材料力学第7章梁的变形
合集下载
材料力学第七章课后题答案 弯曲变形
3．确定积分常数
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
(a) (b)
7
该梁的位移边界条件为：
在x 0处， w0 dw 在x 0处， 0 dx 将条件(c)与(d)分别代入式(b)和(a)，得 D 0，C 0 4．建立挠曲轴方程 将所得 C 与 D 值代入式(b)，得挠曲轴的通用方程为
1 Fa 2 F 3 3Fa [ x x xa EI 4 6 4 由此得 AC 段、 CD 段和 DB 段的挠曲轴方程依次为 w
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1或w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
41qa 4 ( ) 240EI 将以上所得 C 值和 x 2a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC θB qa 3 7 4 16 1 187 203qa 3 [ ] EI 24 24 24 720 720 EI ()
(4)
D1 0 ， C1
由条件（4） 、式（a）与（c） ，得
qa 3 12 EI
C2
由条件（3） 、式（b）与（d） ，得
qa 3 3EI
D2
7qa 4 24 EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角 将所得积分常数值代入式（c）与（d） ，得 CB 段的转角与挠度方程分别为
q 3 qa 3 x2 6 EI 3EI 3 q qa 7 qa 4 4 w2 x2 x2 24 EI 3EI 24 EI 将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
5．计算 wC 和 θ B 将 x a 代入上述 w1 或 w2 的表达式中，得截面 C 的挠度为
Fa 3 ( ) 12 EI 将以上所得 C 值和 x 3a 代入式(a)，得截面 B 的转角为 wC
秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力
危险点发 生在什么 位置？
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面：矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C
拉
z
M
z
C
压
拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（2）静力平衡关系 由平面假设，横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下，梁横 截面上的内力只有Mz=M，轴力和 My等其他内力均为零，则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方
y
与y成正比，沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（4）物性关系
y 将 代入物性关系，得： y E E
可见，梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比， 即 （1）沿截面高度线性分布； （2）在中性层处为零，在上、下表面 处最大。
My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁，如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式： 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面：矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C
拉
z
M
z
C
压
拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（2）静力平衡关系 由平面假设，横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下，梁横 截面上的内力只有Mz=M，轴力和 My等其他内力均为零，则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方
y
与y成正比，沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（4）物性关系
y 将 代入物性关系，得： y E E
可见，梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比， 即 （1）沿截面高度线性分布； （2）在中性层处为零，在上、下表面 处最大。
My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁，如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式： 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13
材料力学课件第七章变曲应力(机械专业)
A ydA M
yC ydA A ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ A
(c)
(a)(b)
A ydA 0
E
中性轴通过横截面形心
(a)(c)
A
y 2dA M
M EI z 1
Iz
A
y2dA－惯性矩
(d)
(d)(a)
( y )
My Iz
max
M Wz
max
Mymax Iz
静力学方面:
( y)
( y)d d y d
y
(a)
物理方面:
( y) E ( y)
dA0 (b) Fx 0, A M z 0, A ydA M (c)
第七章
弯曲应力
正应力分布
第七章
E
y
弯曲应力
(b)
(a)
dA 0 A
A
F
z
1）画弯矩图 跨中截面 C 为危险截面 危险截面上的最大弯矩
M max 1 Fl 280 kN m 4
M /kN m
C 8m
a
B
y
F
A
C
B
8m
280
x
第七章
2）计算正应力
弯曲应力
查型钢表，No. 50a 工字钢的惯性矩 Iz = 46500 cm4 ，抗弯截面 系数 Wz = 1860 cm3 危险截面 C 上的最大正应力
第七章
7.1 概 述
弯曲应力
如图所示简支梁横截面为矩形，两个外力F垂直于轴线，对称地作 用于梁的纵向对称面内。从图中可以看出，在AC和DB两段内，梁各横 截面上既有弯矩又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。在CD 段内梁横截面上剪力为零，而弯矩为常数，这种弯曲称为纯弯曲。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学 第7章 弯曲变形
M
Fx 挠曲轴近似微分方程： w ' ' EI 3 2 Fx Fx w Cx D w' ( x) C 6 EI 2EI
梁的弯矩方程： M ( x ) Fx
2、确定积分常数
FAy
A x
F L
B
X=0, w=0 X=L, w=0
M
Me L C＝－ ，D＝0 6 EI
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
FAy
x
F L
B
M
3、挠度方程、转角方程及B截面的转角
Fx w' (x) 2EI 3 Fx w 6 EI
2
将 x=L 代入转角方程：
FL2 B 2 EI
例2：简支梁AB，弯曲刚 度 EI为常数，受力偶 M=FL作用，求w(x)，
FAy
A x
F L
B
θ(x)；
解：1、 建立挠曲轴微分方程并积分 A端约束反力 FAy=F
FA A a l
x
F D b
FB
B x
Fb 解：坐标系如图，求出反力。 FA l 分AD、DB两段分析：
y
Fa FB l
b AD段： 0 x a M x F x l b M x F x 则： EIw1 l
积分可得：
b M x F x EIw1 l
= 0
自由端：无位移边界条件。 位移连续与光滑条件 挠曲轴在B点连续且光滑 连续：wB左= wB右 光滑：左 = 右
F A B D
写出梁的挠曲轴方程的边界条件和连续条件。 例：
F A B C E D
思考： 1、 该梁可分几段积分？ 2、 各边界和内部分界点有多少位移边界与连续条件？ 分4段。 位移边界条件：A端：2个； C端：1个；D端：无。 位移连续条件：E：2个；B：1个；C：2个
材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：
材料力学第六版答案第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+- 3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJ B y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l=()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+-3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==g g(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++g g 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
第七章 弯曲变形
材料力学
弯曲变形/挠曲线的近似微分方程
二、挠曲线的近似微分方程
1 M ( x) 力学公式 ( x) EI z d2y 1 dx2 数学公式 3 ( x) dy 2 2 [1 ( ) ] dx 1
，得：
以上两式消去
材料力学
d2y M ( x) dx2 3 EI z dy 2 2 [1 ( ) ] dx
材料力学
x 0, y A 0
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, yB lBD
FBy h EA
FBy k
弯曲变形/用积分法求梁的变形
讨论：
（1）凡载荷有突变处（包括中间支座），应作为分段点；
（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点； （3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两 部分之间的相互作用力，故应作为分段点；
B L x
A
x L时，yB 0.
材料力学
弯曲变形/用积分法求梁的变形 若B支座改为弹簧支撑，则： y A a
L
若B支座改为拉杆支撑，则： D B kx A a
L
F
C
b
F C b
EA
h
x 0, y A 0
B
x a时，C左 C右 x a时，yC左 yC右
x L, y B
弯曲变形/用积分法求梁的变形 AC段 (0 x a) BC段 (a x L) Fb 2 Fb 2 F EI y1 EI 1 x C1 , EI y2 EI 2 x ( x a ) 2 C2 , 2L 2L 2 Fb 3 Fb 3 F EIy 1 x C1 x D1 , EIy 2 x ( x a ) 3 C2 x D2 , 6L 6L 6 3、确定常数 由边界条件：
梁弯曲变形的计算
yC 2
A MA FA A F C
(a)
Fl 3 24 EI Z
B FB B FB
求得有无顶尖作用时，在刀 尖处变形比为：
yC 7 yC 2 32
结论：可见用顶尖可有效地 减小工件的变形，因而，在 细长轴加工中要设置顶尖， 甚至使用跟刀架。
材料力学
+ A C F B
(b)
F MA A 2a (a)
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
2
x
材料力学
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d w M ( x) 2 dx EI z
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
1 M ρ EI z
忽略剪力对变形的影响
1 M ( x) ( x) EI z
材料力学
由数学知识可知：
d y 2 1 dx dy 2 3 [1 ( ) ] dx 略去高阶小量，得
2
y M (x ) > 0 M (x ) > 0
dy dx 2 > 0 O
y M (x ) < 0
3
11ql 3 ( ) 48EI
材料力学
wC
例4 已知：悬臂梁受力如图 示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度wC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
材料力学 第七章 弯曲变形
，
FA
3FP 4
(↑)
3FP
FP
FC
FP 4
(↑)
4
4
明德行远 交通天下
材料力学
（2）分段列梁的弯矩方程
AB段：
M1(x)
3 4
FP x
0x l 4
3
l
BC段：
M 2 ( x)
4
FP x
-
FP (x
-
) 4
l xl 4
（3）积分法求梁的挠曲线
挠曲线近似微分方程
EI
d 2w1 dx2
=
-
M1(x)
-
wC- wC
P
A （b）
图（b）： wA 0 A 0
或写成w C
左
wC右
光滑条件
C- C
或写成 C 左 C 右
明德行远 交通天下
材料力学
讨论： ①适用于小变形、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可求解各种载荷作用下等截面或变截面梁上任意位置处的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、光滑连续条件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。
（2）
EIzw=EIz = -
q(x)dx3
1 2
C1x2
C2
x
C3
（3）
明德行远 交通天下
材料力学
例题7-1如图所示，受集中荷载的简支梁AC。已知EI、l、FP。试写出梁的挠 度方程和转角方程，并求截面A和C处的转角及B截面处的挠度。
明德行远 交通天下
y
FP
A
B
θA wB
l 4
EI
3l 4
C
θC
建筑力学之材料力学第7章(华南理工)
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 1 ql 解: 取坐标系如图.
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 由于梁和梁上的荷载是 1 ql 对称的, 所以最大挠度发生 2 在跨中: q
5ql4 l 2l l l3 l = ymax = y x l = 24 EIz 2 2 2 384 EIz 2
M ( x) y= EIz
EIz =Flx 1 Fx2 2 1 Flx2 1 Fx3 EIz ) EIz 2 y = 1 1 Flx2 1 Fx3 (挠度方程) EIz 2 6
将x=l 代入上述二式, 即得自由端截面的转角和挠度:
D1 =D2 D2 =0 由条件(4)有: Fb a3 C1a D1 = Fb a3 +C2a +D2 6l 6l 由条件(1)得: D1 =0 由条件(2)得: F (l a )3 Fb l3 +C2l =0 6 6l Fb (l2 b2 ) C2 = 6l 2 2 =EIz1 = Fb x1 C1 EIz y2 = F ( x2 a )2 Fb x2 C2 EIz y1 2 2l 2l 3 3 EIz y1 = Fb x1 C1 x1 D1 EIz y2 = F ( x2 a )3 Fb x2 +C2 x2 +D2 6l 6 6l 边界条件: 变形连续条件: x1 =x2 =a , y1 =y2 (3) y= M ( x ) x1 =0, y1 =0 (1) EIz x1 =x2 =a , y1 =y2 (4) x2 =l , y2 =0 (2)
M ( x) y= EIz
例7-3 求图示梁C截面的挠度 和A截面的转角。 yC = Fab l 2 b2 a2 6lEIz
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学 第七章弯曲正应力(1,2)解析
M
1.平面假设： 梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形 后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度。 2.单向受力假设： 假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均 处于单向受拉或受压的状态。
中性层 梁在弯曲变形时，凹面部分纵向纤维缩短，凸面 部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不 缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层. 中性轴
C截面
Fb/4 拉应力 压应力 B截面
20
y 20
拉应力
压应力
可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度 条件则B、C截面都要考虑。
Fb/2
40 180
120 C 形心 86 z 134
Fb/4 考虑截面B ：
t,max
c, max
M B y1 F / 2 2 103 mm134 mm 90 MPa 4 4 Iz 5493 10 mm F 73.8 kN
c
注：强度校核（选截面、荷载） （ 1） （ 2）
[ ]t [ ]c （等截面）只须校核Mmax处
[ ]t [ ]c （等截面）
(a)对称截面情况只须校核Mmax处使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。
查型钢表得56b号工字钢的Wz比较接近要求值
Wz 2447cm3 2447103 mm3
此时 max
M max 153MPa Wz
误差小于5%，可用
例4-17 跨长 l= 2m 的铸铁梁受力如图，已知铸铁 的许用拉应力[ t ]=30 MPa，许用压应力[ c ] =90 MPa。试根据截面最为合理的要求，确定T字形梁 横截面的尺寸d ，并校核梁的强度 。
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
材料力学 哈工大
C,D 为积分常数，由梁的位移约束条件确定 为积分常数，
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
确定积分常数的条件有两类： 确定积分常数的条件有两类： 边界条件和变形连续条件。 边界条件和变形连续条件。 边界条件： 边界条件：
y
2l 3 l
边界条件： 边界条件：
x
y
l
铰支座： 铰支座：
第7章 弯曲 章
7-7 剪力弯曲梁横截面的切应力
τ =?
FS
圆环截面
z
τ m ax
τ max
FS = 2.0 A
y
A为圆环截面面积 为圆环截面面积
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
边界条件： 边界条件：
x = 0, v = 0 (c ) x = l, v = 0 (d )
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
y
为常数。 例7-15：求简支梁挠曲线方程。EI为常数。 ：求简支梁挠曲线方程。 为常数
q
A
ql 2
B x
ql 2
x
v max
l
1 1 2 解： M ( x) = qlx − qx 2 23 q l 2 1 3 l θ= ( x − x − )
D1 = 0 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 Fb 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (求解梁的弯曲变形
y
D1 = 0 x1 C b x2 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 a F F l Fb l l 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (l 2 − b2 ) Fb 2 2 6l EIθ 1 = ( x1 − l + b 2 ) Fb 2 6l x1 = 0, θ 1 = θ A = − (l − b 2 ) bFx1 2 2 6 EIl EIv1 = ( x1 − l + b 2 ) Fab 2 6l x1 = a , vC = − (l − b 2 − a 2 ) bF 3l 6 EIl 2 2 2 EIθ 2 = [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) 2 ] 6l b bF 3 2 l 位移包括线位移 线位移和 2 EIv2 = [ x2 − l + b − ( x2 − a ) 3 ] 位移包括线位移和角位移 6l b
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
确定积分常数的条件有两类： 确定积分常数的条件有两类： 边界条件和变形连续条件。 边界条件和变形连续条件。 边界条件： 边界条件：
y
2l 3 l
边界条件： 边界条件：
x
y
l
铰支座： 铰支座：
第7章 弯曲 章
7-7 剪力弯曲梁横截面的切应力
τ =?
FS
圆环截面
z
τ m ax
τ max
FS = 2.0 A
y
A为圆环截面面积 为圆环截面面积
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
第7章 弯曲 章
7-8 开口薄壁截面的杆的弯曲中心
边界条件： 边界条件：
x = 0, v = 0 (c ) x = l, v = 0 (d )
第7章 弯曲 章
7-10 直接积分法求解梁的弯曲变形
y
为常数。 例7-15：求简支梁挠曲线方程。EI为常数。 ：求简支梁挠曲线方程。 为常数
q
A
ql 2
B x
ql 2
x
v max
l
1 1 2 解： M ( x) = qlx − qx 2 23 q l 2 1 3 l θ= ( x − x − )
D1 = 0 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 Fb 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (求解梁的弯曲变形
y
D1 = 0 x1 C b x2 由(3),(4)知： C1 = C 2 , D1 = D2 = 0 知 a F F l Fb l l 由(2)知： 知 C1 = C2 = − (l 2 − b2 ) Fb 2 2 6l EIθ 1 = ( x1 − l + b 2 ) Fb 2 6l x1 = 0, θ 1 = θ A = − (l − b 2 ) bFx1 2 2 6 EIl EIv1 = ( x1 − l + b 2 ) Fab 2 6l x1 = a , vC = − (l − b 2 − a 2 ) bF 3l 6 EIl 2 2 2 EIθ 2 = [3 x2 − l + b − ( x2 − a ) 2 ] 6l b bF 3 2 l 位移包括线位移 线位移和 2 EIv2 = [ x2 − l + b − ( x2 − a ) 3 ] 位移包括线位移和角位移 6l b
材料力学第7章第二部分
弯曲
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到 轴线上。
载荷的简化： 集中荷载，集中力偶，分布荷载
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲ห้องสมุดไป่ตู้
一端是固定铰支约束，另一 端可动铰支约束，为简支梁
简支梁的计算简图
第7章 7-1 梁的内力 剪力与弯矩 梁的支承的简化
弯曲
一端为固定约束，另一端自 由，即没有约束，为悬臂梁
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程 M z M z ( x ) 弯矩方程
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 F s y F s y ( x ) 剪力方程
剪力图
M z M z(x)
弯矩方程
弯矩图
步骤：沿坐标为x的横截面将梁截开，取出其中一段，分 别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力 FQ(x)和弯矩M(x)的表达式，即剪力方程FQ(x)和弯矩方程 M(x)。 练习: 确定图中所示梁的剪力 方程和弯矩方程矩图。
Mc 0 M z 2 2.5 2 1.5 2 1 2kN m
第7章 弯曲
7-2 剪力图与弯矩图 1)内力方程：梁横截面上的剪力和弯矩是随截面的位置而变 化的，描述这种变化的数学表达式
Fs y Fs y ( x ) M z M z ( x)
M＝0
FSy x ＝qx FRA＝qx－
qlx qx 2 M x ＝ － 2 2
ql 2
0 x l
0 x l
第7章 3） 确定剪力方程和弯矩方程
弯曲
解：
ql Fs y ( x ) qx 2 (0 x l )
梁弯曲变形的计算
材料力学
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
5ql 4 ql 4 ql 4 wC wCi 384 EI 48EI 16 EI i 1
3
wC1
11ql 4 ( ) 384 EI
wC2 wC3
ql 3 ql 3 ql 3 B Bi 24 EI 16 EI 3EI i 1
材料力学
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 光滑连续条件 位移边界条件
~
~
~
~
A
A
~ ~
~
~
~
~
~
~
~
A A
A
A
~
~
wA 0
wA 0
wA
－弹簧变形
wAL wAR
~
wAL wAR
A 0
AL AR
材料力学
~
A
~
~
A A AA
A
A
A AA
超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统。 2.求解方法： 解除多余约束，建立相当系统——比较变形，列变 形协调条件——由物理关系建立补充方程——利用 静力平衡条件求其他约束反力。
材料力学
材料力学
例5：试分析细长轴车削过程中顶尖的作用，已知：工件的抗弯刚度 为EIZ，切削力为F，且作用在零件的中间位置，零件长度为l。
2
x
d y 2 dx
d y M ( x) 所以 2 dx EI z
2
O
1
2
M (x ) < 0
dy dx 2 < 0
材料力学07弯曲应力ppt课件
分离部分 ——平衡分析……
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解： M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
＋
－F
Q
Fa
－
M
CD段：只有弯矩没有剪力－ 纯弯曲
AC和BD段：既有弯矩又有剪力－ 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ，
x
y 26
dA1
s
, b s
顶面有 ,存在.
两截面M 不等—— s 不等
(X 0)
左侧面
dx
N1
M
A1 sdA1 I z
A1 ydA1
右侧面
MS
z
Iz
dM
S
* z
, b( dx ) 0
Iz
FS
,
dM dx
S
z
Izb
FS
S
z
Izb
(∵切应力互等 )
2s
h
2 ( bdy )y s
bh2
M
0
4
s
4M bh2
2. 按沿梁高线性分布:
s max
M h2 Iz
s
6M bh2
s1 2 s2 3
(相差三分之一)
13
[例2]:
15KN
6KN
求B截面K点应力
B
1m
1m
解： M
3
6kNm
s
My Iz
90
K 90
60
120 ( 拉? 压应力? )
IZ
bh3 12
第七章 弯曲应力
§1 弯曲正应力 §2 正应力强度条件 §3 弯曲剪应力 §4 剪应力强度条件 梁的合理截面 §5 非对称截面梁弯曲弯曲中心 §6 考虑塑性的极限弯矩
1
概述
＋
－F
Q
Fa
－
M
CD段：只有弯矩没有剪力－ 纯弯曲
AC和BD段：既有弯矩又有剪力－ 剪切弯曲
2
剪力FS
弯矩M
切应力τ
正应力s
先分析纯弯梁横截面的正应力s ，
材料力学第2版 课后习题答案 第7章 弯曲变形
解：查自重得：
q = 587.02 N / m
J = 15760cm4 Pl 3 5ql 4 f =− − 48EJ 384EJ −176 × 103 × 113 = 48 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 −587.02 × 5 × 114 + 385 × 210 × 109 × 15760 × 10−8 × 4 = 0.0377 m = 3.77cm
(d) 解：
D A P P E
' yC = y E + θ B ia + y C
C B P
− P ( 2a ) − Pa 3 − Pa3 = − − 3EJ 3EJ 3EJ 3 −10 Pa = 3EJ
3
252
7-5 门式起重机横梁由4根36a工字钢组成如图所示， 梁的两端均可视为铰支， 钢的弹 性模量E=210Gpa。试计算当集中载荷P＝176 kN作用在跨中并考虑钢梁自重时，跨中截面 C的挠度yC。
x=l
∴y =−
'
∴D = 0
y=0
∴C =
− M 0l 6
M 0l 2 ⎛ x x 3 ⎞ ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
M 0l 2 ⎛ 1 3 x 2 ⎞ ∴θ = y = − ⎜ − ⎟ 6 EJ ⎝ l l 3 ⎠
− M 0l 2 l ；此时挠度最大 f = 3 9 3EJ 2 ⎛ l ⎞ − M 0l 中点挠度 y ⎜ ⎟ = ⎝ 2 ⎠ 16 EJ − M 0l Ml θA = θB = 0 6 EJ 3EJ （b）解： 设中点为C点，则分析CB段
''
C2 = −
D2 = −
a4 24
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
ql3 B 24 EI
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-3 等截面简支梁上作用一集中力F，梁的弯曲刚度为EIZ， 求C截面的挠度和A截面的转角。 解 建坐标，求梁的支反力
FRA b a F, FRB F l l
弯矩方程为： Fb Mx1 x1 0 x1 a AC段： l Fb CB段：Mx 2 x 2 Fx 2 a a x 2 l l 两段的挠曲线的近似微分方程式及积分分别为： Fb '' EI Z y1 Mx1 x1 AC段： l Fb 2 ' 一次积分 EI Z y1 EI 1 x1 C1 2 Fb 3 二次积分 EI Z y1 x1 C1x D1 6
§7-3 积分法计算梁的位移
转角方程式和挠度方程 式分别为： 1 3 1 1 3 q 2 4x 3 6lx 2 l3 y' qx qlx ql 6 4 24 24 EI
q y ( x 4 2lx 3 l3 x ) 24EI
求最大挠度：因梁和梁受荷载是对称的，所以最大挠度发生在 跨中 5ql4 x=l/2代入挠曲线方程得最大挠度： y max 384 EI x=l代入转角方程得B截面转角为：
§7-4 叠加法计算梁的位移
例 已知简支梁受力如图示，q、l、 EI均为已知。求C 截面的挠度yC ； A截面的转角B
解 1）将梁上的载荷分解
y C y C1 y C 2 A A1 A 2
2）查表7-1得2种情形下C截 面的挠度和B截面的转角。
5ql4 y C1 384 EI ql3 A1 24 EI
x 0, x 0,
代入求解
A 0
yA 0
C 0, D 0
4）确定转角方程和挠度方程
1 2 EI Flx Fx 2 转角为正值说明B截面顺时针转动。 1 1 3 2 EIy Flx Fx 挠度为正值说明挠度是向下的。 2 6
5）确定自由端转角和挠度
1 2 1 EI B Fl 或B Fl 2 2 2EI
§7-3 积分法计算梁的位移
挠曲线的近似微分方程为：
d2y M( x ) '' y 2 dx EI z
d2y EI z M( x ) 2 dx
积分一次得转角方程为：
dy EI z EI z M( x )dx C (7-3) dx
再积分一次得挠度方程为：
EI z y M ( x )dxdx Cx D
'
四个积分常数，需列四个方程： ' x1 0, y1 0 x1 x 2 a, y1 y'2 连续条件： 边界条件： x 2 l, y 2 0 x1 x 2 a, y1 y 2 将边界条件和连续条件代入挠度、转角方程得： Fb 2 D1 D 2 0,C1 C2 l b2 6l
1 2 1 EI y B Fl 或y B Fl 2 3 3EI
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-2 一受均布荷载的等截面简支梁如图，梁的EI已知，求 梁的最大挠度和B截面的转角。 解
建坐标，弯矩方程为
1 1 2 Mx qlx qx 2 2
挠曲线的近似微分方程式为
1 1 EIy '' Mx qlx qx2 2 2 积分一次 EIy ' EI 1 qx3 1 qlx 2 C 6 4 1 1 4 再积分一次 EIy qx qlx 3 Cx D 24 12 D0 x 0, y A 0 1 3 代入得：C ql 梁的边界条件为 x l, y B 0 24
A A1 于弹性阶段且符合胡克定 律（线弹性范围内）。
§7-4 叠加法计算梁的位移
例7-4 一悬臂梁，q、 l、EI均为已知。求
自由端转角和挠度。
解
梁在荷载作用下挠曲线如虚线所示，其中B’C’为直线，所以C、 B两截面转角相同。 ql3 C B 6EI Z C截面挠度可视为两部分组成：yB、ya(B’C’绕B’点转动θB）
A 0
AL AR
目录
~
~
A AA A A
~
~
~
~
A
AA A
A
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-1 一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 梁的EI 已知，求自由端截面的转角和挠度。
解 1）建坐标写出x截面的弯矩方程
M( x ) F(l x)
2）列挠曲线近似微分方程并积分
§7-5 梁的刚度校核
例7-7一承受均布荷载的简支梁如图，已知l=6m，q=4kN/m,
1 f ,梁采用22a号工字钢，E=2×105MPa。试校核梁的刚度。 l 400
解：查得工字钢的惯性矩为：
I Z 0.34 10 4 m 4
y 梁跨中的最大挠度为： max 5ql4 5 4 10 3 N / m 6 4 m 4 0.01m 11 4 4 384 EI Z 384 2 10 Pa 0.34 10 m
§7-3 积分法计算梁的位移
讨
论
积分法求位移有什么优缺点？ 为了实用上的方便，总结了各种常见 荷载作用下转角、挠度方程： P131表7-1
§7-4 叠加法计算梁的位移
叠加法：
梁在若干个简单载荷共同作用时的挠度或转 角，等于在各个简单载荷单独作用时的挠度或转 角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3）将结果叠加
ql4 y C1 , 8EI
ql3 C1 6EI
yC 1
yB 2
yC 2
y C y C1 y C 2
ql4 7ql4 41ql4 8EI Z 384 EI Z 384 EI
C C1 C 2
ql3 ql3 7ql3 6EI Z 48EI Z 48
d2y EI 2 M( x ) F(l x ) Fl Fx dx
dy 1 2 EI EI Flx Fx C 积分一次 dx 2 1 1 3 2 再积分一次 EIy Flx Fx Cx D 2 6
§7-3 积分法计算梁的位移
3）由位移边界条件确定积分常数
yc
x
挠度y：截面形心 在y方向的位移
挠曲线 y 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 顺时针为正
y 向下为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 dy 挠度转角关系为： tan y' dx
7-2
§7-2 梁的挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EI z
因小变形，ya可用aθB来表示。所以：C截面挠度为：
ql4 ql3 ql3 l a y C y B a B a 8EI Z 6EI Z 2EI Z 4 3
§7-4 叠加法计算梁的位移
yC
例7-5 已知：悬臂梁受力如 图示，q、l、EI均为已知。求 C截面的挠度yC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
7-3
(7-4)
§7-3 积分法计算梁的位移
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 位移边界条件
~
~
光滑连续条件
A
A AA A A AA A A
~
A
A
~
~
~~ ~
~
~
~
~
A A A
~
~
A
yA 0
yA 0
yA
弹簧变形 －
y AL y AR
y AL y AR
EI z y '' M( x )
（3）对微分方程积分得转角、挠度积分方程 dy 转角积分方程 EI z EI z M( x )dx C dx EI z y M ( x )dxdx Cx D 挠度积分方程 （4）列边界条件或连续条件求积分常数，得转角、挠度方程 注意：弯矩方程为n个时，有2n个积分常数，需列2n个条件方程。
y max 0.01m 1 1 l 6m 600 400
§7-4 叠加法计算梁的位移
讨
论
叠加法求变形有什么优缺点？
§7-5 梁的刚度校核
在建筑工程中，一般只校核挠度 刚度条件：
y max f l l
式中：y max ——最大挠度；l——梁的 跨度；
f ——挠度容许值与跨长比值，根据不同工 l 程用途，规范值不同，一般给定或可查
X=l/2 X=0 X=l/2 X=0
ql3 yC2 48EI Fl 2 A 2 16 EI
§7-4 叠加法计算梁的位移
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
y C y C1 y C 2
5ql4 Fl3 384 EI Z 48 EI Z
ql3 Fl 2 24 EI Z 16 EI Z
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
§7-4 叠加法计算梁的位移
yC
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
l ql3 y C 2 y B2 B2 C 2 2 48EI ql4 ql3 l 7ql4 128 EI 48 EI 2 384 EI Z
§7-3 积分法计算梁的位移
AC段： 1 y1
'
Fb 2 2 (l b 2 3x1 )0 x1 a 6lEI Z
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-3 等截面简支梁上作用一集中力F，梁的弯曲刚度为EIZ， 求C截面的挠度和A截面的转角。 解 建坐标，求梁的支反力
FRA b a F, FRB F l l
弯矩方程为： Fb Mx1 x1 0 x1 a AC段： l Fb CB段：Mx 2 x 2 Fx 2 a a x 2 l l 两段的挠曲线的近似微分方程式及积分分别为： Fb '' EI Z y1 Mx1 x1 AC段： l Fb 2 ' 一次积分 EI Z y1 EI 1 x1 C1 2 Fb 3 二次积分 EI Z y1 x1 C1x D1 6
§7-3 积分法计算梁的位移
转角方程式和挠度方程 式分别为： 1 3 1 1 3 q 2 4x 3 6lx 2 l3 y' qx qlx ql 6 4 24 24 EI
q y ( x 4 2lx 3 l3 x ) 24EI
求最大挠度：因梁和梁受荷载是对称的，所以最大挠度发生在 跨中 5ql4 x=l/2代入挠曲线方程得最大挠度： y max 384 EI x=l代入转角方程得B截面转角为：
§7-4 叠加法计算梁的位移
例 已知简支梁受力如图示，q、l、 EI均为已知。求C 截面的挠度yC ； A截面的转角B
解 1）将梁上的载荷分解
y C y C1 y C 2 A A1 A 2
2）查表7-1得2种情形下C截 面的挠度和B截面的转角。
5ql4 y C1 384 EI ql3 A1 24 EI
x 0, x 0,
代入求解
A 0
yA 0
C 0, D 0
4）确定转角方程和挠度方程
1 2 EI Flx Fx 2 转角为正值说明B截面顺时针转动。 1 1 3 2 EIy Flx Fx 挠度为正值说明挠度是向下的。 2 6
5）确定自由端转角和挠度
1 2 1 EI B Fl 或B Fl 2 2 2EI
§7-3 积分法计算梁的位移
挠曲线的近似微分方程为：
d2y M( x ) '' y 2 dx EI z
d2y EI z M( x ) 2 dx
积分一次得转角方程为：
dy EI z EI z M( x )dx C (7-3) dx
再积分一次得挠度方程为：
EI z y M ( x )dxdx Cx D
'
四个积分常数，需列四个方程： ' x1 0, y1 0 x1 x 2 a, y1 y'2 连续条件： 边界条件： x 2 l, y 2 0 x1 x 2 a, y1 y 2 将边界条件和连续条件代入挠度、转角方程得： Fb 2 D1 D 2 0,C1 C2 l b2 6l
1 2 1 EI y B Fl 或y B Fl 2 3 3EI
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-2 一受均布荷载的等截面简支梁如图，梁的EI已知，求 梁的最大挠度和B截面的转角。 解
建坐标，弯矩方程为
1 1 2 Mx qlx qx 2 2
挠曲线的近似微分方程式为
1 1 EIy '' Mx qlx qx2 2 2 积分一次 EIy ' EI 1 qx3 1 qlx 2 C 6 4 1 1 4 再积分一次 EIy qx qlx 3 Cx D 24 12 D0 x 0, y A 0 1 3 代入得：C ql 梁的边界条件为 x l, y B 0 24
A A1 于弹性阶段且符合胡克定 律（线弹性范围内）。
§7-4 叠加法计算梁的位移
例7-4 一悬臂梁，q、 l、EI均为已知。求
自由端转角和挠度。
解
梁在荷载作用下挠曲线如虚线所示，其中B’C’为直线，所以C、 B两截面转角相同。 ql3 C B 6EI Z C截面挠度可视为两部分组成：yB、ya(B’C’绕B’点转动θB）
A 0
AL AR
目录
~
~
A AA A A
~
~
~
~
A
AA A
A
§7-3 积分法计算梁的位移
例7-1 一等截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 梁的EI 已知，求自由端截面的转角和挠度。
解 1）建坐标写出x截面的弯矩方程
M( x ) F(l x)
2）列挠曲线近似微分方程并积分
§7-5 梁的刚度校核
例7-7一承受均布荷载的简支梁如图，已知l=6m，q=4kN/m,
1 f ,梁采用22a号工字钢，E=2×105MPa。试校核梁的刚度。 l 400
解：查得工字钢的惯性矩为：
I Z 0.34 10 4 m 4
y 梁跨中的最大挠度为： max 5ql4 5 4 10 3 N / m 6 4 m 4 0.01m 11 4 4 384 EI Z 384 2 10 Pa 0.34 10 m
§7-3 积分法计算梁的位移
讨
论
积分法求位移有什么优缺点？ 为了实用上的方便，总结了各种常见 荷载作用下转角、挠度方程： P131表7-1
§7-4 叠加法计算梁的位移
叠加法：
梁在若干个简单载荷共同作用时的挠度或转 角，等于在各个简单载荷单独作用时的挠度或转 角的代数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3）将结果叠加
ql4 y C1 , 8EI
ql3 C1 6EI
yC 1
yB 2
yC 2
y C y C1 y C 2
ql4 7ql4 41ql4 8EI Z 384 EI Z 384 EI
C C1 C 2
ql3 ql3 7ql3 6EI Z 48EI Z 48
d2y EI 2 M( x ) F(l x ) Fl Fx dx
dy 1 2 EI EI Flx Fx C 积分一次 dx 2 1 1 3 2 再积分一次 EIy Flx Fx Cx D 2 6
§7-3 积分法计算梁的位移
3）由位移边界条件确定积分常数
yc
x
挠度y：截面形心 在y方向的位移
挠曲线 y 转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 顺时针为正
y 向下为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计 dy 挠度转角关系为： tan y' dx
7-2
§7-2 梁的挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1 M ρ EI z
因小变形，ya可用aθB来表示。所以：C截面挠度为：
ql4 ql3 ql3 l a y C y B a B a 8EI Z 6EI Z 2EI Z 4 3
§7-4 叠加法计算梁的位移
yC
例7-5 已知：悬臂梁受力如 图示，q、l、EI均为已知。求 C截面的挠度yC和转角C 解 1）首先，将梁上的载荷变成 有表可查的情形
7-3
(7-4)
§7-3 积分法计算梁的位移
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续 条件确定。 位移边界条件
~
~
光滑连续条件
A
A AA A A AA A A
~
A
A
~
~
~~ ~
~
~
~
~
A A A
~
~
A
yA 0
yA 0
yA
弹簧变形 －
y AL y AR
y AL y AR
EI z y '' M( x )
（3）对微分方程积分得转角、挠度积分方程 dy 转角积分方程 EI z EI z M( x )dx C dx EI z y M ( x )dxdx Cx D 挠度积分方程 （4）列边界条件或连续条件求积分常数，得转角、挠度方程 注意：弯矩方程为n个时，有2n个积分常数，需列2n个条件方程。
y max 0.01m 1 1 l 6m 600 400
§7-4 叠加法计算梁的位移
讨
论
叠加法求变形有什么优缺点？
§7-5 梁的刚度校核
在建筑工程中，一般只校核挠度 刚度条件：
y max f l l
式中：y max ——最大挠度；l——梁的 跨度；
f ——挠度容许值与跨长比值，根据不同工 l 程用途，规范值不同，一般给定或可查
X=l/2 X=0 X=l/2 X=0
ql3 yC2 48EI Fl 2 A 2 16 EI
§7-4 叠加法计算梁的位移
3） 应用叠加法，将简单载荷 作用时的结果求和
y C y C1 y C 2
5ql4 Fl3 384 EI Z 48 EI Z
ql3 Fl 2 24 EI Z 16 EI Z
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效 果，在AB 段还需再加上集 度相同、方向相反的均布载 荷。
§7-4 叠加法计算梁的位移
yC
2）再将处理后的梁分解为简单 载荷作用的情形，计算各自C截 面的挠度和转角。
l ql3 y C 2 y B2 B2 C 2 2 48EI ql4 ql3 l 7ql4 128 EI 48 EI 2 384 EI Z
§7-3 积分法计算梁的位移
AC段： 1 y1
'
Fb 2 2 (l b 2 3x1 )0 x1 a 6lEI Z