造桥选址问题的训练单
数学人教版八年级上册造桥选址
A
为什么这样做就 能得到最短距离呢？
军 事 奇 才 拿 破 仑
清 晨 饮 马 到 江 东
欲 从 A 城 到 B 地
试 问 怎 样 短 行 程
B
根据：两点之间线段最短.
情境引入
A
A
B
★人教版八年级上册
13.4 课题学习 最短路径问题（2）
——造桥选址问题
授课教师：赵笑伟 内黄县实验中学
学习目标
A
河1
河2
B
小结归纳
A M N B
抽象为数学问题
a b
解决实 际问题
A A' N B M
联想旧知
A
a b
用旧知解决新知
C
l B
存 在 很 多 奥 妙 ！
不 断 探 索 你 会 发 现 数 学 中
数 学 来 源 于 生 活 ， 服 务 于 生 活 ，
1 、能利用平移变换解决简单的造桥选址问题.
2、在运用知识解决有关问题的过程中，体验并 掌握探索、归纳最短路径选取的方法. 3 、体会图形的变化在解决最值问题中的作用， 感悟转化思想.
重、难点
能利用平移变换解决简单的最短路径问题.
问题探究
（造桥选址问题）如图，A和B两地在同一条 河的两岸，现要在河上造一座桥MN．桥造在何 处可使从A到B的路径A-M-N-B最短？（假定河的 两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
课件.exe (命令行)
思考：ABiblioteka a 你能把这个问题转化 b 为数学问题吗？
B
知识归纳
A ′ A
A
转化新知
l
回归旧知
a b
B
B
选址造桥问题解决关键：
造桥选址经典例题
造桥选址经典例题【原创实用版】目录1.造桥选址的重要性2.造桥选址的经典例题3.造桥选址的考查方向4.如何做好造桥选址正文一、造桥选址的重要性造桥选址是桥梁工程中至关重要的环节，选址的合理性直接关系到桥梁工程的投资、施工难度、使用寿命和社会效益。
一个理想的桥位应满足以下几点要求：地质条件良好、地形地貌适宜、洪水和水位影响小、两岸接线顺畅、对周边环境影响较小等。
二、造桥选址的经典例题以下是一道经典的造桥选址例题：假设要在某河流上建设一座桥梁，桥梁总长为 500 米，两岸地形平坦。
现在有两个选址方案，请你根据以下条件进行分析并选择合适的方案。
方案一：河宽为 200 米，水深为 10 米，河床地质条件良好，两岸接线长分别为 50 米和 300 米。
方案二：河宽为 300 米，水深为 5 米，河床地质条件一般，两岸接线长分别为 100 米和 200 米。
三、造桥选址的考查方向造桥选址的考查方向主要包括以下几个方面：1.地质条件：包括河床的地质结构、地层稳定性、岩石类型等，这些因素将直接影响桥梁的基础设计和施工难度。
2.水文条件：如水位、水流速度、洪水频率等，这些因素将影响桥梁的高度、跨径和防洪设施的设计。
3.地形地貌：包括两岸的地形、地势、坡度等，这些因素将影响桥梁的接线设计和施工条件。
4.社会经济条件：如交通需求、周边土地利用、环境保护等，这些因素将影响桥梁的功能、投资和效益。
四、如何做好造桥选址1.调查研究：在选址前要充分调查研究，了解桥梁建设的背景、需求和目标，以便明确选址任务和目标。
2.综合分析：根据地质、水文、地形地貌和社会经济条件，对各个选址方案进行综合分析和评价，选择最优方案。
3.论证评估：对选定的桥位进行详细的论证和评估，分析可能出现的问题和风险，提出解决方案和建议。
造桥选址经典例题
造桥选址是一个复杂的问题，需要考虑多种因素，如桥梁的用途、地形、地质、水文、气候等。
以下是一个经典的造桥选址问题例题：假设你被委托设计一座跨海大桥，连接两个岛屿。
这两个岛屿之间的海峡水流湍急，平均深度为50米，最深处达到80米。
海峡的宽度大约为2公里。
你的任务是选择一个最佳的桥址，以确保桥墩能够稳固地立在海底，同时最大限度地减少工程难度和成本。
在选址过程中，你需要考虑以下因素：1. 海底的地质构造，包括岩石、泥沙和珊瑚礁等；2. 海底的坡度；3. 海流的速度和方向；4. 潮汐和波浪的影响；5. 施工难度和成本；6. 对海洋生态的影响。
请详细描述你的选址过程，并解释你选择该桥址的原因。
在解决这个问题时，首先需要对海底的地质情况进行详细的勘察，以确定桥墩的支撑点。
由于海底地形复杂，需要选择地质条件稳定、能承受桥墩重量的区域。
同时，要尽量选择海底坡度较平缓的区域，以减少工程难度和成本。
此外，需要考虑海流的影响。
海流的速度和方向可能会对桥墩造成冲刷和侵蚀，因此需要选择海流较弱的区域。
同时，要尽量避开珊瑚礁和海底障碍物，以免对桥墩造成破坏。
潮汐和波浪的影响也需要考虑。
潮汐和波浪的周期性运动会带来额外的负载和应力，可能对桥墩造成破坏。
因此，需要选择在潮汐和波浪影响较小的区域建造桥墩。
最后，需要考虑施工难度和成本以及对海洋生态的影响。
施工难度和成本是决定桥址的重要因素，需要选择能够便于施工、降低成本的区域。
同时，要尽量减少对海洋生态的影响，如减少珊瑚礁的破坏、降低噪音等。
综上所述，选择桥址需要综合考虑多种因素，包括地质、地形、水文、气候等。
在满足桥梁建设的基本要求下，要最大限度地降低工程难度和成本，同时保护海洋生态。
最终选择的桥址应该是地质条件稳定、海底坡度平缓、海流影响较小、施工难度低且成本效益高的区域。
人教版2020八年级数学上册 专题突破讲练 解密最短距离之建桥选址试题 (新版)青岛版
解密最短距离之建桥选址一、解题依据1. 两点间线段最短。
2. 三角形的三边关系（1）三角形三边关系定理：三角形任何两边的和大于第三边； （2）三角形三边关系定理的推论：三角形任何两边之差小于第三边。
3. 勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
二、基本模型定点在两侧的动线段问题（建桥问题）如图所示，A 、B 两村庄位于一条河的两岸。
假定河的两岸笔直且平行。
问：应把桥建在什么位置，才能使由A 村经过这座桥到B 村的路程最短？答案：如右下图。
说明：这种问题首先要把桥的长度平移出来（作CD B B ='），连接B '，C 两点交河流两岸两个点，此时一定要在C 处建桥，才能得到最短路程。
（即：平行四边形要在B A '的同侧。
）例题1 如图，A 和B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN 和PQ 。
桥分别建在何处才能使从A 到B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）A解析：按照垂直河流的方向，先把两桥的长度移至端点，把可变化的路径连接到一起，利用两点间线段最短就可以确定两桥的位置。
答案：如图。
M NP QA2A1A 或NM P QA1A或NMB 2B 1P QAB点拨：本题的关键还是在于两点之间线段最短，要注意找到线段与河的交点后，选择正确的建桥位置。
总结技巧建桥选址问题最少由三条线段组成，其中桥的长度是固定不变的，而且桥在整个路径的中间，另外两条线段不固定，所以我们要先把桥的长度平移出来，利用平行四边形的性质，使变化的线段连接在一起，然后利用两点间线段最短或三角形三边关系确定桥的位置。
例题 如图，荆州古城河在'CC 处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：'DD ，'EE （桥宽不计），设护城河以及两桥都是东西、南北方向的，A ，B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使''ADD E EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？解析：先分别从A 、B 两点把两条桥的长平移出来，把平移后的两个点连接，就可以确定桥的位置。
造桥选址问题的拓展
造桥选址问题的拓展利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。
下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。
一、原题再现如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
（人教课标七年级下册2007年第二版37页第7题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN 的长度是固定的。
我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。
根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
如图2。
证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。
由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。
可知，AN1+N1B＞A1N+NB。
所以，路径AMNB要短于AM1N1 B。
二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。
我们如何找到这个最短的距离呢？方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A 2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQPMNB最短。
方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。
如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。
拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A3B最短。
人教版数学八年级上册1.2造桥选址问题课件(第四课时28张)
E
M
CF
G B
N
H
归纳新知
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
课后练习
1．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河 里的水从A处引到田地里去，则应从河岸l的何处 开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说 明理由.
解：图略．理由：垂线段最短．
2．【中考·黔南州】如图，直线l外不重合的两点A，B，在直线l上求作 一点C，使得AC＋BC的长度最短，作法为： ①作点B关于直线l的对称点B′； ②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点． 在解决这个问题时没有运用到的知识或方法是( D ) A．转化思想 B．三角形的两边之和大于第三边 C．两点之间，线段最短 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
解：如图，作A关于射线OM所在直线的对称点E， 再作B关于射线ON所在直线的对称点F，连接EF交 OM 于 C ， 交 ON 于 D ， 连 接 AC ， BD ， 则 四 边 形 ABDC即为所求．
6．如图，AB是∠MON内部的一条线段，在∠MON的两 边OM，ON上各取一点C，D组成四边形ABDC，如何 取点才能使该四边形的周长最小？
(2)如图②，点A在直线m外侧，点B在直线 m，n内侧，作点B关于直线n的对称点B′， 连接AB′，分别交直线m，n于点P，Q； (3)如图③，点A，B在直线m，n内侧，分别作点A，B 关于直线m，n的对称点A′，B′， 连接A′B′，分别交直线m，n于点P，Q.
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b
的两侧，MN为直线a，b之间的距离，则点M，N在什
2020年中考数学 造桥选址问题的拓展
造桥选址问题的拓展湖北省黄石市下陆中学宋毓彬利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。
下面就课本中一道习题，加以拓展探究，我们可发现其一般规律。
一、原题再现如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN。
桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）。
（人教课标七年级下册2007年第二版37页第7题）分析：由于河岸宽度是固定的，造的桥要与河垂直，因此路径AMNB中的MN的长度是固定的。
我们可以将点A沿与河垂直的方向平移MN的距离到A1，那么为了使AMNB最短，只需A1B最短。
根据两点之间距离最短，连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
如图2。
证明：如图3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1。
由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”。
可知，AN1+N1B＞A1N+NB。
所以，路径AMNB要短于AM1N1B。
二、拓展应用拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的。
我们如何找到这个最短的距离呢？方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A2B最短。
连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ。
所得路径AQPMNB 最短。
方法2：此题还可以用以下方法来确定建桥位置。
如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短。
拓展2：如图7，如果A、B之间有三条平行的河流呢？方法1：仿照拓展二方法1，将点A沿与河垂直的方向平移S三个河宽分别到到A1、A2、A3，路径中三座桥的长度是固定的。
为了使路径最短，只要A3B最短。
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题
专题十一：最短路径——造桥选址问题【导例引入】导例：如图1，已知正方形ABCD 边长为3，点E 在AB 边上且BE=1，点P ，Q 分别是边BC ，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ 的周长取最小值时，四边形AEPQ 的面积是．【方法指引】（1）如图，在直线l 上找M 、N 两点（M 在左），使得AM+MN+NB 最小，且MN=d 。
方法：将点A 向右平移d 个单位到A ′，作A ′关于直线l 的对称点A"，连接A"B 交直线l 于点N ，将点N 向左平移d 个单位到M ，点M 、N 即为所求，此时AM+MN+NB 最小为A"B 。
（2）如图，1l ∥2l ，1l ，2l 之间距离为d ，在1l ，2l 分别找M 、N 两点，使得MN ⊥1l ，且AM+MN+NB 最小。
方法：将点A 向下平移d 个单位到A ′，连接A ′B 交直线2l 于点N ，将点N 向上平移d 个单位到M ，点M ，N 即为所求，AM+MN+NB 的最小值为A ′B+d 。
（3）如图，点P ，Q 在∠AOB ，分别在OA ，OB 上找点C ，点D ，使四边形PCDQ 的周长最小.方法：分别作P，Q关于OA，OB的对称点P′，Q′,连接P′Q′分别交OA，OB与点C，D，则此时四边形PCDQ的周长最小本质为转化思想：（1）化同侧为异侧（对称变换），（2）平移定距离（平移变换），（3）化折线为直线（两点之间线段最短）“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决求两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类最值问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
【例题精讲】类型一：两定点两动点形成最短路径型例1 如图1，已知A(0, 2)、B(6, 4)，E(a，0)，F(a＋1, 0)，求a为何值时，四边形ABFE周长最小？请说明理由．【分析】四边ABFE的四条边中，AB，EF的长度固定，只要AE+BF最小，则四边形周长将取得最小值，将B点向左平移一个单位长（EF的长度），得到点M，再作A关于x轴的对称点A′，连接A′M，可得点E的位置，从而问题得解．类型二：两定点一定角形成最短路径型例2．如图，在∠POQ部有两点M，N，∠MOP＝∠NOQ.(1)画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一点B，使点B到点M和点N的距离和最小；(2)直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．【分析】分别作M关于射线OP的对称点M′,点N关于射线OQ的对称点N′，连接N′M，连接M′N，即可得到答案.【专题过关】1.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 .2, 2.如图，正方形的ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且，EF=2连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为．3.在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E（0，1），将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B，BE′，则当A′B+BE′取最小值时，点E′的坐标为.4.直线l外有一点D，点D到直线l的距离为5，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，tan∠CAB=，边AB在直线l上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.5．如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ 最小，此时PA+BQ=．6.如图，直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y＝ax2＋4x ＋c的图象交x轴于另一点B.(1)二次函数的解析式为；(2)连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND长度的最大值；(3)若点H为二次函数y＝ax2＋4x＋c图象的顶点，点M(4，m)是该二次函数图象上一点，在x轴，y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F,E的坐标．7．矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示，A 、C 两点的坐标分别为A （6，0）、C （O ，3），直线y=x 与与BC 边相交于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）若抛物线y=ax 2+bx 经过D 、A 两点，试确定此抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点P ，使四边形ABDP 的周长最小，并求出最小值；8. 如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB 交EF 于点M ，连接AM 交OC 于点R ，连接AC ，求△ACR 的周长；(3)设G (4，－5)在该抛物线上，P 是y 轴上一动点，过点P 作PH ⊥EF 于点H ，连接AP ，GH ，问AP ＋PH ＋HG 是否有最小值？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．10. 已知，如图，二次函数()2230y ax ax a a =+-≠的图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称. （1）求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M ，N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM ，MK ，求HN+NM+MK 和的最小值.10(备用).在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A (－3,0)、B (0，3)、C (1，0)三点．(1)求抛物线的解析式和它的顶点坐标；(2)若点P 、Q 分别是抛物线的对称轴l 上两动点，且纵坐标分别为m ，m ＋2，当四边形CBQP 周长最小时，求出此时点P 、Q 的坐标以及四边形CBQP 周长的最小值．备用图答案：例1 .在四边形ABEF 中，AB ，EF 为定值，求AE ＋BF 的最小值，先把这两条线段经过平移，使得两条线段有公共端点．如图6-2，将线段BF 向左平移两个单位，得到线段ME ．如图6-3，作点A 关于x 轴的对称点A ′，MA ′与x 轴的交点E ，满足AE ＋ME 最小． 由△A ′OE ∽△BHF ，得'OE HF OA HB =．解方程6(2)24a a -+=，得43a =．例2．(1)图略，点A ，B 即为所求．画法：①作点M 关于射线OP 的对称点M ′；②连接M ′N 交OP 于点A ；③作点N 关于射线OQ 的对称点N ′；④连接N ′M 交OQ 于点B.(2)AM ＋AN ＝BM ＋BN.【专题过关】1.80°.2.2254 .3.（，1）. 4．18 .5． 4 ．作PE ⊥l 1于E 交l 2于F ，在PF 上截取PC=8，连接QC 交l 2于B ，作BA ⊥l 1于A ，此时PA+AB+BQ 最短．作QD ⊥PF 于D ．在Rt △PQD 中，∵∠D=90°，PQ=4，PD=18， ∴DQ==，∵AB=PC=8，AB ∥PC ，∴四边形ABCP 是平行四边形，∴PA=BC ，∴PA+BQ=CB+BQ=QC===4 ．6.(1)y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)如图①，图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的解析式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴505k bb+=⎧⎨=⎩，解得15kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)| . 由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－52)2＋254，∴当n＝52时，线段ND长度的最大值是25 4；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．图②设直线H1M 1的函数解析式为y＝mx ＋n ，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴9254m nm n=-+⎧⎨-=+⎩，解得73133mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴y＝－73x＋133.∴当x＝0时，y＝133，即点E坐标为(0，133)；当y＝0时，x＝137，即点F坐标为(137，0) .故所求点F，E的坐标分别为(137，0)，(0，133)．7．（1）由题知，直线y=x与BC交于点D（x，3）．把y=3代入y=x中得，x=4，∴D（4，3）；（2）抛物线y=ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x=4，y=3；x=6，y=0，分别代入y=ax2+bx中，得解得∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x；（3）如图1：作D（4，3）点关于对称轴x=3的对称点E（2，3），连接AE交对称轴于点P，直线AE的解析式为y=kx+b，图象经过点A，点E，得解得，直线AE的解析式为y=﹣x+. 当x=3时，y=﹣×3+，即P（3，）．四边形ABDP周长的最小值=AB+DB+DP+AP=AB+DB+A E=3+2+=3+2+5=10.8. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.(1)求抛物线的解析式；(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：解得∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴A(－1，0)，B(3，0) .∵AO＝1，CO＝3，在Rt△AOC中，AC＝＝.∵CO＝BO＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°.∴FM＝BF＝1.∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，∴△ARO∽△AMF.∴，即＝.解得RO＝.∴CR＝OC－OR＝3－＝,AR＝＝＝，∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y 轴于点P′，连接AP′.图①则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，∵A′为OF中点，∴A′坐标为(1，0) . 设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入,得解得∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋.令x＝2，得y＝－＋＝－，∴点H的坐标为(2，－) .∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．9. （1）依题意，得ax2+2ax-3a=0（a≠0），解得x1=﹣3，x2=1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0）证明：∵直线l：333y x=+，当x=﹣3时，3-33y=⨯+（3）＝0，∴点A在直线l上.（2）∵点H、B关于过A点的直线l：333y x=+对称，∴AH=AB=4.过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC=AB=2，HC＝2. ∴顶点H(－1，2)，代入二次函数解析式，解得a=-.∴二次函数解析式为2-3333-+22y x x =； （3）直线AH 的解析式为=333y x +.直线BK 的解析式为=33y x -，由3=33= 33y x y x ⎧+⎪⎨⎪-⎩ ，解得=3=23 x y ⎧⎪⎨⎪⎩，即()323K ，，则BK =4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，()323K ，，∴HN +MN 的最小值是MB .过K 作KD ⊥x 轴于点D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于点E ，==23KD KE ，则QM =MK ，==23QE EK ，AE ⊥QK ， ∴根据两点之间线段最短得出BM +MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN +NM +MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ =∠HEQ =90°.由勾股定理得()2222423238QB BK QK =+=++=，∴HN +NM +MK 的最小值为8.(备用)9.(1)将A ，B ，C 的坐标代入函数解析式，得，解得 ∴ 抛物线的解析式为y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即顶点坐标为(－1，4)；（2）如解图②，将B 点向下平移两个单位，得D 点，连接AD 交对称轴于点P ，作BQ ∥PD 交对称轴于Q 点，∵PQ ∥BD ，BQ ∥PD ，∴四边形BDPQ 是平行四边形.∴BQ ＝PD ，PQ ＝BD ＝2.∴BQ ＋PC ＝PD ＋AP ＝AD .由勾股定理，得AD ＝＝＝，BC ＝＝＝. ∴四边形CBQP 周长的最小值为BC ＋BQ ＋PQ ＋PC ＝BC ＋PQ ＋(BQ ＋PC )＝BC ＋PQ ＋AD＝＋2＋＝2＋2.设AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ，D 点坐标代入得，301k b b -+=⎧⎨=⎩，解得131k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AD 的解析式为y ＝x ＋1. 当x ＝－1时，y ＝，即P (－1，) .由|PQ |＝2，且Q 点纵坐标大于P 点纵坐标得Q (－1，)，故当四边形CBQP 周长最小时，点P 的坐标为(－1，)，点Q 的坐标为(－1，)，四边形CBQP 周长的最小值是2＋2.。
2020年中考数学专题突破专题十一：最短路径——造桥选址问题
【导例引入】
导例：如图 1，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上且 BE=1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 的动点（均不与顶点重合），当四边形 AEPQ 的周长取最小值时，四边形 AEPQ 的面积 是．
【方法指引】
（1）如图，在直线 l 上找 M、N 两点（M 在左），使得 A M+MN+NB 最小，且 MN= d 。
7．矩形 OABC 在直角坐标系 中的位置如图所示，A、C 两点的坐标分别为 A（6，0）、C （O，3），直线 y= x 与与 BC 边相交于点 D．
（1）求点 D 的坐标； （2）若抛物线 பைடு நூலகம்=ax2+bx 经过 D、A 两点，试确定此抛物线的解析式； （3）在（2）中抛物线的对称轴是否存在点 P，使四边形 ABDP 的周长最小，并求出最 小值；
【例题精讲】
类型一：两定点两动点形成最短路径型 例 1 如图 1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)，E(a， 0)，F(a＋1, 0)，求 a 为何 值时，四边 形 ABFE 周长最小请说明理由．
【分析】四边 ABFE 的四条边中，AB，EF 的长度固定，只要 AE+BF 最小，则四边形周长 将取得最小值，将 B 点向左平移一个单位长（EF 的长度），得到点 M，再作 A 关于 x 轴的对 称点 A′，连接 A′M，可得点 E 的位置，从而问题得解．
连接 CE，CF，则 △CEF 周长的最小值为
．
3.在平面直角坐标系中，已知点 A（-2，0），点 B（0，4），点 E（0，1），将
△AEO 沿 x 轴向右平移得到△A′E′O′，连接 A′B，BE′，则当 A′B+BE′取最小
2020 中考数学 造桥选址问题
使用日期：2020年 月 日 2020 中考 数学 培优压轴题训练 第 讲 “造桥选址”最值问题模型分析：“造桥选址”最短问题情景模式 作图方法 证明过程题目：已知A ，B 两村，问桥PQ 建在河岸的何处，使得AP+PQ+QB 最短？（要求桥PQ ⊥河岸）原型变式①考试时例1 已知A （-1，0），C （0，3），DE 在直线x=1上运动，DE=1，是否存在D ，E 两点，使得四边形AEDC 的周长最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．河河河河例2 （中考题-删减） 如图，已知点A （-4，8）和点B （2，n ）在抛物线2ax y =上. 平移抛物线，记平移后A 的对应点为A '，点B 的对应点为 B '，点C （-2，0）和点D （-4，0）是x 轴上的两个定点. 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形CD B A '' 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由。
例3 如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过点A（-1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B，已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），点P是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小.【巩固练习】1.（2010 天津）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．2.（2017•深圳二模）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A（-3，0），B（1，0），与y轴的交点为D，对称轴与抛物线交于点C，与x轴负半轴交于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）点E，F分别是抛物线对称轴CH上的两个动点（点E在点F上方），且EF=1，求使四边形BDEF的周长最小时的点E，F坐标及最小值；（3）如图2，点P为对称轴左侧，x轴上方的抛物线上的点，PQ⊥AC于点Q，是否存在这样的点P使△PCQ 与△ACH相似？若存在请求出点P的坐标，若不存在请说明理由．。
造桥选址问题的训练单
利用平移变换解决简单的最短路径问题
平移变换将折线转化为直线
观察类比
学法
内容与时间
教师有效问题设计
学生有效活动设计
一、情境引 入
2′
有效反馈评价设计
授课人
刘徐刘
课型
综 合 问 题 授课时间 解决课
学习目标
利用平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值 问题中的作用，感悟转化思想。
重点 难点
利用平移变换解决简单的最短路径问题
一．旧知回顾：要在公路 m 旁建一所小学，到 A 村和 B 村的距离和最小？
·A
A·
m
B·
B·
二预习新知：阅读教材 86 页
A
B
年级 （学科）教学预案
第 主题 授课人
教学
11 周
第 5 课时
总课时第 55 节
13.4 课题学习最短路径
主备人 徐亚红
刘徐 刘
课型
综合问题解 决课
授课时间
利用平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值 问题中的作用，感悟转化思想。
目标
Байду номын сангаас
重点 难点 关键 教法
利用平移变换解决简单的最短路径问题
四．课堂小结。 五达标检测
第 11 周
八 年级 数学 （学科）训练单
第 5 课时
总课时第 55 节
主题 授课人
13.4 课题学习最短路径问题
刘徐刘
综合问题 课型
解决课
设计人 授课时间
徐亚红
如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在 何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
造桥选址作业单
造桥选址作业单
【作业一】
A基础题
1河的两岸成平行线，A,B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A,B间的路程最短确定桥的位置的方法是：作从A到河岸的垂线，分别交河岸尸。
，MN于凡G.在AG上取AE=尸G,连接EB,EB交MN于D.在。
处作到对岸的垂线DC,垂足为C,那么DC就是造桥的位置.请说出桥造在CD位置时路程最短的理由，也就是CAC+CD+DB）最短的理由.
【设计意图】巩固课堂基础知识，夯实基础，让人人掌握基础.
B拔高题
完成课上提出的问题，求过河最短路径.（遇到思维障碍，可与小组同学讨论）
求过河录娥珞径
种条河汽（平行）两条河流（不平行）
【设计意图】拔高题，针对优生进行思维训练，达到分层教学的目的，让优生吃得饱
【作业二】实践作业题
此图是张同学家附近的地图，A点是家，对面B点就是南江中学，尽管学校近在咫尺，但由于河流5公里上下都没有桥梁，每次都要绕很远的路，南江市政府考虑到片区上学问题，计划在A点附近修建一座桥，特向社会征集方案，请你实地测量给出具体方案，求出在哪里修建桥梁，张同学上学路程最短？
【设计意图】实践作业具有实践性和趣味性，让学生体会到知识是可以用于实际生活的，增加学生学习兴趣，学以致用.。
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一、情境引 入
2′
有效反馈评价设计
解决课
设计人 授课时间
徐亚红
如图，A 和 B 两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥 MN 和 PQ.桥分别建在 何处才能使从 A 到 B 的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）
A
B
年级 （学科）教学预案
第 主题 授课人
教学
11 周
第 5 课时
总课时第 55 节
13.4 课题学习最短路径
A
B
师生共同分析： 如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从 A 到 B 的路径是 AM+MN+BN，那么 怎样确定什么情况下最短呢？
四．课堂小结。 五达标检测
第 11 周
八 年级 数学 （学科）训练单
第 5 课时
总课时第 55 节
主题 授课人
13.4 课题学习最短路径问题
刘徐刘
综合问题 课型
八 年级 数学 （学科）导读单
第 11 周
第 5 课时
总课时第 55 节
主题
13.4 课题学习最短路径
主备人
徐亚红
授课人
刘徐刘
课型
综 合 问 题 授课时间 解决课
学习目标
利用平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值 问题中的作用，感悟转化思想。
重点 难点
利用平移变换解决简单的最短路径问题
一．旧知回顾：要在公路 m 旁建一所小学，到 A 村和 B 村的距离和最小？
·A
A·
m
B·
B·
二预习新知：阅读教材 86 页
三课上导学，数学活动 1 探究造桥选址问题 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现 要在河上造一座桥 MN.乔早在何处才能使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短？（假定河的两 岸是平行的直线，桥要与河垂直）
主备人 徐亚红
刘徐 刘
课型
综合问题解 决课
授课时间
利用平移变换解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值 问题中的作用，感悟转化思想。
目标
重点 难点 关键 教法
利用平移变换解决简单的最短路径问题
利用平移变换解决简单的最短路径问题
平移变换将折线转化为直线
观察类比
学法
内容与时间
Байду номын сангаас
教师有效问题设计
学生有效活动设计