数列的概念与简单表示法PPT课件

而54aan12＋21aan1＋41＝45aan1＋512＋15≥15， 则 m≤15. 故实数 m 的最大值为15， 故选 B. 【答案】 B
【高手支招】 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义 在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大 取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数 问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特 殊性．
由an与Sn的关系求通项an
[典题导入]
已知数列{an}的前n项和Sn，根据下列条件分别求它们 的通项an. (1)Sn＝2n2＋3n；(2)Sn＝3n＋1. [听课记录] (1)由题可知，
当n＝1时，a1＝S1＝2×12＋3×1＝5， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝ 4n＋1.
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
a8＝________．
解析
由已知得24pp＋ ＋qq24＝ ＝3232， ，解得pq＝ ＝142， .Байду номын сангаас
则 an＝14n＋2n，故 a8＝94.
答案
9 4
[关键要点点拨] 1．对数列概念的理解
(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅 与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺 序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成 两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同 的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复 出现，这也是数列与数集的区别．
[听课记录] (1)因为 an＝n2－21n＋20＝n－2212－3461，可知对称 轴方程为 n＝221＝10.5.又因 n∈N*，故 n＝10 或 n＝11 时，an 有最 小值，其最小值为 112－21×11＋20＝－90. (2)设数列的前 n 项和最小，则有 an≤0，由 n2－21n＋20≤0，解 得 1≤n≤20，故数列{an}从第 21 项开始为正数，所以该数列的前 19 或 20 项和最小．
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014·西安五校联考)下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，
1，2，…的通项公式的是
来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．
[基础自测自评]
1．(教材习题改编)数列 1，32，53，74，95…的一个通项公式是
A．an＝2nn＋1
B．an＝2nn－1
()
C．an＝2nn－3
D．an＝2nn＋3
B
2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为
A．15 C．49
B．16 D．64
A．3 10
B．19
()
1
10
C.19
D. 60
C
[an＝n＋19n0，由基本不等式得，n＋19n0≤2
1， 90
由于 n∈N*，易知当 n＝9 或 10 时，an＝119最大．]
【创新探究】 函数思想在数列中的应用
(2014·安阳模拟)设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若不等 式 a2n＋Sn2n2≥ma21对任意等差数列{an}及任意正整数 n 都成立，
数列的概念与简单表示法
[主干知识梳理] 一、数列的定义、分类与通项公式 1．数列的定义：
(1)数列：按照 一定顺序 排列的一列数． (2)数列的项：数列中的 每一个数 ．
2．数列的分类：
分类标准 项数
项与项间 的大小关
系
类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列
满足条件 项数 有限 项数 无限
2．前n项和最值的求法 (1)先求出数列的前n项和Sn，根据Sn的表达式求解最值； (2)根据数列的通项公式，若am≥0，且am＋1<0，则Sm最大； 若am≤0，且am＋1>0，则Sm最小，这样便可直接利用各项 的符号确定最值．
[跟踪训练]
3．数列{an}的通项 an＝n2＋n 90，则数列{an}中的最大值是
A [a8＝S8－S7＝64－49＝15.]
()
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝n＋n 1，则这个数列是
A．递增数列
B．递减数列
()
C．常数列
D．摆动数列
A [an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1＝（（n＋n＋1）1）2－（n（n＋n＋2）2）
＝（n＋1）1（n＋2）>0.]
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），，则 a4·a3＝________． 解析 a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案 54
[互动探究] 在本例条件下，设 bn＝ann，则 n 为何值时，bn 取得最小值？并求 出最小值． 解析 bn＝ann＝n2－21nn＋20＝n＋2n0－21， 令 f(x)＝x＋2x0－21(x>0)，则 f′(x)＝1－2x02 ， 由 f′(x)＝0 解得 x＝2 5或 x＝－2 5(舍)．
A．an＝1
B．an＝（－12）n＋1
()
C．an＝2－sinn2π
D．an＝（－1）2 n－1＋3
[听课记录] 由 an＝2－sinn2π可得 a1＝1， a2＝2，a3＝1，a4＝2，…. 答案 C
[互动探究] 若本例中数列变为：0，1，0，1，…，则{an}的一个通项公式为 ________． 答案 an＝01（ （nn为 为奇 偶数 数） ）.，或 an＝1＋（2－1）n或 an＝1＋co2s nπ
∵a1·aa21·aa32·…·aann－－12·aan－n 1 ＝2×31×42×53×64×…×n－n 2×nn＋ －11
＝n(n＋1)， ∴an＝n(n＋1)．
答案 n(n＋1)
数列的性质
[典题导入] 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－21n＋20. (1)n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)n为何值时，该数列的前n项和最小？
an＋1 > an
an＋1 < an an＋1＝an
其中 n∈N*
3.数列的通项公式： 如果数列{an}的第n项与 序号n 之间的关系可以用一个式子 来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
二、数列的递推公式 如果已知数列{an}的首项(或前几项)，且 任一项an 与它 的 前一项an－1 (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式
(2)(2014·河池模拟)在数列{an}中，a1＝2，3(a1＋a2＋…＋an)＝(n ＋2)an，n∈N*，则 an＝__________． 解析 由已知可得 3Sn＝(n＋2)an， 当 n≥2 时，3(Sn－Sn－1)＝(n＋2)an－(n＋1)an－1＝3an，
∴aan－n 1＝nn＋ －11.
又△AnBnCn 的面积为 Sn＝ p（p－an）（p－bn）（p－cn）＝ p（p－an）[p2－（bn＋cn）p＋bncn]，其中 p＝12(an＋bn＋cn)，p(p
－an)和 p2－(bn＋cn)p 都为定值，bncn 逐渐递增，所以数列{Sn}为 递增数列，选择 B.]
(4)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式的符号为(－1)n；各项绝 对值的分母组成数列 1，2，3，4，…；而各项绝对值的分子组成 的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 2－1，偶数项 为 2＋1， 所以 an＝(－1)n·2＋（n－1）n，也可写为 an＝－ 3n，n1，n为n为正正偶奇数数. ，
[规律方法] 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每
一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添 项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公 式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调 整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归 纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
[体验高考]
1．(2013·新课标全国Ⅰ高考)设△AnBnCn 的三边长分别为 an，bn，
cn，△AnBnCn 的面积为 Sn，n＝1，2，3，….若 b1＞c1，b1＋c1 ＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝cn＋2 an，cn＋1＝bn＋2 an，则
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
()
B [已知 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，a2＝a1， 故 b2＝c1＋2 a1＝43c1＋41b1＜b1， c2＝b1＋2 a1＝34b1＋14c1＞c1， b2＋c2＝a1＋b1＋2 c1＝2a1， b2－c2＝c1－2 b1＜0， 即 b2＜c2，b2c2＝(43c1＋14b1)·(34b1＋14c1) ＝136(b1＋c1)2＋14b1c1＞b1c1.
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
解析 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，…， 所以 an＝2n2－n 1. (3)将数列各项改写为93，939，9399，9 9399，…，分母都是 3，而分 子分别是 10－1，102－1，103－1，104－1，…. 所以 an＝13(10n－1)．
而 4<2 5<5，故当 n≤4 时，数列{bn}单调递减； 当 n≥5 时，数列{bn}单调递增． 而 b4＝4＋240－21＝－12，b5＝5＋250－21＝－12， 所以当 n＝4 或 n＝5 时，bn 取得最小值，最小值为－12.
[规律方法] 1．数列中项的最值的求法
根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数an＝ f(n)，利用求解函数最值的方法求解，但要注意自变量的 取值．
当n＝1时，4×1＋1＝5＝a1， 故an＝4n＋1.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝3＋1＝4，
当 n≥2 时，
an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1. 当 n＝1 时，2×31－1＝2≠a1，
故 an＝42，×3n－1，
n＝1， n≥2.
[规律方法] 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列的通项公式，其求解过程分为三 步： (1)先利用a1＝S1求出a1； (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2) 便可求出当n≥2时an的表达式； (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果 符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1 与n≥2两段来写．
则实数 m 的最大值为
()
1
1
A.4
B.5
C．1
D．无法确定
【思路导析】 将已知不等式用 an 与 a1 表示后分离参数 m 转化为 函数的最值问题求解． 【解析】 因为 Sn＝12n(a1＋an)， 所以原不等式可化为 a2n＋41(a1＋an)2≥ma21. 若 a1＝0，则原不等式恒成立； 若 a1≠0，则有 m≤54aan12＋21aan1＋41，
[跟踪训练]
2．(1)(2014·长沙模拟)已知a1＝2，an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)， 则an＝__________． 解析 由an＋1－an＝2n＋1(n∈N*)， 得an－an－1＝2n－1， an－1－an－2＝2n－3，…，a3－a2＝5，a2－a1＝3， 将以上各式相加，
得 an－a1＝3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)， 即 an＝1＋1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝1＋（1＋2n2－1）n ＝n2＋1. 答案 n2＋1
又 a3＝a2＝a1，所以 b3＝c2＋2 a2＝34c2＋14b2＜b2， c3＝b2＋2 a2＝34b2＋14c2＞c2， b3＋c3＝c2＋2 a2＋b2＋2 a2＝2a2＝2a1， b3－c3＝43c2＋41b2－(43b2＋41c2)＝c2－2 b2＞0， 即 b3＞c3，b3c3＝(43c2＋14b2)(43b2＋14c2) ＝136(b2＋c2)2＋14b2c2＞b2c2＞b1c1.