结晶学第十二讲_空间群(4)

5)
晶系
三 斜
单 斜 正交 四方 三方
特点
a≠b≠c, ≠≠
a≠b≠c, = = 90o≠ a≠b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = = 90o a = b≠c, = = 90o, = 120o a = b = c, = =
P4
4 d 1 x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z.
2 1 1
c b a
2 0,½,z; ½,0,z. 4 ½,½,z. 4 0,0,z.
Orthorhombic mmm
_
P 21/n 21/m 21/a ,
+
No.
62 ¼
,
+ +百度文库
_
_
¼
, , ½+ ½+
_ _
P nma 16 ¼ D2h
P
6(C6)或6(S35)
P
四个三次轴
P, I, F
晶系
三 斜 1, 1
点群
布拉菲点阵
P P B
73种点式空间群
P1
P1,
单 斜 2, m, 2/m
P2, Pm, P2/m B2, Bm, B2/m
Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2, Pmmm Cmmm, Amm2 Immm Fmmm
正 交 222, mm2, mmm P
P2
Origin on 2
2 1 1
c b a
1 m m
特点4：特殊位置与非点式操作
2
½+
a
+
1
x,y,z; x,y,½+z.
½+
+
P21
Pb
+
+
,-
+
,-
+
½+ +
½+ +
2
a
1
x,y,z; x,½+y,z.
Pmm2 (C2v, No. 25)
1
+ +,
,+
+
Pcc2 (C2v, No. 27)
4 4 2d
P, B P, C, I, F
P, I
三 方 3(C3), 3m (C3v), 32(D3), 3m(D ) 3(S6), 3d 六 方 6(C6), 6/m(C6h), 6mm(C6v), 6/mmm (D6h), ), 6 (C ), 62 (D 622 (D6 3h 3h) 立 方 23(T), m3 (Th), 43m (Td), 432 (O), m3m (Oh)
mm2 4/m
(C4h)
6(C6 )
6/m
(C6h)
3(C )
3
23(T)
3m (C3v) m3 (Th)
32(D3) 43m (Td)
432 (O)
6mm 2/m mmm 4mm
(C2h) (D2h) (C4v) (C6v)
(C2v)
32 种 点 群 符 号
10 种 二 维 点 群
第十二讲 空间群(4)：空间群中的特殊位置
1、空间群国际表中的特殊位置举例分析 2、二维空间群(全部)
复习：
1、非点式空间群举例分析 2、空间群国际表举例分析
3、二维空间群(全部)
斜方 Oblique 长方 Rectangular 有心长方
正方 Square
Oblique, a ≠ b
≠ 90o
+
+ -
,+ ,+ +
Origin at 222, at ¼, ¼, 0 from 1
8 2
m
x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2-y,z; 1/2+x,1/2+y,z; x,y,z; x,y,z; 1/2-x,1/2+y,z; 1/2+x,1/2-y,z. a 222 0,0,0; ½, ½, 0.
全对称点群
1 2/m mmm 4/mmm 3m 6/mmm m3m
菱形
6(C6)或6(S35)
六方
立方
a = b≠c, = = 90o, = 120o
a = b = c, = = = 90o
四个三次轴

1(Ci)

m
(C1h)
1(C1) 2(C2) 222(D2) 4(C4)
6, 62m, 6/mmm
立 方 23, m3, 43m,
432, m3m
P I
F
P23, Pm3, P43m, P432, Pm3m I23, Im3, I43m, I432, Im3m F23, Fm3, F43m, F432, Fm3m
十七种二维空间群
点阵 点群
斜形
空间群 序号
p1 p211 p1m1 p1g1 c1m1 p2mm p2mg p2gg c2mm p4 p4mm p4gm p3 p3m1 p31m p6 p6mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Origin at 1
1
a
1
x,y,z
特点3： Wyckoff 符号
+ +
+ +
Pm
-
-
,+
-
,+
+ +
+ +
,+
x,y,z; x,y,z. x, y, ½. x, y, 0.
-
,+
2 1 1 1 1
e d c b a
1 2 2 2 2
x,y,z; x,y,z. ½, ½, z. ½, 0, z. 0, ½, z. 0, 0, z.
P3, P3m1, P312, P3, P31m, P31m, P321, P3m1
三 方 3, 3m, 32,
3, 3m
P
R
R3, R3m, R32, R3, R3m
P6, P6/m, P6mm, P6/mmm, P622, P6, P6m2, P62m
六 方 6, 6/m, 6mm, 622, P
对应图像
p
矩形
1 2
m
P, c
2mm
4 4mm 3
正方形
p
六方形
3m 6 6mm
p
一维情况：
a
点阵，Lattice
a
pm p1
pm
p1
1、空间群特殊位置举例分析
3、二维空间群(全部)
Pmmm (D2h, No. 47)
+ , - -, + + , - - ,+ + , - -, + + , - - ,+
1
特点2：点式SG、非点式SG
P422 (D4, No. 89)
1
特点2： 点式SG与非点式SG
_ + _
+_ _+
_ + _ +
+_ _+
+
_ + _ +
+_ _+
_
+ _
+
+_ _+
_ + +
_
_+
+_ _ + _ _ + _+
_+
8
1
p
a
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. 42 0,0,0.
1
+
_+
8 2
g
P4212 (D4, No. 90)
2
x,y,z; x,y,z; ½-x,½+y,z; ½+x,½-y,z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½-x,z; ½-y,½+x,z. a 222 0,0,0; ½,½,0.
1
P62m (D3h, No. 189)
3
+ + + +
_ _ _ _
16 r
2
19
Origin at center (mmm) 特点1：点式SG 初基与有心
x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
1
Pban (D2h, No. 50)
+ + -, +, + +
4
P 2/b 2/a 2/n
½+
_
, ½_ ½_ ,
+ +
, ½_ ,
+
,
¼
¼
Number of positions, Wyckoff notation, and point symmetry
Origin at 1
Co-ordinates of equivalent positions
8
d
1
x,y,z; ½+x,½-y,½-z; x,½+y,z; ½-x,y,½+z; x,y,z; ½-x,½+y,½+z; x,½-y,z; ½+x,y,½-z. x,¼,z; x,¾,z; ½-x,¾,½+z; ½+x,¼,½-z. 0,0,½; 0,½,½; ½,0,0; ½,½,0. 0,0,0; 0,½,0; ½,0,½; ½,½,½.
P222, C222, C I222, I F F222,
四 方 4, 4/m, 4mm, 422, P
4, 42m, 4/mmm
I
P4, P4/m, P4mm, P4/mmm, P422, P4, P42m, P4m2 I4, I4/m, I4mm, I4/mmm, I422, I4, I42m, I4m2
+ +
, ,
+ +
_ _
_ _
, ,
12 l
1
x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z;
y,x-y,z; y,x-y,z; x,y-x,z; x,y-x,z;
y-x,x,z; y-x,x,z; x-y,y,z; x-y,y,z.
x
, ,
Origin at 62m
, ,
y
y x
1 1
b a
3
+ ½+ ,
+ +,
+ +
, ½+
+
+ ½+ ,
, ½+
+
+ +,
+ +
+ +,
+ +
+ ½+ ,
, ½+
+
+ ½+ ,
, ½+
+
Origin on mm2 4 2 2 2 2 1 1 1 1 i h g f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. ½,y,z; ½,y,z. 0,y,z; 0,y,z x,½,z; x,½,z. x,0,z; x,0,z ½,½,z. ½,0,z. 0,½,z. 0,0,z. Origin on 2 4 e 1 x,y,z; x,y,z; x,y,½+z; x,y,½+z.
4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S65) 四 方
2(C2), m(C1h), 2/m(C2h) 222(D2), mm2(C2v), mmm(D2h) 4(C4), 4/m(C4h), 4mm(C4v), 4/mmm(D4h), 422 (D ), 4 (S ), 42m (D )
4/mmm 6/mmm 3(S6)
(D4h) (D6h)
422
(D4)
622
(D6)
3m(D3d)
m3m (Oh)
4 (S4) 42m
(D2d)
6 (C3h)
62 (D3h)
点对称条件
1(E)或1(i)
晶系
三 斜 1(C1), 1(Ci)
点群
布拉菲点阵
P
2(C2)或2(m)
单 斜
两个2(C2)或2(m) 正 交
+ +
+
,
,
+
+ ,+
,+
+
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
4 4 4 2 1 1
Origin on 4mm
P4nc
C4v
+ +
No.
+ +
104
+ + + +
P4nc
4mm Tetragonal
6
½+ , , ½+ ½+ , , ½+
+ +
+ +
+ +
+ +
Origin on 4
8 4 2 c b a 1 x,y,z; x,y,z; ½+x,½-y,½+z; ½-x,½+y,½+z; y,x,z; y,x,z; ½+y,½+x,½+z; ½-y,½-x,½-z. 2 0,½,z; ½,0,z; 0,½,½+z; ½,0,½+z. 4 0,0,z; ½,½,½+z.
62m 0,0,½. 62m 0,0,0.
特点3： Wyckoff 符号
P1(C1, No. 1)
1
+ +
+ + _,
_,
P1(Ci, No. 2)
_, + + _,
1
+
+
2 1 1 1 1 1 1 1 1
i h g f e d c b a
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x,y,z; x,y,z. ½,0,½. 0,½,½. ½,0,½. ½,½,0. ½,0,0. 0,½,0. 0,0,½. 0,0,0.
m m m m mm mm mm mm
2 2 2 2
d c b a
2 2 2 2
½,½,z; ½,½,½+z. ½,0,z; ½,0,½+z 0,½,z; 0,½,½+z. 0,0,z; 0,0,½+z
P4mm (C4v, No. 99)
+ +
+
1
,
,
+
+ ,+
, ++
+ +
+
,
,
+
+ ,+
, ++
8 c f e d c b a 1 x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z; y,x,z. m m m mm 4mm 4mm x,½,z; x,½,z; ½,x,z; ½,x,z. x,0,z; x,0,z; 0,x,z; 0,x,z. x,x,z; x,x,z; x,x,z; x,x,z. ½,0,z; 0,½,z. ½,½,z. 0,0,z.
Rectangular, a ≠ b
= 90o
Square, a = b
= 90o
六角 Hexagonal
60o angle rhombus, Hexagonal, a = b = 120o
对称条件
1(E)或1(i)
2(C2)或2(m) 两个2(C2)或2(m) 4(C4)或4(S43) 3(C3)或3(S6
x
1
P 2/m 2/m 2/m
y
+ , - -, + + , - - ,+
+ , - -, + + , - - ,+
8 1

x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z; x,y,z. a mmm 0,0,0.
1
Cmmm (D2h, No. 65)
(0,0,0; ½,½,0) +