【2014肇庆二模】广东省肇庆市2014届高三毕业班第二次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案
2014年广东省肇庆市封开中学高考数学模拟模试卷(文科)
2014年广东省肇庆市封开中学高考数学模拟模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设集合P={x|x＞1}，Q={x|2x-1＞0}，则下列结论正确的是（）A.P=QB.P∪Q=RC.P⊆QD.Q⊆P【答案】C【解析】解：∵集合P={x|x＞1}，Q={x|2x-1＞0}={x|x＞}，∴P⊆Q，故选：C．根据集合P={x|x＞1}，Q={x|x＞}，可得P⊆Q．本题主要考查集合间的包含关系，属于基础题．2.已知a为实数，如果z=a+1-ai为纯虚数，则实数a等于（）A.0B.-1C.1D.-1或0【答案】B【解析】解：根据纯虚数的概念，如果z=a+1-ai为纯虚数，则须实部a+1=0，且虚部-a≠0，即为a=-1故选Bz=a+1-ai为纯虚数，则须实部为0，虚部不为0．本题考查复数的分类，纯虚数的概念．属于简单题．3.函数f（x）=log2（3x-1）的定义域为（）A.[1，+∞）B.（1，+∞）C.[0，+∞）D.（0，+∞）【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则3x-1＞0，即3x＞1，∴x＞0．即函数的定义域为（0，+∞），故选：D．根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．4.执行如图所示程序框图，最后输出的S值是（）A.15B.18C.20D.27【答案】C【解析】解：由程序框图知：第一次运行S=1+0+1=2，k=2；第二次运行S=2+2+1=5，k=3；第三次运行S=3+5+1=9，k=4；第四次运行S=4+9+1=14，k=5；第五次运行S=5+14+1=20，k=6，此时不满足条件k≤5，输出S=20．故选：C．根据程序框图依次判定程序运行的结果，直到不满足条件k≤5，计算S的值．本题考查了循环结构的程序框图，正确判断程序的流程是解答此类问题的关键．5.已知点A（-1，5）和向量=（2，3），若=3，则点B的坐标为（）A.（7，4）B.（7，14）C.（5，4）D.（5，14）【答案】D【解析】解：设B（x，y），由得（x+1，y-5）=（6，9），故有，解得，故选D．设B（x，y），由得（x+1，y-5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B 的坐标．本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．6.已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为（）A.2，-B.2，-C.4，-D.4，【答案】A【解析】解：由图可知，，∴T=π，则，∴ω=2．又据五点法可得=，解得：φ=-．故选：A．首先由函数图象求得函数的半周期，进一步得到周期，则ω可求，再结合五点作图的第二点可求φ的值．本题考查由y=A sin（ωx+φ）的部分图象确定函数解析式，该类问题往往周期易求，则ω可求，关键是求φ时正确运用五点作图的特殊点，是中档题．7.某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A. B.6π C. D.【答案】C【解析】解：由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为V1=×22×π×1=2π，上部半圆锥的体积为V2=×π×22×2=．故几何体的体积为V=V1+V2==．故选C．由三视图可知，几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高2．的圆锥的一半，分别计算两部分的体积，即可．本题考查三视图求几何体的表面积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键．8.若直线x+y+a=0与圆（x-a）2+y2=2相切，则a=（）A.1B.-1C.D.1或-1【答案】D【解析】解：∵直线x+y+a=0与圆（x-a）2+y2=2相切，∴圆心（a，0）到直线x+y+a=0的距离等于圆的半径，∴，∴a=1或-1．故选D．解决直线与圆相切问题，常用圆的几何性质，即圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列方程即可解得a值．本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相切的几何性质，圆的标准方程，点到直线的距离公式等知识的运用．9.下列说法中正确的有（）（1）命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”；（2）“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件；（3）若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；（4）对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】解：对于（1）命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”；符号逆否命题的形式，所以正确；对于（2）“x＞2”是“x2-3x+2＞0”的充分不必要条件；满足条件推出结论，结论推不出条件，满足充分不必要条件的判断，所以正确；对于（3）若p∧q为假命题，则p、q均为假命题；两个命题一假p∧q为假命题，所以（3）不正确；对于（4）对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0．满足特称命题的否定是全称命题的判断，所以正确；所以正确命题的个数是3个．故选C．利用命题的逆否关系判断（1）的正误；充要条件判断（2）的正误；复合命题的真假判断（3）的正误；命题的否定判断（4）的正误．本题考查充要条件，命题的判断，命题的否定等基本知识，注意基本知识的掌握是解题的关键．10.在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（）A.2000元B.2200元C.2400元D.2800元【答案】B【解析】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z=400x+300y的最小值．解得当时，z min=2200．故选B．根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性规划确定最值在确定取得最大值、最小值时，应注意实际问题的意义，整数最优解．二、解答题(本大题共11小题，共100.0分)11.已知{a n}是递增的等差数列，a1=2，S n为其前n项和，若a1，a2，a6成等比数列，则S5= ______ ．【答案】70【解析】解：因为{a n}是递增的等差数列，所以公差大于0；由a1，a2，a6成等比数列，则，，，．故答案为：70．利用a1，a2，a6成等比数列，建立方程，结合{a n}是递增的等差数列，求出公差，利用等差数列的求和公式，即可得出结论．本题考查等比数列的性质，等差数列的求和公式，求出公差是关键．12.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，A=，a=，c=1，则△ABC 的面积S= ______ ．【答案】【解析】解：由正弦定理，可得，∴sin C=，∴C=或（舍）（A=），∵A+C=，∴△ABC为直角三角形，直角边为a，c，∴△ABC面积为：．故答案为：．利用正弦定理求出C，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．本题考查正弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．13.定义映射f：A→B，其中A={（m，n）|m，n∈R}，B=R，已知对所有的有序正整数对（m，n）满足下述条件：①f（m，1）=1；②若n＞m，f（m，n）=0；③f（m+1，n）=n[f（m，n）+f（m，n-1）]；则f（2，2）= ______ ．【答案】2【解析】解：由题意可知，f（1，1）=1，f（1，2）=0，f（2，2）=f（1+1，2）=2（f（1，2）+f（1，1））=2（0+1）=2，故答案为：2根据映射条件，建立映射关系即可得到结论．本题主要考查映射的应用，根据条件，建立映射关系是解决本题的关键．14.如图所示，AC和AB分别是圆O的切线，且OC=3，AB=4，延长AO到D点，则△ABD的面积是______ ．【答案】解：∵AC和AB分别是圆O的切线，AB=4，∴AB=AC=4，∵OC⊥AC，OC=3，∴AO2=AC2+OC2=32+42，∴AO=5，∴AD=8，∴，．故答案为：．利用勾股定理，计算出AO，可得AD，即可求出sin BAD，从而可求△ABD的面积．本题考查三角形面积的计算，考查勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．15.在直角坐标系x O y中，已知曲线C的参数方程是（θ是参数），若以O 为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为______ ．【答案】ρ2+4ρsinθ+3=0【解析】解：把曲线C的参数方程是（θ是参数），消去参数化为直角坐标方程为（x+2）2+y2=1．再化为极坐标方程为（ρcosθ）2+（ρsinθ+2）2=1，化简可得ρ2+4ρsinθ+3=0，故答案为：ρ2+4ρsinθ+3=0．把参数方程化为普通方程、再把把直角坐标方程化为极坐标方程．本题主要考查把参数方程化为普通方程、把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，属于基础题．16.已知函数f（x）=sin（2x+）（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期和单调递增区间．（3）若sinα=，且α∈（，π），求f（+）．解：（1）∵函数f（x）=sin（2x+），∴．（2），∵函数在，上递增，∴，∴，∴增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．（3）因为sinα=，且α∈（，π），所以，∴．【解析】（1）直接根据函数f（x）的解析式求出f（）的值．（2）由函数的解析式求得周期，令，求得x的范围，可得函数的增区间．（3）由条件求得，从而根据函数的解析式求得f（+）的值．本题主要考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的单调性和周期性，属于中档题．17.某校高二年级研究性学习小组，为了分析2011年我国宏观经济形势，上网查阅了2010年和2011年2-6月我国CPI同比（即当年某月与前一年同月相比）的增长数据（见下表），但2011年4，5，6三个月的数据（分别记为x，y，z）没有查到．有的同学清楚记得2011年2，3，4，5，6五个月的CPI数据成等差数列．（1）求x，y，z的值；（2）求2011年2-6月我国CPI的数据的方差；（3）一般认为，某月CPI达到或超过3个百分点就已经通货膨胀，而达到或超过5个百分点则严重通货膨胀．现随机地从上表2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据，求相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率．附表：我国2010年和2011年2～6月的CPI数据（单位：百分点．注：1个百分点=1%）【答案】解：（1）依题意得4.9，5.0，x，y，z成等差数列，所以公差d=5.0-4.9=0.1，故x=5.0+0.1=5.1，y=x+0.1=5.2，z=y+0.1=5.3；（2）由（1）知2011年2～6月我国CPI的数据为：4.9，5.0，5.1，5.2，5.3其平均数为：，其方差为：=0.01；（3）根据题意，用m表示2010年的数据，n表示2011年的数据，则（m，n）表示随机地从2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，则所有基本事件有：（2.7，4.9），（2.7，5.0），（2.7，5.1），（2.7，5.2），（2.7，5.3），（2.4，4.9），（2.4，5.0），（2.4，5.1），（2.4，5.2），（2.4，5.3），（2.8，4.9），（2.8，5.0），（2.8，5.1），（2.8，5.2），（2.8，5.3），（3.1，4.9），（3.1，5.0），（3.1，5.1），（3.1，5.2），（3.1，5.3），（2.9，4.9），（2.9，5.0），（2.9，5.1），（2.9，5.2），（2.9，5.3）；共25个基本事件；其中满足相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的基本事件有（3.1，5.2），有1个基本事件；所以P=，即相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀的概率为0.04．【解析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，可得该数列的公差为0.1，进而可得x、y、z的值；（2）由（1）的结论可得2011年中2-6月全部数据，先计算出5个数据的平均数，进而由方差公式计算可得答案；（3）根据题意，用m表示2010年的数据，n表示2011年的数据，则（m，n）表示随机地从2010年的五个月和2011年的五个月的数据中各抽取一个数据的基本事件，由列举法可得抽取数据的情况，分析可得事件“相同月份2010年通货膨胀，并且2011年严重通货膨胀”包含的基本事件的数目，由古典概型公式，计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及等差数列的性质、平均数、方差的计算与列举法的应用，是基础题；注意在列举时做到不重不漏，同时要正确计算．18.数列{a n}的前n项和为S n，且a n是S n和1的等差中项，等差数列{b n}满足b1=a1，b4=S3．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为T n，证明：＜．【答案】解：（1）∵a n是S n和1的等差中项，∴S n=2a n-1…（1分）当n=1时，a1=S1=2a1-1，∴a1=1…（2分）当n≥2时，a n=S n-S n-1=（2a n-1）-（2a n-1-1）=2a n-2a n-1，∴a n=2a n-1，即…（3分）∴数列{a n}是以a1=1为首项，2为公比的等比数列，∴，…（5分）设{b n}的公差为d，b1=a1=1，b4=1+3d=7，∴d=2…（7分）∴b n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）（2）…（9分）∴…（10分）∵n∈N*，∴＜…（11分）＞∴数列{T n}是一个递增数列…（12分）∴．…（13分）综上所述，＜…（14分）【解析】（1）由题意可知，S n=2a n-1，结合递推公式a1=S1，n≥2时，a n=S n-S n-1，可得，结合等比数列的通项公式可求由b1=a1=1，b4=1+3d=7，可求公差d，进而可求b n，（2）由，利用裂项求和可求T n，然后结合数列的单调性可证本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式的应用，数列的递推公式的应用及数列的裂项求和及数列的单调性在数列的最值求解中的应用19.如图，ABCDEF-A1B1C1D1E1F1是底面半径为1的圆柱的内接正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面），过FB作圆柱的截面交下底面于C1E1，已知．（1）证明：四边形BFE1C1是平行四边形；（2）证明：FB⊥CB1；（3）求三棱锥A-A1BF的体积．【答案】（本小题满分14分）证明：（1）因为圆柱的上下底面平行，且FB、C1E1是截面与圆柱上、下底面的交线，所以FB∥C1E1．（1分）依题意得，正六边形ABCDEF是圆内接正六边形，所以，正六边形的边长等于圆的半径，即AB=AF=1．（（2分））在△ABF中，由正六边形的性质可知， BAF=120°，所以，，即（（3分））同理可得，所以FB=C1E1，故四边形BFE1C1是平行四边形．（4分）（注：本小问的证明方法较多，如有不同证明方法请参照上述证明给分）（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，∵ CBF=90°，即BF⊥BC（6分）又∵B1B⊥平面ABCDEF，BF⊂平面ABCDEF，∴BF⊥B1B（7分）∵B1B∩BC=B，∴BF⊥平面B1BCC1．（8分）又∵B1C⊂平面B1BCC1，∴FB⊥CB1．（9分）（3）连接F1C1，则四边形CFF1C1是矩形，且FC=F1C1=2，FF1⊥F1C1．在RT△FF1C1中，，∴三棱锥A1-ABF的高为3．（11分）（12分）∴三棱锥A1-ABF的体积，（13分）又三棱锥A1-ABF的体积等于三棱锥A-A1BF的体积，∴三棱锥A-A1BF的体积等于．（14分）【解析】（1）证明FB∥C1E1．FB=C1E1，即可证明四边形BFE1C1是平行四边形．（2）连接FC，则FC是圆柱上底面的圆的直径，说明BF⊥BC，证明BF⊥B1B，推出BF⊥平面B1BCC1，然后证明FB⊥CB1．（3）连接F1C1，求出三棱锥A1-ABF的高为3，求出三棱锥A1-ABF的体积，通过三棱锥A1-ABF的体积等于三棱锥A-A1BF的体积，求解三棱锥A-A1BF的体积．本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，余弦定理，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，计算能力．20.如图，在△ABC中，，，以B、C为焦点的椭圆恰好过AC的中点P．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点A1作直线l与圆E：（x-1）2+y2=2相交于M、N两点，试探究点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧吗？若能，求出直线l的方程；若不能，请说明理由．【答案】解：（1）∵，∴|BO|=|OC|=1，…（2分）∴，，，，，∴，…（4分）依椭圆的定义有：=∴a=2，…（6分）又c=1，∴b2=a2-c2=3…（7分）∴椭圆的标准方程为…（8分）（2）椭圆的右顶点A1（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径．假设点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则 MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离…（10分）当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2，此时圆心E（1，0）到直线l的距离d=1（符合）…（11分）当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，∴圆心E（1，0）到直线l的距离，无解…（13分）综上：点M、N能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，此时l方程为x=2…（14分）．【解析】（1）确定A，C的坐标，即可得到P的坐标，利用椭圆的定义，求得长轴长，进而可求椭圆的方程；（2）椭圆的右顶点A1（2，0），圆E的圆心为E（1，0），半径，假设点M、N 能将圆E分割成弧长比值为1：3的两段弧，则可得 MEN=90°，圆心E（1，0）到直线l的距离，分类讨论：当直线l斜率不存在时，l的方程为x=2；当直线l斜率存在时，设l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0，求出圆心E（1，0）到直线l的距离即可得到结论．本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．21.已知函数f（x）=xlnx．（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；（Ⅱ）若直线l过点（0，-1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【答案】解：（Ⅰ）f'（x）=lnx+1，x＞0，…（2分）由f'（x）=0得，…（3分）所以，f（x）在区间，上单调递减，在区间，∞上单调递增．…（4分）所以，是函数f（x）的极小值点，极大值点不存在．…（5分）（Ⅱ）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，…（6分）切线的斜率为lnx0+1，所以，，…（7分）解得x0=1，y0=0，…（8分）所以直线l的方程为x-y-1=0．…（9分）（Ⅲ）g（x）=xlnx-a（x-1），则g'（x）=lnx+1-a，…（10分）解g'（x）=0，得x=e a-1，所以，在区间（0，e a-1）上，g（x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数．…（11分）当e a-1≤1，即a≤1时，在区间[1，e]上，g（x）为递增函数，所以g（x）最小值为g（1）=0．…（12分）当1＜e a-1＜e，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a-1）=a-e a-1．…（13分）当e a-1≥e，即a≥2时，在区间[1，e]上，g（x）为递减函数，所以g（x）最小值为g（e）=a+e-ae．…（14分）综上，当a≤1时，g（x）最小值为0；当1＜a＜2时，g（x）的最小值a-e a-1；当a≥2时，g（x）的最小值为a+e-ae．【解析】（I）先对函数求导，研究函数的单调区间，根据F′（x）＞0求得的区间是单调增区间，F′（x）＜0求得的区间是单调减区间，求出极值．（II）求出曲线方程的导函数，利用导函数中即可求出切线方程的斜率，根据求出的斜率和已知点的坐标写出切线方程即可；（III）求导：g'（x）=lnx+1-a解g'（x）=0，得x=e a-1，得出在区间（0，e a-1）上，g （x）为递减函数，在区间（e a-1，+∞）上，g（x）为递增函数，下面对a进行讨论：当e a-1≤1，当1＜e a-1＜e，当e a-1≥e，从而得出g（x）的最小值．本题考查了导数的应用：利用导数判断函数的单调性及求单调区间；函数在区间上的最值的求解，其一般步骤是：先求极值，比较函数在区间内所有极值与端点函数．若函数在区间上有唯一的极大（小）值，则该极值就是相应的最大（小）值．。
【2014肇庆二模】广东省肇庆市2014届高三毕业班第二次模拟考试历史试题Word版含答案
肇庆市中小学教学质量评估2014届高中毕业班第二次模拟考试文科综合（历史）12．侯建新指出：“科举制度后来曾引起近代西方贤达的关注，但就其实质而言毫无现代概念。
” 下列关于科举制度的评价，符合侯建新观点的是A．改变了西方国家的选官制度B．带来师门裙带关系和官场腐败C．束缚了人们的思想D．为封建统治者选拔人才13．唐人王建诗云：“水门向晚茶商闹，桥市通宵酒客行。
”据此推论合理的是A．唐代实行坊市制B．唐代商品经济发展，出现了夜市C．唐代茶叶商品化，政府征收茶税D．宋代出现了夜市，王建的诗不符合史实14．“始信心非明镜台，须知明镜亦尘埃；人人有个圆圈在，莫向蒲团坐死灰。
”该诗反映了A．董仲舒的“独尊儒术” B．朱熹的“理学”C．王阳明的“心学” D．王夫之的“理在气中”15．“打倒列强，打倒列强，除军阀，除军阀……工农学兵，工农学兵，大联合，大联合。
打倒帝国主义，打倒帝国主义，齐奋斗，齐奋斗！”这首歌曲最早可能出现于A．辛亥革命时期B．五四运动时期C．国民革命时期D．抗日战争时期16．1956年1月，毛泽东认为社会主义的“高潮”引起了“政治形势的根本变化”。
毛泽东发表这一看法的背景是A．三大改造的进行B．“一五”计划的完成C．人民公社化运动的开展D．中苏建立外交关系17．“十四大”报告指出：“它不是要改变我们社会主义制度的性质，而是社会主义制度的自我完善和发展，……是同社会主义基本制度结合在一起的。
”材料中的“它”是指A．国有企业改革B．社会主义有计划的商品经济C．社会主义计划经济体制D．社会主义市场经济体制18．1786年，《中国人的历史、科学和艺术等的研究报告》第11卷问世，里面几乎仅收录关于可能会使商人感兴趣的资源——硼砂、褐煤、水银、氨草胶、马、竹以及产毛动物的报告。
导致这一现象出现的主要原因是A．新航路开辟B．鸦片战争C．资本主义世界市场的最终形成D．工业革命19．普朗克年轻时曾向他的老师表示，要献身于理论物理学。
【解析版】广东省肇庆市2014届高三3月第一次模拟数学(文)试题
肇庆市中小学教学质量评估 2014届高中毕业班第一次模拟考试数 学（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．若全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{3,4,5}N =，则=)(N M C U ( )A ．{2}B ．{1，2}C ．{1，2，4}D ．{1，3，4，5}2．函数)1(log 4)(22-+-=x x x f 的定义域是( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞3．设i 为虚数单位，则复数34iz i-=在复平面内所对应的点位于( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第一象限 【答案】B 【解析】试题分析：根据复数的除法公式可得()()()343443i i i z i i i i ---===---,所以z 在复平面对应点的坐标为()4,3--在第三象限角,故选B. 考点：复数除法 复平面4．下列函数中，在区间(,0)-∞上为减函数的是( )A ．()2xf x = B ．()|1|f x x =- C ．()cos f x x = D ．1()f x x x=+5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是( )A ．2B ．6C ．24D ．120【答案】C 【解析】试题分析：根据程序框图运行程序如下:4,1,1111,2122,3236,46424,5n i s s i s i s i s i =============== 所以输出24s =,故选C. 考点：程序框图6．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的体积是( )A ．5033cm B ．503cm C ．2533cm D ．253cm7．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++= 相切，则圆C 的方程是( )A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)8x y ++= C ．22(1)2x y -+= D ．22(1)8x y -+= 【答案】A 【解析】试题分析：根据题意直线10x y -+=与x 轴的交点为()01,010y x y =⎧⇒-⎨-+=⎩,因为圆与直线30x y ++=相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r d =则圆的方程为()2212x y ++=,故选A 考点：切线 圆的方程8．在锐角ABC ∆中，AB =3，AC =4，其面积ABC S ∆=BC =( )A ．5BCD9．已知e 为自然对数的底数，设函数()xf x xe =，则( )A ．1是)(x f 的极小值点B ．1-是)(x f 的极小值点C ．1是)(x f 的极大值点D ．1-是)(x f 的极大值点10．设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=，)0,6(π=，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是( )A ．B ．C ．2D ．4第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增的等差数列，12a =，n S 为其前n 项和，若126,,a a a 成等比数列，则5S = ▲ . 【答案】7012．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切线方程为 ▲.13．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z kx y =+的最大值为5，则实数k = ▲ .【答案】1-=k 或21=k （对1个得3分，对2个得5分） 【解析】试题分析：利用线性规划的知识画出不等式组表示的可行域如下图所示:14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos 2(1sin )x ty t =⎧⎨=-⎩（其中t 为参数，且02t π≤<），则曲线C 的极坐标方程为 ▲ . 【答案】θρsin 4= 【解析】试题分析：把曲线C 的参数方程()2cos 21sin x ty t =⎧⎪⎨=-⎪⎩(t 为参数)化为普通方程可得()2224x y +-=,再利用直角坐标到极坐标的转化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得()()()22222cos sin 24cos sin 4sin 44ρθρθρθθρθ+-=⇒+-+=24sin 4sin ρρθρθ⇒=⇒=,故填4sin ρθ=.考点：参数方程 极坐标方程15．（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，BC AD ⊥，AE DE ⊥，D 、E 为垂足，若AE =4，BE =1，则AC = ▲ .三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 都是锐角，a =6，b =5 ，21sin =B . （1） 求sin A 和cos C 的值；（2） 设函数)2sin()(A x x f +=，求)2(πf 的值.【答案】(1)3sin ,cos 5A C ==7225f π⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【解析】 试题分析：（2）由（1）知4cos 5A =， ∴2sin 2cos 22cos 122f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11分） 24721525⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭（12分）考点：正余弦值的关系正余弦值的和差角公式 诱导公式 余弦倍角公式17．（本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率．试题解析：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分）因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02，12，22，32，42，52，62，72，82，92. （4分）（2）这10名学生的平均成绩为：x =110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， （6分） 故样本方差为：2110s =⨯（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分）18．（本小题满分13分）如图5，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点，点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===. （1）求证：OD //平面VBC ； （2）求证：AC ⊥平面VOD ； （3）求棱锥C ABV -的体积.【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;(3)【解析】 试题分析：(1)要证明//OD 面VBC,只需要在面内找到一条线段与OD 平行即可,根据题目条件分析可得OD 平行于面VBC 内的线段BC,在三角形ABC 中根据D,O 是线段AC,AB 的中点,即可得到OD 为三角形BC 边的中位线,即可得到//OD BC ,进而通过线线平行得到线面平行.（3）由（2）知VO 是棱锥V ABC -的高，且VO ==. （10分） 又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC S AB CO ∆=⋅=⨯⨯=， （11分）∴棱锥V ABC -的体积为11133V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯=， （12分）故棱锥C ABV -. （13分） 考点：三棱锥体积 线面平行 线面垂直 中位线 三线合一19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上.（1）求1a ，2a ；（2）求数列}{n a 的通项公式； （3）若211++=n n n n a a a b ，求证数列}{n b 的前n 项和601<n T ． 【答案】(1)123,5a a == (2)21n a n =+ 【解析】 试题分析：（1）∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，∴2*2()n S n n n N =+∈， （1分） ∴113a S ==， （2分）又21222228a a S +==+⨯=，∴25a =. （4分） （2）由（1）知，2*2()n S n n n N =+∈，20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两圆C 1与C 2的圆心的距离之和等于4，其中C 1：023222=+-+y y x ，C 2：033222=-++y y x . 设点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；（2）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．问k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？【答案】(1)2214y x +=465AB =【解析】试题分析：(1) 通过配方把圆1C 和圆2C 的普通方程化为标准方程,得到圆心的坐标,根据椭圆的定义可以判断C 点轨迹为椭圆,其中两个圆的圆心为焦点可得c =y 轴上,根据题意24a =,李永刚,,a b c 之间的关系即可求出b 的值,进而得到C 的方程.(2)联立直线与椭圆的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB 两点的横坐标,利用二次方程根与系数的关系得到AB 两点横坐标之间的关系,利用0OA OB OA OB ⊥⇒=得到AB 横纵坐标之间的关系即可求出k 的值,再利用椭圆的弦长公式即可求出AB 的长度. 试题解析：（2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， （5分） ∵042≠+k ，222412(4)16(3)0k k k ∆=++=+>，∴1,2x = 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． （6分） 又1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y （7分）于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． （8分） 令041422=++-k k ，得21±=k . （9分）因为2121y y x x +=⋅，所以当21±=k 时，有0=⋅，即⊥. （10分） 当12k =±时，12417x x +=，121217x x =-． （11分）(AB x == （12分） 而22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=， （13分） 所以465AB =． （14分） 考点：弦长 内积 椭圆定义 圆21．（本小题满分14分） 设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.【答案】(1)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或 【解析】 试题分析：试题解析： （1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分） 由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]⊂ (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(max -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时，。
肇庆二模答案
肇庆市2014届二次模拟考试 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题ADBC,ADCB8题解析：圆k C 的圆心（k -1，3k ）在直线y =3（x +1）上运动，因此存在定直线y =3（x +1）与所有的圆均相交；因圆k C 的半径22k r k =在变化，故①③错，②正确.对于④：假设存在某个圆经过原点，则4222)3()1(k k k =+-（*），下面转化为这个关于k 的方程是否有正整数解，可以从k 的奇偶性分析：①若k 为奇数，则k -1为偶数，3k 为奇数，于是2)1(-k 为偶数，2)3(k 为奇数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！②若k 为偶数，则k -1为奇数，3k 为偶数，于是2)1(-k 为奇数，2)3(k 为偶数，从而方程（*）的左边为奇数，但方程（*）的右边为偶数，矛盾！NM 综上知，假设不成立，故④正确. 9．364 10．[-3，1] 11．5 12．32213．4 14．3sin =θρ 15．27313题解析：由⎪⎩⎪⎨⎧≤⋅≤≤⋅≤1020，得⎩⎨⎧≤≤≤+≤1020x y x 设M （s ，t ），则s x y t x y =+⎧⎨=-⎩，解得1()21()2x s t y s t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，由0201x y x ≤+≤⎧⎨≤≤⎩，得0202s t s ≤+≤⎧⎨≤≤⎩.16.解：（1）∵33sin 4321sin 21=⨯⨯⨯=⋅⋅=∆A A AC AB S ABC ...（2分）∴sin A =. （3分） 又△ABC 是锐角三角形，∴21sin 1cos 2=-=A A ， ∴21cos )2sin(==+A A π. （5分）（2）由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅ ∴13214324322=⨯⨯⨯-+=BC （8分） 由正弦定理得13392sin sin =⋅=BC A AC B ， 又B 为锐角，得1313sin 1cos 2=-=B B . （10分）∴cos()cos cos sin sin A B A B A B -=+12== （12分） 17.解：（1）∵22200(30906020) 6.061 5.0249011050150K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （2分）∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分） （2）男生抽取的人数有：60526090⨯=+（人） （5分） 女生抽取的人数各有：90536090⨯=+（人） （6分） （3）由（2）可知，男生抽取的人数为2人，女生抽取的人数为3人， 所以ξ的取值为1，2，3. （7分）1232353(1)10C C P C ξ===，2132356(2)10C C P C ξ===，33351(3)10C P C ξ===，所以ξ的分布列为：（10分）所以ξ的数学期望为361123 1.8101010E ξ=⨯+⨯+⨯= （12分） 18.（1）证明：连结BD . 因为ABCD 为棱形，且∠DAB =60°，所以∆ABD 为正三角形. （1分） 又G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD . （2分）又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD （3分） ∴BG ⊥平面P AD . （4分） 解：（2）∵△P AD 为正三角形，G 为AD 的中点，∴PG ⊥AD .∵PG ⊂平面P AD ，由（1）可得：PG ⊥GB . 又由（1）知BG ⊥AD . ∴PG 、BG、AD 两两垂直. （5分）故以G 为原点，建立如图所示空间直角坐标系G xyz -，330cos=︒=PD PG ， 360sin =︒=AB GB（6分）所以(0,0,0)G ，(0,1,0)D ，(P ，)C， (0,3,PD =(3,2,PC= （7分）设平面PCD 的法向量为0()0n PD n x y z n PC ⎧=⎪=⎨=⎪⎩·，，，∴·， 即020y y ⎧-=⎪+-=令1z =，则1(131)x y n =-==-，，， （8分） 又平面PBG 的法向量可为()020AD =，，， （9分）设平面PBG 与平面PCD所成二面角的平面角为θ，则 ∴2cos 5||||2n AD n AD θ===·· 即平面PBG 与平面PCD 所成二面角的平面角的余弦值为5. （10分） （3）当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD . （11分） 取PC 的中点F ，连结DE ，EF ，DF ，CG ，且DE 与CG 相交于H . 因为E 、G 分别为BC 、AD 的中点，所以四边形CDGE 为平行四边形，故H 为CG 的中点. 又F 为CP 的中点，所以FH //PG . （12分） 由（2），得PG ⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD . （13分） 又FH ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面ABCD . （14分） 19.解：（1）圆C 的圆心为C （-2，0），半径r =6，4CA =. （1分）连结QA ，由已知得QA QP =， （2分） 所以6QC QA QC QP OP r CA +=+===>. （3分） 根据椭圆的定义，点Q 的轨迹G 是中心在原点，以C 、A 为焦点，长轴长等于6的椭圆，即a =3，c =2，222945b a c =-=-=，（4分） 所以，点Q 的轨迹G 的方程为22195x y +=. （5分） （2）①设B 、D 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+4595459522222121y x y x （6分）两式相减，得121212125()()9()()0x x x x y y y y -++-+=， （7分）当BD 的中点M 的坐标为（2，1）时，有⎩⎨⎧=+=+242121y y x x ， （8分）所以0)(18)(202121=-+-y y x x ，即9102121-=--=x x y y k BD . （9分）故BD 所在的直线方程为)2(9101--=-x y ，即029910=-+y x . （10分） ②证明：设1122(,),(,)B x y D x y ，且21x x ≠， 由①可知121212125()9()BD y y x x k x x y y -+==--+, （11分）又1212OM y y k x x +=+ （12分） 所以95)(9)(521212121-=++⨯++-=⋅x x y y y y x x k k OM BD （定值） （14分） 20.证明：（1）方法一：因为0>n x ，所以2121=⨯≥+nn n n x x x x ， （1分） 故21≥+nn x x ，当且仅当1=n x 时，等号成立. （2分） 方法二：因为0>n x ，所以0)1(212≥-=-+nn n n x x x x ， （1分） 故21≥+nn x x ，当且仅当1=n x 时，等号成立. （2分） （2）由（1）知21≥+n n x x ，又211<++n n x x ，所以111+>n n x x ，所以1+<n n x x . （4分） （3）先证：nn x n 1->当n =1时，不等式显然成立； （5分） 假设当n =k （*N k ∈）时不等式成立，即kk x k 1->. （6分）当n =k +1时，由211<++n n x x 得1121211+=-->->+k kkk x x kk ， （7分） 即当n =k +1时，不等式成立； （8分） 综上，对一切*N n ∈都有nn x n 1->成立. （9分） 再证：nn x n 1+<由0>n x 及211<++n n x x （*N n ∈），得2<n x （*N n ∈），所以当n =1时，不等式显然成立； （10分） 当2≥n 时，假设存在k ，使得kk x k 1+≥， （11分） 则有1121211-=+-≥->+k k kk x x kk ，即11->+k kx k ， 所以212-->+k k x k ，323-->+k k x k ，┅，2322>-k x ，212>-k x ， （12分） 与题设21212<+-k k x x 矛盾. （13分） 所以对一切*N n ∈都有n n x n 1+<成立. （14分） 所以对一切*N n ∈都有nn x n n n 11+<<-成立. 21.解：（1）当1a =时，x x x x f ln 21)(--=，其定义域为（0，+∞）. 因为0)1(211)(22≥-=-+='x x x xx f ， （1分）所以)(x f 在（0，+∞）上单调递增， （2分） 所以函数()f x 不存在极值. （3分）（2）函数x xx a x f ln 2)1()(--=的定义域为(0,)+∞． 22222)11()(x a x ax x x a x f +-=-+='当0a ≤时， 因为0)(<'x f 在（0，+∞）上恒成立，所以)(x f 在（0，+∞）上单调递减. （4分）当0a >时， 当),0(+∞∈x 时，方程0)(='x f 与方程022=+-a x ax 有相同的实根 （5分） )1(44422a a -=-=∆①当01a <<时，∆>0，可得a a x 2111--=，aa x 2211-+=，且210x x <<因为),0(1x x ∈时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0(1x 上单调递增； （6分） 因为),(21x x x ∈时，0)(<'x f ，所以)(x f 在),(21x x 上单调递减； （7分） 因为),(2+∞∈x x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),(2+∞x 上单调递增； （8分）②当1≥a 时，0≤∆，所以0)(>'x f 在（0，+∞）上恒成立，故)(x f 在（0，+∞）上单调递增. （9分）综上，当0a ≤时，)(x f 的单调减区间为（0，+∞）；当01a <<时，)(x f 的单调增区间为)11,0(2aa --与),11(2+∞-+aa ；单调减区间为)11,11(22a a a a -+--；当1≥a 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）. （10分） （3）由存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立， 得002ln ax x >，即02ln x a x >. （11分） 令2ln ()xF x x=，等价于“当],1[e x ∈ 时，min )(x F a >”. （12分） 因为22(1ln )()x F x x-'=，且当],1[e x ∈时，()0F x '≥， 所以()F x 在[1,e]上单调递增，（13分） 故min ()(1)0F x F ==，因此0a >. （14分）。
【2014肇庆一模】广东省肇庆市2014届高三毕业班第一次模拟考试数学文试题 Word版含答案
肇庆市中小学教学质量评估 2014届高中毕业班第一次模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡上.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：柱体的体积公式V=Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体高. 一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-= ，其中x 表示这组数据的平均数.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}M =，{3,4,5}N =，则=)(N M C UA ．{2}B ．{1，2}C ．{1，2，4}D ．{1，3，4，5} 2．函数)1(log 4)(22-+-=x x x f 的定义域是A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(1,)+∞D ．[2,)+∞3．设i 为虚数单位，则复数34iz i-=在复平面内所对应的点位于 A ．第四象限 B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 4．下列函数中，在区间(,0)-∞上为减函数的是A ．()2xf x = B ．()|1|f x x =- C ．()cos f x x = D ．1()f x x x=+5．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值是A ．2B ．6C ．24D ．1206．某几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的体积是A ．5033cm B ．503cm C ．2533cm D ．253cm7．已知圆C 的圆心是直线10x y -+=与x 轴的交点，且圆C 与直线30x y ++= 相切，则圆C 的方程是 A ．22(1)2x y ++= B ．22(1)8x y ++= C ．22(1)2x y -+= D ．22(1)8x y -+=8．在锐角ABC ∆中，AB =3，AC =4，其面积ABC S ∆=BC =A ．5BC D9．已知e 为自然对数的底数，设函数()xf x xe =，则A ．1是)(x f 的极小值点B ．1-是)(x f 的极小值点C ．1是)(x f 的极大值点D ．1-是)(x f 的极大值点10．设向量),(21a a a =，),(21b b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是A ．B ．C ．2D ．4 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知{}n a 是递增的等差数列，12a =，n S 为其前n 项和，若126,,a a a 成等比数列，则5S = ▲ . 12．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切线方程为 ▲ .13．已知变量,x y 满足约束条件1,31x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，若z k x y =+的最大值为5，则实数k = ▲ .（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的参数方程为2cos 2(1sin )x ty t =⎧⎨=-⎩（其中t 为参数，且02t π≤<），则曲线C 的极坐标方程为 ▲ .15．（几何证明选讲选做题）如图3，在ABC ∆中，︒=∠90BAC ，BC AD ⊥，AE DE ⊥，D 、E 为垂足，若AE =4，BE =1， 则AC = ▲ .三、解答题：本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）ks5u在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且角A 、B 都是锐角，a =6，b =5 ，21sin =B . （1） 求sin A 和cos C 的值；（2） 设函数)2sin()(A x x f +=，求)2(πf 的值.17．（本小题满分13分）已知某山区小学有100名四年级学生，将全体四年级学生随机按00～99编号，并且按编号顺序平均分成10组．现要从中抽取10名学生，各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.（1）若抽出的一个号码为22，则此号码所在的组数是多少？ 据此写出所有被抽出学生的号码；（2）分别统计这10名学生的数学成绩，获得成绩数据的 茎叶图如图4所示，求该样本的方差；（3）在（2）的条件下，从这10名学生中随机抽取两名 成绩不低于73分的学生，求被抽取到的两名学生的成绩之和 不小于154分的概率． 18．（本小题满分13分）如图5，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 的中点， 点V 是圆O 所在平面外一点，D 是AC 的中点，已知2AB =，2VA VB VC ===. ks5u（1）求证：OD //平面VBC ； （2）求证：AC ⊥平面VOD ； （3）求棱锥C ABV -的体积. 19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上.（1）求1a ，2a ；（2）求数列}{n a 的通项公式；ks5u （3）若211++=n n n n a a a b ，求证数列}{n b 的前n 项和601<n T ． 20．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两圆C 1与C 2的圆心的距离之和等于4，其中C 1：023222=+-+y y x ，C 2：033222=-++y y x . 设点P 的轨迹为C ．（1）求C 的方程；ks5u（2）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．问k 为何值时OA ⊥OB？此时AB 的值是多少？ks5u21．（本小题满分14分）设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.肇庆市2014届高中毕业班第一次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题ks5u11．70 12．24-=x y 13．1-=k 或21=k （对1个得3分，对2个得5分） 14．θρsin 4= 15．10三、解答题16．（本小题满分12分）解：（1）由正弦定理sin sin a b A B =，得sin 3sin 5a B Ab ==. （3分）∵A 、B 是锐角，∴4cos 5A == ， （4分）cos 2B ==， （5分） 由()C A B π=-+ ，得(cos cos[]cos())C A B A B π-+==-+ （6分）cos cos sin sin A B A B =-+ （7分）4313525210-=-⨯+⨯= （8分）（2）由（1）知4cos 5A =， ∴2sin 2cos 22cos 122f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=+==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11分） 24721525⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭（12分）17．（本小题满分13分）解：（1）由题意，得抽出号码为22的组数为3. （2分） 因为2＋10×(3－1)＝22，所以第1组抽出的号码应该为02，抽出的10名学生的号码依次分别为：02， 12， 22， 32， 42，52，62，72，82，92. （4分） （2）这10名学生的平均成绩为：x =110×(81＋70＋73＋76＋78＋79＋62＋65＋67＋59)＝71， （6分）故样本方差为：2110s =⨯（102＋12＋22＋52＋72＋82＋92＋62＋42＋122）＝52. （8分） （3）从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生，共有如下10种不同的取法： （73，76），（73，78），（73，79），（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （10分） 其中成绩之和不小于154分的有如下7种：（73，81），（76，78），（76，79），（76，81），（78，79），（78，81)，（79，81）. （12分） 故被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率为：710p = （13分）18．（本小题满分13分）证明：（1）∵ O 、D 分别是AB 和AC 的中点，∴OD//BC . （1分） 又OD ⊄面VBC ，⊂BC 面VBC ，∴OD //平面VBC . （3分） （2）∵VA =VB ，O 为AB 中点，∴VO AB ⊥. （4分） 连接OC ，在VOA ∆和VOC ∆中，,,OA OC VO VO VA VC ===,∴VOA ∆≌∆VOC ，∴VOA ∠=∠VOC =90︒， ∴VO OC ⊥. （5分） ∵AB OC O = , AB ⊂平面ABC , OC ⊂平面ABC , ∴VO ⊥平面ABC . （6分） ∵AC ⊂平面ABC ，∴AC VO ⊥. （7分） 又∵VA VC =，D 是AC 的中点，∴AC VD ⊥. （8分） ∵VO ⊂平面VOD ，VD ⊂平面VOD ，VO VD V = ，∴ AC ⊥平面DOV . （9分）（3）由（2）知VO 是棱锥V ABC -的高，且VO == （10分） 又∵点C 是弧的中点，∴CO AB ⊥，且1,2CO AB ==， ∴三角形ABC 的面积1121122ABC S AB CO ∆=⋅=⨯⨯=， （11分）∴棱锥V ABC -的体积为111333V ABC ABC V S VO -∆=⋅=⨯=， （12分）故棱锥C ABV -的体积为3. （13分）19．（本小题满分14分）解：（1）∵点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，ks5u∴2*2()n S n n n N =+∈， （1分） ∴113a S ==， （2分） 又21222228a a S +==+⨯=，∴25a =. （4分） （2）由（1）知，2*2()n S n n n N =+∈，当2≥n 时，12 1.n n n a S S n -=-=+ （6分） 由（1）知，11231+⨯==a 满足上式， （7分） 所以数列}{n a 的通项公式为21n a n =+. （8分） （3）由（2）得])52)(32(1)32)(12(1[41)52)(32)(12(1++-++=+++=n n n n n n n b n（11分）n n b b b T +++= 21])52)(32(1)32)(12(1971751751531[41++-++++⨯-⨯+⨯-⨯=n n n n （12分） ])52)(32(1531[41++-⨯=n n （13分） 601)52)(32(41601<++-=n n . （14分） 20．（本小题满分14分）ks5u解：（1）由已知得两圆的圆心坐标分别为12(0,C C . （1分）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C 是以(0(0，为焦点，长半轴长为2的椭圆． （2分）它的短半轴长1b ==， （3分）故曲线C 的方程为2214y x +=． （4分）（2）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， ks5u 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， （5分）∵042≠+k ，222412(4)16(3)0k k k ∆=++=+>，∴1,2x =故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． （6分） 又1)()1)(1(212122121+++=++=x x k x x k kx kx y y （7分）于是222121222223324114444k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． （8分） 令041422=++-k k ，得21±=k . （9分） 因为2121y y x x OB OA +=⋅，所以当21±=k 时，有0=⋅，即⊥. （10分） 当12k =±时，12417x x += ，121217x x =-． （11分）AB ==（12分）而22212112()()4x x x x x x -=+-23224124134171717⨯=+⨯=， （13分）所以17AB = ． （14分）21．（本小题满分14分） 解：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数()f x 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分） （2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分）①当t +3<-1，即t <-4时，因为)(x f 在区间[t ，t +3]上单调递增，所以)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值为583311)3()3(31)3()(233m a x +++=-+-+=+=t t t t t t f x f ； （9分）②当231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，因为)(x f 在区间(]1,-∞-上单调递增，在区间[-1，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，且31)1()2(-=-=f f ，所以)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . （10分） 由231≤+≤-t ，即14-≤≤-t 时，有[t ，t +3]⊂ (]2,∞-，-1∈[t ，t +3]，所以)(x f 在[,3]t t +上的最大值为31)1()(m ax -=-=f x f ； （11分） ③当t +3>2，即t >-1时，由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23m ax +++=+=t t t t f x f . （13分）综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或. （14分）。
【解析版】广东省肇庆市中考数学二模试卷
广东省肇庆市中考数学二模试卷一、选择题：（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）1．计算|﹣3|的结果是（）A． 3 B． C．﹣3 D．2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A． 9.4×10﹣7m B． 9.4×107m C． 9.4×10﹣8m D． 9.4×108m3．下列运算正确的是（）A． a﹣2a=a B．（﹣a2）3=﹣a6 C． a6÷a2=a3 D．（x+y）2=x2+y24．把某个不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能（）A． B． C． D．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A． 2 B． C． D．6．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．7．如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是（）A． 13πcm3 B． 17πcm3 C． 66πcm3 D． 68πcm38．关于反比例函数y=﹣的图象，下列说法正确的是（）A．经过点（﹣1，﹣2）B．无论x取何值时，y随x的增大而增大C．当x＜0时，图象在第二象限D．图象不是轴对称图形9．如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A． 4 B． 2π C． 4π D． 210．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A． 7 B． 14 C． 21 D． 28二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）11．，则y x=．12．函数y=自变量的取值范围是．13．一个正多边形的内角是外角的2倍，则这个正多边形是边形．14．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为．15．观察下图找规律．（1）填出缺少的图形；（2）按照这样的规律，第21个图中，○在最．（填“上”“下”“左”“右）．三、解答题（本大题共10小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：|﹣3|+•tan30°﹣（﹣π）0．17．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．18．年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：年收入（万元） 4.8 6 7.2 9 10被调查的消费者人数（人） 200 500 200 70 30②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分（如图）．注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题．（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是万元；（2）请在图中补全这个频数分布直方图；（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是．19．甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．如图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y（千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题：（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？（2）甲因事耽误了多长时间？（3）x为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？20．先化简，再求值：，其中x=+1．21．如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．22．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．（1）求证：四边形AMND是平行四边形；（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．24．（10分）（•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O 交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．25．（10分）（•漳州）如图1，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=x﹣2，连接AC．（1）B、C两点坐标分别为B（，）、C（，），抛物线的函数关系式为；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．广东省肇庆市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的）1．计算|﹣3|的结果是（）A． 3 B． C．﹣3 D．考点：绝对值．分析：根据绝对值的性质进行计算．解答：解：|﹣3|=3．故选A．点评：本题考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m，用科学记数法表示这个数是（）A． 9.4×10﹣7m B． 9.4×107m C． 9.4×10﹣8m D． 9.4×108m考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：0.000 000 94=9.4×10﹣7．故选A．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．下列运算正确的是（）A． a﹣2a=a B．（﹣a2）3=﹣a6 C． a6÷a2=a3 D．（x+y）2=x2+y2考点：同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．解答：解：A、a﹣2a=﹣a，故错误；B、正确；C、a6÷a2=a4，故错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故错误；故选：B．点评：本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．4．把某个不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能（）A． B． C． D．考点：在数轴上表示不等式的解集．分析：根据数轴可知x的取值为：﹣1＜x≤4，将不等式变形，即可得出关于x的不等式组．把各个选项的解的集合写出，进行比较就可以得到．解答：解：依题意得这个不等式组的解集是：﹣1＜x≤4．A、解集是：无解，故A错误；B、解集是：﹣1≤x＜4，故B错误；C、解集是：x＞4，故C错误；D、解集是：﹣1＜x≤4，故D正确；故选：D．点评：此题主要考查不等式组解集的表示方法．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，＞向右、＜向左．5．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，则tanA的值为（）A． 2 B． C． D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA==．故选B．点评：此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．6．如图：下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形的定义沿一条直线对折后，直线两旁部分完全重合的图形是轴对称图形，以及中心对称图形的定义分别判断即可得出答案．解答：解：∵A．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；B：此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C．此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转180°不能与原图形重合，不是中心对称图形，故此选项错误；D：此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，熟练掌握其定义是解决问题的关键．7．如图是一个工件的三视图，图中标有尺寸，则这个工件的体积是（）A． 13πcm3 B． 17πcm3 C． 66πcm3 D． 68πcm3考点：圆柱的计算；由三视图判断几何体．专题：计算题．分析：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和．解答：解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，底面直径分别是2cm和4cm，高分别是4cm和1cm，∴体积为：4π×22+π=17πcm3．故选B．点评：本题考查了圆柱的计算，解题的关键是正确地得到几何体的形状，这样才可以求体积．8．关于反比例函数y=﹣的图象，下列说法正确的是（）A．经过点（﹣1，﹣2）B．无论x取何值时，y随x的增大而增大C．当x＜0时，图象在第二象限D．图象不是轴对称图形考点：反比例函数的性质．分析：反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；在不同象限内，y随x的增大而增大，根据这个性质选择则可．解答：解：∵k=﹣2＜0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，图象是轴对称图象，故A、B、D错误．故选C．点评：本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x 的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．9．如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A． 4 B． 2π C． 4π D． 2考点：切线的性质．分析：连接O′C，O′B，O′D，OO′，则O′D⊥BC．因为O′D=O′B，O′C平分∠ACB，可得∠O′CB=∠ACB=×60°=30°，由勾股定理得BC=2．解答：解：当滚动到⊙O′与CA也相切时，切点为D，连接O′C，O′B，O′D，OO′，∵O′D⊥AC，∴O′D=O′B．∵O′C平分∠ACB，∴∠O′CB=∠ACB=×60°=30°．∵O′C=2O′B=2×2=4，∴BC===2．故选：D．点评：此题主要考查了切线及角平分线的性质，勾股定理等知识点，属中等难度题，正确的作出辅助线是解题的关键．10．如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A． 7 B． 14 C． 21 D． 28考点：相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平移的性质．专题：压轴题．分析：根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得三角形ABC的面积，从而求解．解答：解：∵EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC，EF=BC．∴△AEF∽△ACB．∴=．∴△ABC的面积=28．∴图中阴影部分的面积为28﹣7﹣7=14．故选B．点评：此题综合运用了三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）11．，则y x=﹣8．考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．专题：常规题型．分析：根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，x﹣3=0，y+2=0，解得x=3，y=﹣2，所以，y x=（﹣2）3=﹣8．故答案为：﹣8．点评：本题考查了算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．12．函数y=自变量的取值范围是x＞3．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的意义和分式的意义可知：x﹣3＞0，可求x的范围．解答：解：根据题意得：x﹣3＞0，解得：x＞3，故答案为：x＞3．点评：主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．13．一个正多边形的内角是外角的2倍，则这个正多边形是6边形．考点：多边形内角与外角．分析：设这个正多边的外角为x°，则内角为2x°，根据内角和外角互补可得x+2x=180，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数．解答：解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：x+2x=180，解得：x=60，360°÷60°=6．故答案为6．点评：此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．14．已知二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．考点：抛物线与x轴的交点．分析：由二次函数y=﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解．解答：解：依题意得二次函数y=﹣x2+2x+m的对称轴为x=1，与x轴的一个交点为（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）=﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x=﹣1或x=3时，函数值y=0，即﹣x2+2x+m=0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m=0的解为x1=﹣1或x2=3．故答案为：x1=﹣1或x2=3．点评：本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．15．观察下图找规律．（1）填出缺少的图形；（2）按照这样的规律，第21个图中，○在最下．（填“上”“下”“左”“右）．考点：规律型：图形的变化类．专题：压轴题；规律型．分析：（1）观察所给图形可知：三角形和圆按逆时针方向绕正方形旋转，继而即可填出缺少的图形；（2）每4个图形一个循环，则第21个图形与第一个图相同．解答：解：（1）填出图形如下所示：（2）每4个图形一个循环，则第21个图形与第一个图相同，○在最下．故答案为：下．点评：本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，解题关键是找出三角形和圆按逆时针方向绕正方形旋转．三、解答题（本大题共10小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．计算：|﹣3|+•tan30°﹣（﹣π）0．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项零指数幂法则计算即可得到结果．解答：解：原式=3+×﹣1=3．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．设x1、x2是方程2x2+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：（1）（x1﹣x2）2；（2）．考点：根与系数的关系．分析：欲求（x1﹣x2）2与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．解答：解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1•x2=．（1）（x1﹣x2）2=x12+x22﹣2x1x2=x12+x22+2x1x2﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣4x1x2==10．（2）=x1x2+1+1+==．点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．年某市国际车展期间，某公司对参观本次车展盛会的消费者进行了随机问卷调查，共发放1000份调查问卷，并全部收回．①根据调查问卷的结果，将消费者年收入的情况整理后，制成表格如下：年收入（万元） 4.8 6 7.2 9 10被调查的消费者人数（人） 200 500 200 70 30②将消费者打算购买小车的情况整理后，作出频数分布直方图的一部分（如图）．注：每组包含最小值不包含最大值，且车价取整数．请你根据以上信息，回答下列问题．（1）根据①中信息可得，被调查消费者的年收入的众数是6万元；（2）请在图中补全这个频数分布直方图；（3）打算购买价格10万元以下小车的消费者人数占被调查消费者人数的百分比是52%．考点：频数（率）分布直方图．专题：图表型．分析：（1）众数就是出现次数最多的数，依据定义即可求解；（2）计算出这组的频数，即可作出图表；（3）根据百分比的计算方法即可求解．解答：解：（1）由表格可知，年收入6万元的人数最多，因此众数是6万元；（2）被漏的10～12组的频数是1000﹣40﹣120﹣360﹣200﹣40=240人；（3）购买10万元以下小车的人有40+120+360=520人，从而可求得占被调查消费者人数的百分比是520÷1000=52%．点评：本题主要考查了频率的计算公式，是需要识记的内容．19．甲、乙二人骑自行车同时从张庄出发，沿同一路线去李庄．甲行驶20分钟因事耽误一会儿，事后继续按原速行驶．如图表示甲、乙二人骑自行车行驶的路程y（千米）随时间x （分）变化的图象（全程），根据图象回答下列问题：（1）乙比甲晚多长时间到达李庄？（2）甲因事耽误了多长时间？（3）x为何值时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米？考点：一次函数的应用．专题：压轴题；分类讨论．分析：（1）根据图象，可将乙的函数式表示出来，从而可将乙所需的总时间求出，从图象中读出甲所需的总时间，两者相减即为乙比甲晚到李庄的时间；（2）用待定系数法可将甲的一次函数式求出，从图象知：甲20分钟所行驶的路程，将时间求出，从而可将甲因事耽误的时间求出；（3）应分两种情况，当甲因事停止时，乙比甲多行驶1千米的路程；当乙和甲都行走时，乙比甲多行驶1千米的路程．解答：解：（1）设直线OD解析式为y=k1x（k1≠0），由题意可得60k1=10，，当y=15时，，x=90，90﹣80=10分故乙比甲晚10分钟到达李庄．（2）设直线BC解析式为y=k2x+b（k2≠0），由题意可得解得∴y=x﹣5由图象可知甲20分钟行驶的路程为5千米，x﹣5=5，x=40，40﹣20=20分故甲因事耽误了20分钟．（3）分两种情况：①，解得：x=36②x﹣（x﹣5）=1，解得：x=48当x为36或48时，乙行驶的路程比甲行驶的路程多1千米．点评：本题考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．20．先化简，再求值：，其中x=+1．考点：分式的化简求值；分母有理化．专题：计算题．分析：这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，先进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．解答：解：原式===；当x=+1时，原式==．点评：此题要特别注意符号的处理．化简和取值的结果都要求达到最简为止．21．如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF．（2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；平移的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．解答：（1）证明：∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∵CD⊥AB于D，∴∠EAD+∠AED=90°，∴∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，∴∠CFA=∠CEF，∴CE=CF；（2）猜想：BE′=CF．证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，又∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，∴ED=EG，由平移的性质可知：D′E′=DE，∴D′E′=GE，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠DCB=90°∵CD⊥AB于D，∴∠B+∠DCB=90°，∴∠ACD=∠B，在△CEG与△BE′D′中，，∴△CEG≌△BE′D′（AAS），∴CE=BE′，由（1）可知CE=CF，∴BE′=CF．点评：本题主要考查了平分线的定义，平移的性质以及全等三角形的判定与性质，难度适中．22．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D，E两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A型号电脑被选中的概率是多少？（3）现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A型号电脑，求购买的A型号电脑有几台．考点：列表法与树状图法；二元一次方程组的应用．专题：方案型．分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法，列出所有可能的结果，然后根据概率公式求出该事件的概率；（2）（3）根据题意列出方程求解则可．解答：解：（1）列表如图：甲乙 A B CD （D，A）（D，B）（D，C）E （E，A）（E，B）（E，C）有6种可能结果：（A，D），（A，E），（B，D），（B，E），（C，D），（C，E）；（2）因为选中A型号电脑有2种方案，即（A，D）（A，E），所以A型号电脑被选中的概率是；（3）由（2）可知，当选用方案（A，D）时，设购买A型号、D型号电脑分别为x，y台，根据题意，得解得，经检验不符合实际，舍去；当选用方案（A，E）时，设购买A型号、E型号电脑分别为a，b台，根据题意，得解得．所以希望中学购买了7台A型号电脑．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，同时考查了二元一次方程组的应用，综合性比较强．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=3AD，M、N为底边BC的三等分点，连接AM，DN．（1）求证：四边形AMND是平行四边形；（2）连接BD、AC，AM与对角线BD交于点G，DN与对角线AC交于点H，且AC⊥BD．试判断四边形AGHD的形状，并证明你的结论．考点：梯形；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定．分析：（1）通过证明四边形AMND中的一组对边AD和MN平行且相等即可；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，先根据平行四边形的判定定理一组对边平行且相等（GH∥AD，GH=AD）证明出四边形AGHD是平行四边形，又AC⊥BD，即可判断出四边形AGHD是菱形．解答：（1）证明：∵BC=3AD，BC=3MN，∴AD=MN，∵AD∥BC，∴四边形AMND是平行四边形．（2）解：四边形AGHD是菱形．∵AD∥BC，∴∠ADG=∠MBG，∵∠BGM=∠DGA，AD=BM，∴△BGM≌△DGA（AAS），∴AG=GM．同理可得AH=HC，∴GH是△AMC的中位线，∴GH∥BC，，∴GH∥AD，GH=AD，∴四边形AGHD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形AGHD是菱形．点评：本题考查了梯形的知识，及平行四边形和菱形的判定，难度适中，要求熟练掌握这些知识以便灵活运用．24．（10分）（•襄阳）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O 交直线OB于E，D，连接EC，CD．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．考点：切线的判定；切割线定理；相似三角形的判定与性质．专题：综合题；压轴题．分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质易得OC⊥AB；即可得到证明；（2）易得∠BCD=∠E，又有∠CBD=∠EBC，可得△BCD∽△BEC；故可得BC2=BD•BE；（3）易得△BCD∽△BEC，BD=x，由三角形的性质，易得BC2=BD•BE，代入数据即可求出答案．解答：（1）证明：如图，连接OC，（1分）∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，（2分）∴AB是⊙O的切线．（3分）（2）解：BC2=BD•BE．（4分）证明：∵ED是直径，∴∠ECD=90°，∴∠E+∠EDC=90°．又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC（OC=OD），∴∠BCD=∠E．（5分）又∵∠CBD=∠EBC，∴△BCD∽△BEC．（6分）∴．∴BC2=BD•BE．（7分）（3）解：∵tan∠CED=，∴．∵△BCD∽△BEC，∴．（8分）设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6）．（9分）∴x1=0，x2=2．∵BD=x＞0，∴BD=2．∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．（10分）点评：本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，线段等量关系的证明及线段长度的求法，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．25．（10分）（•漳州）如图1，已知：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=x﹣2，连接AC．（1）B、C两点坐标分别为B（4，0）、C（0，﹣2），抛物线的函数关系式为y=x2﹣x﹣2；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）令x=0以及y=0代入y=x﹣2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线可得函数关系式．（2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．（3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．解答：解：（1）令x=0，y=﹣2，当y=0代入y=x﹣2得出：x=4，故B，C的坐标分别为：B（4，0），C（0，﹣2）．y=x2﹣x﹣2．（2）△ABC是直角三角形．证明：令y=0，则x2﹣x﹣2=0．∴x1=﹣1，x2=4．∴A（﹣1，0）．解法一：∵AB=5，AC=，BC=2．∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．∴△ABC是直角三角形．解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，∴∵∠AOC=∠COB=90°，∴△AOC∽△COB．∴∠ACO=∠CBO．∵∠CBO+∠BCO=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°．即∠ACB=90°．∴△ABC是直角三角形．（3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．∵GF∥AB，∴△CGF∽△CAB．∴．解法一：设GF=x，则DE=x，CH=x，DG=OH=OC﹣CH=2﹣x．∴S矩形DEFG=x•（2﹣x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣）2+．当x=时，S最大．∴DE=，DG=1．∵△ADG∽△AOC，∴，∴AD=，∴OD=，OE=2．∴D（﹣，0），E（2，0）．解法二：设DG=x，则DE=GF=．∴S矩形DEFG=x•=﹣x2+5x=﹣（x﹣1）2+．∴当x=1时，S最大．∴DG=1，DE=．∵△ADG∽△AOC，∴，∴AD=，∴OD=，OE=2．∴D（﹣，0），E（2，0）．②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，∵DG∥BC，∴△AGD∽△ACB．∴．解法一：设GD=x，∴AC=，BC=2，∴GF=AC﹣AG=﹣．∴S矩形DEFG=x•（﹣）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+．当x=时，S最大．∴GD=，AG=，∴AD=．∴OD=∴D（，0）解法二：设DE=x，∵AC=，BC=2，∴GC=x，AG=﹣x．∴GD=2﹣2x．∴S矩形DEFG=x•（2﹣2x）=﹣2x2+2x=﹣2（x﹣）2+（12分）∴当x=时，S最大，∴GD=，AG=．∴AD=．∴OD=∴D（，0）综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（﹣，0），（2，0）当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（，0）．点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及三角形相似的判定，考生要学会灵活运用二次函数的相关知识．。
广东省肇庆市高三毕业班第二次统一检测数学(文)试题Word版含答案
肇庆市中小学教学质量评估2018届高中毕业班第二次统一检测题文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
考生要认真核对答题卷条形码上的信息与本人所填写信息是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动用橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束。
监考人员将试卷、答题卷一并收回。
第Ⅰ卷一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设复数z 满足()12z i +=，i 为虚数单位，则复数z 的模是（A ）2 （B ）12 （C （D （2）{}1,0,1,2M =-，{}2|0N x x x =-≤，则MN =（A ）{}1,0- （B ）{}0,1 （C ）{}1,2- （D ）{}1,2（3）已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟.则乘客到达站台立即乘上车的概率是（A ）101 （B ）91 （C ）111 （D ）81（4）已知()()()lg 10lg 10f x x x =++-，则()f x 是（A ）()f x 是奇函数，且在()0,10是增函数 （B ）()f x 是偶函数，且在()0,10是增函数 （C ）()f x 是奇函数，且在()0,10是减函数 （D ）()f x 是偶函数，且在()0,10是减函数（5）如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为 （A ）9 （B ）18 （C ）20 （D ）35（6）下列说法错误的是（A ）“0x >”是“0x ≥”的充分不必要条件（B ）命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为：“若1x ≠，则2320x x -+≠”（C ）若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题（D ）命题p ：x R ∃∈，使得210x x ++<，则p ⌝:x R ∀∈，均有210x x ++≥（7）已知实数x ，y 满足约束条件20x y y x y x b -≥⎧⎪≥⎨⎪≥-+⎩，若2z x y =+的最小值为3，则实数b =（A ）94 （B ）32 （C ）1 （D ）34（8）ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知()cos sin b a C C =-，2a =，c =C =（A ）56π （B ）6π （C ） 4π （D ） 3π （9）能使函数 的图象关于原点对称，且在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数的ϕ的一个值是 （A ）π3 （B ） 5π3 （C ）2π3 （D ） 4π3（10）已知1t >，235=log ,log ,=log x t y t z t =，则（A ）235x y z << （B ）523z x y << （C ）352y z x << （D ）325y x z << （11）如图是某几何体的三视图，正视图 俯视图侧视图则该几何体的体积为（A ）83（B ）43（C ）8 （D ）4（12）已知函数()()24,0ln 1,0x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()f x ax ≥，则实数a 的取值范围为（A ）[]2,1- （B ）[]4,1- （C ）[]2,0- （D ）[]4,0-第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. （13）已知1a b a b ==+=，则a b -= ▲ . （14）函数()sin()f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>）的部分图象如图所示，则()12f π的值是 ▲ ．（15）正项数列{}n a 中，满足 那么n a ＝ ▲ .（16）在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥ 则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是 ▲ .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为sin 2ac B ．（Ⅰ）求sin B 的值；（Ⅱ）若5c =，2223sin 5sin sin C B A =⋅，且BC 的中点为D ，求ABD ∆的周长．（18）（本小题满分12分）设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知n S ，1+n a ，4成等比数列. （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=，设n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <.（19）（本小题满分12分）保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x （单位：千米）和火灾所造成的损失数额y (单位：千元)有如下的统计资料：如果统计资料表明y 与x 有线性相关关系，试求：（Ⅰ）求相关系数r （精确到0.01）； （Ⅱ）求线性回归方程（精确到0.01）；（III ）若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米，评估一下火灾的损失（精确到0.01）.参考数据：61175.4iy=∑，61764.36i i x y =∑，61()()80.30i i i xx y y =--=∑，21()14.30nii x x =-=∑，21()471.65ni i y y =-≈∑82.13≈参考公式：相关系数 ()()niix x y y r --=∑，回归方程y a bt =+ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：图2121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-（20）（本小题满分12分）如图1，在高为2的梯形ABCD 中，CD AB //，2=AB ，5=CD ，过A 、B 分别作CD AE ⊥，CD BF ⊥，垂足分别为E 、F ．已知1=DE ，将梯形ABCD 沿AE 、BF 同侧折起，使得AF BD ⊥，//DE CF ，得空间几何体BCF ADE -，如图2．（Ⅰ）证明：//BE ACD 面； （Ⅱ）求三棱锥B ACD -的体积.（21）（本小题满分12分）已知函数()x f x ae x =-，()'f x 是()f x 的导数. （Ⅰ）讨论不等式()()'10f x x ->的解集；（Ⅱ）当0m >且1a =时，若()22f x e <-在[],x m m ∈-恒成立，求m 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），图1以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是7+=4cos 4sin ρθθρ+.（Ⅰ）当2πα=时，直接写出1C 的普通方程和极坐标方程，直接写出2C 的普通方程；（Ⅱ）已知点P (1,)2π，且曲线1C 和2C 交于,A B 两点，求PA PB 的值.（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知()|3||1|f x x x =++-，()22g x x mx =-+.（Ⅰ）求不等式()4f x >的解集；（Ⅱ）若对任意的12,x x ，()12()f x g x ≥恒成立，求m 的取值范围.2018届高中毕业班第二次统一检测题文科数学参考答案及评分标准一、选择题二、填空题13 14． 15．112n - 16．16π 三、解答题（17）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）由1sin sin 22ABC S ac B ac B ∆==，--------------------2分 得1sin 2sin cos 2B B B =⋅，--------------------------3分 ∵0B π<< ∴sin 0B > 故1cos 4B =，------------------5分又1cos sin 22=+B B ，∴sin 4B =；-----------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）和 2223sin 5sin sin C B A =⋅得2216sin 25sin C A =-----------7分由正弦定理得221625c a =，---------------------8分 ∵5c =，∴4a =，122BD a ==，------------------------9分 在ABD ∆中，由余弦定理得：2222212cos 52252244AD c BD c BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，------10分∴AD =----------------------------------------------11分∴ABD ∆的周长为7c BD AD ++=+分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设数列}{n a 的前n 项和为nS1,)1(41,11211=∴+==a a a n 时当…………………………………………….1分当2≥n 时，2112)1(4,)1(4+=∴+=--n n n n a S a S两式相减得,2241212----+=n n n n n a a a a a 即0)2)((11=--+--n n n n a a a a 又2,01=-∴>-n n n a a a …………………………………………………………..5分∴数列}{n a 的首项为1，公差为2的等差数列，即12-=n a n ………………..6分（Ⅱ）()111111(21)2122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-∙+-+⎝⎭…………… 8分 所以. 1111111112335572121n T n n ⎛⎫=-+-+-+- ⎪-+⎝⎭……………9分 所以 11112212n Tn ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭……………………………………12分 （19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()()80.300.9882.13niix x y y r --==≈∑………………………………2分 （Ⅱ）依题意得()11.82.63.14.35.56.1 3.96x =+++++=………………………3分 ()611117.819.627.531.336.043.2=29.2366i y y =+++++=∑………………………4分61()()80.30iii x x y y =--=∑，21()14.30nii x x =-=∑所以6161()()80.30ˆ 5.6214.30()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑，………………………………………6分 又因为ˆˆ29.23 5.62 3.97.31ay bx =-=-⨯≈（7.32,7.33均给分）………………………8分 故线性回归方程为ˆ=5.627.31yx +（+7.32或7.33均给分）……………………9分 （III ）当10x =时，根据回归方程有：ˆ=5.62107.31=63.51y ⨯+（63.52或63.53均给分）…………………………………………………………………………………………………12分 （20）（本小题满分12分）F（Ⅰ）证法一：连接BE 交AF 于O ，取AC 的中点H ，连接OH ，则OH 是AFC ∆的中位线，所以1//2OH CF .…………………………………2分 由已知得1//2DE CF ，所以//DE OH ，连接DH ， 则四边形DHOE 是平行四边形，所以//EO DH ，…………………………………4分 又因为,,EO ADC DH ADC ⊄⊂面面所以//EO ACD 面，即//BE ACD 面.………6分 证法二：延长,FE CD 交于点K ，连接AK ，则=CKA ABFE KA 面面由已知得1//2DE CF ，所以DE 是KFC ∆的中位线，所以KE EF =所以//KE AB ，四边形ABEK 是平行四边形，//AK BE……4分 又因为,,BE ADC KA ADC ⊄⊂面面所以//BE ACD 面.………6分证法三：取CF 的中点G ，连接,BG EG ，易得//DE CG ，即四边形CDEG 是 平行四边形，则//EG DC ，又,,GE ADC DC ADC ⊄⊂面面 所以//GE ADC 面………………………………2分又因为//DE GF ，所以四边形DGFE 是平行四边形，所以//DG EF ， 又ABFE 是平行四边形，所以//AB EF ，所以//AB DG ，所以四边形ABGD 是平行四边形，所以//BG AD ，又又,,GB ADC DA ADC ⊄⊂面面 所以//GB ADC 面.................................4分 又GB GE G =，所以面//GBE ADC 面，又BE GBE ⊂面，所以//BE ACD 面. (6)分（Ⅱ）因为//GB ADC 面，所以B ACD E ACD V V --=………………………………7分由已知得，四边形ABFE 为正方形，且边长为2，则在图2中，BE AF ⊥，由已知BD AF ⊥，B BD BE =⋂，可得BDE AF 面⊥， 又BDE DE 平面⊂，所以DE AF ⊥，又DE AE ⊥， A AE AF = ，所以ABFE DE 平面⊥，…………………………………………8分且AE EF ⊥，所以AE CDE ⊥面，所以AE 是三棱锥A DEC -的高， 四边形DEFC 是直角梯形。
2015年广东省肇庆市高考数学二模试卷(文科)(a卷)(解析版)
2015年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）（A卷）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i2．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x2}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝1}，则A∩B的元素个数为（）A．无数个B．3C．2D．13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（4，﹣3）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．C．1D．24．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题5．（5分）已知等差数列{a n}，a6＝2，则此数列的前11项的和S11＝（）A．44B．33C．22D．116．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝ln（﹣x）C．y＝e x D．y＝ln7．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．9．（5分）已知f1（x）＝sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x），n∈N*，则f2015（x）＝（）A．sin x+cos x B．﹣sin x﹣cos x C．sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x 10．（5分）集合M由满足：对任意x1，x2∈[﹣1，1]时，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|的函数f（x）组成．对于两个函数f（x）＝x2﹣2x+2，g（x）＝e x，以下关系成立的是（）A．f（x）∈M，g（x）∈M B．f（x）∈M，g（x）∉MC．f（x）∉M，g（x）∈M D．f（x）∉M，g（x）∉M二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中．若b＝5，，sin A＝，则a＝．12．（5分）若f（x）＝x3﹣ax2+x在（﹣∞，+∞）不是单调函数，则a的范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝（sin x+cos x）sin x，x∈R，则f（x）的最小值是．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρcosθ＝5，则点（4，）到直线l的距离为．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，P AB是圆O的割线，若PT＝2，P A ＝1，∠P＝60o，则圆O的半径r＝．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知向量＝（，sinθ）与＝（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）求f（x）＝sin（2x+θ）的最小正周期和单调递增区间．17．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站．记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分．（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．18．（14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC＝∠CBD＝90°，AB＝AC，∠BCD＝30°，BC＝6．（1）证明：平面ADC⊥平面ADB；（2）求B到平面ADC的距离．19．（14分）已知在数列{a n}中，a1＝3，（n+1）a n﹣na n+1＝1，n∈N*．（1）证明数列{a n}是等差数列，并求a n的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．21．（14分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k＝1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．2015年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设i为虚数单位，则复数＝（）A．﹣4﹣3i B．﹣4+3i C．4+3i D．4﹣3i【解答】解：原式＝＝﹣4﹣3i，故选：A．2．（5分）已知集合A＝{（x，y）|x，y为实数，且y＝x2}，B＝{（x，y）|x，y为实数，且x+y＝1}，则A∩B的元素个数为（）A．无数个B．3C．2D．1【解答】解：由题意A∩B的元素即为y＝x2和x+y＝1的交点个数，联立消y并整理可得x2+x﹣1＝0，∵△＝12﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，∴方程组有2组解，即A∩B的元素个数为2故选：C．3．（5分）已知向量＝（1，2），＝（1，0），＝（4，﹣3）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ＝（）A．B．C．1D．2【解答】解：∵＝（1，2），＝（1，0），＝（4，﹣3）．∴+λ＝（1+λ，2）∵（+λ）⊥，∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得λ＝故选：B．4．（5分）若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题【解答】解：∵p是真命题，q是假命题，∴p∧q是假命题，选项A错误；p∨q是真命题，选项B错误；￢p是假命题，选项C错误；￢q是真命题，选项D正确．故选：D．5．（5分）已知等差数列{a n}，a6＝2，则此数列的前11项的和S11＝（）A．44B．33C．22D．11【解答】解：∵等差数列{a n}，a6＝2，∴数列的前11项的和S11＝＝＝11a6＝22故选：C．6．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．y＝sin x B．y＝ln（﹣x）C．y＝e x D．y＝ln【解答】解：A：y＝sin x，则有f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x为奇函数；B：y＝ln（﹣x），则有f（﹣x）＝ln（+x）≠f（x）不是偶函数；C：y＝e x，则有f（﹣x）＝e﹣x＝，为非奇非偶函数．D：y＝ln，则有F（﹣x）＝ln＝f（x）为偶函数故选：D．7．（5分）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为C；若俯视图为D，则正视图中上图中间还有一条虚线，故该几何体的俯视图不可能是D故选：D．8．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝3x﹣y的取值范围是（）A．B．C．[﹣1，6]D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z＝3x﹣y可得y＝3x﹣z，则﹣z为直线y＝3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小结合图形可知，当直线y＝3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大由可得B（，3），由可得C（2，0），z max＝6∴故选：A．9．（5分）已知f1（x）＝sin x+cos x，f n+1（x）是f n（x）的导函数，即f2（x）＝f1′（x），f3（x）＝f2′（x），…，f n+1（x）＝f n′（x），n∈N*，则f2015（x）＝（）A．sin x+cos x B．﹣sin x﹣cos x C．sin x﹣cos x D．﹣sin x+cos x【解答】解：∵f1（x）＝sin x+cos x，∴f2（x）＝f1′（x）＝cos x﹣sin x，f3（x）＝f2′（x）＝﹣sin x﹣cos x，f4（x）＝f3′（x）＝﹣cos x+sin x，f5（x）＝f4′（x）＝sin x+cos x，…，f n+4′（x）＝f n′（x），即f n′（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）＝f2014′（x）＝f2′（x）＝﹣sin x﹣cos x，故选：B．10．（5分）集合M由满足：对任意x1，x2∈[﹣1，1]时，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|的函数f（x）组成．对于两个函数f（x）＝x2﹣2x+2，g（x）＝e x，以下关系成立的是（）A．f（x）∈M，g（x）∈M B．f（x）∈M，g（x）∉MC．f（x）∉M，g（x）∈M D．f（x）∉M，g（x）∉M【解答】解：|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|可化为||≤4；即对任意x1，x2∈[﹣1，1]时，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4|x1﹣x2|可化为对任意x[﹣1，1]时，都有|f′（x）|≤4；f′（x）＝2x﹣2；当x[﹣1，1]时，|f′（x）|≤4恒成立；g′（x）＝e x，当x[﹣1，1]时，|g′（x）|≤4恒成立；故f（x）∈M，g（x）∈M；故选：A．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分.（一）必做题（11～13题）11．（5分）在△ABC中．若b＝5，，sin A＝，则a＝．【解答】解：在△ABC中．若b＝5，，sin A＝，所以，a＝＝＝．故答案为：．12．（5分）若f（x）＝x3﹣ax2+x在（﹣∞，+∞）不是单调函数，则a的范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【解答】解：∵y＝x3﹣ax2+x，∴y′＝x2﹣2ax+1，又函数y＝x3﹣ax2+x在R上不是单调函数，∴y′＝x2﹣2ax+1与x轴有二不同的交点（即y＝x3﹣ax2+x在R上有增区间，也有减区间），∴方程x2﹣2ax+1＝0有二异根，∴△＝4a2﹣4＞0，∴a＞1或a＜﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．13．（5分）已知函数f（x）＝（sin x+cos x）sin x，x∈R，则f（x）的最小值是．【解答】解：f（x）＝（sin x+cos x）sin x＝sin2x+sin x cos x＝＝＝＝．∴当sin（2x﹣）＝﹣1时，f（x）有最小值为．故答案为：．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，直线l的方程为ρcosθ＝5，则点（4，）到直线l的距离为3．【解答】解：直线l的方程为ρcosθ＝5，化为x＝5．点（4，）化为．∴点到直线l的距离d＝5﹣2＝3．故答案为：3．【几何证明选讲选做题】15．（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，P AB是圆O的割线，若PT＝2，P A＝1，∠P＝60o，则圆O的半径r＝．【解答】解：连接AT在△APT中，P＝60°，PT＝2，P A＝1，AT＝∴∠TAP＝90°，∴∠BAT＝90°，∴BT是圆的直径，∵PT是圆O的切线，P AB是圆O的割线，∴PT2＝P A•PB，∴△P AT∽△PTB∴∴BT＝2∴圆的半径是，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（12分）已知向量＝（，sinθ）与＝（1，cosθ）互相平行，其中θ∈（0，）．（1）求sinθ和cosθ的值；（2）求f（x）＝sin（2x+θ）的最小正周期和单调递增区间．【解答】解：（1）∵∥，∴sinθ•1﹣•cosθ＝0，∴tanθ＝；又∵θ∈（0，），∴θ＝，∴sinθ＝，cosθ＝；（2）∵f（x）＝sin（2x+θ）＝sin（2x+），∴最小正周期为T＝π；又∵﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；∴﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；∴f（x）的单调递增区间是[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．17．（12分）贵广高速铁路自贵阳北站起，经黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛山西站、广州南站共6个站．记者对广东省内的6个车站的外观进行了满意度调查，得分情况如下：已知6个站的平均得分为75分．（1）求广州南站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从广东省内前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．【解答】解：（1）由题意，得（70+76+72+70+72+x）＝75，解得x＝90．S2＝（52+12+32+52+32+152）＝49，所以s＝7（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有（怀集站，广宁站），（怀集站，肇庆东站），（怀集站，三水南站），（怀集站，佛山西站），（广宁站，肇庆东站），（广宁站，三水南站），（广宁站，佛三西站），（肇庆东站，三水南站），（肇庆东站，佛山西站），（三水南站，佛山西站）共10种，这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有广宁站．设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种，则P（A）＝＝．18．（14分）如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，∠BAC＝∠CBD＝90°，AB＝AC，∠BCD＝30°，BC＝6．（1）证明：平面ADC⊥平面ADB；（2）求B到平面ADC的距离．【解答】（本小题满分14分）（1）证明：∵面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD＝BC，BD⊂面BC，∴BD⊥面ABC．（3分）又AC⊂面ABC，∴BD⊥AC．（4分）又AB⊥AC，且BD∩AB＝B，∴AC⊥面ADB．（5分）又AC⊂面ADC，∴面ADC⊥面ADB．（6分）（2）解：在Rt△BCD中，BC＝6，∠BCD＝30°，∴BD＝BC×tan30°＝2，（7分）在等腰Rt△ABC中，BC＝6，∴AB＝AC＝3．（8分）由（1）知BD⊥面ABC，∴BD⊥AB，（9分）在Rt△ABD中，AB＝3，DB＝2，∴AD＝＝，（10分）又AC⊥面ADB，设B到面ADC的距离为h，由V C﹣ABD＝V B﹣ACD，（12分）得＝，（13分）解得h＝，即B到平面ADC的距离为．（14分）19．（14分）已知在数列{a n}中，a1＝3，（n+1）a n﹣na n+1＝1，n∈N*．（1）证明数列{a n}是等差数列，并求a n的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为T n，证明：T n＜．【解答】（1）证明：∵在数列{a n}中，a1＝3，（n+1）a n﹣na n+1＝1，n∈N*，∴（n+2）a n+1﹣（n+1）a n+2＝1，两式相减，得（2n+2）a n+1＝（n+1）（a n+2+a n），即2a n+1＝a n+2+a n所以数列{a n}是等差数列．由，得a2＝5，∴d＝a2﹣a1＝5﹣3＝2，故a n＝3+（n﹣1）×2＝2n+1．（2）证明：∵＝＝，∴T n＝[（）+（）+…+（）]＝＝．∴T n＜．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣+3（﹣1≤x≤2）．（1）若λ＝时，求函数f（x）的值域；（2）若函数f（x）的最小值是1，求实数λ的值．【解答】解：（1）（﹣1≤x≤2）设，得g（t）＝t2﹣2λt+3（）．当时，（）．所以，．所以，，故函数f（x）的值域为[，]．（2）由（1）g（t）＝t2﹣2λt+3＝（t﹣λ）2+3﹣λ2（）①当时，，令，得，不符合舍去；②当时，，令﹣λ2+3＝1，得，或，不符合舍去；③当λ＞2时，g（t）min＝g（2）＝﹣4λ+7，令﹣4λ+7＝1，得，不符合舍去．综上所述，实数λ的值为．21．（14分）已知函数f（x）＝ln（1+x）﹣，k∈R．（1）讨论f（x）的单调区间；（2）当k＝1时，求f（x）在[0，+∞）上的最小值，并证明+++…+＜ln（1+n）．【解答】解：（1）f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．＝，当k≤0时，f′（x）＞0在（﹣1，+∞）上恒成立，∴f（x）的单调递增区间是（﹣1，+∞），无单调递减区间．当k＞0时，由f′（x）＞0解得x＞k﹣1，由f′（x）＜0得﹣1＜x＜k﹣1，∴函数f（x）的单调递增区间是（k﹣1，+∞），单调递减区间是（﹣1，k﹣1）．（2）由（1）知，当k＝1时，f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴f（x）在[0，+∞）上的最小值为f（0）＝0．∴（x＞0），∴，即（n∈N*）．∴+…+＜（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+（ln（n+1）﹣lnn）＝ln（1+n）．。
肇庆市届高三模拟数学试题及答案(理)
肇庆市中小学教学质量评估 2014届高中毕业班第一次模拟考试数 学（理科）第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ={-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，集合M ={大于1-且小于4的整数}，则=M C U （ ）A ．φB ．{-2，-1，5，6}C ．{0，1，2，3，4}D ．{-2，-1，4，5，6}2．定义域为R 的四个函数21y x =+，3x y =， |1|y x =+，2cos y x =中，偶函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．13．设i 是虚数单位，1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-= ( )A 1B 3C ．1D ．1 【答案】A【解析】试题分析：由共轭复数概念可得1z i =-,则()()(2111111211z z z i i +-=+-++-==,故选A .考点：共轭复数 复数的模4．二项式91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是( )A ．84B ．-84C ．126D ．-1265．某四棱锥的三视图如图1所示（单位：cm ），则该四棱锥的体积是( )A ．273cm B ．93cm C ．3cm D ．3 3cm【答案】D【解析】试题分析：从三视图可以得到该几何体为四棱锥,且该四棱锥的底面为正方形且边长为3,从侧视图可得该四棱锥的高为1,所以该四棱锥的体积为133V Sh ==,故选D 考点：三视图 四棱锥体积6．若如图2所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是（ ）A ．3n ≥ B ．4n ≥ C ．5n ≥ D ．6n ≥【答案】B【解析】试题分析：首先执行程序到30S =,12340,01,0222,2263,62144,14230S n n S n S n S n S ====+===+===+===+=则应该填4n ≥,故选B . 考点：程序框图7．下列命题中，真命题是 ( )A ．R x ∈∃0，00≤x e；B ．R x ∈∀，22x x >；C ．“1,1a b >>”是“1ab >”的充分不必要条件；D ．设a ，b 为向量，则“||||||=⋅”是“b a //”的必要不充分条件 【答案】C【解析】试题分析：根据x y e =的值域为()0,+∞可得命题A 是假命题,当1x =-时,21212xx =<=,所以命题B是8．设向量),(21a a =，),(21b b =，定义一种向量积：),(),(),(22112121b a b a b b a a =⊗=⊗．已知向量)4,21(=m ，)0,6(π=n ，点P 在cos y x =的图象上运动，点Q 在()y f x =的图象上运动，且满足+⊗=（其中O 为坐标原点），则()y f x =在区间]3,6[ππ上的最大值是( ) A ．4 B ．2 C． D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13题） 9．函数232+-=x x y 的定义域为 ▲ .10．曲线1)(-=x e x f x在0x =处的切线方程为 ▲ .11．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则5a = ▲ . 【答案】16【解析】试题分析：因为{}n a 为等比数列,所以设数列的通项公式()110n n a a q q -=≠,则1112212311332166a a q a a q a a a a q a q +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨=+=+=⎩⎩⎩,即12n n a -=,所以515216a -==,故填16. 考点：等比数列12．在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≤-0206303y x y x y 所表示的平面区域内一动点，则线段|OP |的最小值等于 ▲ . 【答案】5103 【解析】试题分析：根据线性规划知识画出不等式组表示的可行域如下,则可以判断OP 的最小距离的是过点O 做直线360x y +-=的垂线段,即min 105OP ===. 考点：线性规划 距离最小13．已知集合A ={4}，B ={1，2}，C ={1，3，5}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中的点的坐标，则确定的不同点的个数为 ▲ . 【答案】3314．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的极坐标方程为2ρ=（0,02ρθπ>≤< ），曲线C 在点（2，4π）处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为 ▲ .15．（几何证明选讲选做题）如图3，△ABC 的外角平分线AD 交外接圆于D ，若DB ，则DC = ▲ .【答案】3 【解析】三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分） 已知向量)0),6(cos(π-=x ，)0,2(=，x R ∈，函数x f ⋅=)(.（1）求函数()f x 的表达式； （2）求()f π的值；（3）若56)32(=+παf ，)0,2(πα-∈，求(2)f α的值.17．（本小题满分13分）随机抽取某中学高一级学生的一次数学统测成绩得到一样本，其分组区间和频数是：[)60,50，2；[)70,60，7；[)80,70，10；[)90,80，x；[90，100]，2. 其频率分布直方图受到破坏，可见部分如下图4所示，据此解答如下问题.（1）求样本的人数及x的值；（2）估计样本的众数，并计算频率分布直方图中[80,90)的矩形的高；（3）从成绩不低于80分的样本中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望.【答案】(1)4x =,样本人数为25 (2)75 0.016 (3)23【解析】试题分析：（1）由题意得，分数在[50,60)之间的频数为2， 频率为0.008100.08⨯=，（1分）所以样本人数为2250.08n ==（人） （2分） x 的值为25(27102)4x =-+++=（人）. （4分）（2）从分组区间和频数可知，样本众数的估计值为75. （6分） 由（1）知分数在[80,90)之间的频数为4，频率为40.1625= （7分）所以频率分布直方图中[80,90)的矩形的高为0.160.01610= （8分） （3）成绩不低于80分的样本人数为4+2=6（人），成绩在90分以上(含90分)的人数为2人，所以ξ的取值为0，1，2. （9分）156)0(2624===C C P ξ，1142268(1)15C C P C ξ===，22261(2)15C P C ξ===，（10分） 所以ξ的分布列为：（11分）所以ξ的数学期望为68120121515153E ξ=⨯+⨯+⨯= （13分） 考点：组合数 期望 分布列 频率分布直方图 18．（本小题满分13分）如图5，在直三棱柱111ABC A B C -中，D、E 分别是BC 和1CC 的中点，已知AB =AC =AA 1=4，∠BAC =90︒.（1）求证：1B D ⊥平面AED ； （2）求二面角1B AE D --的余弦值； （3）求三棱锥1A B DE -的体积.【答案】(23)8 【解析】试题分析：法1:依题意，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz .因为1AB AC AA ==＝4，所以A （0，0，0），B （4，0，0），E （0，4，2），D （2，2，0），B 1（4，0，4）. （1分） （1）)4,2,2(1--=B ，)0,2,2(=，)2,4,0(=. （2分） 因为00441=++-=⋅B ，所以1B D AD ⊥，即1B D AD ⊥. （3分） 因为08801=-+=⋅B ，所以B ⊥1，即AE D B ⊥1. （4分） 又AD 、AE ⊂平面AED ，且AD ∩AE =A ，故1B D ⊥平面AED . （5分） （2）由（1）知)4,2,2(1--=D B 为平面AED 的一个法向量. （6分） 设平面 B 1AE 的法向量为),,(z y x =，因为)2,4,0(=，)4,0,4(1=AB ，所以由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001AB n ，得⎩⎨⎧=+=+044024z x z y ，令y =1，得x =2，z =-2.即)2,1,2(-=.（7分）∴662496||||,cos 111=⨯=⋅>=<D B n D B n ， （8分）∴二面角1B AE D --的余弦值为6（9分）由（1）得，AD ⊥平面B 1BCC 1，又DE ⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥DE . 在Rt △AED 中，5302=⋅=AE DE AD DM ， （8分）在Rt △B 1DM 中，55122211=+=DM D B M B ，所以66cos 11==∠M B DM MD B ，即二面角B 1—AE —D （9分）19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ，)1(1++=+n n S na n n . （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设n T 为数列{n na 2}的前n 项和，求n T ； （3）设211++=n n n n a a a b ，证明：321321<++++n b b b b.(3)把(1)得到的n a n =带入()()122122n b n n n =++,观察n b 的通项公式为分式,为求其前n 项和可以考虑利用裂项求和法.进行裂项()()()()()111181216112n b n n n n n n n ⎡⎤==-⎢⎥+++++⎣⎦,在进行求和就可以得到n b 的前n项和为()()11321612n n -++,利用()()11612n n ++非负即可证明原不等式. 试题解析：所以n n n n T 221121121---=， （8分） 故1242n n n T -+=-. （9分） （3）由（1），得])2)(1(1)1(1[161)2(2)1(221++-+=+⋅+⋅=n n n n n n n b n （12分）))2)(1(1)1(1431321321211(161321++-+++⨯-⨯+⨯-⨯=++++n n n n b b b b n ))2)(1(121(161++-=n n （13分） 321)2)(1(161321<++-=n n . （14分）考点：裂项求和 错位相减 不等式 20．（本小题满分14分）设双曲线C ：12222=-by a x （a >0，b >0）的一个焦点坐标为（3，0），离心率e = A 、B 是双曲线上的两点，AB 的中点M （1，2）. （1）求双曲线C 的方程； （2）求直线AB 方程；（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？（1）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧===33a ce c ，解得a =1. （1分） 所以222312b c a =-=-=， （2分）故双曲线C 的方程为2212y x -=. （3分） （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩. 两式相减得：121212121()()()()2x x x x y y y y -+=-+ ， （4分） 由题意得12x x ≠，221=+x x ，421=+y y ， （5分）所以1)(221212121=++=--y y x x x x y y ，即1=AB k . （6分）故直线AB 的方程为1y x =+. （7分）21．（本小题满分14分） 设函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->. （1）若函数)(x f 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a 的取值范围； （2）当a =1时，求函数)(x f 在区间[t ，t +3]上的最大值.【答案】(1)10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或 【解析】试题分析：（1）∵3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> ∴()2()1(1)()f x x a x a x x a '=+--=+-， （1分） 令()0f x '=，解得121,0x x a =-=> （2分） 当x 变化时，)(x f '，)(x f 的变化情况如下表：故函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（a ，+∞）；单调递减区间为（-1，a ）；（4分） 因此)(x f 在区间（-2，-1）内单调递增，在区间（-1，0）内单调递减，要使函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧<>-<-0)0(0)1(0)2(f f f ， （5分）解得103a <<， 所以a 的取值范围是（0，31）. （6分）（2）当a =1时，131)(3--=x x x f . 由（1）可知，函数)(x f 的单调递增区间为（-∞，-1），（1，+∞）；单调递减区间为（-1，1）；31)1()(-=-=f x f 极大值. （7分） ①当t +3<-1，即t <-4时，③当t +3>2，即t >-1时，由②得)(x f 在区间(]2,∞-上的最大值为31)1()2(-=-=f f . 因为)(x f 在区间（1，+∞）上单调递增，所以)2()3(f t f >+，故)(x f 在[],3t t +上的最大值为58331)3()(23m a x+++=+=t t t t f x f . （13分） 综上所述，当a =1时，)(x f 在[t ，t +3]上的最大值⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤--->-<+++=)14(31)14(58331)(23maxt t t t t t x f 或. （14分）考点：导数 最值 零点。
广东省肇庆市2014届高三上学期期末统一检测数学文试题(附答案)
肇庆市中小学教学质量评估2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（文科）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.参考公式：锥体的体积公式13V Sh =其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高台体的体积公式()1213V S S h =,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,1,2,}M =--，集合{N =大于2-且小于5的整数}，则M N =( )A. {1,1,2}-B.{1,0,1,2}-C.{2,1,1,2}--D. {2,1,0,1,2}-- 2．函数2()lg(1)x f x x -=-的定义域是（ ）A.[1,)+∞B. (1,)+∞C. [1,2)(2,)+∞ D. (1,2)(2,)+∞3．若34iz i =+（i 为虚数单位）则复数z 的共轭复数z =A ．43i -- B.43i -+ C.i 4+3 D.i 4-34.已知平面向量()1,2=-a , ()4,m =b , 且⊥a b , 则向量53-a b 是( )A ．(7,34)--B ．(7,16)--C ．(7,4)--D ．(7,14)-5．已知变量,x y 满足约束条件3111y x x y -≥⎧⎪-≤≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =+的最大值是( )A.4B. 5C. 14D. 156．执行如图1所示的程序框图．若4n =，则输出S 的值是（ ）A ．23- B. 5- C ．9 D ．117．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边长.已知6,4,120oa b C ===,则sin B =（ )A.721 B.1957C.383D.19- 8．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线l 的方程是（ ） A ．20x y -+= B. 20x y --= C. 20x y +-= D. 20x y ++= 9．某圆台的三视图如图2所示(单位：cm)，则该圆台的体积是A. 21π3cmB. 3cm C.33cm D. 7π 3cm10．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==,若对于任意11(,)x y M ∈,存在22(,)x y M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“好集合”.给出下列4个集合:①1{(,)|}M x y y x -== ②2{(,)|}M x y y x == ③{(,)|sin }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x == 其中所有“好集合”的序号是（ ）A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a = 12．若曲线2ln y kx x =+在点()1,k 处的切线与直线210x y +-=垂直，则k =______.13．已知直线220x y -+=过椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b+=>>>的左焦点1F 和一个顶点B.则该椭圆的离心率_____e =（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行于极轴的直线的极坐标方程为15.（几何证明选讲选做题）如图3，过O 外一点A 分别作切线AC 和割线AD ，C 为切点，,D B 为割线与O 的交点，过点B 作O 的切线交AC 于点E . 若BE AC ⊥，3,4BE AE ==，则_______DB =.三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知函数()2sin ,(0,)6f x x x R πωω⎛⎫=->∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π． (1) 求()0f 的值；(2) 若3cos ,,52πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求3f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17.（本小题满分12分）从一批柚子中，随机抽取100个，获得其重量（单位：克）数据按照区间[900,950)，[950,1000)，[1000,1050)，[1050,1100)进行分组，得到频率分布直方图,如图4.(1) 根据频率分布直方图计算抽取的100个柚子的重量众数的估计值.(2) 用分层抽样的方法从重量在[950,1000)和[1050,1100)的柚子中共抽取5个，其中重量在[1050,1100)的有几个？(3) 在（2）中抽出的5个柚子中，任取2个，求重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的概率．18. （本题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面ABC 为等腰直角三角形，90oACB ∠=，棱PA 垂直底面ABC ，4PA AB ==，34BD BP =，34CE BC =，F 是AB 的中点.（1）证明//DE 平面ABC ；（2）证明：BC ⊥平面P AC ；（3）求四棱锥C AFDP -的体积.19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足()111,21n n a a a n N *+==+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nS 为数列21n n a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求n S .（3）证明：()1231111153n n N a a a a *+++++<∈ 20. （本小题满分14分）已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的两个焦点分别为21,F F ,且221=F F ,点P 在椭圆上,且21F PF ∆的周长为6.过椭圆C 的右焦点的动直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点. (1)求椭圆C 的方程;(2)若线段AB 中点的横坐标为12,求直线l 的方程; (3) 若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦AB 的中点为P ,试求DP AB的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数32()4()f x x ax a R =-+-∈.（1）若2a =，求()f x 在[1,1]-上的最小值；（2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()0f x >，求a 的取值范围．肇庆市中小学教学质量评估 2013—2014学年第一学期统一检测题高三数学（文科）参考答案一、选择题：二、填空题：11．6- 12. 12 13. 552 14. sin ρθ= 15. 2451【解析】 {2,1,1,2,M =--，{1,0,1,2,3,4}N =-，所以{1,1,2}MN =-2【解析】 由1011x x ->⎧⎨-≠⎩得1x >且2x ≠3【解析】 344343iz i z i i+==-⇒=+ 4【解析】 ∵⊥a b ,∴4-202m m ∙==⇒=a b ,∴53(7,16)-=--a b5【解析】 “角点”坐标分别为(1,1),(1,4),(1,2),(1,1)A B C D --，max 213414z =⨯+⨯= 6【解析】 第一次循环：1(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环：3,3s i ==； 第三次循环：5,4s i =-=； 第四次循环：11,5s i ==，结束；输出11s =7【解析】 ∵2222cos 76c a b ab C =+-=，∴c =∵B b sin =Ccsin ,∴sinB=c C b sin =76234⨯=1957.8【解析】方程224440x y x y ++-+=经配方，得()()22224x y ++-=圆心坐标是(2,2)C -，半径长是2.圆224x y +=的圆心坐标是(0,0)O ，半径长是2.因为两圆关于直线l 对称，所以直线l 是线段OC 的垂直平分线.线段OC 的中点坐标是(1,1)M - ，直线OC 的斜率1k =- ,所以直线l 的斜率1l k =，方程是11y x -=+ ，即20x y -+=.9【解析】 圆台上底面积为11S ππ=⨯=，下底面积为2224S ππ=⨯=，高为3h == ，体积()()121143733V S S h πππ=+=⨯= 10【解析】对于①2121212121210()10(0)x x y y x x x x x x x +=+=⇒+=≠不成立，故选项A 、D 错；对于④，()1()ln (0)f x x x x ''==>，由1212121201y yx x y y x x +=⇒=-， 即12()()1f x f x ''=-，12111x x ⋅=- ，不成立. 故选项C 错；所以选B. 11【解析】设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6. 12【解析】112|21x y kx y k x =''=+⇒=+，由()121()12k +⨯-=-得12k = 13【解析】由220x y -+=得112y x =+,∴c b =21,即222c c a -=21. ∴22c a =45,e=a c =552.14．【解析】先将极坐标化成直角坐标表示，2,3P π⎛⎫⎪⎝⎭转化为点2cos1,3x π==2sin3y π==即(1,过点(且平行于x轴的直线为y =再化为极坐标为sin ρθ=15【解析】由条件得3CE BE ==，所以7AC =，又5AB ==，由切割线定理有2495AC AD AB ==，故4924555DB AD AB =-=-=三、解答题 16【解析】(1)由22ππω=，得1ω= (2分)∴()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭(3分)∴()102sin 02sin 21662f ππ⎛⎫=-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭ (5分)（2）∵3cos ,,52πθθπ⎛⎫=-∈⎪⎝⎭，∴4sin 5θ==， (7分)∴3f πθ⎛⎫-⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 666πππθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭(9分)431225252⎛⎫=⨯⨯+-⨯ ⎪⎝⎭=(12分) 17【解析】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于1025（克） (2分)（2）从图中可知，重量在[950,1000)的柚子数1(1000950)0.00410020n =-⨯⨯=（个） (3分)重量在[1050,1100)的柚子数2(10501100)0.00610030n =-⨯⨯=（个） (4分)从符合条件的柚子中抽取5个，其中重量在[1000,1050)的个数为2125530350n n n n =⨯=⨯=+ （个） (6分)（3）由（2）知，重量在[1050,1100)的柚子个数为3个，设为,,a b c ，重量在[950,1000)的柚子个数为2个，设为,d e ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,)a b a c a d a e ，(,),(,),b c b d(,),(,),(,),(,)b e c d c e d e 共10种 (9分)其中重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的事件有：(,),(,)a d a e ，(,),b d (,),(,),b e c d(,),(,)c e d e 共7种 (11分)所以，重量在[1050,1100)的柚子最多有1个的概率710P =. (12分) 18【解析】（1）证明：∵34BD BP =，34CE BC =，∴PD PE PB PC=，（1分）∴//DE BC （2分）又∵DE ⊂/平面ABC ，BC ⊂平面ABC ；∴//DE 平面ABC ；（3分）（2）证明：∵P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥P A . （4分） ∵90oACB ∠=，∴即BC ⊥AC . （5分） 又∵PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC . （7分）（3）∵ABC 为等腰直角三角形，F 是AB 的中点，∴1,22FC AB FC AB ⊥==， ∴BCF ∆的面积122BCF S CF BF ∆=⋅= （8分） 过D 作DG AB ⊥于F ，则//DG PA ，∴DG ⊥平面ABC ，且DG 三棱锥D BCF -的高，（9分）又34BD BP =，∴334DG PA ==， （10分）∴三棱锥D BCF -的体积1123233D BCF BCF V S DG -∆=⋅=⨯⨯=（11分） 又三棱锥P ABC -的体积1111116.424332323P ABC ABC V S PA AB CF PA -∆==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= （13分）∴四棱锥C AFDP -的体积1610233P ABC D BCF V V V --=-=-= （14分）19【解析】（1）121+=+n n a a ，)1(211+=+∴+n n a a (2分) 故数列}1{+n a 是首项为2，公比为2的等比数列。
2014年广东省肇庆市高考数学二模试卷(文科)
2014年广东省肇庆市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知i是虚数单位，x是实数，若复数（1+xi）（2+i）是纯虚数，则x=（）A.2B.C.-D.-2【答案】A【解析】解：∵复数（1+xi）（2+i）=（2-x）+（2x+1）i是纯虚数，∴，解得x=2．故选：A．利用复数的运算法则和纯虚数的意义即可得出．本题考查了复数的运算法则和纯虚数的意义，属于基础题．2.若函数y=|x|的定义域为M={-2，0，2}，值域为N，则M∩N=（）A.{-2，0，2}B.{0，2}C.{2}D.{0}【答案】B【解析】解：∵函数y=|x|的定义域为M={-2，0，2}，∴当x=-2时，y=2．当x=0时，y=0．当x=2时，y=2．∴值域N={0，2}，∴M∩N={-2，0，2}∩{0，2}={0，2}．故选：B．由函数的定义域求解函数y=|x|的值域，然后直接利用交集运算求解．本题考查交集及其运算，考查了函数定义域的求法，是基础题．3.已知sin（+α）=，α∈（0，），则sin（π+α）=（）A. B.- C. D.-【答案】D【解析】解：∵sin（+α）=cosα=，α∈（0，），∴sinα==，则sin（π+α）=-sinα=-．故选：D．已知等式利用诱导公式化简求出cosα的值，再由α的范围利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，原式利用诱导公式化简后将sinα的值代入计算即可求出值．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．4.已知向量=（1，2），=（x，y），则“x=-2且y=-4”是“∥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：若“∥”，则2x-y=0，当x=-2且y=-4时，满足2x-y=0，∴“x=-2且y=-4”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．根据向量平行的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量平行的坐标公式是解决本题的关键．5.若如图所示的程序框图输出的S是62，则在判断框中M表示的“条件”应该是（）A.n≥3B.n≥4C.n≥5D.n≥6【答案】C【解析】解：根据框图的流程得：算法的功能是计算S=2+22+…+2n的值，∵输出的S是62，∴S==2n+1-2=62⇒n=5，∴退出循环体的n值为5，∴判断框的条件为n≥5或n＞4，故选：C．根据框图的流程知：算法的功能是计算S=2+22+…+2n的值，由输出的S是62，得退出循环体的n值为5，由此得判断框的条件．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能，确定退出循环的n 值是关键．6.已知圆锥的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，则此圆锥的表面积是（）A.4πB.8πC.D.12π【答案】D【解析】解：此几何体是一个圆锥，由正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，可得其底面半径为2，表面积为π×22+π×2×4=12π，故选：D由三视图及题设条件知，此几何体为一个的圆锥，由正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，可知此圆锥的半径与母线长，进面可得圆锥的表面积．本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是圆锥的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．7.已知直线l：y=x+b，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1，则b=（）A. B.- C.± D.±2【答案】C【解析】解：∵圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1，∴圆心（0，0）到直线的距离等于半径的一半，即=1，解得b=±，故选：C．由题意可得圆心（0，0）到直线的距离等于半径的一半，即=1，解得b的值．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，判断圆心（0，0）到直线的距离等于半径的一半是解题的关键，属于中档题．8.若函数f（x）=1-2sin2（x+）（x∈R），则f（x）是（）A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为的偶函数D.最小正周期为的奇函数【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=1-2sin2（x+）=cos（2x+）=-sin2x（x∈R），∴f（x）是奇函数，且周期为=π，故选：B．利用二倍角公式化简函数的解析式为f（x）=-sin2x，从而求得函数的奇偶性和周期性．本题主要考查二倍角公式的应用，正弦函数的奇偶性和周期性，属于中档题．9.已知实数a≠0，函数，＜，，若f（1-a）=f（1+a），则a的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：∵a≠0，f（1-a）=f（1+a）当a＞0时，1-a＜1＜1+a，则f（1-a）=2（1-a）+a=2-a，f（1+a）=-（1+a）-2a=-1-3a ∴2-a=-1-3a，即a=-（舍）当a＜0时，1+a＜1＜1-a，则f（1-a）=-（1-a）-2a=-1-a，f（1+a）=2（1+a）+a=2+3a ∴-1-a=2+3a即综上可得a=-故选A由a≠0，f（1-a）=f（1+a），要求f（1-a），与f（1+a），需要判断1-a与1+a与1的大小，从而需要讨论a与0的大小，代入可求本题主要考查了分段函数的函数值的求解，解题的关键是把1-a与1+a与1的比较，从而确定f（1-a）与f（1+a），体现了分类讨论思想的应用．10.定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）A.0B.6C.12D.18【答案】D【解析】解：当x=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=6，当x=1，y=3时，z=12，故所有元素之和为18，故选D根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知等比数列{a n}满足a1+a2=4，a2+a3=8，则a5= ______ ．【答案】【解析】解：∵等比数列{a n}满足a1+a2=4，a2+a3=8，∴，解得，q=2，∴a5==．故答案为：．由已知条件利用等比数列的性质推导出，由此求出，q=2，从而能求出a5．本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．12.函数y=xe x的极小值为______ ．【答案】【解析】解：求导函数，可得y′=e x+xe x，令y′=0可得x=-1令y′＞0，可得x＞-1，令y′＜0，可得x＜-1∴函数在（-∞，-1）上单调减，在（-1，+∞）上单调增∴x=-1时，函数y=xe x取得极小值，极小值是．故答案为：．求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极小值．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，属于基础题．13.设不等式组所表示的平面区域为D，若直线y=k（x+3）与D有公共点，则k的取值范围是______ ．【答案】[，]【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：y=k（x+3）过定点P（-3，0），由图象可知当直线经过点A（0，4）时，直线的斜率最大，此时k=，当直线经过点C时，直线的斜率最小，由，解得，即C（2，2），此时k=，∴k的取值范围是[，]，故答案为：[，]．作出不等式组对应的平面区域，利用k的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的突破．14.已知C的参数方程为（t为参数），C在点（0，3）处的切线为l，若以直角坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为______ ．【答案】ρsinθ=3【解析】解：∵C的参数方程为（t为参数），化为普通方程是x2+y2=9；∴圆C在点（0，3）处的切线l的方程是y=3；∴l的极坐标方程为ρsinθ=3．故答案为：ρsinθ=3．把C的参数方程化为普通方程，求出曲线C在点（0，3）处的切线l的方程，再化为极坐标方程．本题考查了参数方程与极坐标方程和普通方程的互相转化问题，解题时可以先化为普通方程，再解答问题，这样以免出错．15.如图，在△ABC中，AB=BC，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，BD=4，CD=2，则AC的长等于______ ．【答案】【解析】解：∵CD是圆的切线，∴∠BCD=∠A；又∠D=∠D，∴△BCD∽△CAD，∴，∵BD=4，CD=2，∴AD=7，AB=3，∵，AB=BC=3∴，∴AC=故答案为：．根据弦切角定理发现∠BCD=∠A，结合公共角发现△BCD∽△CAD，利用对应边成比例，即可得出结论．本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定和性质．三、解答题(本大题共6小题，共80.0分)16.为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下2×2列联表：（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率．【答案】解：（1）∵＞，（2分）∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．（4分）（2）男生抽取的人数有：（人）（5分）女生抽取的人数有：（人）（6分）（3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a，b，c，女生抽取的人数为2人，设为d，e，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e）共10种．（8分）其中满足条件的基本事件有：（a，d），（a，e），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e）共6种，（10分）∴恰有一男一女的概率为P==．（12分）【解析】（1）利用公式求出k2，与临界值比较，即可得出结论；（2）求出比例，即可确定男生和女生抽取的人数；（3）确定所有基本事件、满足条件的基本事件，即可求恰有一男一女的概率．本题考查独立性检验的应用，考查概率的求解，正确运用公式是关键．17.已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b1=2a1=2，b4=16，a1+a2+a11=b1+b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=（2a n-1）b n，求数列{c n}的前n项和S n．【答案】（本小题满分13分）解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q．由，得，从而q=2，（2分）∴，即．（4分）由，得，（6分）∴d=1，（7分）∴a n=a1+（n-1）d=1+（n-1）×1=n，即a n=n．（8分）（2）（9分）∴（10分）两边同乘以2，得，（11分）两式相减得（12分）==（3-2n）•2n+1-6∴．（13分）【解析】（1）由，推导出q=2，由此能求出．由a1+a2+a11=b1+b2+b3，推导出d=1，从而求出a n=n．（2）由，利用错位相减法能求出．本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减求和法的合理运用．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB=60°．侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点．（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求三棱锥G-CDP的体积；（3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．【答案】解：（1）证明：连结BD．∵ABCD为棱形，且∠DAB=60°，∴△ABD为正三角形．又G为AD的中点，∴BG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BG⊥平面PAD．（2）∵G为正三角形PAD的边AD的中点，∴PG⊥AD．又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PG⊥平面ABCD．∵正三角形PAD的边长为2，∴．在△CDG中，CD=2，DG=1，∠CDG=120°，∴．故．（3）当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD．取PC的中点F，连结DE，EF，DF，CG，且DE与CG相交于H．∵E、G分别为BC、AD的中点，∴四边形CDGE为平行四边形．故H为CG的中点．又F为CP的中点，∴FH∥PG．由（2），得PG⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD．又FH⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面ABCD．【解析】（1）首先，证明△ABD为正三角形，然后，根据三角形的性质，得到BG⊥AD，最后，根据平面PAD⊥平面ABCD，得到BG⊥平面PAD；（2）先证明PG⊥平面ABCD，然后，求解PG的长，最后，利用椎体的体积公式进行求解；（3）先写出结论：当F为PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD，然后，结合取中点，构造平行四边形，证明FH⊥平面ABCD，最后，利用面面垂直的判定定理得证．本题综合考查了空间中：线线平行、线面垂直、面面垂直等定理的应用，三角形的有关性质及其应用，本题中多次出现了中点问题，这在高考中经常出现，处理中点问题的方法口诀为：有中点，连中点，立马得到中位线；无中点，取中点，相连得到中位线．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B=，且a，b，c成等比数列．（1）求的值；（2）若accos B=12，求a+c的值．【答案】解：（1）依题意，b2=ac，由正弦定理及，得．．（2）由accos B=12知cos B＞0．由，得．（舍去负值）从而，．由余弦定理，得b2=（a+c）2-2ac-2accos B．代入数值，得．解得：．【解析】（1）先根据题意得到b2=ac，结合正弦定理得到．，将化为弦的形式，然后通分得到=，最后．代入即可得到答案．（2）先根据accos B=12知cos B＞0，再由sin B的值求出cos B的值，最后根据余弦定理可确定a，c的关系，从而确定答案．本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用．正余弦定理是解三角形的基础，对于其公式一定要熟练掌握并能够熟练应用．20.已知双曲线C的两个焦点坐标分别为F1（-2，0），F2（2，0），双曲线C上一点P 到F1，F2距离差的绝对值等于2．（1）求双曲线C的标准方程；（2）经过点M（2，1）作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．（3）已知定点G（1，2），点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|+|DG|的最小值．【答案】（本小题满分14分）解：（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，（2分）∴其虚半轴长，（3分）又其焦点在x轴上，∴双曲线C的标准方程为．（4分）（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则（5分）两式相减，得3（x1-x2）（x1+x2）-（y1-y2）（y1+y2）=0，（6分）∵M（2，1）为AB的中点，∴，（7分）∴12（x1-x2）-2（y1-y2）=0，∴．（8分）∴AB所在直线l的方程为y-1=6（x-2），即6x-y-11=0．（9分）（3）由已知，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，（10分）∴|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号．（11分）∵，（12分）∴，（13分）∴|DF1|+|DG|的最小值为．（14分）【解析】（1）由已知条件推导出双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，焦点在x轴上，由此能求出双曲线C的标准方程．（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），利用点差法能求出AB所在直线l的方程．（3）由已知，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，当且仅当G，D，F2三点共线时，|DF1|+|DG|的最小值．由此能求出这个最小值．本题考查双曲线方程的求法，考查直线方程的求法，考查两线段和的最小值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21.已知函数f（x）=a（x-）-2lnx，a∈R．（1）若a=1，判断函数f（x）是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=-．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）当a=1时，，其定义域为（0，+∞）．∵′，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）不存在极值．（2）函数的定义域为（0，+∞）．′，当a≤0时，∵f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞0时，当x∈（0，+∞）时，方程f'（x）=0与方程ax2-2x+a=0有相同的实根，△=4-4a2=4（1-a2），①当0＜a＜1时，△＞0，可得，，且0＜x1＜x2，∴x∈（0，x1）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（0，x1）上单调递增；∴x∈（x1，x2）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（x1，x2）上单调递减；∴x∈（x2，+∞）时，f'（x）＞0，所以f（x）在（x2，+∞）上单调递增；②当a≥1时，△≤0，∴f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增．综上，当a≤0时，f（x）的单调减区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）的单调增区间为，与，∞；单调减区间为，；当a≥1时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）．（3）由存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，得ax0＞2lnx，即＞，令F（x）=，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”，∵′，且当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，∴F（x）在[1，e]上单调递增，故F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．【解析】（1）利用求极值的方法，先求导，再判断函数f（x）单调性，然后判断是否存在极值；（2）求含有参数的f（x）的单调区间，需要分类讨论；（3）本命题等价于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，设F（x）=f（x）-g（x），F（x）=F（1）=0，从而求得a的取值范围．min本题主要考查了函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．。
肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练四(文)
肇庆市第一中学2013-2014学年第二学期高三年级数学二轮专题训练四数 学（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1. 已知集合{}0,1S =，集合{}0T =，∅表示空集，那么ST =（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0,1}D ．{0,1,0} 2. 命题“存在实数x ，使210x x +-<”的否定为（ ）A ．对任意实数x ，都有210x x +-≥B ．不存在实数x ，使210x x +-≥C ．对任意实数x ，都有210x x +-<D ．存在实数x ，使210x x +-≥3. 双曲线221169x y -=的离心率为（ ） A ．53 B ．54 C ．35 D ． 454. 直线40y +=与圆22(2)(1)9x y -++=的位置关系是（ ）A ．相切B ．相交且直线不经过圆心C ．相离D ．相交且直线经过圆心 5. 已知(3,1)a =-，(1,)b x =，若a b ⊥，则x 等于（ ）A ．2B ．3 D 6. 函数()()2log 31xf x =-的定义域为（ ）A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．[)0,+∞D ． ()0,+∞7. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若125a a +=，349a a +=，则10S 为（ ）A ．55 B ．60 C ．65 D ．708. 已知函数sin()(0,||)2y x πωϕωϕ=+><的部分图像如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π9．已知,m n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，给出下列4个命题：①若,//,//m n m n αα⊂则 ②若,//,m n m n αα⊥⊥则 ③若,,//m m αβαβ⊥⊥则 ④若//,//,//m n m n αα则 其中真命题的序号为（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 10. 设D 是正123PP P ∆及其内部的点构成的集合，点0P 是123PPP ∆的中心，若集合0{|,||||,1,2,3}i S P P D PP PP i =∈≤=.则集合S 表示的平面区域是（ ） A ．三角形区域 B ．四边形区域 C ．五边形区域 D ．六边形区域二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分） （一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11.复数2(1)i -的虚部为__________．12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.13.设变量,x y 满足约束条件01030y x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为_________.（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
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肇庆市中小学教学质量评估 2014届高中毕业班第二次模拟考试数 学（文科）本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B 铅笔将准考证号涂黑.2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上或草稿纸上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效. 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=. )(2k K P ≥与k 对一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知i 是虚数单位，x 是实数，若复数(1)(2)xi i ++是纯虚数，则x =A ．2B ．12 C ．12- D ．2-2．若函数||x y =的定义域为M ={-2，0，2}，值域为N ，则M ∩N =A ．{-2，0，2}B ．{0，2}C ．{2}D ．{0}3．已知53)2sin(=+απ，)2,0(πα∈，则=+)sin(απA ．35B ．35-C ．45D ．45-4．已知向量(1,2),(,)x y ==a b ，则“2x =-且4y =-”是“a //b ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．若如图1所示的程序框图输出的S 是62，则在判断框中M 表示的“条件”应该是 A . 3n ≥ B . 4n ≥C . 5n ≥D . 6n ≥6．已知圆锥的正视图和侧视图都是边长为4的等边三角形，则此圆锥的表面积是A ．4πB ．8πC ．83πD ．12π 7.已知直线l ：b x y +=，圆224x y +=上恰有3个点到直线l 的距离都等于1，则b =AB． C． D ．2± 8．若函数)4(sin 21)(2π+-=x x f （R x ∈），则()f x 是 A ．最小正周期为π的偶函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为2π的奇函数 9．已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为A ．34-B ．34C ．35-D ．3510．定义集合运算：A ⊙B =｛z | z = xy (x+y )，x ∈A ，y ∈B ｝，设集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，则集合A ⊙B 的所有元素之和为A ．0B ．6C ．12D ．18二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）11．已知等比数列{}n a 满足122348a a a a +=+=，，则5a = ▲ . 12．函数()xf x xe =的最小值为 ▲ .13．设不等式组042x x y y ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的平面区域为D ，若直线(3)y k x =+与D 有公共点，则k 的取值范围是 ▲.（ ） ▲14．（坐标系与参数方程选做题）已知C 的参数方程为3cos 3sin x ty t=⎧⎨=⎩(t 为参数)，C 在点（0，3）处的切线为l ，若以直角坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的图2极坐标方程为 ▲ .15.（几何证明选讲选做题）如图2，在ABC ∆中，AB =BC ，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ， BD =4，72=CD ，则AC 的长等于 ▲ ．三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生，得到如下22⨯列联表：（1）根据独立性检验的基本思想，约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”？（2）若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人，则男生和女生抽取的人数分别是多少？（3）在（2）的条件下，从中随机抽取2人，求恰有一男一女的概率. 17．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且1122b a ==，416b =，1211123a a a b b b ++=++.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）数列{}n c 满足(21)n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n S .18．（本小题满分13分）如图3，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且∠DAB =60︒. 侧面P AD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD ，G 为AD 边的中点.（1）求证：BG ⊥平面P AD ； （2）求三棱锥G —CDP 的体积；（3）若E 为BC 边的中点，能否在棱PC 上找到一点F ， 使平面DEF ⊥平面ABCD ，并证明你的结论.PABDGE图319．（本小题满分14分）在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知135sin =B ，且a 、b 、c 成等比数列.（1）求CA tan 1tan 1+的值； （2）若12cos =B ac ，求c a +的值. 20．（本小题满分14分）已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为12(2,0),(2,0)F F -，双曲线C 上一点P 到12,F F 距离差的绝对值等于2.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）经过点M （2，1）作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线l 的方程.（3）已知定点G （1，2），点D 是双曲线C 右支上的动点，求1DF DG +的最小值． 21．（本小题满分14分）已知函数x xx a x f ln 2)1()(--=，R a ∈．（1）若a =1，判断函数()f x 是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（2）求函数)(x f 的单调区间； （3）设函数xax g -=)(．若至少存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立，求实数a 的取值范围．肇庆市2014届高中毕业班第二次模拟考试数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题二、填空题11．364 12．e 1- 13．[52，34] 14．3sin =θρ 15．273三、解答题16.（本小题满分12分）解：（1）∵22200(30906020) 6.061 5.0249011050150K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， （2分）∴约有97.5%以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”. （4分） （2）男生抽取的人数有：30533020⨯=+（人） （5分） 女生抽取的人数有：20523020⨯=+（人） （6分） （3）由（2）可知，男生抽取的人数为3人，设为a ，b ，c ，女生抽取的人数为2人，设为d ，e ，则所有基本事件有：(,),(,),(,),(,),a b a c a d a e (,),(,),(,),b c b d b e (,),(,),(,)c d c e d e 共10种.（8分）其中满足条件的基本事件有：(,),(,),a d a e (,),(,),b d b e (,),(,)c d c e 共6种， (10分) 所以，恰有一男一女的概率为63105p ==. （12分）17.（本小题满分13分）解：（1）设{}n a 的公差为d ,{}n b 的公比为q .由341b b q =，得3411682b q b ===，从而2q =， （2分） 因此111222n n n n b b q--==⨯=，即n n b 2=. （4分）由121112311a a a b b b a ++=++⎧⎨=⎩，得11311141a d a +=⎧⎨=⎩， （6分）所以1d =， （7分） 故1(1)1(1)1n a a n d n n =+-=+-⨯=，即n a n =. （8分） （2）(21)(21)2nn n n c a b n =-=-⋅ （9分） 所以231123252(23)2(21)2n nn S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅（10分）两边同乘以2，得1322)12(2)32(23212+⋅-+⋅-++⨯+⨯=n nn n n S（11分） 两式相减得34112222(21)2n n n S n ++-=++++--⋅ （12分）3112(12)2(21)212n n n -+⋅-=+--⋅- 1(32)26n n +=-⋅-所以1(23)26n n S n +=-⋅+. （13分）18.（本小题满分13分） （1）证明：连结BD .因为ABCD 为棱形，且∠DAB =60°，所以∆ABD 为正三角形. （1分） 又G 为AD 的中点，所以BG ⊥AD . （2分） 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ， （3分） ∴BG ⊥平面P AD . （4分） （2）因为G 为正三角形P AD 的边AD 的中点，所以PG ⊥AD . 又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，所以PG ⊥平面ABCD . （5分） 因为正三角形P AD 的边长为2，所以3=PG . （6分）在∆CDG 中，CD =2，DG =1，∠CDG =120°， 所以23232121=⨯⨯⨯=∆CDG S . （7分） 故2123331=⨯⨯==--CDG P CDP G V V . （8分） （3）当F 为PC 的中点时，平面DEF ⊥平面ABCD . （9分） 取PC 的中点F ，连结DE ，EF ，DF ，CG ，且DE 与CG 相交于H .因为E 、G 分别为BC 、AD 的中点，所以四边形CDGE 为平行四边形. （10分） 故H 为CG 的中点. 又F 为CP 的中点，所以FH //PG . （11分） 由（2），得PG ⊥平面ABCD ，所以FH ⊥平面ABCD . （12分） 又FH ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面ABCD . （13分）19.（本小题满分14分）解：（1）由a 、b 、c 成等比数列，得ac b =2. （1分） 由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=. （3分）所以513sin sin sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 12==+=+=+B B C A C A C C A A C A . （7分） （2）由12cos =B ac ，得0cos >B . （8分）又135sin =B ，所以1312sin 1cos 2=-=B B . （9分） 所以13cos 122===Bac b . （10分）由余弦定理，得B ac ac c a B ac c a b cos 22)(cos 22222--+=-+=，（13分） 代入数值，得)13121(132)(132+⨯-+=c a ，解得73=+c a . （14分）20.（本小题满分14分）解：（1）依题意，得双曲线C 的实半轴长为a =1，焦半距为c =2， （2分） 所以其虚半轴长322=-=a cb ， （3分）又其焦点在x 轴上，所以双曲线C 的标准方程为1322=-y x . （4分）（2）设A 、B 的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=-333322222121y x y x （5分） 两式相减，得121212123()()()()0x x x x y y y y -+--+=， （6分）因为M （2，1）为AB 的中点，所以⎩⎨⎧=+=+242121y y x x ， （7分）所以0)(2)(122121=---y y x x ，即62121=--=x x y y k AB . （8分）故AB 所在直线l 的方程为)2(61-=-x y ，即0116=--y x . （9分） （3）由已知，得122DF DF -=，即122DF DF =+， （10分） 所以12222DF DG DF DG GF +=++≥+，当且仅当2,,G D F 三点共线时取等号.（11分）因为2GF == （12分）所以22222DF DG GF ++≥+=， （13分） 故1DFDG +2. （14分）21.（本小题满分14分） 解：（1）当1a =时，x xx x f ln 21)(--=，其定义域为（0，+∞）. 因为0)1(211)(22≥-=-+='x x x xx f ， （1分） 所以)(x f 在（0，+∞）上单调递增， （2分） 所以函数()f x 不存在极值. （3分） （2）函数x xx a x f ln 2)1()(--=的定义域为(0,)+∞．22222)11()(xax ax x x a x f +-=-+=' 当0a ≤时，因为0)(<'x f 在（0，+∞）上恒成立，所以)(x f 在（0，+∞）上单调递减. （4分） 当0a >时，当),0(+∞∈x 时，方程0)(='x f 与方程022=+-a x ax 有相同的实根. （5分）)1(44422a a -=-=∆①当01a <<时，∆>0，可得a a x 2111--=，aa x 2211-+=，且210x x <<因为),0(1x x ∈时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),0(1x 上单调递增； （6分） 因为),(21x x x ∈时，0)(<'x f ，所以)(x f 在),(21x x 上单调递减； （7分） 因为),(2+∞∈x x 时，0)(>'x f ，所以)(x f 在),(2+∞x 上单调递增； （8分） ②当1≥a 时，0≤∆，所以0)(>'x f 在（0，+∞）上恒成立，故)(x f 在（0，+∞）上单调递增. （9分） 综上，当0a ≤时，)(x f 的单调减区间为（0，+∞）；当01a <<时，)(x f 的单调增区间为)11,0(2a a --与),11(2+∞-+a a ；单调减区间为)11,11(22aa a a -+--；当1≥a 时，)(x f 的单调增区间为（0，+∞）. （10分）（3）由存在一个],1[0e x ∈，使得)()(00x g x f >成立， 得002ln ax x >，即02ln x a x >. （11分） 令2ln ()xF x x=，等价于“当],1[e x ∈ 时，m in )(x F a >”. （12分） 因为22(1ln )()x F x x-'=，且当],1[e x ∈时，()0F x '≥， 所以()F x 在[1,e]上单调递增， （13分） 故min ()(1)0F x F ==，因此0a >. （14分）。