导数的几何意义导学案.doc

3.1.3 导数的几何意义

学校：陵水中学学科：数学编写人：李顺美

审稿人：赵李三

学习目标

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像宜观地理解导数的儿何意义，并能运用导数的儿何意义解决相关问题

学习重难点

1.发现和理解导数的几何意义

2.应用导数几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题

学习过程

(%1)、复习引入

1.平均变化率、割线的斜率

2.导数的概念、求导数的步骤

提出问题

我们知道，导数表示函数y = /(x)在尤=工。处的瞬时变化率，反映了函数y = f(x)在X = X。附近的变化情况，导数广(气)的几何意义是什么呢？

(%1)、自学探究

如图3. 1-2,观察当4(气，/'(%))(〃 = 1,2,3,4)沿着曲线/(%)趋近于点P(A O,/(X O))时,割

线Pg,的变化趋势是什么？

图3.1-2

（1）如何定义曲线在点F处的切线?

（2 ）割线「4的斜率如与切线P7的斜率人有什么关系?

（3）切线PT的斜率&为多少?

说明：当Ax T 0时,割线PQ的斜率，称为曲线在点户处的切线的斜率. 这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的木质一函数在x = x0处的导数.

（三）、小组交流

导数的几何意义

（1）函数），二/（%）在工=A

处的导数的几何意义是什么？

o

（2）将上述意义用数学式表达出来。

（3）根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程?

(%1)、展示成果

例1如图3. 1-3,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/?(x) = -4.9x2+6.5x4-10 ,

根据图像,请描述、比较曲线/?(《)在"、匕、匕附近的变化情况.

解：我们用曲线在上、4、&处的切线，

刻画曲线/?(/)在上述三个时刻附近的变化情况.

(1)当r = r

时，曲线/，。)在"处的切线"的斜率，所以，

在/ = 4附近曲线比较平坦，几乎没有升降.

⑵当，=〈时，曲线的)在匕处的切线，的斜率, 所以，在，=

匕附近曲线下降，

即函数/?(x) = -4.9x2 + 6.5工+10在/ =匕附近单调递

减.

⑶当，=上时，曲线/?(/)在&处的切线匕的一

斜率___________________________________ 所以，在/=&附近曲线下降, 即函数/?(、)= -4.9x2 + 6.5x +10在t=t,附近单调递减.

从图3. 1-3可以看出，直线4的倾斜程度小于直线么的倾斜程度, 这说明1111线在乌附近比在附近下降的缓慢.

变式

根据图3. 1-3,请描述、比较曲线龙。)在上、。附近的变化情况

仑吉论：根据导数的几何意义，①当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线是的，即函数在这点附近是单调递;②当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线是的，即函数在这点附近是单调递;

例2 (1)若曲线y = f(x)在点(x0,/(x0))处的切线方程为2x+y + l = 0,

则*。)= __________________ (2)求曲线/(x) = F +1在点户(1,2)处的切线方程.

（五）反馈（达标训练）

1、已知函数y = fM 的图象如图所示 则广（叫）与广6）的大小关系是（）

A.f （x A ）＞ f （x B ）

D.不能确定 2、已知点P 和点。是曲线y = /—3上的两点，且点F 的横坐标是1, 点。的横坐标是2,求：

（1）割线P 。的斜率；（2）点P 处的切线方程

（六）、总结

课后作业

1、习题3.1 A 组 第5题

2、曲线），= -、在点（-1,1）处的切线方程是

3、曲绑⑴=2子在点A （2,8）处的切线斜率为（） X

A

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