上海市2018届高三数学复习函数的性质(1)专题练习
2018届高三第一轮复习数学单元测试卷2函数的性质
2018届⾼三第⼀轮复习数学单元测试卷2函数的性质2018届⾼三第⼀轮复习单元测试卷第⼆单元⼀般函数的性质⼀.选择题:1.设)(x f 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A ．)()(x f x f -是奇函数 B. )()(x f x f -是奇函数 C. )()(x f x f --是偶函数 D. )()(x f x f -+是偶函数 1.解析: D ； A 中()()()F x f x f x =-则()()()()F x f x f x F x -=-=，即函数()()()F x f x f x =-为偶函数，B 中()()()F x f x f x =-，()()()F x f x f x -=-此时()F x 与()F x -的关系不能确定，即函数()()()F x f x f x =-的奇偶性不确定， C 中()()()F x f x f x =--，()()()()F x f x f x F x -=--=-，即函数()()()F x f x f x =--为奇函数，D 中()()()F x f x f x =+-，()()()()F x f x f x F x -=-+=，即函数()()()F x f x f x =+-为偶函数，故选择答案D 。
2. 若()f x 的定义域为[3,1],-则函数()()()F x f x f x =+-的定义域为 ( )A.[3,3]-B.[1,1]-C. [3,1]-D.[1,3]-2.解析: B ; 由3131x x -≤≤??-≤≤?得定义域为[1,1].-3.已知函数)30(42)(2<<++=a ax ax x f ,若a x x x x -=+<1,2121,则 ( )A. )()(21x f x f <B. )()(21x f x f =C. )()(21x f x f >D.)(1x f 与)(2x f 的⼤⼩不能确定. 3.解析:A; 解法⼀.)42()42()()(22212121++-++=-ax ax ax ax x f x f )2)(()(2)(2121212221++-=-+-=x x x x a x x a x x a , ⼜,1,,302121a x x x x a -=+<<<得032,0,02121>-=++<->a x x x x a ,故).()(,0)()(2121x f x f x f x f <<-即解法⼆:由函数,4)1(42)(222a x a ax ax x f -++=++= 知对称轴为,1=x ⼜,30<则,21-a x x 结合函数图象可以看出,其弦中点在对称轴右侧, 故).()(21x f x f <4.若)()(R x x f y ∈=是奇函数,则下列各点中,在曲线)(x f y =上的点是 ( )A. ))(,(a f a -B.))sin (,sin (αα---fC.??--)1(lg ,lg a f a D.())(,a f a -- 4.解析:D; 当，a x 时-=),()(a f a f y -=-=故选D.5.若)(x f 是奇函数,且0>x 时,,)1lg()(2x x x f ++=则当0A.2)1lg(x x --B.)1lg(2x x --C.2)1lg(x x --- D.2)1lg(x x -+5.解析:C; ⽤代对称点法,得,)()1lg(2x x y -++-=-2)1lg(x x y ---=∴. 6.设函数)(x f 为减函数,且,0)(>x f 下列函数中为增函数的是 ( ) A.)(1x f y -= B.)(2x f y = C.)(log 21x f y = D.[]2)(x f y = 6.解析:C; 由复合函数的单调性知选C.7.已知偶函数)(x f 在[]π,0上单调递增,那么下列各关系中,成⽴的是 ( )A.??? ??->??? ?>-241log )(2ππf f f B.??? ?>??? ??->-41log 2)(2f f f ππ C.)(241log 2ππ->??->?f f f D.)(41log 22ππ->??? ?>??7.解析:A; )(41log 2,41log 2022ππππf f f-,),()(x f x f =-∴ ).(41log 22ππ-8.定义在R 上的函数)(x f 对任意两个不等实数b a ,,总有0)()(>--ba b f a f 成⽴,则有 ( )A. 函数)(x f 是先增加后减少B. 函数)(x f 是先减少后增加C. )(x f 在R 上是增函数D. )(x f 在R 是减函数 8.解析 :C.9.⼆次函数,)(2c bx ax x f ++=若),)(()(2121x x x f x f ≠=则)(21x x f +等于( )A.a b 2-B.a b -C. cD.ab ac 442-9.解析: C; 由题意得:a b x x -=+21,则)(21x x f +=.)()(2c c abb a b a =+-+- 10.求函数1122+-=x x y 的值域为 ( )A.)1,1(-B. ]1,1(-C. [)1.1-10.解析: C ; 1122+-=x x y ==+-+12122x x 1122++x , [)<∴∞+∈+0,112x 2122≤+x , 11,01222<≤-∴<+-≤-∴y x ,所以函数的值域为[)1.1-,故选C. 11. 若)(x f 是偶函数,)(x g 是奇函数,且1 1)()(-=+x x g x f ,则)()(x g x f 和的解析式分别为 ( )A.11)(,11)(22-=-=x x g x x f B.11)(,1)(22-=-=x x g x x x f C.1)(,11)(22-=-=x x x g x x f D.221)(,11)(xxx g x x f -=-= 11.解析:C; 由题意得+-=-+-+=+11)()(11)()(x x g x f x x g x f+-=--=+?)2(11)()()1(11)()(x x g x f x x g x f1)(,2)2()1(,11)(2)2()1(22-=+-=+x x x g x x f 得得. 12.已知,)(3x x f =若],2,0[πθ∈则使0)1()sin (>-+a f a f θ恒成⽴的a 的取值范围是()B.1≤aC.1D.1>a12.解析:D; 3)(x x f = 是奇函数且单调递增, a a ->∴1sin θ恒成⽴,即θsin 11+>a恒成⽴,.1>∴a 故选D.附加题:1.函数x y -=lg ( )A.是偶函数,在区间)0,(-∞上单调递增B. 是偶函数,在区间)0,(-∞上单调递减C.是奇函数,在区间),0(+∞上单调递增D. 是奇函数,在区间),0(+∞上单调递减. 1解析:B; 由x x y lg lg =-=,及复合函数的单调性知选B.⼆．填空题:13.函数y =的递增区间为 .13.解析:[3,1]-- ; 由2320x x --≥得31x -≤≤,所以增区间为[3,1].--14. 若函数223y x x =-+在闭区间[0,]m 上有最⼤值3,最⼩值2,则m 的取值集合为 .14.解析: [1,2]; 由223y x x =-+即2(1)2y x =-+,结合图象分析知m 的取值范围为[1,2]时,能使得函数取到最⼤值3和最⼩值2.15. ⽼师给了⼀个函数),(x f y =三个学⽣甲,⼄,丙各指出这个函数的个性质甲:对于R x ∈,函数的图象关于y 轴对称; ⼄:在(]0,∞-上函数递减; 丙:在[)+∞,0上函数递增请构造⼀个这样的函数 .15.解析:这是⼀个开放性试题,答案不唯⼀,可以构造函数:,2x y =或x y =等.16. 函数()f x 对于任意实数x 满⾜条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =_______________。
2018学年上海高三数学二模分类汇编——函数
1（2018杨浦二模）. 函数lg 1y x =-的零点是2（2018金山二模）. 函数lg y x =的反函数是2（2018普陀二模）. 若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =3（2018静安二模）. 函数y =的定义域为3（2018普陀二模）. 若函数()f x =的反函数为()g x ，则函数()g x 的零点为 3（2018徐汇二模）. 函数()lg(32)x x f x =-的定义域为3（2018黄浦二模）. 若函数()f x 是偶函数，则该函数的定义域是 4（2018浦东二模）. 已知1()f x -是函数2()log (1)f x x =+的反函数，则1(2)f -=4（2018松江二模）. 定义在R 上的函数()21x f x =-的反函数为1()y f x -=，则1(3)f -= 4（2018金山二模）. 函数9y x x =+，(0,)x ∈+∞的最小值是 4（2018崇明二模）. 若2log 1042x -=-，则x = 5（2018虹口二模）. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---= 6（2018黄浦二模）. 方程33log (325)log (41)0x x ⋅+-+=的解x =9（2018崇明二模）. 设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，2()log (1)f x x =+，则函数()f x 在[1,2]上的解析式是9（2018奉贤二模）. 给出下列函数：①1y x x=+；②2y x x =+；③||2x y =；④23y x =；⑤tan y x =；⑥sin(arccos )y x =；⑦lg(lg2y x =-. 从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是10（2018长嘉二模）. 已知函数())f x ax =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是10（2018松江二模）. 若函数2()log (1)a f x x ax =-+（0a >且1a ≠）没有最小值，则a 的取值范围是10（2018宝山二模）. 奇函数()f x 定义域为R ，当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数），若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是10（2018青浦二模）. 已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21x f x =-，函数2()2g x x x m =-+，如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是11（2018浦东二模）. 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[0,)+∞上是增函数，如果对于任意[1,2]x ∈，(1)(3)f ax f x +≤-恒成立，则实数a 的取值范围是11. 设1{|(),2x M y y x ==∈R }，1{|(1)(1)(||1)(2),12}1N y y x m x x m ==+-+--≤≤-，若N M ⊆，则实数m 的取值范围是 （普陀二模）11（2018虹口二模）. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 11（2018徐汇二模）. 若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()1]g x M m x M m x =+++-图像的一个对称中心是12（2018浦东二模）. 已知函数2()57f x x x =-+，若对于任意的正整数n ，在区间5[1,]n n +上存在1m +个实数0a 、1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a ，使得012()()()()m f a f a f a f a >++⋅⋅⋅+成立，则m 的最大值为12（2018黄浦二模）. 已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是 13（2018虹口二模）. 下列函数是奇函数的是（ ）A. ()1f x x =+B. ()sin cos f x x x =⋅C. ()arccos f x x =D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩ 15（2018宝山二模）. 若函数()f x （x ∈R ）满足(1)f x -+、(1)f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ） A. ()f x -为奇函数 B. ()f x -为偶函数C. (3)f x +为奇函数D. (3)f x +为偶函数15（2018长嘉二模）. 点P 在边长为1的正方形ABCD 的边上运动，M是CD 中点，则当P 沿A B C M ---运动时，点P 经过的路程x 与APM ∆的面积y 的函数()y f x =的图像的形状大致是下图中的（ ）A. B. C. D.15（2018青浦二模）. 已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当12,[0,3]x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-，给出以下三个命题：① 直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴；② 函数()f x 在区间[9,6]--上为增函数；③ 函数()f x 在区间[9,9]-上有五个零点；问：以上命题中正确的个数是（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 16（2018静安二模）. 已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（ ）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能16（2018松江二模）. 给出下列三个命题：命题1：存在奇函数()f x （1x D ∈）和偶函数()g x （2x D ∈），使得函数()()f x g x （12x D D ∈）是偶函数；命题2：存在函数()f x 、()g x 及区间D ，使得()f x 、()g x 在D 上均是增函数，但()()f x g x 在D 上是减函数；命题3：存在函数()f x 、()g x （定义域均为D ），使得()f x 、()g x 在0x x =（0x D ∈）处均取到最大值，但()()f x g x 在0x x =处取到最小值；那么真命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 316（2018浦东二模）. 设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（ ）A. R →ZB. Z →QC. [1,2](0,1)→D. (1,2)→R 17（2018杨浦二模）. 共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，据市场分析，每辆单车的营运累计利润y （单位：元）与营运天数x ()x ∈*N 满足函数关系式21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； （2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x 的值最大？18（2018黄浦二模）. 某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）. 已知10OA =米，OB x =米，010x <<，线段BA 、线段CD 与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值18（2018奉贤二模）. 已知函数21()12x xf x k =+-，0k ≠，k ∈R . （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）已知()f x 在(,0]-∞上单调递减，求实数k 的取值范围.19（2018宝山二模）. 某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为x ，0x >（单位：尾/立方分米），当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式；（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值.19（2018徐汇二模）. 已知函数2()31f x x tx =-+，其定义域为[0,3][12,15]U .（1）当2t =时，求函数()y f x =的反函数；（2）如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围.19（2018长嘉二模）. 某创新团队拟开发一种新产品，根据市场调查估计能获得10万元到1000万元的收益，先准备制定一个奖励方案：奖金y （单位：万元）随收益x （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表示该团队对奖励函数()f x 模 型的基本要求，并分析2150x y =+是否符合团队要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若该团队采用模型函数103()2x a f x x -=+作为奖励函数模型，试确定最小正整数a 的值. 19（2018松江二模）. 某公司利用APP 线上、实体店线下销售产品A ，产品A 在上市20天内全部售完，据统计，线上日销售量()f t 、线下日销售量()g t （单位：件）与上市时间t （*t N ∈）天的关系满足：10110()102001020t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，2()20g t t t =-+（120t ≤≤），产品A 每件的 销售利润为40115()201520t h t t ≤≤⎧=⎨<≤⎩（单位：元）（日销售量=线上日销售量+线下日销售量）.（1）设该公司产品A 的日销售利润为()F t ，写出()F t 的函数解析式；（2）产品A 上市的哪几天给该公司带来的日销售利润不低于5000元？20（2018青浦二模）. 设函数2()|5|f x ax x =-+（a ∈R ）. （1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(,1)-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在0[1,2]x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围. 20（2018普陀二模）. 定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.20（2018黄浦二模）. 已知函数22, 10,()1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧=⎨-≤≤⎩ （1）求函数()f x 的反函数1()f x -；（2）试问：函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；（3）若方程()|()240f x f x ax +---=的三个实数根123x x x 、、满足123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值.20（2018浦东二模）. 已知函数()y f x =定义域为R ，对于任意x ∈R 恒有(2)2()f x f x =-.（1）若(1)3f =-，求(16)f 的值；（2）若(1,2]x ∈时，2()22f x x x =-+，求函数()y f x =，(1,8]x ∈的解析式及值域；（3）若(1,2]x ∈时，3()||2f x x =--，求()y f x =在区间(1,2]n ，*n N ∈上的最大值与最小值. 20（2018崇明二模）. 已知函数2()21x x a f x +=+，x ∈R . （1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意[(),()]d f c f b ∈，存在唯一的0x ∈R ，使得0()f x d =，且0[,]x b c ∈.21（2018杨浦二模）. 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b-++=对任意满 足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数1()2x g x t =+，其中常数0t ≠，证明：()g x 是ψ函数； （3）若()h x 是定义在R 上的ψ函数，且函数()h x 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断()h x 是否为周期函数？并证明你的结论.21（2018金山二模）. 若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使12()()1f x f x =成立，则称该函数为“依赖函数”.（1）判断函数()2x g x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数2()(1)f x x =-在定义域[,]m n （1m >）上为“依赖函数”，求实数m 、n 乘积mn 的取值范围；（3）已知函数2()()f x x a =-（43a <）在定义域4[,4]3上为“依赖函数”，若存在实数 4[,4]3x ∈，使得对任意的t ∈R ，有不等式2()()4f x t s t x ≥-+-+都成立，求实数s 的最 大值.21（2018虹口二模）. 已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1x g x x=-（x ∈R ）.（1）如果2x =是关于x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围；（2）判断()g x 在(1,2-和[2的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q-=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥21（2018静安二模）. 设函数()|27|1f x x ax =-++（a 为实数）.（1）若1a =-，解不等式()0f x ≥；（2）若当01x x>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围；（3）设21()1x g x a x +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围.。
高考专题---三角函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷，18】设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。
【答案】(1);(2)或或.【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， （2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出． 【详解】∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【母题原题2】【2017上海卷，18】已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积. 【答案】（1）;（2）若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c =2，则即有B 为钝角，c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷，11】设、，且，则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】 高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别． 【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A -=最大值最小值，2B +=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；[ ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； （3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1．【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）A ． 函数的最小正周期是B ． 图象关于点对称C ． 图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ． 函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】 试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>， x R ∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围为（ ）A ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ． ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 3．【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】 【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.6．【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．7．【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解得，所以，，，由正弦定理得；（2）由余弦定理得，根据基本不等式，得，所以面积的最大值等于。
函数的基本性质 2018年高考数学(理)三轮复习 Word版含解析
4月4日 函数的基本性质
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★☆☆
典例在线
已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为()()2log ,02,20x x f x g x x <<⎧⎪=⎨-<<⎪⎩，则的值为
A ．−1
B ．0
C ．
D ． 【参考答案】B
【解题必备】函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
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1．已知函数
，则下列结论错误．．的是 A ．在上单调递增 B ．在上单调递减 C ．的图象关于直线对称 D ．的图象关于点对称
2．已知函数是奇函数，定义域为，且时，，则满足的实数的取值范围是 __________．
1．【答案】D
2．【答案】
【解析】作出函数的大致图象：
当时，，显然无解；当时，，即，∴满足的实数的取值范围是，故答案为.。
2018届高考数学(上海专用)总复习专题02函数分项练习-学生版
第二章 函数一．基础题组1. 【2017高考上海，8】定义在()0,+∞上的函数()y f x =的反函数()1y fx -=.若()()31,0,0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩ 为奇函数，则()12f x -=的解为2. 【2016高考上海理数】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）.（A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题 （C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题3. 【2015高考上海理数】方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ．4. 【2015高考上海理数】设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ．5. 【2015高考上海理数】记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根6、【2015高考上海文数】设)(1x f -为12)(+=x xx f 的反函数，则=-)2(1f .7. 【2014上海,理4】设⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=],,[,),,(,)(2a x x a x x x f 若4)2(=f ，则a 的取值范围为___________.8. 【2014上海,理9】若2132)(x x x f -=，则满足0)(<x f 的取值范围是 .9. 【2014上海,文3】设常数a R ∈，函数2()1f x x x a =-+-，若(2)1f =，则(1)f = .10. 【2014上海,文9】设,0,()1,0,x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是 .11. 【2013上海,理6】方程31313x+-＝13x -的实数解为______．12. 【2013上海,理12】设a 为实常数，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝9x ＋2a x＋7.若f (x )≥a ＋1对一切x ≥0成立，则a 的取值范围为______．13. 【2013上海,理14】对区间I 上有定义的函数g (x )，记g (I )＝{y |y ＝g (x )，x ∈I }．已知定义域为[0,3]的函数y ＝f (x )有反函数y ＝f －1(x )，且f－1([0,1))＝[1,2)，f －1((2,4])＝[0,1)．若方程f (x )－x ＝0有解x 0，则x 0＝______.14. 【2013上海,文8】方程9131x+-＝3x的实数解为______．15. 【2013上海,文15】函数f (x)＝x2－1(x≥0)的反函数为f －1(x)，则f －1(2)的值是( )A B．C．D．116. 【2012上海,理7】已知函数()x af x e-=(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是__________．17. 【2012上海,理9】已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.18. 【2012上海,文6】方程4x－2x＋1－3＝0的解是__________．19. 【2012上海,文9】已知y＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__________.20. 【2012上海,文13】已知函数y＝f(x)的图像是折线段ABC，其中A(0,0)，B(12，1)，C(1,0)．函数y＝x f(x)(0≤x≤1)的图像与x轴围成的图形的面积为__________．21. 【2011上海,理1】函数1()2f xx=-的反函数为f －1(x)＝______.22. 【2011上海,理13】设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数．若函数f (x)＝x＋g(x)在区间[3,4]上的值域[－2,5]，则f (x)在区间[－10,10]上的值域为______．23. 【2011上海,理16】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+)∞上单调递减的函数是( ) A ．1ln ||y x = B ．y ＝x 3 C ．y ＝2|x | D ．y ＝cosx24. 【2011上海,文3】若函数f (x )＝2x ＋1的反函数为f －1(x )，则f－1(－2)＝________.25. 【2011上海,文14】设g (x )是定义在R 上、以1为周期的函数．若函数f (x )＝x ＋g (x )在区间[0,1]上的值域为[－2,5]，则f (x )在区间[0,3]上的值域为________．26. 【2011上海,文15】下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1C ．y ＝x 2D ．13y x =27. 【2010上海,理8】对任意不等于1的正数，函数)3(log )(+=x x f a 的反函数的图像都过点P ，则点P 的坐标是 ；28. 【2010上海,理17】若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）（A ）（1,32）. （B ）（32,21）. （C ）（21,31） （D ）（31,0）29. 【2010上海,文9】 函数f (x )＝log 3(x ＋3)的反函数的图像与y 轴的交点坐标是________． 【答案】 (0，－2)30. 【2010上海,文17】若x 0是方程l g x ＋x ＝2的解，则x 0属于区间( ) A ．(0,1) B ．(1,1.25) C ．(1.25,1.75) D ．(1.75,2)31. 【2010上海,文19】已知0＜x ＜2π，化简：lg (cos x ·tan x ＋1－2sin 22x )＋(x －4π)]－lg (1＋sin2x )32. 【2010上海,文22】若实数x 、y 、m 满足|x －m |＜|y －m |，则称x 比y 接近m . (1)若x 2－1比3接近0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2(3)已知函数f (x )的定义域D ＝{x |x ≠k π，k ∈Z ，x ∈R }．任取x ∈D ，f (x )等于1＋sin x 和1－sin x 中接近0的那个值．写出函数f (x )的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明)．33. (2009上海,理20)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.有时可用函数0.115ln ,6() 4.4,64a x a x f x x x x ⎧+≤⎪⎪-=⎨-⎪⎪-⎩﹥描述学习某学科知识的掌握程度.其中x 表示某学科知识的学习次数(x ∈N *), ()f x 表示对该学科知识的掌握程度,正实数a 与学科知识有关. (1)证明:当x ≥7时,掌握程度的增长量f (x +1)-f (x )总是下降;(2)根据经验,甲、乙、丙对应的a 的取值区间分别为(115,121］,(121,127］,(127,133］.当学习某知识6次时,掌握程度是85%,请确定相应的学科.34. (2009上海,文1)函数3()1f x x =+的反函数f -1(x )=__________.35. 【2008上海,理4】若函数f (x )的反函数为f －1(x )＝x 2（x ＞0），则f (4)＝ .36. 【2008上海,理8】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值范围是 .37. 【2008上海,理11】方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x 的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i )（i ＝1,2,…,k ）均在直线y ＝x的同侧，则实数a的取值范围是 .38. 【2008上海,文4】若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．39. 【2008上海,文9】若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．40. 【2008上海,文11】在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是 ．41. 【2008上海,文17】（本题满分13分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AOC ．小区的两个出入口设置在点A 及点C 处，小区里有两条笔直的小路AD DC ，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C 沿CD 走到D 用了10分钟，从D 沿DA 走到A 用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA 的长（精确到1米）．42. 【2007上海,理1】函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为_____43. 【2007上海,理3】函数()1x f x x =-的反函数()1_____f x -=44．【2007上海,理4】方程96370x x -⋅-=的解是_____45. 【2007上海,文1】方程9131=-x 的解是 .46. 【2007上海,文8】某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天.四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ，完成后，D 可以开工.若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数最大是 .47.【2007上海,文15】设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”. 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ.若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ.若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立Ｃ.若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ.若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立48. 【2007上海,文18】（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快.2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%.以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）.（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦.假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？49.【2007上海,文19】（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分.已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R .（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由.50. 【2006上海,文22】（满分18分）第1小题4分，第2小题8分，第3小题6分已知函数ay x x=+有如下性质：如果常数0a >，那么该函数在(上是减函数，在)+∞上是增函数.（1）如果函数2(0)by x x x =+>在(]0,4上是减函数，在[)4,+∞上是增函数，求b 的值. （2）设常数[]1,4c ∈，求函数()(12)cf x x x x =+≤≤的最大值和最小值； （3）当是正整数时，研究函数()(0)nn c g x x c x=+>的单调性，并说明理由.51. 【2005上海,理1】函数)1(log )(+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.52. 【2005上海,理2】方程0224=-+x x 的解是__________53. 【2005上海,理10】函数[]π2,0|,sin |2sin )(∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是__________54. 【2005上海,理13】若函数121)(+=x x f ，则该函数在(+)-∞∞，上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值55. 【2005上海,理16】设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c56. 【2005上海,文1】函数)1(log )(4+=x x f 的反函数)(1x f -=__________.57. 【2005上海,文2】方程0224=-+xx 的解是__________.58.【2005上海,文13】若函数121)(+=x x f ，则该函数在()+∞∞-,上是（ ） A ．单调递减无最小值 B ．单调递减有最小值 C ．单调递增无最大值 D ．单调递增有最大值二．能力题组59. 【2016高考上海文数】（本题满分14分）第1个小题6分，第2个小题8分.有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1,0），如图.（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为38.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.60.【2016高考上海文数】（本题满分18分）第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分. 已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当1a =时，解不等式()f x >1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a >0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.61. 【2015高考上海文数】（本题满分14分）第1小题6分，第2小题8分.已知函数xax x f 1)(2+=，其中为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.62. 【2014上海,理12】设常数a使方程sin x x a =在闭区间[0,2π]上恰有三个解123,,x x x ，则123x x x ++= .63. 【2014上海,理18】⎪⎩⎪⎨⎧>++≤-=,0,1,0,)()(2x a x x x a x x f 若)0(f 是)(x f 的最小值，则a 的取值范围为（ ）.(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0,2]64. 【2013上海,理20】 甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．65. 【2013上海,文20】甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每一小时可获得的利润是3100(51)x x+-元． (1)求证：生产a 千克该产品所获得的利润为213100(5)a x x +-元； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．66. 【2013上海,文21】已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω＞0. (1)令ω＝1，判断函数F (x )＝f (x )＋()2f x π+的奇偶性，并说明理由；(2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，对任意a ∈R ，求y ＝g (x )在区间[a ，a ＋10π]上零点个数的所有可能值．67. 【2012上海,理20】已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)若0＜f (1－2x )－f (x )＜1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈1,2])的反函数．68. 【2012上海,理21】海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度)，则救援船恰好在失事船正南方向12海里A 处，如图．现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .(1)当t ＝0.5时，写出失事船所在位置P 的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？69. 【2011上海,理20】已知函数f (x )＝a ·2x ＋b ·3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab ＞0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab ＜0，求f (x ＋1)＞f (x )时的x 的取值范围．70. (2009上海,理22)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知函数y =f -1(x )是y =f (x )的反函数.定义:若对给定的实数a (a ≠0),函数y =f (x +a )与y=f -1(x +a )互为反函数,则称y =f (x )满足“a 和性质”;若函数y =f (ax )与y =f -1(ax )互为反函数,则称y =f (x )满足“a 积性质”.(1)判断函数g (x )=x 2+1(x ＞0)是否满足“1和性质”,并说明理由; (2)求所有满足“2和性质”的一次函数;(3)设函数y =f (x )(x ＞0)对任何a ＞0,满足“a 积性质”.求y =f (x )的表达式.三．拔高题组71. 【2016高考上海理数】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+. （1）当5a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.72. 【2014上海,理20】（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分.设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(（1）若a =4，求函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由.73. 【2008上海,理19】已知函数f (x )＝2x －12x⑴ 若f (x)＝2，求x 的值⑵ 若2(2)()0t f t mf t +≥对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围74. 【2007上海,理18】近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快，已知2002年全球太阳能年生产量为670兆瓦，年增长率为34%。
(完整版)-2018年上海高考试题汇编-函数
函数知识点1：函数的概念与函数三要素（2018秋16）设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数,若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ) A. 3 B. 32C. 33D. 0答案:B解析：()1f 是A 、C 、D 时，图像为如图中的12个点，不能构成函数的图像答案:(],2a ∈-∞（2014年文3）设常数a R ∈,函数2()1f x x x a =-+-．若(2)1f =,则(1)f = ． 答案：3知识点2函数的单调性（2016年高考18）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ )A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题,②为真命题答案：D（2014年理4）设2,(,),(),[,).x x a f x x x a ∈-∞⎧=⎨∈+∞⎩ 若(2)4f =，则a 的取值范围为 ．(2014年文理20）设常数0≥a ，函数aax f x x -+=22)(．(1）若4a =，求函数)(x f y =的反函数()1y f x -=；（2）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由．解：（1）因为2424x x y +=-,所以()4121xy y +=-，得1y <-或1y >，且()241log 1y x y +=-． 因此,所求反函数为()1241()log 1x f x x -+=-,()(),11,x ∈-∞-+∞．（2)方法一：当0a =时，()1f x =，定义域为x R ∈，故函数()y f x =是偶函数；当1a =时，21()21x x f x +=-，定义域为()(),00,-∞+∞，2121()()2121x x xx f x f x --++-==-=---，故函数()y f x =为奇函数;当0a >且1a ≠时，定义域为()()22,log log ,a a -∞+∞关于原点不对称，故函数()y f x =既不是奇函数，也不是偶函数．方法二:若()f x 为偶函数，则()()f x f x =-对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=--，整理可得()220x x a --= ∵220x x --≠，∴0a =，此时()1,f x x R =∈,满足条件； 若()f x 为奇函数，则()()f x f x =--对任意x 均成立,∴2222x x x x a aa a--++=---，整理可得210a -=,1a =± ∵0a ≥,∴1a =,此时()21,021x x f x x +=≠-，满足条件;综上所述，当0a =时，函数为偶函数；当1a =时，函数为奇函数；当0a ≠且1a ≠时，函数为非奇非偶函数（2013年理12）设a 为实常数,()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2018年春20）设0a >,函数1()12xf x a =+⋅．（1)若1a =，求()f x 的反函数1()f x -;（2）求函数()()y f x f x ⋅-=的最大值（用a 表示)；（3）设()()(1)g x f x f x =--．若对任意(,0]x ∈-∞,)(()0g x g ≥恒成立,求a 的取值范围． 答案．（1）121()log (01)xf x x x--=<<； （2）2112max y a a=++（0x =时取最值)；（3） 提示： 12211()=,(2(0,1])2212122332xx x x x a a g x t a a a a a t a t---=-==∈+⋅+⋅⋅++⋅++因为0a -<,所以当0,1xt ==时，分母取到最小值，从而分式值取到最小值，此时2210a t t a t =⇒=≥⇒<≤(2014文9)设,0,()1,0.x a x f x x x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为 ___ ． 答案:(],2a ∈-∞（2014理18）设2(),0,()1,0.x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨++>⎪⎩若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ） (A ） [1,2]- （B) [1,0]- (C) [1,2] (D) [0,2]答案：D（2013理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+一切0x ≥成立,则a 的取值范围为 ．答案：8,7⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦题型:奇函数、不等式恒成立（2017秋21）、已知函数)(x f 满足：（1）R x ∈；(2）当21x x <时，)()(21x f x f ≤; （1）若()31f x ax =+，求a 的范围;（2)若)(x f 是周期函数，求证：)(x f 是常值函数；（3）若)(x g 是R x ∈上的周期函数，且0)(>x g ,且)(x g 最大值为M ，)()()(x f x g x h ⋅=,求证：)(x h 是周期函数的充要条件是)(x f 是常值函数； 证：(3)必要性若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ，(){}A x g x M ==①若存在0x ，使得()00f x =,进而()00h x =，由()h x 的周期性，知()00,h h x kT k Z +=∈,而()g x 恒大于0，故()00h f x kT +=，所以对任意()00,1h h x x kT x k T ∈+++⎡⎤⎣⎦，再利用()f x 的单调增性可知，()0f x =恒成立②若存在1212,,x x x x >，使得()()120,0f x f x ><，则由题可知，12x x >，那么必然存在正整数1N 使得211k x N T x +>，∴()()211k f x N T f x +>，因为()()212k h x N T h x +=,但是()()()2121210k k k h x N T f x N T g x N T +=++>，()()()2220h x f x g x =<,矛盾综上,()0f x =恒成立或()0f x >恒成立或()0f x <恒成立③若()0f x >恒成立，第一步：任取0x A ∈，则必存在2N N ∈，使得020k g x N T x T -≤-，即[]00020,,g h x T x x N T x ⎡⎤-⊆-⎣⎦,()()()()()()000020202h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵()()002h g x M g x N T =≥- ，故()()002h f x f x N T ≤-， 再由单调性可知()()()0020h g f x f x N T f x T =-=-，第二步：用0g x T -代替第一步中的0x ，同理可得()()002g g f x T f x T -=-, 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00+g f x T f x =，依次下去，可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性,可得()f x 为常数；④若()0f x <恒成立第一步:任取0x A ∈，则必存在3N N ∈,使得003g k x T x N T +≤+，即[]00002,g h x x T x x N T ⎡⎤+⊆+⎣⎦，，()()()()()()000030303h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==+=++，∵()()003h g x M g x N T =≥+ ，故()()003h f x f x N T ≥+， 再由单调性可知()()()0030h g f x f x N T f x T =+=+,第二步:用0g x T -代替第一步中的0x ,同理可得()()002g g f x T f x T +=+， 再用0g x T +代替第一步中的0x ，同理可得()()00g f x T f x -=，依次下去,可得()()()()()()000000322g g g g g f x T f x T f x T f x f x T f x T =-=-=-==+=+=利用单调性，可得()f x 为常数；知识点6（2017年高考8）定义在),0(+∞上的函数)(x f y =的反函数为()1y f x -=，若⎩⎨⎧>≤-=0)(013)(x x f x x g x 为奇函数,则()12f x -=的解为_______答案：89题型：单调性与反函数（2013年理14）对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==,若方程()0f x x -=有解0x ，则0x =______答案：2(2018秋4）设常数a ∈R ，函数2()log ()f x x a =+，若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a = 参考答案：7a =(2018秋7）已知11{2,1,,,1,2,3}22a ∈---，若幂函数()a f x x =为奇函数，且在(0,)+∞上递减，则a =参考答案：1a =-(2017秋9）给出四个函数：（1）x y -=;（2）xy 1-=；（3）3y x =；（4)21x y =；从四个函数中任选2个,事件A ：“所选2个函数的图像有且只有一个公共点”的概率为___（2015年理10）设()1f x -为()22+2x xf x -=，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_______ 答案：4答案：31(2014年理9文11）若2132()f x x x -=-,则满足()0f x <的x 的取值范围是 ．答案：(0,1)（2018秋11）已知常数0a >,函数2()2x x f x ax =+的图像经过点6(,)5P p 、1(,)5Q q -，若236p q pq +=，则a =参考答案:6a =（2015年理7)方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为________ 答案：2（2013年理6文8）方程1313313x x-+=-的实数解为__________． 答案：4log 3知识点10(2018秋19）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S 中%x （0100x <<)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30030()180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩（单位：分钟） 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式，讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义。
2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)
【点评】考察解指对数方程.
【知识点 9】新定义
【例 1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数 y f (x) 的图像恰好经过 k 个格点， 则称函数 y f (x) 为 k 阶格点函数，已知函数： ① y x2 ；② y 2sin x ；③ y x 1 ；④ y cos(x ) ；其中为一阶格点函数的序号为
6
6
x 3 2k ，显然 x 不可能为整数；综上，该函数图像只经过一个格点. 2
函数③：借助 y x 的图像来看，因为底数为 ，所以当 x 0 时， y 才有可能取整数 1， y x 1 是
y x 向下平移一个单位，所以只经过格点（0，0），所以是一阶格点函数；
3
一阶格点函数.
【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.
【例 2】设函数 y （f x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 x∈D，都有 （f x） T T • f (x) ， 则称函数 y （f x）是“似周期函数”，非零常数 T 为函数 y （f x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周
y
x2
1 ；③
y
ex
1 ；④
y
ln
x
0
x0 ，其中“ H 函数”的序号是
x0
.
【答案】①③.
【解析】 x1 f
x1 x2 f
x2
x1 f
x2 x2 f
x1 可转化成
f
x1 f x2 0 ，即
x1 x2
f
x 为单调递增的函数，
3
___________.（注：把你认为正确的序号都填上） 【答案】②③.
2018年上海高三二模真题汇编——函数专题(教师版)
2018年二模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】若函数()f x 的定义域是[]1,4，求函数()2f x +的定义域 .【答案】[]12,-.【解析】124x ≤+≤，12x -≤≤.【点评】考察抽象函数的定义域.【例2】对于函数bx ax x f +=2)(，其中0>b ，若)(x f 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为_____________．【答案】4-. 【解析】由题意可求定义域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以值域也是0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即2y ax bx =+在0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为0b ,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以2224b b a a -=，解得4a =-. 【点评】考察函数三要素.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知椭圆191622=+y x 及以下3个函数：①x x f =)(；②x x f sin )(=；③x x x f sin )(=，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有 （ ）．A .0个.B 1个 C .2个 D .3个【答案】C . 【点评】考察函数的奇偶性.【例2】已知函数[)22sin(),0(),0,23cos(),0x x x f x x x x παπα⎧++>⎪=∈⎨⎪-++<⎩是奇函数，则α= ． 【答案】76π.【解析】当0x >时，0x -<，此时()()2f x x cos x α-=-+-+，因为函数是奇函数，所以可得，()223x cos x x sin x πα⎛⎫-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由诱导公式易得，76πα=. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值.【知识点3】函数的单调性【例1】已知函数())2017201720172x x f x log x -=+-+，则关于x 的不等式()()314f x f x ++>的解集为 . 【答案】14,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】由题意可得函数为R 上的单调递增函数且()()4f x f x +-=，可得()()31f x f x +>-，即31x x +>-，14x >-. 【点评】根据函数单调性解不等式.【例2】若函数3 (0),() 1 (0)x x a x f x a x -+<⎧=⎨+≥⎩(a >0,且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是 ． 【答案】2[ 1)3，.【解析】由0132a a <<⎧⎨≥⎩解得213a ≤<. 【点评】考察函数单调性的定义.【知识点4】函数的最值与恒成立有解问题【例1】 设0>a ，若对于任意的0>x ，都有x xa 211≤-，则a 的取值范围是________． 【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,42. 【解析】112x a x <+，即112min x a x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，所以1a<，a >. 【点评】不等式恒成立问题.【例2】设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围 是 .【答案】2-≤a .【解析】令[]11cos x t,t ,=∈-，可得()2210t a t a ---≤，即()221y t a t a =---在[]11,-上的最大值小于等于0，对称轴为102a t -=<，所以()211max y a a =---，即()2110a a ---≤，2-≤a . 【点评】二次函数的最值问题.【知识点5】函数的零点【例1】函数21()(2)1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，如果方程()f x b =有四个不同的实数解1x 、2x 、3x 、4x ，则1234x x x x +++= ．【答案】4.【解析】由函数的图像特征可得：120x x +=，344x x +=，所以12344x x x x +++=.【点评】从图像角度解决零点问题.【例2】若函数()2()1xf x x a =+-在区间[]0,1上有零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】令()0f x =，可得12x x a =+，函数有零点即两个函数图像有交点，从图上即可得出112a -≤≤. 【点评】考察函数零点的存在性问题.【知识点6】函数的对称性和周期性【例1】若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则=)2016(f .【答案】0.【解析】由()()2f x f x +=-可得函数周期为4，所以()()20160f f =.【点评】考察周期对函数值的影响.【例2】已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．【答案】6.【解析】由()()20f x f x +-=可得，函数图像关于()10,；由()()20f x f x ---=可得，函数图像关于直线1x =-对称，根据函数在[]11,-上的图像可将函数图像补充完整，从图像的交点个数得出答案.【点评】考察函数的对称性对图像的影响.【知识点7】反函数【例1】若函数1()42x x f x +=+的图像与函数()y g x =的图像关于直线y x =对称，则(3)g = ．【答案】0.【解析】令()3f x =，可得21x =，0x =，即()30g =.【点评】考察求函数的反函数.【例2】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x R ∈，都有(4)()f x f x +=，当[]4,6x ∈的时候，()21x f x =+，()f x 在区间[]2,0-上的反函数为1()f x -，则1(19)f -= ． 【答案】28log 9.【解析】当[]02x ,∈时，()()4421x f x f x +=+=+；当[]20x ,∈-时，根据偶函数的性质，()()421x f x f x -+=-=+；根据反函数相关性质，即42119x -++=，解得2323x log =-，所以()1219323f log -=-.【点评】考察反函数与原函数的关系.【知识点8】幂指对方程【例1】方程()3log 212x +=的解是 ．【答案】4x =.【解析】219x +=，4x =.【点评】考察解指对数方程.【例2】方程22log (97)2log (31)x x +=++的解为 .【答案】{}0,1.【解析】()()4497434x x log log +=⨯+，97434x x +=⨯+，解得31x =或33x =，即0x =或1x =.【点评】考察解指对数方程.【知识点9】新定义【例1】设R ∈x ，用][x 表示不超过x 的最大整数（如2]32.2[=，5]76.4[-=-），对于给定的*N ∈n ，定义)1][()1()1][()1(+--+--=x x x x x n n n C x n ，其中),1[∞+∈x ，则当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈3,23x 时，函数x C x f 10)(=的值域是____________________． 【答案】(]45,15320,5 ⎥⎦⎤ ⎝⎛. 【解析】看到取整函数可分段讨论： 1当⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈2,23x 时，[]1=x ，故()xx f 10=在定义域内单调递减，故值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛320,5，； 2当[)3,2∈x 时，[]2=x ，故()()1910-⨯=x x x f 在定义域内单调递减，故值域为(]45,15。
2018年高考数学-函数含答案
2018年高考复习专题-函数一．函数1、函数的概念：（1）定义：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作：y =)(x f ，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{)(x f | x ∈A }叫做函数的值域． （2）函数的三要素：定义域、值域、对应法则（3）相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：（1）定义域定义：函数)(x f 的自变量x 的取值范围。
（2）确定函数定义域的原则：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。
（3）确定函数定义域的常见方法：①若)(x f 是整式，则定义域为全体实数②若)(x f 是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数 例:求函数xy 111+=的定义域。
③若)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1． 求函数 ()2143432-+--=x x xy 的定义域。
例2． 求函数()02112++-=x x y 的定义域。
④对数函数的真数必须大于零⑤指数、对数式的底必须大于零且不等于1⑥若)(x f 为复合函数，则定义域由其中各基本函数的定义域组成的不等式组来确定⑦指数为零底不可以等于零，如)0(10≠=x x⑧实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. （4）求抽象函数（复合函数）的定义域已知函数)(x f 的定义域为[0,1]求)(2x f 的定义域已知函数)12(-x f 的定义域为[0,1）求)31(x f -的定义域3、值域 :（1）值域的定义：与x 相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
（2）确定值域的原则：先求定义域 （3）常见基本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数（正余弦、正切）（4）确定函数值域的常见方法：①直接法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。
2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)
2018年一模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= .【答案】2-.【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭. 【点评】考察函数的概念.【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时，112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时，1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上，所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2xf x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-. 【解析】()()()2x f x g x x ----=+-，根据奇偶性可得，()()2x f x g x x -+=-，所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式.【例2】已知函数()121xf x a =-+为奇函数，求实数a 的值. 【答案】12a =. 【解析】方法一：()()f x f x -=-，112121x x a a --=-+++，解得12a =；方法二：因为函数为R 上的奇函数，所以()00f =，解得12a =.【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值。
注意方法二在使用时一定要确保“0”在定义域内.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在(2,2)上的函数()f x 满足()()f x f x ，且在(2,2)上单调递增，若(2)(12)0f a f a ，求a 的取值范围.【答案】102a -<<. 【解析】已知函数为件数，可得2221212202221a a a a a -<+<⎧⎪-<-<⇒-<<⎨⎪+>-⎩.【点评】根据函数的奇偶性和单调性解不等式.【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。
2018上海高三数学二模---函数汇编
2018上海高三数学二模——函数汇编（2018宝山二模）10. 设奇函数()f x 定义为R ，且当0x >时，2()1m f x x x=+-（这里m 为正常数）．若()2f x m ≤-对一切0x ≤成立，则m 的取值范围是 .答案：[)2,+∞（2018宝山二模）15.若函数()()f x x R ∈满足()1f x -+、()1f x +均为奇函数，则下列四个结论正确的是（ ） )(A ()f x -为奇函数 )(B ()f x -为偶函数)(C ()3f x +为奇函数 )(D ()3f x +为偶函数答案：C（2018宝山二模）19.(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分)某渔业公司最近开发的一种新型淡水养虾技术具有方法简便且经济效益好的特点，研究表明：用该技术进行淡水养虾时，在一定的条件下，每尾虾的平均生长速度为()g x （单位：千克/年）养殖密度为,0x x >（单位：尾/立方分米）。
当x 不超过4时，()g x 的值恒为2；当420x ≤≤，()g x 是x 的一次函数，且当x 达到20时，因养殖空间受限等原因，()g x 的值为0.（1）当020x <≤时，求函数()g x 的表达式。
（2）在（1）的条件下，求函数()()f x x g x =⋅的最大值。
答案：（1）()(][]()2,0,4,15,4,2082x g x x N x x *⎧∈⎪=∈⎨-+∈⎪⎩；（2）12.5千克/立方分米 （2018虹口二模5） 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则11[(9)]f f ---=【解析】120()log (1),0x f x x x -≤=-+>⎪⎩，1(9)3f --=，111[(9)](3)2f f f ----==- （2018虹口二模11） []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)[2]044x x -⋅-=满足1x <的所有实数解是 【解析】当01x ≤<，[2]1x =，∴21(2)22x x =⇒=；当0x <，[2]0x =，21(2)4x =， ∴1x =-，∴满足条件的所有实数解为0.5x =或1x =-（2018虹口二模21）已知函数3()f x ax x a =+-（a ∈R ，x ∈R ），3()1x g x x =-（x ∈R ）. （1）如果x =x 的不等式()0f x ≤的解，求实数a 的取值范围； （2）判断()g x在(-和的单调性，并说明理由； （3）证明：函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立的充要条件是3a ≥. 【解析】（1）(023f a ≤⇒≥-； （2）根据单调性定义分析，在(1,2-上递减，在[2上递增； （3）“函数()f x 存在零点q ，使得4732n a q q q q -=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅成立”说明473231n q a q q q q q-==+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-成立，根据无穷等比数列相关性质，(1,1)q ∈-， 结合第（2）问，31q a q =-在(1,2-上递减，在[2上递增，∴min 3()(123q a g q ≥==--，反之亦然. （2018杨浦二模1）函数lg 1y x =-的零点是 ．答案： 10x =（2018杨浦二模17）（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元）与营运天数()*x x N ∈满足 21608002y x x =-+-. （1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润y x的值最大？ 【解】（1） 要使营运累计收入高于800元， 令80080060212>-+-x x ， …………………………………2分 解得8040<<x . …………………………………5分所以营运天数的取值范围为40到80天之间 .…………………………………7分（2）6080021+--=xx x y …………………………………9分 当且仅当18002x x =时等号成立，解得400x = …………………………12分 所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天 .…14分（2018杨浦二模21）（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 记函数()f x 的定义域为D . 如果存在实数a 、b 使得()()f a x f a x b -++=对任意满足a x D -∈且a x D +∈的x 恒成立，则称()f x 为ψ函数.（1）设函数1()1f x x=-，试判断()f x 是否为ψ函数，并说明理由； （2）设函数t x g x +=21)(，其中常数0≠t ，证明：)(x g 是ψ函数；（3）若)(x h 是定义在R 上的ψ函数，且函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，试判断)(x h 是否为周期函数？并证明你的结论.【解】（1）1()1f x x=-是ψ函数 . ……1分 理由如下：1()1f x x =-的定义域为{|0}x x ≠， 只需证明存在实数a ，b 使得()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立.由()()f a x f a x b -++=，得112b a x a x +-=-+，即2()()a x a xb a x a x ++-+=-+. 所以22(2)()2b a x a +-=对任意x a ≠±恒成立. 即2,0.b a =-=从而存在0,2a b ==-，使()()f a x f a x b -++=对任意x a ≠±恒成立. 所以1()1f x x=-是ψ函数. …………4分 （2）记()g x 的定义域为D ，只需证明存在实数a ，b 使得当a x D -∈且a x D +∈时，()()g a x g a x b -++=恒成立，即1122a x a x b t t -++=++恒成立. 所以22(2)(2)a x a x a x a x t t b t t +-+-+++=++， ……5分化简得，22(1)(22)(2)2a x a x a bt b t t +--+=+-.所以10bt -=,22(2)20a b t t +-=.因为0t ≠，可得1b t=，2log ||a t =, 即存在实数a ，b 满足条件，从而1()2x g x t=+是ψ函数. …………10分 （3）函数)(x h 的图象关于直线x m =（m 为常数）对称，所以)()(x m h x m h +=- （1）， ……………12分又因为b x a h x a h =++-)()( （2）， 所以当a m ≠时，由（1 ） )]([)2()]2([x a a h x a h a m x m h -+=-=-+-=由（2） )()]([x h b x a a h b -=---= （3）所以)22(]22)22[()44(a m x h b a m a m x h a m x h -+-=-+-+=-+（取a m x t 22-+=由（3）得）再利用（3）式，)()]([)44(x h x h b b a m x h =--=-+.所以()f x 为周期函数，其一个周期为a m 44-. ……………15分当a m =时，即)()(x a h x a h +=-，又)()(x a h b x a h +-=-， 所以2)(b x a h =+为常数. 所以函数)(x h 为常数函数，2)()1(b x h x h ==+，)(x h 是一个周期函数. ……………17分 综上，函数)(x h 为周期函数。
高考专题---函数综合-2018年高考数学(理)---精校解析 Word版
母题九 函数综合【母题原题1】【2018上海卷，19】设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ）（A （B （C （D ）0 【答案】B【母题原题2】【2017上海卷，21】设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.（1）若，求的取值范围；（2）若为周期函数，证明：是常值函数；（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的令，且存在一个，使得.由于的性质可知，，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数. 必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.点睛：本题考查抽象函数的新定义问题，属于创新题，符合新高考的走向．它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可，着重考查了逻辑思维能力与理论运算能力，及分类讨论的数学思想方法，试题难度较大，属于难题.【母题原题3】【2016上海卷，21】已知a ∈R ，函数()f x =21log ()a x+. （1）当1a =时，解不等式()f x ＞1；（2）若关于x 的方程()f x +22log ()x =0的解集中恰有一个元素，求a 的值；（3）设a ＞0，若对任意t ∈1[,1]2，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）(0,1)x ∈；（2）0或14-；（3）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【解析】试题分析：（1）由21log 11x ⎛⎫+>⎪⎝⎭，得112x +>，从而得解．（2）转化得到2221log ()log ()0a x x++=，讨论当0a =、0a ≠时的情况即可．（3）讨论()f x 在()0,+∞上的单调性，再确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差，由此当0a ≠时，140a ∆=+=，14a =-． 综上，0a =或14-． （3）当120x x <<时，1211a a x x +>+，221211log log a a x x ⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在()0,+∞上单调递减．函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值分别为()f t ，()1f t +．()()22111log log 11f t f t a a t t ⎛⎫⎛⎫-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即()2110at a t ++-≥，对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0a >，所以函数()211y at a t =++-在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以12t =时，y 有最小值3142a -，由31042a -≥，得23a ≥． 故a 的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【考点】对数函数的性质、函数与方程、二次函数的性质【名师点睛】本题对考生的计算能力要求较高，是一道难题.解答本题的关键是利用转化与化归思想、应用函数的性质，将问题转化成二次函数问题，再应用确定函数最值的方法---如二次函数的性质、基本不等式、导数等求解.本题的易错点是将复杂式子进行变形的能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.【命题意图】了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题【命题规律】 上海高考近几年对这部分的考查主要集中在函数综合问题上，为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.【答题模板】应用问题的解法解应用题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象转化为数学问题，然后再用相应的数学知识去解决，其一般步骤为：(1)审题：阅读题目、理解题意，分析题目中的条件和结论，理顺有关数量关系； (2)建模：设置变量、将文字语言、图表语言等转换成符号语言，建立适当的数学模型； (3)解模：应用数学知识和数学方法求解数学模型，得到数学问题的结论； (4)作答：将所得数学结论还原为实际问题的意义，进行简要的回答．【方法总结】1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N 为基础数,p 为增长率,x 为时间)的形式.求解时可利用指数运算与对数运算的关系.2.在解决指数函数、对数函数、幂函数模型问题时,一般先需要通过待定系数法确定函数解析式,再借助函数的图象求解最值问题,必要时可借助导数.1．【上海市松江、闵行区2018届高三下学期质量监控（二模）】给出下列三个命题:命题1：存在奇函数和偶函数 ,使得函数是偶函数； 命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数, 但在上是减函数；命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在处均取到最大值，但在处取到最小值.那么真命题的个数是 ( )．A ．B ．C ．D ． 【答案】D2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()2log 1xf x x x=++，在8行8列的矩阵111213182122232881828388a a a a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⎛⎫⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭中， i j i a f j ⎛⎫= ⎪⎝⎭（18,18i j ≤≤≤≤且,i j N ∈），则这个矩阵中所有数之和为________ 【答案】323．【上海市浦东新区2018届高三5月综合练习（三模）】已知函数，(1)分别求的值: (2)讨论的解的个数: (3)若对任意给定的,都存在唯一的,满足，求实数的取值范围.【答案】(1)-1,0. (2) 解:解:解:解.(3) .【解析】 【分析】（1）直接由分段函数求得，的值；（2）求出函数的解析式并作出图象，数形结合可得的解的个数；（3）由题意可得的取值必须大于1，然后根据的范围分析关于的二次函数的值域，从而可得实数的取值范围．【详解】（1）∵，∴．∵，∴．（2），画图的图象如图，由图可知，当时，方程有0解；当时，方程有2解；当时，方程有4解；【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，关键是可以把当作是一个整体，然后再确定数的大小后再把它作为一个关于的函数求解，是难题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】函数和的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点，，且.（1）设曲线，分别对应函数和，请指出图中曲线，对应的函数解析式，若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（2）若，，且、，求、的值.【答案】(1)答案见解析;(2)，.【解析】【分析】（1）由函数的特征可知对应的函数为，对应的函数为，将不等式进行恒等变形可（2）令，则，为函数的零点，由于，，，，则方程的两个零点，，因此整数，.【点睛】本题主要考查指数函数和幂函数图象的识别，函数零点存在定理及其应用，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市崇明区2018届高三4月模拟考试（二模）】已知函数()221x x af x +=+， x ∈R.（1）证明：当1a >时，函数()y f x =是减函数；（2）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（3）当2a =，且b c <时，证明：对任意()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦，存在唯一的0x ∈R ，使得()0f x d =，且[]0,x b c ∈.【答案】(1)见解析(2) 当1a =-时，函数()y f x =是奇函数；当1a =时，函数()y f x =是偶函数；当1a ≠且1a ≠-时，函数()y f x =是非奇非偶函数，（3）见解析(3)由（1）知，当2a =时函数()y f x =是减函数，结合函数的单调性分别证明0x 的存在性(利用函数的值域)和唯一性(利用反证法)即可证得题中的结论. 试题解析：（1）任取12,x x R ∈，设12x x <，则()()()()()()2112121222121xx x x a f x f x ---=++，∵12x x <，所以2122x x >，又1a >，∴()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以当1a >时，函数()y f x =是减函数.(2)当1a =时， ()1f x =，所以()()f x f x -=，所以函数()y f x =是偶函数，当1a =-时， ()2121x x f x -=+， ()()21122121x xxx f x f x -----===-++， 所以函数()y f x =是奇函数， 当1a ≠且1a ≠-时， ()213a f +=， ()2113a f +-=， 因为()()11f f -≠且()()11f f -≠-，若10x x >，则()()10f x f x <，若10x x <，则()()10f x f x >， 与()()10f x f x d ==矛盾，故0x 是唯一的，假设[]0,x b c ∉，即0x b <或0x c >，则()()0f x f b >或()()0f x f c <， 所以()(),d f c f b ⎡⎤∉⎣⎦，与()(),d f c f b ⎡⎤∈⎣⎦矛盾，故[]0,x b c ∈.6．【上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟】若存在常数()0k k >，使得对定义域D 内的任意()1212,x x x x ≠，都有()()1212f x f x k x x -≤-成立，则称函数()f x 在其定义域 D 上是“k -利普希兹条件函数”．（1）若函数()()14f x x =≤≤是“k -利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数()2log f x x =是否是“2-利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由； （3）若()()y f x x R =∈是周期为2的“1-利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数12,x x ,都有()()121f x f x -≤．【答案】(1)12；（2）不是，理由见解析；（3）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）不妨设12x x >，则12k ≥=立．211114,42x x ≤≤≤∴<< ，从而可得结果；（2）令1211,24x x ==，则∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1， 而2|x 1﹣x 2|=，∴f（x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ， 则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a﹣b|． 若|a ﹣b|≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a﹣b|≤1． 若|a ﹣b|＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b+2﹣a ＜1，∴|f（x 1）﹣f （x 2）|≤M﹣m=f （a ）﹣f （b+2）≤|a﹣b ﹣2|＜1． 综上，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．7．【上海市浦东新区2018届高三数学一模】已知函数()f x 的定义域为D ，值域为()f D ，即()(){|,}f D y y f x x D ==∈，若()f D D ⊆，则称()f x 在D 上封闭. （1）分别判断函数()20172017log xf x x =+， ()21x g x x =+在()0,1上是否封闭，说明理由；（2）函数()f x k =的定义域为[],D a b =，且存在反函数()1y f x -=，若函数()f x 在D 上封闭，且函数()1fx -在()f D 上也封闭，求实数k 的取值范围；（3）已知函数()f x 的定义域为D ，对任意,x y D ∈，若x y ≠，有()()f x f y ≠恒成立，则称()f x 在D上是单射，已知函数()f x 在D 上封闭且单射，并且满足()x f D D ，其中()()()1n nf x f f x +=（*n N ∈），()()1f xf x =，证明：存在D 的真子集， n D ⋅⋅⋅1n D - 3D 2D 1D D ，使得()f x 在所有i D （1,2,3,,i n =⋅⋅⋅）上封闭. 【答案】（1）见解析；（2）5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦；（3）见解析.(){}()()(){}(){}111\\\f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了()11f D D ≠⊂.接着令()1n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂..试题解析：（1）因为函数()f x 的定义域为()0,+∞，值域为(),-∞+∞，（取一个具体例子也可），所以()f x 在()0,1上不封闭.()11,2t x =+∈ ()()()()211120,0,12t g x h t t tt -⎛⎫===+-∈⊆ ⎪⎝⎭()g x 在()0,1上封闭（2）函数()f x 在D 上封闭，则()f D D ⊆.函数()1f x -在()f D 上封闭，则()D f D ⊆，得到： ()D f D =.()f x k =在[],D a b =单调递增.则()(),f a a f b b == ()f x k x ⇔==在[)1,-+∞两不等实根．()()221g 2110{ x x x k x k x k ≥-⎛⎫=-++-= ⎪≥⎝⎭，故()()()22(410g 10g 0{2122112k k k k k -->-≥≥+>+>-，解得5,14k ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．接下来证明()11f D D ≠⊂，因为()f x 是单射，因此取一个1\p D D ∈，则p 是唯一的使得()()f x f p =的根，换句话说()()1f p f D ∉考虑到1\p D D ∈，即{}1\D D p ⊆，因为()f x 是单射，则(){}()()(){}(){}111\\\f D f D p f D f p D f p D ≠≠⊂==⊂这样就有了()11f D D ≠⊂.接着令()1n n D f D +=，并重复上述论证证明1n n D D +≠⊂..8．若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L 函数”；（2）若函数为“L 函数”，求实数a 的取值范围；（3）若函数为“L 函数”，且，求证：对任意，都有．【答案】（1）是“L 函数”.不是“L 函数”.（2）（3）见解析可知，即对一切正数恒成立，又，可得对一切正数恒成立，所以．由，可得，故，又，故，由对一切正数恒成立，可得，即．综上可知，a 的取值范围是．（3）由函数为“L 函数”， 可知对于任意正数，都有，且，令，可知，即，故对于正整数k 与正数，都有，【点睛】本题为自定义信息题，根据题目所提供的信息，要严格遵循“L 函数”的定义解题，首先判断两个函数是否符合“L 函数”的定义，说明是“L 函数”，需要按定义严格证明，说明不是只需举一反例；第二步函数是“L 函数”，则满足定义，利用满足的条件，借助恒成立条件和最值原理求出参数的范围.9．已知(),f x x R ∈是有界函数，即存在0M >使得()f x M ≤恒成立．（1）()()()1F x f x f x =+-是有界函数，则(),f x x R ∈是否是有界函数？说明理由； （2）判断()()1224,92323x x xf x f x x x ==-⋅-+是否是有界函数？ （3）有界函数(),f x x R ∈满足()()117,,4312f x f x f x f x f x x R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是否是周期函数，请说明理由．【答案】（1）否，（2）()1f x ，有界，()2f x 无界．（3）是【解析】试题分析：（1）由及时定义，需确定函数值域，值域有上下确界时为有界函数，肯定就需证明，否定只需找个反例：举一个一次函数就行（2）()()()111440,0;0,0,3322x f x x f x x f x x x xx==>=∈<=∈-+-+所以()1f x ∈，有界；()()222923(31)11||0x x x f x f x =-⋅=--≥-⇒≥，无界．（3）由()117,4312f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭得()473121212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭令()4()12h x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()3()12h x h x +=，因此()(1)h x h x +=，即()()16411212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得()()16421212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()()()()121f x f x f x f x +-=+-+，又(),f x x R ∈是有界函数，所以必有()()1f x f x =+综上()()13111212f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()()()121f x f x f x f x +-=+-+∴()()()()()1f x n f x n f x f x +=++-，∵()f x 有界，∴()()1f x f x =+，是周期函数． 考点：及时定义10．已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x +=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x 在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）详见解析;（2） ;（3） 【解析】试题分析：（1）由a x ax x f -+=2)(得a x ax x f +-=-2)(，代入0)()(=+-x f x f 得，()()022=+-+-+a x ax a x ax，得到关于x 的方程02=-a ax （0≠a ），其中24a =∆，由于R a ∈且0≠a ，所以0>∆恒成立，所以函数a bx ax x f -+=2)(（0≠a ）必有局部对称点；（2）方程0222=++-m x x 在区间]2,1[-上有解，于是x x m -+=-222；设x t 2=（21≤≤-x ），421≤≤t ， t t m 12+=-，其中41712≤+≤t t ；即可求出结果.（3）324)(21-+⋅-=-+--m m x f x x ， 由于0)()(=+-x f x f ，所以)324(3242121-+⋅--=-+⋅-++--m m m m x x x x 于是0)3(2)22(2)44(2=-++-+--m m x x x x （*）在R 上有解,令t x x =+-22（2≥t ），所以方程（*）变（2）方程0222=++-m x x 在区间]2,1[-上有解，于是xx m -+=-2225分设xt 2=（21≤≤-x ），421≤≤t ，6分 t t m 12+=-7分 其中41712≤+≤t t 9分即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-22312222m m ，化简得2231≤≤-m 18分.。
上海市2018届高三数学复习函数的性质(2)专题练习
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函数的性质二
一、填空题
1、函数 y x 1 在区间2,5 上的最大值为
x
2、已知 f x , g x 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f x g x x3 x2 1，
18、已知函数
f
x
x2 2x
x2
mx
x 0 是奇函数 x0
（1）求实数 m 的值；（2）若函数 f x 在区间1, a 2 上单调递增，求实数 a 的取值范
围
19、求函数 f x a x2 a 0 在 1, 2 上的最小值
x
3
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x
x a
x
1 x
x0
x 0 若 f 0 是 f x 的最小值，则 a 的取值范围为
11、设函数
f
x
x 12 sin
x2 1
x
的最大值为 M
，最小值为 m
，则 M
m
12、已知非空集合 M
R
，定义域为
R
的函数
fM
x
1 0
xM ，若 A, B 是 R 的两
xM
1
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个非空真子集，函数 F x
f
A
f AB
x
x 1 fB x
1
的值域为
二、选择题
13、函数 y x2 lg x 2 的图像（ ） x2
2018届高考数学文大一轮复习重点强化课1 函数的图象与性质 含答案 精品
重点强化训练(一) 函数的图象与性质A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( )【导学号：31222065】A ．－12B.12 C ．2 D ．－2B2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3C3．函数f (x )＝3x＋12x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2) C4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D ．(0,2]C 上单调递减，∴－1≤log 2a ≤0，∴12≤a ≤1.综上可知12≤a ≤2.]5．(2017·陕西质检(二))若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∀x 1，x 2∈ 二、填空题6．函数y ＝f (x )在x ∈上的图象如图2所示，则当x ∈时，f (x )＋f (－x )＝________.【导学号：31222067】图27．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．8．(2017·银川质检)已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，且f (2)＝0，则满足f (x －1)＜0的x 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(1,3) 三、解答题9．已知函数f (x )＝2x ，当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解，两个解？ 令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x－2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示.3分由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；9分当0＜m ＜2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解.12分 10．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f ＝2，f＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，3分解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x .5分 (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－ ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1).7分∵x 2x －1＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1x －1＋2＝4. 9分当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·东北三省四市二联)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在 2．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．【导学号：31222068】3．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)， ∴f (1)＝0.3分 (2)f (x )为偶函数.4分 证明如下：令x 1＝x 2＝－1， 有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )， ∴f (x )为偶函数.7分(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).9分 又f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴0<|x －1|<16，解得－15<x <17且x ≠1，11分∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}.12分。
2018年上海高三一模真题汇编——函数专题
2018年一模汇编——函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】 设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= .【答案】2-.【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭. 【点评】考察函数的概念.【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时，112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时，1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上，所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2xf x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-. 【解析】()()()2xf xg x x ----=+-，根据奇偶性可得，()()2x f x g x x -+=-，所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式.【例2】已知函数()121x f x a =-+为奇函数，求实数a 的值. 【答案】12a =. 【解析】方法一：()()f x f x -=-，112121x xa a --=-+++，解得12a =；方法二：因为函数为R 上的奇函数，所以()00f =，解得12a =. 【点评】函数的奇偶性，已知函数为奇函数求参数的值。
注意方法二在使用时一定要确保“0”在定义域内.【知识点3】函数的单调性【例1】已知定义在(2,2)上的函数()f x 满足()()f x f x ，且在(2,2)上单调递增，若(2)(12)0f a f a ，求a 的取值范围.【答案】102a -<<. 【解析】已知函数为件数，可得2221212202221a a a a a -<+<⎧⎪-<-<⇒-<<⎨⎪+>-⎩.【点评】根据函数的奇偶性和单调性解不等式.【例2】如果定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称()f x 为“H 函数”。
2018届上海市高三第二轮复习【1】——函数性质综合练习篇.docx
有最值；②方程 （ ）一定有实数解；③如果方程 （ 为常数）有解，则解的个数一定是偶数；④ 是偶函数且有最小值；其中假命题的序号是
6.712.①③
长宁（嘉定）区2018高三一模
6.已知函数 ， 是函数 的反函数，若 的图像
过点 ，则 的值为
由 ，可得 ，
故 ，又 ，故 ，
由 对一切正数 恒成立，可得 ，即 ．………………9分
综上可知，a的取值范围是 ．………………………10分
（3）由函数 为“L函数”，可知对于任意正数 ，
都有 ，且 ，
令 ，可知 ，即 ，………………………12分
故对于正整数k与正数 ，都有
，………………………………14分
10．若将函数 的图像向左平移 个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值是．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
若函数 满足:对于任意正数 ，都有 ，且 ，则称函数 为“L函数”．
（1）试判断函数 与 是否是“L函数”；
（2）若函数 为“L函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知函数 既具有“ 性质”，又具有“ 性质”，且当 时， ，若函数 的图像与直线 有 个公共点，求实数 的值．
9． 16．B
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）
（1）由题意， ，
即 对于任意实数 成立，…………………………………………（1分）
由诱导公式 ，函数 具有“ 性质”，且所有 的值的集合为 ．……………………………………………………………（4分）
一定等于零． 一定大于零． 一定小于零． 正负都有可能．
专题06 函数概念与性质-2018年高考数学母题题源系列(上海专版)
母题六 函数概念与性质【母题原题1】【2018上海卷，11】已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________.【答案】6【母题原题2】【2018上海卷，4】设常数a R ∈，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。
【答案】7【解析】由于互为反函数的函数图象关于直线y x =对称，所以由已知，函数2()log ()f x x a =+的图象过点(1,3)，所以323log (1),1a 2,7a a =++==.【母题原题3】【2017上海卷，8】定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为________.【答案】-8 【解析】 由，则，所以的解为.【母题原题4】【2016上海卷，18】设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）. （A ）①和②均为真命题 （B ）①和②均为假命题（C ）①为真命题，②为假命题 （D ）①为假命题，②为真命题【答案】D【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.【命题意图】以抽象函数的奇偶性、对称性、周期性为载体考查综合分析问题解决问题的能力和抽象转化的数学思想；【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等上,热点是三者之间的内在联系，这种联系成为命题者的钟爱，一般情况下可“知二断一”。
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函数的性质一
一、 填空题
1. 函数245y x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则(1)f -的取值范围是
2. 若函数12()21
x x m f x ++=-是奇函数，则m = 3. 函数211
x y x -=-的递减区间是 . 4. 已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .
5. 已知函数53()8f x x px qx =++-满足(2)10f -=，则(2)f = .
6. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，则满足1(21)()3
f x f -<的x 的取值范围是 .
7. 若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .
8. 若函数()log (2)a f x ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .
9. 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“(),()f x g x 均为偶函数”是
“()h x 是偶函数”的 条件.
10. 设()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，若函数()()f x g x +的值域为[1,4]-，则
()()f x g x -的值域为 .
11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +为偶函数，且(1)2f =，则(4)(5)f f +的值
为 .
12. 已知()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，(()2)3x f f x -=，则(3)f = .
二、选择题
13. 以下函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）
.A y =.B 2(1)y x =- .C 2x y -= .D 0.5(1)y log x =+
14. 设函数(),()f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确
的是（ ）
.A ()()f x g x 是偶函数 .B ()|()|f x g x 是奇函数
.C |()|()f x g x 是奇函数 .D |()()|f x g x 是奇函数
15. 定义在区间R 上的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图
像重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）
①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<--
③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<--
.A ①与④ .B ②与③ .C ①与③ .D ②与④
16. 定义在实数集R 上的函数()y f x =的反函数1()y f x -=，若函数()y f x =-的反函数是
1()y f x -=-，则()y f x =-是（ ）
.A 奇函数，不是偶函数 .B 是偶函数，不是奇函数
.C 既是奇函数，又是偶函数 .D 既不是奇函数，也不是偶函数
二、 解答题
17. 已知实数0a >，且函数2()2x x a f x a
-=+为奇函数. （1） 求正实数2()2x x a f x a
-=+的取值范围； （2） 判断函数()f x 的单调性，并用函数的单调性定义证明
18. 已知函数2()a f x x x
=+(0,x ≠常数)a R ∈ （1） 讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2） 若函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数，求a 的取值范围.
19. 设函数(),0)f x a R a =∈≠且 （1） 分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；
（2） 在,0a R a ∈≠且的条件下，将（1）中的结论加以推广，使命题（1）成为推广后
命题的特例，并对推广的结论加以证明.
20. 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <
（1） 判断()f x 的奇偶性，并说明理由；
（2） 判断()f x 的单调性，并说明理由.
21. 已知函数()(0)a f x x a x
=+>在上递减，在)+∞上递增. （1） 如果函数2(0)b
y x x x
=+>的值域为[6,)+∞，求b 的值； （2） 研究函数22(0)c y x c x =+
>在定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数a y x x =+和22(0)a y x a x
=+>作出推广，使得它们都是你说推广的函数的特例，并研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求出函数
2211()()()(n n F x x x n x x
=+++是正整数)在区间1[,2]2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）
参考答案1.(,25]
-∞
2.2
3.(,1)
-∞，(1,)
+∞
4. 3
5.26
-
6.
12 (,) 33
7.(4,0]
-
8.(1,2)
9.充分非必要
10. [1,4]
-(4,1]
-
11. 2
12. 9
13.A
14.B
15.C
16.A
17.答案：（1）1
a=
（2）略
18.答案：（1）0
a=时，偶函数；0
a≠时，非奇非偶.
（2）16
a≤
19.答案：（1）1a =，非奇非偶；2a =-，奇函数
（2）0a >，非奇非偶；0a <，奇函数
20.答案：（1）奇函数
（2）单调递减
21.答案：（1）2log 9b =
（2）该函数在[)+∞上是递增的；在(,-∞上递减
（3）当n 是奇数是，函数n n a y x x
=+在(0,上是减函数，在)+∞上是增函数；
在(,-∞-上是增函数，在[上是减函数；
当n 是偶数时，函数n n a y x x
=+在[上是减函数，在)+∞上是增函数；
在(,-∞-上是减函数，在[上是增函数；
()F x 最大值为9
9()()24
n n +，最小值为12n +。