 s + A2 + = (s + p1 )(s + p2 ) s + p3
1
系数求法：
An + ... + s + pn
s=− p [F ( s )(s + p1 )(s + p2 )]或 s=− p
2
⎡ A1 s + A2 A3 An ⎤ =⎢ + + ... + ⎥ (s + p1 )(s + p2 ) s = − p1 ( )( ) s + pn ⎦ s + p3 ⎣ s + p1 s + p2 或s = − p2
s −s+2 F (s ) = s s2 − s − 6

拉氏变换

线性定常微分方程求解拉氏变换即拉普拉斯变换。

为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。

对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。

拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。

复习拉普拉斯变换有关内容（1）1 复数有关概念（1）复数、复函数复数复函数ωσj s +=()()()x y F s F s jF s =+例1 ωσj s s F ++=+=22)(（2）模、相角()22yx FF s F +=()xyF F s F arctan=∠（3）复数的共轭yx jF F s F −=)(（4）解析若F(s)在s 点的各阶导数都存在，则F(s)在s 点解析。

模相角复习拉普拉斯变换有关内容（2）2 拉氏变换的定义0[()]()()stL f t F s f t e dt∞−==⋅∫（1）阶跃函数⎩⎨⎧)()(t f s F 像原像3 常见函数的拉氏变换⎩⎨⎧<≥=0001)(t t t f ()[][]()s s e s dt e t L st st110111100=−−=−=⋅=∞−∞−∫（2）指数函数ate tf =)(()dtedt e e t f L ta s stat∫∫∞−−−∞=⋅=0)]([[]as )(a s e as a)t(s −=−−−=−−=∞−−110110复习拉普拉斯变换有关内容（3）（3）正弦函数⎩⎨⎧≥<=0sin 00ωt t t f(t)[][]dte e e j dt e t f(t)L stt j t j st−∞−∞−⋅−=⋅=∫∫0021sin ωωω[]d te e j )tj (s )t -(s-j ∫∞+−−=021ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−−−=∞+−∞−−001121)t j (s )tj (s e j s e j s j ωωωω22222211121ωωωωωω+=+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−=s s j j j s j s j复习拉普拉斯变换有关内容（4）（1）线性性质4 拉氏变换的几个重要定理（2）微分定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()()∫∫∞−−∞=⋅′=00左t df e dt e t f stst()()[]()()()()()()()00001221−−−−′−−=n n-n-n-nn f sff sf ss F s t f "()[]()dt e t f s -f st−∞∫+=000()()右0=−=f s sF ()[]()st-st de t f t f e −∞∞∫−=00证明：0初条件下有：()()[]()s F s t fL nn =复习拉普拉斯变换有关内容（5）例2 求[]?)(=t L δ解. ()()t 1t ′=δ()[]()[]t L t δL 1′=例3 求[]?)cos(=t L ω解. []t tωωωn si 1cos ′=[][]t L t L ωωωn si 1cos ′=()−−⋅=01δss 101=−=221ωωω+⋅⋅=s s 22ω+=s s复习拉普拉斯变换有关内容（6）（3）积分定理()[]()()()0111-f s s F s dt t f L +⋅=∫零初始条件下有：()[]()s F sdt t f L ⋅=∫1进一步有：N ()()()()()()()()010*******n n n n n n fs f s f s s F s dt t f L −−−−++++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∫∫∫""个例4 求L [t]=?解. ()dtt t ∫=1[]()[]∫=dt t L t L 1例5 求解. dt t t ∫=220222111=⋅+⋅=t t s s s ?22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡t L 0111=+⋅=t t ss s 21s =[][]∫=dt t L t L 2231s=复习拉普拉斯变换有关内容（7）（4）实位移定理证明：例6解.)(1)(1)(a t t t f −−=[][])(1)(1)(a t t L t f L −−=[])()(00s F et f L sτ⋅=−⋅−τ()F(s),a t 0a t 0 10t 0t f 求⎪⎩⎪⎨⎧><<<=s e s as11⋅−=−se as−−=1dtet f st ∫∞⋅−⋅−=00)(τ左令ττ=−0t τττττd ef s ∫∞−+−⋅=00)()(τττττd ef ess∫∞−−−⋅=00)(右=复习拉普拉斯变换有关内容（8）（5）复位移定理证明：[])()(A s F t f eL tA −=⋅dt et f e st At∫∞⋅−⋅=0)(左令sA s=−dt et f ts ∫∞⋅−⋅=0)( )(s F=右=dt e t f tA s ∫∞⋅−−⋅=0)()()(A s F −=[]at e L []t e L t -5cos 3⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−)πt (e L t 35cos 2222155+→⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=s s s π-s s e例7例8例9()22533+++=s s 3225+→+=s s s s ()[]ate t L ⋅=1a s s s −→= 1⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−)π(t e L t 155cos 2()()22215522+++⋅=+−s s e s πa s −=1复习拉普拉斯变换有关内容（9）（6）初值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−21)(ss F =例10[])0()(lim )(lim 0f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅∞→∞−∞→∫0lim )(0=⋅=∫∞−∞→+dt e dt t df t s s 左[]0)0()(lim =−⋅⇒+∞→f s F s s )(lim )(lim )0(0s F s t f f s t ⋅==∞→→+()tt f =)(lim )0(s F s f s ⋅=∞→01lim 2=⋅=∞→ss s复习拉普拉斯变换有关内容（10）（7）终值定理证明：由微分定理)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→)0()()(0f s F s dt e dtt df ts −⋅=⋅∫∞−))((1)(b s a s s s F ++=例11（终值确实存在时）[])0()(lim )(lim 000f s F s dt e dtt df s ts s −⋅=⋅→∞−→∫dt e dtt df t s s ∫∞−→⋅=00lim )(左∫∞=0)(t df ∫∞→=t t t df 0)(lim [])0()(lim f t f t −=∞→[])0()(lim 0f s F s s −⋅==→右()()()abb s a s s sf s 11lim 0=++=∞→()22ωs ωs F +=()∞→=∞t ωt f sin 例120lim 220=+≠→ωs ωs s复习拉普拉斯变换有关内容（11）用拉氏变换方法解微分方程)(1)()()(21t t y a t y a t y =⋅+′⋅+′′ss Y a s a s 1)()(212=⋅++L 变换)0()0(=′=y y )(1)(212a s a s s s Y ++=()[])(1s Y L t y −=系统微分方程L -1变换课程小结(1)1 拉氏变换的定义∫∞−⋅=0)()(dte tf s F ts（2）单位阶跃2 常见函数L 变换)(t f s1（5）指数函数ate −)(1a s +)(s F )(1t （1）单位脉冲1)(t δ（3）单位斜坡21s t （4）单位加速度31s22t （6）正弦函数t ωsin )(22ωω+s （7）余弦函数tωcos )(22ω+s s课程小结(2)（2）微分定理3 L 变换重要定理（5）复位移定理（1）线性性质（3）积分定理（4）实位移定理（6）初值定理（7）终值定理[](s)F b (s)F a (t)f b (t)f a L 2121±=±()[]()()0f s F s t f L −⋅=′()[]()()()0111-f ss F s dt t f L +⋅=∫[])()(0s F e t f L sτ⋅=−⋅−τ[])()(A s F t f eL tA −=⋅)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=∞→→)(lim )(lim 0s F s t f s t ⋅=→∞→复习拉普拉斯变换有关内容（12）5 拉氏反变换∫∞+∞−⋅=j j st dse s F j tf σσπ)(21)(（1）反演公式（2）查表法（分解部分分式法）试凑法系数比较法留数法a)s(s a)-s (s a F(s)++⋅=1a)s(s F(s)+=1例1 已知，求?)(=t f 解.[]ateaf(t)−−=11⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−=a s s a 111复习拉普拉斯变换有关内容（13）ca c a c a ca n n n n 01)1(1)(...+′+++−−用L 变换方法解线性常微分方程0 初条件n>m:L )()...(0111s C a s a s a s a n n nn ++++−−)(......)(01110111s R a s a s a s a b s b sb s b s C n n n n m m mm ++++++++=−−−−011011)()(......)(a s a s a b sb s b s C n n n n m m m m t t r ++++++=−−−−=δn n s C s C s C λλλ−+−+−="2211tn ttn eC eC eC s C L t c λλλ+++==−"21211)]([)(: 特征根（极点）i λ: 相对于的模态tie λi λ:1−L rb r b r b r b m m m m 01)1(1)(...+′+++=−−)()...(0111s R b s b s b s b m m m m ++++=−−复习拉普拉斯变换有关内容（14）用留数法分解部分分式一般有其中：)(......)()()(011011m n a s a s a b sb s b s A s B s F n n n n m m m m >++++++==−−−−设)())((...)(21011n n n n n p s p s p s a sa s a s A −−−=+++=−−"0)(=s A I. 当无重根时∑=−=−++−+−=ni ii n n p s C p s C p s C p s C F(s)12211"∑==+++=ni tp i tp n tp tp i n eC eC eC eC t f 12121)(").F(s)p (s C i p s i i−=→lim ip s i (s)A B(s)C =′=复习拉普拉斯变换有关内容（15）342)(2+++=s s s s F 例2 已知，求?)(=t f 解.3131221+++=+++=s C s C ))(s (s s F(s)2131213121lim 11=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 2113233123lim 32=+−+−=++++=−→))(s (s s )(s C s 321121+++=s s F(s)tt ee f(t)32121−−+=3455)(22++++=s s s s s F 例3 已知，求?)(=t f 解.34)2()34(22++++++=s s s s s F(s))3)(1(21++++=s s s tt ee t f(t)32121)(−−++=δ复习拉普拉斯变换有关内容（16）223)(2+++=s s s s F 例4 已知，求?)(=t f 解一.jjj)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 11+=++−++−+=+−→jij)j)(s (s s j)(s C j s 221131lim 12−−=++−++++=−−→t j t j e jj e j j f(t))1()1(2222−−+−−−+=解二：js C -j s C j)-j)(s (s s F(s)++++=++++=1111321[]jtjt t e j e j e j −−−−+=)2()2(21[]t t j e jt sin 4cos 221+⋅=−[]t t e t sin 2cos +⋅=−22113+++=)(s s F(s)te t e f(t)t t sin 2cos −−+=22221112111++++++=)(s )(s s 221121++++=)(s s复习拉普拉斯变换有关内容（17）0)()()(1=−−=n p s p s s A "II. 当有重根时nn m m m-m-m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s)++++++=++""11111111(设为m重根，其余为单根)1p 1111111[s-p C )(s-p C )(s-p C L f(t)m-m-m m +++=−"[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−=−=−=−=−−→→→→.F(s))p (s ds d )(m-C .F(s))p (s ds d j C .F(s))p (s ds d C .F(s))p (s C m m m p s mj j p s m-j m p s m-m p s m 11)1(11)(1111111lim !11lim !1lim !11lim ""]11n n m m s-p C s-p C +++++"t p m m-m m .e C t C t )(m C t )(m C 1]!2!1[12211++−+−=−−tp n m i i i e C ∑+=+1复习拉普拉斯变换有关内容（18）nn m m m-m-m m s-p C s-p C s-p C )(s-p C )(s-p C F(s)++++++=++""11111111mm p s C .F(s))p (s =−→11lim 111212111−++++=m m-m-m m )(s-p C )(s-p C )(s-p C C F(s))(s-p "nmn m m m s-p )(s-p C s-p )(s-p C 1111+++++"[]""+−−++−++=−−−−2111211)()1()(20m m m m p s C m p s C C .F(s))p (s dsd[]111lim !11m-m p s C .F(s))p (s dsd =−→[]""+−−−++++=−−−3112122)()2)(1(200m m m p s C m m C .F(s))p (s dsd []21221lim !21m-m p s C .F(s))p (s dsd =−→"复习拉普拉斯变换有关内容（19）)3()1(2)(2+++=s s s s s F 例5 已知，求?)(=t f 解.31143122++++++=s c s c s c )(s c F(s))(s )s(s s )(s C s 3121lim 2212++++=−→⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=−→)(s )s(s s )(s ds d C s 3121lim !112211)(s )s(s s s.C s 312lim 203+++=→31121132114311212++++−+−=s .s .s .)(s .F(s)tt t ee te f(t)3121324321−−−++−−=)(s )s(s s s C s 312)3(lim 234++++=−→2131121−=+−−+−=))((221)3(]3)[2()3(lim ++++−+=−→s s s s s s s s 43−=32=121=。

Laplace变换

1 1 ST F(S) = e S S
f(t) T T
f ( t ) = t[ε ( t ) ε ( t T )]
1 e ST F(S) = 2 2 S S
2、频域平移性质、
设：L[ f ( t )] = F ( S )
则：L[e
∞
αt
f ( t )] = F ( S + α )
证： e ∫0
Laplaceຫໍສະໝຸດ 变换1 Laplace变换的定义变换的定义 2 3 4 Laplace变换的性质变换的性质 Laplace反变换反变换 Laplace变换的应用变换的应用
1 Laplace变换的定义变换的定义
拉氏变换定义：一个定义在，）拉氏变换定义：一个定义在[0，∞）区间的函数 f(t)，它的拉氏变换定义为：，它的拉氏变换定义为：
dF ( S ) 则：L[ tf ( t )] = dS d ∞ ∞ st st 证： ∫0 f ( t )e dt = ∫0 f ( t )( t )e dt ds
= L[ tf ( t )]
d F (S) 推广：推广： L[t f ( t )] = ( 1) n dS
n n n
dF ( S ) L[ tf ( t )] = dS
则：L[ ∫0
d 证： f ( t ) = dt
t
1 f ( t )dt ] = F ( S ) S
∫0
t
f ( t )dt
d t L[ f ( t )] = L[ ∫0 f ( t )dt ] dt t t F (S ) = sL[ ∫0 f ( t )dt ] ∫0 f ( t )dt
t =0
∞
st
∞

拉氏变换的基本性质

频移性质的意义
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用于将电路的频率响应转换回时域响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于将控制系统的传递函数转换回时域，以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于将信号的频谱转换回时域信号，以便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢，其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发散。

拉氏变换_精品文档

拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。

它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。

拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。

拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。

拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。

2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。

3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。

4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。

这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。

拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。

通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。

2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。

通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。

3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。

通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。

4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。

信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。

本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。

以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。

（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。

拉氏变换

3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
3.信号典型函数拉氏变换的计算
指数函数
三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数
单位加速度函数
幂函数
阶跃信号（Step Function）
R t 0 r (t ) R u (t ) 0 t 0
s t 0
f ( ) lim f ( t ) lim SF ( S )
t s 0
证：利用导数性质
lim 0 s 0
d f ( t )e st dt lim[ SF ( S ) f (0 )] s 0 dt
0
d st f ( t ) lim e dt f ( t ) s0 dt 0 f ( ) f ( 0 ) lim SF ( S ) f ( 0 )
反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换。积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F (S ) 简写 f (t )
注
1

f (t ) 1 F (S )
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
du (t ) (t ) dt
1 [u (t )] s
δ(t )
推广：
1 d [ u (t )] S 1 dt S
d 2 f (t ) ' [ ] s[sF (s) f (0 )] f (0 ) 2 dt

拉氏变换

1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
uC (0) Useg (S)＝US (S) + LiL (S) ：等值电压源象函数。 S
Z(S)I(S)=Useg(S)
5应用拉普拉斯变换法分析线性电路应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤：把电路变换成频域电路；电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解；利用拉氏反变换得到时域的值。
uC (0 ) 1 U C (S ) = + IC (S ) S SC
U C ( 0 ) 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
4 运算电路
duC L [iC ] = L C dt
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CU C ( 0 ) : 附加电流源；
K13 = ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S = S1
Q
K2 d [ K13 + K12 ( S S1 ) + K11 ( S S1 ) 2 + ( S S1 )3 ] dS S S2 ∴ K12 d 3 N (S ) = [( S S1 ) ] dS D( S ) S = S 1
1 d2 3 N (S ) K11 = 2 [( S S1 ) ] 2! dS D ( S ) S = S
K1( p j )
1
1 dj N (S ) = j [( S S1 ) p ] , j ! dS D ( S ) S = S
1
j = 0,1, 2L ( p 1) , 0! = 1,
5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源，求 uC(t)和 iC(t)。

拉氏变换

t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为：傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数，拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。

拉氏变换定义,性质

拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。

拉氏变换定义

拉氏变换定义拉氏变换是数学中的一种重要工具，广泛应用于信号与系统、控制理论、电路分析等领域。

它是将时域信号转换为复频域信号的一种方法，可以用于分析信号的频谱特性、系统的稳定性以及系统的传递函数等问题。

拉氏变换的定义如下：设函数f(t)在区间[0,∞)上绝对可积，即∫|f(t)|dt<∞，则称函数F(s) = L{f(t)}=∫f(t)e^(-st)dt为f(t)的拉氏变换，其中s为复变量。

通过拉氏变换，我们可以将一个复杂的时域信号转换为在复频域中的表示，从而更方便地进行分析。

通过对拉氏变换的运算和性质的研究，我们可以得到许多有用的结论和定理，进而解决各种与信号与系统相关的问题。

拉氏变换的一个重要性质是线性性质。

即对于任意常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)。

这个性质使得我们可以将复杂的信号分解为更简单的部分进行处理，从而简化问题的求解过程。

拉氏变换还有平移性质和尺度变换性质。

平移性质表明，如果f(t)的拉氏变换为F(s)，则e^(-at)f(t)的拉氏变换为F(s+a)。

尺度变换性质表明，如果f(at)的拉氏变换为F(s)，则f(t)的拉氏变换为(1/a)F(s/a)。

这两个性质使得我们可以通过对信号进行平移和尺度变换，来获得不同频率和幅度的信号的拉氏变换。

拉氏变换还有微分和积分性质。

微分性质表明，如果f(t)的导数为f'(t)，则f'(t)的拉氏变换为sF(s) - f(0)。

积分性质表明，如果f(t)的积分为∫f(t)dt，则∫f(t)dt的拉氏变换为F(s)/s。

这两个性质使得我们可以通过对信号进行微分和积分操作，来得到信号的导数和积分的拉氏变换。

拉氏变换的应用非常广泛。

在信号与系统中，我们可以利用拉氏变换来分析信号的频谱特性，如频率响应、带宽等。

在控制理论中，拉氏变换可以用于分析系统的稳定性和动态响应。

第三章拉氏变化

L ∫ f ( t − λ )g ( λ )d λ = F (s)G (s) 0
控制工程基础
式中，式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控制工程基础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控制工程基础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续；分段连续满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足：时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控制工程基础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章实微分定理

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拉普拉斯变换拉普拉斯变换简称拉氏变换。

它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。

并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。

因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。

在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。

本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。

最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。

在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。

2.1拉氏变换2.1.1拉氏变换的定义若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作[()]f t L 或)(s F ，并定义为：[()]()()e dL stf t F s f t t +∞-==⎰（2.1）式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。

原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。

所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。

在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。

必e 1[1()]1e d L st stt t ss+∞-+∞-=⋅=-=⎰(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。

⑵单位脉冲函数单位脉冲函数如图2.2所示。

其定义为()0t t t δ∞=⎧=⎨≠⎩ 同时，()d 1t t δ+∞=⎰，即脉冲面积为1。

而且有如下特性：()()d (0)t f t t f δ+∞-∞⋅=⎰(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。

(0)()(0)t f t tt <⎧=⎨≥⎩由式（2.1）有022ee []e d ()d e11d e L st st stststt t t ttsst ss s +∞--+∞+∞-+∞-+∞-=⋅=---==-=⎰⎰⎰（2.4)⑷指数函数e at()01[e ]e ed e d L atat sts a t t t s a+∞+∞---=⋅==-⎰⎰(2.5) 同理 1[e]L ats a-=+ (2.6) ⑸正弦函数t ωsin 由欧拉公式1sin (e e )2j t j tt jωωω-=-，可得 00221[sin ]sin e d (e e )e d 2111()2L stj t j t stt t t tj j s j s j s ωωωωωωωω+∞+∞---=⋅=-=--+=+⎰⎰ (2.7) ⑹余弦函数t ωcos 由欧拉公式1cos (e e )2j t j tt ωωω-=+，可得221[cos ]cos e d (e e )e d 2111()2L st j t j t stt t t t s j s j s s ωωωωωωω+∞+∞---=⋅=+=+-+=+⎰⎰ (2.8)⑺幂函数nt[]e d L nn st t t t +∞-=⋅⎰令u st =，则1,d d u t t u s s== 则有 10011[]ed e d e d L n nn stu n un n u t t t u u u s s s+∞+∞+∞---+=⋅=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰式中e d (1)n u u u n +∞-=Γ+⎰为Γ函数，而 !)1(n n =+Γ 故 1!][+=n nsn t L上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。

用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换式。

实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。

通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数。

常用函数的拉氏变换对照表见表2.1。

表2.1常用函数拉氏变换对照表续表2.2 拉氏变换的性质下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。

2.2.1线性性质拉氏变换是一个线性变换，若有常数1K 、2K ，函数)(1t f 、)(2t f ，则112211221122[()()][()][()]()()L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s +=+=+ (2.10)上式可由拉氏变换的定义式直接得证。

线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常数K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K 倍。

例2.1已知()12cos f t t ω=-，求()F s解：222222()[()][12cos ]12()L L F s f t t s s s s s s ωωωω==--+=-=++2.2.2实数域的位移定理（延时定理）若有一函数1()f t 相当于()f t 从坐标轴右移一段时间τ,即1()()f t f t τ=-,称函数1()f t 为()f t 的延迟函数，如图2.4所示。

那么，1()f t 和()f t 的象函数之间具有下列关系：1[()][()]e ()L L s f t f t F s ττ-=-= （2.11）证明： 0[()]()e d L st f t f t t ττ+∞--=-⎰令u t τ=-，则,d d t u t u τ=+= 代入上式有0()[()]()e d L st s u f t f t t τττ+∞-+∞-+-=-⎰)(1)(1)(τ-⨯-⨯=t T t T t f 111[()]e (1e )L sT sT f t Ts Ts Ts--=-=-2.2.3复数域的位移性质(平移定理)若[()]()L f t F s =，对任一常数a ，有 [e ()]()L atf t F s a -=+ （2.12）证明：由定义出发0()0[e ()]e ()e d ()e d ()L at at st s a t f t f t t f t t F s a +∞---+∞-+=⋅=⋅=+⎰⎰可见，原函数()f t 乘以ate-时，它的象函数只需将()F s 中的s 用()s a +代替即可。

例2.3 求sin ate t ω-的拉氏变换。

解：直接运用复数域的位移定理可得22[e sin ]()L at t s a ωωω-=++同理，可求得22[e cos ]()L at s at s a ωω-+=++ 1![e ]()L at nn n t s a -+⋅=+ (1,2,3,,n = 2.2.4相似性质若[()]()L f t F s =，如将()f t 波形相对于时间轴t 进行压缩（或伸长）a 倍，成为()f t a ，则 [()]()L f t a aF as = （2.13）证明：[()]()e d L st f t a f t a t +∞-=⎰令taτ=,则,d d t a t a ττ==[()]()e d ()e d ()L st sa f t a f t a t a f aF as τττ+∞-+∞-===⎰⎰上式表明，当原函数()f t 的自变量t 变化1a 时，则它对应的象函数()F s 及变量s 按比例变化a 倍。

2.2.5原函数导数的象函数(微分定理)若[()]()L f t F s =，则导数d()d f t t的象函数为：[()]()(0)L df t s F s f dt=- （2.14）式中(0)f 是当0t =时函数()f t 的值，即原函数的初始条件。

证明：0d ()[()]e d d L st df t f t t dt t+∞-=⎰利用分部积分公式d d u v uv v u =-⎰⎰令e ,(),st u v f t -==有00d [()]e ()e ()d d ()(0)L stst f t f t s f t ttsF s f ∞+∞--=+=-⎰ 同理可得：22(1)2d [()]()(0)(0)d L f t s F s sf f t =-- 332(1)(2)3d [()]()(0)(0)(0)d L f t s F s s f sf f t=--- 12(1)(1)d [()]()(0)(0)(0)d L n n n n n n f t s F s s f sf f t---=----（2.15）式中(1)(2)(1)(0),(0),(0),,(0)n f ff f -分别为函数()f t 及其各阶导数在0t =时的值。

(2.14)和式2.15)可知，在求导数的拉氏变换中，已引入了各个初始条件。

如果这些初始条件均为零，则有d [()]()d L nn n f t s F s t= (1,2,)n = （2.16）上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数n 阶导数的拉氏变换就等于其象函数乘以n s 。

2.2.6原函数积分的象函数（积分定理）若[()]()L f t F s =，则()f t 的积分()d f t t ⎰的象函数为(1)()(0)[()d ]L F s f f t t s s-=+⎰ (2.17)式中(1)(0)()d t ff t t-==⎰证明： 0[()d ][()d ]ed L stf t t f t t t +∞-=⎰⎰⎰利用分部积分法，取()d ,d ed stu f t t v t -==⎰则有 e d ()d ,stu f t t v s-==-因此00(1)[()][()d ]e d 11()d ()e d 1(0)()L st st t f t dt f t t tf t t f t t ss f F s s s+∞-+∞-=-==+=+⎰⎰⎰⎰⎰ 同理可得n 重积分的拉氏变换：(1)(2)()1()(0)(0)(0)[()(d )]L n nn n n F s f f f f t t s s s s----=++++⎰⎰ （2.18）式中(1)(0)f -，(2)(0),,f - ()(0)n f -分别为()f t 的各重积分在0t =的值。

如果这些积分的初始值均为零，则有：22()[()d ]()[()(d )]()[()(d )]L L L n n F s f t t sF s f t t s F s f t t s ⎫=⎪⎪⎪=⎬⎪⎪=⎪⎭⎰⎰⎰⎰⎰ （2.19）上式表明，在零初始条件下，原函数的n 重积分的拉氏变换等于其象函数除以ns 。

2.2.7终值定理若[()]()L f t F s =，则原函数()f t 的终值为l i m ()l i m (t s f t sF s →+∞→=（2.20）证明：由式(2.14) 0dd ()[()]e d ()(0)d d L stf t f t t sF s f t t+∞-==-⎰当0s →，则 e1st-→，于是由上式左边得00d ()lim e d ()lim ()(0)d st s t f t t f t f t f t +∞+∞-→→+∞⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦⎰由上式右边得lim[()(0)]lim ()(0)s s sF s f sF s f →→-=-因此得l i m ()l i m ()t s f t sF s →+∞→=上式表明，原函数()f t 在t →+∞的数值（稳态值），可以通过将象函数()F s 乘以s 后，再求0s →的极限来求得。