拉氏变换

拉普拉斯变换

拉普拉斯变换简称拉氏变换。它是一种函数的变换，经变换后，可将时域的微分方程变换成复数域的代数方程。并且在变换的同时，即将初始条件引入，避免了经典解法中求积分常数的麻烦，可使解题过程大为简化。因此，对于那些以时间t 为自变量的定常线性微分方程来说，拉氏变换求解法是非常有用的。

在经典自动控制理论中，自动控制的数学模型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概念又是建立在拉氏变换的基础上，因此，拉氏变换是经典控制理论的重要数学基础，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。本章着重介绍拉氏变换的定义，一些常用时间函数的拉氏变换，拉氏变换的性质以及拉氏反变换的方法。最后，介绍用拉氏变换解微分方程的方法。在学习中应注重该数学方法的应用，为后续章节的学习奠定基础。

2.1拉氏变换

2.1.1拉氏变换的定义

若()f t 为实变量时间t 的函数,且0t <时，函数()0f t =，则函数()f t 的拉氏变换记作

[()]f t L 或)(s F ，并定义为：

[()]()()e d

L st

f t F s f t t +∞-==⎰

（2.1） 式中s j σω=+为复变量，()F s 称为()f t 的象函数，称()f t 为()F s 的原函数。原函数是实变量t 的函数，象函数是复变量s 的函数。所以拉氏变换是将原来的实变量函数()f t 转化为复变量函数()F s 的一种积分运算。在本书中，将用大写字母表示相对应的小写字母所代表的函数的拉氏变换。

必

e 1

[1()]1e d L st st

t t s

s

+∞

-+∞-=⋅=-

=⎰

(2.2) 在自动控制系统中，单位阶跃函数相当于一个实加作用信号，如开关的闭合（或断开），加（减）负载等。

⑵单位脉冲函数

单位脉冲函数如图2.2所示。 其定义为

()0

t t t δ∞

=⎧=⎨

≠⎩ 同时，

()d 1t t δ+∞=⎰

，即脉冲面积为1。而且有如下特性：

()()d (0)t f t t f δ+∞-∞

⋅=⎰

(0)f 为()f t 在0t =时刻的函数值。

(0)

()(0)

t f t t

t <⎧=⎨

≥⎩

由式（2.1）有

02

2

e

e []e d ()d e

11d e L st st st

st

st

t t t t

t

s

s

t s

s s +∞

--+∞+∞-+∞

-+∞-=⋅=---==-

=

⎰

⎰⎰

（2.4)

⑷指数函数e at

()0

1

[e ]e e

d e d L at

at st

s a t t t s a

+∞+∞---=⋅==

-⎰

⎰

(2.5) 同理 1

[e

]L at

s a

-=

+ (2.6) ⑸正弦函数t ωsin 由欧拉公式1sin (e e )2j t j t

t j

ωωω-=

-，可得 0022

1[sin ]sin e d (e e )e d 2111()2L st

j t j t st

t t t t

j j s j s j s ωωωωωω

ωω+∞

+∞---=⋅=-=--+=

+⎰⎰ (2.7) ⑹余弦函数t ωcos 由欧拉公式1cos (e e )2

j t j t

t ωωω-=

+，可得

2

21[cos ]cos e d (e e )e d 2111()2L st j t j t st

t t t t s j s j s s ωωωωωωω+∞+∞---=⋅=

+=

+-+=+⎰

⎰ (2.8)

⑺幂函数n

t

[]e d L n

n st t t t +∞-=⋅⎰

令u st =，则1,d d u t t u s s

=

= 则有 10

011[]e

d e d e d L n n

n st

u n u

n n u t t t u u u s s s

+∞+∞+∞---+=

⋅=⋅⋅=⋅⎰

⎰

⎰

式中

e d (1)n u u u n +∞-=Γ+⎰

为Γ函数，

而 !)1(n n =+Γ 故 1

!][+=

n n

s

n t L

上面求取了几个简单函数的拉氏变换式。用类似的方法可求出其他时间函数的拉氏变换式。实际上，常把原函数与象函数之间的对应关系列成对照表的形式。通过查表，就能够知道原函数的象函数，或象函数的原函数。常用函数的拉氏变换对照表见表2.1。

表2.1常用函数拉氏变换对照表

续表

2.2 拉氏变换的性质

下面介绍几个以后本书中将直接用到的拉氏变换的重要性质。

2.2.1线性性质

拉氏变换是一个线性变换，若有常数1K 、2K ，函数)(1t f 、)(2t f ，则

11221

1221122

[()()][()][()]

()()L L L K f t K f t K f t K f t K F s K F s +=+=+ (2.10)

上式可由拉氏变换的定义式直接得证。

线性性质表明，时间函数和的拉氏变换等于每个时间函数拉氏变换之和；原函数乘以常数K 的拉氏变换就等于原函数拉氏变换的K 倍。

例2.1已知()12cos f t t ω=-，求()F s

解：

2222

22()[()][12cos ]

12()

L L F s f t t s s s s s s ωωωω==--+=-=++

2.2.2实数域的位移定理（延时定理）

若有一函数1()f t 相当于()f t 从坐标轴右移一段时间τ,即1()()f t f t τ=-,称函数