结晶学第十二讲_空间群(4)
晶体结构空间群点群
(二)点群、单形及空间群点群：晶体可能存在的对称类型。
通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。
只能有32种对称类型，称32种点群表1- 3 32种点群及所属晶系同一晶系晶体可为不同点群的原因：阵点上原子组合情况不同。
如错误!未找到引用源。
，对称性降低，平行于六面体面的对称面不存在，4次对称轴也不存在。
理想晶体的形态―单形和聚形：单形：由对称要素联系起来的一组同形等大晶面的组合。
32种对称型总共可以导出47种单形，如错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
，错误!书签自引用无效。
所示聚形：属于同一晶类的两个或两个以上的单形聚合而成的几何多面体。
大量的晶体形态是由属于同一晶类的单形聚合而成的封闭一定空间的几何多面体，如单形四方柱与平行双面形成了四方柱体的真实晶体形态空间群：描述晶体中原子通过宏观和微观对称要素组合的所有可能方式。
属于同一点群的晶体可因其微观对称要素的不同而分属不同的空间群，空间群有230种，见教材中表1- 4国际通用的空间群符号及其所代表的意义为：P：代表原始格子以及六方底心格子（六方底心格子为三方晶系和六方晶系所共有）。
F：代表面心格子。
I：代表体心格子。
C：代表（001）底心格子（即与z轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
A：代表（100）底心格子（即与x轴相交的平行六面体两个面中心与八个角顶有相当的构造单位配布）。
R：代表三方原始格子。
其它符号：意义与前述相同表1- 4 晶体的空间群、点群、晶系、晶族一览表续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4续表1- 4/k/174/stu/content/1.1.3.2.htm。
晶体点群、空间群简要归纳
晶体点群、空间群简要归纳本⽂只是很简要的归纳，具体内容还请见李新征⽼师群论书和其在蔻享的群论课。
另外推荐肖瑞春⽼师科学⽹博客的这篇博⽂，介绍了群论及后续的学习：若研究中涉及群论和物理性质相关，其中陈纲的《晶体物理学基础》书特别好，易懂，将主动变换和被动变换等分析得特别清晰，不过此书太厚，注意⽤到什么学什么，⽤minimized的知识来科研，否则被导师批评...1.对称操作、对称元素对称操作：保持系统不变的操作。
对称元素：它是⼀个⼏何实体，对称操作可以依据对称元素施⾏对称操作。
对称元素可以是点、直线、⾯等。
2.点群：1）定义：三维实正交群O(3)群的有限⼦群物理理解：实际上点群是实际的物理系统在三维空间的⼀些对称操作的集合。
这些对称操作会保持⼀个点不动。
2）点群分类第⼀类点群：只包含纯转动元素的点群。
第⼆类点群：点群中，除了纯转动元素，还包含转动反演元素的点群。
因为点群是O(3)群的⼦群，⽽O(3)群中有固有转动和⾮固有转动。
3）点群的性质{()}性质1：点群这个集合可以写成C k(2π/n)、IC k′2π/n′的形式，其中n,→k′,n′取有限个⽅向和值；C k(2π/n)是绕→k轴转2π/n⾓的操作。
性质2：设G是点群，K是G的纯转动部分，由于纯转动部分的乘积以及逆元必属于这个纯转动部分,所以K也是G的纯转动⼦群,即K=G∩SO(3)∘.点群G与其有限⼦群K的关系有以下三种可能的情况：1.G=K, 即点群只包含纯转动操作；称为第⼀类点群。
2.若点群G中除了纯转动操作，还包含纯空间反演操作I, 则可以通过G=K∪IK得到这种情况对应的第⼆类点群。
3.若点群G中除了纯转动操作，且G中不包含纯反演操作I时 , 此第⼆类点群G⼀定与⼀个第⼀类G+同构,其中，G+=K∪K+, ⽽K+定义为:K+={Ig∣g∈G,但g∉K}根据这⾥的第3点，可以知道构造这种情况对应的第⼆类点群的⽅法：根据⼀个已知的第⼀类点群K∪K+，即可以构造⼀个第⼆类点群K∪I K+.还可以证明K必须是K∪K+的不变⼦群，其阶数是K∪K+的⼀半。
高二物理竞赛晶体的对称性,晶系,点群,空间群课件
P：简单Bravais格子； C：底心Bravais格子；
I：体心Bravais格子；
F：面心Bravais格子
13
Bravais格子和晶系
晶胞与轴矢坐标系
晶胞：既能反映晶体的对称性 特征又能反映晶格周期性（平 移对称性）的重复单元。 轴矢： a1、 a2、 a3或a、 b、 c 晶胞参量：a、 b、 c、、、
14
晶系 对称性特征 三斜 只有C1或Ci 单斜 唯一C2或CS 正交 三个C2或CS 三方 唯一C3或S6 四方 唯一C4或S4 六方 唯一C6或S3 立方 四个C3
晶胞参数
ab c ab c ==90º ab c = ＝= 90º
a=b=c = ＝ 90º
a=b c = ＝= 90º
P、C P、C、I、
F R
P、I
H
P、I、F 15
任何一种晶体，对应的晶格都是14种 点阵中的一种，指出晶体所属的点阵类型 不但表征了晶格的周期性，而且能从它所 属的晶系了解到该晶体宏观对称所具有的 基本对称性，因此点阵类型概括了晶体的 对称性，阐明晶体结构只要绘出它的带有 基元内容的点阵惯用原胞（晶胞）即可。
晶体的对称性，晶系，点群，空间群
一. 对称性的概念 二. 晶体中允许的对称操作 三. 晶体宏观对称性的表述：点群 四. 七个晶系和14种晶体点阵 五. 晶体的微观对称性：空间群 六. 点群对称性和晶体的物理性质
1
晶体的宏观对称性
点对称操作
若一个空间图形经过一空间操作（线性变换）， 其性质复原，则称此空间操作为对称操作。由于对称 操作前后图形中任意两点间的距离保持不变，故此线 性变换为正交变换。
• 六方晶系 Hexagonal 最高对称具有唯一的6次轴或6次反轴
空间群
m[001]
|
1 2
,
1 2
,
0
r
金刚石滑移
空间群推导
点群
点阵 点阵对称性和点群的协调性
点式空间群 能否替换
用对应的非点式操作替换点式操作 非点式空间群
非点操作的位置
5种平面点阵
矩形 (a≠b, 90°)
平面群：
pm, pg, p2mg, p2mm 和 p2gg
• 立方结构的晶体，其原子一般位于高对称 的位置上，如Au，Al等金属单质
平面群（自学）
• 10种平面点群，13种点式平面群 • 有滑移面非点式对称操作，17种平面群
国际表
提供的信息的是： 1. 空间群的国际符号 2. Schoenflies符号 3. 晶系 4. 晶类 5。一般等效点图： 单胞的投影，包含所有等效点位置。
一般等效位置 确定单胞内的原子数及位置
商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点 系
点阵类型加一般等效点系描述空间群
等效位置确定商群的对称性及所属的晶系 由点阵类型便知道平移群的对称性
国际表中对称操作的表示
对称操作的分类及几何符号
由对称操作的矩阵求对应的几何符号
1，查表确定对应点对称操作 2，确定对称元素的取向和位置 a，反映 b，纯旋转 c，旋转倒反
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
符号的意义：第一个字符表示布拉菲点阵， 后面的表示对称性，符号的顺序与轴的选 取有关
空间群的两个重要内容：一般等效位置的坐 标，相对特定原点的全部对称元素
空间群与点群的关系：
• 俯视图 • 矩阵
空间群的描述
• 一般等效位置及对称元素
空间群
空间群是点对称操作和平移对称操作的对称要素全部可能的组合。
点群表示晶体外形上的对称关系，空间群表示晶体结构内部的原子及离子间的对称关系。
空间群一共230个，它们分别属于32个点群。
晶体结构的对称性不能超出230个空间群的范围，而其外形的对称性和宏观对称性则不能越出32个点群的范围。
属于同一点群的各种晶体可以隶属于若干个空间群。
230种晶体学空间群的记号Symbols of the 230 Crystallographic Space Groups晶系(Cry stal syste m) 点群(Pointgroup)空间群(Space group) 国际符号(HM)圣佛利斯符号(Schfl.)三斜晶系1 C1 P1Ci P单斜晶系2 P2 P21 C2m Pm Pc Cm Cc2/m P2/mP21/mC2/m P2/c P21/C C2/c正交晶系222 P222P2221P21212P212121C2221C222 F222 I222I212121 mm2Pmm2Pmc21Pcc2 Pma2 Pca21 Pnc2Pmn21Pba2 Pna21 Pnn2Cmm2Cmc21Ccc2Amm2Abm2Ama2Aba2 Fmm2 Fdd2Imm2Iba2 Ima2mmmPmmmPnnn Pccm Pban Pmma Pnna Pmna Pcca Pbam PccnPbcmPnnmPmmnPbcn Pbca PnmaCmcmCmca CmmmCccmCmmaCccaFmmmFdddImmmIbam Ibca Imma四方晶系4 P4 P41 P42 P43 I4 I41P I4/m P4/m P42/mP4/n P42/n I4/m I41/a422 P422P4212P4122P41212P4222P42212P4322P43212I422 I41224mm P4mmP4bmP42cmP42nmP4cc P4ncP42mcP42bcI4mm I4cmI41mdI41cd2m P2mP2cP21mP21cPm2Pc2Pb2Pn2Im2 I c2I2mI2d4/m mm P4/mmmP4/mccP4/nbmP4/nncP4/mbmP4/mncP4/nmmP4/nccP42/mmc P42/mcmP42/nbcP42/nnmP42/mbcP42/mnmP42/nmcP42/ncmI4/mmmI4/mcmI41/amdI41/acd三方晶系3 P3 P31 P32 R3P R32 P312 P321 P3112P3121P3212P3221R32 3m P3m1P31mP3c1 P31c R3m R3cmP1mP1cPm1P c1RmR c六方晶系6 P6 P61 P65 P62 P64 P63P6/m P6/mP63/m622 P622P6122P6522P6222P6422P63226mmP6mmP6ccP63cmP63mcm2Pm2Pc2P2mP2c6/mmmP6/mmmP6/mccP63/mcmP63/mmc立方23 P23 F23 I23 P213 I213晶系m Pm3 Pn3 Fm3 Fd3 Im3 Pa3 Ia3432 P432 P4232F432F4132I432P4332P4132I41323m P3mF3mI3m P3nF3cI3dm m PmmPnnPmnPnmFmmFmcFdmFdcImm Ia d1 三斜晶系(Triclinic)点群空间群对称要素方位关系1 1 (1) P12 -1 (2) P-12 单斜晶系(Monoclinic) b为唯一轴点群空间群对称要素方位关系3 2 (3) P2(4) P21(5) C2b为2次轴或21螺旋轴4 m (6) Pm(7) Pc(8) Cm(9) Cc b为⊥m5 2/m (10) P2/m(11) P21/m(12) C2/m(13) P2/c(14) P21/c(15) C2/c b为2+⊥m3 斜方晶系(Orthohombic) 三个方位：a，b，c点群空间群对称要素方位关系6 222 (16) P222(17) P2221(18) P21212(19) P212121(20) C2221(21) C222(22) F222(23) I222(24) I212121 abc皆为27 mm(mm2)(26) Pmc21 (27) Pcc2 (28) Pma2 (29) Pca21 (30) Pnc2 (31) Pmn21 (32) Pba2 (33) Pna21 (34) Pnn2 (35) Cmm2 (36) Cmc21(37) Ccc2 (38) Amm2 (39) Abm2 (40) Ama2 (41) Aba2 (42) Fmm2 (43) Fdd2 (44) Imm2 (45) Iba2 (46) Ima2a 为⊥m ，b 为⊥m ，c 为2（两两垂直的对称面交线为2）。
空间群
滑移反射
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行与镜面的方向平移
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移;
• 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，平 移分量为对角线一半;
• 金刚石滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移， 平移分量对角线1/4的对角滑移面。只有在体心或面心 点阵中出现，这时有关对角线的中点也有一个阵点，所 以平移分量仍然是滑移方向点阵平移点阵周期的一半。
Wyckoff位置 （2）
• 多重性（ multiplicity ）：告诉我们如果安 置一个特定原子在该位置，经过空间群的所 有对称操作，总共会产生多少个原子。 • 记号（ letter ）是从高对称性位置开始按英 文字母顺序指定的位置标记。 • 对称（ symmetry ）告诉我们原子所在之处 具有的对称元素。
空间群的描述
• 俯视图 • 矩阵 • 一般等效位置及对称元素
熊夫利推导230个空间群
• （1） 推导73个点式空间群 • （2） 分析可能的滑移面和螺旋轴 • （3) 把各种可能的布拉菲格子和h个点式 或非点式对称操作结合起来，推导可能的 非点式空间群
三斜晶系
单胞俯视图
新的反演中心是-1和单位平移操作组合而得
Wyckoff位置告诉我们在晶体中何处可以找到原子。
比如：单斜空间群Pm 仅有垂直于b轴的二个镜面。 一个在y = 0， 另一个在y = ½ 位置。 通过镜面操作，在x， y， z的原子 --〉在x， - y， z
第二个原子。如果我们安置原子在其中一个镜面(它的Y座标将必须是0
或½ )，镜面反射操作就不会产生第二个原子。
在非对称基元内任何一点不会再有对称 相关的位置
12-晶体学点群
第四章：晶体的对称性 § 4.4 晶体学点群
32种晶体学点群 1) 旋转群：n(Cn)，n阶 总：5
1
3
⇒ ∞
2
4
6
极性：主轴方向，奇数群中所有方向； 非极性：偶数群中垂直于主轴的方向。 2) 反演转动群： (Sn)，（奇：2n阶；偶：n阶） 总：10 n
1
2=m
3
4
6=3 m
⇒ ∞ m
极性：偶数群中垂直于主轴的方向； 3 非极性：主轴方向， 、1 中垂直于主轴的方向。
⇒ ∞ mm
(1 m = 2 m)
22 → 2
1→2 m
mm → 2
2mm(C2v)，4阶
mm → 2
3 2 m (D3d)，12阶源自3→6 mmm → 2 62 → 2
4 2 m (D4d)，8阶
6 2 m (D6d)，12阶
6=3 m
mm → 2
n m 总：27 （ 7) m (Dnh)， （4n阶） m ⊥ n、 || n ） m 1 3 ⇒ ∞ mmm ( m = mm 2 ) ( m = 6 2 m ) m m 2 4 6 m = mmm m = 4 mmm m = 6 mmm m m m
222(D2)，4阶
A ′′′
A ′′
A′
A
32(D4)，6阶
422(D3)，8阶
A ′′′ A ′′ A′
A
622(D6)，12阶
4) n/m (Cnh)，2n阶 m ⊥ n） （
总：17
(1 m = m )
(3 m = 6 ) 2 m 4 m
6 m
⇒ ∞ m
极性&非极性：同3)； 2) 、 4)极限群相同，可看作同一族的两个子族。
结晶学第十二讲_空间群(4)
1、空间群国际表中的特殊位置举例分析 2、二维空间群(全部)
复习：
1、非点式空间群举例分析 2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
斜方 Oblique 长方 Rectangular 有心长方
正方 Square
Oblique, a ≠ b
≠ 90o
8 c f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. m m m mm 4mm 4mm x,½,z; x,½,z; ½,x,z; ½,x,z. x,0,z; x,0,z; 0,x,z; 0,x,z. x,x,z; x,x,z; x,x,z; x,x,z. ½,0,z; 0,½,z. ½,½,z. 0,0,z.
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
, ,
空间群
的确定
如果知道了点群和点阵平移以外，还已知非晶格平移矢量，布拉维格子类型，则空间群就完全确定，列举出 所有可能的α和的相容性组合，就可得到所有可能的空间群。空间群共有230种，其中73种为简单空间群，余下 的157种为复杂空间群。
的三要素
非晶格平移矢量决定于与转轴相的坐标原点的选择，因此不是唯一的。 确定空间群必须指出的三个组成部分：
的表达
空间群符号(3张)表示一个空间群时，圣佛利斯符号和国际符号并用。
空间的国际群符号由两部分组成：前一部分是格子类型（布拉维格子）[P，C(A、B)，I，F]；后一部分与点 群的国际符号基本相同，不同的是那三个特定方向上的对称要素取自晶胞中对应方向上对称程度最高的那种对称 要素。
空间群的圣佛利斯符号是在其点群圣佛利斯符号的右上角加上序号即可。
谢谢观看
空间型和对称型（点群）体现了晶体内部结构的对称与晶体外形对称的统一。每个对称型有若干个空间群与 之相适应。即外形上属于同一对称型的晶体，其内部结构可分属于若干空间群。
空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。
所谓点空间群，是由一个平移群和一个点群对称操作组合而成的，它的一般对称操作可以写成（R | t (αβγ)），其中R表示点群对称操作，t(αβγ)表示平移操作。具体分析表明，共有73种不同的点空间群。
点阵平移
理想的完整晶体应是无限大的，点阵单元在空间三个方向上的无限平移将给出整个点阵。或者说，无限的点 阵在平移下保持不变。所以平移也是一种对称操作，它的对称要素不是一个轴，一个点，一个面，而是整个点阵。 与平移有关的对称要素有三个：
晶体与空间群概述
aP
m
单斜
abc
90
mP,mC
o 正交 a bc 90 oP,oC,oI,oF
t 四方 a bc 90 tP,tI
h
a b, 120
三方
90 a bc
hP hR
六方
a b, 120 90
hP
c 立方 a bc 90 cP,cI,cF
简单、体心、 侧心和面心。
晶体学点群符号
Schonflies符号 国际符号 极射赤面投影图
Schonflies符号
Arthur Schönflies was a student at the University of Berlin from 1870 to 1875. He obtained a doctorate from Berlin in Arthur Moritz 1877 and the following Schönflies year he obtained a post as (1853.4.17— a teacher at a school in 1928.5.27) Berlin.
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
不对称单元
在空间群的对称操作作用下，可以
产出晶胞中全部原子的最少数目的原子 或原子团，就叫不对称单元（asymmetric unit）或不对称单位，也叫晶体学独立单 元（crystallographic independent unit）。 在《国际表》A卷[2]中每个空间群都列 出晶胞中各种元素的情况。
c
点群和空间群ppt课件
如图所示，为4度螺旋轴。晶体绕 A
2
轴转900后，再沿该轴平移a/4，能自身
1
重合。
26
2.滑移反映面
M
经过该面的镜象操作
A2
A2
以后,再沿平行于该面的某
个方向平移T/n的距离(T是
A1
A1
该方向上的周期矢量，n为
2或4)，晶体中的原子和相
A
A
同的原子重合。
M
27
例题1：立方系的对称性简析。
(1) 三 个 相 互 垂 直 的 四 度 轴
❖ 宏观对称要素和微观对称要素在三维空间的组合，称为空 间群。
❖ 经过严格证明可以得出，晶体中可能存在230种空间群，任 何一种晶体的微观结构属于且只属于230种空间群之一。
50
点群与空间群的关系
晶体外形的对称性仅有32个点群，而晶体结构的对称性却有320
种空间群。晶体外形的对称性是晶体结构对称性的反映。 属于同一点群的晶体不一定属于同一空间群。换言之，空间群
结点在单胞中的4种分布方式：
单胞中结点数目：
简单点阵（P）:结点均在角顶上
简单(原始)点阵: 1
底心点阵(C):除角顶外每一对面上各有一个结点 面心点阵： 4
体心点阵(I):除角顶外中央有一个结点
底心点阵： 2
面心点阵(F):除角顶外每个面上均还有一个结点 体心点阵： 2
简单点阵 : 1 ［［000］］
1200
正交晶系 a b c, 900
立方晶系 六方晶系 正交晶系 三斜晶系
单斜晶系 a b c, 900 三斜晶系 a b c, 900
注意： 准确的说划分晶系的依据是特征对称性而不是晶胞参数。55
56
空间群
矩阵乘法
1 0 0 x x 2次旋转矩 0 1 0 y y 阵 0 z z 0 1
倒反中心(Inversion center)
倒反中心：也称为反演中心或对称中心(Center of
0 cos sin 0 0 sin cos 0 1 0 0 1
旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其对 称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再对
垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
Z Z
无， 2，m X 无， 2，m X
立方 2,m,4, `4
X
3,`3
体对 无， 2，m 面对 角线 角线
点群的Schönflies符号
Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。
Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。
Cnv: 具有一个n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。 Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。 Sn:具有一个n次反轴的点群。 T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。
c)单位元素。 集合G中存在一个单位元素e，对任意元素， f G 有
ef fe f
d)可逆性。 对任意元素 f G ，存在逆元素 f 1 G ，使 f 1 f ff 1 e 则称集合G为一个群。
晶体学点群
晶体中满足群的性质定义的点对称操作的集合称
作晶体学点群。点对称操作的共同特征是进行操
非点式操作，如平移，螺旋转动和滑移反映。
对称操作和对称元素
对称操作：
第四节 晶体的230种空间群
A格子有4种空间群：
Amm2、 Abm2、 Ama2、 Aba2。
44
C14 2v
Amm2
Amm2 = Amc21 = Anc2 = Anm21
m⊥
a
·(
b 2
+
c 2
)=
n⊥ a
m⊥
b
·(
b 2
+
c 2
)=
cb/4
垂直于b, c滑移面和m每隔b/4交替存在
(2) 当m和b 垂直时
m ⊥b 与a滑移面共存
(3)
C⊥a ·(
a+b 22
)=
m
·
c 2
·(
a+b 22
)= ma/4 ·(
b+c )
22
=na/4
(4) 同理： C⊥b ＝ nb
4
35
¾在C格子中
m⊥a 与b滑移面共存 m ⊥b 与a滑移面共存 n ⊥b 与c滑移面共存 n ⊥a 与c滑移面共存
从某一点群出发而得到的种种可能的微观对称类型– 空间 群时，相应对称元素之间的角度关系是与该点群相同的。
4
•空间群的国际符号
空间群的国际符号由两部分构成，第一个大写字母表示点 阵格子类型，第二部分标明空间群的特征对称元素，其定 向和符号形式与点群相同，但增加了螺旋轴和滑移面。如 果空间群的微观对称元素用相应的宏观对称元素取代，则 得到晶体的点群。
20
16种正交滑移面组合在P格子中
Pmc21 = Pcm21 Pma2 = Pbm2 Pca21 = Pbc21 Pnc2 = Pcn2 Pmn21 = Pnm21 Pna21 =Pbn21
空间群PPT课件
63
Pmm2
点对称和平移对称操作产生新的非基本操作
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P222
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PMMM
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Cmm2
出现滑移面
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各晶系空间群特征概要
• 空间群： 国际符号： 空间群符号的意义： 空间群的熊夫利推导方法：
俯视图
方向
原点
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原点位置
• 点式空间群：对称性等于空间群点群的点 上，非点式:取在最高对称性的点上，有反 演中心则取在
不对称单位（ Asymmetric Unit ）
商群与点群一一对应商群不一定是点群商群中不含整数平移操作空间群中的任何操作都可以用h个基本操作与平移群的操作组合而得202011753一般等效位置商群中h个基本操作作用后产生h个一般等效点点阵类型加一般等效点系描述空间群等效位置确定商群的对称性及所属的晶系由点阵类型便知道平移群的对称性确定单胞内的原子数及位置202011754国际表中对称操作的表示202011755对称操作的分类及几何符号202011756由对称操作的矩阵求对应的几何符号1查表确定对应点对称操作2确定对称元素的取向和位置a反映b纯旋转c旋转倒反202011757反映面滑移面滑移分量平行滑移面滑移面的位置分量垂直滑移面滑移面位置
独立原子位置
加心产生新的对称操作：滑移线
33
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晶体的对称性与空间群
晶体的对称性与空间群3.1 晶格与非晶态物质不同，晶体中分子、离子或原子团在空间按照一定的规律排列而形成的固体物质。
也就是说，在晶体内部，分子、离子或原子团在三维空间以某种结构基元（structural motif）(即重复单位)的形式周期性的排列。
只要知道其中最简单的结构基元，以及他们在空间平移（translation）的向量长度与方向，就可以得到原子或者分子在晶体中的排部的情况。
结构基元可以是一个或者多个原子（离子），也可以是一个或者多个原子（离子），也可以是一个或者多个分子，每个结构基元的化学组成及原子的空间排列完全相同。
如果将结构基元抽象为一个点，晶体中分子或原子的排列就可以看成点阵（lattice）。
也就是说，晶体的结构=结构基元+点阵。
单晶体都属于三维点阵，为了直观，这里采用简化的二维点阵来说明。
图 3.1（a）显示[Cu2(ophen)2]分子[1]在晶胞中二维平面上的排列，其中每个结构基元一个[Cu2(ophen)2]分子，可以抽象为一个点阵点，从而形成一个点阵，如图3.1（b）所示。
显然，每个点阵点按在空间排列而成的平面，点阵的单位向量平移，就与另一个点阵点（即分子）完全重叠。
可以用三个互相不平行的单位向量a, b 和c描述点阵点在空间的平移，通过这个向量的操作，可以得到整个点阵。
点阵中任意点可以用向量r表示。
r=n1a+n2b+n3c(3.1)其中n1, n2和n3为整数。
点阵是抽象的数学概念，其原点可以任意选定。
需要指出的是，晶体学上的坐标系均采用右手定则，即食指代表x轴，中指代表y轴，大拇指代表z轴。
3.1.1晶胞参数晶体的空间点阵可以选择三个互相不平行的单位向量a，b和c，用它们可以画出一个六面体单位，称为点阵单位。
相应地，按照晶体结构的周期性所划分的六面体单位就叫晶胞（cell）.三个单位向量的长度a,b和c以及它们之间的夹角α，β，γ就叫晶胞参数（unit cell parameters）其中，α是b和c的夹角，β是a和c的夹角，γ是a和b的夹角（图3.2）。
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½+
_
, ½_ ½_ ,
+ +
, ½_ ,
+
,
¼
¼
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
Origin at 1
Co-ordinates of equivalent positions
8
d
1
x,y,z; ½+x,½-y,½-z; x,½+y,z; ½-x,y,½+z; x,y,z; ½-x,½+y,½+z; x,½-y,z; ½+x,y,½-z. x,¼,z; x,¾,z; ½-x,¾,½+z; ½+x,¼,½-z. 0,0,½; 0,½,½; ½,0,0; ½,½,0. 0,0,0; 0,½,0; ½,0,½; ½,½,½.
P
6(C6)或6(S35)
P
四个三次轴
P, I, F
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
, ,
y
y x
1 1
b a
8 c f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. m m m mm 4mm 4mm x,½,z; x,½,z; ½,x,z; ½,x,z. x,0,z; x,0,z; 0,x,z; 0,x,z. x,x,z; x,x,z; x,x,z; x,x,z. ½,0,z; 0,½,z. ½,½,z. 0,0,z.
m m m m mm mm mm mm
2 2 2 2
d c b a
2 2 2 2
½,½,z; ½,½,½+z. ½,0,z; ½,0,½+z 0,½,z; 0,½,½+z. 0,0,z; 0,0,½+z
P4mm (C4v, No. 99)
+ +
+
1
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
十七种二维空间群
点阵 点群
斜形
空间群 序号
p1 p211 p1m1 p1g1 c1m1 p2mm p2mg p2gg c2mm p4 p4mm p4gm p3 p3m1 p31m p6 p6mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
1
+
_+
8 2
g
P4212 (D4, No. 90)
2
x,y,z; x,y,z; ½-x,½+y,z; ½+x,½-y,z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½-x,z; ½-y,½+x,z. a 222 0,0,0; ½,½,0.
1
P62m (D3h, No. 189)
3
+ + + +
_ _ _ _
4 4 2d
P, B P, C, I, F
P, I
三 方 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3m(D ) 3(S6), 3d 六 方 6(C6), 6/m(C6h), 6mm(C6v), 6/mmm (D6h), ), 6 (C ), 62 (D 622 (D6 3h 3h) 立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
P2
Origin on 2
2 1 1
c b a
1 m m
特点4：特殊位置与非点式操作
2
½+
a
+
1
x,y,z; x,y,½+z.
½+
+
P21
Pb
+
+
,-
+
,-
+
½+ +
½+ +
2
a
1
x,y,z; x,½+y,z.
Pmm2 (C2v, No. 25)
1
+ +,
,+
+
Pcc2 (C2v, No. 27)
3
+ ½+ ,
+ +,
+ +
, ½+
+
+ ½+ ,
, ½+
+
+ +,
+ +
+ +,
+ +
+ ½+ ,
, ½+
+
+ ½+ ,
, ½+
+
Origin on mm2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 i h g f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. ½,y,z; ½,y,z. 0,y,z; 0,y,z x,½,z; x,½,z. x,0,z; x,0,z ½,½,z. ½,0,z. 0,½,z. 0,0,z. Origin on 2 4 e 1 x,y,z; x,y,z; x,y,½+z; x,y,½+z.
+
+ -
,+ ,+ +
Origin at 222, at ¼, ¼, 0 from 1
8 2
m
x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2-y,z; 1/2+x,1/2+y,z; x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2+y,z; 1/2+x,1/2-y,z. a 222 0,0,0; ½, ½, 0.
+ +
+
,
,
+
+ ,+
,+
+
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
4 4 4 2 1 1
Origin on 4mm
P4nc
C4v
+ +
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
4mm Tetragonal
6
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ +
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
8 4 2 c b a 1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z. 2 0,½,z; ½,0,z; 0,½,½+z; ½,0,½+z. 4 0,0,z; ½,½,½+z.
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
5)
晶系
三 斜
单 斜 正交 四方 三方
特点
a≠b≠c, ≠≠
a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
Rectangular, a ≠ b
= 90o
Square, a = b
= 90o
六角 Hexagonal
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S6