北师大版初三数学之中考动点问题专题训练
北师大数学中考一轮复习动点问题
第13讲动点问题知识点1 动点问题中的函数图象本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。
【典例】例1如图1，在矩形MNPO中，动点R从点N出发，沿N→P→O→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则矩形MNPO的周长是（）A．11B．15C．16D．24例2如图，菱形ABCD中，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．例3如图，已知直线y=34x﹣3与x轴、y轴分别交于A、B两点，P在以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结P A、PB，则△P AB面积的最大值是．例4反比例函数y＝（x＜0，k＜0）和y＝（x＜0）的图象如图所示，点P（m，0）是x 轴上一动点，过点P作直线AB⊥x轴，交两图象分别于A、B两点．（1）若m＝﹣1，线段AB＝9时，求点A、B的坐标及k值；（2）雯雯同学提出一个大胆的猜想：“当k一定时，△OAB的面积随m值的增大而增大．”你认为她的猜想对吗？说明理由．例5如图，在平面直角坐标系中，直线y=−34x+15分别交x轴、y轴于点A，B，交直线y=12x于点M．动点C在直线AB上以每秒3个单位的速度从点A向终点B运动，同时，动点D以每秒a个单位的速度从点O沿OA的方向运动，当点C到达终点B时，点D同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求点A的坐标和AM的长．（2）在点C的整个运动过程中，①求点C的坐标（用含t的代数式表示）．②若a＝2，以C为直角顶点作等腰直角△CDE（点C，D，E按逆时针顺序排列）．当OM与△CDE的一边平行时，求所有满足条件的t的值．【随堂练习】1．点P（x，y）在第一象限内，且x+y＝4，点A的坐标为（4，0），设△OP A的面积为s，则下列图象中，能正确反映s与x之间的函数关系式的图象是（）A．B．C．D．2．在Rt△ABC中．∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝6，点D是AC边上一动点，过点D作DE ⊥BC，垂足为E．作DF∥CB，交AB于点F．四边形DEBF的面积S与线段DE之间关系的图象大致是（）A．B．C．D．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，当∠PCB＝∠BCO时，求点P的横坐标．4．如图1，直线y=−34x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，AB平分∠OAD交x轴于点B．（1）求OB的长；（2）如图2，G，F是直线AB上的两点（点E在点F上方），若△DEF是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上点，点Q是直线AD上的动点，点G是x轴上的动点，且以点P、Q、D、G为顶点的四边形是菱形，直接写出点G的坐标．知识点2 动点与存在性问题在探究平行四边形的存在性问题时，具体方法如下：（1）假设结论成立；（2）探究平行四边形存在问题一般是已知平行四边形的3个顶点，再去求另外一个顶点，具体方法有两种：第一种是：①从给定的3个顶点中任选2个定点确定的线段作为探究平行四边形的边或对角线分别作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；第二种是：①以给定的3个定点两两组合成3条线段，分别以这3条线段为对角线作出平行四边形；②根据题干要求找出符合条件的平行四边形；（3）建立关系式，并计算；根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后，可以利用平行四边形的性质进行计算，也可以利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算，要具体情况具体分析，有时也可以利用直线的解析式联立方程组，由方程组的解为交点坐标的方法求解.【典例】例1如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1与反比例函数y＝的图象在第四象限相交于点A（2，﹣1），一次函数的图象与x轴相交于点B．（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；（2）当一次函数值小于反比例函数值时，请直接写出x的取值范围是；（3）点C是第二象限内直线AB上的一个动点，过点C作CD∥x轴，交反比例函数y＝的图象于点D，若以O，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点C的坐标为．例2如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3），D（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△P AB面积大时，试求出点P的坐标，并求出△P AB面积的最大值；（3）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过点M 作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．例3如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【随堂练习】1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接BC，OA＝1，OB＝5，点D是此抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上C，D两点之间的距离是；（3）①点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值；②在①的条件下，当△BCE的面积最大时，P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP，探究EM+MP+PB是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．综合运用1．如图，菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别在线段BO，AO上，且PQ ∥AB．以PQ为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段AC，BD上，设BP＝x，新作菱形的面积为y，则反映y与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．2．如图1，点A 是⊙O 上一定点，圆上一点P 从圆上一定点B 出发，沿逆时针方向运动到点A ，运动时间是x （s ），线段AP 的长度是y （cm ）．图2是y 随x 变化的关系图象，则点P 的运动速度是（ ）A ．1cm /sB ．√2cm /sC ．π2cm /sD ．3π2cm /s3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，AD ＝3cm ，点E 是AB 的中点，点P 沿E ﹣A ﹣D ﹣C 以1cm /s 的速度运动，连接CE 、PE 、PC ，设△PCE 的面积为ycm 2，点P 运动的时间为t 秒，则y 与x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x．△P AB面积为y，若y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为（）A．36B．54C．72D．815．如图，正方形ABDE的边长为4cm，点F是对角线AD、BE的交点，△BDC是等腰直角三角形，∠BDC＝90°．动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D时停止．设点P运动x（秒）时，△AFP的面积为y（cm2），则能够反映y 与x之间函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．6．如图，点A（﹣1，0），点P是射线AO上一动点（不与O点重合），过点P作直线y＝x 的平行线交y轴于C，过点P作x轴的垂线交直线y＝x于B，连结AB，AC，BC．（1）当点P在线段OA上且AP＝PC时，AB：BC＝．（2）当△ABC与△OPC相似时，P点的横坐标为．7．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+6√2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（0，2√2），点D在x轴上，CD＝AB．（1）点E在CD上，其横坐标为4√2，点F、G分别是x轴、y轴上的动点，连接EF，将△DEF沿EF翻折得△D′EF，点P是直线BD上的一个动点，当|P A﹣PC|最大时，求PG+GD′的最小值；（2）将CD绕点D逆时针旋转90°得直线C′D，点M、N分别是直线C′D与直线AB 上的动点，当△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点M的坐标．8．如图，抛物线y＝ax2+43x+c的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），连接AC．点P是x轴上的动点．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AC于点D，E为y轴上一点，连接AE，BE，当AD ＝BE时，求AD+AE的最小值；（3）点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，使得以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．9．已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式．（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．第13讲动点问题知识点1 动点问题中的函数图象本讲例举了以三角形、四边形、圆为背景的因点运动而产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系，能够依据题意，在所给出的函数图象中，找准临界点，数形结合，分段思考问题；如果是选择题，综合给出的所有选项，找到异同点，深入分析，快速找到正确选项。
北师大版九年级数学高频考点培优讲义(1)(动点最值问题专题)(无答案)
北师大版九年级数学高频考点培优讲义（1）（动点最值问题专题）一、选择题。
1.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE交BC于点D，垂足为E，M为DE上任意一点，BA＝3，AC＝4，BC＝6，则△AMC周长的最小值为（）A．7 B．6 C．9 D．102.如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝9的点P的个数是（）A．0 B．4 C．6 D．83.如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（）A．40°B．45°C．105°D．55°4.如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为（）A．3+2B．4+3C．2+2D．105.如图，在△ABC中，AC＝BC＝10，∠ACB＝4∠A，BD平分∠ABC交AC于点D，点E，F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（）A．2 B．4 C．5 D．66.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A．0.5 B．2.5 C．D．17.如图，已知直线y＝kx+2k分别交x轴和y轴于A，B两点，以AB为边作等边△ABC（A，B，C三点逆时针B排列），D，E两点坐标分别为（﹣6，0），（﹣1，0），连接CD，CE，则CD+CE的最小值为（）A．6 B．5+C．6.5 D．78.如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）A．1.5 B． C． D．29.如图所示，∠MON＝45°，Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，当A、B分别在射线OM、ON上滑动时，OC的最大值为（）A．12B．14 C．16 D．1410.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段 BO´，有下列结论∶①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°;④＝6＋3; ⑤＋＝6＋，其中正确的结论是（ )A. ①②③⑤B. ①②③④C. ①②③④⑤D. ①②③二、填空题。
动点问题(综合测试)(北师版)(含答案)
动点问题（综合测试）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=16厘米，BC=8厘米．动点P自点C 沿线段CA以2厘米/秒的速度向点A运动，同时动点Q自点B沿线段BA以1厘米/秒的速度向点A运动，当P运动到点A时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）点P和点Q运动的时间范围是( )A.0≤t≤4B.0≤t≤8C.0≤t≤12D.0≤t≤16答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）线段PQ的长可用含t的式子表示为( )A.PQ=8-tB.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦12时，PQ=t-8C.当0≦t≦8时，PQ=t-8；当8<t≦12时，PQ=8-tD.当0≦t≦8时，PQ=8-t；当8<t≦16时，PQ=t-8答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.（上接第1，2题）（3）若某一时刻PQ=6厘米，则此时t的值为( )A.2B.14C.12D.2或14答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知：如图，等边三角形ABC的边长为6，动点P从点A出发沿AB-BC方向以每秒1个单位的速度运动，运动到点C时停止运动．连接AP，CP．设点P运动时间为t秒．请回答下列问题：（1）当点P在线段BC上运动时，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤6B.6≤t≤12C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.（上接第4题）（2）当点P运动到线段BC上时，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.t-6；12-tB.t；6-tC.t；t-6D.12-t；t-6答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.（上接第4，5题）（3）若某一时刻△ACP的面积是△ABC面积的，则此时t的值为( )A.2B.4或8C.2或10D.4或14答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知：如图，在△ABC中，AB=AC=18，BC=12，点D为AB的中点．点P在线段BC上以每秒3个单位的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点以每秒a个单位的速度匀速运动，连接DP，QP．设点P的运动时间为t秒，解答下列问题：（1）根据点P的运动，对应的t的取值范围为( )A.0≤t≤4B.0≤t≤6C.0≤t≤12D.0≤t≤18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第7题）（2）根据点P的运动，线段BP，PC的长可用含t的式子分别表示为( )A.at；3tB.3t；atC.12-3t；3tD.3t；12-3t答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.（上接第7，8题）（3）若某一时刻△BPD与△CQP全等，则t的值与相应的CQ的长为( )A.t=2，CQ=9B.t=1，CQ=3或t=2，CQ=9C.t=1，CQ=3或t=2，CQ=6D.t=1，CQ=3答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第7，8，9题）（4）若某一时刻△BPD≌△CPQ，则a=( )A. B.2C.3D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
北师大版九年级下册 第四章 相似三角形动点问题解答题专题(含解析)
2019-2020相似三角形动点问题解答题专题（含解析）一、解答题1．（2018·江苏初三月考）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB 于点D ．点P 从点D 出发，沿线段DC 向点C 运动，点Q 从点C 出发，沿线段CA 向点A 运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P 运动到C 时，两点都停止．设运动时间为t 秒．（1）求线段CD 的长；（2）当t 为何值时，△CPQ 与△ABC 相似？（3）是否存在某一时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3？若存在，求出t 的值，若不存在，请说明理由．2．如图1，已知在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC cm =，3BC cm =，点P 由B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1/cm s ；点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2/cm s ；连结PQ .若设运动的时间为()()02t s t <<，解答下列问题：（1）当t 为何值时，PQ BC ？（2）设AQP ∆的面积为()2y cm ，求y 与t 之间的函数关系式.（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，说明理由.（4）如图2，连结PC ，并把PQC ∆沿QC 翻折，得到四边形'PQP C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形'PQP C 为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.3．（2018·江苏初三期末）如图，直线AB 分别与两坐标轴交于点A （6，0），B （0，12），点C 的坐标为（3，0）（1）求直线AB 的解析式；（2）在线段AB 上有一动点P ．①过点P 分别作x ，y 轴的垂线，垂足分别为点E ，F ，若矩形OEPF 的面积为16，求点P 的坐标． ②连结CP ，是否存在点P ，使△ACP 与△AOB 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2018·江西初二期末）如图，在平面直角坐标系可中，直线y＝x+1与y＝﹣34x+3交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点．(1)求点A，B，C的坐标；(2)在直线AB上是否存在点E使得四边形EODA为平行四边形？存在的话直接写出BEAE的值，不存在请说明理由；(3)当△CBD为等腰三角形时直接写出D坐标．5．（2018·山东初三期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=12cm，点P由B 出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度均为1cm/s．以AQ、PQ为边作▱AQPD，连接DQ，交AB于点E．设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤6）．解答下列问题：（1）当t 为何值时，▱AQPD 为矩形．（2）当t 为何值时，▱AQPD 为菱形．（3）是否存在某一时刻t ，使四边形AQPD 的面积等于四边形PQCB 的面积，若存在，请求出t 值，若不存在，请说明理由．6．（2019·广东初三期末）如图，在平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A 出发在线段AO 上以每秒2cm 的速度向原点O 运动，动直线EF 从x 轴开始以每秒lcm 的速度向上平行移动（即EF ∥x 轴），分别与y 轴、线段AB 交于点E 、F ，连接EP 、FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．（1）求t=9时，△PEF 的面积；（2）直线EF 、点P 在运动过程中，是否存在这样的t 使得△PEF 的面积等于40cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；（3）当t 为何值时，△EOP 与△BOA 相似．7．（2018·全国初三期中）如图，已知在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点A 、D ），连接PC ，过点P 作PE PC ⊥交AB 于E ．()1在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC QE ⊥？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由；()2当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围．8．（2019·福建初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l ：142y x =-+ 与x 轴.y 轴交于B ，A 两点，点D ，C 分别为线段AB ，OB 的中点，连结CD ，如图，将△DCB 绕点B 按顺时针方向旋转角α，如图．(1)连结OC ，AD ，求证OBC V ∽ABD △；(2)当0°<α<180°时，若△DCB 旋转至A ，C ，D 三点共线时，求线段OD 的长；(3)试探索：180°<α<360°时，是否还有可能存在A ，C ，D 三点共线的情况，若存在，求出此直线的表达式；若不存在，请说明理由．9．（2019·四川初三月考）如图，在ABC ∆中，20BA BC cm ==，30AC cm =，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当x 为何值时，//PQ BC ；（2）是否存在某一时刻，使APQ CQB ∆∆？若存在，求出此时AP 的长；若不存在，请说理由； （3）当10CQ =时，求APQABQ S S ∆∆的值．10．（2018·浙江初三期中）如图，在△ABC 中，BA =BC =20cm ，AC =30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，设运动时间为x 秒．（1）当CQ =10时，求 △△ 的值．（2）当x 为何值时，PQ ∥BC ；（3）是否存在某一时刻，使△APQ ∽△CQB ？若存在，求出此时AP 的长，若不存在，请说明理由．11．（2018·河南初三期末）如图，已知矩形OABC ，以点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C （0，3），点P 以每秒1个单位的速度从点C 出发在射线CO 上运动，连接BP ，作BE ⊥PB 交x 轴于点E ，连接PE 交AB 于点F ，设运动时间为t 秒．（1）当t=2时，求点E 的坐标；（2）若AB 平分∠EBP 时，求t 的值.（3）在运动的过程中，是否存在以P 、O 、E 为顶点的三角形与△ABE 相似．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．（2019·四川初三期中）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，点A 、C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），34BC AC =． （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，如P 、Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP=DQ=m ，问是否存在这样的m 使得以点A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．13．如图，在矩形ABCD 中，4AB CD cm ==，6AD BC cm ==，3AE DE cm ==，点P 从点E 出发，沿EB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CD 方向匀速运动，速度为2cm/s ，连接PQ ，设运动时间为t （s ）（02t <<），解答下列问题：PQ BC？（1）当t为何值时，//（2）设四边形PBCQ的面积为y（cm2），求y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形PBCQ的面积是四边形PQDE的面积的4倍？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由.（4）连接BD，点O是BD的中点，是否存在某一时刻t，使P，O，Q在同一直线上？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由.14．（2019·河南初二期末）如图，正方形ABCD 的边长为8，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF⊥AE 于F．（1）请判断△PFA 与△ABE 是否相似，并说明理由；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．15．（2018·江苏初三期末）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C 是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右作正方形CDEF，连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，设OD＝t．（1）求FEOE的值；（2）用含t的代数式表示△OAB的面积S；（3）是否存在点B，使以B，E，F为顶点的三角形与△OEF相似？若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，AB⊥DB于点B，CD⊥DB于点D，AB=6，CD=4，BD=14．则在DB上是否存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与P、B、A为顶点的三角形相似，如果存在求出DP的长，如果不存在，说明理由．17．（2018·重庆初三期末）如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．（1）x为何值时，PQ∥BC；（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由；18．（2019·陕西省宝鸡市第一中学初三期中）如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．19．（2018·山东初三期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm．点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s．过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t为何值时，点Q在线段AC的中垂线上；（2）写出四边形PQAM的面积为S（cm2）与时间t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）当t为何值时，△APQ与△ADC相似．20．（2019·西安交通大学附属中学初三月考）已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ＝90°，点A ，C 的坐标分别为A （﹣3，0），C （1，0），BC ＝34AC （1）求过点A ，B 的直线的函数表达式；（2）在x 轴上找一点D ，连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点D 的坐标； （3）在（2）的条件下，如P ，Q 分别是AB 和AD 上的动点，连接PQ ，设AP ＝DQ ＝m ，问是否存在这样的m ，使得△APQ 与△ADB 相似？如存在，请求出m 的值；如不存在，请说明理由．21．（2019·重庆初三期末）已知，把Rt ABC 和Rt DEF 按图1摆放，点C 与E 点重合，点B 、C 、E 、F 始终在同一条直线上，ACB EDF 90∠∠==，DEF 45∠=，AC 8=，BC 6=，EF 10=，如图2，DEF 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB 方向匀速移动，同时，点P 从A 出发，沿AB 以每秒1个单位向点B 匀速移动，AC 与DEF 的直角边相交于Q ，当P 到达终点B 时，DEF 同时停止运动连接PQ ，设移动的时间为()s 解答下列问题：()1DEF 在平移的过程中，当点D 在Rt ABC 的AC 边上时，求AB 和t 的值；()2在移动的过程中，是否存在APQ 为等腰三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．22．（2019·山东中考模拟）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝4cm ，AD ＝3cm ，动点M 、N 分别从D 、B 同时出发，都以1cm/秒的速度运动，点M 沿DA 向点终点A 运动，点N 沿BC 向终点C 运动．过点N 作NP ⊥BC ，交AC 于点P ，连接MP ，已知运动的时间为t 秒（0＜t ＜3）．（1）当t ＝1秒时，求出PN 的长；（2）若四边形CDMP 的面积为s ，试求s 与t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t 使四边形CDMP 的面积与四边形ABCD 的面积比为3：8，若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．（4）在点M 、N 运动过程中，△MPA 能否成为一个等腰三角形？若能，试求出所有t 的可能值；若不能，试说明理由．23．（2018·山东初三期中）如图，已知Rt ABC 中，C 90∠=，AB 10cm =，AC 8cm =．如果点P 由B 出发沿BA 方向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为2cm /s ．连接PQ ，设运动的时间为t （单位：s ）(0t 4)<≤．解答下列问题：()1当t为何值时PQ平行于BC；()2当t为何值时，APQ与ABC相似？()3是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的周长平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．()4是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．24．（2019·江苏初三期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D从点C出发，以2 cm/s的速度沿折线C→A→B向点B运动，同时点E从点B出发，以1 cm/s的速度沿BC边向点C运动，设点E运动的时间为t（单位：s）（0＜t＜8）.(1) 当△BDE是直角三角形时，求t的值；(2)若四边形CDEF是以CD、DE为一组邻边的平行四边形，①设它的面积为S，求S关于t的函数关系式；②是否存在某个时刻t，使平行四边形CDEF为菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.25．（2019·山东中考模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝5cm，BD＝8cm，动点P从点B开始沿BC 边匀速运动，动点Q从点D开始沿对角线DB匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s，过点Q作QE⊥CD，与CD交于点E，连接PQ，点P和点Q同时出发，设运动时间为t（s），0＜t≤5．（1）当PQ ∥CD 时，求t 的值；（2）设四边形PQEC 的面积为S （cm 2），求S 与t 之间的函数关系式；（3）当P ，Q 两点运动到使∠PQE ＝60°时，求四边形PQEC 的面积；（4）是否存在某一时刻t ，使PQ +QE 的值最小？若存在，请求t 的值，并求出此时PQ +QE 的值；若不存在，请说明理由．26．（2019·昆山市第二中学初二期末）如图，已知Rt ABC ∆中，90,6,8C AC BC ∠=︒==，点P 以每秒1个单位的速度从A 向C 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从B 向A 方向运动，Q 到达A 点后，P 点也停止运动，设点,P Q 运动的时间为t 秒. (1)求P 点停止运动时，BP 的长;(2) ,P Q 两点在运动过程中，点E 是Q 点关于直线AC 的对称点，是否存在时间t ，使四边形PQCE 为菱形?若存在，求出此时t 的值;若不存在，请说明理由.(3) ,P Q 两点在运动过程中，求使APQ ∆与ABC ∆相似的时间t 的值.27．（2018·福建初三期中）已知：如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=3cm，AC=33cm，点P 由B点出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；点Q由A点出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为3cm/s；若设运动的时间为t(s)(0＜t＜3)，解答下列问题：(1)如图①，连接PC，当t为何值时△APC∽△ACB，并说明理由；(2)如图②，当点P，Q运动时，是否存在某一时刻t，使得点P在线段QC的垂直平分线上，请说明理由；(3)如图③，当点P，Q运动时，线段BC上是否存在一点G，使得四边形PQGB为菱形？若存在，试求出BG长；若不存在请说明理由．28．（2018·榆树市第四小学校初三期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15．(1)如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若S△ABC＝9S△DHQ，则HQ＝____．(2)如图2，折叠△ABC 使点A 落在BC 边上的点M 处，折痕交AC 、AB 分别于E 、F ．若FM ∥AC ，求证：四边形AEMF 是菱形；(3)在(1)(2)的条件下，线段CQ 上是否存在点P ，使得△CMP 和△HQP 相似？若存在，求出PQ 的长；若不存在，请说明理由．29．（2018·全国初三期中）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=，2AB AC ==，点D 为BC 边上的动点（D 不与B 、C 重合），AD ∠45E =，DE 交AC 于点E ．（1）BAD ∠与CDE ∠的大小关系为________．请证明你的结论；（2）设BD x =，AE y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当ADE 是等腰三角形时，求AE 的长；（4）是否存在x ，使DCE 的面积是ABD 面积的2倍？若存在，求出x 的值，若不存在，请说明理由．30．（2018·山东初三期中）如图，菱形ABCD 的边长为5 厘米，对角线BD 长8厘米．点P 从点A 出发沿AB 方向匀速运动，速度为1厘米秒；点Q 从点D 出发沿DB 方向匀速运动，速度为2 厘米/秒：P、Q 同时出发，当点Q与点B重合时，P、Q停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？（2）当t为何值时，△PBQ的面积等于菱形ABCD面积的3 10？（3）连接AQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠PQA=∠ABD？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理虫：（4）直线PQ 交线段BC于点M，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使BM：CM=2：3？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．31．（2019·广东初三期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：（1）①BQ＝，BP＝；（用含t的代数式表示）②设△PBQ的面积为y（cm2），试确定y与t的函数关系式；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．32．（2018·四川初三期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、点D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程x2﹣18x+72＝0的两根（OA＞OC），BE＝5，OB=43 OA．(1)求点A、点C的坐标；(2)求直线CD的解析式；(3)在x轴上是否存在点P，使点C、点E、点P为顶点的三角形与△DCO相似？若存在，请求出点P的坐标；如不存在，请说明理由．33．（2018·四川初三期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，0），点B（0，3），点P 从点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点A出发沿AO方向向点O匀速运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ．若设运动的时间为t秒（0＜t＜2）．（1）求直线AB的解析式；（2）设△AQP的面积为y，求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把△AOB的周长和面积同时平分？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）连接PO，并把△PQO沿QO翻折，得到四边形PQP′O，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′O为菱形？若存在，请求出此时点Q的坐标和菱形的边长；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）CD＝245；（2）t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）不存在，见解析.【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AB＝10，进利用面积法求出CD；（2）先表示出CP，再判断出∠ACD＝∠B，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论；（3）先判断出△CEQ∽△CDA，得出QE CQAD AC=，进而表示出QE＝45t，再分当S△CPQ＝25S△ACD时，和当S△CPD＝35S△ACD时，利用面积建立方程求解即可得出结论．【详解】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB ＝22AC BC+＝2286+＝10，∵S△ABC＝12AC•BC＝12AB•CD，∴CD＝AC BCAB⋅＝8610⨯＝245，（2）由（1）知，CD＝245，由运动知，CQ＝t，DP＝t，∴CP＝CD﹣DP＝245﹣t，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，1∴∠ACD＝∠B，∵△CPQ与△ABC相似，∴①△CPQ∽△BCA，∴CP CQ BC AB=，∴245610t t-=，∴t＝3②△CPQ∽△BAC，∴CP CQ AB BC=，∴245106t t-=∴t＝95，即：t为3秒或95秒时，△CPQ与△ABC相似；（3）假设存在，如图，在Rt△ACD中，根据勾股定理得，AD ＝22AC CD-＝222485⎛⎫- ⎪⎝⎭＝325，过点Q作CE⊥CD于E，∴QE∥AD，∴△CEQ∽△CDA，∴QE CQ AD AC=，∴3258QEt ， ∴QE ＝45t ， ∵S △CPQ ＝12CP•QE ＝12（245﹣t ）•45t ，∴S △ACD ＝12AD•CD ＝12×325×245， ∵PQ 分△ACD 的面积为2：3，∴①当S △CPQ ＝25S △ACD 时， ∴12（245﹣t ）•45t ＝25×12×325×245，∴25t 2﹣120t+384＝0，而△＝1202﹣4×25×384＝14400﹣38400＜0， 此方程无解，即：此种情况不存在，②当S △CPD ＝35S △ACD 时，12（245﹣t ）•45t ＝35×12×325×245， ∴25t 2﹣120t+576＝0，而△＝1202﹣4×25×576＝14400﹣57600＜0， 此方程无解，即：此种情况不存在，即：不存在某时刻，使得PQ 分△ACD 的面积为2：3．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．2．（1）107t =；（2）2335y t t =-+；（3）不存在，见解析；（4）存在，边长为5059. 【解析】 【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出三角形APQ 和三角形ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC ，根据P ，Q 的速度，可以用时间t 表示出AQ ，BP 的长，而AB 可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP ，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t 的值．（2）求三角形APQ 的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ 可以根据Q 的速度和时间t 表示出来．关键是高，可以用AP 和∠A 的正弦值来求．AP 的长可以用AB-BP 求得，而sinA 就是BC ：AB 的值，因此表示出AQ 和AQ 边上的高后，就可以得出y 与t 的函数关系式．（3）如果将三角形ABC 的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ ，那么可以用t 表示出CQ ，AQ ，AP ，BP 的长，那么可以求出此时t 的值，我们可将t 的值代入（2）的面积与t 的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC 面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻． （4）我们可通过构建相似三角形来求解．过点P 作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥BC 于N ，那么PNCM 就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN 和三角形ABC 相似，得出关于BP ，PN ，AB ，AC 的比例关系，即可用t 表示出PN 的长，也就表示出了MC 的长，要想使四边形PQP′C 是菱形，PQ=PC ，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC ，这样有用t 表示出的AQ ，QM ，MC 三条线段和AC 的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC 来求出t 的值．求出了t 就可以得出QM ，CM 和PM 的长，也就能求出菱形的边长了． 【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，先求得5AB =.由题意知：5AP t =-，2AQ t =，若PQBC ，则APQ ABC ∆∆，由AQ AP AC AB =，可求得107t =.（2）如图3，过点P 作PH AC ⊥于H ，由APH ABC ∆∆，得PH AP BC AB =，可求得335PH t =-， ∴11323225y AQ PH t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯- ⎪⎝⎭2335t t =-+.（3）若PQ 把ABC ∆的周长平分，则AP AQ BP BC CQ +=++.∴()()52342t t t t -+=++-，解得：1t =.若PQ 把ABC ∆的面积平分，则12APQ ABC S S ∆∆=，即23335t t -+=.把1t =代入上面的方程不成立，∴不存在这一时刻t ，使线段PQ 把Rt ACB ∆的周长和面积同时平分.（4）如图4，过点P 作PM AC ⊥于M ，PN BC ⊥于N ，若四边形'PQP C 是菱形，则PQ PC =. ∵PM AC ⊥于M ， ∴QM CM =.∵PN BC ⊥于N ，易知PBN ABC ∆∆.∴PN BPAC AB=， ∴45PN t=， ∴45tPN =， ∴45t QM CM ==， ∴442455t t t ++=，解得：109t =. ∴当109t =时，四边形'PQP C 是菱形.此时37353PM t =-=，4859CM t ==，在Rt PMC ∆中，2249645059819PC PM CM =+=+=， ∴菱形'PQP C 的边长为5059.【点睛】本题考查相似形，解题关键在于熟练掌握计算法则.3．（1）y=﹣2x+12；（2）①点P （2，8）或（4，4）；②存在，点P 的坐标为（3，6）或点P （275，65） 【解析】试题分析：（1）由于A （6，0），B （0，12），利用待定系数法即可求出直线AB 的解析式； （2）①可以设动点P （x ，﹣2x +12），由此得到PE =x ，PF =﹣2x +12，再利用矩形OEPF 的面积为16即可求出点P 的坐标；②存在，分两种情况：第一种由CP ∥OB 得△ACP ∽△AOB ，由此即可求出P 的坐标；第二种CP ⊥AB ，根据已知条件可以证明APC ∽△AOB ，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求出P A ，再过点P 作PH ⊥x 轴，垂足为H ，由此得到PH ∥OB ，进一步得到△APH ∽△ABO ，然后利用相似三角形的对应边成比例就可以求出点P 的坐标．解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，如图1：依题意，，∴，∴y=﹣2x+12；（2）①设动点P （x，﹣2x+12），则PE=x，PF=﹣2x+12，∴S▭OEPF=PE•PF=x（﹣2x+12）=16，∴x1=2，x2=4；经检验x1=2，x2=4都符合题意，∴点P（2，8）或（4，4）；②存在，分两种情况∵A（6，0），B（0，12），∴OA=6，OB=12，AB=6第一种：CP∥OB，∴△ACP∽△AOB，而点C的坐标为（3，0），∴点P（3，6）；第二种CP⊥AB，∵∠APC=∠AOB=90°，∠PAC=∠BAO，∴△APC∽△AOB，∴，∴，∴AP=，如图2，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，∴PH∥OB，∴△APH∽△ABO，∴，∴，∴PH=，AH=，∴OH=OA﹣AH=6﹣=，∴点P（，）．∴点P的坐标为（3，6）或点P（，）．点睛：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，熟练运用相似三角形的性质与判定以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．4．(1)A(87，157)，B(﹣1，0)，C(4，0)；(2)存在，BEAE=14；(3)点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【解析】【分析】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立求得方程组的解可得到点A的坐标，然后将y＝0代入函数解析式求得对应的x的值可得到点B、C的横坐标；(2)当OE∥AD时，存在四边形EODA为平行四边形，然后依据平行线分线段成比例定理可得到BE AE=OB OC；(3)当DB＝DC时，点D在BC的垂直平分线上可先求得点D的横坐标；即AC与y轴的交点为F，可求得CF＝BC＝F，当点D与点F重合或点D与点F关于点C对称时，三角形BCD为等腰三角形，当BD＝BC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，从而可求得点D的横坐标．【详解】(1)将y＝x+1与y＝﹣34x+3联立得：1334y xy x=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：x＝87，y＝157，∴A(87，157)．把y＝0代入y＝x+1得：x+1＝0，解得x＝﹣1，∴B(﹣1，0)．把y＝0代入y＝﹣34x+3得：﹣34x+3＝0，解得：x＝4，∴C(4，0)．(2)如图，存在点E使EODA为平行四边形．∵EO∥AC，∴BEAE=OBOC=14．(3)当点BD＝DC时，点D在BC的垂直平分线上，则点D的横坐标为32，将x＝32代入直线AC的解析式得：y＝158，∴此时点D的坐标为(32，158)．如图所示：FC＝22OF OC＝5，∴BC＝CF，∴当点D与点F重合时，△BCD为等腰三角形，∴此时点D的坐标为(0，3)；当点D与点F关于点C对称时，CD＝CB，∴此时点D的坐标为(8，﹣3)，当BD＝DC时，设点D的坐标为(x，﹣34x+3)，依据两点间的距离公式可知：(x+1)2+(﹣34x+3)2＝25，解得x＝4(舍去)或x＝﹣125，将x＝﹣125代入y＝﹣34x+3得y＝245，∴此时点D的坐标为(﹣125，245)．综上所述点D的坐标为(﹣125，245)或(8，﹣3)或(0，3)或(32，158)．【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，利用平行线分线段成比例定理求解是解答问题(2)的关键；分类讨论是解答问题(3)的关键．5．(1) 当t=时，▱AQPD是矩形；(2) 当t=时，□AQPD是菱形；(3)【解析】【分析】（1）利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值；（2）利用菱形的对角线相互垂直平分解答；（3）过点P作PM⊥AC于M．先表示出△APQ的面积和S四边形PQCB=S△ABC﹣S△APQ，进而建立方程即可得出结论．【详解】解：（1）如图2，当▱AQPD是矩形时，PQ⊥AC，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC∴=，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，=,即，t-t解之t=，∴当t=时，▱AQPD是矩形；（2）当▱AQPD是菱形时，DQ⊥AP，AE=AP则cos∠BAC==，由运动知，QA=t，BP=t，∴AP=AB﹣BP=12﹣t，AE=6﹣t，∴t=t解之t=，所以当t=时，□AQPD是菱形；（3）存在时间t，使四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积．在Rt△ABC中，根据勾股定理得，BC=4，如图3，过点P作PM⊥AC于M．则=，=，即t故PM=（12﹣t）．∴S△APQ=AQ×PM=×t×（12﹣t），∴S=S△ABC﹣S△APQ=×4×8﹣×t×（12﹣t），四边形PQCB∵四边形AQPD的面积等于四边形PQCB的面积，∴2××t×（12﹣t）=×4×8﹣×t×（12﹣t），∴t=（舍）或t=.【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是用方程的思想解决问题．6．（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=80 11.【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=•EF•OE．t=9时，OE=9，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则EF OA =BEBO，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．【详解】解：（1）∵EF∥OA，∴∠BEF=∠BOA又∵∠B=∠B，∴△BEF∽△BOA，∴EFOA=BEBO，当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，∴EF=20615=8，∴S△PEF=12EF•OE=12×8×9=36（cm2）；（2）∵△BEF∽△BOA，∴EF=BE OABO⋅=()15t2015-⋅=43（15-t），∴12×43（15-t）×t=40，整理，得t2-15t+60=0，∵△=152-4×1×60＜0，∴方程没有实数根．∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值；（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，∴OPOA=OEOB，即202t20-=t15，解得t=6；当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，∴OPOB=OEOA，即202t15-=t20，解得t=80 11．∴当t=6或t=8011时，△EOP与△BOA相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式等知识点，要注意最后一问中，要分对应角的不同来得出不同的对应线段成比例，从而得出运动时间的值．不要忽略掉任何一种情况．7．（1）当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=；（2）BE 的取值范围是728BE ≤<． 【解析】 【分析】（1）假设存在符合条件的Q 点，由于PE ⊥PC ，且四边形ABCD 是矩形，易证得△APE ∽△DCP ，可得AP•PD=AE•CD ，同理可通过△AQE ∽△DCQ 得到AQ•QD=AE•DC ，则AP•PD=AQ•QD ，分别用PD 、QD 表示出AP 、AQ ，将所得等式进行适当变形即可求得AP 、AQ 的数量关系．（2）由于BE 的最大值为AB 的长即2，因此只需求得BE 的最小值即可；设AP=x ，AE=y ，在（1）题中已经证得AP•PD=AE•CD ，用x 、y 表示出其中的线段，即可得到关于x 、y 的函数关系式，根据函数的性质即可求得y 的最大值，由此可求得BE 的最小值，即可得到BE 的取值范围． 【详解】()1假设存在这样的点Q ；∵PE PC ⊥，∴90APE DPC ∠+∠=，∵90D ∠=，∴90DPC DCP ∠+∠=， ∴APE DCP ∠=∠， 又∵90A D ∠=∠=， ∴APE DCP ∽， ∴AP AEDC DP=， ∴AP DP AE DC ⋅=⋅；同理可得AQ DQ AE DC ⋅=⋅；∴AQ DQ AP DP ⋅=⋅，即()()33AQ AQ AP AP ⋅-=⋅-，∴2233AQ AQ AP AP -=-，∴2233AP AQ AP AQ -=-，∴()()()3AP AQ AP AQ AP AQ +-=-；∵AP AQ ≠，∴3AP AQ +=∵AP AQ ≠，∴32AP ≠，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在．当P 不是AD 的中点时，总存在这样的点Q 满足条件，此时3AP AQ +=．()2设AP x =，AE y =，由AP DP AE DC ⋅=⋅可得()32x x y -=，∴()221131393()222228y x x x x x =-=-+=--+， ∴当32x =（在03x <<范围内）时，98y =最大值； 而此时BE 最小为78，又∵E在AB上运动，且2AB=，∴BE的取值范围是72 8BE≤<．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数最值的应用；（1）题中，通过两步相似得到与所求相关的乘积式，并能正确地进行化简变形是解决此题的关键．8．（1）详见解析；（2）229.（3）存在，44.3y x=-+【解析】【分析】（1）先确定出点A，B坐标，进而求出BC，CD，即可判断出△OBC∽△ABD；（2）先确定出△ACB≌△BOA，进而判断出平行四边形AOBC是矩形，利用勾股定理即可得出结论；（3）先求出1255OC=，进而利用勾股定理求出点C的坐标（245，125-），最后用待定系数法即可得出结论．【详解】解：(1)由142y x=-+得A(0，4),B(8，0)，则OA=4，OB=8，∵AD=BD,OC=BC∴122CD OA==，BC=4，1.2BD AB=∵∠ABO=∠DBC,∴∠ABO+∠ABC=∠DBC+∠ABC. ∴∠OBC=∠ABD，。
第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练2022-2023学年北师大版数学九年级上册
北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形——动点问题专题训练1.如图1，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a，点P是底边BC上的一个动点，PD//AC，PE//AB．(1)用a表示四边形ADPE的周长为．(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由．(3)如图2，如果△ABC不是等腰三角形，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形(不必说明理由)．2.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN//BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角平分线于点F．(1)求证：OE=OF；(2)若CE=8，CF=6，求OC的长；(3)若点O为AC中点，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．3.阅读以下材料，并按要求完成相应的任务，如图(1)，已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点M是BC边的中点，过点M作ME//AC交BD于点E，作MF//AC交AC于点F，我们称四边形OEMF为四边形ABCD的“伴随四边形”．(1)若四边形ABCD是菱形，则其“伴随四边形”是______，若四边形ABCD是矩形，则其“伴随四边形”是______(在横线上填特殊平行四边形的名称)；(2)如图(2)，若四边形ABCD是矩形，M是BC延长线上的一个动点，其他条件不变，点F落在AC的延长线上，请写出线段OB、ME、MF之间的数量关系，并说明理由．4.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一动点，(点G不与C、D重合)以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系；(1)猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；并证明你的结论．(2)将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转一定角度，得到如图2情形．请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并说明理由．5.如图：正方形OABC置于坐标系中，B的坐标是(−4,4)，点D是边OA上一动点，以OD为边在第一象限内作正方形ODEF．(1)CD与AF有怎样的位置关系，猜想并证明；(2)当OD=______时，直线CD平分线段AF；(3)在OD=2时，将正方形ODEF绕点O逆时针旋转α°(0°<α°<180°)，求当C、D、E共线时D的坐标．6.如图在正方形ABCD中，边长为3，点P是射线DC上的动点，DM⊥AP于M，BN⊥AP于N．(1)当点P与C、D重合时，DM2+BN2的值分别为______、______；(2)当点P不与D、C重合时，试猜想DM2+BN2的值，并对你的猜想加以证明．7.如图①，在△ABC中，∠ACB为锐角．点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下面的问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图②，线段CF、BD之间的数量关系为______，位置关系为______.(写出证明过程)(2)如图③，线段CF、BD之间的数量，位置关系是否成立？______(填“是”或“否”)．8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点P为线段AB上不与A，B重合的一个动点，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△BPQ绕点B逆时针旋转，连接CP，点D为CP中点，连接AD，AQ，DQ，已知AC=3，AB=6．(1)当旋转角为0°时，如图1，线段AD与线段QD的数量关系为______ ；(2)如图2，当点P，Q，C第一次旋转到一条直线上时，试找出线段CQ、PQ，AD的数量关系并说明理由；(3)旋转过程中，当点P为边AB的三等分点时，直接写出线段AD的最大值．9.如图，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C，D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE。
北师大版中考数学复习：中点问题常考热点 专项练习题汇编(Word版,含答案)
北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。
动点问题(表达)(二)(北师版)(含答案)
动点问题（表达）（二）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.已知：如图，A，B，C三点在同一条直线上，线段AB=12厘米，AC=4厘米．动点P自点A 沿线段AB以2厘米/秒的速度向点B运动，同时动点Q自点C沿线段CB以1厘米/秒的速度向点B运动，当P运动到点B时，两点同时停止运动．设点P运动的时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段BP和CQ的长可用含t的式子分别表示为( )厘米．A.8-2t；tB.12-2t；tC.4-t；2tD.4-2t；8-t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题2.（上接第1题）（2）当4≤t≤6时，线段PQ长可用含t的式子表示为( )厘米．A.12-3tB.t+4C.t-4D.4-t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题3.如图，在长方形ABCD中，BC=8米，AC=10米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC方向向点C运动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB方向向点B运动，当P，Q两点中其中一点到达终点时，两点同时停止运动，连接PQ．设点P的运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CP，CQ的长可用含t的式子分别表示为( )米．A.2t；tB.t；2tC.10-2t；tD.t；10-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题4.（上接第3题）（2）当t为( )时，△PQC是以PQ为底的等腰三角形．A.5B.C.4D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知：如图，等边三角形ABC的边长为9，动点P从点A出发沿AB-BC-CA方向以每秒3个单位的速度运动，再次回到点A时停止运动．设点P运动时间为t秒．当3≤t≤6时，线段BP的长可用含t的式子表示为( )A.3t-9B.9-3tC.18-3tD.3t-18答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题6.已知：如图，正方形ABCD的边长为8，动点P从点B出发沿BC-CD-DA方向以每秒2个单位的速度运动，到达点A时停止运动．连接AP，BP．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）当点P在线段CD上运动时，线段CP的长可用含t的式子表示为( )A.8-2tB.2t-8C.18-2tD.16-2t答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题7.（上接第6题）（2）当8≤t≤12时，线段AP的长可用含t的式子表示为( )A.2tB.24-2tC.16-2tD.2t-16答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题8.（上接第6，7题）（3）若△ABP的面积为16，则t的值为( )A.1B.2C.2或10D.2或6答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题9.已知：如图，在梯形ABCD中，AB=DC=12cm，BC=15cm，∠B=∠C，点E为边AB上一点，且AE=5cm．点P在线段BC上由点C向点B运动，同时点Q在线段CD上以每秒2cm的速度由点C向点D运动．设点P运动时间为t秒，请回答下列问题：（1）线段CQ，DQ的长可用含t的式子表示为( )cm．A.t；15-tB.12-2t；2tC.2t；12-2tD.2t；15-2t答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题10.（上接第9题）（2）若某一时刻△BPE与△CQP全等，求此时t的值和线段BP的长，下列解题思路正确的是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：动点问题。
专题09 线段上动点问题的两种考法(解析版)(北师大版)
（3）分 N 在线段 AB 上和点 N 在线段 AB 的延长线上两种情况，分别求解．
【详解】（1）解：∵ CM 2 1 2 ， BD 23 6 ，
又∵点 A 表示 3 ，点 B 表示 7，
∴ AM 3 ， BM 7
∴ MD BM BD 7 6 1
∴ CD CM MD 2 1 3 ．
①当点 E 是线段 BC 的中点时，求 AD 的长；
②当点 C 是线段 DE 的三等分点时，求 AD 的长；
(2)若
AB
2DE
，点
E
在线段
AB
上移动，且满足关系式
AD EC BE
3 2
，则
CD AB
（直接写
出结果）．
【答案】(1)①4，② 32 ；(2) 17
3
42
【分析】（1）根据已知条件得到 BC 8，AC = 16 ，①由线段中点的定义得到 CE 4 ，求得
∴ AD AC CD 16 12 4 ；
②∵点 C 是线段 DE 的三等分点，DE＝16，
∴ CE 1 DE 16 或 CE 2 DE 32 8 BC （不合题意，舍去），
3
3
3
3
∴ CD DE CE 16 32 16 ， 33
∴ AD AC CD 16 16 32 ； 33
4
AB
【答案】(1) CD 3
(2)当
t
6 5
时点
D
是线段
BC
的中点
(3) MN 1 或 1 AB 2
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出 C、D 运行的路程，进而求出 MD 的值，根据
CD CM MD 可求；
（2）先表示出 BD 和 CD，再根据点 D 是线段 BC 的中点，列方程求解；
数学北师大版九年级下册中考中动态题
2017中考取的“动”态题一、考点剖析：动向题是最近几年来中考的的一个热门问题，动向包含点动、线动和面动三大类，解这种题目基本思路“以静制动”，即把动向问题，变成静态问题来解，而静态问题又是动向问题的特别状况。
常见的题型包含最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。
解题要具备的基本能力：数形联合能力、转变能力详细解题方法：要求仔细审清、着手操作、描绘（理解）变化过程、找寻变化过程中的不变关系和数目、联想（应用）常有数学模型进行求解二、典例回首1、（2017宁德质检（三）16题）如图，已知矩形ABCD，AB=9，BC=12，点E是BC边上的一个动点，过点E作EFAE，交CD于点F，边接AF，则线段AF的最小值是_________ADFB E C2、（2017宁德质检（二）24题）3、（2017莆田质检24题）如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AB边上的一个动点，点F在射线EC上，点H在AD边上，四边形EFGH是正方形，过G作GM⊥射线AD于M点，连结CG，DG．求证：AH=GM；(2)设AE=x，△CDG的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围．4、（2017莆田质检25题）已知抛物线C：y1=a(x－h)2－1，直线l：y2=kx－kh－1．求证：直线l恒过抛物线C的极点；当a=－1，m≤x≤2时，y1≥x－3恒建立，求m的最小值；(3)当0＜a≤2，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上起码存在两个横坐标为整数的点，求的取值范围．5、（2017宁德质检（三）25题）已知抛物线经过点）和点），A在B的左边，极点为P.1）求b的值；2）当c=4时，求△PAB的外接圆半径r；（3）在抛物线上能否存在点Q，使得四边形OPQA是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因.三、练习稳固1、（2017漳州质检第10题）如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC→CD→DA运动至点A停止．设点P运动的行程为x，△ABP的面积为y，y对于x的函数图象如图2所示，则m的值y是（）15(m,15)CDPA B o5m x(图1)(图2)A．6B．8C．11D．1632、（2017漳州质检第22题）如图，直线1=+2与反比率函数y2（,3），与y kx x的图象交于点Am坐标轴分别交于B，C两点．(1)若y1y2，求自变量x的取值范围；（2）动点P（n，0）在x轴上运动．当n为什么值时，PA PC的值最大？并求最大值．3、（2017漳州质检第24题）如图，已知抛物线yx2bxc与直线y x3订交于坐标轴上的A，B两点,极点为C．(1)填空：b，c；(2)将直线AB向下平移h个单位长度，得直线EF.当h为什么值时，直线与抛物线yx2bxc没有交点？EF直线x=m与△ABC的边AB，AC分别交于点M，N.当直线x=m把△ABC的面积分为1∶2两部分时，求m的值．4、（根源：2017精确模拟（十）第16题）如图，点（2，m）和点B（-2，n）是反比率函数图象上的两个点，点C的坐标是（t，1），△ABC是钝角三角形，则t的取值范围是__________________________yAO xB。
北师大版中考几何动点问题专项复习教学案+【五套中考模拟卷】
中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想 函数思想 方程思想 数形结合思想 转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。
选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。
在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况: ①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. 2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG POAB图1xy②GP=GH 时,2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意. ③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴ACBD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =,∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.AEDCB 图2A3(2)3(1)∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x .∵AH OC S AOC ⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ). (2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . 此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。
北师大版初三数学之中考动点问题专题训练
北师大版初三中考动点问题专题训练1、如图，已知△AB C 中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为 AB 的中点．PBC B C （1）如果点 在线段 上以 3 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点 QCA CA 在线段 上由 点向 点运动．①若点 的运动速度与点 的运动速度相等，经过 1 秒后，△BP D 与△C Q P 是 Q P 否全等，请说明理由；Q P Q②若点 的运动速度与点 的运动速度不相等，当点 的运动速度为多少时，能 够使△BP D 与△C Q P 全等？C P （2）若点 以②中的运动速度从点 出发，点 以原来的运动速度从点 同时 B出发，都逆时针沿△AB C 三边运动，求经过多长时间点 与点 第一次在△ P Q AB C 的哪条边上相遇？ADQBCP32、直线 y x 6 与坐标轴分别交于 A 、B 两点，动点 P 、Q 同时从O 点出发，4 同时到达 A 点，运动停止．点Q 沿线段O A 运动，速度为每秒 1 个单位长度， 点 P 沿路线O → B → A 运动．（1）直接写出 A 、B 两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△OP Q 的面积为 S ，求出S 与t 之间的函数关系 式；48（3）当S 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点O 、P 、Q 为顶点的平行四5边形的第四个顶点 M 的坐标．y BPxl y xx y A3如图，在平面直角坐标系中，直线 ： =－2 －8分别与 轴， 轴相交于 ， B P k y P 两点，点 （0， ）是 轴的负半轴上的一个动点，以 为圆心，3 为半径作 P ⊙ . PA PA PB P x（1）连结 ，若 = ，试判断⊙ 与 轴的位置关系，并说明理由； k P l （2）当 为何值时，以⊙ 与直线 的两个交点和圆心 为顶点的三角形 P是正三角形？4 如图 1，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCO 是菱形，点 A 的坐标为（－3，4），点 C 在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M ，AB 边交 y 轴于点 H ．（1）求直线 AC 的解析式；（2）连接 BM ，如图 2，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以 2个单位／ 秒的速度向终点 C 匀速运动，设△PMB 的面积为 S （S ≠0），点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t 之间的函数关系式（要求写出自变量 t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此 时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值．ABC C AC AB P C CA 中，∠ =90°， = 3， = 5．点 从点 出发沿 以每秒 15 在 Rt △A A AC 个单位长的速度向点 匀速运动，到达点 后立刻以原来的速度沿 返回；点 Q A AB B P Q 从点 出发沿 以每秒 1个单位长的速度向点 匀速运动．伴随着 、 的运 DE PQ PQ D QB BC CP E P Q 动， 保持垂直平分 ，且交 于点 ，交折线 - - 于点 ．点 、 同 Q B P P Q 时出发，当点 到达点 时停止运动，点 也随之停止．设点 、 运动的时间 t t 是 秒（ ＞0）． t AP （1）当 = 2时， = Q AC ，点 到 的距离是 ；P C A APQ S （2）在点 从 向 运动的过程中，求△ 的面积 与的函数关系式；（不必写出 的取值范围）QBED能否成t t时，请直接写出 的值．BEQDACP图 166如图，在 Rt △AB C 中，AC B 90°，B 60°， BC 2．点O 是 A C 的中点， 过点 O 的直线 l 从与 AC 重合的位置开始，绕点 O 作逆时针旋转，交 AB 边于点 D ．过点C 作CE ∥ AB 交直线l 于点 E ，设直线l 的旋转角为 ． （1）①当 度时，四边形 E D B C 是等腰梯形，此时 AD 的长 为 为 ；②当 ； 度时，四边形 E D B C 是直角梯形，此时 AD 的长 （2）当 9 0°时，判断四边形 E D B C 是否为菱形，并说明理lC C由．E OAABB DO7如图，在梯形中，A D∥BC，A D3，D C5，AB42，∠B45．动AB C D点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段C D以每秒1个单位长度的速度向终点A D D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当M N∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△M N C为等腰三角形．N B CM8如图1，在等腰梯形AB C D中，A D∥B C，E是AB的中点，过点E作EF∥B C交C D于点F．AB4，BC6，∠B60.（1）求点E到B C的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作P M EF交B C于点M，过M作M N∥AB交折线A D C于点N，连结PN，设EP x.①当点N在线段A D上时（如图2），△P M N的形状是否发生改变？若不变，求出△P M N的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段D C上时（如图3），是否存在点P，使△PM N为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.xNA D A D A DNP PE F E F E FB C B C B CMM图1图2图3（第8题）AA D DE F E FB C B C图4（备用）图5（备用）ABCD中，点 A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点 在第C 9 如图①，正方形 P ABCDA ABCD 的边上，从点 出发沿 → → → 匀速运一象限．动点 在正方形 Q x P 动，同时动点 以相同速度在 轴正半轴上运动，当 点到达 点时，两 D t 点同时停止运动，设运动的时间为 秒． P (1)当 点在边 AB Q 上运动时，点 的横坐标 （长度单位）关于运动时间 t Q P （秒）的函数图象如图②所示，请写出点 开始运动时的坐标及点 运动速度；C(2)求正方形边长及顶点 的坐标； t OPQ P 的面积最大，并求此时 点的坐标； (3)在（1）中当 为何值时，△P 、QP A B C D OP 保持原速度不变，当点 沿 → → → 匀速运动时， 与 t能否相等，若能，写出所有符合条件的 的值；若不能，请说明理由．(4)如果点 PQABCDE 是正方形，点 是10 数学课上，张老师出示了问题：如图 1，四边形 边 的中点． ，且 交正方形外角 BC AE EF AEF 90 D C GEF CF F 的平行线 于点 ，求证：= ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取 的中点 ，连接 ，则AE EF AB M ME AM EC = ，易证△AM E ≌△E CF ，所以 ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：EBCE（1）小颖提出：如图 2，如果把“点 是边 的中点”改为“点 是边 BCB C AE EF 上（除 ， 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“ = ”仍然成立， 你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；C 的延长线上（除 点外）的任意一点， E BC（2）小华提出：如图 3，点 是 AE EF其他条件不变，结论“ = ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确， 写出证明过程；如果不正确，请说明理由．FDDAADAFFBBE CGE C G B图 1图 2图 3参考答案1.解：（1）①∵1秒，t∴BP C Q313厘米，∵∴10厘米，点为的中点，D AB5厘米．ABB D又∵P C B C BP B C∴∴835厘米，P CP C B D又∵AB A C∴，B C∴△BP D≌△CQ P．·····················（4分）②∵v v，∴BP C Q，P Q又∵△BP D≌△C Q P ，B C，则BP PC 4，C Q BD 5，BP4∴点P，点Q运动的时间tC Q515∴v 厘米/秒．·················（7分）Q t3（2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，15由题意，得x 3x 210，480解得x 秒．380∴点P共运动了380厘米．3∵8022824，∴点P、点Q在AB边上相遇，80∴经过秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）3A B2.解（1）（8，0）（0，6）··1分（2）OA 8，OB 6AB 108点Q 由 到 的时间是 8（秒）O A1 6 10点 的速度是 P2（单位/秒）1 分8 当 在线段 P 上运动（或 0≤ ≤3 ）时，， O Q t OP t2 O B t S t2 ····························· 1 分 当 在线段 上运动（或3 ≤8）时，OQ t ，AP 6 10 2t 16 2t , P BA t 486t如图，作， ······ 1 分 51 3S O Q P D t 2 t ··················· 1 分2 5 5（自变量取值范围写对给 1 分，否则不给分．）8 24（3） P ， ························· 1 分5 5I 1 ， ，M ， ，M ， ·············· 3 分5 523 P x3.解：（1）⊙ 与 轴相切. y xAy OAkkOPP l C D （2）设⊙ 与直线 交于 ， 两点，连结 ， 当PC PDP OB 3∵△PCD223 3 PE ∴ = .2AOB PEB ABO PBE ∵∠ =∠ =90°， ∠ =∠ ，AOB PEB ∴△ ∽△ ，3 3 A O PE4 2 ∴ ∴ ，AB PB ,即 = 4 5 PB3 15 PB ,23 15 2∴ ∴ ∴ ，P O BO PB 8 3 15，8) P(0, 23 152.8k 3 15 2POBP当圆心 在线段延长线上时,同理可得 (0,－ －8)，3 15 k∴ =－ －8，2k∴当 =P l －8 时，以⊙ 与直线 的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4.8 5.解：（1）1，；5QF AC F AQ CP t （2）作⊥于点，如图3，= = ，∴．AP3tAQF ABC 由△∽△，，B C52324Q F t 4 Q F t 5得 ．∴ ．451 4 ∴ ，S (3t ) t 25BE2 6 即 ．S t t 2 55（3）能．DE QB①当 ∥ 时，如图 4． Q∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，四边形 QBED是直角梯形． DE PQ AQP此时∠ =90°．PQ QB DACP图 4由△APQA C ABBt 3 t 9即 358②如图 5，当∥时， ⊥ ，四边形 QBED是直角梯形．此时∠APQE C由△AQPAAB A CPt 15即538B5 （4）2P C A DE C ①点 由 向 运动， 经过点 ． 连接，作 ⊥ 于点 ，如图 6．GQC QG BC G3 4P C tQ C Q G C G [ (5t )] [4 (5 t )] C(E)2 2 22 2A5 5PB 3 4 由 PC QC t [ (5t )] [4 (5t )]2 2 222 5 5PA C DEC②点 由 向 运动， 经过点 ，如图 7．G3 4(6 t )[ (5t )][4 (5t )] 2 2255DC(E) (4)A 6.解（1）①30，1；②60，1.5； P分（2）当∠α=90 时，四边形EDBC是菱形.BC ED∵∠α=∠ACB=90 ，∴ // . 0CE AB ∵ // , ∴四边形 EDBC 是平行四边形. ……………………6 分在 Rt △ABC ACB B 中，∠ =90 ，∠ =60 , =2,BC0 0 A∴∠ =30 .AB AC∴ =4, =2.31 ∴ = AC = 3 .AO ……………………2 8分AOD A AD 中，∠ =30，∴ =2. 在 Rt △0 BD∴ =2.BD BC∴ = . 又∵四边形 EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作 AK BC 于 K ，D H BC 于 ，则四H 边形 A D H K 是矩形∴ K H A D 3．······················ 1分2 224 ················ 2分 2在 Rt △C D H 中，由勾股定理得， H C 5 4 32 2 ∴ BC BK KH H C 43 3 10 ············· 3分ADADNBCBCK HGM（图①）（2）如图②，过D 作 D G ∥ AB 交 BC 于G 点，则四边形 A D G B 是平行四 边形∵ M N ∥ AB ∴ M N ∥D G ∴ B G AD 3 ∴G C 10 3 7 ····················· 4分 由题意知，当 M 、 N 运动到t 秒时，C N t ，C M 10 2t ． ∵ D G ∥M N∴∠N M C ∠D G C 又∠C ∠C∴△M N C ∽△G D CC N C MC D C G ∴ ······················ 5 分 ······················ 6 分 t 10 2t 即 5 75017解得，t （3）分三种情况讨论：①当 N C M C 时，如图③，即t 10 2t10∴t ························ 7 分 3AD ADNNBCBCEM（图④）（图③）②当 M N NC 时，如图④，过 N 作 NE M C 于 E 解法一：1 12 2N Ct5······················· 8 分∵∠C ∠C ，DH C NEC 90∴△NE C ∽△D H C N C E C ∴ D C H C t 5t 即 5 3 25∴t ························ 8 分 811 ③当 M N M C 时，如图⑤，过M 作 M F CN 于 F 点. FC NCt 22解法一：（方法同②中解法一）1 2t A DF C3cosCM C102t560N解得t17F解法二：B CH M∵∠C∠C，MF C D H C90∴△M F C∽△D H CF C M C （图⑤）∴H C D C1t2356017∴t10综上所述，当t、t或t时，△M N C为等腰三角形·9分17388.解（1）如图1，过点E作EG BC于点G．···1分∵E为AB的中点，A D1∴BE AB2．2E F在Rt△EB G中，∠B60，∴∠BE G30．··2 分1∴B G BE1，E G213．222B CG即点E到B C的距离为3．········· 3 分图1（2）①当点N在线段A D上运动时，△P M N的形状不发生改变．∵P M EF，EG EF，∴P M∥E G．∵EF∥B C，∴EP G M，P M EG3．同理M N AB4．······················4分如图2，过点P作P H M N于，∵M N∥AB，H∴∠N M C∠B60，∠P M H30．NA D13∴P H P M P22E FH3∴M H P M cos30．2B CG M35则N H M N M H4．图2222532在Rt△PN H中，PN N H PH 7．2222∴△P M N的周长=P M PN M N374．·········6分②当点 N 在线段 D C 上运动时，△P M N 的形状发生改变，但△M N C 恒为等 边三角形．当 P M PN 时，如图 3，作 PR M N 于 R ，则 M R NR ．3类似①， M R ．2∴ M N 2M R 3． ······················ 7分 ∵△M N C 是等边三角形，∴ M C M N 3．此时， x EP G M BC B G M C 613 2． ········ 8分A D A D A D N P PF EF （P ） E FEN RN CBBCBCGGMG MM当 M P M N 时，如图 4，这时 M C M N M P 3． 此时， x EP G M 6 1 3 5 3．当 NP N M 时，如图 5，∠NP M ∠P M N 30． 则∠P M N 120，又∠M N C 60， ∴∠PN M ∠M N C 180．因此点 P 与 F 重合，△P M C 为直角三角形． ∴ M C P M tan30 1．综上所述，当 x 2或 4或 5 3 时，△P M N 为等腰三角形． ··· 10分 9解：（1） （1，0） ······················ 1分QP点 运动速度每秒钟 1个单位长度．················ 2分 BF y （2） 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，则 ＝8， ． B F BE xE yD在 Rt △AFB22过点 作 ⊥ 轴于点 ，与 的延长线交于点 ．GC x FB H CA ∵PM F H x∴ B H AF 6, C H BF 8BO NQEG ∴ ．O G FH 8 6 14,CG 8 4 12 C∴所求 点的坐标为（14，12）． 4分P PM y M PN N （3） 过点 作 ⊥ 轴于点 ， ⊥ 轴于点 ，xAPMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ． ．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4） 当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分） 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E GDAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）APMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ． ．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4） 当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分） 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E GDAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）APMABF则△ ∽△ ． AP A M M PABAFBFtA MM P ∴ ． ．10 6 83 4 3 4 ∴ ． ∴ ．A M t ，P M t P N O M 10 t , ON P M t 5555设△OPQ 的面积为（平方单位）S1 3 47 3 ∴ （0≤ ≤10） ··········· 5分tS (10 t)(1 t ) 5 t t 2 251010说明:未注明自变量的取值范围不扣分．473 ∵<0 ∴当a 时， △OPQ的面积最大．····· 6分31094 53 此时 的坐标为（ ， ） ．·················· 7分P 1510295OP PQ与相等．············ 9分（4） 当 t1310.解：（1）正确．············ （1分）证明：在 AB 上取一点 M ，使 A M EC ，连接 M E ．（2分）A DB M BE ．B M E 45 ，A M E 135 ．° ° F C F 是外角平分线，M DCF 45 ，° B E CGECF 135 ．° A M E ECF ． AEB BAE 90 ，AEB CEF 90 ， ° ° BAE CEF△A M E ≌△BC F （ASA ）． ·················· （5分） AE EF ． ························（6分）（2）正确．·············· （7分） 证明：在 BA 的延长线上取一点 N ．使 AN CE ，连接 NE ． ········ （8分） BN BE ．N AFDN PCE 45 ．° 四边形 AB C D 是正方形， AD BE ．∥BC E G刘老师亲笔DAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△EC F（ASA）．··················（10分）AE EF．（11分）17。
2022-2023学年北师大版九年级数学上学期基础知识讲练1-13 特殊平行四边形动点问题
专题1.13 特殊平行四边形动点问题（专项练习）一、单选题类型一、菱形动点问题1．如图，在菱形ABCD中，P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥AB 于点F．若菱形ABCD的周长为20，面积为24，则PE＋PF的值为()A．4B．245C．6D．4852．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点F是CD边上一点，且DF＝1，点E是BC边上的一个动点，M、N分别是线段AE、AF的中点，连接EF和MN，当点E在BC边上从点B向点C移动时，线段MN的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．33．如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝16，⊥A＝60°，O为BD的中点，E为边AB上一动点，以2cm/s的速度从A点向B点运动，运动时间为ts，连接EO并延长交CD于点F，连接DE、BF，下列结论不成立的是（）A．四边形DEBF为平行四边形B．若t＝4，则四边形DEBF为菱形C．若t＝2，则四边形DEBF为矩形D．若t＝6，则四边形DEBF为正方形4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，动点P从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长PO交CD于点Q，则四边形APCQ形状的变化依次为（）A．平行四边形—矩形—平行四边形—矩形B．平行四边形—菱形—平行四边形—矩形C．平行四边形—矩形—菱形—矩形D．平行四边形—菱形—平行四边形类型二、矩形动点问题5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E为CB上一动点（不与点C重合），将⊥CDE沿DE所在直线折叠，点C的对应点C'恰好落在AE上，则CE的长是（）A．2B．1C．2D．36．如图，矩形ABCD中，P为AB边上一动点（含端点），E为CD中点，F为CP中点，当点P由B向A运动时，下面对EF变化情况描述正确的是（）A．由小变大B．由大变小C．先变大后边小D．先变小后变大7．如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则BAD DOCADO∠+∠∠的值为（）A．1B．12C．2D．无法确定8．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，点M，N分别在AD，BC上，且AM＝BN，AD＝3AM，E为BC边上一动点，连接DE，将⊥DCE沿DE所在直线折叠得到⊥DC′E，当C′点恰好落在线段MN上时，CE的长为（）A．52或2B．52C．32或2D．32类型三、正方形动点问题9．如图，正方形ABCD的面积为225cm，点E为BC边上一动点，点F为CD边上一动点，连接AE、AF，点E和点F在运动的过程中始终保持45EAF∠=︒，则CEF∆的周长（）A．10cm B．8cm C．6cm D．4cm10．如图，已知正方形ABCD边长是6，点P是线段BC上一动点，过点D作DE⊥AP 于点E．连接EC，若CE CD=，则⊥CDE的面积是（）A．18B．413C．63D．14.411．如图，在边长为6的正方形ABCD中，P是边AD的中点，E是边AB上的一个动点（不与A重合），以线段AE为边在正方形内作等边⊥AEF，M是边EF的中点，连接PM，则在点E运动过程中，PM的最小值是（）A．332B．532C．7D．312．如图，在正方形有ABCD中，E是AB上的动点，（不与A、B重合），连结DE，点A关于DE的对称点为F，连结EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG 的延长线于点H ，连接BH ，那么BHAE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．2二、填空题类型一、菱形动点问题13．如图（1）是一张菱形纸片，其中135A ∠=︒，1AB =，点E 为BC 边上一动点．如图（2），将纸片沿AE 翻折，点B 的对应点为B '；如图（3），将纸片再沿AB '折叠，点E 的对应点为E '．当AE '与菱形的边垂直时，BE 的长为______．14．如图，在菱形ABCD 中，⊥ABC ＝120°，对角线AC 、BD 交于点O ，BD ＝4，点E 为OD 的中点，点F 为AB 上一点，且AF ＝3BF ，点P 为AC 上一动点，连接PE 、PF ，则PF ﹣PE 的最大值为 ___．15．如图，已知等边三角形ABC 绕点B 顺时针旋转60︒得到CBD ，E ，F 分别为线段AC 和线段CD 上的动点，且AE CF =，有以下结论：⊥四边形ABDC 为菱形；⊥≅ABE CBF ；⊥BEF 为等边三角形；⊥CFB CGE ∠=∠．其中正确结论有__________．（填序号）16．如图，点E 是菱形ABCD 边AB 的中点，点F 为边AD上一动点，连接EF ，将⊥AEF 沿直线EF 折叠得到⊥A 'EF ，连接A 'D ，A 'C ．已知 BC ＝4，⊥B ＝120°，当⊥A 'CD 为直角三角形时，线段AF 的长为______．类型二、矩形动点问题17．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5．点E 是BC 边上一动点，连接AE ．将⊥ABE沿AE 翻折得到⊥AEF ，连接DF ．当⊥ADF 的面积为52时，线段BE 的长为______．18．已知矩形ABCD 中，AB ＝6．点E 为AD 上一个动点，连接CE ，将CDE △沿CE 折叠，点D 落在点F 处，当点F 为线段AB 的三等分点时，AE 的长为______．19．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，当点E 到达点D 时，运动停止，过点B 作直线EF 的垂线BP ，垂足为点P ，连接CP ，则CP 长的最小值为________．20．如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E 是CB 上的一个动点，把△DCE 沿DE 折叠，若点C 的对应点C ′刚好落在线段AB 的垂直平分线上，则CE 的长度为_____．类型三、正方形动点问题21．如图，在正方形ABCD 中，点P ，Q 分别是AB ，AD 的中点，点E 是CD 边上一个动点，连接PE ，将四边形PBCE 沿PE 折叠，得到四边形PEFH ．（1）若P ，H ，Q 三点在同一条直线上，则BPE ∠的大小为______°；（2）若2AB =，则F ，Q 两点的连线段的最小值为______．22．如图，正方形ABCD 的边长为3，点G 在边AD 上，GD ＝1，GH ⊥BC 于点H ，点E 是边AB 上一动点（不与点A ，B 重合），EF ⊥CD 于点F ，交GH 于点Q ，点O 、P 分别是EH 和GQ 的中点，连接OP ，则线段OP 的长度为__________．23．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、DC 上的动点，且EF ＝4，Q 为EF 中点，P 是边AD 上的一个动点，则PQ +PB 的最小值是_____．24．如图，正方形ABCD 中，点E 为BC 边的中点，点P 为边AB上一个动点，连接PE ，以PE 为对称轴折叠PBE △得到PFE △，点B 的对应点为点F ，若2AB =，当射线EF 经过正方形ABCD 边的中点（不包括点E ）时，BP 的长为_____________．三、解答题25．如图，将正方形AOBC 放在平面直角坐标系中，点O 是坐标系原点，A 点坐标为（-1，3）．(1)求出点B 、C 的坐标：(2)在x 轴上有一动点Q ，过点Q 作PQ ⊥x 轴，交BC 于点P ，连接AP ，将四边形AOBP 沿AP 翻折，当点O 刚好落在y 轴上点E 处时，求点P 、D 的坐标．26．如图，在矩形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，动点P从点A 出发，以2cm/s 的速度沿AB 向点B 移动，同时，点Q 从点C 出发，以lcm/s 的速度沿CD 向点D 移动（点P 到达点B 停止时，点Q 也随之停止运动），设点P 运动时间为t 秒．（1）试求当t 为何值时四边形APQD 为矩形；（2）P 、Q 两点出发多长时间，线段PQ 的长度为5cm ．27．已知矩形ABCD 中，E 是AD边上的一个动点，点F ，G ，H 分别是BC ，BE ，CE 的中点．（1）求证：BGF FHC ≌；（2）当E 是AD 的中点时，四边形EHFG 是什么样的特殊四边形？请证明你的结论．28．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，⊥DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN．(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：⊥当AM的值为时，四边形AMDN是矩形；⊥当AM的值为时，四边形AMDN是菱形．参考答案1．B【分析】连接BP，通过菱形ABCD的周长为20，求出边长，菱形面积为24，求出SABC的面积，然后利用面积法，SABP+SCBP=SABC，即可求出PE PF的值．解：连接BP，如图，⊥菱形ABCD的周长为20，⊥AB=BC=20÷4=5，又⊥菱形ABCD的面积为24，⊥SABC=24÷2=12，又SABC= SABP+SCBP⊥SABP+SCBP=12，⊥111222AB PF BC PE += ， ⊥AB =BC ，⊥()1122AB PE PF += ⊥AB =5，⊥PE +PF =12×25=245． 故选：B ．【点拨】本题主要考查菱形的性质，解题关键在于添加辅助线，通过面积法得出等量关系，求出PF +PE 的值．2．B【分析】利用三角形中位线性质求解即可.解：⊥M 、N 分别是线段AE 、AF 的中点，⊥12MN EF =， ⊥点E 在BC 边上从点B 向点C 移动，⊥当点E 运动到点C 的位置时，EF 最小，此时，EF =4-1=3，⊥线段MN 的最小值为1.5.故选：B【点拨】此题考查三角形的中位线的性质，知道当点E 运动到点C 的位置时EF 最小是解答此题的关键.3．D【分析】由▱ABCD ，得EB ∥FD ，再证⊥BOE ⊥△DOF （AAS ），得BE =DF ，即可得出四边形BEDF 是平行四边形，可以判定A ；当t =4时，则AE =2t =8，证⊥ADE 是等边三角形，DE =AE =8，再因四边形DEBF 是平行四边形，所以四边形DEBF 是菱形，可判定B ；当t =2时，则AE =2t =4，同理可得四边形DEBF 是菱形，可判定C ；当t ＝6时，则AE =2t =12，在AE 上截取AG =AD =8，连接DG ，证⊥BED >120°≠90°，所以四边形DEBF 不可能是正方形，可判定D ．解：A 、⊥▱ABCD ，⊥AB ∥CD ，即EB ∥FD ，⊥⊥BEO =⊥DFO ，⊥EBO =⊥FDO ，⊥OB=OD，⊥⊥BOE⊥△DOF（AAS），⊥BE=DF，⊥四边形BEDF是平行四边形，故此选项正确，不符合题意；B、当t=4时，则AE=2t=8，⊥AD⊥BD，⊥⊥ADB=90°，在Rt△ABD中，⊥ADB=90°，⊥A=60°，⊥⊥ABC=30°，⊥AD=12AB=8，⊥AD=AE，⊥⊥ADE是等边三角形，⊥DE=AE=8，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是菱形；故此选项正确，不符合题意；C、当t=2时，则AE=2t=4，⊥4182AEAD==，81162ADAB==，AE ADAD AB=，⊥⊥A=⊥A，⊥⊥ADE⊥⊥ABD，⊥⊥AED=⊥ADB=90°，⊥⊥BED=90°，⊥四边形DEBF是平行四边形，⊥四边形DEBF是矩形；故此选项正确，不符合题意；D、当t＝6时，则AE=2t=12，在AE上截取AG=AD=8，连接DG，如图，⊥⊥A=60°，⊥⊥ADG是等边三角形，⊥⊥AGD=60°，⊥⊥AED<60°，⊥⊥BED>120°≠90°，⊥四边形DEBF不可能是正方形；故此选错误，符合题意；故选：D．【点拨】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定是解题的关键．4．B【分析】根据对称中心的定义，矩形的性质，可得四边形APCQ的形状变化情况，这个四边形首先是平行四边形，当对角线互相垂直时，是菱形，然后又是平行四边形，最后点A、B重合时是矩形．解：观察图形可知，四边形APCQ形状的变化一次为：平行四边形—菱形—平行四边形—矩形故选：B．【点拨】本题考查中心对称、矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，在重要考点，掌握相关知识是解题关键．5．B【分析】由矩形的性质得出⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得C'D=CD=3，C'E=CE，由勾股定理得出AC'，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．解：⊥四边形ABCD是矩形，⊥⊥B=⊥C=90°，AD=BC=5，CD=AB=3，由折叠的性质得：C'D=CD=3，C'E=CE，⊥DC'E=⊥C=90°，⊥⊥AC'D=90°，⊥AC，设CE=C'E=x，在Rt△ABE中，BE=5-x，AE=x+4，由勾股定理得：（5-x）2+32=（x+4）2，解得：x=1，故选：B．【点拨】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．6．B【分析】连接DP，则EF为⊥CDP的中位线，当点P由B向A运动时，DP由大变小，利用中位线的性质即可得到结论．解：连接DP，⊥E为CD中点，F为CP中点，⊥EF为⊥CDP的中位线，DP，⊥EF＝12在Rt⊥DAP中，由勾股定理得，DP当点P由B向A运动时，AP的长度逐渐减小，⊥DP减小，⊥EF由大变小，故选：B．【点拨】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接DP，构造三角形中位线．7．A【分析】过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，由平行的性质可知,BAD ADE DOC ODE ∠=∠∠=∠，等量代换可得BAD DOC ADO∠+∠∠的值. 解：如图，过点D 作//DE AB 交AO 于点E ，四边形ABCO 是矩形//AB OC∴//DE AB //,//AB DE DE OC ∴,BAD ADE DOC ODE ∴∠=∠∠=∠1BAD DOC BAD DOC BAD DOC ADO ADE ODE BAD DOC∠+∠∠+∠∠+∠∴===∠∠+∠∠+∠故选：A. 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，灵活的添加辅助线是解题的关键.8．B【分析】由矩形的性质得到CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，⊥A =90°，根据已知条件推出四边形MNCD的矩形，得到⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5，根据折叠的性质得到C ′D ＝CD ＝5，C′E=CE ，根据勾股定理得到MC ′3，再由勾股定理即可得到结论．解：设CE ＝x ，则C ′E ＝x ，⊥矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝6，⊥CD ＝AB ＝5，AD ＝BC ＝6，AD ⊥BC ，⊥点M ，N 分别在AD ，BC 上，且3AM ＝AD ，BN ＝AM ，⊥DM ＝CN ＝4，⊥四边形CDMN 为平行四边形，⊥⊥NCD ＝90°，⊥四边形MNCD 是矩形，⊥⊥DMN ＝⊥MNC ＝90°，MN ＝CD ＝5由折叠知，C ′D ＝CD ＝5，⊥MC ′3，⊥C ′N ＝5﹣3＝2，⊥EN ＝CN ﹣CE ＝4﹣x ，⊥C ′E 2﹣NE 2＝C ′N 2，⊥x 2﹣（4﹣x ）2＝22，解得，x ＝52，即CE ＝52． 故选：B ．【点拨】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．9．A【分析】先根据正方形的性质得AB =AD =5cm ，⊥BAD =⊥B =90°，把⊥ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到⊥ABG ，接着利用“SAS ”证明 EAG EAF ≌，得到EG =EF =BE +DF ，然后利用三角形周长的定义得到△CEF 的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD ，由此即可解决问题．解：⊥四边形ABCD 为正方形，⊥AB =AD ，⊥BAD =⊥B =90°，又正方形ABCD 的面积为225cm ，⊥5cm AB BC CD DA ====⊥把△ADF 绕点A 顺时针旋转90°可得到△ABG ，如图，⊥AG =AF ，BG =DF ，⊥GAF =90°，⊥ABG =⊥B =90°，⊥点G 在CB 的延长线上，⊥⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥GAF -⊥EAF =45°，⊥⊥EAG =⊥EAF ，在△EAG 和△EAF 中，AE AE EAG EAF AG AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥ EAG EAF ≌（SAS ），⊥EG =EF ，而EG =BE +BG =BE +DF ，⊥EF =BE +DF ，⊥CEF △的周长=CE +CF +BE +DF =CB +CD =5+5=10cm ．故选：A ．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是利用旋转添加辅助线构造全等三角形解决问题．10．D【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定可以得到△ADE 和△DCF 全等，然后即可得到CF 和DE 的关系，根据等腰三角形的性质可以得到DF 和DE 的关系，再根据勾股定理可以得到DF 2的值，然后即可计算出△CDE 的面积．解：作CF ⊥ED 于点F ，如图所示，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AD ＝DC ，⊥CDA ＝90°，⊥⊥ADE +⊥FDC ＝90°，⊥CF ⊥DE ，CD ＝CE ，⊥EF ＝DF ＝12DE ，⊥CFD ＝90°，⊥⊥FDC +⊥DCF ＝90°，⊥⊥ADE ＝⊥DCF ，在△ADE 和△DCF 中，AED DFC ADE DCF AD DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，⊥⊥ADE⊥⊥DCF（AAS），⊥DE＝CF，⊥DF＝12CF，⊥⊥CFD＝90°，CD＝6，⊥DF2+CF2＝CD2，即DF2+（2DF）2＝62，解得DF2＝7.2，⊥S△CDE＝2222DE CF DF DF⋅⋅=＝2DF2＝2×7.2＝14.4，故选：D．【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是求出DF2的值．11．A【分析】连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小，于是得到当P，F，M三点共线时，PM的值最小，连接AM，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，⊥EAM=30°，求得⊥P AM=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．解：如图，连接AM，⊥P是边AD的中点，AD=6，⊥AP=3，连接PF，由已知，M在⊥F AE的平分线上，当PM⊥AM时，PM最小⊥此时P，F，M三点共线时连接AM，⊥⊥AEF是等边三角形，M是边EF的中点，⊥AM⊥EF，⊥EAM=30°，⊥⊥P AM=60°，⊥PM AP = 故选 A ． 【点拨】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．12．B【分析】作辅助线，构建全等三角形，证明⊥DAE ⊥⊥ENH ，得AE =HN ，AD =EN ，再说明⊥BNH 是等腰直角三角形，可得结论．解：如图，在线段AD 上截取AM ，使AM =AE ，，⊥AD =AB ，⊥DM =BE ，⊥点A 关于直线DE 的对称点为F ，⊥⊥ADE ⊥⊥FDE ，⊥DA =DF =DC ，⊥DFE =⊥A =90°，⊥1=⊥2，⊥⊥DFG =90°，在Rt ⊥DFG 和Rt ⊥DCG 中，⊥DF DC DG DG=⎧⎨=⎩， ⊥Rt ⊥DFG ⊥Rt ⊥DCG （HL ），⊥⊥3=⊥4，⊥⊥ADC =90°，⊥⊥1+⊥2+⊥3+⊥4=90°，⊥2⊥2+2⊥3=90°，⊥⊥2+⊥3=45°，即⊥EDG =45°，⊥EH ⊥DE ，⊥⊥DEH =90°，⊥DEH 是等腰直角三角形，⊥⊥AED +⊥BEH =⊥AED +⊥1=90°，DE =EH ，⊥⊥1=⊥BEH ，在⊥DME 和⊥EBH 中，⊥1DM BE BEHDE EH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊥⊥DME ⊥⊥EBH （SAS ），⊥EM =BH ，Rt ⊥AEM 中，⊥A =90°，AM =AE ，⊥EM =，⊥BH ，即BHAE． 故选：B ．【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，等知识，解决本题的关键是作出辅助线，利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等．13【分析】分AE BC '⊥和AE AB '⊥两种情况求解即可．解：⊥当AE BC '⊥时，如图1，⊥四边形ABCD 是菱形，⊥135C BAD ∠=∠=︒，180C B ∠+∠=︒，BC //AD ，⊥45B ∠=︒，90DAF ∠=︒，⊥1359045BAF ∠=︒-︒=︒，⊥45B BAF ∠=∠=︒，⊥AF =BF ，在Rt BAF ∆中，222,1AB AF BF AB =+=，⊥1)AF BF AB ==== 由折叠得，⊥114515,33BAE EAB B AE BAE ''''︒︒=∠=∠=∠=⨯= ⊥⊥151530EAE EAB B AE ︒︒︒''+'=∠+∠==， 又tan ,EF EAF AF∠=⊥tan EF AF EAF =⋅∠=，⊥BE BF EF =-== ⊥当AE AB '⊥时，如图2，即⊥90BAE '︒=，⊥⊥''30B AE B AE BAE ︒∠'=∠=='，过点E 作EG AB ⊥于点G ，则,EG BG AG ==，又⊥AB BG AG =+，1EG =，⊥1EG =， ⊥BE ==综上，BE【点拨】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，用正切值求边长，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．14．1【分析】取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，当P 与P '重合，P '、E '、F 三点在同一直线上时，PF ﹣PE '有最大值，即为FE '的长．解：如图，取OB 中点E '，连接PE '，作射线FE '交AC 于点P '．则PE ＝PE '，⊥PF﹣PE＝PF﹣PE'≤FE'，当P与P'重合，P'、E'、F三点在同一直线上时，PF﹣PE'有最大值，即为FE'的长，⊥在菱形ABCD中，⊥ABC＝120°，⊥⊥ABD＝60°，⊥DAB＝60°，⊥⊥ABD为等边三角形．⊥AB＝BD＝AD＝4．⊥OD＝OB＝2．⊥点E'为OB的中点，E'B＝1，AF＝3BF，⊥BF1AB＝1，4⊥⊥ABD＝60°，⊥⊥BE'F为等边三角形，⊥E'F＝FB＝1．故PF﹣PE的最大值为1．故答案为：1．【点拨】本题考查了轴对称﹣最大值问题、菱形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练运用轴对称的性质和三角形三边关系是解题的关键．15．⊥⊥⊥⊥【分析】⊥由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD即可判断；⊥利用SAS即可判定△ABE⊥⊥CBF；⊥由全等三角形的性质可知BE=BF，⊥ABE=⊥CBF，再结合⊥ABC=⊥ABE+EBC=60°，即可求出⊥EBF=60°，即证明△BEF为等边三角形；⊥由⊥CFB=⊥CFG+⊥BFG，⊥CGE=⊥CFG+FCG即可判断．解：由等边三角形旋转的性质可知AB=AC=BD=CD，即四边形ABCD为菱形故⊥正确．⊥在△ABE和△CBF中，AB CB BAE BCF AE CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，⊥⊥ABE ⊥⊥CBF （SAS ），故⊥正确；⊥⊥ABE ⊥⊥CBF ，⊥BE =BF ，⊥ABE =⊥CBF ，⊥⊥ABC =⊥ABE +⊥EBC =60°，⊥⊥CBF +⊥EBC =60°，即⊥EBF =60°，⊥⊥BEF 为等边三角形，故⊥正确；⊥⊥CFB =⊥CFG +⊥BFG ，⊥CGE =⊥CFG +FCG ，⊥FCG =⊥BFG =60°，⊥⊥CFB =⊥CGE ，故⊥正确；综上，⊥⊥⊥⊥都正确，故答案为：⊥⊥⊥⊥．【点拨】本题考查了等边三角形的判定与性质，图形旋转的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，熟练掌握这些知识并利用数形结合的思想解题的关键．16．2或2【分析】分当=90CA D '︒∠时和当=90A DC '︒∠时两种情况讨论求解即可．解：如图1所示，当=90CA D '︒∠时，取CD 中点H ，连接A H '， ⊥1=2A H CD DH '=， ⊥四边形ABCD 是菱形，E 为AB 中点， ⊥1122AE AB CD A H '===，⊥A =180°-⊥B =60°，AB CD ， 由折叠的性质可知AE A E '=，AF A F '=，AEF A EF '∠=∠⊥A E A H AB AD ''+==，连接EH ，⊥=AE DH A H '=，AE DH ∥⊥四边形AEHD 是平行四边形，⊥=120AEH B =︒∠∠，AD EH =，⊥由三角形三边的关系可知，当点A '不在线段EH 上时，必有A E A H EH AD ''+>=，这与A H A E CD AD ''+==矛盾，⊥E 、A '、H 三点共线，⊥=60AEF A EF '=︒∠∠，⊥⊥AEF 为等边三角形， ⊥11222AF AE AB BC ====； 如图2所示，当=90A DC '︒∠时，连接BD ，ED ，过点F 作FG ⊥AB 于G ，⊥⊥ABC =120°，四边形ABCD 是菱形，⊥AB =AD ，⊥A =60°，⊥⊥ABD 是等边三角形，⊥E 是AB 中点，⊥DE ⊥AB ，⊥⊥ADE =30°，⊥⊥EDC =90°，⊥此时D A E '、、三点共线，由翻折的性质可得==45AEF A EF '︒∠∠，⊥FG ⊥AE ，⊥A =60°，⊥AEF =45°，⊥⊥AFG =30°，⊥GFE =45°，⊥AF =2AG ，EG =FG ，⊥FG AF ==， ⊥11222AE AG GE AB BC =+===，⊥122AF AF +=，⊥2AF =，故答案为：2或2．【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，折叠的性质，三角形三边的关系，含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．17．2【分析】过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，求出AM长，再根据勾股定理列出方程求解即可．解：过点F作AD的垂线，交AD于M，交BC于N，由翻折可知，AB=AF=3，BE=EF，⊥⊥ADF的面积为52，⊥15 22 AD FM=，⊥AD＝5，⊥1FM=，⊥AM==⊥⊥ABN=⊥BAN=⊥AMN=90°，⊥四边形AMNB是矩形，⊥AM BN==⊥BNM=90°，AB=MN=3，⊥FN=MN-FM=2，⊥222)2BE BE=+，解得，BE=【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解题关键是根据面积求出线段长，利用勾股定理列方程．18【分析】 根据题意可求出123BF AB ==，243AF AB ==．再根据折叠的性质和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，从而可利用勾股定理求出AD BC ==AE x =，则DE EF x ==．在Rt AEF 中，再次利用勾股定理即可列出关于x 的等式，解出x 即得出答案．解：⊥AB ＝6，点F 为线段AB 的三等分点， ⊥123BF AB ==，243AF AB ==， 根据折叠和矩形的性质可得出6CF CD AB ===，DE EF =，⊥AD BC ===设AE x =，则DE EF x ==．⊥在Rt AEF 中，222AE AF EF +=，⊥2224)x x +=， 解得：x = ⊥AE =【点拨】本题考查矩形与折叠，勾股定理等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 19．4【分析】因为EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，所以当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，即可求解．解：⊥动点E 、F 分别从点A 、C 同时出发，以相同的速度分别沿AD 、CB 向终点D 、B 移动，⊥AE =CF⊥EF 不论如何运动，EF 的中点始终在矩形的对角线的交点上，⊥当EF ⊥BC 时，即，E 、F 分别是AD 、BC 的中点时，CP 取得最小值，此时P 与F 重合，⊥CP =142BC = 故答案为：4【点拨】本题考查了矩形的性质，弄清题意找到P 的位置是解题的关键．20．【分析】利用垂直平分线的性质得出CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案．解：如下图，连接 ，⊥点C '在AB 的垂直平分线上，⊥点C '在DC 的垂直平分线上，⊥CC '=DC '= DC ，则⊥D C 'C 是等边三角形，设CE = x ，易得DE = 2x ，由勾股定理得： (2x )2 -x 2= 62，解得： x =（负值舍去）故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是证明⊥DC C '是等边三角形．21． 67.5-【分析】（1）易得45APQ ∠=︒，利用翻折的性质得到67.5BPE HPE ∠∠==︒；（2）连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，得到PF PC ==PQ =P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，计算可得．解：（1）如图1，易得45APQ ∠=︒，⊥67.5BPE HPE ∠∠==︒，故答案为：67.5；（2）如图2，连接PQ ，PE ，PC ，易证PBC PHF △△≌，⊥PF PC ==PQ =当P ，Q ，F 在同一条直线上时，FQ 最小，--【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，正确掌握翻折的性质是解题的关键．22【分析】取QH 的中点M ，连接OM ，由正方形及矩形的性质得出AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，求出QE ＝2，由三角形中位线定理得出OM ＝12QE ＝1，OM∥EQ ，求出PM 的长，根据勾股定理可得出答案．解：取QH 的中点M ，连接OM ， ⊥四边形ABCD 是正方形，⊥⊥A ＝⊥B ＝⊥C ＝⊥D ＝90°，⊥EF ⊥CD ，GH ⊥BC ，⊥四边形AEQG ，四边形GHCD 为矩形，⊥AG ＝EQ ，GH ＝CD ＝3，⊥EQH ＝90°，⊥DG＝1，⊥AG＝EQ＝2，⊥O，M分别为EH，QH的中点，⊥OM＝12QE＝1，OM∥EQ，⊥⊥OMP＝90°，⊥P为GQ的中点，M为QH的中点，⊥PQ＝12GQ，QM＝12QH，⊥PM＝PQ+QM＝1113 2222 QG QH GH+==，⊥OP．【点拨】本题主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题得关键．23．2【分析】延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝B′C﹣2，根据勾股定理即可得到结论．解：如图所示：要，延长BA到B′，使B′A＝AB，PB+PQ＝PB′+PQ，当B′，P，Q三点共线时，PB′+PQ的值最小，根据题意，点Q的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆弧上，圆外一点B′到圆上一点Q距离的最小值B′Q＝CB′﹣2，⊥BC＝AB＝4，⊥BB′＝8，⊥B ′C B ′Q ＝B ′C ﹣2＝2，⊥PB ′+PQ 的值最小是2，即PQ +PB 的最小值是2，故答案为：2．【点拨】本题考查了正方形的性质、轴对称-最短路线问题，勾股定理，正确的找到P 点的位置是解题的关键．24．11【分析】分EF 经过正方形ABCD 另三边三种情况求解即可解：⊥EF 经过CD 边中点O 时，⊥四边形ABCD 是正方形，⊥AB=BC=CD=DA ，90C B ∠=∠=︒，⊥点O 是CD 边中点，点E 是BC 边中点， ⊥11,22OC CD EC BC ==． ⊥CE=CO =1，⊥45CEO ∠=︒， 由折叠得11(180)((18045)67.522FEP BEP CEO ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， ⊥22.5FPE BPE ∠=∠=︒．⊥45FPB FPE BPE ∠=∠+∠=︒，作FG ⊥AB 于G ，作EH ⊥FG 于H ，如图，设FH=x ，则BG=EH=FH=x ，⊥45BPF ∠=︒，⊥PG ＝FG=x +1，⊥BP =2x +1，由勾股定理得1)PF x =+，由折叠得PB=PF ，⊥211)x x +=+，解得x =．⊥12BP =>，⊥点P 在AB 外，不符合题意；⊥EF 经过AD 边中点O '，如图， 此时，190452FEP BEP ∠=∠=⨯︒=︒， ⊥BP=BE =1；⊥EF 经过AB 中点O ''，如图，⊥O ''B=BE ，⊥45EO B ''∠=︒．由折叠得90PFE B ∠=∠=︒，设PF=x ，则,O P PB x ''==，1x +=，⊥1，即1，综上，BP 的长为11，故答案为：11．【点拨】此题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键．25．(1)B （3，1）、C （2，4） (2)D （3，5）、P （73，3） 【分析】（1）分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H∥证明⊥AGO⊥⊥OHB，根据三角形全等的性质可得出结论；（2）根据对称性和全等的性质可得D（3，5），再求出BC的解析式y=-3x+10，从而可求出点P坐标．解：(1)分别过点A、B做x轴的垂线，垂足为G、H；⊥四边形AOBC是正方形⊥AO= BO，⊥AOB =90°⊥⊥AGO⊥⊥OHB⊥ AG= OH，OG= BH⊥A点坐标为（-1，3）⊥ AG =3，OG=1⊥ OH =3，BH=]⊥B（3，1）同理可得C（2，4）(2)⊥点O与点E关于AP成轴对称⊥AO=AE，AP⊥OE且平分OE⊥E（0，6）根据上面全等可以得到D（3，5）⊥点P的纵坐标是3⊥点P在直线BC上⊥设直线BC为y = kx + b，由条件可得20 30k bk b+=⎧⎨+=⎩，解之得-310k b =⎧⎨=⎩ ⊥y =-3x +10当y =3时，73x =⊥P （73，3） 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，一次函数图象上点的坐标特征，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．26．（1）2；（2）当出发1s 或3s 时，线段PQ 的长度为5cm ．【分析】（1）由矩形的性质，得AP DQ =，继而列出关于t 的一元一次方程即可解题； （2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，先证明四边形APED 是矩形，再根据矩形的性质解得EQ 的长，最后在Rt PQE △中，根据勾股定理解题即可．解：（1）四边形APQD 为矩形．AP DQ ∴=，26t t ∴=-，36t =，2t ∴=,∴当2t =时四边形APQD 为矩形;（2）过点P 作PE CD ⊥于点E ，90A D DEP ∠∠∠===︒，∴四边形APED 是矩形．2AP DE t ∴==，63EQ CD DE CQ t ∴=--=-，在Rt PQE △中，222PE EQ PQ +=，2(63)9t -=，1t =，3t =，答：当出发1s或3s时，线段PQ的长度为5cm．【点拨】本题考查矩形的判断与性质、勾股定理，涉及解一元一次方程、解一元二次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．27．（1）详见分析；（2）当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形，证明详见分析【分析】(1)根据三角形中位线定理和全等三角形的判定解答即可；(2)根据菱形的判定解答即可．解：(1)⊥点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，⊥FH⊥BE，12FH BE=，BF＝FC，⊥⊥CFH＝⊥FBG，FH＝BG，⊥⊥BGF⊥⊥FHC；(2)当E是AD的中点时，四边形EHFG是菱形．当E是AD的中点时，AE＝ED，⊥四边形ABCD是矩形，⊥AB＝CD，⊥A＝⊥D=90︒，⊥⊥ABE⊥⊥DCE，⊥BE＝CE，⊥BE＝2FH，CE＝2FG，⊥FH＝FG =1122BE CE EG EH=＝＝，⊥EH＝HF＝FG＝GE，⊥四边形EGFH是菱形．【点拨】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是根据全等三角形的判定和菱形的判定解答．28．(1)见分析(2)⊥3；⊥6【分析】（1）利用AAS证△NDE⊥⊥MAE，得出NE＝ME，进而得出结论；（2）⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°，由菱形的性质得AD=6，进而求出AM的值；⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM，由⊥DAB＝60°，得出△AMD为等边三角形，进而求出AM的值．解：(1)证明：⊥四边形ABCD是菱形⊥AB⊥CD⊥⊥DNE＝⊥AME，⊥NDE＝⊥MAE⊥点E是AD边的中点⊥AE＝DE⊥△NDE⊥⊥MAE（AAS）⊥NE＝ME⊥四边形AMDN是平行四边形(2)解：⊥当四边形AMDN是矩形时⊥AMD=90°在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥⊥DAB＝60°⊥⊥ADM=30°⊥AM=12AD=3故答案为：3．⊥当四边形AMDN是菱形时，AM=DM⊥⊥DAB＝60°⊥⊥AMD为等边三角形⊥AM=AD在菱形ABCD中AD＝AB＝6⊥AM=6故答案为：6．【点拨】本题考查平行四边形的判定，矩形和菱形的性质，等边三角形的性质，30°的直角三角形的性质，熟练地掌握平行四边的判定方法和矩形菱形的性质是解决问题的关键．。
初中数学北师大版九年级下册中考专题动态几何
6
F' 2 2 G
4
2
小结
模型一：动点到定点定长模型
模型二
模型三
课后思考题
同学们再见！
折叠得到△EB’F ，连接B’D，则B’D的 最小值是 10 1
.
= 动点到定点的距离 定长
DE 12 32 10
A
3
D
1
B'
E
1
B'
B ' D DE B ' E 10 1
BF
3
C
变式3：在平行四边形ABCD 中，∠BCD＝30°，BC＝4， CD＝3 3 ，M 是 AD 边的中点，N 是 AB 边上一动点，将 △AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接 MC， 则 A'C 长度的最小值是 5 。
设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S=S1-S2， S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；
若不存在，请说明理由；
6
DH 2 3 DF ' 2 3 2
H
SABF '最小
1 2
AB
DF '
1 2
6 (2
3 2)
6 36
1 S1 2 6 3 3 3
Smax S1 S2 3 3 (6 3 6) 6 3 3
点 C 落在点 P 处。
6
(1)点 P 到边 AB 距离的最小值是 5
。
A
= 动点到定点的距离 定长
sin A BC 8 4 AB 10 5
FH 4 4 16 55
P'H FH FP' 16 2 6
5
5
变式： △ABP的面积的最小值是 6
新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)
新北师大版九年级动点问题专题练习(含答案)案场各岗位服务流程销售大厅服务岗：1、销售大厅服务岗岗位职责：1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品;2)保持销售区域台面整洁;3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等;4)收集客户意见、建议及现场问题点；2、销售大厅服务岗工作及服务流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
班中工作程序服务流程行为规范迎接指引递阅资料上饮品（糕点）添加茶水工作要求1）眼神关注客人，当客人距3米距离时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后侯客迎询问客户送客户注意事项15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！”3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人；4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）；7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等待；阶段工作及服务流程班中工作程序工作要求注意事项饮料（糕点服务）1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用托盘；2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一下，请问您需要什么饮品”为起始；3）服务方向：从客人的右面服务；4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时，必须询问客人是否需要再添一杯，在二次服务中特别注意瓶口绝对不可以与客人使用的杯子接触；5）在客人再次需要饮料时必须更换杯子；下班程序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导；2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会；4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；1.3.3.3吧台服务岗1.3.3.3.1吧台服务岗岗位职责1）为来访的客人提供全程的休息及饮品服务；2）保持吧台区域的整洁；3)饮品使用的器皿必须消毒；4）及时补充吧台物资；5）收集客户意见、建议及问题点；1.3.3.3.2吧台服务岗工作及流程阶段工作及服务流程班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。
动点专题(北师版)(含答案)
动点专题（北师版）试卷简介:考查学生辨识动点问题，利用动点套路解决问题，本套试卷尤其侧重对动点运动路程表达的考查。
一、单选题(共10道，每道10分)1.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AD=12,BC=24,动点P从点A出发沿AD向点D以每秒1个单位的速度运动,动点Q从点C出发沿CB向点B以每秒2个单位的速度运动,P,Q同时出发,当点P停止运动时,点Q也随之停止,连接PQ,DQ.设点P的运动时间为t秒,当t为( )秒时,△PDQ≌△CQD.A.6B.5C.4D.3答案：C解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得AP=t，CQ=2t∵AD=12∴DP=12-t要使△PDQ≌△CQD，则需DP=QC即12-t=2t，t=4∴当t=4时，△PDQ≌△CQD．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题2.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=10,点E为边AD上一点,且AE=7.动点P从点B出发,沿BC向点C以每秒2个单位的速度运动,连接AP,DP.设点P的运动时间为t秒.当t为( )秒时,△DCP≌△CDE.A.7B.3C. D.答案：C解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：如图，由题意得BP=2t∵BC=10∴CP=10-2t要使△DCP≌△CDE，则需CP=DE即10-2t=3，t=∴当t=时，△DCP≌△CDE．故选C试题难度：三颗星知识点：动点问题3.已知:如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点.点P在线段BC上以每秒2cm 的速度由点B向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C向点A运动.设点P的运动时间为t 秒,当t为( )秒时,△BPD与△CQP全等.A. B.或2C.3D.3或4答案：B解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得BP=2t∵BC=8∴PC=8-2t∵AB=10，D为AB的中点∴BD=AB=5①要使△BDP≌△CPQ，则需CP=BD，CQ=BP即8-2t=5，t=∴当t=时，△BDP≌△CPQ．②要使△BDP≌△CQP，则需CP=BP，CQ=BD即8-2t=2t，CQ=5∴t=2∴当t=2时，△BDP≌△CQP．综上所述，当t=或t=2时，△BPD与△CQP全等．故选B试题难度：三颗星知识点：动点问题4.已知:如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=6cm,点E为AB的中点,如果点P在线段BC上以每秒1cm的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CD上由点C向点D运动.设点P的运动时间为t秒,若某一时刻△BPE与△CQP全等,则点Q的运动速度是( )A.cm/s或1cm/sB.3cm/s或4cm/sC.1cm/sD.4cm/s答案：A解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：由题意得BP=t∵BC=6∴PC=6-t①要使△BPE≌△CPQ，则需BP=CP，BE=CQ即t=6-t，t=3此时点Q的运动速度是∴当点Q的运动速度是cm/s，△BPE≌△CPQ.②要使△BPE≌△CQP，则需BE=CP，BP=CQ即2=6-t∴t=4此时点Q的运动速度是4÷4=1∴当点Q的运动速度是1cm/s时，△BPE≌△CQP．综上所述，当点Q的运动速度是cm/s或1cm/s时，△BPE与△CQP全等．故选A试题难度：三颗星知识点：动点问题5.已知:如图,在长方形ABCD中,AB=DC=4,AD=BC=5.延长BC到点E,使CE=2,连接DE.动点P从点B出发,以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒.当t 为( )秒时,△ABP和△DEC全等.A.2B.2或12C.1D.1或6答案：D解题思路：（1）考点：动点问题，全等三角形（2）解题过程：解：①当P在BC上时，由题意得BP=2t要使△ABP≌△DCE，则需BP=CE∵CE=2∴2t=2，t=1即当t=1时，△ABP≌△DCE②当P在CD上时，不存在t使△ABP和△DCE全等③当P在AD上时，由题意得BC+CD+DP=2t∵BC=5，CD=4，AD=5∴AP=5+4+5-2t=14-2t要使△ABP≌△CDE，则需AP=CE即14-2t=2，t=6即当t=6时，△ABP≌△CDE．综上所述，当t=1或t=6时，△ABP和△DEC全等．故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题6.如图,在长方形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,动点P以4cm/s的速度从B点出发,沿BA方向向点A移动,同时动点Q以1cm/s的速度,沿CD方向向点D移动,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s),则当t为( )秒时,线段PQ恰好平分长方形ABCD的面积.A.3B.4C.5D.6答案：B解题思路：解：由题意可得，BP=4t，CQ=t，且0≦t≦5∵线段PQ恰好平分矩形ABCD的面积，∴∴即∴t=4（符合题意）故选B试题难度：三颗星知识点：动点问题7.已知:如图1,点G是BC的中点,点H在AF上,动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动,运动路径为:G—C—D—E—F—H,相应的△ABP的面积y(cm2)关于运动时间t(s)的图象如图2,若AB=6cm,则下列四个结论中正确的个数有( )①图1中的BC长是4cm;②图2中的M点表示第4秒时y的值为24cm2;③图1中的CD长是4cm;④图2中的N点表示第12秒时y的值为18cm2.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解题思路：（1）考点：动点问题的函数图象（2）解题过程：解：根据函数图象可以知：从0到2，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm，故①错误P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=4cm，面积，故②③正确图2中的N点表示第12秒时，点P到达H点，△ABP的面积是18cm2，故④正确，故选C．试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,DC=4,BC=6,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒2个单位长度的速度向终点D运动,当其中一个动点到达终点时,另一动点也随之停止运动.设运动时间为t秒,当t为( )时,△MNC是以MN为底的等腰三角形.A.1B.2C.3D.答案：D解题思路：（1）考点：动点问题，等腰三角形（2）解题过程：解：由题意可得，BM=2t，CN=2t，且0≦t≦2又∵△MNC是以MN为底的等腰三角形，则CM和CN为腰，∴CM=CN，∵BC=6，∴CM=6-2t，CN=2t，即6-2t=2t∴t=（符合题意）故选D试题难度：三颗星知识点：动点问题9.如图,在长方形ABCD中,∠B=90°,AB=6m,BC=8m,动点P以3m/s的速度从点A出发,沿AC方向向点C移动,同时动点Q以2m/s的速度从点C出发,沿CB方向向点B移动;当P,Q两点中其中一点到达终点时,则停止运动.设运动时间为t秒,则当t为( )秒时,△PQC是以PQ为底的等腰三角形.A.2B.5C. D.答案：A解题思路：解：由题意可得，AP=3t，CQ=2t，且0≦t≦，又∵△PQC是以PQ为底的等腰三角形，则CP和CQ为腰，∴CP=CQ，在Rt△ABC中，由勾股定理，得CP=10-3t，CQ=2t，即10-3t=2t∴t=2（符合题意）故选A试题难度：三颗星知识点：动点问题10.如图1,在长方形ABCD中,动点P从B点以2cm/s的速度出发,沿BC-CD-DA运动到A点停止,设点P的运动时间为x(s),△ABP的面积为y(cm2),y关于x的函数图象如图2所示,则长方形ABCD的面积是( )cm2.A.4B.8C.10D.16答案：D解题思路：（1）考点：动点问题的函数图象（2）解题过程：解：由图2可得：当点P运动1秒后，△ABP的面积变化发生转折，由点P的运动速度为2cm/s，可得BC=2cm；当点P从第1秒至第5秒时，△ABP的面积不变，可得CD=8cm；故矩形ABCD的面积为：2×8=16cm2．故选D．试题难度：三颗星知识点：动点问题的函数图象。
专题2.3 几何动点问题(压轴题专项讲练)(北师大版)(原卷版)
专题2.3 几何动点问题【典例1】如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．点P从点A出发，沿AB向点B以1cm /s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC向点C以2cm s的速度移动．（1）经过多少秒后，△PBQ的面积为8cm2？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出移动时间；若不能，请说明理由．（3）若点P从点A出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发，沿射线CB方向以2cm s 的速度移动，经过多少秒后△PBQ的面积为1cm2？（1）根据三角形面积公式列出方程，解方程即可；（2）根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答；（3）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB 上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案．（1）解：设经过x秒后，△PBQ的面积为8cm2．根据题意得：AP=x cm,BQ=2x cm，∴BP=(6−x)cm，∴1(6−x)⋅2x=8，解得x1=2，x2=4，2故经过2秒或4秒后，△PBQ的面积为8cm2；（2）解∶设经过t秒后，线段PQ将△ABC分成面积相等的两部分．×6×8=24，∵S△ABC=12∴S △PBQ =12(6−t )⋅2t =12×24，即t 2−6t +12=0．∵Δ=b 2−4ac =(−6)2−4×12=−12<0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能将△ABC 分成面积相等的两部分．（3）解：设y 秒后，△PBQ 的面积为1cm 2；分三种情况：①点P 在线段AB 上，点Q 在线段CB 上(0<t <4)，如图所示，依题意得：12(6−y )(8−2y )=1 ，即y 2−10y +23=0，解得y 1=5+y 2=经检验，y 1=5不符合题意，舍去，∴y = ②点P 在线段AB 上，点Q 在射线CB 上(4<t <6)，如图所示，依题意得：12(6−y )(2y−8)=1，即y 2−10y +25=0，解得y 1=y 2=5，经检验，y =5符合题意；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上(t>6)，如图所示，依题意得：1(y−6)(2y−8)=1，2即y2−10y+23=0，解得y1=5+y2=经检验，y2=∴y=5综上所述，经过(秒或5秒或(5+秒后，△PBQ的面积等于1cm2．1．（2022春·浙江绍兴·八年级校联考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以2cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过_________________秒后△PBQ的面积等于4cm2．2．（2022秋·山东临沂·九年级校考阶段练习）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P 从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过______秒后，P，Q两点间距离为3．（2022春·浙江杭州·九年级专题练习）如图，长方形ABCD中，AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t秒，当t=________时，以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．4．（2022春·安徽合肥·八年级校考阶段练习）如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以1cm s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以2cm s的速度运动，P，Q 两点同时出发，运动时间为t(s)．，求t的值？（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的14（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．5．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，点P从A沿AC 边向C点以1cm/s的速度移动，在C点停止，点Q从C点开始沿CB边向点B以2cm/s的速度移动，在B 点停止．（1）如果点P，Q分别从A、C同时出发，经过2秒钟后，S△QPC＝cm2；（2）如果点P从点A先出发2s，点Q再从点C出发，问点Q移动几秒钟后S△QPC＝4cm2？（3）如果点P、Q分别从A、C同时出发，经过几秒钟后PQ＝BQ？6．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=8cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动、同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动．（1）△PQB的面积能否等于9cm2？请说明理由．（2）几秒后，四边形APQC的面积等于16cm2？请写出过程．7．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为t秒．当点Q运动到点B时，两点停止运动．（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离为______cm．（用含t的代数式表示）．若存在，求t的值；若不（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的16存在，说明理由．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12 cm，BC=16 cm．点P从点A 开始沿AB 边向点 B 以 1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC 边向点C以 2 cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t 为何值时，△PBQ的面积等于35cm2？（2）当t 为何值时，PQ的长度等？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，△PCQ的面积等于32cm2？9．（2022秋·广东东莞·九年级统考阶段练习）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿AC以1cm/s的速度向点C移动，点Q从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动．（1）如果P，Q两点同时出发，当某个点先到达终点时，运动终止．问：几秒钟后△PCQ的面积等于8cm2？（2）如果P，Q两点同时出发，且点Q到达点C后立即返回，速度保持不变，直到点P到达点C后同时停止运动，那么在整个移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ的面积等于1cm2？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．10．（2022秋·山东青岛·九年级山东省青岛实验初级中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s 的速度向终点C运动，它们到达终点后停止运动．（1）几秒后，点P、D的距离是点P、Q的距离的2倍；（2）是否存在时间t使得△DPQ的面积是22cm2？若存在请求出t，若不存在，请说明理由．11．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P 从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）．（1）当t＝4时，求△APQ的面积．（2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半．12．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？13．（2023春·八年级单元测试）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点A(−8,0)，点C(3,4)BC交y轴于点D.动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当△BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．14．（2022秋·山东青岛·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P 从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？（3）如果P、Q两点分别从A、C两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从C出发，沿CB移动（到达点B即停止运动），是否存在一个时刻，PQ同时平分△ABC 的周长与面积？若存在求出这个时刻的t 值，若不存在说明理由．15．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，矩形ABCD，AB=6cm，AD=2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．；（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49（2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q请说明理由．16．（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝16cm，AB ＝12cm，BC＝21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q 从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等于60cm2？（3）当0<t<10.5时，是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．17．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°．点P从点B出发，沿B→A→C以每秒3cm的速度向终点C运动，同时点Q从点B的速度向终点C 运动，其中一点到达终点即停止．设点P的运动时间为t．（1）当t＝2秒时，求△BPQ的面积；（2）PQ能否与△ABC的一条边平行，如果能，求出此时t的值；如不能，说明理由；（3）△BPQ的面积能否为△ABC面积的三分之一？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．18．（2022秋·福建泉州·九年级福建省安溪第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A(0,2)、C(6,0)作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t 秒．（1）填空：OP=_______，OQ=_______（用含t的代数式表示）（2）设△OPQ的面积为S1，△BQC的面积为S2，当t为何值时，S1+S2的值为30．（3）求当t为何值时，△PQB为直角三角形．。
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北师大版初三中考动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q 在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使（22点P（1（2式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t 秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为 ；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．αA CB PQ E D 图16 O E C D A l O C7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8交CD （1（2MN 出△A D EB FC 图4（备用）A D EB FC 图5（备用） 图1 图2 M 图3 C M （第8题）9如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90∠=，且EF交正方形外角DCGAEF∠的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AME ECF△≌△，所以AE EF=．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC 上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；参考答案1.解：（1）①∵1t=秒，∴313BP CQ==⨯=厘米，∵10AB=厘米，点D为AB的中点，∴BD又∵∴PC∴PC又∵∴B∠∴△分）②∵v又∵∴点∴Qv分）（2解得x∴点∵8022824=⨯+，∴点P、点Q在AB边上相遇，∴经过803秒点P与点Q第一次在边AB上相遇．·········（12分）2.解（1）A（8，0）B（0，6）··1分（2）86OA OB==，10AB∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分 当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ····························· 1分 当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865t PD -=， ······ 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ··················· 1分 （自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ························· 1分 12382412241224555555I M M 2⎫⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·············· 3分 3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8），∴OA =4，OB =8.由题意，OP =－k ，∴PB =PA =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2，∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径，∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3，∴PE =33. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ，∴△AOB ∽△PEB ，∴332,45AO PE AB PB PB=即， ∴315PB =∴31582PO BO PB =-=-， ∴315(0,8)2P -， ∴31582k =-. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－3152－8)， ∴k =－3152－8， ∴当k =3152－8或k =－3152－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，8；5（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴3=-．AP t 由△AQF∽△ABC，22BC=-，534得45QF t =．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形． 此时∠AQP =90°． 由△即3t 由△即5t （4①点连接PC =由PC ②点(6)t - 6.分∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分 在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC P∴AO =12AC. ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，边形分sin 45︒=2cos 454242AB ︒== ················分 CDH 中，由勾股定理得，HC 43310BK KH HC ++=++=分 边形∴MN DG ∥ ∴3BG AD == ∴1037GC =-= ····················· 4分 由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△A D C∴CN CMCD CG=······················5分即102 57 t t-=解得，5017t=······················6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC=时，如图③，即102t t=-∴103t=························7分即5 53 t t-=∴258t=························8分③当MN MC=时，如图⑤，过M作MF CN⊥于F点.1122 FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）C132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MC HC DC =8.则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ········· 6分（图⑤） A D C B H N MF C 图2②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ······················ 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ········ 8分F 重合，△tan301PM ︒=．6EP GM ==综上所述，当2x =或 9，0） ······················ 运动速度每秒钟1个单位长度．················ BF ⊥y 轴于点 ∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分 （3） 过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，B则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==． 设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ··········· 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分． ∵a 此时 （4）10.BM ∴CF ∴∠∴∠∴∠∠∴∠∴△ AE ∴（2）正确．·············· （7分） 证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． ········ （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．A D FC GE BN∴∠=∠．DAE BEA∴∠=∠．NAE CEF∴△≌△（ASA）．··················（10分）ANE ECF∴=．（11分）AE EF。