高三数学选填专项训练
高三数学试题与解析-选填9解析版
2024年高三上学期数学限时训练9命题人：一、单选题1．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A ．2,y x u v ==B ．22,()y x s t ==C ．21,11x y m n x -==+-D ．211,1y x x y x =+⋅-=-2．若复数z 满足()1i 1i z -=+，则4z =（）A ．1B ．-1C ．iD ．163．若ln 10,ln2ln5,ln 4e a b c ==⋅=，则a b c 、、的大小关系是（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a<<D ．b a c<<4．已知向量集合{}(3,4)(1,2),R M a a λλ==+∈ ，{}(4,5)(2,2),R N a a λλ==+--∈，则M N = （）A ．{(4,5)}B ．{(3,4),(4,5)}C ．{(3,4)}D ．∅5．函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A-6．已知点P 在抛物线M ：24y x =上，过点P 作圆C ：()2221x y -+=的切线，若切线长为27，则点P 到M 的准线的距离为（）A ．5B ．29C ．6D ．307．设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．如图，B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30︒方向2km 处，河流的沿岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ．现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是A ．(272)a -万元B ．5a 万元C ．(271)a +万元D ．(233)a +万元二、多选题9．函数()()3R mf x x m x=-∈的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．有一组样本数据0,1,2,3,4，添加一个数X 形成一组新的数据，且(){}()5C 0,1,2,3,4,532k P X k k ==∈，则新的样本数据（）A ．第25百分位数不变的概率是316B ．极差不变的概率是3132C ．平均值变大的概率是12D ．方差变大的概率是73211．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2），则（）A ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满B ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半C ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PD ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P 三、填空题12．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2e ln f x xf x +'=，则()e f '=.13．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C ，B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，AOC α∠=.若1BC =，则233cos sin cos2222ααα--的值为.14．对有(4)n n 个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样，先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,,}m m n ++ （m 是给定的正整数，且22m n - ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用ij P 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率，则1n P =；所有(1)ij P i j n < 的和等于.限时训练答题卡姓名：______________ 123456789101112._______________13.________________14. ________________四、解答题15．如图，在四棱锥P ABCD -中，AC 与BD 交于点O ，点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，若BCD △为正三角形，且12AB AD AC ==，PO OC =．(1)证明：AC ⊥平面PBD ；(2)求直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值．参考答案：题号12345678910答案A ADCCCCBABDBCD题号11答案ACD1．A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =的定义域都是R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C 错误；对于D ，函数y ={|1}x x ≥，函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选：A .2．A【分析】利用复数的运算法则即可得出.【详解】解法一：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()()()i 1i i 1i a b a b b a +-=++-=+，解得0,1a b ==，所以i z =，所以41z =，解法二：因为()1i 1i z -=+，所以()()241i (1i)2ii,11i 1i 1i 2z z ++=====--+，解法三：方程两边同时平方，有()22i 2i z ⋅-=，所以241,1z z =-=，故选:A.3．D【分析】结合对数运算性质及对数函数的单调性比较,a c 的大小，结合基本不等式及对数函数单调性比较,a b 的大小，可得结论.【详解】ln4e ln1022c a ==>==，而(()22222ln2ln5ln104ln2ln5ln 244a b +⋅⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，且0,0a b >>．所以a b >，故b a c <<．故选：D.4．C【分析】运用交集概念，结合向量的坐标运算计算即可.【详解】设()(){}(){}1113,41,2,R 342M a a λλλλ==+∈=++，，()(){}(){}22224,52,2,R 42,52N a a λλλλ==+--∈=--，令12123424252λλλλ+=-⎧⎨+=-⎩，解得12012λλ=⎧⎪⎨=⎪⎩.故(){}3,4.M N ⋂=故选：C.5．C【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论.【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A .故选：C.【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.6．C【分析】根据点P 的位置以及切线长可解得P 点横坐标为5，再由焦半径公式可得结果.【详解】设点2,4P P y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由圆的方程()2221x y -+=可知圆心()2,0C ，半径1r =；又切线长为PC =即2222294P P y y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，解得220P y =，可得()5,P P y ；再由抛物线定义可得点P 到M 的准线的距离为516+=.故选：C 7．C【分析】根据充分、必要条件、等比数列的单调性等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若()22210n n n n n a a a a a q ++<⇔-=-<，当10a >时，由()2110a q -<得210q -<，解得10q -<<或01q <<，若10q -<<，则120a a q =<，此时()2210a q ->与已知矛盾；若01q <<，则0n a >，此时{}n a 为递减数列.当10a <时，由()2110a q -<得210q ->，解得1q <-或1q >，若1q <-，则210a a q =>，此时()2210a q ->与已知矛盾；若1q >，则0n a <，此时此时{}n a 为递减数列.反之，若{}n a 为递减数列，则2n n a a +<，所以“对于任意的*N n ∈，2n n a a +<”是“{}n a 为递减数列”的充分必要条件.故选：C 8．B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出曲线PQ 的方程，再结合两点间距离公式求解作答.【详解】以线段AB 的中点O 为原点，射线OB 为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，如图，则(2,0),(2,0),A B C -，令点(,)E x y 为曲线PQ 上任意一点，则||||2||EA EB AB -=<，因此曲线PQ 是以点A ，B 为左右焦点，实轴长为2的双曲线右支，其方程为221(0)3y x x -=>，显然点C 在曲线PQ 含焦点B 的区域内，设00(,)M x y ，01x ≥，有220033=-y x ，修建这两条公路的总费用||2||2W a MB a MC =+=+0)(21)a a x =+=-+0000(212|3|)[212(3)]5a x x a x x a ≥-+-≥-+-=，当且仅当003y x =≤≤时取等号，由0y =，且220033=-y x ，01x ≥解得0x M 时min 5W a =，所以修建这两条公路的总费用最低是5a 万元.故选：B【点睛】思路点睛：圆锥曲线上的点与一定点和焦点距离和的问题，借助两点间距离公式及点在曲线上进行化简变形即可推理求解.9．ABD【分析】利用分类讨论及函数的单调性与导数的关系，结合函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，当0m >时，()2230mf x x x =+>'，函数()f x 在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故B 正确；当0m =时，()3f x x =，()230f x x ='>，所以在()(),0,0,∞∞-+上单调递增，故D 正确；当0m <时，当0x >时，()30m f x x x =->；当0x <时，()30mf x x x=-<；故A 正确；C 错误.故选：ABD.10．BCD【分析】根据题意得到X 取各个值的概率，结合极差、百分位数、平均数以及方差的概念与计算公式逐一判断即可.【详解】由题意得，()05C 103232P X ===，()15C 513232P X ===，()25C 1023232P X ===，()35C 1033232P X ===，()45C 543232P X ===，()55C 153232P X ===，对于B ，若极差不变，则0,1,2,3,4X =，概率为()215313P X -==，故B 正确；对于A ，由于525% 1.25,625% 1.5⨯=⨯=，所以原数据和新数据的第25百分位数均为第二个数，所以1,2,3,4,5X =，第25百分位数不变的概率是()311032P X -==，故A 错误；对于C ，原样本平均值为0123425++++=，平均值变大，则3,4,5X =，概率为105113232322++=，故C 正确；对于D ，原样本的方差为()2222212101225⨯++++=，显然，当2X =时，新数据方差变小，当0,4,5X =时，新数据方差变大，当1X =时，新数据的平均数为0112341166+++++=，方差为222111111139001426666216⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-+-++-=<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同理，当3X =时，新数据的方差为3902216<，所以方差变大的概率为()()()704532P X P X P X =+=+==，故D 正确.故选：BCD 11．ACD【分析】根据题意，设图1中水的高度为2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ，利用水的体积，得出1h 与2h 的关系，从而结合选项即可逐一判断．【详解】设图1中水的高度2h ，几何体的高为1h ，底面正方形的边长为b ；则图2中水的体积为2221212()b h b h b h h -=-，即222122()3b h b h h =-，解得1253h h =，所以正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半是错误的，即B 错误．对于A ，往容器内再注入a 升水，水面将升高223h ，则22212533h h h h +==，容器恰好能装满，A 正确；对于C ，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P 点，C 正确；对于D ，任意摆放该容器，当水面静止时，P 点在长方体中截面上，始终占容器内空间的一半，所以水面都恰好经过点P ，D 正确．故选：ACD ．12．1e-/1e --【分析】对原函数求导，将e x =代入求(e)f '即可.【详解】由题设1()2(e)f x f x ''=+，则11(e)2(e)(e)e ef f f '''=+⇒=-.故答案为：1e-13．352sin sin 22223αααπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭，由题意3AOB πα∠=-，再由三角函数的定义即可求sin AOB ∠.【详解】43,,1,55B OB ⎛⎫-∴=∴ ⎪⎝⎭圆O 的半径为1.又1BC =，BOC ∴为等边三角形.3AOB πα∴∠=-，且α为锐角.21cos 1sincossin 22222ααααα+-=--1sin sin sin 23AOB πααα⎛⎫=-=-=∠ ⎪⎝⎭.由三角函数的定义可得，3sin 5AOB ∠=.故答案为：35.【点睛】本题考查三角函数的定义，倍角公式和辅助角公式，公式的熟练运用是解决问题的关键.14．4()m n m -6【分析】利用组合的方法求出{1,2,,}m 中随机抽取2个元素所有抽法及从{1,2,,}m m n ++ 总随机抽取2个元素所有的抽法，结合古典概型的概率公式，即可求解.【详解】从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，共有2m C 种不同的抽法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，共有2n m C -种不同的抽法，所以从每个子总体中个随机抽取2个元素组成样本所有的抽法，共有22m n m C C -⋅，从{1,2,,}m 中随机抽取2个元素，其中抽到1的抽法有1m -种方法，从{1,2,,}m m n ++ 中随机抽取2个元素，其中抽到n 的抽法有1n m --种方法，由古典概型的概率计算公式，可得1nP 22114()m n mm n m C C m n m ----=⋅=-.当,{1,2,,}i j m ∈ 时，21ij mP C =，而从{1,2,,}m 中选两个数的不同方法数为2m C ，则ij P 的和为1；当{1,2,,},i m m n j ++∈ 时，同理可得ij P 的和为1；当{1,2,,},{1,2,,}m n i j m m ∈∈++ 时，4()ij P m n m =-，而从{1,2,,}m 中选取一个数，从{1,2,,}m m n ++ 中选一个数的不同的方法数为()m n m -，则ij P 的和为4，所以1146ij P =++=.故答案为：4()m n m -；6.【点睛】本题主要考查了概率的综合应用，以及排列、组合的应用，其中对于概率的计算的关键是判断出事件所属的概率模型，选择合适的概率公式进行计算，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.15．(1)证明见解析(2)13【分析】（1）分别证明AC 与,BD PO 垂直后可得证线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．【详解】（1）由题意可得ABC ADC △≌△，π6ACB ACD ∴∠=∠=，CO BD ∴⊥，即AC BD ⊥．又点P 在平面ABCD 内的投影为点O ，即⊥PO 平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ，PO AC ∴⊥，又BD PO O = ，BD ，PO ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ．（2）由（1）可得OB ，OC ，OP 两两垂直，建立以O 为原点如图所示的空间直角坐标系，如图所示，设3CD =，在ACD 中，由sin sin AD AC ACD ADC =∠∠得12sin 30sin AC AC ADC=︒∠，所以sin 1ADC ∠=，因此ACD 中有90ADC ∠=︒，60CAD ∠=︒，所以由2222(2)AD CD AC AD +==得AD =，cos 602OA AD =︒=，所以3,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，0,0,2P ⎛ ⎝⎭，0,,02A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3,0,2PB ⎛= ⎝⎭，0,PA ⎛= ⎝⎭，3,0,2PD ⎛=-- ⎝⎭ ，设平面PAD 的法向量为(,,)m x y z =，则有0,2230,2m PA y m PD x ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩取1z =得(3,1)m =- ，∴直线PB 与平面PAD 所成角的正弦值为|||cos ,|||||m PB m PB m PB ⋅〈〉=⋅13=．4．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()2222210,0:x y C m n m n-=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e -=，12e e 的取值范围是．四、解答题15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2235n S n n =+，数列{}n b 是等比数列，公比1330,6,24q b b a >==+.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足111,221,,2k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩，其中*k ∈N .（i ）求数列{}n c 的前2024项和；（ii ）求()*221i i n i a c n =∈∑N .。
高考高三数学选择填空专项训练6
高三数学选择填空专项训练（6） 班级 学号 姓名 得分1．在下列各点中，不在不等式235x y +<表示的平面区域内的点为（ ）A ．（0，1）B ．（1，0）C ．（0，2）D ．（2，0） 2．已知sin()απ-=413，则cos()πα4+的值等于（ ） A ．232 B ．-232 C ．13 D ．-133．若函数y f x x R =∈()()是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y f x =()图象上的是（ ）A ．(())a f a ，-B ．(())--a f a ，C ．(())---a f a ，D ．(())a f a ，-4．与直线430x y -+=平行的抛物线y x =22的切线方程是（ ）A ．410x y -+=B ．410x y --=C ．420x y --=D ．420x y -+=5．等比数列{a n }中，a 3＝4，a 5＝16，则a 9＝（ ）A ．256B ．－256C ．128D ．－1286．在半径为10cm 的球面上有A 、B 、C 三点，如果AB =83，∠ACB ＝60°，则球心O 到平面ABC 的距离为（ ）A ．2cmB ．4cmC ．6cmD ．8cm7． f'（x ）是f （x ）的导函数，f x '()的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．图中阴影部分用集合符号表示为_____________。
9．函数y x x =+>1210()与函数y f x =()的图象关于直线y ＝x 对称，则f(x)＝_____________；f(x)的定义域为_____________。
10．若直线l 将圆x y x y 22240+--=平分，且l 不通过第四象限，则l 斜率的取值范围为_________________________。
11．已知向量a b →→、的夹角为45°，且||()()a a b a b →=→+→→-→=4122312，·，则||b → ＝____________；b a →→在方向上的投影等于___________。
高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。
2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)(解析版)
2024年新高考数学选填压轴题汇编(一)一、多选题1(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)已知长方体的表面积为10，十二条棱长度之和为16，则该长方体()A.一定不是正方体B.外接球的表面积为6πC.长、宽、高的值均属于区间1,2D.体积的取值范围为5027,2【答案】ABD【解析】设长方体的长宽高分别为a ,b ,c ，则可得2ab +ac +bc =104a +b +c =16，即ab +ac +bc =5a +b +c =4 ，又因为a +b +c 2=a 2+b 2+c 2 +2ab +ac +bc =16，所以a 2+b 2+c 2=6，由不等式可得，a 2+b 2+c 2≥ab +ac +bc ，当且仅当a =b =c 时，等号成立，而a 2+b 2+c 2>ab +ac +bc ，取不到等号，所以得不到a =b =c ，即该长方体一定不是正方体，故A 正确；设长方体外接球的半径为R ，则2R =a 2+b 2+c 2=6，即R =62，则外接球的表面积为4π622=6π，故B 正确；由a +b +c =4可得，c =4-a +b ，代入ab +ac +bc =5可得，ab +4-a +b a +b =5，即ab =5-4-a +b a +b ，因为a ,b >0，由基本不等式可得ab ≤a +b24，即5-4-a +b a +b ≤a +b24，设a +b =t ，则t >0，则5-4-t t ≤t 24，化简可得3t 2-16t +20≤0，即3t -10 t -2 ≤0，所以2≤t ≤103，即2≤a +b ≤103，又因为a +b =4-c ，则23≤c ≤2，同理可得a ,b ∈23,2 ，故C 错误；设长方体的体积为V ，则V =abc =5-4-a +b a +b 4-a +b ，且a +b =t ，2≤t ≤103，即V =5-4-t t 4-t ，其中t ∈2,103，化简可得，V =4-t 5-4t +t 2 ，t ∈2,103，且V =-5-4t +t 2 +4-t -4+2t =-3t -7 t -3 ，t ∈2,103，令V =0，则t =73或3，当t ∈2,73时，V <0，即V 单调递减，当t ∈73,3时，V >0，即V 单调递增，当t ∈3,103时，V <0，即V 单调递减，所以，当t =73时，V 有极小值，且V 73 =4-73 5-4×73+499 =5027，当t =3时，V 有极大值，且V 3 =4-3 5-4×3+9 =2，又因为V 2 =4-2 5-4×2+4 =2,V 103 =4-103 5-4×103+1009 =5027，所以V ∈5027,2 ，故D 正确；故选：ABD2(2023·广东·高三校联考阶段练习)对于数列a n ，若存在正数M ，使得对一切正整数n ，都有a n ≤M ，则称数列a n 是有界的.若这样的正数M 不存在，则称数列a n 是无界的.记数列a n 的前n 项和为S n ，下列结论正确的是()A.若a n =1n，则数列a n 是无界的 B.若a n =12nsin n ，则数列S n 是有界的C.若a n =-1 n ，则数列S n 是有界的 D.若a n =2+1n2，则数列S n 是有界的【答案】BC【解析】对于A ，∵a n =1n=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得a n ≤M 恒成立，∴数列a n 是有界的，A 错误；对于B ，∵-1≤sin n ≤1，∴-12n≤a n =12n⋅sin n ≤12n，∴S n =a 1+a 2+⋯+a n <12+122+⋯+12n=121-12 n1-12=1-12n<1，S n =a 1+a 2+⋯+a n >-12+12 2+⋯+12 n=-1+12 n>-1，所以存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴则数列S n 是有界的，B 正确；对于C ，因为a n =-1 n ，所以当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =-1；∴S n ≤1，∴存在正数M =1，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2<42n -1 2n +1=412n -1-12n +1 ，∴S n =2n +1+122+132+⋅⋅⋅1n2≤2n +41-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =2n +41-12n +1 =2n +8n 2n +1=2n -22n +1+2 ；∵y =x -22x +1在0,+∞ 上单调递增，∴n -22n +1∈13,+∞，∴不存在正数M ，使得S n ≤M 恒成立，∴数列S n 是无界的，D 错误.故选：BC .3(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1B 1的中点，P 为棱BC 上的动点，则下列结论正确的是()A.存在点P ，使AC 1⊥平面D 1EPB.存在点P ，使PE =PD 1C.四面体EPC 1D 1的体积为定值D.二面角P -D 1E -C 1的余弦值取值范围是55,23【答案】BC【解析】(向量法)为简化运算，建立空间直角坐标系如图，设正方体棱长为2，CP =20≤a ≤2 ，则P a ,2,2 ，E 2,1,0 ，A 2,0,0 ,C 10,2,2 ，AC 1 =-2,2,-2 ，D 1E ⋅AC 1 =-2≠0，故AC 1与D 1E 不垂直，故A 错误.由PE =PD 1知a 2+22+22=a -2 2+12+22,a =14∈0,2 ，故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.又D 1E =2,1,0 ，D 1P =a ,2,2 ，设平面D 1EP 的法向量n 1 =x ,y ,z ，由D 1E ⋅n 1=0D 1P ⋅n 1 =0,2x +y =0ax +2y +2z =0 ，令x =2则y =-4，z =4-a ，∴n 1=2,-4,4-a ，又平面D 1EC 1的法向量n 2=0,0,1 ，∴cos n 1 ,n 2 =4-a 22+-4 2+4-a 2=11+204-a2，又0≤a ≤2，∴4≤4-a 2≤16，∴cos n 1 ,n 2 ∈66,23.故D 错误.(几何法)记棱A 1D 1,D 1D ,DC ,CB ,BB 1中点分别为F ,G ,J ,I ,H ，易知AC 1⊥平面EFGJIH ，而EF ⊂平面EFGJIH则AC 1⊥EF ，若AC 1⊥平面D 1EP ，D 1E ⊂平面D 1EP ，则AC 1⊥D 1E ，由EF ∩D 1E =E ,EF ,D 1E ⊂平面D 1EF ，所以AC 1⊥平面D 1EF ，与已知矛盾，故AC 1不垂直于平面D 1EP .故A 错误.连接EB ,D 1C ，易知BC ⊥EB ，BC ⊥D 1C ，设正方体棱长为2，知EB =5，D 1C =22，记BP =m 0≤m ≤2 ，则EP =m 2+5，D 1P =2-m2+8，由m 2+5=2-m 2+8，得m =74∈0,2 .故B 正确.V E -PC 1D 1=V P -C 1D 1E =13⋅2⋅S △C 1D 1E =13⋅2⋅12⋅2⋅2=43，为定值.故C 正确.过点P 作PM ⊥B 1C 1于点M ，易知PM ⊥D 1E ，过点M 作MN ⊥D 1E 于点N ，知D 1E ⊥平面PMN ，所以PN ⊥D 1E ，则二面角P -D 1E -C 1的平面角为∠PNM ，现在△PNM 中求解cos ∠PNM .设正方体棱长为2，NM =x ，则NP =x 2+4，∴cos ∠PNM =NMNP=xx 2+4，只需求x 取值范围即可：记BP =m 0≤m ≤2 ，则B 1M =BP =m ，分析易知M 在C 1时x 取到最大值，此时x =C 1N 1，M 在B 1时x 取到最小值，此时x =B 1N 2，又C 1N 1C 1D 1=D 1A 1D 1E 即C 1N 1=2⋅25=455，B 1N 2D 1A 1=B 1E D 1E 即B 1N 2=2⋅15=255，所以255≤x ≤455即45≤x 2≤165，∴cos ∠PNM =x x 2+4=1-4x 2+4∈66，23 .故D 错误.故选：BC4(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =xe x ，g x =x ln x .若存在x 1∈R ，x 2∈0,+∞ ，使得f x 1 =g x 2 =t 成立，则下列结论中正确的是()A.当t >0时，x 1x 2=tB.当t >0时，e ln t ≤x 1x 2C.不存在t ，使得f x 1 =g x 2 成立D.f x >g x +mx 恒成立，则m ≤2【答案】AB【解析】选项A ，∵f x 1 =g x 2 =t ∴t =x 1e x 1=x 2ln x 2=ln x 2e ln x 2>0，则x 1>0,x 2>0,ln x 2>0，且t =f (x 1)=f (ln x 2)>0，由f x =xe x ，得f x =e x x +1 ，当x >0时，f x >0，则f x 在0,+∞ 上递增，所以当t >0时，f x =t 有唯一解，故x 1=ln x 2，∴x 1x 2=x 2ln x 2=t ，故A 正确；选项B ，由A 正确，得ln t x 1x 2=ln tt(t >0)，设φt =ln t t ，则φ t =1-ln tt 2，令φ t =0，解得t =e易知φt 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴φt ≤φe =1e ，∴ln t x 1x 2≤1e ，∴e ln t ≤x 1x 2，故B 正确；选项C ，由f x =e x x +1 ，g x =ln x +1=0，得f -1 =g 1e=0，又验证知f -1 =g 1e =-1e ，故存在t =-1e ，使得f -1 =g 1e=0，C 错误；选项D ，由x >0，f x >g x +mx 恒成立，即e x -ln x >m 恒成立，令r x =e x -ln x ，则r x =e x -1x ，由r x 在0,+∞ 上递增，又r 12=e -2<0，r 1 =e -1>0，∴存在x 0∈12,1 ，使r x 0 =0，∴r x 在0,x 0 上递减，在x 0,+∞ 上递增(其中x 0满足e x 0=1x 0，即x 0=-ln x 0).∴r x ≥r x 0 =e x 0-ln x 0=1x 0+x 0>2，要使m <e x -ln x 恒成立，∴m <r (x 0)，存在2<m <r (x 0)满足题意，故D 错误.故选：AB .5(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)已知f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，有f 1+x =-f 1-x ，当x ∈0,1 时，f x =x 2+x -2，则()A.f x 是以4为周期的周期函数B.f 2021 +f 2022 =-2C.函数y =f x -log 2x +1 有3个零点D.当x ∈3,4 时，f x =x 2-9x +18【答案】ACD【解析】依题意，f x 为偶函数，且f 1+x =-f 1-x ⇒f x 关于1,0 对称，则f x +4 =f 1+x +3 =-f 1-x +3 =-f -2-x=-f -2+x =-f 2+x =-f 1+1+x =f 1-1+x =f -x =f x ，所以f x 是周期为4的周期函数，A 正确.因为f x 的周期为4，则f 2021 =f 1 =0，f 2022 =f 2 =-f 0 =2，所以f 2021 +f 2022 =2，B 错误；作函数y =log 2x +1 和y =f x 的图象如下图所示，由图可知，两个函数图象有3个交点，C 正确；当x ∈3,4 时，4-x ∈0,1 ，则f x =f -x =f 4-x =4-x 2+4-x -2=x 2-9x +18，D 正确.故选：ACD6(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)如图,正方形ABCD 中,E 、F 分别是AB 、BC的中点将△ADE,ΔCDF,△BEF分别沿DE、DF、EF折起,使A、B、C重合于点P.则下列结论正确的是A.PD⊥EFB.平面PDE⊥平面PDFC.二面角P-EF-D的余弦值为13D.点P在平面DEF上的投影是ΔDEF的外心【答案】ABC【解析】对于A选项，作出图形，取EF中点H，连接PH，DH，又原图知ΔBEF和ΔDEF为等腰三角形，故PH⊥EF,DH⊥EF，所以EF⊥平面PDH，所以PD⊥EF，故A正确；根据折起前后，可知PE,PF,PD 三线两两垂直，于是可证平面PDE⊥平面PDF，故B正确；根据A选项可知∠PHD为二面角P-EF-D的平面角，设正方形边长为2，因此PE=PF=1，PH=22，DH=22-22=322，PD=DF2-PF2=2，由余弦定理得：cos∠PHD=PH2+HD2-PD22PH⋅HD =13，故C正确；由于PE=PF≠PD，故点P在平面DEF上的投影不是ΔDEF的外心，即D错误；故答案为ABC.7(2023·广东·高三校联考阶段练习)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()A.直线D1D与EF所成的角为30°B.直线A1G与平面AEF平行C.若正方体棱长为1，三棱锥A1-AEF的体积是112D.点B 1和B 到平面AEF 的距离之比是3:1【答案】BCD【解析】对于选项A ，由图可知CC 1与DD 1显然平行，所以∠EFC =45°即为所求，故选项A 不正确；对于选项B ，取B 1C 1的中点M ，连接A 1M 、GM ，如图所示，易知A 1M ⎳AE ，且A 1M ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，所以A 1M ⎳平面AEF ．又易知GM ⎳EF ，GM ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以GM ⎳平面AEF ．又A 1M ∩GM =M ，A 1M 、GM ⊂面A 1MG ，所以平面A 1MG ⎳平面AEF ．又A 1G ⊂平面A 1MG ，所以A 1G ⎳平面AEF ，故选项B 正确；对于选项C ，由选项B 知，A 1G ⎳平面AEF ，所以A 1和G 到平面AEF 的距离相等，所以V A 1-AEF =V G -AEF =V A -FEG =13×12×12×1×1=112．故选项C 正确；对于选项D ，平面AEF 过BC 的中点E ，即平面AEF 将线段BC 平分，所以C 与B 到平面AEF 的距离相等，连接B 1C 交EF 于点H ，如图所示，显然B 1H :HC =3:1，所以B 1与B 到平面AEF 的距离之比为3:1，故选项D 正确.故选：BCD ．8(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知数列a n 满足a 1=1,a 2=3，S n 是前n 项和，若n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ，(n ∈N *且n ≥2)，若不等式a n <n -2t 2-a +1 t +a 2-a +2 对于任意的n ∈N *,t ∈1,2 恒成立，则实数a 的值可能为()A.-4 B.0C.2D.5【答案】AD【解析】由n S n +1-S n -1=n +1 S n -S n -1 ,n ≥2，则na n +1-1=n +1 a n ,n ≥2,得a n +1-1n =n +1n a n ,n ≥2;a 2-11=2=21a 1，所以a n +1n +1-a n n =1n n +1=1n -1n +1,n ≥1，则a n n -a n -1n -1=1n -1-1n ，a n -1n -1-a n -2n -2=1n -2-1n -1，⋯，a 22-a 11=1-12，上述式子累加可得a n n -a 1=1-1n ，所以a n n =2-1n<2．所以-2t 2-a +1 t +a 2-a +2≥2对于任意的t ∈1,2 恒成立，整理得2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立．方法一：对选项A ，当a =-4时，不等式为2t +5 t -4 ≤0，其解集-52,4包含1,2 ，故选项A 正确；对选项B ，当a =0时，不等式为2t +1 t ≤0，其解集-12,0不包含1,2 ，故选项B 错误；对选项C ，当a =2时，不等式为2t -1 t +2 ≤0，其解集-2,12不包含1,2 ，故选项C 错误；对选项D ，当a =5时，不等式为2t -4 t +5 ≤0，其解集-5,2 包含1,2 ，故选项D 正确．方法二：令f t =2t -a -1 t +a ，若2t -a -1 t +a ≤0对于任意的t ∈1,2 恒成立，只需f 1 ≤0f 2 ≤0，即3-a 1+a ≤05-a 2+a ≤0 ，解得a ≥5或a ≤-2．故选：AD ．9(2023·广东·高三统考阶段练习)已知函数f x =sin n x +cos n x x ∈N * ，则()A.对任意正奇数n ，f x 为奇函数B.对任意正整数n ，f x 的图像都关于直线x =π4对称C.当n =3时，f x 在0,π2上的最小值22D.当n =4时，f x 的单调递增区间是-π4+k π,k π k ∈Z 【答案】BC【解析】取n =1，则f x =sin x +cos x ，从而f 0 =1≠0，此时f x 不是奇函数，则A 错误；因为f π2-x =sin n π2-x +cos n π2-x =cos n x +sin n x =f x ，所以f x 的图象关于直线x =π4对称，则B 正确；当n =3时，f x =3sin 2x cos x -3cos 2x sin x =3sin x cos x sin x -cos x ，当x ∈0,π4时，fx <0；当x ∈π4,π2 时，f x >0.所以f x 在0,π4 上单调递减，在π4,π2 上单调递增，所以f x 的最小值为f π4 =22 3+22 3=22，故C 正确；当n =4时，f x =sin 4x +cos 4x =sin 2x +cos 2x 2-2sin 2x cos 2x =1-12sin 22x=1-1-cos4x 4=14cos4x +34，则f x 的递增区间为-π4+k π2,k π2k ∈Z ，则D 错误.故选：BC .10(2023·广东·高三统考阶段练习)若实数a ，b 满足2a +3a =3b +2b ，则下列关系式中可能成立的是()A.0<a<b<1B.b<a<0C.1<a<bD.a=b【答案】ABD【解析】设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x，则f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x都为增函数，作出两函数的图象，两个函数图象有2个交点，分别为(0,1),(1,5)，对于A，作直线y=m(1<m<5)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为a,b，且0<a<b<1，此时f(a)=g(b)=m，即2a+3a=3b+2b能成立，故A正确；对于B，作直线y=n(n<0)分别与f(x),g(x)图象相交，交点横坐标为b,a，且b<a<0，此时f(a)=g(b) =n，即2a+3a=3b+2b能成立，故B正确；对于C，a=2,f(a)=f(2)=10，因为2=a<b，所以f(b)=3b+2b>32+4=13，所以此时2a+3a=3b+2b 不可能成立，故C不正确；对于D，a=b=0或a=b=1，2a+3a=3b+2b成立，所以D正确．故选：ABD．11(2023·广东·高三统考阶段练习)已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为4，M 为DD 1的中点，N 为ABCD 所在平面上一动点，N 1为A 1B 1C 1D 1所在平面上一动点，且NN 1⊥平面ABCD ，则下列命题正确的是()A.若MN 与平面ABCD 所成的角为π4，则点N 的轨迹为圆B.若三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为定值，则点N 的轨迹为椭圆C.若点N 到直线BB 1与直线DC 的距离相等，则点N 的轨迹为抛物线D.若D 1N 与AB 所成的角为π3，则点N 的轨迹为双曲线【答案】ACD【解析】A ：连接DN ，因为MD ⊥平面ABCD ，所以∠MND 是MN 与平面ABCD 所成的角，即∠MND =π4，因为M 为DD 1的中点，所以MD =12DD 1=2，在直角三角形MND 中，tan ∠MND =MD DN ⇒1=2DN⇒DN =2，因此点N 的轨迹为以D 为圆心半径为2的圆，所以本选项命题是真命题；B ：过N 做EN ⊥AD ，设三棱柱NAD -N 1A 1D 1的表面积为S ，所以S =2×12×4⋅NE +(AD +DN +AN )⋅4=4(4+DN +AN +NE )=定值，显然有N 到A 、D 、直线AD 的距离之和为定值，这与椭圆的定义不符合，故本选项命题是假命题；C ：连接BN ，因为BB 1⊥平面ABCD ，BN ⊂平面ABCD ，所以BB 1⊥BN ，即点N 到直线BB 1与NB 相等，所以点N 的轨迹为点N 到点B 与直线DC 的距离相等的轨迹，即抛物线，所以本选项命题是真命题；D ：以D 为空间坐标系的原点，DA 、DC 、DD 1所在的直线分别为x 、y 、z ，D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,4,0)、N (x ,y ,0)、D 1(0,0,4)，则有AB =(0,4,0)、D 1N =(x ,y ,-4)，因为D 1N 与AB 所成的角为π3，所以cos π3=AB ⋅D 1N AB ⋅D 1N ⇒12=4y 4⋅x 2+y 2+16⇒3y 2-x 2=16，所以点N 的轨迹为双曲线，故本选项命题是真命题,故选：ACD12(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)已知函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，若不等式f (2-ax )<f x 2+3 对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值可能是()A.-4B.-12C.2D.32【答案】BC【解析】由函数f (x )=e x -1+e 1-x +x 2-2x ，令t =x -1，则x =t +1，可得g (t )=e t +e -t +t 2-1，可得g (-t )=e -t +e t +(-t )2-1=e t +e -t +t 2-1=g (t )，所以g t 为偶函数，即函数f x 的图象关于x =1对称，又由g (t )=e t -e -t +2t ，令φ(t )=g (t )=e t -e -t +2t ，可得φ (t )=e t +e -t +2>0，所以φ(t )为单调递增函数，且φ(0)=0，当t >0时，g (t )>0，g t 单调递增，即x >1时，f x 单调递增；当t <0时，g (t )<0，g t 单调递减，即x <1时，f x 单调递减，由不等式f (2-ax )<f x 2+3 ，可得2-ax -1 <x 2+3-1 ，即1-ax <x 2+2所以不等式1-ax <x 2+2恒成立，即-x 2-2<ax -1<x 2+2恒成立，所以x 2+ax +1>0x 2-ax +3>0 的解集为R ，所以a 2-4<0且(-a )2-12<0，解得-2<a <2，结合选项，可得BC 适合.故选：BC .13(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，若函数g x =f x -1也有三个不同的零点t 1,t 2,t 3t 1<t 2<t 3 ，则下列等式或不等式一定成立的有()A.b 2<3cB.t 3>x 3C.x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3D.x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=1【答案】BC【解析】f x =3x 2+2bx +c ，因为原函数有三个不同的零点，则f x =0有两个不同的实根，即3x 2+2bx +c =0，则Δ=4b 2-12c >0，即b 2>3c ，所以A 错误；因为三次函数f x =x 3+bx 2+cx +d 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3x 1<x 2<x 3 ，所以x 3+bx 2+cx +d =x -x 1 x -x 2 x -x 3 =x 3-x 1+x 2+x 3 x 2+x 1x 2+x 2x 3+x 1x 3 x -x 1x 2x 3=0，所以x 1+x 2+x 3=-b ,x 1x 2x 3=-d ，同理t 1+t 2+t 3=-b ,t 1t 2t 3=1-d ，所以x 1+x 2+x 3=t 1+t 2+t 3,x 1x 2x 3-t 1t 2t 3=-1，故C 正确，D 错误；由f x 的图象与直线y =1的交点可知t 3>x 3，B 正确．故选：BC ．14(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知直线l 过抛物线E :y 2=4x 的焦点F ，与抛物线相交于A x 1,y 1 、B x 2,y 2 两点，分别过A ,B 作抛物线的准线l 1的垂线，垂足分别为A 1,B 1，以线段A 1B 1为直径作圆M ,O 为坐标原点，下列正确的判断有()A.x 1+x 2≥2B.△AOB 为钝角三角形C.点F 在圆M 外部D.直线A 1F 平分∠OFA【答案】ABD 【解析】如图所示：对选项A ，由抛物线的焦半径公式可知AB =x 1+x 2+2≥2p =4，所以x 1+x 2≥2，故A 正确；对于选项B ，OA ⋅OB =x 1x 2+y 1y 2=y 1y 2216+y 1y 2，令直线l 的方程为x =my +1，代入y 2=4x 得y 2-4my -4=0，所以y 1y 2=-4，所以OA ⋅OB=-3<0，所以△AOB 是钝角三角形，故B 正确；对选项C ，D ，由AA 1 =AF 可知∠AA 1F =∠AFA 1，又AA 1∥OF ，所以∠AA 1F =∠OFA 1=∠AFA 1，所以直线FA 1平分角∠AFO ，同理可得FB 平分角∠BFO ，所以A 1F ⊥B 1F ，即∠A 1FB 1=90°，所以圆M 经过点F ，故C 错误，D 正确．故选：ABD15(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)已知圆O :x 2+y 2=4和圆C :(x -3)2+(y -3)2=4,P ,Q 分别是圆O ，圆C 上的动点，则下列说法错误的是()A.圆O 与圆C 相交B.PQ 的取值范围是32-4,32+4C.x -y =2是圆O 与圆C 的一条公切线D.过点Q 作圆O 的两条切线，切点分别为M ,N ，则存在点Q ，使得∠MQN =90°【答案】AC【解析】对于A 选项，由题意可得，圆O 的圆心为O 0,0 ，半径r 1=2，圆C 的圆心C 3,3 ，半径r 2=2，因为两圆圆心距OC =32>2+2=r 1+r 2，所以两圆外离，故A 错误；对于B 选项，PQ 的最大值等于OC +r 1+r 2=32+4，最小值为OC -r 1-r 2=32-4，故B 正确；对于C 选项，显然直线x -y =2与直线OC 平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC :y =x ，设外公切线为y =x +t ，则两平行线间的距离为2，即t2=2，故y =x ±22，故C 错误；对于D 选项，易知当∠MQN =90°时，四边形OMQN 为正方形，故当QO =22时，∠MQN =90°，故D 正确.故选：AC ．16(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x =3sin ωx +cos ωx (0<ω<3)满足f x +π2 =-f x ，其图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数y =g x 的图象，且y =g x 在-π6,π6上单调递减，则()A.ω=1 B.函数f x 的图象关于5π12,0 对称C.s 可以等于5D.s 的最小值为2【答案】BCD【解析】对于A ，因为f x +π2 =-f x ，f x =3sin ωx +cos ωx =2sin ωx +π6，所以2sin ωx +π2ω+π6 =-2sin ωx +π6 ,π2ω=2k +1 π,k ∈Z ，则ω=4k +2,k ∈Z ，又0<ω<3，故ω=2，故A 错误；对于B ，由选项A 得f x =2sin 2x +π6，所以f 5π12=2sin 5π6+π6 =2sinπ=0，故5π12,0 是f x 的一个对称中心，故B 正确；对于C ，f x 的图象向右平移s s ∈N * 个单位后得到函数g x =2sin 2x -s +π6的图象，则g x =2sin 2x +π6-2s ，因为g x 在-π6,π6上单调递减，所以2×-π6 +π6-2s ≥2k π+π22×π6+π6-2s ≤2k π+3π2k ∈Z ，解得-k π-π2≤s ≤-k π-π3k ∈Z ，当k =-2时，3π2≤s ≤5π3，因为s ∈N *，所以s =5，故C 正确；对于D ，因为s ∈N *，所以-k π-π3>0，则k <-13，又k ∈Z ，故k ≤-1，当k =-1时，π2≤s ≤2π3，可知s min =2，故D 正确.故选：BCD .17(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)已知函数f x 的定义域为0,+∞ ，其导函数为f x ，且f x +f x =x ln x ，f 1e =-1e，则()A.f 1e⋅e 1e-1>f 1B.f e ⋅e e -1>f 1C.f x 在0,+∞ 上是增函数D.f x 存在最小值【答案】ABC【解析】设F x =e x -1f x ，则F x =e x -1f x +f x =e x -1x ln x ，当x >1时，F x >0，当0<x <1时，F x <0，F x =e x -1f x 在1,+∞ 上单调递增，在0,1 上单调递减，A 选项，因为1e <1，所以F 1e >F 1 ，即e 1e-1f 1e>f 1 ，A 正确；B 选项，因为e >1，所以F e >F 1 ，即e e -1f e >f 1 ，B 正确；C 选项，f x =F x e x -1，则fx =F x -F x e x -1，令g x =F x -F x ，则g x =e x -1x ln x -e x -1x ln x =e x -11+ln x ，当x >1e 时，g x >0，当0<x <1e时，g x <0，故g x =F x -F x 在0,1e 上单调递减，在1e ,+∞ 单调递增，又g 1e =F 1e -F 1e =e 1e -1⋅1e ln 1e -e 1e -1f 1e =-e 1e -1⋅1e +e 1e-1⋅1e =0，故g x =F x -F x ≥0恒成立，所以fx =F x -F x ex -1≥0在0,+∞ 上恒成立，故f x 在0,+∞ 上是增函数，C 正确；D 选项，由C 选项可知，函数f x 在0,+∞ 上单调递增，故无最小值.故选：ABC18(2023·广东惠州·高三统考阶段练习)已知定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718 ,x >1 ，则下列说法正确的是()A.函数f x 在-13,13上单调递减B.若函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，则p ∈0,23C.对任意实数k ，y =f x 的图象与直线y =kx 最多有6个交点D.方程f x =m m >0 有4个解，分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4>-143【答案】BD【解析】因为定义域为R 的函数f x 满足f -x -2 =-f x +2 ，即f -x -2 +f x +2 =0，所以函数为奇函数，因为f x 在0,+∞ 解析式为f x =3x 2-2x +1,0<x ≤1log 13x 2-718,x >1 ，故作出函数的图象，如图所示.选项A ：由图可知，当x ∈-13,0 时，函数单调递减，当x ∈0,13时，函数单调递减，但当x ∈-13,13，并不是随着x 增加而减少，故选项A 错误；选项B ：因为函数f x 在0,p 内f x <1恒成立，所以由图象可知，0<p <1由3x 2-2x +1=1解得，x 1=0,x 2=23，所以0<p ≤23，故选项B 正确；选项C ：取k =74时，如图所示，1°当x ∈0,1 时，联立方程组y =74x y =3x 2-2x +1 ，化简得3x 2-154x +1=0，设函数h (x )=3x 2-154x +1，因为Δ>0h (0)=1>0h (1)=14>0且对称轴为x =58∈0,1 ，所以方程3x 2-154x +1=0在0,1 上有两个不相等的实数根，2°设m (x )=74x -log 13x 2-718 ，x ∈1,+∞ ，因为函数m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 上单调递增，且m (1)=74-2<0，m (2)=72-log 131118 >0，所以m (x )=74x -log 13x 2-718 在x ∈1,+∞ 在只有一个零点，所以直线y =74x 与函数y =f (x )图象在x ∈1,+∞ 有1个交点，所以当x ∈0,+∞ 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，因为函数y =74x 与函数y =f (x )均为奇函数，所以当x ∈-∞,0 时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有3个交点，又当x =0时，直线y =74x 与函数y =f (x )图象有1个交点，所以此时直线y =74x 与函数y =f (x )图象有7个交点，故选项C 错误；选项D ：当m >0时，则根据图象可得f (x )=m 的4个解所在大致范围为x 1<0，0<x 2<13，13<x 3<1，x 4>1，因为f (x )=m 有4个解，所以23<m <1，所以23<log 13x 42-718 <1，解得139<x 4<21323+79，所以6<9x 4-7<181323，由二次函数的对称性可知，3x 2-2x +1=m 的解x 2、x 3满足x 2+x 3=23，因为函数y =f (x )为奇函数，且当x >1时解析式为y =log 13x 2-718，所以当x <-1时解析式为y =-log 13-x 2-718，所以log 13x 42-718=-log 13-x 12-718 ，所以有-x 12-718 x 42-718 =1，即x 1=-369x 4-7-79，所以x 1+x 4=x 4+-369x 4-7-79=9x 4-79-369x 4-7，设9x 4-7=t ，6<t <181323，又因为函数y =t 9-36t 在6,1813 23单调递增，所以x 1+x 4=t 9-36t >69-366=23-6=-163，所以x 1+x 2+x 3+x 4>-163+23=-143，所以选项D 正确，故选：BD .19(2023·广东揭阳·高三校考阶段练习)若定义在-1,1 上的函数f x 满足f x +f y =f x +y 1+xy，且当x >0时，f x <0，则下列结论正确的是( )．A.若x 1，x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，则f x 1 +f x 2 >0B.若f 12 =-12，则f 4041 =-2C.若f 2-x +g x =4，则g x 的图像关于点2,4 对称D.若α∈0,π4，则f sin2α >2f sin α 【答案】BC【解析】令y =-x ，则f x +f -x =f 0 =0，∴f x 为奇函数，把y 用-y 代替，得到f x -f y =f x -y1-xy，设-1<y <x <1，1-x 1+y >0，∴0<x -y1-xy<1．又∵当x >0时，f x <0，∴f x <f y ，∴f x 在-1,1 上单调递减．∵x 1,x 2∈-1,1 ，x 2>x 1 ，当x >0时，f x <0，则当x 1>0时，则x 2>x 1>0，f x 1 +f x 2 <0，当x 1<0时，则x 2>-x 1>0，f x 1 +f x 2 =f x 2 -f -x 1 <0．综上，f x 1 +f x 2 <0，∴A 错误．令x =y =12，得2f 12 =f 45 ，∴f 45 =-1，令x =y =45，得2f 45 =f 4041 ，∴f 4041 =-2，∴B 正确．由f 2-x +g x =4，得f 2-x =4-g x ，得f x =4-g 2-x ，又∵f -x =4-g 2+x ，f x 为奇函数，∴f x +f -x =0，则g 2-x +g 2+x =8，则g x 的图像关于点2,4 对称，∴C 正确．f sin2α =f 2sin α⋅cos α =f2tan α1+tan 2α=2f tan α ，假设f sin2α >2f sin α ，可得f tan α >f sin α ，即tan α<sin α，当α∈0,π4时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D 错误．故选：BC .20(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)已知函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点构成一个公差为π2的等差数列，把f x 的图象沿x 轴向右平移π3个单位得到函数g x 的图象，则()A.g x 在π4,π2上单调递增 B.π4,0 是g x 的一个对称中心C.g x 是奇函数 D.g x 在区间π6,2π3上的值域为0,2 【答案】AB【解析】因为f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 ，所以f x =232sin2ωx +12cos2ωx =2sin 2ωx +π6 ，因为函数f x =3sin2ωx +cos2ωx ω>0 的零点依次构成一个公差为π2的等差数列，∴12⋅2π2ω=π2，∴ω=1，所以f (x )=2sin 2x +π6 ，把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位，得到g (x )=2sin 2x -π3 +π6 =2sin 2x -π2 =-2cos2x ，即g (x )=-2cos2x ，所以g (x )为偶函数，故C 错误；对于A ：当x ∈π4,π2 时2x ∈π2,π ，因为y =cos x 在π2,π 上单调递减，所以g x 在π4,π2上单调递增，故A正确；对于B：gπ4=-2cos2×π4=-2cosπ2=0，故π4,0是g x 的一个对称中心，故B正确；对于D：因为x∈π6,2π3，所以2x∈π3,4π3，所以cos2x∈-1,12，所以g x ∈-1,2，故D错误；故选：AB21(2023·广东东莞·高三校联考阶段练习)对于函数f(x)=xln x，下列说法正确的是()A.f(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减B.若方程f(|x|)=k有4个不等的实根，则k>eC.当0<x1<x2<1时，x1ln x2<x2ln x1D.设g(x)=x2+a，若对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，则a≥e 【答案】BD【解析】函数f(x)=xln x的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f(x)=ln x-1(ln x)2，当0<x<1或1<x<e时，f (x)<0，当x>e时，f (x)>0，f(x)在(0,1)，(1,e)上都单调递减，在(e,+∞)上单调递增，A不正确；当x∈(1,+∞)时，f(x)的图象在x轴上方，且在x=e时，f(x)min=e，f(x)在(0,1)上的图象在x轴下方，显然f(|x|)是偶函数，在方程f(|x|)=k中，k<0或k=e时，方程有两个不等实根，0≤k<e时，方程无实根，k>e时，方程有4个不等的实根，B正确；因0<x1<x2<1，则有f(x2)<f(x1)<0，即x2ln x2<x1ln x1<0，于是得x2ln x1<x1ln x2，C不正确；当x∈R时，g(x)的值域为[a,+∞)，当x∈(1,+∞)时，f(x)的值域为[e,+∞)，因对∀x1∈R，∃x2∈(1,+∞)，使得g(x1)=f(x2)成立，从而得[a,+∞)⊆[e,+∞)，即得a≥e，D正确.故选：BD二、单选题22(2023·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习)过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】圆(x-5)2+(y-1)2=2的圆心(5，1)，过(5，1)与y=x垂直的直线方程为x+y-6=0，它与y=x的交点N(3，3)，N到(5，1)距离是22，圆的半径为2，两条切线l1，l2，它们之间的夹角为2×30°=60°．故选C．23(2023·广东·高三校联考阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A ，若三棱锥A -EFD的所有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()A.2πB.3πC.6πD.8π【答案】C【解析】根据题意可得A D ⊥A E ,A D ⊥A F ,A E ⊥A F ，且A E =1,A F =1,A D =2，所以三棱锥D -A EF 可补成一个长方体，则三棱锥D -A EF 的外接球即为长方体的外接球，如图所示，设长方体的外接球的半径为R ，可得2R =12+12+22=6，所以R =62，所以外接球的表面积为S =4πR 2=4π⋅622=6π，故选：C24(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知f x =2sin ωx +π3+a -1 sin ωx (a >0，ω>0)在0,π 上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，又φx =f x -23，且有φx max =0，则实数ω的取值范围是()A.1<ω≤53B.1≤ω<53C.56<ω<32D.56<ω≤32【答案】A【解析】由题意可得f x =sin ωx +3cos ωx +a -1 sin ωx ，=a sin ωx +3cos ωx =a 2+3sin ωx +φ ，其中φ满足tan φ=3a，又φx max =0，即f x max =23，所以a 2+3=23，又a >0，解得a =3，所以f x =23sin ωx +π6，又0<x <π，所以π6<ωx +π6<ωπ+π6，因为f x 在上存在唯一实数x 0使f x 0 =-3，即sin ωx 0+π6 =-12，所以7π6<ωx +π6≤11π6，解得1<ω≤53，故选：A 25(2023·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考开学考试)在△ABC 中，角B ,C 的边长分别为b ,c ，点O 为△ABC 的外心，若b 2+c 2=2b ，则BC ⋅AO的取值范围是()A.-14,0 B.0,2C.-14,+∞ D.-14,2【答案】D【解析】取BC 的中点D ，则OD ⊥BC ，所以BC ·AO =BC ·AD +DO =BC ·AD +BC ·DO =BC ·AD=AC -AB ⋅12AC +AB =12AC 2-AB 2=12b 2-c 2 =12b 2-2b -b 2 =b 2-b =b -122-14.因为c 2=2b -b 2>0，则b b -2 <0，即0<b <2.所以-14≤BC ⋅AO <2，故选：D .26(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知等腰直角△ABC 中，∠C 为直角，边AC =6，P ，Q 分别为AC ，AB 上的动点(P 与C 不重合)，将△APQ 沿PQ 折起，使点A 到达点A 的位置，且平面A PQ ⊥平面BCPQ ．若点A ，B ，C ，P ，Q 均在球O 的球面上，则球O 体积的最小值为()A.8π3B.4π3C.82π3D.42π3【答案】C【解析】显然P 不与A 重合，由点A ，B ，C ，P ，Q 均在球D 的球面上，得B ，C ，P ，Q 共圆，则∠C +∠PQB =π，又△ABC 为等腰直角三角形，AB 为斜边，即有PQ ⊥AB ，将△APQ 翻折后，PQ ⊥A Q ，PQ ⊥BQ ，又平面A PQ ⊥平面BCPQ ，平面A PQ ∩平面BCPQ =PQ ，A Q ⊂平面A PQ ，BQ ⊂平面BCPQ ，于是A Q ⊥平面BCPQ ，BQ ⊥平面A PQ ，显然A P ，BP 的中点D ，E 分别为△A PQ ，四边形BCPQ 外接圆圆心，则DO ⊥平面A PQ ，EO ⊥平面BCPQ ，因此DO ⎳BQ ，EO ⎳A Q ，取PQ 的中点F ，连接DF ，EF ，则有EF ⎳BQ ⎳DO ，DF ⎳A Q ⎳EO ，四边形EFDO 为矩形，设A Q =x 且0<x <23，DO =EF =12BQ =23-x 2，A P =2x ，设球O 的半径R ，有R 2=DO 2+A P 2 2=34x 2-3x +3=34x -2332+2，当x =233时，R 3min=22，所以球O 体积的最小值为4πR 33=82π3．故选：C ．27(2023·广东·高三校联考阶段练习)已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且满足a n S n =22n -1-2n -1，设b n =log 2S n +1 ，将数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，则c 2023=()A.4048B.2023C.2022D.4046【答案】B【解析】令数列a n 的公比为q ，∵a n >0，∴a 1>0，q >0，因为a n S n =22n -1-2n -1，所以当n =1时，a 21=21-20=1，即a 1=1或a 1=-1(舍去)，当n =2时，a 2S 2=23-21=6，即q 1+q =6，解得q =2或q =-3(舍去)，所以a n =2n -1，S n =1×1-2n 1-2=2n -1，即b n =log 2S n +1 =n ，因为数列b n 中的整数项组成新的数列c n ，所以n =k 2，k ∈N *，此时b k 2=k 2=k ，即c n =n ，∴c 2023=2023．故选：B28(2023·广东·高三统考阶段练习)已知AB ⊥AC ，|AB |=t ，|AC |=1t．若点P 是△ABC 所在平面内一点，且AP =AB |AB |+2AC|AC |，则PB ⋅PC 的最大值为()A.13 B.5-22C.5-26D.10+22【答案】B【解析】以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，设P (x ，y )则B (t ,0),C 0,1t (t >0)，可得AB AB=(1,0)，2AC |AC |=(0,2)，所以AP =(1,2)，即P (1,2)，故PB =(t -1,-2)，PC =-1,1t-2 ，所以PB ⋅PC =1-t +4-2t =5-t +2t ≤5-22，当且仅当t =2t即t =2时等号成立．故选：B ．29(2023·广东·高三统考阶段练习)已知-π2<α-β<π2，sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，则sin β+π3=A.33B.63C.36D.66【答案】A【解析】由sin α+2cos β=1，cos α-2sin β=2，将两个等式两边平方相加，得5+4sin α-β =3，sin α-β =-12，∵-π2<α-β<π2，∴α-β=-π6，即α=β-π6，代入sin α+2cos β=1，得3sin β+π3 =1，即sin β+π3 =33.故选A30(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设函数f (x )=log 2(1-x ),-1≤x <k ,x 3-3x +1,k ≤x ≤3 的值域为A ，若A ⊆[-1,1]，则f (x )的零点个数最多是()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】令g (x )=log 2(1-x )，则g (x )=log 2(1-x )在(-∞,1)上单调递减；令h (x )=x 3-3x +1，则h (x )=3x 2-3．由h (x )>0，得x >1或x <-1；由h (x )<0，得-1<x <1，所以h (x )在(-∞,-1)和(1,+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，于是，h (x )的极大值为h (-1)=3，极小值为h (1)=-1．在同一坐标系中作出函数g (x )和h (x )的图象，如下图：显然f (-1)=g (-1)=1；由g (x )=-1，得x =12；由f (x )的解析式，得-1<k ≤1．(1)若-1<k <0，当k ≤x <0时，f (x )>f (0)=1，不符合题意；(2)若12<k ≤1，当12<x <k 时，f (x )<f 12=-1，不符合题意；(3)若0≤k ≤12，①当-1≤x <k 时，-1<f (x )≤1；②当k ≤x ≤3时，f (1)≤f (x )≤max {f (k ),f (3)}≤1，即-1≤f (x )≤1．由①②，0≤k ≤12时符合题意．此时，结合图象可知，当k =0时，f (x )在[-1,k )上没有零点，在[k ,3]上有2个零点；当0<k ≤12时，f (x )在[-1,k )上有1个零点，在[k ,3]上有1个或2个零点，综上，f (x )最多有3个零点．故选：C ．31(2023·广东江门·高三台山市第一中学校考阶段练习)设a =511,b =ln 2111,c =sin 511，则()A.c <a <bB.c <b <aC.a <b <cD.b <c <a【答案】A 【解析】当x ∈0,π2 时，记f x =x -sin x ，则f x =1-cos x ≥0，故f (x )在x ∈0,π2单调递增，故f (x )>f 0 =0，因此得当x ∈0,π2 时，x >sin x ，故511>sin 511，即a >c ；b -a =ln 2111-511=ln 1+2×511 -511，设g (x )=ln (1+2x )-x 0<x <12 ，则b -a =g 511，因为g (x )=21+2x -1=1-2x1+2x，当0<x <12时，g (x )>0．所以g (x )在0,12 上单调递增，所以g 511>g (0)=0，即b >a ，所以b >a>c ．故选：A32(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆上一点，PF 1 =λPF 2 ，12≤λ≤2 ，∠F 1PF 2=π2，则椭圆离心率的取值范围为()A.0,22B.22,53C.23,53D.53,1 【答案】B【解析】设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，运用椭圆的定义和勾股定理，求得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=21m -12 2+12，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．设F 1(-c ,0)，F 2(c ,0)，由椭圆的定义可得，|PF 1|+|PF 2|=2a ，可设|PF 2|=t ，可得|PF 1|=λt ，即有(λ+1)t =2a ，①由∠F 1PF 2=π2，可得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，即为(λ2+1)t 2=4c 2，②由②÷①2，可得e 2=λ2+1(λ+1)2，令m =λ+1，可得λ=m -1，即有λ2+1(λ+1)2=m 2-2m +2m 2=21m -12 2+12，由12≤λ≤2，可得32≤m ≤3，即13≤1m ≤23，则当m =2时，取得最小值12；当m =32或3时，取得最大值59，即有12≤e 2≤59，解得：22≤e ≤53，所以椭圆离心率的取值范围为22,53.故选：B .33(2023·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习)设a =ln1.1,b =e 0.1-1,c =tan0.1，则()A.a <b <cB.c <a <bC.a <c <bD.b <a <c【答案】C【解析】令f x =e x -x +1 ，所以f x =e x -1，当x >0时f x >0，当x <0时f x <0，即函数f x 在-∞,0 上单调递减，在0,+∞ 上单调递增，所以f x min =f 0 =0，即e x ≥x +1，当且仅当x =0时取等号，令x =0.1，可得b =e 0.1-1>0.1，令h (x )=tan x -x ，x ∈0,π2 ，则在x ∈0,π2 时，h (x )=1cos 2x -1>0，∴h (x )=tan x -x 在x ∈0,π2 上单调递增，∴h (x )>h (0)=0，∴x ∈0,π2时，tan x >x ．∴c =tan0.1>0.1，令g x =ln x -x +1，则g x =1x -1=1-xx，所以当0<x <1时g x >0，当x >1时g x <0，即函数g x 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 1 =0，即ln x ≤x -1，当且仅当x =1时取等号，所以当x =1.1，可得a =ln1.1<1.1-1=0.1，所以a 最小，设t x =e x -1-tan x x ∈0,0.1 ，则t (x )=e x -1cos 2x>0，∴t (x )在0,0.1 上单调递增，∴t (0)<t (0.1)，∴t (0.1)=e 0.1-1-tan0.1>e 0-1-tan0=0，∴b =e 0.1-1>tan0.1=c ，综上可得b >c >a ；故选：C34(2023·广东佛山·高三校考阶段练习)符号x 表示不超过实数x 的最大整数，如 2.3 =2，-1.9 =-2.已知数列a n 满足a 1=1，a 2=5，a n +2+4a n =5a n +1.若b n =log 2a n +1 ，S n 为数列8100b n b n +1的前n 项和，则S 2025 =()A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】B【解析】因为a n +2+4a n =5a n +1，则a n +2-a n +1=4a n +1-a n ，且a 2-a 1=4，所以，数列a n +1-a n 是首项为4，公比也为4的等比数列，所以，a n +1-a n =4×4n -1=4n ，①由a n +2+4a n =5a n +1可得a n +2-4a n +1=a n +1-4a n ，且a 2-4a 1=1，所以，数列a n +1-4a n 为常数列，且a n +1-4a n =1，②由①②可得a n =4n -13，因为4n +1-13-4n=4⋅4n -1-3⋅4n 3=4n -13>0，4n +1-13-2⋅4n =4⋅4n -1-6⋅4n 3=-2⋅4n +13<0，则4n <a n +1=4n +1-13<2⋅4n ，。
高三理科数学选择填空题训练
选择填空题训练一1．已知命题P：∀x＞0，x3＞0，那么¬P是（）A．∃x≤0，x3≤0B．∀x＞0，x3≤0C．∃x＞0，x3≤0D．∀x＜0，x3≤02．已知集合M={x|x﹣2＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞） C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，0]3．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则m的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．34．命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知数列{an }是等差数列，其前n项和为Sn，若a1a2a3=10，且，则a2=（）A．2 B．3 C．4 D．56．已知长方体的底面是边长为1的正方形，高为，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该长方体的正视图的面积等于（）A1 B．C．2 D．7．下列四个图中，函数y=的图象可能是（）A．B．C．D．8．已知点P（x，y）的坐标满足条件，则x2+y2的最大值为（）A．17 B．18 C．20 D．219．已知定义在R上的函数f（x）满足f（﹣1）=f（3）=1，f′（x）为f（x）的导函数，且导函数y=f′（x）的图象如图所示．则不等式f（x）＜1的解集是（）A．（﹣1，0）B．（﹣1，3） C．（0，3）D．（﹣∞，﹣1）（3，+∞）10．已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A．﹣1 B．C．D．211．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A．0 B．2014 C．4028 D．403112．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）A．[3，6] B．[4，6] C．D．[2，4]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知数列{an}是等比数列，若，则a10= ．14．已知空间直角坐标系o﹣xyz中的点A的坐标为（1，1，1），平面α过点A且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件是．15．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x是该方程的实数解，则x＞﹣1．则正确命题是．选择填空题训练二1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=sinx，x∈R}，则( ) A．A⊆B B．B⊆A C．A∪B=[﹣1，2）D．A∩B=Φ2．若（1+2ai）•i=1﹣bi，其中a，b∈R，则|a+bi|=( ) A．B．C．D．3．设{an }的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=( )A．2 B．﹣2 C．D．﹣4．若实数x，y满足，则z=x﹣2y的最大值是( )A．﹣3 B．C．D．5．阅读下列算法：（1）输入x．（2）判断x＞2是否成立，若是，y=x；否则，y=﹣2x+6．（3）输出y．当输入的x∈[0，7]时，输出的y的取值范围是( )A．[2，7] B．[2，6] C．[6，7] D．[0，7]6．将三封信件投入两个邮箱，每个邮箱都有信件的概率是( )A．1 B．C．D．7．下列命题正确的个数是( )①命题“∃x0∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1≤3x”；②“函数f（x）=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期为π”是“a=1”的必要不充分条件；③x2+2x≥ax在x∈[1，2]上恒成立⇔（x2+2x）min ≥（ax）max在x∈[1，2]上恒成立；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“•＜0”．A． 1 B．2 C．3 D．48．把一个三棱锥适当调整位置，可以使它的三视图（正视图，侧视图，俯视图）都是矩形，形状及尺寸如图所示，则这个三棱锥的体积是( )A．1 B．2 C．3 D．6 9．若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在（0，2π）上有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )A．（，] B．（，] C．（1，] D．（，]10．设F是抛物线C：y2=12x的焦点，A、B、C为抛物线上不同的三点，若，则|FA|+|FB|+|FC|=( )A．3 B．9 C．12 D．1811．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1.5）=﹣f（x），当x∈[0，3）时，f（x）=|（x﹣1）2﹣0.5|，记集合A={n|n是函数y=f（x）（﹣3≤x≤5.5）的图象与直线y=m（m∈R）的交点个数}，则集合A的子集个数为( )A．8 B．16 C．32 D．6412．已知椭圆C1：的左右焦点分别为F，F′，双曲线C2：=1与椭圆C1在第一象限的一个交点为P，有以下四个结论：①＞0，且三角形PFF′的面积小于b2；②当a=b时，∠PF′F﹣∠PFF′=；③分别以PF，FF′为直径作圆，这两个圆相内切；④曲线C1与C2的离心率互为倒数．其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个13．已知向量，的夹角为120°，若||=3，||=4，|+|=λ||，则实数λ的值为__________．14．已知相关变量x ，y 之间的一组数据如下表所示，回归直线所表示的直线经过的定点为（1.5，5），则mn=__________．x 0 1 n 3y 8 m 2 415．已知函数f（x）=ln（2x+1）+3，若方程f（x）+f′（x）﹣3=a有解，则实数a的取值范围是__________．16．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且Sn=2Sn﹣1+1（n≥2且n∈N*），数列{bn}是等差数列，且b1=a1，b4=a1+a2+a3，设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，则T10=__________．选择填空题训练三1．已知集合2{|1},{2,1,0,1,2}M x x N =>=--，则MN =(A) {0} (B){2} (C) {2,1,1,2}-- (D){2,2}- 2．复数112i i i -+的实部与虚部的和为 (A) 12- (B)1 (C)12 (D)323．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为(A) 31 (B)3 (C) 12 (D) 164. 如果双曲线经过点(2,2)P ，且它的一条渐近线方程为，那么该双曲线的方程是(A)22312y x -= (B)22122x y -= (C)22136x y -= (D)22122y x -= 5．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是(A) 31 (B) 23 (C)12 (D) 146．设,a b 是两个非零向量,则“222()||||a b a b +=+”是“a b ⊥”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 7．已知奇函数)(x f y =的图象关于直线2=x 对称，且()3f m =， 则(4)f m -的值为(A) 3 (B)0 (C)3- (D) 138．函数24()cos cos f x x x =-的最大值和最小正周期分别为(A) 1,4π (B)1,42π (C)1,2π (D)1,22π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度 折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时， 最后输出的S 为(A) 9.6 (B)7.68 (C)6.144 (D)4.915210．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A) 54 (B)162 (C)54183+ (D)162183+11．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（ ） （A ）120 （B ）240 （C ）360 （D ）480 12．已知函数24,0()ln ,0x x x f x x x x ⎧+≤=⎨>⎩，()1g x kx =-，若方程()()0f x g x -=在(2,2)x ∈-有三个实根，则实数k的取值范围为（ ） （A ）(1,ln 2)e （B ）3(ln 2,)2e （C ）3(,2)2（D ）3(1,ln 2)(,2)2e二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数x ，y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤≥+-≥+-0003042y x y x y x ，则目标函数32z y x =-的最大值为 ． 14.在()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x x 的展开式中，3x 项的系数是 ．15．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在半径为3的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积为 ． 16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则数列{}n a 的通项公式n a = ．x y =选择填空题训练四1．不等式（1+x ）(1-|x|）>0的解集是 A ．{}11<<-x x B. {}1<x x C. {}11>-<x x x 或 D. {}11-≠<x x x 且 2．等差数列}{n a 中，24321-=++a a a ，78201918=++a a a ，则此数列前20项和等于 A ．160B ．180C ．200D ．2203．已知向量)2,1(-=x a，()1,2=b, 则“0>x ”是“a与b夹角为锐角”的 A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．对一切实数x ，不等式012≥++x a x 恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．（-∞，-2） B ．[-2，+∞) C ．[-2,2] D ．[0，+∞) 5．命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(][)+∞⋃∞-,40, D ．()()+∞⋃∞-,40, 6．设点P ()00,x y 是函数tan y x =与()0y x x =-≠的图象的一个交点，则()()2011cos2xx ++的值为A. 2B. 2+D. 因为0x 不唯一，故不确定7．已知x 、y 为正实数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则21221)(b b a a + 的取值范围是A ．RB ．(]4,0C ．[)∞+,4D ．(][)∞+⋃∞-,40,8．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为A ．0422=++x y xB ．03222=--+x y xC ．0422=-+x y xD ．03222=-++x y x9．已知数列{}n a 的通项公式为n a =c bn an+，其中a 、b 、c 均为正数，那么n a 与1+n a 的大小是A ．n a >1+n aB ． n a <1+n aC ． n a =1+n a D. 与n 的取值有关 10．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是A.1B.2C.D.11. 函数()12sin 1f x x xπ=--在区间[]2,4-上的所有零点之和等于 A. 2 B. 6 C. 8 D. 1012．已知函数()f x 的周期为4，且当(]1,3x ∈-时，()12f x x ⎧⎪=⎨--⎪⎩(](]1,11,3x x ∈-∈，，其中0m >．若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛38,315B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7,315 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛38,34 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛7,34 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
高考数学复习选填题专项练习22---比较大小(解析版)
高考数学复习选填题专项练习22---比较大小第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2020·福建高三期末）若0,a b c R >>∈，则（ ）A ．ac bc >B ．32a bC ．2233a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．22log log a b >【答案】D 【解析】【分析】取特殊值排除AB 选项，根据指数函数以及对数函数的单调性判断CD 选项. 【详解】当1c =-时，a b ac bc >⇒<，故A 错误；当3,1a b ==时，3212a b=<=，故B 错误； 由于函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，a b >，则2233ab⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；由于函数2log yx =在0,上单调递增，0a b >>则22log log a b >，故D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查了根据所给条件判断不等式是否成立以及利用函数单调性比较大小，属于基础题.2．（2020·江西省南城一中高三期末）三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ）A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.3．（2020·重庆高三）己知命题:0p x ∀>，lg ln x x <，:0q x ∃>，2x <则下列命题中真命题是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．()p q ∨⌝【答案】C 【解析】【分析】分别判断命题,p q 的真假再利用或且非的关系逐个选项判断即可. 【详解】易得当1x =时, lg ln x x =,故p 为假命题.当14x =时, 2x <.故q 为真命题.故p q ∨为真命题.故选：C【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,属于基础题型. 4．（2020·钦州市第三中学高三月考）设sin6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小.【详解】1sin 62a π==,21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B 【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题. 5．（2020·福建高三）已知log e a π=，lneb π=，2e lnc π=，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<，故选：B . 【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.6．（2020·天津二十五中高三月考）已知13313711log ,(),log 245a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 【详解】分析：由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a ,b ,c 的大小关系.详解：由题意可知：3337392log log log <<，即12a <<，13111044⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，即01b <<， 133317552log log log =>，即c a >，综上可得：c a b >>.本题选择D 选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7．（2020·榆林市第二中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥，3()3f x x x =+，则32(2)a f =,31(log )27b f =，c f =的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】C 【解析】 【分析】利用导数判断3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，再根据自变量的大小得到函数值的大小.【详解】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，31(log )(3)(3)27b f f f ∴==-=，320223<<=，当0x ≥，'2()330f x x =+>恒成立，∴3()3f x x x =+在[0,)+∞上单调递增，3231(log )(2)27f f f ∴>>，即b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查利用函数的性质比较数的大小，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将自变量化到同一个单调区间中.8．（2020·内蒙古高三期末）已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则A ．e π＜3eB ．π23e －＜32e π－C ．log e π＞3log eD ．π3log e ＞3log e π【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性、不等式的性质即可得出．【详解】对于A ：函数y=x e 是（0，+∞）上的增函数，A 错；对于B ：π3e ﹣2＜3πe ﹣2⇔3e ﹣3＜πe ﹣3，而函数 y=x e ﹣3是（0，+∞）上的减函数，B 错；对于C ：31133e e e e log e log e log log log log πππ⇔⇔＞＞＜，而函数y=log e x 是（0，+∞）上的增函数，C 错，对于D ：33333333e e e e log e log e log log log log ππππππππ⇔⇔⇔＞＞＞＞，D 正确；故答案为：D ．【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 9．（2020·天津静海一中高三学业考试）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数.设()8log 0.2a f =，()0.3log 4b f =，()1.12c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性分析函数的单调性，利用指数函数、对数函数的单调性比较出 1.180.3log 0.2log 42、、的大小关系从而比较函数值的大小关系.【详解】由题意可知()f x 在(],0-∞上是增函数，在0,上是减函数.因为0.30.30.3100102log log 4log 193-=<<=-，3881log 0.125log 0.2log 10-=<<=， 1.122>， 所以 1.180.3log 0.2log 42<<，故c b a <<.故选：A【点睛】本题考查函数的性质，利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系，涉及指数函数、对数函数的单调性，属于基础题.10.（2020·湖南高三期末）已知 3x >，且357log log log ==x y z ，则下列不等式关系中正确的是（ ）A ．357<<x y zB ．753<<z y xC ．735<<z x yD ．537<<y x z【答案】B 【解析】【分析】令357log log log x y z k ===，求得1313k x -=，1515k y -=，1717k z -=，再根据幂函数的单调性即可得出结论．【详解】令357log log log x y z k ===()1k >，∴3k x =，5ky =，7k z =，∴133133k k x -==，155155k k y -==，177177k k z -==，∵3x >，∴1k >，∴10k ->，∴幂函数1k y x -=在()0,∞+上单调递增，∴1110357k k k ---<<<，∴111111753k k k ---<<，即753<<z y x ，故选：B ． 【点睛】本题主要考查指数式与对数式的互化，考查根据幂函数的单调性比较大小，属于中档题．11．（2020·福建高三月考）函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，()01f x x '>+，且(1)=-y f x 为偶函数，则（ ）A ．(2)(1)f f -<B ．(2)(1)f f -=C ．(2)(1)f f ->D ．|(2)||(1)|f f ->【答案】A 【解析】 【分析】根据()01f x x '>+以及(1)=-y f x 为偶函数判断出函数()f x 的单调性和对称性，由此判断出()2f -和()1f 的大小关系.【详解】由于(1)=-y f x 为偶函数，所以函数()f x 关于1x =-对称.由于()01f x x '>+，所以当1,10x x <-+<时()'0f x <，()f x 递减，当1,10x x >-+>时，()'0f x >，()f x 递增.所以(2)(1)f f -<.故选：A【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查函数的图像变换，考查函数的对称性，属于中档题.12．（2020·福建高三月考）已知25log 5log 2a =+，25log 5log 2b =⋅，25log 5log 2c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．b c a <<D ． c b a <<【答案】A 【解析】【分析】根据2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，得24a <<，25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=，再比较. 【详解】因为2225552log log 5log 83,0log log 24log 511=<<==<=<，所以252log 5log 24<+<， 所以24a <<，又因为25221log 5log 2log 51log 5b =⋅=⋅=，()()222225log 5log 5log 44log 2c ==>=， 所以b a c <<.故选：A 【点睛】本题主要考查对数的换底公式和对数比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．（2020·江西省南城一中高三期末）若23a ⎛= ⎪⎝⎭，log 3b π=，2log ec π=，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．c a b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数比较a 、b 、c 三个数与0和23的大小关系，进而可得出这三个数的大小关系. 【详解】指数函数23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R上的减函数，则22033⎛<<⎪⎝⎭，即023a <<；对数函数log y x π=为()0,∞+上的增函数，()322333ππ⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦，233π∴<，所以，232log log 33πππ=<，即23b >；对数函数2log y x =为()0,∞+上的增函数，则22log log 10ec π=<=.因此，b a c >>.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于基础题.14．（2020·山西高三月考）若()10,,2nm m n a b e e c >>==+=，则（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式得出2m nm n ++>>，再根据函数的单调性即可比较大小．【详解】当0m n >>时，2m n m n ++>>，且xy e =是定义域R 上的单调增函数，2m n a e+==,所以2m ne+>a c >；又22m n m n e e e++>=，所以21()2m nm ne e e ++>，即b a >；所以b a c >>．故选：A ．【点睛】本题主要考查了根据基本不等式和函数的单调性比较大小的问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．15．（2020·广西师大附属外国语学校高三）已知函数()1y f x =+是偶函数，且函数()y f x =在区间[)1,∞+上是增函数，则下列大小关系中正确的是（ ）A ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()211log 323f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()211log 332f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，则()y f x =的图象关于直线x =1对称，结合单调性比较大小.【详解】函数()1y f x =+是偶函数，关于x ＝0对称，()y f x =的图象关于直线x =1对称，且在区间[)1,∞+上是增函数，则在(0，1)上为减函数，1123>，2211322303327log log --=>， ()22119230228log log --=>， 所以()2211112332323log f f log f ⎛⎫⎛⎫>-><< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D 【点睛】此题考查函数奇偶性的辨析，根据对称性和单调性比较函数值的大小关系，关键在于准确识别函数的单调区间.16．（2020·山西高三月考）已知()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，满足(1)1f =，2()()xf x f x x '-<，则不等式①(2)2f <，②(2)4f <，③1122⎛⎫> ⎪⎝⎭f ，④1124f ⎛⎫< ⎪⎝⎭中一定成立的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】【分析】根据题意构造函数()()f x g x x=-x ，并判断其在（0，+∞）上单调递减，然后分别算出g （1）、g （2）和g （12），并利用单调性比较大小，即可判断每个选项． 【详解】令()()f x g x x=-x ，则()()()2''xf x f x g x x -=-1()()22'xf x f x x x --=，∵xf '（x ）﹣f （x ）＜x 2，∴g '（x ）＜0在（0，+∞）上恒成立，即g （x ）在（0，+∞）上单调递减， ∵f （1）＝1，∴()()1111101f g =-=-=，对于()()()222102f g g =-=＜，即f （2）＜4，∴①错误，②正确；对于()1112101222f g g ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭＞，即1124f ⎛⎫ ⎪⎝⎭＞，∴③和④均错误；因此一定成立的只有②，故选：A ．【点睛】本题主要考查导数的综合应用，构造新函数是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．。
江陵县实验高中高三数学选填题专项训练(15)
江陵县实验高中高三数学选填题专项训练（15）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．复数2(2i z i i-=+为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2．设集合{|2,0},{|x M y y x N x y ==<==，则“x M ∈”是“x N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()sin ,[,],22f x x x x ππ=∈-12()()f x f x >若，则下列不等式一定成立的是( ) A ．021>+x x B ．2221x x > C ．21x x > D ．2221x x < 4.若不等式组13220x y x y λλ≤⎧⎪≤⎨⎪-+-≥⎩表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是A ．(,2)-∞B ．[1,1]-C ．[1,2)-D ．[1,)+∞5．如下图，是把二进制数(2)1111化成十进制数的一个程序框图，判断框内可以填人的条件是（ ）A ．4i >B ．3i ≤C ．3i >D ．4i ≤6．某甲上大学前把手机号码抄给同学乙.后来同学乙给他打电话时，发现号码的最后一 个数字被撕掉了，于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字，且用过了的数字不再重复.则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是（ ）A ．103B ．102C ．101D ．31 7．在直三棱柱ABC C B A -111中，2π=∠BAC ，11===AA AC AB ，已知G 和E 分别为11B A 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若EF GD ⊥，则线段DF 的长度的最小值是 ( )AB ．1 CD ．8．已知双曲线)0,1(12222>>=-b a b y a x 的焦距为2c ，离心率为e ，若点（-1，0）与点（1，0）到直线1=-b y a x 的距离之和为S ，且S c 54≥，则离心率e 的取值范围是（ ） A.]5,25[ B.]7,2[ C. ]7,25[ D. ]5,2[ 9．已知函数23221()1(0)()31,()2(3)1(0)x x f x x x g x x x ⎧-+>⎪=-+=⎨⎪-++≤⎩，则方程[()]0g f x a -=（a 为正实数）的实数根最多有（ ）个A ．6个B ．4个C ．7个D ．8个10．已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数且满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且21n n S a n n=⨯+，（其中n S 为{}n a 的前n 项和）。
高三数学 选择题填空题训练(含解析)
高三数学 选择题填空题训练（含解析）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 设集合{2,04,},{2,}n A x x n n B x x n n ==<<∈==∈Z Z ，则AB 为A. {1,2,4,8,16}B. {1,2,4,8}C. {2,4,8}D. {2,4}2. 关于复数2(1)1i z i+=-，下列说法中正确的是A. 在复平面内复数z 对应的点在第一象限B. 复数z 的共轭复数1z i =-C. 若复数1z z b =+()b ∈R 为纯虚数，则1b =D. 设,a b 为复数z 的实部和虚部，则点(,)a b 在以原点为圆心，半径为1的圆上3. 下列函数一定是偶函数的是A. cos(sin )y x =B. sin cos y x x =C. ln(sin )y x =D. sin xy e=4. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足8417S S =，则公比q = A.12 B. 12± C. 2 D. 2± 5. 执行如图所示程序框图，输出的x 值为A. 11B. 13C. 15D. 46.二项式5的展开式中常数项为A. 5B. 10C.20-D. 407. 设函数()|sin(2)|3f x x π=+，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是A. ()f x 是偶函数B. ()f x 最小正周期为πC. ()f x 图象关于点(,0)6π-对称 D. ()f x 在区间7[,]312ππ上是增函数 8. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 A. 4B.203C. 263D. 89. 如图，平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 的夹角为120︒，OA 与OC 的夹角为30︒，且3||2,||,||232OA OB OC ===(,)OC OA OB λμλμ=+∈R ，则A. 4,2λμ==B. 83,32λμ==C. 42,3λμ==D. 34,23λμ==10. 若数列{}n a 满足规律：123212......n n a a a a a -><><><，则称数列{}n a 为余弦数列，现将1,2,3,4,5排列成一个余弦数列的排法种数为 A. 12B. 14C. 16D. 1811. 已知双曲线12222=-by a x (0,0)a b >>以及双曲线22221y x a b -=(0,0)a b >>的渐近线将第一象限三等分，则双曲线12222=-by a x的离心率为A. 2C. 212. 已知空间4个球，它们的半径分别为2, 2, 3, 3，每个球都与其他三个球外切，另有一个小球与这4个球都外切，则这个小球的半径为A.711B.611 C. 511 D. 411第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 设,x y 满足约束条件00+2y y x x y a ⎧⎪⎨⎪-⎩≥≤≤，若目标函数3x y +的最大值为6，则a=______.14. 函数y =(1,1)-处的切线与x 轴所围成区域的面积为________. 15. 给出下列5种说法：①在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；②标准差越小， 样本数据的波动也越小；③回归分析就是研究两个相关事件的独立性；④在回归分 析中，预报变量是由解释变量和随机误差共同确定的；⑤相关指数2R 是用来刻画回 归效果的，2R 的值越大，说明残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好.其中说法正确的是____________（请将正确说法的序号写在横线上）.16. 函数()f x ()x ∈R 满足(1)1f =，1()2f x '<，则不等式221()22x f x <+的解集为______.一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合侧视图AB C O题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1. 不等式组36020x y x y -+⎧⎨-+<⎩≥表示的平面区域是2. 已知复数z a bi =+(,0)a b R ab ∈≠且，且(12)z i -为实数，则a b= A. 3B. 2C.12D.133. 已知3cos 5α=，则2cos 2sin αα+的值为 A. 925 B. 1825C. 2325D. 34254. 执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最大值为A. 7B. 15C. 31D. 635. 已知,,a b c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是① ()()⋅⋅⋅⋅a b c =a b c② ||||||⋅= a b a b ③ 22||()+=+a b a b ④ ⋅⋅⇒=a b =b c a cA. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数()sin cosf x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，则实数a 的值为A. B. 3- D.27. 一个棱长都为a 的直三棱柱的六个顶点全部在同一个球面上，则该球的表面积为A. 273a πB. 22a πC. 2114a πD. 243a π8. 已知数列{}n a 满足10a =，11n n a a +=+，则13a =A. 143B. 156C. 168D. 1959. 在Excel 中产生[0,1]区间上均匀随机数的函数为“rand ( )”,在用计算机模拟估计函数x y sin =的图像、直线2π=x 和x 轴在区间[0,]2π上部分围成的图形面积时，随机点11(,)a b 与该区域内的点),(b a 的坐标变换公式为A. 11,2a ab b π=+= B. 112(0.5),2(0.5)a a b b =-=-C. [0,],[0,1]2a b π∈∈D. 11,2a a b b π==10. 已知抛物线28y x =的焦点为F ，直线(2)y k x =-与此抛物线相交于,P Q 两点，则11||||FP FQ += A. 12B. 1C. 2D. 411. 如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 162π+B. 82π+C. 16π+D. 8π+12. 已知两条直线1l y a =：和21821l y a =+： (其中0a >)，1l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A ，B ，2l 与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C ，D .记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,m n .当a 变化时，nm的最小值为 A. 4B. 16C. 112D. 102第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上). 13.1)x dx =⎰____________.14. 用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数字夹在两个奇数字之间的四位数的个数为_____________.15. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 和2F ，左、右顶点分别为1A 和2A ，过焦点2F 与x 轴垂直的直线和双曲线的一个交点为P ，若1PA 是12F F 和12A F 的等比中项，则该双曲线的离心率为 .16. 设集合224{(,)|(3)(4)}5A x y x y =-+-=，2216{(,)|(3)(4)}5B x y x y =-+-=， {(,)|2|3||4|}C x y x y λ=-+-=，若()A B C ≠∅，则实数λ的取值范围是____________.简答与提示：【试题解析】C 由题可知{2,4,8}A =，{}B =偶数，因此 {2,4,8}A B =， 故选C.1. . 【试题解析】C 由题可知2(1)2111i iz i i i+===-+--，若z b +()b ∈R 为纯虚数， 则1b =，故选C.2. 【试题解析】A 由偶函数定义可知，函数cos(sin )y x =中，x 的定义域关于原点 对称且cos(sin())cos(sin )x x-=，故选A.3. 【试题解析】D 由题可知1q ≠，则818484414(1)11117(1)11a q S q qq a q S qq---===+=---，得 416q =，因此2q =±，故选D.4. 【试题解析】B 由程序框图可知：02x =，13x =，25x =，36x =，47x =，59x =，610x =，711x =，813x =而后输出x 值为13，故选B. 5. 【试题解析】D 由题可知，展开式中的常数项为2325(40C =，故选D.6. 【试题解析】D 由三角函数的性质可知：()|sin(2)|3f x x π=+的单调区间232k x k ππππ≤+≤+，则26212k k x ππππ-≤≤+()k ∈Z ，当1k =时， 7[,]312x ππ∈，故选D.7.【试题解析】B 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则12111202242223323V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，故选B. 8. 【命题意图】 【试题解析】C 设与,OA OB 同方向的单位向量分别为,ab ，依题意有42OCa b =+，又2OA a =，32OB b =，则423OC OA OB =+，所以42,3λμ==. 故选C.9. 【命题意图】 【试题解析】C ①将3,4,5排在中间和两侧，再用1,2插两缝共323212A A =种；②将2,4,5排列，则结果必为21435；将2,5,4排列，则结果必为21534；将4,5,2排列，则结果必为43512； 将5,4,2排列，则结果必为53412. 故选C. 10. 【命题意图】 【试题解析】A由题可知，双曲线渐近线的倾角为30︒或60︒，则bk ==或.则2c e a ====或3，故选A. 11. 【命题意图】本小题通过具体的立体几何考查学生的空间想象能力与运算求解能力，着重考查几何体中点线面的关系问题，是一道较难的试题. 【试题解析】B 由题意可知，12,A A 为半径为2的球的 球心，12,B B 为半径为3的球的球心，则124A A =， 126B B =，取12A A 的中点C ，12B B 的中点D ，则 DC =r ，则OC ==，解得611r =.故选B.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分) 13. 214.1315. ②④⑤16. (,1)(1,)x ∈-∞-+∞简答与提示:12. 【命题意图】本小题通过线性规划问题考查学生的运算求解能力，是一道基本题.【试题解析】由题意可知，3z x y =+取最大值6时，直线 36y x =-+过点(2,0)，则点(2,0)必在线性规划区域内，且 可以使一条斜率为3-的直线经过该点时取最大值，因此点 (2,0)为区域最右侧的点，故直线0+2x y a -=必经过点(2,0)， 因此2a =.13. 【命题意图】本小题通过积分问题考查学生的运算求解能力，着重考查积分在曲边图形面积求取上的应用，是一道中档难度试题.【试题解析】由y ='y =112x y =-'=-，即切线方程为11(1)2y x -=-+， 即为1122y x =-+，将y =2x y =-，将1122y x =-+改写成12x y =- 因此1232100111[(12)()]()|11333S y y dy y y y =---=-+=-+=⎰. 14. 【命题意】本小题通过统计学基本定义问题考查学生的统计学的思想，是一道中档难度的综合试题. 【试题解析】由统计学的相关定义可知，②④⑤的说法正确.15. 【命题意图】本小题以导数与函数图像的基本关系为载体，考查数形结合的数学思想，是一道较难综合试题.O2B 1B 2A 1CD【试题解析】利用换元法，将2x 换元成t ，则原式化为1()22t f t <+， 当1t =时，()1f t =，且1122t +=，又由1()2f t '<， 可知当1t >时，1()22t f t <+；当1t <时，1()22t f t >+. 故1()22t f t <+的解集为1t >，即21x >，因此(,1)(1,)x ∈-∞-+∞.一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分)1.B 2 .C 3. A 4. B 5.A 6.B 7.A 8.C 9.D 10.A 11.B 12.C 简答与提示：1. 【命题意图】.【试题解析】B 360x y -+≥表示直线360x y -+=以及该直线下方的区域，20x y -+<表示直线20x y -+=的上方区域，故选B.2. 【命题意图】.【试题解析】C 由(12)z i ⋅-为实数，且0z ≠，所以可知(12)z k i =+，0k ≠，则122a kb k ==，故选C. 3. 【命题意图】.【试题解析】A 由3cos 5α=，得22229cos 2sin 2cos 11cos cos 25ααααα+=-+-==，故选A.4. 【命题意图】.【试题解析】B 由程序框图可知：①0S =，1k =；②1S =，2k =；③3S =，3k =；④7S =，4k =；⑤15S =，5k =. 第⑤步后k 输出，此时15S P =≥，则P 的最大值为15，故选B.5. 【命题意图】本小题主要考查平面向量的定义与基本性质，特别是对平面向量运算律的全面考查，另外本题也对考生的分析判断能力进行考查.【试题解析】A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确， 故选A.6. 【命题意图】【试题解析】B 由函数()sin cos f x x a x =+的图像关于直线53x π=对称，可知5()3f π=a =. 故选B.7. 【命题意图】【试题解析】A 如图：设1O 、2O 为棱柱两底面的中心，球心O 为12O O 的中点. 又直三棱柱的棱长为a ，可知112OO a =，13AO a =，所以2222211712a R OA OO AO ==+=，因此该直三棱柱外接球的表面积为2227744123a S R a πππ==⨯=，故选A.8. 【命题意图】【试题解析】C由11n n a a +=+，可知211111)n n a a ++=++=，1=，故数列是公差为1的等差数列，1213=，则13168a =. 故选C. 9. 【命题意图】【试题解析】D. 由于[0,]2a π∈， [0,1]b ∈，而1[0,1]a ∈，1[0,1]b ∈，所以坐标变换公式为12a a π=，1b b =. 故选D.10. 【命题意图】求.【试题解析】A设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由题意可知，1||2PF x =+，2||2QF x =+，则1212121241111||||222()4x x FP FQ x x x x x x +++=+=+++++， 联立直线与抛物线方程消去y 得，2222(48)40k x k x k -++=，可知124x x =，故121212121244111||||2()42()82x x x x FP FQ x x x x x x +++++===+++++. 故选A. 11. 【命题意图】【试题解析】B 由图可知该几何体是由两个相同的半圆柱与一个长方体拼接而成，因此21241282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选B.12. 【命题意图】【试题解析】C 设(,),(,),(,),(,)A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y ，则4a A x -=，4aB x =，18214a C x -+=，18214a D x +=，则182118214444aa aa n m+--+-=-，分子与分母同乘以18214a a ++ 可得18362212142a a a a n m++++==，又363622*********a a a a +=++-≥=++，当且仅当216a +=，即52a =时，“=”成立，所以n m的最小值为112. 故选C.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分)13.7614. 816. [4]5简答与提示：13. 【命题意图】【试题解析】113122221217()()32326x x dx x x +=+=+=⎰. 14. 【命题意图】【试题解析】2122228A C A ⋅⋅=种.15. 【命题意图】【试题解析】由题意可知211212||||||PA F F A F =⨯，即222()()2()b a c c a c a++=+， 经化简可得22a b =，则c e a ====16. 【命题意图】本小题主要考查曲线与方程的实际应用问题，对学生数形结合与分类讨论思想的应用作出较高要求.【试题解析】由题可知，集合A 表示圆224(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合B表示圆2216(3)(4)5x y -+-=上点的集合，集合C 表示曲线O A DO 1O 22|3||4|-+-=上点的集合，此三集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A、B表示x yλ圆，集合C则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，可求得λ的取值范围是4].。
高三数学填空选择专项训练(3)
高三数学填空选择专项训练(3)一、选择题：每小题5分，共60分.1．直线032=+-y x 的倾斜角所在的区间是（ B ）A ．)4,0(πB ．)2,4(ππ C ．)43,2(ππD ．),43(ππ 2．不等式0)12(|1|≥-+x x 的解集为（ C ）A ．}21|{≥x xB ．}211|{≥-≤x x x 或 C ．}211|{≥-=x x x 或 D ．}211|{≤≤-x x3．锐角ααααtan ,41cos sin 则满足=⋅的值为（ C ）A ．32-B ．3C ．32±D ．32+4．若双曲线1922=-m y x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离（ C ） A ．2B ．14C ．5D ．25 5．)]211()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于（ D ） A ．0B ．32C ．1D ．26．已知二面角βα--l 的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是 （ C ） A ．b ∥α，c ∥βB ．b ∥α，c ⊥βC ．b ⊥α,c ⊥βD ．b ⊥α，c ∥β7．设F 1，F 2是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上，且21PF ⋅=0，则 ||||21PF PF ⋅的值等于 （ A ） A ．2B ．22C ．4D ．88．已知函数)(1x f y -=的图象过（1，0），则)121(-=x f y 的反函数的图象一定过点（ A ） A ．（1，2） B ．（2，1） C ．（0，2） D ．（2，0） 9．运算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如(1101)2表示=1=二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数216)111(位转换成十进制数是（ B ） A.217－2 B.216－1 C.216－2 D.215－110．（理）从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ B ） A ．小 B ．大 C ．相等 D ．大小不能确定 （文）已知直线1+=kx y 与曲线b ax x y ++=3切于点（1，3），则b 的值为（ A ） A ．3B ．－3C ．5D ．－511．(理)如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公 路，图中所标线段为道路， ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似 于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之 比约为5:1:2:3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量 都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ B ） A ．P 点 B ．Q 点 C ．R 点 D ．S 点（文）一位老师让两位学生运算数,,x y z 的算术平均数，学生甲如此求：先求x 与y 的平 均数，再求那个平均值与z 的平均值，学生乙的算法是：先求,,x y z 的和，再求那个和除 以3的商，假如学生甲和乙求出的数据分别为S 和T ，且x y z >>，则S 和T 的大小关系 是（ B ）A ．T S =B ．T S <C ．D ．不确定 12．函数)1(-=x f y 的图象如右图所示，它在R 上单调递减.现有如下结论： ①1)0(>f ； ②1)21(<f ；③0)1(1=-f；④0)21(1>-f其中正确结论的个数是（ C ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共有4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．（理）设(1)()3,(,)i a i bi a b R +-=+∈，则a b +=_____3_______。
高考数学选择填空小题训练56套(含答案)
高三数学小题训练（3）
2
3 12 ，cosβ= ，则 cos(α-β)=__________。 5 13 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原 3
4．把函数 y sin x ( x R) 的图象上所有的点向左平行移动
D.(-5,-10)
2．已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0， 2) ， B (1， 2) ， C (3， 1) ，且 BC 2 AD ，则顶点 D 的坐标为（ A． 2，
）
7 2
B． 2，
1 2
C． (3， 2)
D． (1， 3)
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来的
1 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是（ 2 ，x R 3 ，x R 3
B． y sin
）
A． y sin 2 x
x ，x R 2 6 ，x R 3
5 ． 已 知 函 数 f(x)=Asin(x+ )(A>0,0< < ),x R 的 最 大 值 是 1 ， 其 图 像 经 过 点 M ___________________；
3 ) ，则 cos 2 _________。 2 5 2． f ( x ) cos(x ) 最小正周期为 ，其中 0 ，则 6 5
，则 a b 3 4．已知平面向量 a (2， 4) ， b (1， 2) ，若 c a (a b ) b ，则 c b 2 且 a 与 b 的夹角为 3．若向量 a ， b 满足 a 1，
高三数学填空选择专项训练(2)
高三数学填空选择专项练习〔2〕一、选择题〔每题5分,共60分〕1．集合P ={－1,0,1},Q ={y ︱y =sin x ,x ∈P },那么P ∩Q 是〔 C 〕 A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{0} D ．{1} 2．以下求导正确的选项是 BA ．211)1(xxx +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．)3('x =3x ·log 3e D ．)cos (2'x x =－2x sin x3．给定性质〔1〕最小正周期为π；〔2〕图象关于直线3π=x 对称,那么以下四个函数中,同时具有性质〔1〕、〔2〕的是〔 D 〕A ．)62sin(π+=x y B ．)62sin(π+=x y C ．|sin |x y = D ．)62sin(π-=x y4．下表是某工厂产品的销售价格表某人有现金2900元,最多可购置该产品的件数为〔 B 〕A ．108B ．107C ．97D ．96 5．在平面上,点A (2,1),B (0,2),C (－2,1),O (0,0)．给出下面的结论：①BC CA AB =- ②OB OC OA =+ ③OA OB AC 2-= 其中正确．．结论的个数是B A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个6．对于抛物线0200244x y y x M x y C <=）满足条件：，（，若点：.那么称点），（00y x M 在抛物线的内部.当点），（00y x M 在抛物线C 的内部时,直线)(200x x y y l +=：与抛物线C的关系是〔D 〕A ．恰有一个公共点B ．恰有两个公共点C ．有一个或两个公共点D ．没有公共点7．如图,在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 11的中点,那么点B 到平面AMN 的距离是〔 D 〕 A ．29 B ．3 C ．556 D ．28.在等差数列{n a }中,假设,24111073=-+a a a a 〕A ．54B ．168C ．117D ．218=1=abc9.在数列{})2()3(21.2111≥+==--n a a a a a n n n n 且中，.假设n n a ∞→lim 存在,那么n n a ∞→lim 的值等于AA ．3B ．3-C ．3±D ．6 10．假设1a >,那么不等式22112log 2log xx x aa a a x x x--+>+-的解集〔 B 〕： A ．(0,2)B ．(2,)+∞C ．(1,2)D ．(1,)+∞11.〔理〕在.002)(12≠=++mn n m b a bx ax n m ，均为正实数，且，中，假设它的展开式中系数最大的项是常数项,那么ba的取值范围是〔 C 〕 A ．)58[∞+， B ．]490(， C ．]4958[， D ．]580(，〔文〕两点M 〔－2,0〕,N 〔2,0〕,点P 满足PN PM ⋅=12,那么点P 的轨迹方程为BA ．11622=+y x B ．1622=+y x C ．822=-x yD ．822=+y x12．假设⎩⎨⎧x ≤2y ≤2x ＋y ≥2,那么2x ＋y 的取值范围是CA .(2,6)B .(1,3)C .[2,6]D .[1,3] 二、填空题〔每题4 分,共16分〕 13．函数),1((12+∞-∈+=x xxy 〕的图象与其反函数图象交点坐标为 (0,0),(1,1) . 14．如下图的开关电路中,开关a,b,c 开或关的概率都为21,且彼此相互独立. 那么灯亮的概率是85 15．有一密码为□6□3□1□2□0□8的手提式保险箱,现在显示的号为□0□8□0□1□2□7,要翻开保险箱,至少需要旋转 14 步.(每个旋钮上显示的数字可以为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的任意一个,只要一个旋钮上转出一个新数字就算一步.逆转,顺转都可以).16．过双曲线12222=-b y a x 的右焦点F 〔c,0〕的直线交双曲线于M 、N 两点,交y 轴于P点,NFPNMF PM +.222b a 类比双曲线这一结论,在椭圆12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕中NFMF +是定值__.222b a -__ 班级_____________姓名_____________1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CBDBBDDCABC(B)C。
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编03(学生版)
2025年新高考数学名校选填压轴好题汇编031.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)命题“∃x ∈0,+∞ ，使a x ≤log a x (a >0且a ≠1)成立”是假命题，则实数a 的取值范围是()A.a >e12B.a >e1eC.1<a <e12D.1<a <e1e2.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)设a =ln1.02，b =sin0.02，c =151，则a ,b ,c 大小关系为()A.c <b <aB.c <a <bC.a <b <cD.a <c <b3.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知函数f (x )=sin ωx +θ ω>0,|θ|<π2 ，f (0)=32，函数f (x )在区间-2π3,π6 上单调递增，在区间0,5π6 上恰有1个零点，则ω的取值范围是()A.45,2B.45,54C.45,1D.54,24.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)已知定义域为R 的函数f (x )，对任意x ，y ∈R ，都有f (2x )+f (2y )=-f (x +y )f (x -y )，且f (2)=2，则()A.f (0)=0B.f (x )为偶函数C.f (x +1)为奇函数D.2024i =1f (i )=05.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设A ,B ,C 三点在棱长为2的正方体的表面上，则AB ⋅AC的最小值为()A.-94B.-2C.-32D.-436.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1<a n +1<2a n +2，a 1=1，S n 是a n 的前n 项和．若S m =2024，则正整数m 的所有可能取值的个数为()A.48B.50C.52D.547.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设函数f x =0,x =34π+k πω-tan ωx -π4,x ≠34π+k πωω>0,k ∈Z ，若函数f x 在区间-π8,3π8上有且仅有1个零点，则ω的取值范围为()A.23,2B.0,23C.23,103D.0,28.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知f (x )=e x -1-e 1-x2-ax ,x ≤1x +3x +1,x >1，a ∈R 在R 上单调递增，则a 的取值范围是()A.-2,1B.-2,-1C.-∞,1D.-2,+∞9.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=2cos ωx +1(ω>0)在区间(0,π)上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是()A.83,103B.83,103C.73,113D.73,11310.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)若a ≠0，函数f x =sin π6x -π6ax 2+bx +c ，且f x ≥0在0,8 上恒成立，则下列结论正确的是()A.a >0B.b <0C.c >0D.b +c >011.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)设双曲线C ：x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线C 上，过点P 作两条渐近线的垂线，垂足分别为D ，E ，若PF 1 ⋅PF 2 =0，且3|PD ||PE |=S △PF 1F 2，则双曲线C 的离心率为()A.233B.2C.3D.212.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知a >0，设函数f x =e 2x +2-a x -ln x -ln a ，若f x ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的取值范围是()A.0,1eB.0,1C.0,eD.0,2e13.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知数列a n 满足a n +1a n +an +1a n +2=2，且a 2=a 12a 1+1,a 3=17，则3a 100=()A.165B.167C.169D.17114.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若cos α-π6 =13，则sin 2α+π6=()A.429B.79C.-429D.-7915.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若a =log 4256，b =0.125-79，c =6log 32，则()A.a >b >cB.b >a >cC.c >a >bD.c >b >a16.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知x 1,x 2是函数f (x )=12ax 2-2x +ln x 的两个极值点，若不等式m >f x 1 +f x 2 +x 1x 2恒成立，则实数m 的取值范围是()A.(-3,+∞)B.[-2,+∞)C.(2,+∞)D.[e ,+∞)17.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知f x =4x -1+(x -1)2+a 有唯一的零点，则实数a 的值为()A.0B.-1C.-2D.-318.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)设函数f (x )=(x -a )sin ax ，若存在x 0使得x 0既是f (x )的零点，也是f (x )的极值点，则a 的可能取值为()A.0B.πC.πD.π219.(多选题)(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)若数列a n 满足1a n +1-1a n=d (n ∈N ∗，d 为常数)，则称数列a n 为“调和数列”.已知数列b n 为“调和数列”，下列说法正确的是()A.若∑20i =1b i =20，则b 10+b 11=b 10b 11B.若b n =2n +1c n ，且c 1=3，c 2=15，则b n =12n -1C.若b n 中各项均为正数，则b n +1≤b n +b n +22D.若b 1=1，b 2=12，则∑n +1i =2[b i ⋅ln (i -1)]≤n 2-n420.(多选题)(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a >1，n 为大于1的正整数，函数的定义域为R ，f x -f y =a yf x -y ，f 1 ≠0，则()A.f 0 =0B.f x 是奇函数C.f x 是增函数D.f n +1f 1>a n +n 21.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)以下不等式成立的是()A.当x ∈0,1 时，e x +ln x >x -1x+2 B.当x ∈1,+∞ 时，e x +ln x >x -1x+2C.当x ∈0,π2时，e x sin x >x D.当x ∈π2,π时，e x sin x >x 22.(多选题)(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设正项等比数列a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，则下列选项正确的是()A.S 9=S 4+q 4S 5C.若a 1a 9=4，则当a 24+a 26取得最小值时，a 1=2D.若(a n +1)n >T 2n ，则a 1<123.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知f 3x +1 为奇函数，且对任意x ∈R ，都有f x +2 =f 4-x ，f 3 =1，则()A.f 7 =-1B.f 5 =0C.f 11 =-1D.f 23 =024.(多选题)(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知函数f (x )=x 2-x +2x 2+1⋅x 2-2x +2，则下列结论正确的是()A.f (x )的最小值为1B.f (x )的最大值为2C.f (x )在(1,+∞)上单调递减D.f (x )的图象是轴对称图形25.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知实数a ，b 是方程x 2-k -3 x +k =0的两个根，且a >1，b >1，则()A.ab 的最小值为9B.a 2+b 2的最小值为18C.3a -1+1b -1的最小值为3 D.a +4b 的最小值为1226.(多选题)(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知函数f (x )满足：f 1 =14，4f x f y =f x +y +f x -y x ,y ∈R ，则()A.f 0 =12B.f (x )为奇函数C.f (x )为周期函数D.f 2 =-1427.(多选题)(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x 的定义域为R ，设g x =f x +2 -1，若g x 和f x +1 均为奇函数，则()A.f 2 =1B.f x 为奇函数C.fx 的一个周期为4D.2024k =1f (k )=202428.(多选题)(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F 1-c ,0 和F 2c ,0 且c >0，动点M 满足MF 1 ⋅MF 2 =a 2a >0 ，动点M 的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C ，则下列描述正确的是()A.曲线C 的方程是x 2+y 2 2-2c 2x 2-y 2 =a 4-c 4B.曲线C 关于坐标轴对称C.曲线C 与x 轴没有交点D.△MF 1F 2的面积不大于1a 229.(多选题)(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)对任意x ,y ∈R ，函数f x ，g x 都满足f x +f y +g x -2g y =e x +y ，则()A.f x 是增函数B.f x 是奇函数C.g x 的最小值是g 0D.y =2f x -g x 为增函数30.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)记数列a n 的前n 项和为S n ，若存在实数t ，使得对任意的n ∈N *，都有S n <t ，则称数列a n 为“和有界数列”，下列说法正确的是()A.若a n 是等差数列，且公差d =0，则a n 是“和有界数列”B.若a n 是等差数列，且a n 是“和有界数列”，则公差d =0C.若a n 是等比数列，且公比q <1，则a n 是“和有界数列”D.若a n 是等比数列，且a n 是“和有界数列”，则a n 的公比q <131.(多选题)(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，动点P 满足AP =λAB +μAD，其中λ,μ∈(0,1]，则下列命题正确的是()A.若λ=2μ，则平面AB 1P ⊥平面DEFB.若λ=μ，则D 1P 与A 1C 1所成角的取值范围为π4,π2C.若λ=μ-12，则PD 1∥平面A 1C 1E D.若λ+μ=32，则线段PF 长度的最小值为6232.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知x 1是函数f x =x 3+mx +n m <0 的极值点，若f x 2 =f x 1 x 1≠x 2 ，则下列结论正确的是()A.f x 的对称中心为0,nB.f -x 1 >f x 1C.2x 1+x 2=0D.x 1+x 2>033.(多选题)(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，C 上一点P 到F 和到y 轴的距离分别为12和10，且点P 位于第一象限，以线段PF 为直径的圆记为Ω，则下列说法正确的是()A.p =4B.C 的准线方程为y =-2C.圆Ω的标准方程为(x -6)2+(y -25)2=36D.若过点(0,25)，且与直线OP (O 为坐标原点)平行的直线l 与圆Ω相交于A ，B 两点，则|AB |=4534.(江西省智学联盟体2024-2025学年高三上学期9月质量检测数学试卷)四棱锥P -ABCD 的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱P A、PB、PC上，且满足PE=14P A，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点H，则PH=PD.35.(江西省抚州市部分学校2025届高三上学期一轮复习联考(一)数学试题)方程cos3πx=x2的根的个数是.36.(浙江省金华第一中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知四面体ABCD各顶点都在半径为3的球面上，平面ABC⊥平面BCD，直线AD与BC所成的角为90°，则该四面体体积的最大值为.37.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)已知函数f x =sinπ-ωxcosωx-3sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)在区间-2024π,2024π上所有零点之和为．38.(河北省衡水市第二次调研考试2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若定义在-∞,0∪0,+∞上的函数f(x)满足：对任意的x,y∈-∞,0∪0,+∞，都有：fxy=f x +f1y ，当x,y>0时，还满足：x-yf1x-f1y>0，则不等式f x ≤x -1的解集为．39.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法.要用尺规作出正十七边形，就要将圆十七等分.高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则16k=111+tan2kα2=.40.(河北省邢台市邢襄联盟2024-2025学年高三上学期9月联考数学试题)已知a>0，且x=0是函数f x =x2ln x+a的极大值点，则a的取值范围为.41.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)已知有穷递增数列a n的各项均为正整数n≥3，所有项的和为S，所有项的积为T，若T=4S，则该数列可能为．(填写一个数列即可)42.(河北省邯郸市2024-2025学年高三上学期第一次调研考试数学试题)若过点0,0的直线是曲线y=x2+1x>0和曲线y=ln x-a+a的公切线，则a=．43.(山西省忻州市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)设a,b是正实数，若椭圆ax2+by2=1与直线x+y=1交于点A,B，点M为AB的中点，直线OM(O为原点)的斜率为2，又OA⊥OB，则椭圆的方程为.44.(山西省运城市2024-2025学年高三上学期开学摸底调研数学试题)若曲线y=x+ae x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是．45.(山西省晋城市2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题)若函数f(x)=sin6x+cos6x+3 8sin4x-m在0,π4上有两个零点，则m的取值范围是．46.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知定义在(0,+∞)的函数满足对任意的正数x，y都有f(x)+f(y)=f(xy)，若2f13+f15 =-2，则f(2025)=．47.(山西省大同市2024-2025学年高三上学期开学质量检测联考数学试题)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3)是抛物线C:y2=2x上三个不同的点，它们的横坐标x1，x2，x3成等差数列，F是C的焦点，若P2F= 2，则y1y3的取值范围是．48.(吉林省实验中学2024-2025学年高三上学期开学学业诊断考试数学试题)给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且与上次所涂方格不相邻(即没有公共边)的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂色的格子数为X，则P X=3=.。
高三数学选择填空专项训练(1)
高三数学选择填空专项训练（1）高三数学选择填空专项训练(1)一.选择题:(本大题共12小题,每小题4分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请将你认为正确的答案填在后面的表格中)1．已知的值为( D )A．－3B． C．D．32．若e,e,且,则四边形ABCD是( C)A．平行四边形B．菱形 C．等腰梯形D．非等腰梯形3．已知直线l⊥平面,直线平面,以下四个命题:①;②;③;④．其中真命题是( C )A．①② B．③④C．①③D．②④4．二次函数满足,又,若在有最大值3,最小值1,则的取值范围是( D )A．B． C． D．5．一张报纸,其厚度为,面积为,现将此报纸对折(即沿对边中点的连线折叠)7次这时报纸的厚度和面积分别为( C )AB． C． D．6．已知AB=4,M是AB的中点,点P在平面内运动且保持PA+PB=6,则PM的最大值和最小值分别是( A )A．3和 B．5和C．3和D．4和7．(理)已知复数,则复数在复平面内对应的点位于( C )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限(文)曲线在P点处的切线平行直线,则P点坐标为( D)A．(1,0) B．(2,8)C．(2,8)和(－1,4) D．(1,0)和(－1,－4)8．(理)已知不等式_－2≤的解集为{_｜_≤－1或0＜_≤3},则实数a等于(D)A．－3 B．－1 C．1 D．3(文)已知方程有一个根大于1,而另一个根小于1,则实数的取值范围是(C)A．(－∞,1)∪(9,＋∞)B．(1,9) C．(－∞,1) D．[1,＋∞)9．已知双曲线的中心在原点,两个焦点为F1 (－,0)和F2 (,0),P在双曲线上,满足＝0且△F1PF2的面积为1,则此双曲线的方程是( C )=1=A．B．C．D．10．(理)下面说法正确的是( C )A．离散型随机变量_ 的期望E_ 反映了_ 取值的概率的平均值B．离散型随机变量_ 的方差D_ 反映了_ 取值的平均水平C．离散型随机变量_ 的期望E_ 反映了_ 取值的平均水平D．离散型随机变量_ 的方差D_ 反映了_ 取值的概率的平均值(文)要完成下列2项调查:①从某社区125户高收入家庭,280户中等收入家庭,95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标;②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.应采用的抽样方法是( B )A．①用随机抽样法②用系统抽样法B．①用分层抽样法②用随机抽样法C．①用系统抽样法②用分层抽样法D．①.②都用分层抽样法11．地球半径为R,A.B两地均在北纬45°圈上,两地的球面距离为,则A.B两地的经度之差的绝对值为( B )A． B．C．D．12. 由等式定义,则等于( D )A．(1,2,3,4) B．(0,3,4,0) C．(-1,0,2,-2) D．(0,-3,4,-1)．123456789101112二.填充题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分,请把答案填在题中横线上) 13．等差数列{an}中,若a1＋a4＋a7＝15,a3＋a6＋a9＝3,则S9＝ 27_shy;_shy;_shy;___.14．已知圆_2＋y2＋m_－＝0与抛物线y＝_2的准线相切,则m=.15．b糖水中有a克糖(b_gt;a_gt;0),若再加入m克糖(m_gt;0),则糖水更甜了,试根据这个事实写出一个不等式16．(理)关于函数 (a是常数且a≠0),给出下列命题:①它是一个奇函数;②它在每一点都连续;③它在每一点都可导;④它是一个增函数;⑤它有反函数．其中不正确的命题序号是①④．(文)已知函数f (_)＝｜_2－2a_＋b｜(_∈R)．给出下列命题:①f (_)必是偶函数;②当f (0)＝f (2)时,f (_)的图象关于直线_＝1对称; ③若a2－b≤0,则f (_) 在区间[a,＋∞)上是增函数;④f (_)有最大值｜a2－b｜．其中正确命题的序号是③．班级____________姓名______________=2=。
华师一附中2024届高三数学选填专项训练(16)答案
2024届高三数学选填专项训练16时限：40分钟满分：80分命题人：徐聪一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.<1，条件q:x2+x−6>0，则p是q的（）1．已知条件p:1xA．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】解不等式，解集分别为A，B，根据集合的包含关系即可求解.<1⇒x>1或x<0，不妨设A=(−∞,0)∪(1,+∞)，【详解】由1xx2+x−6>0⇒(x+3)(x−2)>0⇒x>2或x<−3，不妨设B=(−∞,−3)∪(2,+∞)，因为B真包含于A，所以p推不出q，q能推出p，所以p是q的必要不充分条件.故选：C2．已知复数z满足|z+3i|=|z−i|，则|z+1+2i|的最小值为（）A．1 B．3 C．√3D．√5【答案】A【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z，由复数的几何意义可知点Z的轨迹为y=−1，则问题转化为y=−1上的动点Z到定点(−1,−2)距离的最小值，从而即可求解．【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足|z+3i|=|z−i|，所以由复数的几何意义可知，点Z到点(0,−3)和(0,1)的距离相等，所以在复平面内点Z的轨迹为y=−1，又|z+1+2i|表示点Z到点(−1,−2)的距离，所以问题转化为y=−1上的动点Z到定点(−1,−2)距离的最小值，当Z为(−1,−1)时，到定点(−1,−2)的距离最小，最小值为1，所以|z+1+2i|的最小值为1，故选：A．/=（）3．已知α∈(0,π)，若√3(sinα+sin2α)+cosα−cos2α=0，则sin.α−π12二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得．．．．．．2．分． 9．关于下列命题中，说法正确的是（ ）A ．已知X ∼B (n,p )，若E (X )=30,D (X )=20，则p =23B ．数据91,72,75,85,64,92,76,78,86,79的45%分位数为77C ．已知ξ∼N (0,1)，若P(ξ>1)=p ，则P (−1≤ξ≤0)=12−pD ．某校三个年级，高一有400人，高二有360人.现按年级分层，用分层随机抽样的方法从全校抽取57人，已知从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人 【答案】CD【分析】对各个选项进行分析判断即可得出结论. 【详解】对于A,∵X ∼B (n,p )， ∴{E (X )=np =30, D (X )=np (1−p )=20,，∴1−p =23，解得p =13，故A 错误；对于B ，将数据从小到大排序为64,72,75,76,78,79,85,86,91,92，∵10×45%=4.5，∴45%分位数为第5个数，即78，故B 错误； 对于C,∵ξ∼N (0,1)，∴P (−1≤ξ≤0)=12,1−P(ξ>1)−P(ξ<−1)-=12,1−2P(ξ>1)-，故C 正确；对于D ，∵抽样比为20400=120， ∴高二应抽取360×120=18人，则高三应抽取57−20−18=19人，故D 正确.故选：CD.10．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =1，点M 在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（ ）A ．若M 为棱CC 1的中点，则直线AC 1∥平面BDMB ．若M 在线段BC 1上运动，则CM +MD 1的最小值为2+√2C ．当M 与D 1重合时，以M 为球心，√52为半径的球与侧面BB 1C 1C 的交线长为π4D ．若M 在线段BD 1上运动，则M 到直线CC 1的最短距离为1 【答案】AC【分析】对于A ：作AC ，BD 交点O ，连接OM ，可证AC 1 ∥ OM ，进而得到AC 1∥平面BDM ；对于B ：展开△BC 1D 1与△BCC 1到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理运算求解；对于C ：D 1在侧面BB 1C 1C 上的射影为C 1，确定交线为以C 1为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；对于D ：根据垂直关系分析可知直线BD 1与直线CC 1的距离为OC ，当M 为BD 1中点，E 为CC 1中点时，可得ME =OC ，即能找出此点恰在BD 1上. 【详解】对于选项A ：作AC ，BD 交点O ，连接OM ， 因为O 为AC 中点，M 为棱CC 1的中点，则AC 1∥OM ，且OM ⊂平面BDM ，AC 1⊄平面BDM ，所以AC 1∥平面BDM ，故A 正确；C．f(x)图象上任意两点连线的斜率恒大于1D．若对∀x∈(0,+∞)，f(e x−alnx)>f(alna)+e x−aln(ax)，则0<a<e【答案】AC【分析】由f′(x)=x+1−sinx>0知函数单调递增判断A；根据f′(x)−x=1−sinx≥0，并构造y=f(x)−12x2并确定单调性判断B；由f′(x)−1=x−sinx，构造g(x)=x−sinx(x>0)并研究其单调性判断f′(x)−1符号，得到y=f(x)−x的单调性，结合斜率公式判断C；由f(e x−alnx)−(e x−alnx)> f(alna)−alna，根据分析有e x−alnx>alna>0，即e x;lna+x−lna>e lnx+lnx且a>1，再构造y=e x+x、 (x)=x−lnx依次研究单调性判断D.【详解】f(x)定义域为(0,+∞)，且f′(x)=x+1−sinx>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，A正确；因为f′(x)−x=1−sinx≥0，所以y=f(x)−12x2在(0,+∞)上单调递增，所以f(√3)−32>f(√2)−1，即f(√3)−f(√2)>12，B错误；设A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))是f(x)图象上任意两点，而f′(x)−1=x−sinx，设g(x)=x−sinx(x>0)，则g′(x)=1−cosx≥0，g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，f′(x)−1>0，所以y=f(x)−x在(0,+∞)上单调递增，所以f(x1);x1;(f(x2);x2)x1;x2>0，即f(x1);f(x2)x1;x2>1，f(x1);f(x2)x1;x2表示A，B两点连线的斜率，C正确；由f(e x−alnx)>f(alna)+e x−aln(ax)得f(e x−alnx)−(e x−alnx)>f(alna)−alna，又y=f(x)−x在(0,+∞)上单调递增，则e x−alnx>alna>0，即e x;lna+x−lna>e lnx+lnx，且a>1，因为y=e x+x在(0,+∞)上单调递增，所以x−lna>lnx，即lna<x−lnx，设 (x)=x−lnx，则 ′(x)=x;1x，在(0,1)上 ′(x)<0， (x)单调递减，在(1,+∞)上 ′(x)>0， (x)单调递增，所以 (x)≥ (1)=1，即x−lnx≥1，所以lna<1，所以1<a<e，D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：根据已知条件，结合各项描述构造对应函数，并应用导数研究单调性比较大小、求参数范围即可.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，满分20 分13．在(x−2)5(1+y)4的展开式中，x3y2的系数为 .【答案】240【分析】求出(x−2)5展开式中x3的系数，再求得(1+y)4展开式中y2的系数，相乘即得结论．【详解】(x−2)5=(−2+x)5，其展开式中含x3的项为C53(−2)2x3=40x3，(1+y)4展开式中含y2的项为C42y2=6y2，所以x3y2的系数为40×6=240．故答案为：240.14．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为．【答案】0.8/45【分析】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，根据已知得出P(AB)=P(A)P(B)，P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)，代入数据即可得出答案.【详解】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，由题意可知，P(A)=0.7，P(A∪B)=0.94.因为事件A，B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7P(B).又P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=0.3P(B)+0.7=0.94，所以P(B)=0.8.故答案为：0.8.15．已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的正方形，PB=PD=3√22，二面角P−BD−C的余弦值为−2√55，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为．【答案】17π2【分析】分别作出过平面ABCD和平面PBD外接圆圆心且垂直于平面ABCD和平面PBD的垂线，两垂线交点为外接球的球心，利用正余弦定理以及勾股定理即可求解.【详解】如图，在四棱锥P−ABCD中，连接BD，取BD中点为O1,连接PO1,CO1,因为底面是边长为2的正方形，所以BD=2√2,在等腰三角形PBD中，cos∠BPD=PB 2:PD2;BD22PB⋅PD=19,。
高考高三数学选择填空专项训练7
高三数学选择填空专项练习〔7〕班级 学号 姓名 得分 1．设全集}7,5,3,1{=U ,集合,},5,1{U M a M ⊆-= C U M={5,7},那么a 的值为〔 〕A ．2B ．8C ．－2D ．－8 2．θ是第二象限角,那么θθ42sin sin -可化简为 〔 〕A ．θθcos sinB ．－θθcos sinC ．θ2sinD ．－θ2sin3．命题p ：不等式1|1|->-x xx x 的解集为}10|{<<x x 命题q ：“A=B 〞是“B A sin sin =〞成立的必要非充分条件,那么 〔 〕A ．p 真q 假B ．“p 且q 〞为真C ．“p 或q 〞为假D ．p 假q 真4．双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条渐近线与直线032=+-y x 垂直,那么该双曲线的准线方程是〔 〕A ．23±=x B ．25±=x C ．334±=x D ．554±=x 5．设函数)3()3(24)(-≥++=x x x f ,那么其反函数)(1x f -的图象是〔 〕A B C D6．1,0=+<<b a b a 且,以下不等式正确的选项是 〔 〕A ．1log 2>aB ．2log log 22->+b aC ．0)(log 2<-a bD ．1)(log 2<+baa b 7．在空间中,有如下命题： ①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；②假设平面α//平面β,那么平面α内任意一条直线m//平面β；③假设平面α与平面β的交线为m,平面α内的直线n ⊥直线m,那么直线n ⊥平面β；④假设点P 到三角形三条边的距离相等,那么点P 在该三角形内部的射影是该三角形的内心.其中正确命题的个数为〔 〕 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个8．计算αααcos 2)60cos()30sin( +++= .9．函数2x y =的图象F 按向量)2,3(-=a 平移到F′,那么F′的函数解析式为 . 10．如图,在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,CC 1中点为E, 那么AE 与BC 1所在的两条直线的位置关系是 ,它们所成的角的大小为 .11．数列则为正偶数为正奇数中⎩⎨⎧-=-),(12,)(2,}{1n n n a a n n n9a = 〔用数字作答〕,设数列{n a }的前n项和为S n ,那么S 9= 〔用数字作答〕.12．函数),(13)(23+∞-∞+-+=在区间x x ax x f 上是减函数,那么a 的取值范围是 .题号 1234567答案8 9 .10 11、 . 12.高三数学小题专项练习〔7〕题 号 1 2 3 4 5 6 7 答 案BBADACB8．21； 9． 762+-=x x y ； 10．异面直线,4π； 11．256,377； 12． ]3,(--∞。
(完整版)高三数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]
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三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A.6556 B.－6556 C.－6516 D. 6516 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34. 函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2 B.22 C.4 D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒）12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒） 12 12.4 12.8 13 12.2 12.8 12.3 12.5三基小题训练二1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量 OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( ) A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ）A.（3，0）B.（2，0）C.（1，0）D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ）A.（a ，－b ）B.（－a ，b ）C.（b ，－a ）D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠TEF DO C B A8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m ⊂β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ;(2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.210．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132- 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________. 14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08含答案
2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-323(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+434(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π125(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =() A.5π12B.π2C.7π12D.2π36(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.158(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.210(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.1112(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.415(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种B.1440种C.1728种D.1800种16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2B.3C.4D.517(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1B.2C.4D.2或418(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.172019(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.15820(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.621(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27B.24C.32D.2822(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是325(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a 3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=72226(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减D.f x 为奇函数29(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)设a ,b 为两个正数，定义a ,b 的算术平均数为A a ,b =a +b2，几何平均数为G a ,b =ab ，则有：G a ,b ≤A a ,b ，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D .H .Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即L p a ,b =a p +bp a p -1+bp -1，其中p 为有理数.下列关系正确的是()A.L 0.5a ,b ≤A a ,bB.L 0a ,b ≥G a ,bC.L 2a ,b ≥L 1a ,bD.L n +1a ,b ≤L n a ,b30(2024·广东广州·模拟预测)如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N ，P 分别是棱C 1D 1，AA 1，BC 的中点，Q 为平面PMN 上的动点，且直线QB 1与直线DB 1的夹角为30°，则()A.DB 1⊥平面PMNB.平面PMN 截正方体所得的截面面积为33C.点Q 的轨迹长度为πD.能放入由平面PMN 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的半径的最大值为3-3231(2024·湖南·模拟预测)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别为BC ,CC 1的中点，则下列结论正确的是()A.直线A 1B 与EF 所成的角的大小为60°B.直线AD 1⎳平面DEFC.平面DEF ⊥平面BCC 1B 1D.四面体D -EFC 外接球的体积与正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积之比为6π832(2024·湖南·模拟预测)玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为A 1，“第一次取得白球”为A 2，“第二次取得黑球”为B 1，“第二次取得白球”为B 2，则()A.P A 1B 1 =P A 2B 2B.P A 1B 2 =P A 2B 1C.P B 1 A 1 +P B 2 A 1 =1D.P B 2 A 1 +P B 1 A 2 >133(2024·河南信阳·模拟预测)已知函数f x =sin ωx +φ ω>0 ，则()A.若ω=3，φ=π3，则将函数f x 的图象向右平移5π18个单位后关于y 轴对称B.若φ=π3，函数f x 在π6,π3 上有最小值，无最大值，且f π6 =f π3，则ω=5C.若直线x =π4为函数f x 图象的一条对称轴，5π3,0 为函数f x 图象的一个对称中心，且f x 在π4,5π6 上单调递减，则ω的最大值为1817D.若f x =12在x ∈π4,3π4 上至少有2个解，至多有3个解，则ω∈4,163 34(2024·河南信阳·模拟预测)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ，点M ,N 在抛物线C 上，则()A.若M ,N ,F 三点共线，且MF NF=34，则直线MN 的倾斜角的余弦值为±37B.若M ,N ,F 三点共线，且直线MN 的倾斜角为45°，则△OMN 的面积为22p 2C.若点A 4,4 在抛物线C 上，且M ,N 异于点A ，AM ⊥AN ，则点M ,N 到直线y =-4的距离之积为定值D.若点A 2,2 在抛物线C 上，且M ,N 异于点A ，k AM +k AN =0，其中k AM >1，则sin ∠FMN -sin ∠FNM≤25535(2024·湖南岳阳·二模)已知函数f x 的定义域为R ，对任意x ,y ∈R 都有2f x +y 2 fx -y2=f x +f y ，且f 1 =-1，则下列说法正确的是()A.f -1 =1B.f x +12为奇函数C.f x -f 2-x =0D.f 1 +f 2 +f 3 +⋅⋅⋅+f 2025 =-136(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点M 为BC 的中点，点P 为正方形A 1B 1C 1D 1内(包含边界)的动点，则()A.满足MP ⎳平面A 1BD 的点P 的轨迹为线段B.若MP =22，则动点P 的轨迹长度为π3C.直线AB 与直线MP 所成角的范围为π6,π2D.满足MP ⊥AM 的点P 的轨迹长度为5237(2024·湖南·二模)已知f x =3sinωx 2cos ωx 2+cos 2ωx 2-12,ω>0，下列结论正确的是()A.若f x 的最小正周期为π，则ω=2B.若f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于y 轴对称，则ωmin =1C.若f x 在0,2π 上恰有4个极值点，则ω的取值范围为53,136D.存在ω，使得f x 在-π6,π4上单调递减38(2024·湖南·二模)已知函数f x ,g x 的定义域均为R ,g x +1 +f 1-x =1，f x +1 -g x +2 =1，且y =f x 的图像关于直线x =1对称，则以下说法正确的是()A.f x 和g x 均为奇函数B.∀x ∈R ,f x =f x +4C.∀x ∈R ,g x =g x +2D.g -32=039(2024·湖南常德·三模)若函数f (x )=2x sin x -10<x <π2的零点为x 1，函数g (x )=2x cos x -10<x <π2 的零点为x 2，则()A.x 1x 2>π2 B.x 1+x 2<3π4C.cos (x 1+x 2)<0D.cos x 1-sin x 2<040(2024·高三·重庆·开学考试)已知函数f x 是R 上的奇函数，等差数列a n 的前n 项的和为S n ，数列f a n 的前n 项的和为T n .则下列各项的两个命题中，p 是q 的必要条件的是()A.p :f a 5 =0，q :S 9=0B.p :S 10=0，q :f a 5+a 6 =0C.p :a 5=0，q :T 9=0D.p :T 10=0，q :a 5+a 6=041(2024·湖南·模拟预测)已知θ∈R ，双曲线C ：x 2cos θ+y 2sin2θ=1，则()A.θ可能是第一象限角B.θ可能是第四象限角C.点1,0 可能在C 上D.点0,1 可能在C 上42(2024·高三·湖南长沙·阶段练习)D ,E 是△ABC 边BC 上的点，其中∠BAD =∠CAE ,BC =3，且BD ⋅BE CD ⋅CE =13.则△ABC 面积的可能取值为()A.934B.332C.33D.73243(2024·山西·模拟预测)在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD =2AB =2AA 1=4，E 是棱B 1C 1的中点，过点B ，E ，D 1的平面α交棱AD 于点F ，P 为线段D 1F 上一动点(不含端点)，则()A.三棱锥P -ABE 的体积为定值B.存在点P ，使得DP ⊥αC.直线PE 与平面BCC 1B 1所成角的正切值的最大值为2D.三棱锥P -BB 1E 外接球的表面积的取值范围是(12π,44π)三、填空题44(2024·广东湛江·二模)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，若C 上存在一点P 满足PF 1 2=19PF 2 2，则C 的离心率的取值范围是.45(2024·高三·河北·开学考试)已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 为第一象限内椭圆上一点，△F 1PF 2的内心为I 1,3 ，且∠F 1PI =30°，则椭圆的离心率为．46(2024·湖南娄底·一模)龙年参加了一闯关游戏，该游戏共需挑战通过m 个关卡，分别为：G 1,G 2,⋯,G m ，记挑战每一个关卡G k k =1,2,⋯,m 失败的概率为a k ，其中a k ∈0,1 ,a 1=13.游戏规则如下：从第一个关卡G 1开始闯关，成功挑战通过当前关卡之后，就自动进入到下一关卡，直到某个关卡挑战失败或全部通过时游戏结束，各关卡间的挑战互相独立：若m =2，设龙年在闯关结束时进行到了第X 关，X 的数学期望E X =；在龙年未能全部通关的前提下；若游戏结束时他闯到第k +1关的概率总等于闯到第k 关k =1,2,⋯,m -1 的概率的一半，则数列a n 的通项公式a n =,n =1,2,⋯,m .47(2024·湖南·一模)如果直线l :kx -y -2k =0和曲线Γ:x 2-4y y =1恰有一个交点，那么实数k 的取值范围是．48(2024·湖南·模拟预测)已知数列a n 为公差不为0的等差数列，a 3=5，且a 2,a 5,a 14成等比数列，设x 表示不超过x 的最大整数，如π =3,-1.5 =-2，记b n =log 2a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，则S 100=．49(2024·高三·江苏无锡·阶段练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上一点，且PF 2⊥F 1F 2，H 是线段PF 1上靠近F 1的三等分点，且OH ⋅PF 1=0，则C 的离心率为.50(2024·全国·模拟预测)已知空间四面体ABCD 满足AB =AC =DB =DC ,AD =2BC =6，则该四面体外接球体积的最小值为．51(2024·全国·模拟预测)已知等边△ABC 的外接圆O 的面积为36π，动点M 在圆O 上，若MA⋅MB +MB ⋅MC≤λ，则实数λ的取值范围为．52(2024·高三·山东菏泽·阶段练习)若曲线f x ,y =0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f x ,y =0的“自公切线”，则下列方程对应的曲线中存在“自公切线”的序号为．①y =x 2-2x ;②y =3sin x +4cos x ;③3x 2-xy +1=0;④x 2+y 2-x -x -1=0．53(2024·湖南岳阳·二模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左右焦点分别为F 1、F 2，其中F 1F 2 =2c ，过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若AF 1 ⋅AF 2 =4c 2，则该椭圆离心率的取值范围是．54(2024·湖南·二模)已知表面积为100π的球面上有四点S ,A ,B ,C ,△ABC 是边长为43的等边三角形，若平面SAB ⊥平面ABC ，则三棱锥S -ABC 的体积的最大值为，55(2024·湖南·二模)已知f x =2x +x -m ,x ∈a ,a +2 ,f (x )max =g m ，若m g m ≥13 =R ，则实数a 的取值范围是，56(2024·湖南常德·三模)已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别相交于M ,N 两点，直线NF 2与双曲线的另一交点为P ，若△NPF 1为等腰三角形，且△NF 1F 2的面积是△PF 1F 2的面积的2倍，则双曲线C 的离心率为.57(2024·高三·全国·阶段练习)设函数f x =1e x+1图象上任意一点处的切线为l 1，总存在函数图象g x =a sin x +x a >0 上一点处的切线l 2，使得l 1⎳l 2，则实数a 的最小值为.58(2024·湖南·模拟预测)过椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上的动点P 向圆O ：x 2+y 2=b 2引两条切线PA ,PB ．设切点分别是A ，B ，若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点，则△MON 面积的最小值是.59(2024·四川凉山·一模)定义函数f (x )=max λx ,-λx ，x ∈R ，其中λ>0，符号max {a ,b }表示数a ,b 中的较大者，给出以下命题：①f (x )是奇函数；②若不等式f (x -1)+f (x -2)≥1对一切实数x 恒成立，则λ≥1③λ=1时，F (x )=f (x )+f (x -1)+f (x -2)+⋯+f (x -100)最小值是2450④“xy >0”是“f (x )+f (y )≥f (x +y )”成立的充要条件以上正确命题是．(写出所有正确命题的序号)2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编08一、单选题1(2024·广东湛江·二模)已知函数f x =2x -1 -a ，g x =x 2-4x +2-a ，则()A.当g x 有2个零点时，f x 只有1个零点B.当g x 有3个零点时，f x 有2个零点C.当f x 有2个零点时，g x 有2个零点D.当f x 有2个零点时，g x 有4个零点【答案】D【解析】两个函数的零点个数转化为图象与y =a 的图象的公共点的个数，作出y =2x -1 ，y =x 2-4x +2的大致图象，如图所示.由图可知，当g x 有2个零点时，f x 无零点或只有1个零点；当g x 有3个零点时，f x 只有1个零点；当f x 有2个零点时，g x 有4个零点.故选：D2(2024·甘肃定西·一模)在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ,∠ABD =60°,PB ,PC 与底面ABCD 所成的角分别为α,β，且α+β=45°，则PAAB =()A.17-22B.15-32C.15-22D.17-32【答案】D【解析】如图，设AB =a ,PA =b ，因为在矩形ABCD 中，∠ABD =60°，所以AC =BD =2a ，因为PA ⊥底面ABCD ，所以∠PBA ,∠PCA 分别是PB ,PC 与底面ABCD 所成的角，即α=∠PBA ,β=∠PCA ，所以tan α=tan ∠PBA =b a ,tan β=tan ∠PCA =b2a.因为α+β=45°，所以tan (α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=ba+b2a 1-b a ⋅b 2a =1，解得b a =17-32(负根舍去)，所以PAAB =17-32.故选：D .3(2024·高三·江西·开学考试)如图，已知圆O 的半径为2，弦长AB =2，C 为圆O 上一动点，则AC ⋅BC的取值范围为()A.0,4B.5-43,5+43C.6-43,6+43D.7-43,7+43【答案】C【解析】取AB 的中点D ，连接CD 、OD ，则AC ⋅BC =AD +DC ⋅BD +DC =AD ⋅BD +AD +BD ⋅DC +DC 2=DC 2-1，又OD =22-12=3，所以CD min =2-3，CD max =2+3，即2-3≤CD ≤2+3，所以AC ⋅BC min =6-43，AC ⋅BC max =6+43．故AC ⋅BC的取值范围为6-43,6+43 ．故选：C4(2024·高三·江苏·期末)已知直线l 与椭圆x 29+y 23=1在第二象限交于A ，B 两点，l 与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点(M ,N 在椭圆外)，若AM =BN ，则l 的倾斜角是()A.π6B.π3C.π4D.5π12【答案】A【解析】设l ：y =kx +b (k >0，b >0)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +bx 29+y 23=1，得3k 2+1 x 2+6kbx +3b 2-9=0，由题意知Δ=36k 2b 2-43k 2+1 3b 2-9 =129k 2+3-b 2 >0，所以x 1+x 2=-6kb 3k 2+1，x 1x 2=3b 2-93k 2+1，设AB 的中点为E ，连接OE ，因为AM =BN ，所以AM +AE =BE +BN ，得EM =EN ，又因为N -bk,0 ，M 0,b ，所以E 也是MN 的中点，所以E 的横坐标为x E =x 1+x 22=-b k 2，从而得-6kb 3k 2+1=-b k ，因为A ,B 交在第二象限k >0，解得k =33，设直线l 倾斜角为θ，得tan θ=33，得θ=π6，故A 正确.故选：A .5(2024·湖南娄底·一模)已知圆内接四边形ABCD 中，AD =2,∠ADB =π4,BD 是圆的直径，AC ⋅BD=2，则∠ADC =()A.5π12B.π2C.7π12D.2π3【答案】C【解析】因为AC ⋅BD =2，所以AD +DC ⋅BD =2，易知BD =4，结合图形，AD ·BD =2×4×22=4，∠BCD =90°，则4-DC 2=2，故DC = 2.又BD 是圆的直径，AD =2,∠ADB =π4，所以BD =22，所以在直角三角形BCD 中可得∠BDC =π3，故∠ADC =7π12.故选：C .6(2024·湖南娄底·一模)若直线ex -4y +e ln4=0是指数函数y =a x (a >0且a ≠1)图象的一条切线，则底数a =()A.2或12B.eC.eD.e 或e【答案】D【解析】设切点坐标为x 0,f x 0 ，对函数y =a x ，求导得y =a x ln a ，切线方程ex -4y +e ln4=0化成斜截式为y =e 4x +e ln44，由题设知e4=a x 0ln a >0a x 0=ex 0+e ln44，显然ln a >0，即a >1，由a x 0=e 4ln a ，得e 4ln a =ex 0+e ln44，即1ln a=x 0+ln4，即1=x 0⋅ln a +ln a ln4=ln a x 0+ln4ln a =ln a x⋅4ln a ，即e =a x 0⋅4ln a =e4ln a ⋅4ln a ，化简得4ln a =4ln a ，令ln a =t >0，即4t =4t ，利用指数函数与一次函数的性质，可知t =1或12，即ln a =1或12，解得a =e 或 e.故选：D .7(2024·河北沧州·一模)过点P 1,2 作圆O :x 2+y 2=10相互垂直的两条弦AB 与CD ，则四边形ACBD 的面积的最大值为()A.66B.215C.96D.15【答案】D【解析】如图所示：OP =5,记OM =m ,ON =n ,则m 2+n 2=5，AC =210-m 2,BD =210-n 2，S ACBD =12AC ⋅BD =210-m 2⋅10-n 2≤2×10-m 2+10-n 22=15，当且仅当10-m 2=10-n 2，即m =n =102时，取等号.所以四边形ACBD 的面积的最大值为15.故选：D8(2024·湖南·一模)若不等式e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，其中m ≠0，则nm的取值范围为()A.-∞,-ln3e 2B.ln3e 2,+∞ C.-e ,-ln3e 2D.ln3e 2,e 【答案】A【解析】令e x -1-mx -2n -3=0，即e x -1=mx +2n +3，当m <0时，由函数y =e x -1与y =mx +2n +3的图象可知，两函数图象有一个交点，记为x 0,y 0 ，则当x <x 0时，e x -1<mx +2n +3，即e x -1-mx -2n -3<0，不满足题意；当m >0时，令f x =e x -1-mx -2n -3，则f x =e x -1-m ，令f x =0，则x =ln m +1，因为f x =e x -1-m 单调递增，所以当x <ln m +1时，f x <0，f x 单调递减，当x >ln m +1时，f x >0，f x 单调递增，所以x =ln m +1时，f x 有最小值f ln m +1 =-m ln m -2n -3，又e x -1-mx -2n -3≥0对∀x ∈R 恒成立，所以-m ln m -2n -3≥0，即2n ≤-m ln m -3，所以2n m ≤-ln m -3m，当且仅当2n =-m ln m -3时等号成立.令g m =-ln m -3m ，则g m =-1m +3m 2=3-mm 2，当0<m <3时，g m >0，g m 单调递增，当m >3时，g m <0，g m 单调递减，所以当m =3时，g max m =-ln3-1=-ln3e ，所以2n m ≤-ln3e ，即n m ≤-ln3e 2，当且仅当m =3，n ≤-3ln3e 2时等号成立，所以n m 的取值范围为-∞,-ln3e 2 .故选：A9(2024·湖南·模拟预测)如图所示，面积为π的扇形OMN 中，M ,N 分别在x ,y 轴上，点P 在弧MN 上(点P 与点M ,N 不重合)，分别在点P ,N 作扇形OMN 所在圆的切线l 1,l 2，且l 1与l 2交于点Q ，其中l 1与x 轴交于点R ，则NQ +QR 的最小值为()A.4B.23C.6D.2【答案】B【解析】解析：因为扇形OMN 的面积为π，即14πOP 2=π，所以OP =2，设∠POM =θ，则在Rt △OPR 中，PR =2tan θ，连接OQ ，根据切线的性质知QN =QP ,∠NOQ =12∠NOP =π4-θ2，则在Rt △NOQ 中，NQ =2tan π4-θ2，所以NQ +QR =PR +2NQ =2tan θ+4tan π4-θ2 ,θ∈0,π2，令α=π4-θ2，则θ=π2-2α，且α∈0,π4，所以原式=2tan π2-2α +4tan α=2tan2α+4tan α=1-tan 2αtan α+4tan α=3tan α+1tan α≥21tan α⋅3tan α=23，当且仅当3tan α=1tan α，即tan α=33时，等号成立，又α∈0,π4 ，所以α=π6=θ=∠POM 时，NQ +QR 取得最小值，为23，故选：B10(2024·陕西商洛·模拟预测)设a =sin0.2,b =0.16,c =12ln 32，则()A.a >c >bB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b【答案】D【解析】设f x =sin x -x -x 2 ,x ∈0,0.2 ,f x =cos x -1+2x ，设g x =f x ,g x =-sin x +2>0，所以g x ≥g 0 =0，所以函数f x 在0,0.2 上单调递增，所以f 0.2 =sin0.2-0.2-0.22 =sin0.2-0.16>f 0 =0，即a >b .根据已知得c =12ln 32=12ln 1.20.8=12ln 1+0.21-0.2，可设h x =12ln 1+x -ln 1-x -sin x ,x ∈ 0,0.2 ，则h x =1211+x +11-x -cos x =11-x 2-cos x >0，所以函数h x 在0,0.2 上单调递增，所以h 0.2 >h 0 =0，即c >a .综上，c >a >b .故选：D .11(2024·河南信阳·模拟预测)已知数列a n 的前n 项和为S n ，S 1=1，S 2=3，且32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，则使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为()A.8B.9C.10D.11【答案】D 【解析】∵32a n +1是2a n ，a n +2的等差中项，∴a n +2=3a n +1-2a n ，故a n +2-a n +1=2a n +1-a n ，而a 2-a 1=S 2-2S 1=1≠0，∴a n +2-an +1a n +1-a n=2，故数列a n +1-a n 是首项为1，公比为2的等比数列，则a n +1-a n =2n -1，∴a n =a n -a n -1 +a n -1-a n -2 +⋯+a 2-a 1 +a 1=2n -2+2n -1+⋯+20+1=1-2n -11-2+1=2n -1，记T n =ni =1i a i，则T n =120+221+⋯+n2n -1，2T n =12-1+220+⋯+n2n -2，两式相减可得，T n =12-1+120+121+⋯+12n -2-n 2n -1=21-12 n1-12-n 2n -1=4-2+n 2n -1，即ni =1i a i=4-2+n 2n -1，令4-2+n 2n -1>509128，即2+n 2n -1<3128，设f x =2+x 2x -1x >0 ，则fx =2x -1-2+x ⋅2x -1⋅ln22x -1 2=1-2+x ⋅ln22x -1，∵x >0，∴f x <0，∴f x 在0,+∞ 单调递减，∴2+n 2n -1 是递减数列，∵当n =10时，2+n 2n -1=2+10210-1=3128，∴当n >10时，ni =1i a i >509128，∴使得ni =1i a i>509128成立的最小的n 的值为11.故选：D .12(2024·全国·模拟预测)若关于x 的不等式a (ln x +ln a )≤2e 2x 在(0,+∞)上恒成立，则实数a 的取值范围为()A.(0,e ]B.0,e 2C.(0,e ]D.(0,2e ]【答案】D【解析】依题意得，ax ln ax ≤2xe 2x ，故eln axln ax ≤2xe 2x ，令f x =xe x ,x ∈R ，则f x =x +1 e x ，令f x =0可得x =-1，所以x ∈-∞,-1 时，f x <0，则f x 在-∞,-1 上单调递减，x ∈-1,+∞ 时，f x >0，则f x 在-1,+∞ 上单调递增；且当x <0时，f x <0，当x >0时，f x >0；则由f ln ax ≤f 2x x >0 ，得ln ax ≤2x ，则a ≤e 2xx 令g x =e 2xx ,x ∈0,+∞ ，则g x =2x -1 e 2xx2，故当x ∈0,12 时，g x <0，g x 单调递减，当x ∈12,+∞ 时，g x >0,g x 单调递增，故g x min =g 12=2e ，则a ≤2e ，则实数a 的取值范围为a ∈0,2e .故选：D ．13(2024·湖南岳阳·二模)设a =log 23，b =log 35，c =log 58，则()A.a >b >cB.b >a >cC.b >c >aD.c >a >b【答案】A【解析】因为32>23，所以log 232>log 223，即2log 23>3，所以log 23>32，即a >32；因为52<33，所以log 352<log 333，即2log 35<3，所以log 35<32，即b <32；因为82<53，所以log 582<log 553，即2log 58<3，所以log 58<32，即c <32；又因为b -c =log 35-log 58=1log 53-log 58=1-log 53⋅log 58log 53，且2log 53⋅log 58<log 53+log 58=log 524<log 525=2，所以log 53⋅log 58<1，所以b -c >0，所以b >c ；综上所述，a >b >c .故选：A .14(2024·湖南岳阳·二模)已知点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆x 2+y 2=16上的两点，若∠AOB =π2，则x 1+y 1-2 +x 2+y 2-2 的最大值为()A.16B.12C.8D.4【答案】B【解析】因为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)在圆x 2+y 2=16上，∠AOB =π2，因为|OA |=|OB |=4，则△AOB 是等腰直角三角形，|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|表示A 、B 到直线x +y -2=0的距离之和的2倍，原点O 到直线x +y -2=0的距离为d =22=2，如图所示：AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，E 是AB 的中点，作EF ⊥CD 于F ，且OE ⊥AB ，|AC |+|BD |=2|EF |，OE =12AB =22，EF ≤OE +d =32，当且仅当O ,E ,F 三点共线，且E ,F 在O 的两侧时等号成立，又EF =12BD +AC ，故BD +AC 的最大值为62|x 1+y 1-2|+|x 2+y 2-2|的最大值为22×32=12．故选：B ．15(2024·湖南·二模)2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天，其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有()A.792种 B.1440种 C.1728种 D.1800种【答案】B【解析】当甲安排在初一或初二时，再安排一人在初二或初一，则有C 12C 14种排法，再利用平均分组分配法将初三到初八分配给剩下的3人，有C 26C 24C 22种排法，所以一共有C 12C 14C 26C 24C 22=720种排法；当甲不安排在初一或初二时，安排两人在初一或初二，有A 24种排法，不考虑甲两天不能连排的情况，有C 26C 24C 22种排法，其中甲两天连排的排法有5C 24C 22种，故初三到初八的值班安排有C 26C 24C 22-5C 24C 22种排法，所以一共有A 24C 26C 24C 22-5C 24C 22 =720种排法；综上可知共有720+720=1440种不同排法.故选：B .16(2024·湖南·二模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,O 为坐标原点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 交于点P ，且OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1，则双曲线C 的离心率为()A.2 B.3C.4D.5【答案】D【解析】不妨设点P 在第二象限，如图，因为OP 在OF 1 上的投影向量为35OF 1 ，则P -35c ,y 0 ，又PO 2=r 2=c 2，所以y 20=c 2--35c 2=1625c 2，又P 在双曲线上，∴9c 225a 2-16c 225b2=1，则25a 2b 2+16a 2c 2-9b 2c 2=0，即25a 2c 2-a 2 +16a 2c 2-9c 2-a 2 c 2=0，整理得9c 2-5a 2 c 2-5a 2 =0，所以9e 2-5 e 2-5 =0，解得e 2=5或e 2=59(舍去)，∴e = 5.故选：D .17(2024·湖南·二模)在△ABC 中，角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ，且a 2-b 2+c 2+2ac =0，若cos A -C =7210，α∈π4,π2 ,cos α+A cos α+C cos 2α=25，则tan α的值为()A.1 B.2C.4D.2或4【答案】C【解析】由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-22⇒B =3π4,A +C =π4，即cos A -C =7210cos A +C =22⇒cos A cos C =325sin A sin C =210，cos α+A cos α+C cos 2α=cos 2αcos A cos C +sin 2αsin A sin Ccos 2α--sin αcos αsin A cos C +sin C cos A cos 2α=325cos 2α+210sin 2α-22sin αcos αcos 2α=325+210tan 2α-22tan α=25，所以tan 2α-5tan α+4=0⇒tan α=1或tan α=4，又α∈π4,π2，所以tan α=4.故选：C18(2024·湖南常德·三模)设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为90%，乙箱中产品的合格率为80%.从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为()A.56B.67C.78D.1720【答案】A【解析】设事件B 1表示任选一件产品，来自于甲箱，事件B 2表示任选一件产品，来自于乙箱，事件A 从两箱产品中任取一件，恰好不合格，P A =P A |B 1 P B 1 +P A |B 2 P B 2 =0.1×0.5+0.2×0.5=0.15又P B 1|A =P AB 1 P A =P A |B 1 P B 1 P A=0.1×0.50.15=13P B 2|A =P AB 2 P A =P A |B 2 P B 2 P A=0.2×0.50.15=23，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为13×910+23×810=56.故选：A .19(2024·湖南·模拟预测)有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X 为得到最大点数与最小点数之差，则X 的数学期望E X =()A.2116B.32C.74D.158【答案】D【解析】X 的所有可能取值为0,1,2,3，记三次得到的数组成数组a ,b ,c ，满足X =0的数组有：1,1,1 ,2,2,2 ,3,3,3 ,4,4,4 ，共4个，所以P X =0 =443=116，满足X =1的数组有：1,1,2 ,1,2,1 ,2,1,1 ,2,2,3 ,2,3,2 ,3,2,2 ,3,3,4 ,3,4,3 ,4,3,3 ，2,2,1 ,2,1,2 ,1,2,2 ,3,3,2 ,3,2,3 ,2,3,3 ,4,4,3 ,4,3,4 ,3,4,4 ，共18个，所以P X =1 =1843=932，满足X =2的数组有：1,1,3 ,1,3,1 ,3,1,1 ,2,2,4 ,2,4,2 ,4,2,2 ，3,3,1 ,3,1,3 ,1,3,3 ,4,4,2 ,4,2,4 ,2,4,4 ，1,2,3 ,1,3,2 ,2,1,3 ,2,3,1 ,3,1,2 ,3,2,1 ，4,2,3 ,4,3,2 ,2,4,3 ,2,3,4 ,3,4,2 ,3,2,4 ，共24个，所以P X =2 =2443=38，满足X =3的数组有：1,2,4 ,1,3,4 ,1,4,4 ，1,4,1 ,1,4,2 ,1,4,3 ，1,1,4 ,2,1,4 ,3,1,4 ，4,1,1 ,4,2,1 ,4,3,1 ，4,1,2 ,4,1,3 ,4,1,4 ，2,4,1 ,3,4,1 ,4,4,1 ，共18个，所以P X =3 =1843=932，所以X 的数学期望E X =0×116+1×932+2×38+3×932=158.故选：D .20(2024·湖南·模拟预测)已知函数f x 满足f x +8 =f x ，f x +f 8-x =0，当x ∈0,4 时，f x =ln 1+sin π4x ，则函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为()A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据题意，函数f x 的周期为8，图象关于点4,0 对称，又f 38-x +f 3x =f 8-3x +f 3x =-f 3x +f 3x =0，所以函数y =f 3x 的图象也关于点4,0 对称，由x ∈0,4 ，f x =ln 1+sin π4x ，∴fx =π4cos π4x 1+sin π4x ，∵0≤π4x <π，sin π4x ≥0，令f x >0，解得0≤x <2，令f x <0，解得2<x <4，所以函数f x 在0,2 上单调递增，在2,4 上单调递减，f 2 =ln2，f 0 =f 4 =0，在同一个坐标系中，作出函数y =f 3x 与y =f x 的图象，如图，由图可得，函数y =f 3x 与y =f x 在0,4 上有两个交点，因为函数y =f 3x 与y =f x 图象均关于点4,0 对称，所以函数y =f 3x 与y =f x 在4,8 上有两个交点，又f 12 =f 4 =0，所以函数F x =f 3x -f x 在0,8 内的零点个数为5.故选：C .21(2024·高三·江苏镇江·开学考试)某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每局获胜的概率分别为p 1，p 2，且满足p 1+p 2=43，每局之间相互独立.记甲、乙在n 轮训练中训练过关的轮数为X ，若E X =16，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至少为()A.27 B.24 C.32 D.28【答案】A【解析】设每一轮训练过关的概率为p ，则p =p 21p 22+p 21×C 12×p 2×1-p 2 +p 22×C 12×p 1×1-p 1=-3p 21p 22+2p 1p 2p 1+p 2 =-3p 21p 22+2p 1p 2×43=-3p 21p 22+83p 1p 2，0<p 1p 2≤p 1+p 22 2=49，当且仅当p 1=p 2=23时等号成立.函数y =-3x 2+83x 的开口向上，对称轴为x =49，所以0<-3p 21p 22+83p 1p 2≤-3⋅49 2+83⋅49=1627，依题意，X ∼B n ,p ，则E X =n -3p 21p 22+83p 1p 2=16，n =16-3p 21p 22+83p 1p 2≥161627=27，所以至少需要27轮.故选：A22(2024·河南·模拟预测)已知圆O 为△ABC 的外接圆，∠BAC =60°，BC =23，则OB ⋅OC=()A.2B.-2C.4D.-4【答案】B【解析】如图，圆O 的直径为2R =BC sin ∠BAC=2332=4，故OB =OC =R =2，∠BOC =2∠BAC =120°，故OB ⋅OC =OB OC cos120°=2×2×-12=-2.故选：B .二、多选题23(2024·广东湛江·二模)已知函数f x 的定义域为R ，f x 不恒为零，且f x +y +f x -y =2f x f y ，则()A.f 0 =1B.f x 为偶函数C.f x 在x =0处取得极小值D.若f a =0，则f (x )=f (x +4a )【答案】ABD【解析】对于选项A ，令x =y =0，得2f 0 =2f 0 2，解得f 0 =0或f 0 =1，当f 0 =0时，令y =0，则2f x =2f x f 0 ，则f x =0，这与f x 不恒为零矛盾，所以f 0 =1，故选项A 正确，对于选项B ，令x =0，则f 0+y +f 0-y =2f y f 0 ，即f y =f -y ，即f x 为偶函数，所以选项B 正确，对于选项C ，取f x =cos x ，满足题意，此时x =0不是f x 的极小值点，所以选项C 错误，对于选项D ，令y =a ，得f x +a +f x -a =2f x f a ，若f a =0，则f x +a =-f x -a ，则f x =-f x +2a ，则f x +4a =-f x +2a =f x ，所以选项D 正确，故选：ABD .24(2024·甘肃定西·一模)下列命题为真命题的是()A.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是2B.x 2-4x -8-x +4+x -1 的最小值是5C.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2D.x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是3【答案】BC【解析】设A (0,2),B (-1,1),F (-1,0),P (x ,-4x )，易知点P 的轨迹是抛物线y 2=-4x 的上半部分，抛物线y 2=-4x 的准线为直线x =1,P 到准线的距离d =|x -1|，F 为抛物线y 2=-4x 的焦点，对于AB ，x 2-4x -8-x +4+|x -1|=x 2+(-4x -2)2+d =|PA |+d =|PA |+|PF |≥|AF |=5，所以x 2-4x -8-x +4+|x -1|的最小值为5，故A 错误，B 正确；对于CD ，x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2=x 2+(-4x -2)2+(x +1)2+(-4x -1)2=|PA |+|PB |≥|AB |=2，所以x 2-4x -8-x +4+x 2-2x -4-x +2的最小值是2，故C 正确，D 错误.故选：BC .25(2024·高二·福建福州·期末)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．比如取正整数m =8，根据上述运算法则得出8→4→2→1→4→2→1．猜想的递推关系如下：已知数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，设数列a n的前n 项和为S n ，则下列结论正确的是()A.a3=8B.a 5=2C.S 10=49D.S 300=722【答案】ABD【解析】因为数列a n 满足a 1=5，a n +1=a n2,a n 为偶数3a n+1,a n为奇数 ，所以a 2=3×5+1=16,a 3=162=8,a 4=82=4,a 5=42=2,a 6=22=1,a 7=3×1+1=4,a 8=42=2,a 9=22=1,a 10=3×1+1=4，所以S 10=5+16+8+4+2+1+4+2+1+4=47，所以AB 正确，C 错误，因为数列a n 中从第4项起以4，2，1循环，而(300-3)÷3=99，所以S 300=(5+16+8)+99×(4+2+1)=722，所以D 正确，故选：ABD26(2024·高三·江西·期末)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P 分别是线段C 1D 1，线段C 1C ，线段A 1B 上的动点，且MC 1=NC 1≠0.则下列说法正确的有()A.MN ⊥ABB.直线MN 与AP 所成的最大角为90°C.三棱锥M -DPC 的体积为定值D.当四棱锥P -D 1DBB 1体积最大时，该四棱锥的外接球表面积为12π【答案】BCD【解析】对于A ，由MC 1=NC 1≠0，可得D 1C ⎳MN ，因为AB ⎳D 1C 1，所以MN 与AB 不垂直，因此A 不正确；对于B ，因为D 1C ⎳A 1B ，所以MN ⎳A 1B ，因此直线MN 与AP 所成的角就是直线A 1B 与AP 所成的角，当P 为A 1B 中点时，此时AP ⊥A 1B ,直线A 1B 与AP 所成的角最大为90°，因此B 正确：对于C ，由于平面ABB 1A 1⎳平面DCC 1D 1,AP ⊂平面ABB 1A 1,所以V M -DPC =V P -DMC =V P -D 1DC =V A -D 1DC =13×12×2×2×2=43为定值，C 正确：对于D ，VP -BDD 1B 1=2V P -BDD 1=2V D 1-PBD ,由于P 为A 1B 上的点，故D 1到平面A 1BD 的距离为定值，所以D 1到平面PBD 的距离为定值，要使V D 1-PBD 最大，只需要S △PBD 最大，故当P 为A 1点时，四棱锥P -D 1DBB 1体积最大，该四棱锥的外接球即正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，直径为BD 1=23，所以r =3，故其表面积为12π，因此D 正确．故选：BCD ．27(2024·湖南娄底·一模)对于事件A 与事件B ，若A ∪B 发生的概率是0.72，事件B 发生的概率是事件A 发生的概率的2倍，下列说法正确的是()A.若事件A 与事件B 互斥，则事件A 发生的概率为0.36B.P B ∣A =2P A ∣BC.事件A 发生的概率的范围为0.24,0.36D.若事件A 发生的概率是0.3，则事件A 与事件B 相互独立【答案】BCD【解析】对于A ，若事件A 与事件B 互斥，则P A ∪B =P A +P B =3P A =0.72，所以P A =0.24,A ，故A 错误；对于B ，P B |A =P AB P A ,P A |B =P AB P B =P AB 2P A=12P B |A ，故B 正确；对于C ，P A ∪B =P A +P B -P AB =3P A -P AB =0.72,P A =0.24+P AB3，若事件A 与事件B 互斥，则P AB =0，此时P A 取到最小值为0.24，若P A ⊆P B ，此时P AB =P A ,P A 取到最大值为0.36，故C 正确；对于D ，P A =0.3，则P B =0.6，由P A ∪B =P A +P B -P AB ，得P AB =0.3+0.6-0.72=0.18=P A ⋅P B ，则事件A 与事件B 相互独立，故D 正确.故选：BCD .28(2024·湖南娄底·一模)已知函数f x 的定义域和值域均为x ∣x ≠0,x ∈R ，对于任意非零实数x ,y ,x +y ≠0，函数f x 满足：f x +y f x +f y =f x f y ，且f x 在-∞,0 上单调递减，f 1 =1，则下列结论错误的是()A.f 12=2B.2023i =1f12i=22023-2C.f x 在定义域内单调递减 D.f x 为奇函数【答案】BC【解析】对于A ，令x =y =12，则2f 1 f 12=f 12 2，因f 12≠0，故得f 12=2f (1)=2，故A 正确；对于B ,由f x +y f x +f y =f x f y ，令y =x ，则f (2x )=[f (x )]22f (x )=12f (x )，则f12i =f 2×12i +1 =12f 12i +1 ，即f 12i +1 =2f 12i，故f 12i是以f 12 =2为首项，2为公比的等比数列，于是2023i =1f 12i=21-22023 1-2=22024-2，故B 错误；。
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江陵县实验高中2014届毕业生高三数学选填训练12
1．是虚数单位，复数
(2)
12i i i
+-=
A ．i
B ．i -
C ．1
D ．
2. 给出下列三个结论：
（1）若命题p 为假命题，命题q ⌝为假命题，则命题“q p ∨”为假命题；
（2）命题“若0xy =，则0x =或0y =”的否命题为“若0xy ≠，则0x ≠或0y ≠”；
（3）命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ ,20x
x ∃∈≤R ”.则以上结论正确的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
|
3．若111
(1),(1),(sin 1)x a x dx b e dx c x dx =-=-=-⎰
⎰⎰，则
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c a b <<
D ．a c b <<
4．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n
S ，公比为q ，若
223,15,63
k k k S S S -+===，则q =
A ．2-
B ．2
C ．4-
D ．4
5.函数的最小正周期是，
若其图象向右平移6
π
个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象 A 关于点对称B 关于直线对称C 关于点)0,6(π对称D 关于直线对称
6.已知向量，，且，若实数满足不等式，则实数的取值范围为 A ．[－3,3] B ． C ．D ．
7．一电子广告，背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成，这列正三角形的底边
在同一直线上，正三角形的内切圆由第一个正三角形的O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动（如图），设滚动中的圆与系列正三角形的重叠部分（如图中的阴影）的面积S 关于时间t 的函数为
()S f t =，则下列图中与函数()S f t =图像最近似的是 —
i 1-()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
π()f x ,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
12x π=6π=x ()3,z x +=()z y -=,2b a ⊥y x ,1≤+y x z [
]
2,2-
[]1,1-[]2,2-
8．三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，又SA=AB= BC=1，则球O 的表面积为 A
32 B 3
2
π C 3π D 12π 9． 如图，已知双曲线的左右焦
点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上的一点， F 2P 与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切 点为Q ，若|PQ |=1,则双曲线的离心率是 #
A ． 3
B ．
C D
10．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：
,1,, 1.
b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨
-<⎩设2
()(1)(4)f x x x =-⊗+， 若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是 (A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1)
11．二项式281
()x x
-的展开式中，含x 的项的系数是________.
12．在OAB ∆中，120o AOB ∠=，23OA OB ==，边AB 的四等分点分别为123,,A A A ，
1A 靠近A ，执行下图算法后结果为 ．
)
13．为了考察某校各班参加数学竞赛的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最小值为 ．
14．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+ ②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =
③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 15.如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC.过点作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与BC 交于点F.若AB=AC,AE=6,BD=5,则线段CF 的长
22
221(0,0)x y a b a b
-=>>2321
F 2
F P A
：
x
y
O x
Q O
（第9题图）
为 . .
16.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρsin θ=2与ρcos θ=-2的交点的极坐标为 . . DCCBB ABCBD
11．-56 12．9； 13．4； 14．②③④ 3 16.3)4
，。