微分几何二四五章_课后习题答案_

微分几何参考答案：

P51页

1. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r

(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，

=)0(''r

{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，

所以切线方程是

1

10z

y x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是2

02110z

y x

=0 ，即x+y-z=0 ，

主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112z

y x =-= ；

从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式1

11-=

=z

y x 。 2．求以下曲面的曲率和挠率

⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =

,

⑵ )0)}(3(,3),3({323

a t t a at t t a r +-=。

解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =

，

}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r

，所以t a t a t a r r r k 23

23cosh 21)

cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= t

a t a a r r r r r 2

2422cosh 21

cosh 2)'''()''','','(==⨯=

τ 。 ⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r

，

'r ×''r =}1,2,1{182

22+--t t t a ，2

23

22223)

1(31

)

1(2227)1(218|

'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k

2

2224232)1(31

)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ 。

5．已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r =

，⑴求基本向量γβα ,,；⑵曲率和挠率；⑶

验证伏雷内公式。

分析 这里给出的曲线的方程为一般参数，一般地我们可以根据公式去求基本向量和曲率挠率，我们也可以利用定义来求。

解 ⑴ }4,sin 3,cos 3{cos sin }2sin 2,cos sin 3,sin cos 3{'22--=--=t t t t t t t t t r

，

,cos sin 5|)('|t t t r dt

ds ==

（设sintcost>0）

， 则}54,sin 53,cos 53{|'|'--==t t r r α， }0,cos 5

3,sin 53{cos sin 51t t t t ds dt dt d ==•

αα

， }0,cos ,{sin |

|t t ==••

ααβ

，

}5

3

,sin 54,cos 54{--=⨯=t t βαγ ，

⑵ t t k cos sin 253||==•α ，}0,cos ,sin {cos sin 254

t t t t --=•γ ，由于•γ 与β 方

向相反，所以 t

t cos sin 254

||==•γτ

⑶ 显然以上所得 τγβα,,,••

k 满足 βτγβα -==••,k ，而

γτακβ

+-=-=

•

}0,sin ,{cos cos sin 51

t t t

t 也满足伏雷内公式 。

8．曲线r ={a(t-sint),a(1-cost),4acos 2

t

}在那点的曲率半径最大。 解 'r

= a{1-cost,sint,-2sin

2t } , ''r = a{sint,cost,-cos 2t }, |2

sin |22|'|t r = , 'r ×''r =}1,2

cos ,2

{sin 2

sin 2}2

cos 4,2

cos 2

sin 2,2

sin 2{22232t

t t a t a t t t a -=--,

|

'

r ×

'

'r |=22sin 22

2

t

a , |2

sin

|81|

||'''|3t

a r r r k =⨯= ,|2

sin

|8t

a R = ,所以在

t=(2k+1)π，k 为整数处曲率半径最大。 P90页

1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.

解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．

２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;

v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr

=}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr =}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -

任意点的切平面方程为00

cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕ

ϑϕ

ϑϑϕϑϕ

ϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x

即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑ

ϑ

ϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

5．在第一基本形式为错误!未找到引用源。 =222sinh udv du +的曲面上，求方程为u = v 的曲线的弧长。

解 由条件=2ds 222sinh udv du +,沿曲线u = v 有du=dv ，将其代入2ds 得