1.3.2三角函数诱导公式(二)(教、学案)
1.3三角函数的诱导公式(二)
课 题：1.3正弦、余弦的诱导公式（二）教学目的：学会关于90︒ k ± α两套诱导公式，并能应用，进行简单的三角函数式的化简及论证。
教学重点：诱导公式教学难点：诱导公式的灵活应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、讲解新课：诱导公式5：（课件1.3.7）sin(90︒ -α) = cos α, cos(90︒ -α) = sin α.tan(90︒ -α) = cot α, cot(90︒ -α) = tan α. sec(90︒ -α) = csc α, csc(90︒ -α) = sec α诱导公式6：（课件1.3.8） sin(90︒ +α) = cos α, cos(90︒ +α) = -sin α.tan(90︒ +α) = -cot α, cot(90︒ +α) = -tan α. sec(90︒ +α) = -csc α, csc(90︒+α) = sec α如图所示 sin(90︒ +α) = M’P’ = OM = cos αcos(90︒ +α) = OM’ = PM = -MP = -sin α或由6式：sin(90︒ +α) = sin[180︒- (90︒ -α)] = sin(90︒ -α) = cos αcos(90︒ +α) = cos[180︒- (90︒ -α)] = -sin(90︒ -α) = -cos α二、讲解范例： 例1)2cos()5cos()2sin()4sin()cot()2tan()23cos()2sin(απαπαπαπαπαπαπαπ+-+--=+-+---+k k k 求证： 证：α-ααα=α+α-α+α=sin cos cos sin cot tan sin cos 左边 α-ααα=α+α-αα-=s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n 右边 左边 = 右边 ∴等式成立例2的值。
三角函数的诱导公式教学设计
三角函数的诱导公式学案【学习目标】（1）能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。
【课前预习】1、 若角α的终边和单位圆交于点P ，则点P 的坐标可表示为2、 若角α和角β的终边相同，则β=3、 求0390的三角函数值 【课堂导学】问题1：若角α和角β的终边相同，则它们的同名三角函数值有何关系？ 公式一：问题2：（1）设6πα=，如果β的终边与α的终边关于x 轴对称，你能用α表示β吗？这时sin β与sin α，cos β与cos α有什么关系？（2）请你自己举出类似的例子，看看有没有同样的结论？（3）一般地，设α为任意角，β的终边与α的终边关于x 轴对称，用α表示β，并求sin β与sin α，cos β与cos α的关系。
公式二： 问题3：（1）设6πα=，将α的终边逆时针旋转2π得β，你能用α表示β吗？这时sin β与cos α，cos β与sin α有什么关系？（2）一般地，设α为任意角，将α的终边逆时针旋转2π得β，用α表示β，并求sin β与cos α，cos β与sin α的关系。
公式六：归纳总结：从联系的观点看，上述问题可以归结为两类变换：（1）关于x 轴对称的轴对称变换1T ：θθ→-，单位圆上的点(,)x y 经1T 变为 ， 也就是cos()α-= ，sin()α-= 。
（2）将α的终边逆时针旋转2π的旋转变换2T ：2πθθ→+，单位圆上的点(,)x y 经2T 变为 ，也就是cos()2πα+= ，sin()2πα+= 。
问题4：经过两次2T 变换，就有α→ ，探求这个角的三角函数值 公式四：问题5：经过一次1T 变换，再经过一次2T 变换，就有α→ → ，探求这个角的三角函数值。
公式五：问题6：利用已有的公式，你能推导出33,,22παπαπα--+的三角函数值与α的三角函数值的关系吗？公式三：问题7：怎样求这些角的正切值？归纳总结：公式一、二、三、四、五都叫做三角函数的诱导公式。
1.3.2 三角函数的诱导公式(二)教案
湖 南 省 娄 底 市 双 峰 县 第 五 中 学 集 体 备 课 教 案高 一 年 级 数 学 组- 1 -教学环节设计 知识点解析、师生互动 教学后记课题：1.3.2 三角函数的诱导公式(二) 教学目标：1.进一步理解和掌握六组正弦、余弦和正切的诱导公式，并能正确地运用这些公式进行任意角的正弦、余弦和正切值的求解、简单三角函数式的化简与三角恒等式的证明；2.通过公式的应用，培养学生的化归思想，运算推理能力、分析问题和解决问题的能力.教学重点：诱导公式及诱导公式的综合运用.教学难点：公式的推导和对称变换思想在学生学习过程中的渗透. 教学过程：（导入→自学→展示→探讨→展示→讲解点拨→评价小结→练习总结） 一、导入新课 角2π-α与角α终边之间有怎样的对称关系，能否从任意角三角函数的定义出发利用这一对称关系探求角2π-α与角α的三角函数值之间的关系呢？ 二、自主学习 自学任务：课本P26—P27，独立完成导学案。
三、展示评价 (学生展示导学案答案、教师评价解析) 四、小组探讨 （分组讨论、解答探究案） 五、展示评价 （分组展示探究案答案、教师评价解析） 六、课堂小结 七、检测反馈 （学生独立完成练习案、教师巡查点拨） 一、导学案答案解析二、探究案答案解析例1 13. 例2 略例3 5716. 三、检测案答案解析1．A 2．A 3．C 4．C 5．－13 6.892 7．2 8．解 原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θ－cos θ·cos θ＋cos θ ＝1cos θ＋1＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ. ∵sin θ＝33，∴原式＝6. 9．解 由条件，得⎩⎨⎧ sin α＝2sin β，3cos α＝2cos β.①② ①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，③ 又因为sin 2α＋cos 2α＝1，④由③④得sin 2α＝12，即sin α＝±22， 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以α＝π4或α＝－π4. 当α＝π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知符合． 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，又β∈(0，π)，所以β＝π6，代入①可知不符合． 综上所述，存在α＝π4，β＝π6满足条件．。
1.3.2三角函数诱导公式(二)
沂南二中2011-2012学年度下学期必修4学案1.3.2 三角函数的诱导公式（二）编制人：宋洪华 审核人：周建华 使用时间： 2012-4-20【学习目标】1、掌握诱导公式五、六2、灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值及证明.【重点难点】灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值及证明.【预习课前】（根据以下提纲，预习课本第26-27页，找出疑惑之处）1、-2πα组诱导公式：①__________________________________________________; ②____________________________________________________________________.2、+2πα组诱导公式：①__________________________________________________; ②____________________________________________________________________.3、2πα±的诱导公式中函数名称发生改变时，主要是正弦、余弦的转换，同时要注意三角函数的符号.4、学习了本部分知识后，连同前面的诱导公式可以统一概括为90()k k Z α︒±∈的诱导公式，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的余函数值，然后在前面加一个把α看成锐角时原函数值的符号.5、诱导公式统一成90()k k Z α︒±∈后，记忆时可用口诀：奇变偶不变，符号看象限；或奇余偶同，象限定号.【互动探究】例1、已知5sin(5)sin()22πθπθ-+-=求（1）333sin (+)-cos ()22πθπθ- （2）447sin (-)+cos (+)22πθπθ变式练习：若sin -+sin(-90-)sin(180)(0,90)cos(540)cos(270)αααααα︒︒+=∈︒︒︒-+-︒-（），求例2、已知3 cos(+)cos(2)sin()22 ()sin()sin()2fππαπαααππαα--+ =--+（1）化简()fα（2）若α是第三象限角，且31cos(-)=().25fπαα，求的值变式练习：已知cos(-)cos(2)sin333cos[sin()1]cos()sin()sin()222παπθθπππθθπθθθ-=+--++-+的值.例3、是否存在角(-,)(0,),sin)222πππαβαβππαβ∈∈-，，，、使等式(3+))απβ-=+同时成立?例4、已知()sin ,.4n f n n Z π=∈ (1)(1)+(2)(8)(9)(10)(16)(2)(1)(2)(2003).f f f f f f f f f ++=++++++ 求证：求【自我测评】 1、已知3sin cos(2)5παααπ-(+)=，且是第四象限角，则的值是（ ） A 4-5 B 45 C 45± D 35 2、y αβ，的终边关于轴对称，下列各式正确的是 （ ）A sin =sin αβB cos =cos αβC tan =tan αβD cos2-=cos παβ（） 3、若2cos -()63m ππαα-=()=，则sin （ ） A -m B m -2 C m 2 D m 4、若sin +cos(90+)cos(270-)+2sin(360)ααααα︒︒︒︒-(180+)=-，则的值是（ ） A 2-3a B 32a - C 23a D 32a 5、cos -585sin 495+sin(-570)︒︒︒（）的值等于_____________. 6、1cos cos(+)52πααα==，且是第四象限角，那么则______________. 7、若sin(-)+sin(-90)sin (0).cos(540)cos(270)αααααα︒-︒∈︒︒︒-+-︒-(180+，90求8、设函数()sin()cos(),,,,(2007)1,f x a x b x a b f παπβαβ=+++=-其中都是非零实数，且满足(2008)f 求的值.9、已知3sin()cos(2)tan()2()=3tan()sin()2f παπααπαπαπα---++-- （1）化简：()f α；（2）若α是第三象限角，且31cos(-)=().25f παα，求的值 （3）若31=-().3f παα，求的值。
《1.2.3三角函数的诱导公式二》教学案
《1.2.3三角函数的诱导公式(二)》教学案●三维目标1．知识与技能(1)能够推导公式五、六．(2)能够应用公式五、六解决一些三角函数求值、化简和证明问题．2．过程与方法(1)借助于单位圆，利用对称性，推导公式五、六．(2)观察公式五、六的结构特征，统一为“函数名改变，符号看象限”．(3)特别注意公式的使用中，三角函数值的符号变化问题．3．情感、态度与价值观用联系的观点，发现并证明诱导公式，体会把未知问题化归为已知问题的数学思想方法．●重点难点重点：诱导公式五、六的推导．难点：灵活运用诱导公式进行化简、求值、证明.教学方案设计●教学建议关于诱导公式五、六的教学，建议教师注重公式的推导过程，特别突出关于直线y＝x对称的两点的坐标关系，这是理解和记忆公式的关键．另外要向学生讲清这组公式与诱导公式一、二、三、四的区别，利用适当的训练题加以巩固这几组诱导公式的关系及应用．●教学流程创设问题情境，引导学生推导出诱导公式五、六.⇒引导学生探究诱导公式五、六的特征以及与诱导公式一～四的区别，并总结诱导公式五、六的记忆口诀“函数名改变，符号看象限”.⇒通过例1及其互动探究，使学生掌握利用诱导公式五、六解决给值求值问题的方法.⇒通过完成例2及其变式训练，使学生掌握利用诱导公式解决化简求值问题的方法.⇒完成例3及其变式训练，总结利用诱导公式证明三角恒等式的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学【问题导思】 若α为锐角，sin (π2－α)与cos α，cos (π2－α)与sin α有何关系？ 【提示】 sin (π2－α)＝cos α，cos (π2－α)＝sin α. 终边关于直线y ＝x 对称的角的诱导公式(公式五) sin (π2－α)＝cos _α；cos (π2－α)＝sin _α.【问题导思】 利用公式二和公式五，能否确定sin (π2＋α)与cos α，cos (π2＋α)与sin α的关系？【提示】 sin (π2＋α)＝sin [π2－(－α)]＝cos (－α)＝cos α，cos (π2＋α)＝cos [π2－(－α)]＝sin (－α)＝－sin α.π2＋α型诱导公式(公式六) sin (π2＋α)＝cos _α； cos (π2＋α)＝－sin _α. 当堂双基达标例1 (1)已知sin (π＋A)＝－12，则cos (32π－A)的值是________． (2)已知sin (π3－α)＝12，则cos (π6＋α)的值是________．【思路探究】 (1)先化简sin (π＋A)＝－12得sin A ＝12，再利用诱导公式化简cos (3π2－A)即可．(2)探索已知角π3－α与π6＋α之间的关系，根据诱导公式将cos (π6＋α)化为π3－α的三角函数求解．【自主解答】 (1)sin (π＋A)＝－sin A ＝－12，∴sin A ＝12，cos (3π2－A)＝cos (π＋π2－A)＝－cos (π2－A)＝－sin A ＝－12. (2)∵(π3－α)＋(π6＋α)＝π2， ∴π6＋α＝π2－(π3－α)，∴cos (π6＋α)＝cos [π2－(π3－α)]＝sin (π3－α)＝12. 【答案】 (1)－12 (2)12 规律方法1．给值求值型问题，若已知条件或待求式较复杂，有必要根据诱导公式化到最简，再确定相关的值．2．巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有π3－α，π6＋α；π3＋α，π6－α；π4＋α，π4－α等．常见的互补关系有π3＋θ，2π3－θ；π4＋θ，3π4－θ等． 互动探究若本例(2)中条件不变，如何求cos (56π－α)的值？ 【解】 ∵(5π6－α)－(π3－α)＝π2， ∴5π6－α＝π2＋(π3－α)，∵cos (5π6－α)＝cos [π2＋(π3－α)]＝－sin (π3－α)＝－12.化简问题例2 化简： sin3π2－α·cos 3π－α·tan π－αcos －α－π·cos α－π2. 【思路探究】 解决本题的关键是熟练地应用三角函数诱导公式． 【自主解答】 原式＝sin[π＋π2－α]·cos π－α·－tan αcos π＋αcos π2－α ＝－sin π2－α·－cos α·－tan α－cos α·sin α ＝－cos 2α·tan α－cos α·sin α＝cos α·sin αcos αsin α＝1. 规律方法用诱导公式化简求值的方法：(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行切化弦，以保证三角函数名最少．(2)对于kπ±α和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名． 变式训练 化简：sin θ－5πcos －π2－θcos 8π－θsin θ－3π2sin －θ－4π. 【解】 原式＝sin[－6π＋π＋θ]cos[－π2＋θ]cos －θsin[－2π＋π2＋θ]sin －θ ＝sin π＋θcos π2＋θcos θsin π2＋θ－sin θ ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.证明三角恒等式例3 求证：2sin θ－32πcos θ＋π2－11－2sin 2θ＝ tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1.【思路探究】 考虑到等式左、右两边形式都很复杂，可以使用左右归一法证明，即证明等式的左、右两边都等于同一个式子．【自主解答】 左边＝2sin[－32π－θ]cos π2＋θ－11－2sin 2θ ＝－2cos θ·sin θ－11－2sin 2θ＝1＋2sin θcos θ2sin 2θ－sin 2θ＋cos 2θ ＝sin θ＋cos θ2sin 2θ－cos 2θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1.右边＝tan 8π＋π＋θ＋1tan θ－1＝tan π＋θ＋1tan θ－1＝tan θ＋1tan θ－1. ∴左边＝右边，原式成立． 规律方法三角恒等式的证明策略：(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法、化弦法、拆项拆角法、公式变形法、“1”的代换法．变式训练求证：tan 2π－αcos 3π2－αcos 6π－αsin α＋3π2cos α＋3π2＝－tan α. 【证明】 左边＝tan －α·cos[π＋π2－α]cos －αsin[π＋π2＋α]cos[π＋π2＋α] ＝－tan α·[－cos π2－α]·cos α－sin π2＋α·[－cos π2＋α] ＝tan αsin αcos α－cos α·sin α＝－tan α＝右边． ∴原等式成立. 思想方法技巧三角函数问题中的方程思想典例 (14分)是否存在角α，β，α∈(－π2，π2)，β∈(0，π)，使⎩⎨⎧ sin 3π－α＝2cosπ2－β，3cos －α＝－2cos π＋β同时成立？若存在，求出角α，β；若不存在，请说明理由．【思路点拨】 先利用三角函数的诱导公式化简已知条件，再利用方程思想和同角三角函数的基本关系式求解．【规范解答】 将已知方程组化 为{ sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ②2分①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2，∴cos 2α＝12. 4分∵α∈(－π2，π2)，∴cos α＝22，∴α＝π4或－π4， 6分将α＝π4代入②得cos β＝32，8分 ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.将α＝π4，β＝π6代入①，符合条件.10分 将α＝－π4代入②得cos β＝32， ∵β∈(0，π)，∴β＝π6.12分将α＝－π4，β＝π6代入①，不符合条件，舍去． 综上可知存在满足条件的角α，β，α＝π4，β＝π6. 14分首先利用已知条件得出关于cos α的方程，再利用平方关系式sin 2α＋cos 2α＝1，求出cos α的值，进而求出相应的角．建立方程是解题的关键．1.π2±α的正弦(余弦)函数值，等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”．2．利用公式五或公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化．3．k ·π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值；当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶是指k 的取值是奇数还是偶数. 当堂双基达标1．sin 95°＋cos 175°＝________.【解析】 ∵sin 95°＝sin (90°＋5°)＝cos 5°，cos 175°＝cos (180°－5°)＝－cos 5°， ∴sin 95°＋cos 175°＝0. 【答案】 02．化简sin (π＋α)cos (3π2＋α)＋sin (π2＋α)cos (π＋α)＝________. 【解析】 原式＝－sin αsin α＋cos α(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1. 【答案】 －13．已知tan θ＝2，则sin π2＋θ－cos π－θsin π2－θ－sin π－θ＝________. 【解析】 原式＝cos θ－－cos θcos θ－sin θ＝2cos θcos θ－sin θ＝21－tan θ＝21－2＝－2. 【答案】 －24．求证：cos α－π2sin 5π2＋αsin (α－π)cos (2π－α)＝－sin 2α. 【证明】 ∵左边＝－cos π2－αsin π2＋αsin αcos (－α)＝－sin αcos αsin αc os α＝－sin 2α＝右边，∴原等式成立. 课后知能检测 一、填空题1．sin 480°的值为________．【解析】 sin 480°＝sin (360°＋120°)＝sin 120°＝sin (90°＋30°)＝cos 30°＝32.【答案】 322．如果cos α＝15，且α是第四象限角，那么cos (α＋π2)＝________. 【解析】 由已知得，sin α＝－1－152＝－265.所以cos (α＋π2)＝－sin α＝－(－265)＝265. 【答案】 2653．若sin (θ＋3π2)＞0，cos (π2－θ)＞0，则角θ的终边位于第________象限．【解析】 sin (θ＋3π2)＝－cos θ＞0，∴cos θ＜0，cos (π2－θ)＝sin θ＞0，∴θ为第二象限角． 【答案】 二4．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos 30°)＝________.【解析】 f (cos 30°)＝f (sin 60°)＝3－cos 120°＝3＋cos 60°＝72或f (cos 30°)＝f (sin 120°)＝3－cos 240°＝3－cos 120°＝72. 【答案】 725．(2013·宁波高一检测)已知sin (α－π4)＝13，则cos (π4＋α)＝________. 【解析】 ∵(π4＋α)－(α－π4)＝π2，∴cos (π4＋α)＝cos [π2＋(α－π4)]＝－sin (α－π4)＝－13. 【答案】 －136．若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是________． ①cos (A ＋B)＝cos C ；②sin (A ＋B)＝－sin C ； ③cos (A 2＋C)＝cos B ；④sin B ＋C 2＝cos A2.【解析】 ∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＋B ＝π－C ，∴cos (A ＋B)＝－cos C ，sin (A ＋B)＝sin C ，所以①②都不正确；同理B ＋C ＝π－A ，所以sin B ＋C 2＝sin (π2－A 2)＝cos A2，所以④是正确的． 【答案】 ④7．(2013·徐州高一检测)已知cos (π2＋φ)＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.【解析】 cos (π2＋φ)＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3. 【答案】 － 38．已知cos α＝13，且－π2＜α＜0， 则cos －α－πsin 2π＋αtan 2π－αsin 3π2－αcosπ2＋α＝________.【解析】 原式＝－cos α·sin α·－tan α－cos α·－sin α＝tan α，∵cos α＝13 ，－π2＜α＜0， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.【答案】 －2 2 二、解答题9．已知cos (75°＋x )＝13，其中x 为第三象限角，求cos (105°－x )－2cos (x －15°)的值． 【解】 由条件，得cos (105°－x )＝cos (180°－75°－x )＝－cos (75°＋x )＝－13， cos (x －15°)＝cos (－90°＋75°＋x )＝sin (75°＋x )． 又x 为第三象限角，cos (75°＋x )＞0， 所以x ＋75°为第四象限角． 所以sin (75°＋x )＝－223. 于是原式＝－13－2×(－223)＝1. 10．已知sinα是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin α＋3π2sin 3π2－αtan 22π－αtan π－αcos π2－αcos π2＋α的值． 【解】 由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α－cos α·tan 2α－tan αsin α·－sin α＝tan α＝±34.11．已知角α的终边经过点P (45，－35)． (1)求sin α的值；(2)求sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值． 【解】 (1)∵P (45，－35)，|OP |＝1， ∴sin α＝－35.(2)sin π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54. 教师备课资源备选例题 已知f (α)＝sinα－3πcos 2π－αsin －α＋3π2cos －π－αsin －π－α. (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且cos (α－3π2)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值．【思路探究】 利用诱导公式化简，根据题中所给条件求值． 【自主解答】 (1)f (α)＝－sin αcos α－cos α－cos αsin α＝－cos α. (2)∵cos (α－3π2)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15， 又α是第三象限角，∴cos α＝－52－15＝－256， ∴f (α)＝25 6.(3)∵－31π3＝－5×2π－π3，∴f (－31π3)＝－cos (－31π3)＝－cos (－5×2π－π3)＝－cos (－π3)＝－cos π3＝－12. 规律方法此类题目是关于三角函数式的化简与求值．解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数关系式变形求解． 备选变式 已知f (θ)＝cos θ－3π2·sin 7π2＋θsin －θ－π. (1)化简f (θ)；(2)若f (θ)＝13，求tan θ的值；(3)若f (π6－θ)＝13，求f (5π6＋θ)的值．【解】 (1)f (θ)＝cos 3π2－θ·sin 3π2＋θ－sin π＋θ＝－sin θ·－cos θsin θ＝cos θ. (2)由题意得f (θ)＝cos θ＝13＞0，故θ为第一或第四象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝1－cos 2θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝22； 当θ为第四象限角时，sin θ＝－1－cos 2θ＝－223，tan θ＝sin θcos θ＝－2 2. (3)由题意得f (π6－θ)＝cos (π6－θ)＝13，∴f (5π6＋θ)＝cos (5π6＋θ)＝cos [π－(π6－θ)]＝－cos (π6－θ)＝－13.。
1.3三角函数的诱导公式_导学案2
11.3三角函数的诱导公式 第二课时学习目标：1.经历诱导公式五、六的推导过程，体会数学知识的“发现”过程。
2.掌握诱导公式五、六，能初步应用公式解决一些简单的问题。
复习案回顾三角函数的诱导公式二到公式四，公式二： 公式三： 公式四：sin()cos()tan()παπαπα+=+=+= sin()cos()tan()ααα-=-=-= sin()cos()tan()παπαπα-=-=-=它们的记忆口诀是：探究案 一、探究角α与απ-2终边的关系 问题1.画出角α关于直线y x =对称的角的终边.设角α与单位圆的交点为P ，所画的角与单位圆的交点为'P ，问题2：：由图象我们可以看到，与角α关于直线y x =对称的角可以表示为如上图单位圆中，假设点P 的坐标为）（y x ,，则'P 的坐标为 =sin α ,=cos α=)-sin(απ2 ,=)-cos(απ2由此可得出αcos 与)-sin(απ2，αsin 与)-cos(απ2的关系，总结为公式为：预习检测1. 1、化简1）⎪⎭⎫⎝⎛-βπ25sin 2） )27cos(απ-2、证明：ααπcos 23sin )1-=⎪⎭⎫⎝⎛- ααπsin 23cos )2-=⎪⎭⎫⎝⎛- 证：二．由（公式五）推导（公式六）观察可得记忆口诀：把α看成锐角，函数名奇变偶不变，符号看象限。
预习检测2：1、求值：（1） )+cos(323ππ 5(2)sin 6π（用两种方法计算）=)-cos(=)-sin(απαπ22=)+cos(=)+sin(απαπ222典型例题：（一）例1：化简：1）11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα-++-----+例2、已知0sin 75=，求00cos15,cos165.例3、已知:,212sin 计算-=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）();2cos απ- （2）()πα7tan -例4、若⎪⎭⎫⎝⎛+=απα2cos sin ,则角α的集合为 课后练习案1、化简：1）()()()()0000261sin .171sin 99sin .1071sin --+-；2) ()()αππααππα--⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2cos .2sin .25sin 2cos 3）()()()ααα-+--sin 360tan cos 022、计算：1）()()0000660cos .330sin 750cos .420sin --+ 2）⎪⎭⎫⎝⎛-++425tan 325cos 625sin πππ3、已知():,21sin 计算-=+απ 1）⎪⎭⎫ ⎝⎛-23cos πα 2）⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ2tan。
1.3三角函数的诱导公式(教案)
1.3三角函数的诱导公式教案教学目标：（1）能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题；（3）经历由几何直观探讨数量关系式的过程，培养学生数学发现能力和概括能力；（4）通过对诱导公式的探求和运用，培养化归能力，提高学生分析问题和解决问题的能力.教学重点：用联系的观点发现并证明诱导公式．教学难点: 如何引导学生从单位圆的对称性与任意角终边的对称性中，发现问题，提出研究方法．教学过程:一．问题引入与复习巩固:角的概念已经由锐角扩充到了任意角，前面已经学习过任意角的三角函数，那么任意角的三角函数值．怎么求呢？先看一个具体的问题。
求390°角的正弦、余弦值.一般地，由三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一三角函数值相等，即有：sin(α+2kπ) = sinα，cos(α+2kπ) = cosα，ta n(α+2kπ) = tanα (k∈Z) 。
(公式一) 二．尝试推导由上一组公式，我们知道，终边相同的角的同一三角函数值一定相等。
反过来呢？问题：你能找出和30°角正弦值相等，但终边不同的角吗？角π-α与角α的终边关于y轴对称,有sin(π -α) = sin α，cos(π -α) = - cos α，（公式二）tan(π -α) = - tan α。
因为与角α终边关于y轴对称是角π-α，，利用这种对称关系，得到它们的终边与单位圆的交点的纵坐标相等，横坐标互为相反数。
于是，我们就得到了角π-α与角α的三角函数值之间的关系:正弦值相等，余弦值互为相反数，进而，就得到我们研究三角函数诱导公式的路线图：角间关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系。
三．自主探究问题：两个角的终边关于x轴对称,你有什么结论?两个角的终边关于原点对称呢？角-α与角α的终边关于x轴对称，有：sin(-α) = -sin α，cos(-α) = cos α，（公式三）tan(-α) = -tan α。
高中数学1.3三角函数的诱导公式(第2课时)优秀教案
1.3三角函数的诱导公式〔第2课时〕导学案【课前要点梳理】1.诱导公式〔奇变偶不变，符号看象限〕2.同角三角函数的根本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝ 〔α为任意角〕. (2)商数关系： ＝sin αcos α ⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠k π＋π2，k ∈Z .【课堂互动探究】题型一 整体代换，利用角之间的关系求值典例1 〔1〕计算54cos53cos 52cos5cosππππ+++= . （2）假设534sin =+）（πθ，则)4(cos πθ-= . （3）316cos =-）（απ，求）（απαπ-⋅+32sin )65(cos 的值.小结：对于一些给值(式)求值问题，要注意角与未知角的关系，即发现它们之间是否满足互余或互补，假设满足，则可以进行整体代换，用诱导公式求解． (1)常见的互余关系：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等． (2)常见的互补关系：π3＋α与23π－α；π4＋α与34π－α等． 【针对训练1】1.213sin =-）（απ，则)6(cos απ+= .2.3175cos =+）（。
α，则）（。
αα-+105cos )15-sin(的值是〔 〕 A.31 B.32 C. 31- D.32-【思考诊断】典例1〔2〕中，534sin =+）（πθ，求得)4(cos πθ-=.假设534sin =+）（πθ，且α为第四象限角，则)4(tan πθ-= .题型二 诱导公式与同角三角函数关系的综合应用 典例2 〔1〕假设21sin =+）（απ，)0,2(πα-∈，则）（απ-tan = . 变式：假设21sin =+）（απ，则）（απ-tan = .〔2〕+。
1sin 2+。
2sin 2+。
3sin 2。
89sin 2+ = .小结：解决与诱导公式有关的三角函数式的化简或者求值问题，关键是正确地应用诱导公式把不同角问题转化为同角问题来处理，再利用同角三角函数关系进行化简或者求值．〔统一角，统一函数名〕【针对训练2】1.+。
[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案1. 3三角函数的诱导公式(二)
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1．3诱导公式<二）教案目标<一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．<二）过程与能力目标<1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．<2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．<三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教案重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教案难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教案过程一、复习：诱导公式<一）诱导公式<二）诱导公式<三）诱导公式<四）sin(p－a>=sina cos(p－a>=－cosa tan(p－a>=－tanab5E2RGbCAP诱导公式(五>诱导公式<六）二、新课讲授：练习1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：练习2：求下列函数值：例1．证明：<1）<2）例2．化简：解：例4.小结：①三角函数的简化过程图：练习3：教材P28页7．化简:例5.三．课堂小结①熟记诱导公式五、六；②公式一至四记忆口诀：函数名不变，正负看象限；③运用诱导公式可以将任意角三角函数转化为锐角三角函数．四．课后作业：①阅读教材；②《学案》P.16-P.17的双基训练.申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
《三角函数的诱导公式二、三、四》教学设计
《三角函数的诱导公式二、三、四》教学设计第一课时一、内容和内容解析 1．内容“诱导公式”包括5组公式，即诱导公式二至六，本单元的知知识结构如下图所示：本单元分为两课时完成，本节课为第一课时，主要探究诱导公式二、三、四，并围绕圆的对称性提出要研究的相关问题，形成研究的思路．2．内容解析我们知道，任意角的三角函数的定义是借助于单位圆得出的，之后又借助于圆的几何性质得出了三角函数的部分性质，即同角三角函数的基本关系．圆有丰富的性质，对称性是圆的重要性质，如果用三角函数表示单位圆上点的坐标，就可将这些对称性表示为三角函数之间的关系，从而得到三角函数的诱导公式．角的基本构成元素就是顶点、始边、终边，在三角函数这一章的研究中，为了方便，使角的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，因此变化的只有角的终边．首先从形的角度，研究圆的对称性，假设任意角α的终边与单位圆的交点为1P ，点1P 关于圆心或特殊直线的对称点为Q ，根据单位圆上这两个点的对称性，可以写出以OQ 为终边的角与角α的关系．接下来从数的角度，利用三角函数的定义，建立对称点坐标之间的关系，得到三角函数之间的关系即诱导公式．由此可见诱导公式的本质就是圆的对称性的代数表示．对于πα+，π2α+还可以从旋转对称的角度认知它们，与从轴对称认知的本质一致，而这样认知与诱导公式一，及后续的两角差的余弦公式的研究就一致了．因此这种变式为后续利用旋转对称性探究两角差的余弦作了铺垫．可见，本单元是培养学生发现和提出问题、分析和解決问题，发展学生直观想象核心素养的很好的载体．在数学史上，求三角函数值曾经是一个重要而困难的问题．数学家制作了锐角三角函数值表，并通过公式，将任意角转化为锐角进行计算．现在，我们可以利用计算工具方便地求任意角的三角函数值，所以利用这些公式的“求值”已不是重点，但是研究这些公式时使用的数学思想方法，在解決三角函数的各种问题中却依然有重要作用．在本单元中，利用诱导公式解決问题，重要的是观察计算对象的特征，选择合适的诱导公式，确定恰当的求解路线，并实施计算求解问题．因此本单元是培养学生数学运算核心素养的很好的载体．因此本单元的教学重点是：利用圆的对称性探究诱导公式，运用诱导公式进行简单三角函数式的求值、化简与恒等式的证明．此外，为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部采用了弧度制．二、目标和目标解析1．目标（1）经历诱导公式的探究过程，积累应用类比、转化、数形结合等方法研究三角函数性质的经验，提升直观想象核心素养．（2）初步应用诱导公式解決问题，积累解题经验，提升数学运算核心素养．2．目标解析达成上述目标的标志是：（1）在平面直角坐标系中，给出任意角α的终边与单位圆的交点P，结合单位圆的特殊对称性——关于原点对称和特殊直线对称，学生能分别画出相应的对称点Q，并利用圆的对称性给出坐标间的关系，利用三角函数的定义，用角表示两个点的坐标，并能求出以OQ为终边的角与角α的坐标之间的关系，从而建立三角函数之间的关系，即诱导公式．（2）学生能利用诱导公式进行化简、计算和证明．特别是在遇到比较复杂的问题时，能根据运算对象的特点，选择合适的公式，确定恰当的求解方案，并能正确求解．在解题的基础上，能概括出利用诱导公式求解的一般程序．三、教学问题诊断分析本单元就单个知识点而言，比较好理解．但是公式比较多，当学生应用和记忆时会出现困难或者混淆．因此本节课的教学难点之一是：诱导公式的有效识记和应用．为破解这一难点，本节课的教学过程中要充分发挥单位圆的直观作用，提高学生的直观想象核心素养，理解诱导公式的本质：圆的对称性的代数化，三角函数的性质．学生能主动地依托单位圆，想象着它的对称性，就可以准确的记忆诱导公式．对于公式的应用，要提高学生分析问题的能力，即要形成一定的求解程序，提升学生的数学运算素养．学生在理解诱导公式时，总是有思维定势，以为α是锐角，于是导致解题时，通过角所在象限判断诱导公式的符号出错．所以本单元的第二个难点是：诱导公式中角α可以是任意角的理解．为破解这一难点，在推导诱导公式时要充分地应用变式．比如在推导公式二时，点1P 的位置一般选在第一象限，获得公式后，可以变化点1P 的位置，让学生观察：点1P 的位置变化时，点2P 与点1P 的坐标之间的关系．并抽象概括出这两点的坐标之间的关系与点1P 的位置无关．因此公式中的角α可以是任意角．在此基础上，配以具体题目，让学生感受这种概括的正确性．四、教学支持条件分析本单位可利用作图软件，画图呈现如上所述的对称性，并动态演示当点1P 的位置变化时对称点的坐标与它的坐标之间的关系不变．五、教学过程设计 （一）创设情境，引出问题导入语：前面我们学习了三角函数，是借助于单位圆给出的，并根据定义得出了公式一，刻画“周而复始”这种変化规律及其几何意义．之后借助于单位圆的几何特征，获得了同一个角的三个三角函数之间的关系．我们知道，对称性是圆的重要性质，而对称性（如奇偶性）也是函数的重要性质．由此想到，我们可以利用圆的对称性，研究三角函数的性质．问题1：如图5.3-1，在直角坐标系内，设任意角α的终边与单位圆交于点1P ，作1P 关于原点的对称点2P ．（1）以2OP 为终边的角β与角α有什么关系？ （2）角β，α的三角函数值之间有什么关系？师生活动：先由学生独立完成问题1，然后展示，师生帮助一起完善和梳理思路． 如图5.3-2，以2OP 为终边的角β都是与角πα+终边相同的角，即2ππβα=++()k ∈Z ()k ．因此，只要探究角πα+与α的三角函数值之间的关系即可．设111P x y (，)，222P x y (，)．因为2P 是点1P 关于原点的对称点，所以2121x x y y =-=-，． 根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 2222sin πcos πtan πy y x x ααα+=+=+=()，()，()．设计意图：初步感受如何将圆的一个特殊的对称性：在坐标系中关于原点对称，代数化，并得到诱导公式二．并以此问题作为研究方法的示范，为进一步提出、分析、解決问题做好奠基工作．追问1：如果点1P 在第二象限，那么点2P 的坐标与点1P 的坐标之间有什么关系？如果点1P 在y 轴负半轴上呢？在其他位置呢？据此，公式二中的角α的终边可以在什么位置？师生活动：学生思考后给出解答：不论点1P 在哪里，点2P 的坐标与点1P 的坐标之间的关系都不変，即公式二对任意角α都成立．追问2：探究公式二的过程，可以概括为哪些步骤？每一步蕴含的数学思想是什么？ 师生活动：学生思考后给出回答，教师进行归纳：第一步，根据圆的对称性，建立角之间的联系，从形的角度入手研究．第二步，建立坐标之间的关系．将形的关系代数化，并从不同的角度进行表示，体现了数形结合的思想方法．第三步，根据等量代换，得到三角函数之间的关系，即公式二，体现了联系性． 追问3：角πα+还可以看作是角α的终边经过怎样的变换得到的？ 师生活动：学生思考后给出回答：按逆时针方向旋转角π得到的．设计意图：追问1旨在帮助学生理解角α的任意性，追问2旨在提炼方法，追问3则渗透圆的旋转对称性，为后面几个公式的探索在方法上做好铺垫．（二）类比探索，整体认知问题2：借助于平面直角坐标系，类比问题1你能说出单位圆上点1P 的哪些特殊对称点？并按照如上问题1总结得到的求解步骤，尝试求出相应的关系式．师生活动：首先由学生独立思考，尽量多地写出点1P 的对称点，然后展示交流，之后再将之代数化，最后得到相应的诱导公式．学生的回答可能会超越教科书中的研究内容，如果是学生自己想到的，可以顺其自然保留，但是不作进一步的要求．如果学生没有想到，教师不需要增加．学生首先想到的应该是点1P 关于坐标轴的对称点；之后关于特殊直线的对称点，比如y x =；教师启发之后会想到经过两次对称得到的对称点．学生可能的答案有单位圆上点1P 的特殊对称点：第一类，点1P 关于x 轴、y 轴的对称点；第二类，点1P 关于特殊直线的对称点，如y x =，y x =-；第三类，点1P 关于x 轴的对称点，再关于特殊直线的对称点，或者点x 轴关于特殊直线的对称点，再关于坐标轴的对称点等等．接下来，针对如上结论，从第一类到第三类依次解決，本课时可以先解決第一类．如图5.3-3，作1P 关于x 轴的对称点3P ，以3OP 为终边的角β都是与角α-终边相同的角，即2πk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角α-与α的三角函数值之间的关系即可．设333P x y (，)，因为3P 是点1P 关于x 轴的对称点，所以3131x x y y ==-，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； 3333sin cos tan y y x x ααα-=-=-=()，()，()．如图5.3-4，作1P 关于y 轴的对称点4P ，以4OP 为终边的角β都是与角πα-终边相同的角，即2ππk βα=+-()∈Z ()k ．因此，只要探究角πα-与α的三角函数值之间的关系即可． 设444P x y (，)，因为4P 是点1P 关于y 轴的对称点，所以4141x x y y =-=，．根据三角函数的定义，得1111sin cos =tan y y x x ααα==，，； sin sin αα-=-()， cos cos αα-=()，4444sin πcos πtan πy y x x ααα-=-=-=()，()，()．追问4：公式三和公式四中的角α的终边可以在什么位置？ 预设答案：角α是任意角．设计意图：类比问题1，进一步探索发现．这是个开放式的问题设计，给了学生自主的时空，鼓励他们多角度观察思考，提出问题，并类比问题1进行分析，解決问题．强化将单位圆的对称性代数化这种研究思路．（三）初步应用，建立程序 例1 利用公式求下列三角函数值： （1）cos225°； （2）8πsin 3； （3）8πsin 3-()； （4）tan 2040ο-()． 追问5：题目中的角与哪个特殊角接近？拆分之后应该选择哪个诱导公式？师生活动：学生独立完成之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程． 设计意图：引导学生有序地思考问题，有理地解決问题．问题3：由例1，你对公式一～四的作用有什么进一步的认识？你能自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？师生活动：学生独立思考总结，之后展示交流．利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按如下图步骤进行：设计意图：引导学生梳理求解过程，提炼解题经验，明确从负角转化为锐角的程序，提高自觉地、理性地选择运算公式的能力，提升数学运算素养．例2 化简：cos 180sin 360tan 180cos 180ααααοοοο++()()(--)(-+)．sin πsin αα-=()， cos πcos αα-=-()，追问6：本题与例1的异同是什么？由例1总结出的求解程序在此如何应用？师生活动：学生独立完成，之后展示交流，注重展示其思考过程，教师帮助规范求解过程．设计意图：巩固习题的知识和方法，提高学生分析能力和转化能力．（四）梳理小结，深化理解问题4：诱导公式与三角函数和圆之间有怎样的关系？你学到了哪些基本知识，获得了怎样的研究问题的经验？师生活动：学生自主总结，展示交流．（1）诱导公式是圆的对称性的代数化，是三角函数的性质．（2）学到了三组诱导公式，研究方法是数形结合，注重联系．设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的硏究铺路奠基．（五）布置作业，深入研究（1）类比第一类问题的解決，即诱导公式二、三和四的探索发现过程，完成第二类和第三类问题．写出你的研究小报告，报告中先写出问题，再写出答案，并在下节课展示交流．（2）完成教科书P191练习，注重应用总结出来的程序．六、目标检测设计计算下列三角函数值：（1）cos420ο-()；（2）7πsin6-()；（3）tan1140ο-()；（4）77πcos6-()；（5）tan315ο；（6）11πsin4-()．设计意图：检测学生对基本知识和基本运算及基本技能的掌握情况．。
三角函数的诱导公式1.3.2
三角函数的诱导公式 第二课时
问题提出
1.诱导公式一、二、三、四分别反映了 2kπ +α （k∈Z）、π ＋α 、－α 、 π －α 与α 的三角函数之间的关系，这 四组公式的共同特点是什么？
函数同名，象限定号.
解题一般步骤
（公式三）
负角
正角
（公式一） k 2
0~2π
（公式二）
2
3 练：已知2sin 3 sin + , 2 求2sin 3cos （ -） cos sin（ +） 2 2 的值。
2 2
1 cos(60 ) 的值 . tan (30 ) 1 sin (60 )
思考4：若α 为一个任意给定的角，那么 的终边与角α 的终边有什么对称关 2 的终边 y 2 系？
α 的终边 O
x
思考5：点P1（x，y）关于直线y=x对称 的点P2的坐标如何？
思考6：设角α 的终边与单位圆的交点 为P1（x，y），则 2 的终边与单 位圆的交点为P2（y，x），根据三角函 数的定义，你能获得哪些结论？
y
2 的终边
公式五：
sin(
P2(y，x)
α 的终边 O
2
) cos ) sin
P1(x，y) x
cos(
2
知识探究（二）： 的诱导公式
思考2：
2
2
2
与
2
有什么内在联系？
(
2
)
sin(
1.3.2三角函数的诱导公式(第二课时)
s in（ 3
2
- ) - cos
sin（3 ) - cos
2
cos（ ) sin cos（3 - ) - sin cos（3 ) sin
2
2
2
tan（ ) cot tan（3 - ) cot tan（3 ) cot
2
2
2
奇变偶不变、符号看象限
2
cos（ ) sin
2
tan（ ) cot
2
你能利用这个公式推导出
+与的三角函数
2
关系吗?
公式八
sin（3 - ) - cos
2
cos（3 - ) - sin
2
tan（3 - ) cot
2 公式九
sin（3 ) - cos
2
cos（3 ) sin
2
1.3.2 三角函数的诱导
公式（第二课时）
庆阳一中 李树信
一、复习回顾
1.关于2kπ+α、π＋α、－α、π－α、2π－α的四组诱导公式
公式一：
公式二：
sin( 2k ) sin
sin( ) sin
cos( 2k ) cos (k Z) cos( ) cos
tan( 2k ) tan
3
3
3
cos[ ( )] cos( )
3
3
sin( 2 ) cos2( 4 )
3
3
sin( ) cos2( )
3
3
3 [1 ( 3 )2 ] 3 2
3
3
3
sin( 2k) sin
sin( ) sin sin( ) sin
cos( 2k) cos (k Z) cos( ) cos cos( ) cos
三角函数的诱导公式2
＝ sin θ－cos θ
tan θ＋1 右边＝
tan θ－1
sin ＝csoins
cos
θθθθ＋ －11＝ssiinn
θ＋cos θ－cos
θ . θ
∴左边＝右边，故原等式成立.
反思与感悟 三角函数式的化简方法： (1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan π4.
答 sin(π2＋α)＝sinπ2－－α＝cos(－α)＝cos α； cosπ2＋α＝cosπ2－－α＝sin(－α)＝－sin α.
思考 2 根据π2＋α＝π－π2－α，利用诱导公式四和诱导公式五你 能得到什么结论？
答 sinπ2＋α＝sinπ－π2－α ＝sinπ2－α＝cos α，
cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α ＝－sin α，
从而得诱导公式六
sin( ) cos
2
cos( ) sin
2
思考3：正弦函数与余弦函数互称为余函数，你能概括一下
公式五、六的共同特点和规律吗？
公式五：
sin( ) c os
2
c os (
)
sin
2
sin( ) cos
公式六： 2
cos( ) sin
2
例1 你能根据相关的诱导公式给出下列等式的证明吗？ sin32π－α＝－cos α，cos32π－α＝－sin α， sin32π＋α＝－cos α，cos32π＋α＝sin α.
＝sin θ＋cos θ＝ 27，
∴sin θcos θ＝12[(sin θ＋cos θ)2－1] ＝12 272－1＝38， ∴sin4π2－θ＋cos432π＋θ＝cos4θ＋sin4θ
三角函数的诱导公式第二课时学案
1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解 ：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27作业1、2、3、4。
2：P25的例2：化简 二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=-（2）ααπsin )23cos(-=-例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++-的值。
1.3三角函数的诱导公式(二)
§1．3 .2 三角函数的诱导公式（二）【课程学习目标】【自主预习】读记教材交流1、公式五 sin()2πα-=_______ cos()2πα-=_______ tan()2πα-=_______ 2、公式六sin()2πα+=_______ cos()2πα+=_______ tan()2πα+=_______ 公式五～六可以概括如下: 3、2πα±的正弦（余弦）函数值，分别等于 ，前面加上一个 。
利用公式五或公式六，可以实现 与 的相互转化。
4、32πα±可以通过变形()2ππα+±进行公简 基础问题交流 4、cos(π+α)= —21，23π<α<π2,sin(π2-α) 值为（ ） A. 23 B. 21 C. 23± D. —23 5、若sin （π＋α）＋sin （－α）=－m ,则sin （3π＋α）＋2sin （2π－α）等于 （ ）A ．－23 mB ．－32 mC ．23 mD ．32m 6、已知sin(4π+α)=23，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —237、cos π7 ＋cos 2π7 ＋cos 3π7 ＋cos 4π7 ＋cos 5π7 ＋cos 6π7= ． 【新知学习】例1化简3sin(3)cos()cos(4)25tan(5)cos()sin()22ππααπαππαπαα--+-+-跟进练习1化简11sin(2)cos()cos()cos()229cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπααπα-++-----+例2已知1cos(75)3α+=，且18090α-<<-，求cos(15)α-的值跟进练习21、若sin （125°－α）= 1213 ,则sin （α＋55°）= ．2、设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为 ．3、在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角形 例3、若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．23跟进练习3、1、若sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)()f απαπαππαπααπα-+--------=，α是第四象限角，求cos α的值．2、已知αtan 、αcot 是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值.（注：αcot =1/αtan ）3、记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．【方法归纳交流】1、 利用诱导公式五、六时注意“函数名改变，符号看象限”。
诱导公式教案2
公式五
由于π/2-α=π-（π/2-α），由公式四和公式五得
公式六
公式五和公式六可以概括如下：
π/2-α和π/2+α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的正弦（余弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
利用公式五和公式六，可以实现正弦函数与余弦函数的相互转化。
公式一至六都叫做诱导公式。
学生独立完成
教
学
小
结
课后
反思
由于角π/2-α的终边与α的终边关于直线y=x对称，角π/2-α
学生回答
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
的终边与单位圆的交点P2与点P1关于直线y=x对称，因此点P2的坐标（y,x）。
于是我们有
cosα=x, sinα=y; cos(π/2-α)=y, si n(π/2-α)=x
（三）诱导公式的应用
例3：
提示：3π/2-α=π+（π/2-α）
学生完成
学生板演
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河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
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方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
例4：
（注意函数名及符号的变化）
（四）小结：
1.诱导公式结构特征的记忆
2 .会会利用诱导公式求任意角的三角函数值。
3.会利用诱导公式进行简单的证明，化简，求值。
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人
授课时间
课题
1.3三角函数的诱导公式（2）
课标要求
诱导公式的推导及运用诱导公式求值，化简和证明。
1.3.2 三角函数的诱导公式(二)
例2
3 π 2sin θ－2πcosθ＋2－1 tan9π＋θ＋1 求证： ＝ . 3 tanπ＋θ－1 θ＋ π 1－2cos2 2
小结 三角函数恒等式的证明过程多数是化简的过程，一般是化繁为简，可以化简一边， 也可以两边都化简，同时注意诱导公式的灵活应用，避免出现符号错误． π 11 sin2π－αcosπ＋αcos 2＋αcos 2 π－α 9 cosπ－αsin3π－αsin－π－αsin 2π＋α
问题 3
根据任意角三角函数的定义，完成下列填空： π π sin α＝ ，cos α＝ ；sin ，cos 2－α＝ 2－α＝ π ，cos 2－α＝ . .
.
π 所以，对任意角 α 都有：sin 2－α＝
π 诱导公式五： sin －α ＝ 2
π ； cos －α ＝ 2
π sin 2－α＝ 问题 1
根据上述结论，你有什么猜想？ π ；cos . 2－α＝
π 若 α 为任意角，那么 －α 的终边与角 α 的终边有怎样的对称关系？ 2 π 设角 α 与单位圆交于点 P(x，y)，则（ －α）与单位圆交于点 P′， 2 ．
问题 2
写出点 P′的坐标 P′
2
鸡西市第十九中学高一数学组
例1
π 3 π 3π 2π 已知 cos α＋6＝5，2≤α≤ 2 ，求 sinα＋ 3 的值．
小结
利用诱导公式五和诱导公式六求值时，要注意沟通已知条件中的角和问题结论中
π π π π 角之间的联系，注意 ＋α 与 －α， －α 与 ＋α 等互余角关系的识别和应用． 6 3 4 4 训练 1 π 3 π 已知 sin 6＋α＝ 3 ，求 cosα－3的值．
三角函数的诱导公式(教、学案)
1.3.1三角函数的诱导公式一、学习目标： 1.理解正弦、余弦和正切的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
二、重点与难点：重点：四组诱导公式的记忆、理解、运用。
难点：四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断； 三、学法：与学生共同探讨，应用数学解决现实问题； 四、教学过程： 研探新知1. 诱导公式的推导由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα （公式一） 诱导公式（一）的作用：把任意角的正弦、余弦、正切化为)2,0[π之间角的正弦、余弦、正切。
ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- （公式二）特别地，角απ-与角α的终边关于y 轴对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=- （公式三） 特别地，角απ+与角α的终边关于原点O 对称，故有ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+ （公式四） 所以，我们只需研究απαπαπ-+-2,,的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
【说明】：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③记忆方法： “函数名不变，符号看象限”；【方法小结】：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般方向： ① 化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)2,0[π内的三角函数； ③化为锐角的三角函数。
2、例题分析：例1 求下列三角函数值：（1）sin960； （2）43cos()6π-．例2 化简23cot cos()sin (3)tan cos ()απαπααπα⋅+⋅+⋅--．方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：①化负角的三角函数为正角的三角函数； ②化为)0,360⎡⎣内的三角函数；③化为锐角的三角函数。
三角函数的诱导公式教案
三角函数的诱导公式教案【教案】三角函数的诱导公式一、教学目标1. 了解三角函数的诱导公式的概念和作用；2.掌握利用诱导公式推导三角函数恒等式的方法；3. 熟练运用诱导公式求解相关题目和实际问题。
二、教学内容1. 三角函数的诱导公式的概念和推导过程；2. 利用诱导公式推导三角函数的恒等式；3. 利用诱导公式求解相关题目和实际问题。
三、教学过程1. 导入新知识教师引导学生回顾正弦、余弦的定义，并鼓励他们尝试将正弦、余弦的变量角分别设置为60°和30°，观察结果。
2. 学习三角函数的诱导公式教师介绍诱导公式的概念，并通过具体的例子进行演示，使学生理解三角函数的诱导公式的作用和用法。
3. 推导正弦、余弦的诱导公式（1）求解正弦的诱导公式：根据正弦的定义，将变量角设置为∠A和∠B，其中∠A = 30°，∠B = 60°，则有：sin(∠A) = sin(∠B)sin(30°) = sin(60°)1/2 = √3/2（2）求解余弦的诱导公式：根据余弦的定义，将变量角设置为∠A和∠B，其中∠A = 30°，∠B = 60°，则有：cos(∠A) = cos(∠B)cos(30°) = cos(60°)√3/2 = 1/24. 运用诱导公式推导三角函数恒等式（1）推导正弦的相反角公式：根据诱导公式sin(π - θ) = sinθ，将变量角设置为θ，则有：sin(π - θ) = sinθsin(180° - θ) = sinθsinθ = sinθ（2）推导余弦的补角公式：根据诱导公式cos(π/2 - θ) = sinθ，将变量角设置为θ，则有：cos(π/2 - θ) = sinθcos(90° - θ) = sinθsi nθ = sinθ5. 拓展运用教师引导学生运用诱导公式求解相关题目和实际问题，巩固所学知识。
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1. 3.2三角函数诱导公式（二）
【教材分析】
《三角函数的诱导公式》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第三节，其主要内容是三角函数的诱导公式中的公式二至公式六。
这节是诱导公式（二）的推导，在诱导公式（一）的推导中用到了一次对称变换，这节是利用两次对称变换推导到的诱导公式，充分体现对称变换思想在数学中的应用，在练习中加以应用，让学生进一步体会的任意性；综合诱导公式（一）、（二）总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。
诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，要求学生能熟练的掌握和应用。
【教学目标】
1.借助单位圆，推导出正弦、余弦第五、六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题
2.通过公式的应用，了解未知到已知、复杂到简单的转化过程，培养学生的化归思想，以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生的化归思想，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
【教学重点难点】 教学重点：掌握
απ±2角的正弦、余弦的诱导公式及其探求思路 教学难点：απ
±2角的正弦、余弦诱导公式的推导.
【学情分析】
学生在前面第一类诱导公式学习中感受了数形结合思想、对称变换思想在研究数学问题中的应用，初步形成用对称变换思想思考问题的习惯，对于两次对称变换思想的应用是上一节课的深化；学生对高中数学知识有了一定了解和掌握，也形成了自己的学习方法和习惯，对学习高中数学有了一定兴趣和信心，且具有了一定的分析、判断、理解能力和交流沟通能力。
但由于诱导公式多，学生记忆困难，应用时易错，应该渗透归纳总结的学习方法，让学生找规律，体现自主探究、共同参与的新课改理念。
【教学方法】
1．学案导学：见后面的学案。
2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习
【课前准备】
1．学生的学习准备：预习“三角函数的诱导公式”，完成预习学案。
2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
3.教学手段：利用计算机多媒体辅助教学.
【课时安排】1课时
【教学过程】
一、预习检查、总结疑惑
检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
二、复习导入、展示目标
1.创设情境：
问题1：请同学们回顾一下前一节我们学习的与、、的三角函数关系。
设置意图：利用几何画板的演示回顾旧知及公式推导过程中所涉及的重要思想方法（对称变换，数形结合）激发学生学习动机。
学生活动：结合几何画板的演示，学生回忆诱导公式(一)的推导过程，回答诱导公式(一) 的内容。
多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：如果两个点关于直线y=x对称，它们的坐标之间有什么关系呢？若两个点关于y轴对称呢？
设置意图：检验学生对两种对称变换的点的坐标的变化规律的掌握程度，为后面的教学作铺垫。
通过分析问题情境，提出本节课研究的问题。
学生活动：点P(a,b) 关于直线y=x的对称点Q的坐标为(b,a)；点P(a,b) 关于y轴的对称点R的坐标为(-a,b)。
2.探究新知：
问题1：如图：设的终边与单位圆相交于点P，则P点坐标为，点P关于直线y=x的轴对称点为M，则M点坐标为，点M关于y轴的对称点N，则N的坐标为，
∠XON的大小与的关系是什么呢？点N的坐标又可以怎么表示呢？
设置意图：结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换，导出诱导公式，渗透对称变换思想和数形结合思想。
学生活动：学生看图口答
P （，），M （，），N （-，），∠XON= N （，）
（教师在引导学生分析问题过程中，积极观察学生的反映，适时进行激励性评价） 多媒体使用：几何画板；PPT
问题2：观察点N 的坐标，你从中发现什么规律了？ 设置意图：让学生总结出公式=-，=
三、例题分析
例1 利用上面所学公式求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4） 解析：直接利用公式解决问题 解：3sin120sin(3090)cos30=+== 2cos135cos(4590)sin 45=+=-=-
2tan tan()cot 33626ππππ=+=-=-191932cos()cos cos(4)cos()sin 444424πππππππ-
==+=+=-=。