2020数学选修2-2模块测试题及答案(理科)

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2020秋高中数学人教A版选修2-2达标练习：模块综合评价(二) Word版含解析

姓名，年级：时间：模块综合评价(二)（时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．(1＋i）16－（1－i）16＝（)A．－256 B．256iC．0 D．256解析：(1＋i）16－（1－i）16＝[（1＋i)2］8－[(1－i)2]8＝(2i）8－(－2i）8＝0。

答案：C2．已知函数f（x）＝ln x－x，则函数f（x)的单调递减区间是( )A．（－∞,1）B．(0，1）C．（－∞，0),(1，＋∞) D．（1，＋∞)解析：f′（x）＝错误!－1＝错误!，x>0.令f′（x)<0，解得x〉1。

答案:D3．设f（x）＝10x＋lg x，则f′(1）等于( )A．10 B．10ln 10＋lg eC。

错误!＋ln 10 D．11ln 10解析:f′(x）＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f′（1）＝10ln10＋错误!＝10ln 10＋lg e.答案：B4．若函数f（x)满足f（x）＝e x ln x＋3xf′(1)－1，则f′(1)＝（)A．－错误!B．－错误!C．－e D．e解析：由已知可得f′(x)＝e x ln x＋错误!＋3f′(1)，令x ＝1，则f′(1)＝0＋e＋3f′(1)，解得f′（1)＝－错误!。

答案：A5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（) A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案:B6．若a＞0，b＞0，且函数f（x）＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ）A．2 B．3 C．6 D．9解析：因为f′(x)＝12x2－2ax－2b，又因为在x＝1处有极值，所以a＋b＝6，因为a＞0，b＞0,所以ab≤错误!错误!＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号,所以ab的最大值等于9。

高二理科数学选修2-2测试题及答案

高二理科数学选修2-2测试题及答案高二选修2-2理科数学试卷第I卷选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1.下列复数中，与5-2i共轭的是（）。

A。

5+2i B。

5-2i C。

-5+2i D。

-5-2i2.已知f(x)=3x·sinx，则f'(1)=（）。

A。

1/3+cos1 B。

11/3sin1+cos1 C。

3sin1-cos1 D。

sin1+cos13.设a∈R，函数f(x)=ex-ae-x的导函数为f'(x)，且f'(x)是奇函数，则a为（）。

A。

0 B。

1 C。

2 D。

-14.定积分∫1x(2x-e)dx的值为（）。

A。

2-e B。

-e C。

e D。

2+e5.利用数学归纳法证明不等式1+1/2+1/3+…+1/(2n-1)<f(n)(n≥2，n∈N*)的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）项。

A。

1项 B。

k项 C。

2k-1项 D。

2k项6.由直线y=x-4，曲线y=2x以及x轴所围成的图形面积为（）。

A。

40/3 B。

13 C。

25/2 D。

157.函数f(x)=x^3-ax^2-bx+a^2在x=1处有极值10，则点(a,b)为（）。

A。

(3,-3) B。

(-4,11) C。

(3,-3)或(-4,11) D。

不存在8.函数f(x)=x^2-2lnx的单调减区间是（）。

A。

(0,1] B。

[1,+∞) C。

(-∞,-1]∪(0,1] D。

[-1,0)∪(0,1]9.已知f(x+1)=2f(x)/(f(x)+2)，f(1)=1（x∈N*），猜想f(x）的表达式是（）。

A。

f(x)=4/(2x+2) B。

f(x)=2^(12/(x+1)) C。

f(x)=(x+1)/2 D。

f(x)=(2x+1)/210.若f(x)=-1/(2x^2+bln(x+2))在(-1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是（）。

A。

[-1,+∞) B。

(-1,+∞) C。

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高二理科数学选修2-2测试题及答案高二选修2-2理科数学试卷第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -2 2、已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( )A.31+cos1B. 31sin1+cos1C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos13、设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．-14、定积分dx e x x ⎰-1)2(的值为（）A ．e -2B ．e -C ．eD ．e +25、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f(n) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项 D ．2k 项6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（） A.340 B.13 C.225D.15 7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1]9、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（）A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+. 10、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（）A. [1,)-+∞B. (1,)-+∞C. (,1]-∞-D. (,1)-∞-11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）(A) １(C) ２ (D)12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（）A ．f （0）＋f （2）< 2 f （1）B ．f （0）＋f （2）≥ 2 f （1）C ．f （0）＋f （2）> 2 f （1）D ．f （0）＋f （2）≤ 2 f （1）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则20()f x dx ⎰=14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++（）；利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，；则四面体的体积V=15、若复数z ＝21＋3i，其中i 是虚数单位，则|z |＝______. 16、已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．三、解答题（本大题共70分）17、（10分）实数m 取怎样的值时，复数i m m m z )152(32--+-=是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18、（12分）已知函数3()3f x x x =-.（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ；⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值(1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+（1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围. 22、（12分）已知函数()2af x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C 13、56 14、 23413S S ++1R （S +S ） 15、1 16、[－1,7)17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分）（2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分）（3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分）18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分（II ）设切点为3(,3)Q x x x -o o o ，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--oo o o ，解得0x =o 或3x =o 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分 ⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--= …………5分证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立, 则1+=k n 时, )1(21)1(211111kk k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++ )111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11.即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是2(,1)3-；…………6分（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分'2m +. ………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0),(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分22. 解：（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，，∴()2212a h x x x'=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x 的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，，∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214x -=，当x 变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：依题意，11-=，即23a =，∵0a >，∴a =（2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>．∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数．∴()()max 1g x g e e ==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x+-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>，∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦.由21a +≥1e +，得a，又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()2x a x a f x x+-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>． ∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ．③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()2x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

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目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

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高二数学选修2-2 综合测试题f xg ′ x)>0 ，且 g ( 3) 0 ，不等式 f x g x)<0的解集是（）( ) ( ( ) (一、：A. ( －3，0) ∪(3 ，+∞)B. ( －3，0) ∪(0 ， 3)1、 i 是虚数位。

已知复数 Z1 3i (1i )4 ，复数 Z 点落在（）C.( －∞，－ 3) ∪(3 ，+∞)D. (－∞，－ 3) ∪(0 ， 3)3 iA ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限12、在古希腊，达哥拉斯学派把 1， 3， 6， 10，15，21，28，⋯ 些数叫做三角形数， 8、已知函数 f ( x) x 2bx 的象在点 A(1, f (1)) 的切的斜率 3，数列因些数的点可以排成一个正三角形f (n)的前 n 和 S n ,S 2011 的（）200820092010 2011A.B.C .D .200920102011201213610159、函数 f(x) ＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 k 2 ＋ 1在区（，）上是减函数， k 的取范是第 n 个三角形数（( )0 4）A ． nB ．n(n 1)C ． n21D ．n( n 1)1B. 0 k1C. 0 k1122A. k3 3D. k333、求由曲 yx ，直 yx 2 及 y 所成的形的面的（）10、函数 yf ( x) 在定域 ( 3内可，其象如所示， yf ( x) 的函数,3)．．24x ) dx B.4xdx C.20 2)dyyf ( x) ，不等式 f ( x)0 的解集（）A.(2 x0 (2 y y 2 )dy D.(4 y 0224、复数 z 的共复数是 z , 且 z1, 又 A( 1,0) 与 B(0,1) 定点 , 函数f ( z)( z1)A ．1 U 2,3,13( z i ) ︱取最大在复平面上以 z ,A,B 三点点的形是C ．3 , 1 U 1,2 A,等三角形B,直角三角形C,等腰直角三角形D,等腰三2 2角形11、已知函数 f (x)5、函数 f(x) 的定义域为 R ，f(-1)=2,对任意 xR ， f ' ( x) 2 , 则 f ( x)2x4 的解集为小是(A)(-1 ， 1)(B)(-1，+∞ )(c)(-∞， -l)(D)(-∞,+ ∞ )A.24n 12 n 14( k1) 12( k 1) 13用数学归纳法证明整除时，当 nk1时，对于 335(n N) 能被 85可变形为6、Ａ． 56·3 4k 14k 152k 1) Ｂ．4 4 k 12 2k4k 12 k 14 k 15 2k 1)12、函数 f ( x)x325(3 3 ·35 ·5 Ｃ． 35Ｄ． 25(3、 f x g x 分是定在 R 上的奇函数和偶函数, 当 x <0， f ′ x g x ＋的取范（7( ) ，( )( ) ( )A ．（-24,8）B ．1,2 U 4 , 83 3D ．3, 1 U 1 , 4U 8,322 331 x 3 ax2 bx 1( a 、 bR) 在区 [-1,3] 上是减函数， ab 的最3B. 3C.2D. 323x 29x 3, 若函数 g( x) f ( x) m 在 x [ 2,5] 上有 3 个零点， m）B ．（ -24,1]C ．[1,8]D ．[1,8）高二数学选修2-2 综合测试题（答题卡）三、解答题：（70 分）一、选择题（ 60分）。

高二数学人教版选修2-2模块综合测试题(含答案)

高二数学选修2-2模块综合测试题(本科考试时间为120分钟，满分为150分)•选择题(本大题有10小题，每小题5分，共50 分)1 .在“近似替代”中，函数f (x)在区间[x i, x i 1]上的近似值((A)只能是左端点的函数值 f (x i)(B)只能是右端点的函数值f(Xn)(C)可以是该区间内的任一函数值 f i ([X i,X i 1] ) ( D)以上答案均正确2.已知z123m m i, z 4 (5m 6)i，其中m为实数, 为虚数单位，若Z1z20,贝U m的值为((A) 4 (B)1 (C) (D) 03.已知x1,y 1,下列各式成立的是(A) x 2 (B) (C) x (D) xy 1 x y4.设f ( x)为可导函数，且满足lfx 0f(12xx)=—1,则曲线y=f (x)在点(1, f(1)) 处的切线的斜率(A) 2 (B)_ (0 (D)—25.若a、b、c是常数, 的 ( )(A)充分不必要条件则“ a>0 且b2—4ac v 0”2是“对任意x € R,有ax2+bx+c >0”(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)必要条件6.函数f (x) x3ax2 bx a2在x 1处有极值10,贝U点(a, b)为(A) (3, 3) (B) ( 4,11) (0 (3, 3)或( 4,11) (D)不存在7. x y 1，则2x2 2 23y z的最小值为(A)1 (B) (C) 611(D)& 曲线和直线x1围成的图形面积是(A) e e (B) 1 c(C) e e 2 (D)9.点P是曲线x2In x上任意一点，则点P到直线y2的距离的最小值是((A) 1(B) (C) (D) 2.210 .设f(x) x2ax b ( a,b R )，当x 1,1 时, f (x)的最大值为m，贝ym的最小值为( )(A)1 2(B) 1 (C)3 2(D)2填空题 (本大题有 4小题，每小题 5分，共20分)12,其中i 为虚数单位，则复数 zi12.如图，数表满足：⑴第n 行首尾两数均为n ；⑵表中递推关系类似杨辉三角记第n(n 1)行第2个数为f(n).根据表中上下两行数据关系, 可以求得当n …2时，f(n)13.设函数f (x )=n 2x 2(1 — x )n (n 为正整数)，则f (x )在］0,1 ］上的最大值为 ________________ 14 .设 a iR , x i R , i1,2,L n ,且 a ； a ； La ： 1 , x ； x ； Lx ； 1，则勺,邑丄 △的X 2 x n值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是 _________ .①都大于1②都小于1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1 三解答题(本大题共 6小题，共80分)15、(本小题12分)已知等腰梯形 OABC 的顶点A , B 在复平面上对应的复数分别为 1 2i 、 2 6i , 且O 是坐标原点，OA // BC .求顶点C 所对应的复数z .16 (本小题满分14分)1 o(1)求定积分x 2 2 dx 的值；2⑵(2)若复数z 1 a 2i(a R) , z 2 3 4i ，且弓_为纯虚数，求z , Z 217 （本小题满分12分）11 .定义运算1ad be ,若复数z 满足z某宾馆有5 0个房间供游客居住，当每个房间定价为每天18 0元时，房间会全部住满；房间单价增加1 0元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费2 0元的各种维护费用。

2019_2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2_2

模块综合检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数i2＋i(i 为虚数单位)的虚部是( )A ．15B ．15iC ．25iD ．25解析：选D 因为i 2＋i ＝i (2－i )(2＋i )(2－i )＝15＋25i ，所以复数i 2＋i 的虚部为25，故选D.2．已知复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(4，＋∞)C ．(－1,4)D ．(－4，－1)解析：选C 复数z ＝(2＋i)(a ＋2i 3)＝(2＋i)(a －2i)＝2a ＋2＋(a －4)i ，其在复平面内对应的点(2a ＋2，a －4)在第四象限，则2a ＋2>0，且a －4<0，解得－1<a <4，则实数a 的取值范围是(－1,4)．故选C.3．用反证法证明“若a ＋b ＋c <3，则a ，b ，c 中至少有一个小于1”，应( ) A ．假设a ，b ，c 至少有一个大于1 B ．假设a ，b ，c 都大于1 C ．假设a ，b ，c 至少有两个大于1D ．假设a ，b ，c 都不小于1解析：选D 假设a ，b ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，b ，c 都不小于1，故选D. 4．设a ＝⎠⎛01x-13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．b >c >a解析：选A 由题意可得a ＝⎠⎛01x-13d x ＝x1-+13－13＋1⎪⎪⎪1＝32x 32⎪⎪⎪1＝32；b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 3232⎪⎪⎪1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23－0＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪10＝14.综上，a >b >c . 5．由①y ＝2x ＋5是一次函数；②y ＝2x ＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③①解析：选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y ＝2x ＋5是一次函数(小前提)，y ＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．6．已知点列：P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3(2,1)，P 4(1,3)，P 5(2,2)，P 6(3,1)，P 7(1,4)，P 8(2,3)，P 9(3,2)，P 10(4,1)，P 11(1,5)，P 12(2,4)，…，则P 60的坐标为( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)解析：选D 横纵坐标之和为2的有1个，横纵坐标之和为3的有2个，横纵坐标之和为4的有3个，横纵坐标之和为5的有4个．因此横纵坐标之和为2,3，…，11的点共有1＋2＋3＋…＋10＝55个，横纵坐标之和为12的有11个．因此P 60为横纵坐标之和为12的第5个点，即为(5,7)，故选D .7.函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图，则函数y ＝ax 2＋32bx ＋c 3的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2] B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞C ．[－2,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞ 解析：选D 由题图可知d ＝0.不妨取a ＝1，∵f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ，∴f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由图可知f ′(－2)＝0，f ′(3)＝0，∴12－4b ＋c ＝0,27＋6b ＋c ＝0，∴b ＝－32，c ＝－18.∴y ＝x 2－94x －6，y ′＝2x －94. 当x ＞98时，y′＞0，∴y ＝x 2－94x －6的单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫98，＋∞.故选D.8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r>0)内切于正方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→ (m ，n ∈R)，则14是m 2，n 2的等差中项．现有一椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m 2，n 2的等差中项为( )A.14B.12C.22D ．1解析：选A 图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2b2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2b2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14.9．已知函数f (x )＝x 3－ax 在(－1,1)上单调递减，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．[3，＋∞) C ．(－∞，1]D ．(－∞，3]解析：选B ∵f (x )＝x 3－ax ，∴f ′(x )＝3x 2－a .又f (x )在(－1,1)上单调递减，∴3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，∴a ≥3，故选B.10．设函数f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，则f (－1)与f (1)的大小关系是( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：选B 因为f (x )＝x 2f ′(2)－3x ，所以f ′(x )＝2xf ′(2)－3，则f ′(2)＝4f ′(2)－3，解得f ′(2)＝1，所以f (x )＝x 2－3x ，所以f (1)＝－2，f (－1)＝4，故f (－1)>f (1).11．若不等式2x ln x ≥－x 2＋ax －3对x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4] C ．(0，＋∞)D ．[4，＋∞)解析：选B 由2x ln x ≥－x 2＋ax －3，得a ≤2ln x ＋x ＋3x ，设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x(x＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，函数h (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，函数h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝4.所以a ≤h (x )min ＝4.故a 的取值范围是(－∞，4]．12．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值范围为( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选 B 构造函数g (x )＝x 2f (x )－x 2，x ∈R ，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－2x ＝x [2f(x)＋xf′(x)－2]．由题意得2f (x )＋xf ′(x )－2<0恒成立，故当x <0时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x >0时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．因为x 2f (x )－f (1)<x 2－1，所以x 2f (x )－x 2<f (1)－1，即g (x )<g (1)，当x >0时，解得x >1; 当x <0时，因为f (x )是偶函数，所以g (x )是偶函数，同理解得x <－1.故实数x 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________．解析：∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i ＋2i 2＝3i －1， ∴|z |＝32＋(－1)2＝10. 答案：10 14．已知f (x )＝xx 2＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：f (x )＝xx 2＋1的导数为f ′(x )＝1－x2(1＋x 2)2，在点(1，f (1))处的切线的斜率为f ′(1)＝0，切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，所以在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝12.答案：y ＝1215．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则该商品零售价定为______元时利润最大，利润的最大值为______元．解析：设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700. 令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p ＝30时，y 取极大值为23 000元．又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．答案：30 23 00016．某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2、3、4、…堆最底层(第一层)分别按下图①②③所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示第n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________，f (n )＝________(用含n 的式子表示)．解析：设第n 堆第一层乒乓球数为g (n )，则g (1)＝1，g (2)＝1＋2，g (3)＝1＋2＋3，…，则g (n )＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2＝n 2＋n2.所以f (3)＝g (1)＋g (2)＋g (3) ＝1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10.f (n )＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋…＋g (n )＝12(12＋1)＋12(22＋2)＋…＋12(n 2＋n ) ＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)(2n ＋1)6＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)(n ＋2)6.答案：10n (n ＋1)(n ＋2)6三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)(1)计算⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＋5i 3＋4i ；(2)复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)满足z ＋2i z ＝3＋i ，求复数z . 解：(1)原式＝2i 2＋5i (3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝i ＋5i (3－4i )32＋42＝i ＋4＋3i 5＝45＋85i. (2)(x ＋y i)＋2i(x －y i)＝3＋i ，即(x ＋2y )＋(2x ＋y )i ＝3＋i ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，2x ＋y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－13，y ＝53.∴z ＝－13＋53i.18．(本小题12分)设a ，b ，c 均为大于1的正数，且ab ＝10，求证：log a c ＋log b c ≥4lgc .证明：法一：∵ab ＝10，∴lg a ＋lg b ＝lg ab ＝1，则log a c ＋log b c ＝lg c lg a ＋lg c lg b ＝lg c (lg a ＋lg b )lg a ·lg b ＝lg clg a ·lg b .∵a >1，b >1， ∴lg a >0，lg b >0，则lg a ·lg b ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝14，1lg a lg b≥4，又c ＞1，lg c ＞0. ∴lg clg a ·lg b≥4lg c即log a c ＋log b c ≥4lg c .法二：要证log a c ＋log b c ≥4lg c ，只需证lg c lg a ＋lg c lg b ≥4lg c .又因为c >1，所以lg c >0，故只需证1lg a ＋1lg b ≥4，即证lg a ＋lg b lg a ·lg b ≥4.又因为ab ＝10，所以lg a ＋lg b ＝lg(ab )＝1，故只需证1lg a ·lg b ≥4.又因为lg a >0，lg b >0，所以0<lg a ·lg b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫lg a ＋lg b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，则1lg a ·lg b≥4成立．所以原不等式成立，即log a c ＋log b c ≥4lg c .19．(本小题12分)已知函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，且曲线上一点P ⎝⎛⎭⎪⎫22，y 0处的切线斜率为13.(1)求曲线在P 点处的切线方程； (2)求函数f (x )的极大值和极小值．解：(1)因为函数f (x )＝13x 3－ax ＋b 在y 轴上的截距为1，所以b ＝1.又y ′＝x 2－a ，所以⎝⎛⎭⎪⎫222－a ＝13，所以a ＝16，所以f (x )＝13x 3－16x ＋1，所以y 0＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝1，故点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，所以切线方程为y －1＝13⎝⎛⎭⎪⎫x －22，即2x －6y ＋6－2＝0.(2)由(1)可得f ′(x )＝x 2－16，令f ′(x )＝0，得x ＝±66. 当x 变化时，f (x )，f ′(x )变化情况如下表：有极小值为f ⎝⎛⎭⎪⎫66＝1－654. 20．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 2－m ln x ，h (x )＝x 2－x ＋a .(1)当a ＝0时，f (x )≥h (x )在(1，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；(2)当m ＝2时，若函数k (x )＝f (x )－h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围．解：(1)由f (x )≥h (x )，得m ≤xln x在(1，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝ln x －1(ln x )2，当x ∈(1，e)时，g ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，所以g (x )在(1，e)上递减，在(e ，＋∞)上递增．故当x ＝e 时，g (x )的最小值为g (e)＝e. 所以m ≤e.即m 的取值范围是(－∞，e]． (2)由已知可得k (x )＝x －2ln x －a . 函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数φ(x )＝x －2ln x 与直线y ＝a 有两个不同的交点． φ′(x )＝1－2x ＝x －2x，当x ∈(1,2)时，φ′(x )＜0，φ(x )递减，当x ∈(2,3)时，φ′(x )＞0，φ(x )递增．又φ(1)＝1，φ(2)＝2－2ln 2，φ(3)＝3－2ln 3，要使直线y ＝a 与函数φ(x )＝x －2ln x 有两个交点，则2－2ln 2＜a ＜3－2ln 3.即实数a 的取值范围是(2－2ln 2,3－2ln 3)．21．(本小题12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1.证明： (1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x.因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0. 又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (x )存在唯一的极值点． (2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α. 由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0，故1α是f(x)＝0在(0，x0)内的唯一根．所以f(x)＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．22．(本小题12分)两县城A和B相距20 km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数f(x)；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．解：(1)根据题意∠ACB＝90°，|AC|＝x km，|BC|＝400－x2 km，且建在C处的垃圾处理厂对城A的影响度为4x2，对城B的影响度为k400－x2，因此，总影响度y＝4x2＋k400－x2(0<x<20)．又垃圾处理厂建在AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065，故有4 (102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065，解得k＝9，故y＝f(x)＝4x2＋9400－x2(0<x<20)．(2)f′(x)＝－8x3＋18x(400－x2)2＝18x4－8×(400－x2)2x3(400－x2)2＝(x3＋800)(10x2－1 600)x3(400－x2)2.令f′(x)＝0，解得x＝410或x＝－410(舍去)．所以当x∈(0,410)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(410，20)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．故在x＝410处，函数f(x)取得极小值，也是最小值．即垃圾场离城A的距离为410 m 时，对城A和城B的总影响最小．。

2020版高中数学模块综合试卷新人教A版选修2-2

模块综合试卷(时间：120分钟满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．在复平面内，复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点共轭复数的定义与应用题点共轭复数与点的对应答案 D解析∵z＝2i1＋i ＝2i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．2．曲线y＝sin x＋e x(其中e＝2.718 28…是自然对数的底数)在点(0,1)处的切线的斜率为( ) A．2 B．3C.13D.12考点求函数在某点处的切线斜率或切点坐标题点求函数在某点处的切线的斜率答案 A解析∵y′＝cos x＋e x，∴k＝y′|x＝0＝cos 0＋e0＝2，故选A.3．观察下列等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，….猜想第n(n∈N*)个等式应为( ) A．9(n＋1)＋n＝10n＋9B．9(n－1)＋n＝10n－9C．9n＋(n－1)＝10n－1D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析注意观察每一个等式与n的关系，易知选项B正确．4．ʃ2π0|sin x|dx等于( )A．0 B．1C ．2D ．4考点分段函数的定积分题点分段函数的定积分答案 D解析 ʃ2π0|sin x |dx ＝ʃπ0sin xdx ＋ʃ2ππ(－sin x )d x ＝－cos x |π0＋cos x |2ππ＝1＋1＋1＋1＝4.5．已知在正三角形ABC 中，若D 是BC 边的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若三角形BCD 的重心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 C解析由题意知，O 为正四面体的外接球和内切球的球心．设正四面体的高为h ，由等体积法可求得内切球的半径为14h ，外接球的半径为34h ，所以AOOM＝3.6．函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0D ．1考点利用导数求函数的最值题点利用导数求不含参数函数的最值答案 D解析由f ′(x )＝3－12x 2＝3(1＋2x )(1－2x )＝0，解得x ＝±12，∵－12∉[0,1](舍去)．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f ′(x )>0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[0,1]上的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1. 又f (0)＝0，f (1)＝－1，∴函数最大值为1.7．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)考点导数与曲线的切线问题题点切线存在性问题答案 A解析易知f ′(x )＝2ax ＋1x(x >0)．若函数f (x )＝ax 2＋ln x 的图象上存在垂直于y 轴的切线，则2ax ＋1x＝0存在大于0的实数根，即a ＝－12x2<0.8．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立．其中判断正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3考点演绎推理的综合应用题点演绎推理在其他方面的应用答案 B解析若(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2＝0，则a ＝b ＝c ，与“a ，b ，c 是不全相等的正数”矛盾，故①正确．a ＝b 与b ＝c 及a ＝c 中最多只能有一个成立，故②不正确．由于“a ，b ，c 是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故③不正确．9．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为( ) A ．900元 B ．840元 C ．818元D ．816元考点利用导数求解生活中的最值问题题点用料、费用最少问题答案 D解析设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0. 故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.10．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值范围为( ) A ．(－1,2)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2,1)考点利用导数研究函数的单调性题点已知函数值大小求未知数答案 A解析 ∵f (x )是奇函数，∴不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )即xf ′(x )＋f (x )<0， ∵F (x )＝xf (x )，∴F ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )，即当x ∈(－∞，0]时，F ′(x )<0，函数F (x )为减函数． ∵f (x )是奇函数，∴F (x )＝xf (x )为偶函数，且当x >0时，为增函数，即不等式F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，∴|2x －1|<3，∴－3<2x －1<3，得－1<x <2，故选A.11．若由曲线y ＝x 2＋1，直线x ＋y ＝3以及两坐标轴的正半轴所围成的图形的面积为S ，则S 等于( ) A.73 B.83 C ．3 D.103考点利用定积分求曲线所围成图形面积题点需分割的图形的面积求解答案 D解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋1，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5，所以所求面积为图中阴影部分的面积．所以S ＝ʃ10(x 2＋1)d x ＋ʃ31(3－x )d x ＝13＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－92－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＝103. 12．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x－1)(x －1)k(k ＝1,2)，则( ) A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极小值 B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取到极大值 C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极小值 D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取到极大值考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值答案 C解析当k ＝1时，f ′(x )＝e x·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点．当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x－2)，显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )<0，在x ＝1附近的右侧f ′(x )>0， ∴f (x )在x ＝1处取到极小值．故选C .二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为________．考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案 5解析 z ＝(2－i)2＝3－4i ，所以|z |＝|3－4i|＝32＋(－4)2＝5. 14．已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋a d x ＝________.考点利用微积分基本定理求定积分考点利用微积分基本定理求定积分答案 2－3ln 3 解析由1－3x ＋a<0，得－a <x <3－a ，又不等式1－3x ＋a<0的解集为(－1,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－1，3－a ＝2，解得a ＝1，∴ʃ20⎝⎛⎭⎪⎫1－3x ＋a d x ＝ʃ20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x ＋1d x ＝[x －3ln(x ＋1)]|20＝2－3ln 3.15．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是________．考点利用导数求函数的单调区间题点已知函数的单调性求参数答案 [－3，3]解析依题意可知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，所以f ′(x )＝－3x 2＋2ax －1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，则Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.16．如图所示的数阵中，第20行第2个数字是________．1 12 12 13 14 13 14 17 17 14 15 111 111 111 15考点归纳推理的应用题点归纳推理在数阵(表)中的应用答案1191解析设第n (n ≥2且n ∈N *)行的第2个数字为1a n，其中a 1＝1，则由数阵可知a n ＋1－a n ＝n ，∴a 20＝(a 20－a 19)＋(a 19－a 18)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝19＋18＋…＋1＋1＝19×202＋1＝191，∴1a 20＝1191. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z 满足|z |＝2，z 的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限． (1)求复数z ；(2)若m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，求实数m 的值．考点复数的概念题点由复数的分类求未知数解 (1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2＋b 2＝2，b ＝1.因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a <0，所以a ＝－1，b ＝1，所以z ＝－1＋i. (2)由(1)得z ＝－1＋i ，所以z 2＝(－1＋i)2＝－2i ，所以m 2＋m ＋mz 2＝m 2＋m －2m i. 又因为m 2＋m ＋mz 2是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，－2m ≠0，所以m ＝－1.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证a －5－a －3<a －2－a ，只需证a －5＋a <a －3＋a －2，即证(a －5＋a )2<(a －3＋a －2)2，即证2a －5＋2a 2－5a <2a －5＋2a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，只需证a 2－5a <a 2－5a ＋6，即证0<6，显然0<6成立，所以a －5－a －3<a －2－a .19．(12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．考点函数在某点处取得极值的条件题点不含参数的函数求极值问题解 f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1(0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，解得x ＝π或x ＝32π.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如表：所以f (x )的单调增区间为(0，π)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32π，2π，单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π，32π.f (x )极大值＝f (π)＝π＋2， f (x )极小值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＝3π2.20．(12分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，a 3；(2)猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．考点数学归纳法证明数列问题题点利用数学归纳法证明数列通项问题解 (1)a 1＝S 1＝a 12＋1a 1－1，所以a 1＝－1± 3.又因为a n >0，所以a 1＝3－1.S 2＝a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1，所以a 2＝5－ 3.S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 32＋1a 3－1，所以a 3＝7－ 5.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1－2n －1，n ∈N *. 下面用数学归纳法加以证明：①当n ＝1时，由(1)知a 1＝3－1成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＝2k ＋1－2k －1成立．当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋12＋1a k ＋1－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a k 2＋1a k －1＝a k ＋12＋1a k ＋1－2k ＋1，所以a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，所以a k ＋1＝2(k ＋1)＋1－2(k ＋1)－1，即当n ＝k ＋1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切n ∈N *都成立．21．(12分)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2. (1)求f (x )的单调区间和极大值；(2)证明对任意x 1，x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式问题 (1)解由奇函数的定义，应有f (－x )＝－f (x )，x ∈R ，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝0. 因此f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c .由条件f (1)＝－2为f (x )的极值，必有f ′(1)＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得a ＝1，c ＝－3.因此f (x )＝x 3－3x ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， f ′(－1)＝f ′(1)＝0.当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，故f (x )在区间(－∞，－1)上是增函数；当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，故f (x )在区间(－1,1)上是减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴f (x )在x ＝－1处取得极大值，极大值为f (－1)＝2. (2)证明由(1)知，f (x )＝x 3－3x (x ∈[－1,1])是减函数，且f (x )在[－1,1]上的最大值M ＝f (－1)＝2，f (x )在[－1,1]上的最小值m ＝f (1)＝－2.∴对任意的x 1，x 2∈(－1,1)，恒有|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝2－(－2)＝4. 22．(12分)已知函数f (x )＝e x ＋2x 2－3x .(1)求证：函数f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极值点；(2)当x ≥12时，若关于x 的不等式f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1恒成立，试求实数a 的取值范围．考点利用导数求函数中参数的取值范围题点利用导数求恒成立中参数的取值范围 (1)证明 f ′(x )＝e x＋4x －3，∵f ′(0)＝e 0－3＝－2<0，f ′(1)＝e ＋1>0， ∴f ′(0)·f ′(1)<0.令h (x )＝f ′(x )＝e x＋4x －3，则h ′(x )＝e x＋4>0， ∴f ′(x )在区间[0,1]上单调递增， ∴f ′(x )在区间[0,1]上存在唯一零点， ∴f (x )在区间[0,1]上存在唯一的极小值点． (2)解由f (x )≥52x 2＋(a －3)x ＋1，得e x ＋2x 2－3x ≥52x 2＋(a －3)x ＋1，即ax ≤e x－12x 2－1，∵x ≥12，∴a ≤e x－12x 2－1x.令g (x )＝e x－12x 2－1x，则g ′(x )＝e x(x －1)－12x 2＋1x2. 令φ(x )＝e x (x －1)－12x 2＋1，则φ′(x )＝x (e x－1)．∵x ≥12，∴φ′(x )>0.∴φ(x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增． ∴φ(x )≥φ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝78－12e>0.因此g ′(x )>0，故g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增，则g (x )≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12e －18－112＝2e －94，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e －94.。

高二数学理科选修2-2测试题(带答案)(最新整理)

ak +1 =Sk 1 Sk
( ak1 2
1 ak 1
1) ( ak 2
1 ak
1) =
ak+ 1 2
+
1ak+ 1
2k + 1 ．
所以 ak2+1 + 2 2k + 1ak+1 - 2 = 0
ak+1 = 2(k + 1) + 1 - 2(k + 1) - 1 所以当 n = k + 1时猜想也成立．综上可知，猜想对一切 n Î N+ 都成立．
(x a)2 ( y b)2 (z c)2 r2 ．
6．已知 f x 2x 13 2a 3a ,若 f 1 8 ,则 f 1
x
A．4
B．5
C． - 2
D． - 3
7．若函数 f x ln x ax 在点 P 1,b 处的切线与 x 3y 2 0 垂直,则 2a b 等于
18.已知 a b c, 求证： 1 1 4 . ab bc ac
{ 19.已知数列
an } 的前
n 项和
Sn
满足：
Sn
an2
2an 2an
2
，且 an
0, n N.
{ （1）求 a1, a2 , a3; （2）猜想 an } 的通项公式，并用数学归纳法证明
21．设函数 f x xekx k 0
10．函数 f x 的定义域为 a,b ，导函数 f x 在 a,b 内的图像如图所示，则函数 f x 在 a,b 内有极小值点
1
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
11．已知 a1 1, an1 an 且 an1 an 2 2 an1 an 1 0 ,计算 a2 , a3 ,猜想 an 等于

【推荐】2020高中数学模块综合测评新人教A版选修2-2

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1D ．－1或1B [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.]2．演绎推理“ 因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠ 1)是增函数，而函数y ＝log 12x 是对数函数，所以y ＝log 12x 是增函数” 所得结论错误的原因是( )【导学号：31062245】A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝n ＋n ＋2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是 ( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4D [当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.]4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．－12C ．12D ．2A [y ′＝－2x －2，y ′|x ＝3＝－12，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2.] 6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第四象限D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限．]7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )图1D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右依次为小于0，大于0，小于0，大于0，∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增．观察选项可知，排除A 、C.如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]8．用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12(n >1，n ∈ N *)的过程中，从n ＝k到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( ) 【导学号：31062246】A.12k ＋2B.12k ＋1－12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1B [从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2减少了1k ＋1，∴需增加的代数式为12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－12k ＋2.] 9．已知结论：“ 在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AGGD ＝2类比AO OM＝3，故选C.] 10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选D.]11．如图2，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为 ( )图2A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．nB [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．]12．已知可导函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )>f (x )，则当a ＞0时，f (a )和e af (0)的大小的关系为( )【导学号：31062247】A ．f (a )<e af (0) B ．f (a )>e af (0) C ．f (a )＝e af (0)D ．f (a )≤e af (0)B [令g (x )＝e －xf (x )，则g ′(x )＝e －x[f ′(x )－f (x )]>0.所以g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，g (a )>g (0)．e －af (a )>e 0f (0)，即f (a )>e af (0)，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则|a ＋b i|＝________.[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解方程组，得a ＝1，b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5. [答案]514．由抛物线y ＝12x 2，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是________．[解析] 如图所示，S ＝[答案]13315．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……照此规律，第五个不等式为________．[解析] 左边的式子的通项是1＋12＋13＋…＋1n ＋，右边式子的分母依次增加1，分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜116. [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162＜11616．设x 3＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)【导学号：31062248】①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b ＞2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.[解析] 令f (x )＝x 3＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2＋a ，当a ≥0时，f ′(x ) ≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大＝b ＋2<0或者f (x )极小＝b －2>0，解得b <－2或b >2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.[答案] ①③④⑤三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a >0，b >0用分析法证明：a ＋b2≥2aba ＋b. [证明] 因为a >0，b >0，要证a ＋b2≥2aba ＋b，只要证，(a ＋b )2≥4ab ，只要证(a ＋b )2－4ab ≥0，即证a 2－2ab ＋b 2≥0，而a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2≥0恒成立，故a ＋b2≥2aba ＋b成立． 18．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数z2＋i 的虚部．[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，得出x 2＋y 2－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，故有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝4，∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i2＋i＝2＋i ，虚部为1.19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13x 3＋x 2＋(m 2－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.【导学号：31062249】(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )，且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－13.函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )，且f (1＋m )＝23m 3＋m 2－13.20．(本小题满分12分) 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2，则当该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出利润的最大值．[解] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000(p ≥20)，则y ′＝－3p 2－300p ＋11 700.令y ′＝0得p 2＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．则p ，y ，y ′变化关系如下表：故当p 又y ＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.【导学号：31062250】[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，＋∞时，f ′(x )<0.所以f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a >0时，f (x )在x ＝1a处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a>2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n .(1)求a 1，a 2，a 3；(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.【导学号：31062251】[解] (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 21＝1，∵a n >0，∴a 1＝1.由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 22＋2a 2－1＝0.∴a 2＝2－1.由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 23＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2.(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *)．证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12⎝⎛⎭⎪⎫a k ＋1ak，即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k∴a 2k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立，由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。

(完整版)高二数学选修2-2模块综合测试题(理科)

选修 2-2期中测试卷（本科考试时间为 120 分钟，满分为 100 分）说明：本试题分有试卷Ⅰ和试卷Ⅱ，试卷Ⅰ分值为30 分，试卷Ⅱ分值为 70 分。

班级姓名第 I 卷一．选择题1．在“近似代替 ”中，函数 f ( x) 在区间 [ x i , x i 1 ] 上的近似值（）（ A ）只好是左端点的函数值f ( x i )（ B ）只好是右端点的函数值f ( x i 1)（ C ）能够是该区间内的任一函数值 f i (i[ x i , x i 1 ] ）（D ）以上答案均正确2．已知 z 1 m 23m m 2i ， z 24(5m 6)i ，此中 m 为实数， i 为虚数单位，若 z 1z 2 0 ，则 m 的值为（）(A) 4(B)1(C) 6(D) 03．设 S(n)1111L 1*) ，当 n2时， S(2) （ Cnn 1n2 n3 n 2 (n N ）1Ｂ． 1 1Ａ．2 321 11Ｄ．1 1 1 1Ｃ．3 423 4 524．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假定正确的选项是（A 、假定起码有一个钝角B ．假定起码有两个钝角B）Ｃ．假定没有一个钝角Ｄ．假定没有一个钝角或起码有两个钝角5．给出以下命题：⑴若b( ) 0 ，则 f ( x )>0 ； ⑵ 2;af x dx 0sin xdx 4，且 ( ) 是以aa T⑶已知F ( x) f (x) T 为周期的函数，则f ( x)dxf ( x)dx ；F xT此中正确命题的个数为( B )6．若f'(x 0 )3lim f ( x 0 h)f ( x 0 3h)B ），则 h 0h（A ． 3B ．12C ．9D ．67.已知 x1, y 1, 以下各式建立的是（ D）（ A ） x yx y 2 （ B ） x 2y 2 1（ C ） x y 1 （ D ） xy 1 x yπx dx的值等于（A8. 定积分 2 sin2）02π 1B．π 1C．1ππA．24224D．142【第 9 题 2选 1】9.曲线y x33x 2上的随意一点P 处切线的斜率的取值范围是（）A．[3,) B.(3,) C. (3,) D.[ 3,) 339. 设P为曲线：x22x 3 上的点，且曲线C在点 P处切线倾斜角的取值范围为，，则点P横C y04坐标的取值范围为（）A．，1B．1，0C．01，D．1 ，11 2210.已知数列 { a n }知足 a1 2 ， a2 3 ， a n 2 | a n 1a n | ，则 a2016＝（）A． 111.已知函数 f ( x)x2bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为 3，数列1f (n)的前 n 项和为 S n , 则 S2011的值为（ D）A. 2008B. 2009C. 2010D. 2011200920102011201212.平面几何中，有边长为 a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值3a ，类比上述命题，棱长为 a 2的正四周体内任一点到四个面的距离之和为（B）Ａ． 4 aＢ． 6 aＣ． 5 aＤ． 6 a 3344第Ⅱ卷二．填空题13．若复数z 1i1i，则复数 z= 1i1i14．已知等腰梯形OABC的极点A，B在复平面上对应的复数分别为 1 2i 、 2 6i ，且 O 是坐标原点，OA∥ BC ．求极点 C 所对应的复数z f ( x )，则当a0时，【15题2选1】已知可导函数 f( x)( x R) 的导函数 f ' ( x ) 知足 f ' ( x )15.f (a) 和 e a f ( 0) （ e 是自然对数的底数）大小关系为15. 若函数f (x)4x在区间 (m，2m1) 上是单一递加函数，则实数m 的取值范围是．x21答案：1m ≤ 016.认真察看下边图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图2，图3是由这样的小正方体木块叠放而成的，依据这样的规律放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数就是91三解答题（本大题共 5 小题，共54 分）17（本小题满分10 分）(1)1x22dx【 2 选 1】 (2) 若复数z1a2i (a R) ， z2 3 4i ，求定积分2的值；且z1为纯虚数，求z1z22z z i3i，求 z ．（ 2）已知复数z知足z2i由已知得 z 2z z i1i ，设 z x yi , x, y R代人上式得x 2y 2 2 xi1ix2y21x 1 2因此2x，解得3 1y2故 z1 3 i22 18.【 3 选 1】（ 1）已知a，b是正实数，求证：a bab b a只要证 a a b b ab ( a b )即证 ( a b ab )( a b)ab(ab)即证 ab abab即证 a b 2 ab ，即 (ab) 2该式明显建立，因此ab abba（ 2）求证： (1) a 2b 2 3 ab3( a b) ;证明：（ 1） ∵ a 2 b 22ab ,a 2 3 2 3a ,b 2 3 2 3b ;将此三式相加得2 (a 2 b 23) 2ab 23a 2 3b ,∴ a 2b 2 3 ab3( a b) .（ 3）已知 a, b,c 均为实数，且 a x 22 y, b y 22 z, c z 22 x，求证： a,b, c 中起码有一个大于 0.236证明：（反证法）假定 a,b,c 都不大于 0，即 a0,b 0,c0 ，则 a bc0 ，由于 a x 22 y π 22 zπ 22 xπ2,b y, c z6π) ( y 23π)π)abc( x22 y2 z( z 2 2 x23 6( x 1) 2( y1) 2( z 1) 2π 3即 ab c 0 ，与 a b c 0 矛盾，故假定错误，原命题建立 .19.设 y f ( x) 是二次函数，方程f ( x)0 有两个相等的实根，且f ( x)2x 2．（ 1）求 yf ( x) 的表达式；（ 2）若直线 x t(0 t 1) 把 y f (x) 的图象与两坐标轴所围成图形的面积二平分，求 t 的值．解：（ 1）设 f (x) ax 2bx c(a 0) ，则 f ( x)2ax b ．由已知 f( x)2x 2 ，得a1， b2．f ( x)x22x c ．又方程x22x c0 有两个相等的实数根，44c0 ，即 c1．故 f (x)x22x1；t2x1)dx0( x22x 1)dx ，（ 2）依题意，得( x2t113x2x t 13x2x0x1x t，33整理，得2t 36t 26t10 ，即 2(t1)3 1 0 ，t 11．3220.已知函数f ( x) ln( x 1)x（ 2）求曲线y f ( x) 在点（1， f (1) ）（1）求f (x)的单一区间；x1a 与b，恒有 ln a lnb 1b．处的切线方程；（ 3）求证：对随意的正数a21.已知数列a n的前n项和S n 1 na n ( n N* ) ．（1）计算a1，a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式，并用数学概括法证明你的结论．解：（ 1）依题设可得a111， a211， a311， a411；212623123420451 （ 2）猜想： a n．n(n 1)证明：①当 n1 时，猜想明显建立．②假定 nk (k N * ) 时，猜想建立，即 a k1．k( k 1)那么，当 n k1时，S k 11 (k1)a k 1 ，即 S k ak 11 ( k 1)a k 1 ．又 S k1 ka k k ，kk1因此ak 11 (k 1)a k 1 ，1k进而 a k 111．(k 1)(k 2) (k 1)[( k1) 1]即 n k 1 时，猜想也建立．故由①和②，可知猜想建立．21（本小题满分 12 分）设数列 a n 知足 a n 1 a n 2 na n 1, n1, 2, 3,L ,（ 1）当 a 12 时，求 a 2 , a3 , a4 ，并由此猜想出 a n 的一个通项公式；（ 2）当 a 13时，证明对全部 n 1，有 ① a nn 2 ②1 11 1a 1 1 a 2L21 1 a n18、设函数 x 3 x 23x 3a( a 0) （ 12 分）f ( x )3（ 1）假如 a 1 ，点 P 为曲线 y f ( x ) 上一个动点，求以 P 为切点的切线斜率获得最小值时的切线方程；（ 2）若 x[a,3 a] 时， f ( x) 0 恒建立，求 a 的取值范围。

高中数学-选修2-2模块测试卷（含详细答案）

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y 是增函数（大前提）,而xy)31(是指数函数（小前提），所以xy )31(是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB u u u r u u u r，对应的复数分别为2332i i ，，那么向量BA u u u r对应的复数是（）A ．55iB ．55iC ．55iD ．55i3．函数x x x f ln )(，则（）A ．在(0)，上递增B ．在(0)，上递减C ．在1(0)e，上递增D ．在1(0)e，上递减4．如右图，阴影部分面积为（）A ．[()()]ba f x g x dxB ．[()()][()()]c ba c g x f x dx f x g x dx C ．[()()][()()]c b acf xg x dx g x f x dxD ．[()()]b ag x f x dx 5．证明：2111111(1)22342n n nnL ，当2n 时，中间式子等于（）A ．1B ．112C ．11123D ．11112346．42xe dx 的值等于（）A ．42e eB ．42eeC ．422eeD ．422ee7．函数2sin(2)y xx 导数是（）A ．2cos(2)x x B ．22sin(2)x xx C ．2(41)cos(2)xx x D ．24cos(2)xx8．抛物线2yxbxc 在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c间的距离是（）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x ，则必有（）A ．(0)(2)2(1)f f f B ．(0)(2)2(1)f f f C ．(0)(2)2(1)f f f D ．(0)(2)2(1)f f f 二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数22563m m mm i 是纯虚数，则实数m _________．12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232sttt ，那么速度为零的时刻是_________．13．若函数()y f x 的图象在4x 处的切线方程是29yx ，则(4)(4)f f _________．14．已知2()ln(22)(0)f x xax a a，若()f x 在[1)，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz，若21i()zaz b a b R ，，求a b 的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)xx f x x x≤，，试求π21()f x dx ．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab ．求证：log log 4lg a b c c c ≥．19．（本小题满分14分）在数列n a 中，113a ，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n 倍*()nN ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x xx ．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x 的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x xax ，()()5g x f x ax ，其中()f x 是()f x 的导函数．（1）对满足11a ≤≤的一切a 的值，都有()0g x ，求实数x 的取值范围；（2）设2am ，当实数m 在什么范围内变化时，函数()yf x 的图象与直线3y只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．212．1秒或2秒13．3 14．12a ≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S 三、解答题16．解：2i 33i 3i 1i 2i2iz，2(1i)(1i)1i a b，()(22i)1i ab ，1a b ．17．解：ππ02211()()()f x dxf x dxf x dxπ221(cos 1)x dx x dxπ20201(sin )3xxx 1π4π13232．18．证明：由于1a ，1b ，故要证明log log lg a b c c c ≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c c c ab ≥，又1c ，lg 0c，所以只需证明11lg lg ab≥，即lg lg 4lg lg a ba b≥．因为10ab ，所以lg lg 1a b ，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a ，1b ，所以lg 0a ，lg 0b ，所以2lg lg 10lg lg 24a ba b ≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a ，123(21)n n a a a a n a nL ，分别取2345n ，，，，得2111153515a a ，312111()145735a a a ，4123111()277963a a a a ，51234111()4491199a a a a a ，所以数列的前5项是113a ，2115a ，3135a ，4163a ，5199a ；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)na n n ．下面用数学归纳法证明：①当1n 时，猜想显然成立．②假设当nk 时猜想成立，即1(21)(21)k a k k ．那么由已知，得12311(21)1kkk a a a a a k a k L，即21231(23)kk a a a a kk a L．所以221(2)(23)kkkk a kk a ，即1(21)(23)kkka k a ，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k ka k k ，所以11(21)(23)ka k k，即当1n k 时，公式也成立．由①和②知，对一切*nN ，都有1(21)(21)na n n 成立．20．（1）解：由已知1()f x xx，当[1e]x ，时，()0f x ，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e(e)12f ，1(1)2f ，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e12，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x xxx ，则221(1)(12)()2x x x F x xxxx．因为1x ，所以()0F x ，所以函数()F x 在区间(1)，上单调递减，又1(1)06F ，所以在区间(1)，上，()0F x ，即2312ln 23xxx ，所以在区间(1)，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x 图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x xax a x ax，设2()(3)35a x a x ，11a ≤≤．对11a ≤≤中任意a 值，恒有()0g x ，即()0a ，(1)0(1)0，，即2232080x x xx ，，解得213x ．故213x，时，对满足11a ≤≤的一切a 的值，都有()0g x ．（2）22()33f x x m ，①当0m 时，3()1f x x的图象与直线3y 只有一个公共点．②当0m时，列表：()()f x f m 极小．又()f x Q 的值域是R ，且在()m ，上单调递增，当x m 时，函数()y f x 的图象与直线3y只有一个公共点；当x m 时，恒有()()f x f m ≤．由题意，得()3f m ，即3221213m m m，解得33(20)(02)m U ，，．综上，m 的取值范围是33(22)，．x ()m ，m ()m m ，m ()m ，()f x 0()f x Z极大值]最小值Z。

(完整word版)高二理科数学选修2-2测试题及答案

高二选修2-2理科数学试卷第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1、复数i-25的共轭复数是( ) A 、2+i B 、2-i C 、i --2 D 、i -22、已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( ) A.31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 31sin1-cos1 D.sin1+cos1 3、设a R ∈，函数()x x f x e ae -=-的导函数为()'f x ，且()'f x 是奇函数，则a 为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．-14、定积分dx e x x⎰-1)2(的值为（）A ．e -2B ．e -C ．eD ．e +25、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f(n) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 变到n＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项 B ．k 项 C ．2k－1项 D ．2k 项6、由直线y= x - 4，曲线x y 2=以及x 轴所围成的图形面积为（） A.340 B.13 C.225 D.15 7、函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 8、函数f(x)＝x 2－2lnx 的单调减区间是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1] 9、已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式（）A.4()22x f x =+； B.2()1f x x =+； C.1()1f x x =+； D.2()21f x x =+.10、若21()ln(2)2f x x b x =-++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（） A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-11、点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）(A) １ (B)(C) ２ (D)12、对于R 上可导的任意函数f （x ），且'(1)0f =若满足（x －1）f x '（）>0，则必有（） A ．f （0）＋f （2）< 2 f （1） B ．f （0）＋f （2）≥ 2 f （1） C ．f （0）＋f （2）> 2 f （1） D ．f （0）＋f （2）≤ 2 f （1）第Ⅱ卷（非选择题, 共90分）二．填空题（每小题5分，共20分）13、设2,[0,1]()2,(1,2]x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩，则20()f x dx ⎰=14、若三角形内切圆半径为r ，三边长为a,b,c 则三角形的面积12S r a b c =++（）；利用类比思想：若四面体内切球半径为R ，四个面的面积为124S S S 3，，S ，；则四面体的体积V=15、若复数z ＝21＋3i，其中i 是虚数单位，则|z |＝______.16、已知函数f(x)＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围 _____．三、解答题（本大题共70分）17、（10分）实数m 取怎样的值时，复数i m m m z )152(32--+-=是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？18、（12分）已知函数3()3f x x x =-.（1）求函数()f x 在3[3,]2-上的最大值和最小值.（2）过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.19、（12分）在各项为正的数列{}n a 中,数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121, ⑴求321,,a a a ；⑵由⑴猜想数列{}n a 的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 20、（12分）已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值 (1)求,a b 的值与函数()f x 的单调区间(2)若对[1,2]x ∈-，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围21、（12分）已知函数32()23 3.f x x x =-+ （1）求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程；（2）若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根，求实数m 的取值范围.22、（12分）已知函数()2a f x x x=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点，求实数a 的值；（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a的取值范围．参考答案1、D2、B3、D4、A5、D6、A7、B8、A9、B 10、C 11、B 12、C 13、56 14、 23413S S ++1R （S +S ） 15、1 16、[－1,7)17.解：（1）当01522=--m m ，即3-=m 或5=m 时，复数Z 为实数；（3分）（2）当01522≠--m m ，即3-≠m 且5≠m 时，复数Z 为虚数；（7分）（3）当03-m ,01522=≠--且m m ，即3=m 时，复数Z 为纯虚数；（10分）18.解：（I ）'()3(1)(1)f x x x =+-，当[3,1)x ∈--或3(1,]2x ∈时，'()0f x >，3[3,1],[1,]2∴--为函数()f x 的单调增区间当(1,1)x ∈-时，'()0f x <， [1,1]∴-为函数()f x 的单调减区间又因为39(3)18,(1)2,(1)2,()28f f f f -=--==-=-，所以当3x =-时，min ()18f x =- 当1x =-时，max ()2f x = …………6分（II ）设切点为3(,3)Q x x x -o o o ，则所求切线方程为32(3)3(1)()y x x x x x --=--o o o o 由于切线过点(2,6)P -，326(3)3(1)(2)x x x x ∴---=--o o o o ，解得0x =o 或3x =o 所以切线方程为3624(2)y x y x =-+=-或即30x y +=或24540x y --= …………12分19 .解:⑴易求得23,12,1321-=-==a a a …………2分⑵猜想)(1*N n n n a n ∈--=…………5分证明:①当1=n 时,1011=-=a ,命题成立②假设k n =时, 1--=k k a k 成立,则1+=k n 时, )1(21)1(211111kk k k k k k a a a a S S a +-+=-=++++ )111(21)1(2111--+---+=++k k k k a a k k k a a k k -+=++)1(2111, 所以,012121=-+++k k a k a , k k a k -+=∴+11.即1+=k n 时,命题成立. 由①②知,*N n ∈时,1--=n n a n . …………12分20. 解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=-'2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，函数()f x 的单调区间如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是(,1)3-；…………6分（2）321()2,[1,2]2f x x x x c x =--+∈-，当23x =-时，222()327f c -=+ 为极大值，而(2)2f c =+，则(2)2f c =+为最大值，要使2(),[1,2]f x c x <∈-恒成立，则只需要2(2)2c f c >=+，得1,2c c <->或 …………12分21 解：（1）2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-，即12170x y --=；……4分（2）记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分则,(),()x g x g x '的变化情况如下表………………………10分由()g x 的简图知，当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时，函数()g x 有三个不同零点，过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线，m 的范围是(3,2)--.…………12分22. 解：（1）解法1：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0 +∞，， ∴()2212a h x x x '=-+．∵1x =是函数()h x 的极值点，∴()10h '=，即230a -=．∵0a >，∴a =经检验当a =1x =是函数()h x的极值点，∴a =解法2：∵()22ln a h x x x x=++，其定义域为()0+∞，， ∴()2212a h x x x'=-+．令()0h x '=，即22120a x x-+=，整理，得2220x x a +-=．∵2180a ∆=+>，∴()0h x '=的两个实根114x -=（舍去），214x -=，当x变化时，()h x ，()h x '的变化情况如下表：依题意，11-=，即23a =，∵0a >，∴a = （2）解：对任意的[]12,1x x e ∈，都有()1f x ≥()2g x 成立等价于对任意的[]12,1x x e ∈，都有()min f x ⎡⎤⎣⎦≥()max g x ⎡⎤⎣⎦．当x ∈［1，e ］时，()110g x x'=+>． ∴函数()ln g x x x =+在[]1e ，上是增函数． ∴()()max1g x g e e==+⎡⎤⎣⎦．∵()()()2221x a x a a f x x x +-'=-=，且[]1,x e ∈，0a >． ①当01a <<且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=>， ∴函数()2a f x x x=+在［1，e ］上是增函数，∴()()2min 11f x f a ==+⎡⎤⎣⎦. 由21a +≥1e +，得a ，又01a <<，∴a 不合题意．②当1≤a ≤e 时，若1≤x ＜a ，则()()()20x a x a f x x +-'=<，若a ＜x ≤e ，则()()()20x a x a f x x +-'=>．∴函数()2a f x x x=+在[)1,a 上是减函数，在(]a e ，上是增函数．∴()()min 2f x f a a ==⎡⎤⎣⎦.由2a ≥1e +，得a ≥12e +，又1≤a ≤e ，∴12e +≤a ≤e ． ③当a e >且x ∈［1，e ］时，()()()20x a x a f x x +-'=<，∴函数()2a f x x x=+在[]1e ，上是减函数．∴()()2min a f x f e e e ==+⎡⎤⎣⎦.由2a e e+≥1e +，得a，又a e >，∴a e >．综上所述，a 的取值范围为1,2e +⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．。

高中数学-选修2-2模块测试卷(含详细答案)

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（）A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________．15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥． 19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明． 20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ADDBDCCCDC二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-，设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <．（2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点；当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得33(20)(02)m ∈-，，．综上，m 的取值范围是33(22)-，．极大值最小值。

2020学年高中数学模块综合检测(含解析)新人教A版选修2-2(2021-2022学年)

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共1２小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.复数错误!(i 为虚数单位)的虚部是( )Ａ.错误! B.错误!i Ｃ.错误!i D ．错误!未定义书签。

解析：选D 因为错误!=错误!未定义书签。

＝错误!+错误!i ，所以复数错误!未定义书签。

的虚部为错误!,故选D.2.已知复数z =（２+i)(a +2ｉ3）在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞,-１) ﻩB ．(４，+∞) C.(－1，4)D.(－4，-1）解析:选C 复数z ＝(２＋i)（a +2i 3）=（2+i ）（a －2ｉ）＝2a +2+(a -４)ｉ，其在复平面内对应的点(2a ＋2,a －4）在第四象限,则2a ＋2＞0,且ａ-4〈０,解得-1〈a <４,则实数ａ的取值范围是（－1，4)．故选C 。

3．用反证法证明“若a +ｂ+c ＜３，则ａ，b ,c 中至少有一个小于1”,应( ) A ．假设a ，b ，ｃ至少有一个大于１Ｂ．假设ａ，ｂ，ｃ都大于１C.假设a ,b ,c 至少有两个大于1ﻩD ．假设a ,ｂ，c 都不小于1解析:选D 假设a ，ｂ，c 中至少有一个小于1不成立，即a ，ｂ,c 都不小于1,故选D ． 4.设a ＝错误!xd x ,b =1－错误!未定义书签。

ｘd x ,c ＝错误!未定义书签。

ｘ３d ｘ,则ａ、b 、c 的大小关系是( )A.a ＞ｂ>ｃ ﻩB ．b >ａ>c C.a >ｃ＞b ﻩ D.b >c ＞a解析：选 A 由题意可得ａ＝错误!未定义书签。

xｄx =错误!错误!=错误!x 错误!=错误!;b＝１－错误!x d x ＝1－错误!未定义书签。

错误!未定义书签。

＝１-错误!＝错误!;c ＝错误!ｘ3d x =＼f(x ４,4)错误!未定义书签。