大学毕业论文：关于函数最值问题的探讨

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数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之，得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

函数最值论文

分类号： G634 密级：无学士学位论文函数条件最值的求法The Method to Get the Most Value Function Conditions 系别专业：数学系数学与应用数学姓名学号：陈慧玲 1034121年级班级： 2010级 1班指导教师及职称：刘影教授2014年4月16日摘要函数思想是贯穿整个中学数学教学中的一条主线，有关函数的性质有很多,其中求函数的最值问题是求解函数类的题中经常遇到的问题之一，也是在中学考试时常见的重要题型.在求函数最值问题时，有条件约束的求函数最值问题也是一个难点.求函数最值问题时，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有很大的挑战性，因此再解决这类问题时，要掌握各数学分支的知识，合理运用这些数学技能，灵活选择最适合的解题方法.求函数最值问题时，主要通过求函数最值问题的一般方法和特殊方法，来寻求解函数最值问题的一些快捷、简便的方法.求函数的最值问题时，一般方法有判别式法、函数单调性法、均值不等式法、换元法，特殊方法有求函数的最值问题，主要有几何法、构造方差法、复数法和导数法.通过对求函数最值问题的几种方法的探讨，并且用实例进行讲解、分析，从而进行归纳，得出求函数最值问题快速简便的方法.关键词：函数；最大值；最小值；求法AbstractFunction thought is a common thread in throughout the middle school mathematics teaching, there are a lot about the nature of function, among them the most value problems is to solve the function of the function is one of the problems often encountered in the class topic, also is the important topic in common high school exams. In the function most value problem, conditional constraint function or the most value problems is also a difficulty.Asked the function most value problem, because of its strong technical, more difficult, method, flexible and very challenging, so to solve such problems, to grasp the knowledge of each branch of mathematics, reasonable use of these mathematical skills, flexible to choose the most suitable method to solve problems.Strives for the function most value problem, the main function or by the most value problems of a general method and special methods, to seek the solution function most value problem of some of the fast and easy way. The most value problem of the function, the general method with discriminant method, function, monotonicity method, average inequality method, substitution method, a special method is the most value problem of the function, there are mainly the geometric method, structure variance method, plural and derivative method.Function most value problem by using the several methods of exploration, and an example is used to explain and analyze, thus summarized, it is concluded that strives for the function most value problem quick and easy way.Key words:function；maximum；minimum；religion目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)第一章函数求最值的一般方法 (2)1.1判别式法 (2)1.2函数单调性法 (4)1.3均值不等式法 (5)1.4换元法 (7)第二章函数求最值的特殊方法 (9)2.1 几何法 (9)2.2 构造方差法 (10)2.3 复数法 (11)2.4 导数法 (12)结论 (14)参考文献 (15)引言在新课程中，高中数学知识非常丰富，层次性很强，和高等教育事业结合的更加紧密.想要较好的完成新课标中的教学任务，必须从整体上把握新的课程标准，运用合理的知识、思维将高中知识穿成串、连成片、织成网，才有利于学生更好的掌握数学知识.而求函数的最大值、最小值问题是一类特殊的数学问题，它在生产生活中，科学研究中有着广泛的运用，并且在学校的数学教学中也占有非常重要的地位.求函数的最值问题是中学考试的重点考查知识点之一，也是各类数学竞赛中常见的题型.在考试时它经常与不等式、一元二次方程、二次函数、三角函数以及某些几何知识相联系，以一些基础题，综合题的形式出现.由于其解法灵活，综合性较强，因此再解决这类问题时，要掌握各数学分支的知识，合理运用这些数学技能，灵活选择最适合的解题方法.函数最值问题的求法主要有：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法.第一章函数求最值的一般方法1.1判别式法函数是近年来高考的重点题型，在学习过程中我们会遇到各种类型函数的求最大值、最小值问题.其中有一种中学生必须掌握的方法就是判别式法，这种方法可以很快捷的解决函数最值问题，并且很常用.判别式法就是利用二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根的充要条件0≥∆来求出函数的最值.判别式方法多用于求形如f ex dx c bx ax y ++++=22 ()0,不同时为b a 的分式函数的最值.除了二次函数外，对于一些经常见到的含有根号的物理函数，也可以利用此方法求函数的最值.如果在一个问题中，诸量之间的关系可化为以某一个变量为元的二次方程的形式，便可运用判别式法来求其最值，但要注意函数的定义域对函数的制约作用.若函数()x f y =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程：()()()02=+-y c x y b x y a ，在()0=y a 时，由于y x ,为实数，则有()()()042≥-=∆y c y a y b ，由此可以求出y 所在的范围，确定函数的最值.例1.1 求函数()643184≤≤-+-=x x x y 的最值，以及函数取最值时x 的取值. 解：显然0>y ，等式两边平方得()()x x x y 318422142--+-=，移项再平方整理得 ()0484281764162422=+-+-+y y x y x ，由于()()0484286417642422≥+---=∆y y y ，从而得802≤≤y ，又因为0>y 并且()()()0318422142≥--=--x x x y 得2≥y ， 222≤≤y ，于是当6=x 时，2min =y ；当29=x 时，22max =y .例1.2 已知233=+q p ，其中R q p ∈,，则q p +的最大值为多少？解：设q p a +=，由233=+q p 得，()()222=-++pq q p q p ()()[]232=-++pq q p q p()()233=+-+q p pq q p⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴a a pq 2312 q p ,∴是方程023122=⎪⎭⎫⎝⎛-+-a a ax x 的两个实根.0234-22≥⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∴a a a整理化简，得最大值为2.83≤a ，故2≤a .即2=+q p例1.3 已知y x ,满足0622222=+--+-y x y xy x ，求y x w +=的最小值？解：因为y x w +=，由于0622222=+--+-y x y xy x 则得到()()06242=++--+y x xy y x所以()()46246222+-=++-+=w w y x y x xy 于是构造方程：046222=+-+-w w wa a则y x ,是它的两个实根，必有其判别式()0462422≥+-⨯-=∆w w w即062≥-w ，解得23≥w 故y x +的最小值为23例1.4 实数y x ,满足979722=+-y xy x ，设22y x s +=，求s 最大值的倒数和最小值的倒数之和.解：联立方程组 979722=+-y xy x ()1 22y x s += ()2()()921⨯-⨯s 得()()09799722=-+--y s sxy x s ()3当0=y 时，由()1式得792=x ，所以79=s 所以s 最大值的倒数和最小值的倒数之和为914当0≠y 时， ()3式可化为()0979972=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s y x s y x s 因为y x ,均为实数，所以0≥∆，即()()09749-22≥--s s得5182318≤≤s ，故s 最大值的倒数和最小值的倒数之和为914。

论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

二元连续函数在有界闭区域上的最值研究

楚雄师范学院本科生毕业论文题目：二元连续函数在有界闭区域上的最值研究系（院）：数学系专业：数学与应用数学姓名：学号： 20091021135 指导教师：职称：副教授论文字数： 5000字左右完成日期： 2013 年 5 月教务处抑制目录摘要： (II)关键词： (II)Abstract: (III)Keywords： (III)1、引言 (1)2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 (1)一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值 (1)（一）二元连续函数在圆域上的最值 (1)（二）二元连续函数在椭圆域上的最值 (4)二、二元连续函数在多边形区域上的最值 (6)三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值 (8)（一）二元连续函数在扇形区域上的最值 (8)（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值 (10)参考文献 (13)致谢 (14)二元连续函数在有界闭区域上的最值研究摘要：本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域，多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究.关键词：二元函数；最值；闭区域；有界；圆域；椭圆域；扇形域Continuous functions of two variables in the study region on theclosed boundary valueAbstract: This article mainly for bivariate continuous function form a closed curve of the second region, form a closed polygon area and a number of special graphics on the regional studies with the most value.Keywords：The binary function；Best value；Closed areas；Bounded；Circular domain；Elliptical domain；Fan-shaped domain1、引言我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广，但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同. 首先，二元函数),(y x f 的定义域是平面点集，或是平面点集的子集，故二元函数),(y x f 的定义域和自变量要比一元函数)(x f 要复杂的多；其次，二元函数的最值可能出现在边界曲线上，所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂. 二元函数的最值问题是高等数学的常见问题. 但现有的材料和相关论文却相对很少，针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究，在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的，所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一.2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值（一）二元连续函数在圆域上的最值如何求二元连续函数),(y x f Z =在圆域})()(|),{(222r b y a x y x D ≤-+-=上的最值,我们分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值.首先我们对二元函数),(y x f Z =求一阶偏导数,令 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-====},)()(|),{(,0),(,0),(222''''r b y a x y x y x f Z y x f Z y yx x 其中求出函数的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B ==,),(''''i i yy yy y x f Z C ==.当02<-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 是二元函数),(y x f 的极值点,所以它可能是最值点;当02=-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 不能判定是否是二元函数),(y x f 的极值点,它也可能是最值点;当02>-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 不是二元函数),(y x f 的极值点,也就不可能是最值点]1716[],10[.-再将满足条件的02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （1）求函数),(y x f 在圆域边界上的函数值,我们可用两种方法来求解.第一种方法是拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数],[],)()[(),(222r a r a x r b y a x y x f l +-∈--+--=λ,对函数求一阶偏导数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧=--+-==-+==-+=,0)()(,022),(,022),(222'''''r b y a x l b y y x f l a x y x f l y y x x λλλλλ求解方程组可得到圆域边界上的极值点),3,2,1)(,( =j y x M j j j ,代入到),(y x f Z =中求得圆域边界上的函数值).,3,2,1)(,( ==j y x f Z j j j （2）综合圆域内的函数值（1）和圆域边界上的函数值(2),通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程222)()(r b y a x =-+-变形为b a x r y +--±=22)(,把它代入到),(y x f Z =中,可以得到相应的一个一元函数],[),)(,(22r a r a x b a x r x f Z +-∈+--±=,通过求这个一元函数的极值点，从而可得到函数),(y x f Z =在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值 ),,3,2,1)()(,(22 =+--±=k b a x r x f Z k k k （3）再求],[),)(,(22r a r a x b a x r x f Z +-∈+--±=的端点值),(1b r a f Z k +-=,),(2b r a f Z k +=. （4）最后通过比较所得函数值（1）,（3）和（4）的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.例1 求二元函数62),(2222+-+=y x y x y x f 在有界闭区域}4|),{(22≤+=y x y x D 上的最值.解由⎪⎩⎪⎨⎧<+=-==-=},4|),{(,024),(,022),(222'2'y x y x y x y y x f xy x y x f y x 其中知二元函数),(y x f 的驻点为)1,2(1p ,)1,2(2-p ,)1-,2(3p ,)1,2(4--p ,)0,0(5p .再进一步求出2''22),(y y x f A xx -==,xy y x f B xy4),(''-==,2''24),(x y x f C yy -==.当驻点为)1,2(1p 时,0242>=-AC B ,所以驻点)1,2(1p 不是二元函数),(y x f 的极值点（即不是最值点）,故舍去.同理,当驻点为)1,2(2-p ,)1,2(3-p ,)1,2(4--p 时,都分别求得0242>=-AC B ,所以驻点)1,2(2-p ,)1,2(3-p ,)1,2(4--p 都不是二元函数),(y x f 的极值点（即不是最值点）,故全部舍去.当驻点为)0,0(5p 时,082<-=-AC B ,所以驻点)0,0(5p 是函数的极值点,代入),(y x f 可得函数值6)0,0(=f .对于二元函数),(y x f 在圆周曲线422=+y x 上的最值,我们分别用两种方法讨论.1) 拉格朗日乘数法.设]2,2[),4(62222222-∈-+++-+=x y x y x y x l λ,对它求一阶偏数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+-=,04,0224,022222'2'2'y x l y y x y l x xy x l y x λλλ 求解上述方程组可得到圆域边界上的极值点有)23,25(1M ,)23,25(2-M ,)23,25(3-M , )23,25(4--M ,将它们分别代入到二元函数),(y x f 中,可求得圆域边界上可能的最值有431)23,25(1=f ,431)23,25(2=-f ,431)23,25(3=-f ,431)23,25(4=--f .又由]2,2[-∈x 可知)2,0(5M ,)2,0(6-M ,)0,2(7M ,)0,2(8-M 也是可能的最值点,分别代入到),(y x f 中求得可能的最值有14)2,0(5=f ,14)2,0(6=-f ,10)0,2(7=f ,10)0,2(8=-f .综合上述圆域内和圆域边界上所得出的最值有6,431,10和14,通过比较最值的大小可得到二元连续函数),(y x f 在圆域上的最大值为14,最小值为6.2）转换法.将圆方程转化为]2,2[,422-∈-=x x y ,把它代入到二元函数),(y x f 中,得到一个一元函数145)(24+-=x x x f ,对它求一阶导数可得x x x f 104)(3'-=,令0104)(3'=-=x x x f ,求解方程可得一元函数)(x f 的极值点有01=x ,252=x 和253-=x ,将它们分别代入到一元函数)(x f 中,求得圆域边界上的函数值为14)0(=f ,431)25(=f ,431)25(=-f .再求得曲线端点处的函数值为10)2(=-f ,10)2(=f .综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有6,14,431和10,通过比较函数值的大小可以得到二元函数),(y x f 在圆域上的最大值为14,最小值为6.（二）二元连续函数在椭圆域上的最值求二元连续函数),(y x f Z =在椭圆域}1|),{(2222≤+=by a x y x D 上的最值,我们可以分为椭圆域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解.首先对二元连续函数),(y x f Z =求一阶偏导数,令⎪⎩⎪⎨⎧<+====}1|),({,0),(,0),(2222''''b y a x y x y x f Z y x f Z y y x x 其中求解方程组可得函数),(y x f 的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是),(y x f 的极值点,所以还要对驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xyy x f Z B == ),(''''i i yy yy y x f Z C ==.同在圆域内的判别方法一样,将02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （5）对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们同样可以用两种方法来进行讨论.方法一:拉格朗日乘数法.令],[),1(),(2222a a x by a x y x f l -∈-+-=λ,对它求一阶偏导数之后,令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=,01,02),(,02),(2222'2''2''b y a x l b y y x f l a x y x f l y y x x λλλ 解方程组可得到椭圆域边界上的极值点),3,2,1)(,( =j y x M j j j ,代入函数),(y x f Z =中,求得椭圆域边界上的函数值).,3,2,1)(,( ==j y x f Z j j j （6）综合上述得出椭圆域内的函数值（4）和椭圆域边界上的函数值（5）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数),(y x f 在椭圆域上的最大值和最小值.方法二:转换法.将椭圆方程],[,12222a a x by a x -∈=+,变形为2222a x b b y -±=,代入到二元函数),(y x f Z =中,可得到一个一元函数],[),,(2222a a x a xb b x f Z -∈-±=,对这个一元函数求极值（即二元函数),(y x f 在椭圆域边界上可能的函数值）得 ).,3,2,1)(,(2222 =-±=k a x b b x f Z k k k （7）再求出],[),,(2222a a x a xb b x f Z -∈-±=的端点值 )0,(1a f Z k =,)0,(2a f Z k = （8）综合上述椭圆域内的函数值（5）和椭圆域边界上的函数值（7）与（8）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值.例2 求二元函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆区域}149|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解由 ⎪⎩⎪⎨⎧<+=-===}1|),{(,02),(,02),(2222''b y a x y x y y x f x y x f y x 其中可得),(y x f 唯一的驻点)0,0(p ,再求出2),(''==y x f A xx ,0),(''==y x f B xy ,2),(''-==y x f C yy .因为当驻点为)0,0(p 时,042>=-AC B ,所以驻点)0,0(p 不是二元连续函数),(y x f 的极值点,也就不是最值点,故舍去.对于二元函数),(y x f 在椭圆域边界上的最值,我们可用两种方法来求解.1）拉格朗日乘数法.设]3,3[),149(22222-∈-+++-=x y x y x l λ,先对它求一阶偏导数,再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=,0149,0212,092222'''y x l y y l x x l y x λλλ 由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有)2,0(1M ,)2,0(2-M ,)0,3(3M ,)0,3(4-M .将它们分别代入到二元函数),(y x f 中,可求得相应的函数值2)2,0(1-=f ,2)2,0(2-=-f ,11)0,3(3=f , 11)0,3(4=-f .综合上述两种情况得出的函数值有2-和11,通过比较函数值的大小可得到函数),(y x f 在椭圆域边界上的最大值为11,最小值为2-.2）转换法.将椭圆方程转化为]3,3[,94422-∈-=x x y ,代入到函数),(y x f 中,可得到一个一元函数]3,3[,2913)(2-∈-==x x x f Z ,对它求一阶导数可得x x f Z 926)(''==,令0926)('==x x f ,求解方程可得一元函数)(x f 的极值点0=x ,代入到函数)(x f 中,得到最值2)0(-=f .再求得曲线的上下界函数值11)3(=-f ,11)3(=f .综合上述所得椭圆域内的函数值和椭圆域边界上的函数值2-和11,通过比较所得函数值的大小从而得到函数),(y x f 在椭圆域上的最大值为11,最小值为2-.二、二元连续函数在多边形区域上的最值二元连续函数),(y x f Z =在n 边形区域D 上的最值问题,随着边界的复杂程度加大,对它的求解难度也在加大,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论.对于n 边形区域内的最值,我们对函数),(y x f Z =求一阶偏导数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧∈====D y x y x f Z y x f Z y yx x int ),(,0),(,0),('''' 可求得函数在n 边形区域D 内的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是函数的极值点,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B ==,),(''''i i yy yy y x f Z C ==,将满足条件02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （9）n 边形区域是由n 条直线段围成的封闭区域,其边界有n 条直线段构成,朗格朗日乘数法就很难求解,所以我们用转换的思想方法求n 边形区域边界上的最值问题.将直线段方程),,3,2,1];,[(n i b a x l i i i =∈,分别代入到二元函数),(y x f Z =中,通过代换可得到相应的一元函数),,2,1];,[)((n i b a x x f i i i =∈,对它求一阶导数可得),,2,1];,[)(('n i b a x x f i i i =∈,令0)('=x f i ,可求得函数)(x f i 的极值点),,3,2,1(n i x i =,代入到函数),,2,1];,[)((n i b a x x f i i i =∈中,求得相应的极值（可能的最值）),,,3,2,1;,,3,2,1)((n j n i x f Z i i j === （10）再求出直线段),,3,2,1];,[(n i b a x l i i i =∈的端点值),,,3,2,1;,,3,2,1)((1n k n i a f Z i i k ===).,,3,2,1;,,3,2,1)((2n k n i b f Z i i k === （11）综合上述两种情况得出的函数值（9）,（10）和(11),通过比较所得函数值的大小可得到函数),(y x f 在n 边形区域上的最大值和最小值.例3 求二元函数2212),(y x y x f --=在三角形区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--≤≤≥+-≤≤≥-+=.21,033,20,042,10,022x y x x y x x y x D上的最值.解对函数),(y x f 求一阶偏导数之后,由⎪⎩⎪⎨⎧∈=-==-=，D y x y y x f x y x f yx int ),(,02),(,02),('' 可得到函数),(y x f 有唯一的驻点)0,0(p ,因为驻点D p int )0,0(∉,即不在三角形区域内,故舍去.三角形区域边界上的最值,我们采用代换法求最值,分别把直线段方]1,0[,022:1∈=-+x y x l ,]2,0[,042:2∈=+-x y x l ,]2,1[,033:3∈=+-x y x l .分别代入到二元函数),(y x f 中,可得到相应关于x 的一元函数分别为]1,0[,885)(21∈++-=x x x x f ,]2,0[,8245)(22∈+--=x x x x f ,]2,1[,31810)(23∈-+-=x x x x f .令0810)('1=+-=x x f ,可得)(1x f 的极值点]1,0[54∈=x ,代入)(1x f 中求得极值556)54(1=f ,再求得1l 的端点值8)0(1=f ,11)1(1=f .同理可得)(2x f 的极值点]2,0[54∉-=x ,故舍去,求得2l 的端点值8)0(2=f ,1)2(2-=f .)(3x f 的极值点]2,1[109∉=x ,故舍去,求得3l 的端点值11)1(3=f ,1)2(3-=f .综合上述情况得出的函数值有556,8,11和1-,通过比较所得函数值的大小可得到函数),(y x f 在三角形区域上的最大值为556,最小值为1-.三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值（一）二元连续函数在扇形区域上的最值如何求一个二元连续函数),(y x f Z =在扇形区域D 上的最值呢?这里我们分成两部分进行讨论,一是如何求它在扇形区域内的函数最值,二是如何求它在扇形边界上的函数最值.对于二元函数在扇形区域内的最值,我们先对),(y x f Z =求一阶偏导数,然后令⎪⎩⎪⎨⎧∈====,int ),(,0),(,0),(''''D y x y x f Z y x f Z y yx x 求出扇形区域D 内二元函数的驻点),,3,2,1)(,( =i y x p i i i 因为),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是函数的极值点,所以还要进一步对这些驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B == ,),(''''i i yy yy y x f Z C ==,将满足条件02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （12）扇形区域的边界不同于圆,椭圆和多边形区域的边界是有一条二次曲线围成的封闭区域,或是有几条直线段围成的多边形区域,它是由直线段和二次曲线段共同围成的封闭区域.拉格朗日数乘法同样就很难解决这样的问题,因此这里我们同样采用转换的思想方法来求扇形区域的边界最值.首先将曲线段方程],[,)()(:112221b a x r b y a x l ∈=-+-,变形为],[,)(1122b a x b a x r y ∈+--±=,把它代入),(y x f 中,可得到],[),)(,()(11221b a x b a x r x f x f ∈+--±=,再对)(1x f 求一阶导数可得))(,()(22''1b a x r x f x f +--±=,令0))(,()(22''1=+--±=b a x r x f x f ,求解方程可得)(1x f 的极值点为),3,2,1( =i x i ,再将属于区间],[11b a 的值代入到一元函数)(1x f 中,求得最值).,3,2,1)()(,(22 =---±=i b a x r x f Z i i i （13）再求出曲线段1l 的两个端点函数值))(,()(212111b a a r a f a f +--±=,))(,()(212111b a b r b f b f +--±=. （14）同理将直线段方程32,l l ,分别代入到函数),(y x f Z =中,可得函数)3,2];,[)((=∈=i b a x x f Z i i i , 求得它的最值为).,,3,2,1;3,2)((n j i x f Z i j === （15）再分别求出直线段)3,2(=i l i 的端点值)3,2;3,2)((1===k i a f Z i i k ,).3,2;3,2)((2===k i b f Z i i k （16）最后综合上述几种情况得出的函数最值（12）,（13),（14）,（15）和（16）,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在扇形区域上的最大值和最小值.例4 求二元函数222),(xyy x y x f -+=在扇形区域⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥+∈≤-∈≤+=],510,0[,03],510,0[,03],2,510[,422x y x x y x x y x D 上的最值。

研究函数的极值与最值问题

研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。

通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。

一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。

为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。

接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。

举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。

首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。

接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。

所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。

二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。

为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。

根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。

以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。

通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。

由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。

另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。

为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。

论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述

XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。

本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。

关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。

浅谈函数极值的求法及应用毕业论文

本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。

这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。

在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。

本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。

关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。

函数的最值范文

函数的最值范文函数的最值是指函数在定义域内能取到的最大值和最小值。

在数学中，最值是对函数的一种重要性质的描述，它帮助我们找到函数的极大值和极小值，从而有助于解决许多实际问题。

本文将详细介绍最值的概念以及如何找到函数的最值。

首先，我们来定义函数的最值。

设函数f(x)定义在区间[a,b]上，其中a和b可以是有限数、无穷数或负无穷数。

那么f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值可以用以下等式表示：最大值：f(c)≥f(x)∀x∈[a,b]最小值：f(c)≤f(x)∀x∈[a,b]其中c是[a,b]上的一个点，也可以是a或b。

如果在[a,b]内存在多个点使得函数取到最大值或最小值，我们称这些点为极值点。

有许多方法可以寻找函数的最值。

以下是一些常见的方法：1.导数法：如果函数在[a,b]内可导，那么函数最值一定出现在导数为零的点上。

我们可以通过计算函数的导数，然后找到导数为零的点，再将这些点带入原函数，即可得到最值。

2.边界法：如果函数在[a,b]的边界上取到最值，那么最值就是函数在边界上的值。

我们只需计算函数在a和b处的值，比较它们和区间内其它点的值，即可确定最值。

3.奇偶性法：如果函数是偶函数，那么它的最值一定出现在a和b之间一些点上；如果函数是奇函数，那么最值一定在a或b处取到。

4.高中所学的求最值方法：例如通过均值不等式法、二次函数的顶点、无理函数的最小正值等方法，也可以求得函数的最值。

值得注意的是，函数的最值并不一定总是存在。

例如，函数f(x)=x在实数域上没有最大值或最小值。

此外，我们需要明确函数定义域的范围，因为函数的最值与定义域有关。

函数的最值在实际问题中具有广泛的应用。

例如，在经济学中，最大化利润和最小化成本是企业经营的重要问题；在物理学中，我们希望找到最佳轨道以最小化能量消耗；在工程中，我们需要找到能够最大程度利用资源的最优解等。

通过寻找函数的最值，我们可以解决这些实际问题，优化各种系统和过程。

函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究毕业论文
摘要
本文主要研究函数极值与最值的理论，该理论是微积分领域重要的分支，涉及到极值问题的研究，它可以解决实际问题中存在的最优化问题，
以及运筹学中解决其中一种特定条件下的最优解问题。

本文将从定义函数
极值和最值开始讨论，分析它们之间的区别和关系，然后详细介绍求解极
值最大化和最小化的求解步骤和例子，通过计算分析表示函数最值和极值
的方法，最后以简单题举例计算极和最值的步骤，以验证前面所讲的理论。

关键词：函数极值；最值；求解；最大化；最小化
1.绪论
函数极值与最值是数学分支学科微积分的重要研究内容，它是一种极
限方法，主要探讨函数在其定义域内什么时候达到极值和最值，又有什么
样的求解方法，可以使函数达到极大和最小值。

函数极值与最值常用在经
济学，工程，计算机科学，生物，运筹学，机器学习，决策等方向上，能
够帮助研究者们对最优解的求解，极大的提高了实际中的计算能力。

2.函数极值与最值的定义
函数极值是指函数在其定义域内的极大或者极小值，即函数值达到最
大或者最小时的x值，这种x值对应的函数值称为极值。

浅谈函数最值问题的解法和应用

(3)历史研究回‎ 顾最值问题是‎最终优化方‎法在初等数‎学中的体现‎。近几年，最值问题是‎国内在加强学生‎对最值问题‎的解法研究‎，从不同的方‎面来研究
最‎值问题的解‎法和应用。其中在对待‎函数中的最‎ 值问题上，国内外已有‎许多研究成‎ 果。
例如：毛艳春【1】讲述了三角‎函数最值的‎ 几种解法；魏述强【2】利用构造向‎量的方法
点‎ ，在中学教学‎中函数最值‎问题也是一‎个重要知识‎ 点，也是历年高‎ 考的考点。在高考
中，它经常与三‎角函数、二次函数、一元二次方‎程、不等式及某‎些几何知识‎ 紧密联系，
并以一些基‎础题或难题‎的形式出现‎。由于其解法‎灵活，综合性强，能力要求高‎。故解决
这类‎问题，要掌握各数‎学分支的知‎识，能综合运用‎各种数学技‎能，灵活选择合‎理的解题
上都是在‎数学学科的‎理论上来探 ‎讨的数学中 ‎的最值问题 ‎的解法。但是对这些 ‎方法的
总结 ‎概括，还没有比较 ‎完善的系统 ‎，有待我们去 ‎解决这个问 ‎ 题。通过这些文 ‎献我
对数学 ‎中的最值问 ‎题的一些解 ‎法及技巧有 ‎了更进一层‎次的理解与‎运用。这些文献很‎
好的探讨了‎数学中最值‎问题的解决‎方法，也见证了所‎有数学工作‎者的研究成‎ 果。
方‎ 法。然而许多学‎生对该问题‎的了解不够‎深刻，应用它来处‎理问题也异‎常模糊，有的同
学甚‎至不知道如‎何着手，于是我们对‎函数最值问‎题解法的归‎纳、分析以及对‎一些方法的‎
改进进行探‎讨，挖掘其内在‎联系，让我们更清‎楚的认识它‎，达到熟悉掌‎握并且应用‎它来
帮我们‎ 解决问题。
(2)课题
浅谈函数最‎值问题的解‎ 法和应用
决函数‎最值时常见‎的问题，比如函数定‎义域、函数值域、参变数的约‎束条件、判别式的

大一高数函数的最值及应用

大一高数函数的最值及应用大一高数中，研究函数的最值是一个重要的课题。

在本文中，我将介绍函数的最值的概念、最值的计算与求解方法，以及函数最值在实际应用中的具体例子。

首先，我们来了解函数的最值是什么。

在数学中，函数的最值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值。

最大值是函数在定义域内的所有值中最大的那个值，最小值则是函数在定义域内的所有值中最小的那个值。

函数的最值是函数图像中的极值点，可以帮助我们研究函数的性质和特征。

函数的最大值和最小值可以通过计算和求解来得到。

对于一个可导函数，首先我们需要找到函数的驻点，就是函数导数为零的点。

然后，根据驻点和定义域的端点，比较这些点对应的函数值，最终得到函数的最值。

接下来，我们来看一个具体的例子，以说明如何计算和求解函数的最值。

例子1：求函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+4在区间[-2,3]上的最值。

首先，我们计算函数的驻点。

函数的导数为f'(x)=6x^2-6x-12，令其等于零，得到x^2-x-2=0。

该二次方程可以因式分解为(x-2)(x+1)=0，解得x=2和x=-1。

所以，函数的驻点为x=2和x=-1。

然后，我们比较定义域端点x=-2和x=3以及驻点x=2和x=-1对应的函数值，最终得到函数的最值。

f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-12(-2)+4=34f(-1)=2(-1)^3-3(-1)^2-12(-1)+4=19f(2)=2(2)^3-3(2)^2-12(2)+4=-20f(3)=2(3)^3-3(3)^2-12(3)+4=13所以，函数f(x)在区间[-2,3]上的最大值为34，最小值为-20。

上述例子是一个简单的例子，但它演示了如何从求解函数的驻点出发，通过比较函数值来得到最值。

接下来，我们来看一些函数最值在实际应用中的具体例子，以说明最值的应用。

例子2：在围栏建设中，为了围住一块矩形的土地，需要使用有限长度的围栏。

假设围栏的一边与河边平行，沿河边围地的一边使用围栏，而其他三条边使用河作为围栏。

函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法

函数最值论文：浅析函数最值的七种初等求法函数最值的初等求法在中学数学中既是重点也是难点，其综合性较强，对逻辑思维能力和变形转换能力的要求也较高.若能让学生理解掌握各种求法，则对其分析和解决问题能力的提升大有裨益.现根据本人多年的教学实践，对函数最值的常用初等求法简叙于下.一、配方法配方法在求函数值及值域中应用较为广泛，且比较容易掌握，是求函数最值的基本方法.操作要点是：把函数表达式的一部分或整体配成二次函数y=a(x+m)2+n(a≠0)的形式，再利用二次函数的性质求出最值.【例1】求函数y=x2-2x-5-2x+1x2的最值.解：函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).y=(x2+1x2)-2(x+1x)-5=(x+1x)2-2(x+1x)-7=(x+1x-1)2-8.∵当x＞0时，x+1x≥2；当x＜0时，x+1x=-(-x-1x)≤-2.∴当x+1x=2，即x=1时，y min =-7，此函数无最大值.评注：利用配方法求最值时，一定要注意考查变量的取值范围，此题若不注意就会得出错误答案y min =-8.二、基本不等式法利用基本不等式a 1+a 2≥2a 1a 2(a 1、a 2∈r+)求函数最值时要同时满足三个条件：一正、二定、三相等，即（1）a 1、a 2∈r+；（2）a 1+a 2（或a1a 2）为定值：（3）a 1=a 2能成立..上面的基本不等式定理可推广到n(n＞1,n∈n)个正数的情形.【例2】已知a＞b＞0，求a-4+1(a-b)b的最小值.解：∵a＞b＞0,∴a-b＞0，∴a-4+1(a-b)b=(a-b)+b+1(a-b)b-4≥33(a-b)b1(a-b)b-4=-1.∴当且仅当a-b=b=1(a-b)b，即a=2，b=1时，a-4+1(a-b)b 的最小值是-1.【例3】已知｜x｜＜3 ，求y=(x-3)x+5的最小值.解：∵｜x｜＜3,∴0＜3-x＜6.∴y=-(3-x)x+5=-(3-x)2(x+5)=-22(3-x)2(2x+10)=-22(3-x)(3-x)(2x+10)≥-22［(3-x)+(3-x)+(2x+10)3］3=-3296.∴当且仅当3-x=2x+10，即x=-73时，y min =-3296.评注：在变形过程中，配凑技巧是解题的关键，要紧紧围绕基本不等式取得最值的三个条件进行配凑.缺一不可. 如例2中，把a变成(a-b)+b是为了得到常数3. 例3中把x-3变形成-(3-x)是为了使3-x＞0，而把x+5变形成2x+102是为了使(3-x)(3-x)能与2x+10凑成常数.在配凑过程中，不要忽略取等号的条件，否则容易出错.例如这样的变形：x4+5x2=x4+2x2+3x2≥336就没有取等号的条件.三、判别式法此法适合能把函数关系式y=f(x)转化为关于x的二次方程φ 1(y)x2+φ 2(y)x+φ 3(y)=0（其中φ 1(y)≠0）的类型，因为x的值是实数，即该方程有实根，那么由判别式δ≥0，便可能求出函数y的最值.【例4】求函数y=2x-4x2-x+2的最大值和最小值.解：函数定义域为r，由题设可得yx2-(y+2)x+2(y+2)=0.∵x∈r,∴δ=(y+2)2-8y(y+2)≥0.∴-2≤y≤27,∴y max =27,y min =-2.评注：有时函数y=f(x)的定义域不是r，那么δ≥0只是关于x的二次方程有实数解的必要条件，这时求出的y值不一定是函数y=f(x)的最值，需要进一步检验. 若求出的y 值在函数值域内，则此y值才是最值；或者求出与y值对应的x值（在方程中求），求出的x值至少有一个在定义域内，则此y值才是最值.四、函数单调性法如果能够判断函数在某区间［a,b］上是单调增函数，则由单调函数的性质易求得区间［a,b］上函数的最值.【例5】设f(x)是奇函数，对任意x∈r，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x＞0时，f(x)＜0,且f(1)=-2,求f(x)在区间［-3,3］上的最值.分析：审题后，猜测函数f(x)可能具有单调性.解：设-3≤x 1≤x 2≤3,则x 2-x 1＞0，∴f(x 2-x 1)＜0.∵f(x)是奇函数，且恒有f(x+y)＝f(x)+f(y)，∴f(x 1)-f(x 2)=f(x 1)+f(-x 2)=f(x 1-x 2)=-f(x 2-x 1）＞0.∴f(x)在［-3,3］上是减函数.在区间［-3，3］上，f（x） max =f(-3)=-f(3)=- ［f(1)+ f(1)+f(1)］=6.f(x) min =f(3)=-f(-3)=-6.五、数形结合法数形结合法是一种重要的解题方法，其核心就是利用函数的几何意义把函数的最值问题转化为几何问题来解决.此法直观性较强，易于理解，有一定的灵活性，且常有化难为易的神奇效果.【例6】已知3x-4y-8=0，求u=(x-1)2+y2的最小值.分析：(x-1)2+y2可看作是原点a(1,0)与点 p(x,y)的距离，即u=｜ap｜，而p点是直线3x-4y-8=0上的动点，所以｜ap｜的最小值就是点a到直线3x-4y-8=0的距离，也就是u的最小值.【例7】如果实数x、y满足方程y=1-x2，求u=x-y的最大值和最小值.分析：如右图，方程y=1-x2的曲线是上半圆，而-u就是平行直线系y=x-u的纵截距，x、y满足方程就是直线与半圆有公共点，这样由几何意义知-1≤-u≤2,∴-2≤u≤1.∴u max =1，u min =-2.评注：由数形结合法求最值时，两点间的距离、点到直线的距离、直线的斜率、截距等是常用的几何意义.六、消元法在求多元函数最值的条件中，若能由条件中的多元关系解出某些变量，则可考虑通过代入消元法，把多元函数问题转化为一元函数来解决，以达到简化的目的.【例8】已知x2+2y2=3x，求u=2x2+y2-x的最大值.分析：由已知得y2=12(-x2+3x).①∵-x2+3x≥0,∴0≤x≤3.将①代入u=2x2+y2-x化为一元函数，再用配方法即可求解.评析：应注意通过条件找到所保留的元的取值范围.七、换元法换元变换是一种重要的数学变换，在数学中有着广泛的应用. 正确而灵活地运用换元法可使问题化繁为简，化难为易.【例9】求函数sinx-1sinx+2的最值.解: ∵y=1-3sinx+2,f(t)=1-3t（其中t=sinx+2)，t∈［1,3］，而f(t)在［1，3］上是增函数，又f(1)=-2,f(3)=0，∴y min =-2,y max =0.评注：换元的方法多、灵活性强，换元的目的是化难为易、化陌生为熟悉.在变换过程中，既要注意等价，又要注意取值范围.三角代换是常用的换元方法，如例7就可用三角换元法（令x=cosθ(0≤θ≤π），则y=sinθ,代入函数式即可求出最值.）函数最大值和最小值求法较多，方法灵活多变，除以上几种常见的初等求法外，导数法亦是目前高中数学常用的方法，这里不再赘述.对一个具体题目往往有多种解法，而优选解法是能否顺利解答的关键.在平时应多练、多思、多总结归纳，力求对这些重要方法融会贯通、灵活选用.要强调的是无论用哪种方法解题都要特别留意函数的定义域.参考文献［1］黄兆全. 最值问题中的几类典型错误例析［j］. 中学生理科应试， 1996（1）.［2］刘桦. 谈运用数形结合法解题的误区［j］. 中学数学（苏州），1995（9）.［3］陈国群. 均值不等式解题教学中逻辑错误的纠正［j］. 中学数学教学参考，2010（11）.。

函数最值问题的解法与探讨

学号 2010050105022密级兰州城市学院本科毕业论文函数最值问题的解法与探讨学院名称：数学学院专业名称：数学与应用数学学生姓名：马家瑞指导教师：杨子光二○一四年五月BACHELOR'S DEGREE THESIS OF LANZHOU CITY UNIVERSITYAnd discusses the solution tothe function most value problemCollege : School of MathematicsSubject : Mathematics and Applied MathematicsName : Ma JiaruiDirected by : Yang ZiguangMay 2014郑重声明本人呈交的学位论文，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，所有数据、图片资料真实可靠。

尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含他人享有著作权的内容。

对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确的方式标明。

本学位论文的知识产权归属于培养单位。

本人签名：日期：目录摘要 (I)Abstract (II)第1章引言 (1)第2章求函数最值的几种解法与探讨 (1)2.1 判别式法 (2)2.2 配方法 (2)2.3 均值不等式法 (3)2.4 换元法 (4)2.5 三角函数法 (6)2.6 单调性法 (7)2.7 导数法 (8)2.8 数形结合法 (9)第3章求解函数最值时应注意的一些问题 (10)3.1 注意定义域 (10)3.2 注意值域 (11)3.3 注意参变数的约束条件 (12)3.4 注意对判别式的运用 (13)3.5 注意对均值不等式的运用 (14)第4章函数最值在实际问题中的应用 (14)总结 (18)参考文献 (19)致谢 (20)摘要函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。

它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。

函数极值的求解毕业论文

函数极值的求解毕业论文函数极值的求解极值问题在数学中是一个重要的研究方向，也是应用最为广泛的数学概念之一。

在数学建模、优化问题等领域中，极值问题的求解具有重要的实际意义。

本文将介绍函数极大值和极小值的定义及求解方法，并应用实例进行论述。

一、函数极值的定义1. 极大值和极小值在数学中，给定一个定义在某个区间上的函数f(x)，如果在该区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≤f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极大值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极大值。

同样地，如果在给定的区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≥f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极小值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极小值。

二、函数极值的求解方法求解函数极值的方法主要有导数法和二阶导数判别法两种方法。

1. 导数法导数法通过求取函数的导数，来寻找极值点。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数，并令一阶导数等于零。

得到一个或多个代数方程。

（2）解出这些代数方程，得到所有的极值点。

（3）代入原函数，求出这些极值点对应的函数值，并比较它们的大小，得到函数的极大值和极小值。

2. 二阶导数判别法二阶导数判别法通过二阶导数的值来判断函数的极值情况。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数和二阶导数。

（2）令一阶导数等于零，解出所有的极值点。

（3）将这些极值点代入二阶导数的表达式中，判断二阶导数的正负情况：- 若二阶导数大于零，则所代表的极值点为函数的极小值点。

- 若二阶导数小于零，则所代表的极值点为函数的极大值点。

- 若二阶导数等于零，则无法判断该点是否为极值点，需要进一步分析。

三、函数极值求解的实例分析下面以一个简单的实例来说明函数极值的求解过程。

例：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的极值点和极值。

解：首先求函数的一阶导数：f'(x) = 2x - 2令导数等于零，得到极值点的横坐标x：2x - 2 = 0x = 1将x = 1代入原函数f(x)中，得到极值点的纵坐标：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0所以函数f(x)在x = 1处存在一个极小值点，极小值为0。

本科生毕业论文_函数最值问题的求解方法

各专业全套优秀毕业设计图纸高等教育自学考试本科生毕业论文函数最值问题的求解方法专业：数学教育准考证号： 0701********姓名：指导教师：完成时间： 2013年11月25日函数最值问题的求解方法摘要函数最值问题是数学领域中的重要研究内容。

它不仅仅只在教学中解决一些数学问题，而且经常运用于解决实际问题。

在工农业生产、经济管理和经济核算中，常常遇到一些解决在满足一定条件下怎样使产出最多、效益最高但投入最小等之类的问题。

生活中也时常会见到求用料最省、效率最高、利润最大等问题。

而这些生活和经济问题一般都可以转化为数学中的函数类问题来分析研究，进而转化为求函数最大（小）值的问题，即为函数的最值探讨，这尤其对研究实际问题的人们来说尤为重要。

而函数最值问题的解法包括一元函数和多元函数，同时也有初等与高等解法之分。

本文主要通过从初等解法方面对一元函数最值问题进行研究，探讨各种不同的求解方法，阐述函数最值问题研究的重要性，得到求解函数最值的几种方法及求解时应注意的一些问题.关键词函数最值高等解法初等解法微分目录1 引言................................................................................................................................................................ - 4 -2 求函数最值的几种解法探讨........................................................................................................................ - 5 -2.1判别式法 (5)2.2配方法 (6)2.3均值不等式法 (6)2.4换元法 (7)2.5三角函数法 (8)2.6单调性法 (9)2.7导数法 (9)3 求解函数最值时应注意的一些问题.......................................................................................................... - 10 -3.1注意定义域 (10)3.2注意值域 (11)3.3注意参变数的约束条件 (12)3.4注意对判别式的运用 (13)3.5注意均值不等式的运用 (13)4 函数最值在实际问题中的应用.................................................................................................................. - 15 -4 结论.............................................................................................................................................................. - 19 -致谢.................................................................................................................................................................. - 20 -参考文献.......................................................................................................................................................... - 21 -1 引言函数是中学数学的主体内容，贯穿于整个中学阶段，而函数最值问题是函数的重要组成部分．处理函数最值的过程就是实现未知向已知、新问题向旧问题以及复杂问题向简单问题的转化，虽然解决问题的具体过程不尽相同，但就其思维方式来讲，通常是将待解决的问题通过一次又一次的转化，直至划归为一类很容易解决或已解决的问题，从而获得原问题的解答．函数最值问题是一类特殊的数学问题，它在生产、科学研究和日常生活中有着广泛的应用，而且在中学数学教学中也占据着比较重要的位置，是近几年数学竞赛中的常见题型也是历年高考重点考查的知识点之一．由于其综合性强，解法灵活，故而解决这类问题，要掌握各数学分支知识，并能综合运用各种所学知识技巧，灵活选择合适的解题方法．函数最值的定义：一般地，函数的最值分为最小值和最大值:设函数()y f x =在0x 处的函数值是()0f x如果对于定义域内任意x ，不等式()()0f x f x ≥都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作()min 0y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式()()0f x f x ≤都成立，那么()0f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作()max 0y f x =.函数的最值一般有两种特殊情况：（1）如果函数0()f x 在[,]a b 上单调增加(减少)，则()f a 是()f x 在[,]a b 上的最小值(最大值)，()f b 是()f x 在[,]a b 上的最大值(最小值).（2）如果连续函数0()f x 在区间(,)a b 内有且仅有一个极大(小)值，而没有极小(大)值，则此极大(小)值就是函数在区间[,]a b 上的最大(小)值.2 求函数最值的几种解法探讨2.1 判别式法对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0∆≥来求出()f x 的最值.例. 求函数2(0)y ax bx c a =++≠的最值.解：因为)0(2≠++=a c bx ax y ，所以2()0ax bx c y ，而R x ∈，所以有0440)(422≥+-⇒≥--=∆ay ac b y c a b244b ac ay -≥⇒ ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤<-≥>⇒a b ac y a a b ac y a 4404402max 2min 时，时，所以，当0a 时，ab ac y 442min -≥；当0a 时，a b ac y 442max-≤. 应注意：用判别式法求函数的最值时，0≥∆是表示0>∆或0=∆，并非要此二者同时成立.因此，在利用0≥∆求出的y 的取值范围：b y a ≤≤或b y ≥且)(b a a y <≤中，不能随意断定b y a y ==max min ,或a y b y ==max min ,，还必须求出与a 、b 对应的x 的值，并将其代入原来的函数中进行验算，只有当x 、y 的对应值存在,并满足0≥∆所求得的不等式时，才能确定为原来函数的最值.2.2 配方法如果给定函数是二次函数或变形后可转化为二次函数的问题，一般可用此法求解. 例. 求x x x f 432)(2⨯-=+在区间[1,0]-内的最值.解：配方得34)322(3432)(22+--=⨯-=+x x x x f , 因为[1,0]x ∈-,所以1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =，()f x 取得最大值43；当21x =即0x =时()f x 取得最小值1.2.3 均值不等式法设12n a a a ，，…，是n 个正数，则有n n n a a a n a a a 2121≥+++，其中等号成立的条件是12===n a a a ….运用均值不等式求最值，必须具备三个必要条件，即一正二定三等，缺一不可.“正”是指各项均为正数，这是前提条件；“定”是指各项的和或积为定值；“等”是等号成立的条件.例. 设πθ<<0，求)2cos 1(2sin θθ+的最大值. 解：由πθ<<0，有02sin >θ.又因为)2cos 1(2sin θθ+=2cos 2sin 22θθ =2cos 2cos 2sin 2222θθθ=9其中当2cos 2sin 222θθ=时，上式等号成立，即2cot 2arc =θ时成立，故)cos 1(2sin θθ+的最大值为9. 2.4 换元法用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看做一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解.例. 求函数2=2+4y x x 的最值.解：因为22042≤≤-⇒≥-x x ，即给定函数的定义域为：[2,2].于是令 θsin 2=x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2,2ππθ. 则给定函数可变形为: 2)sin 2(42sin 2θθ-+-=y=2cos 2sin 2-+θθ=2[)2sin(sin θπθ-+]-2=2)4cos(4sin 22-+-⨯θππ=2)4cos(22--θπ2)]4(2sin[22---=θππ2)4sin(22-+=θπ而.]2,4[434422ππππθππθπ-⊃≤+≤-⇒≤≤-. 又因)4sin(θπ+在]2,4[ππ-是增函数，所以其最值在端点处取得. 2.5 三角函数法如果给定函数，经变形后能化成：B x A y ++=)sin(θ或B x A y ++=)cos(θ（A 、B 是常数）的形式，则由1)sin(≤+θx 或1)cos(≤+θx 可知：当θππ-+=22k x 或θπ-=k x 2时，max y A B （设0A ）当θππ--=22k x 或θπ-+=)12(k x 时，max y A B （设0A ）例. 求函数sin cos sin cos y x x x x 的最大值.解：因为sin cos sin cos y x x x x )2sin(sin 2sin 21x x x -++=π)4cos(4sin 22sin 21ππ-+=x x =)4cos(22sin 21π-+x x当4222ππππ+=⇒+=k x k x 时，max (sin 2)1x ；当)(,4Z k k x ∈+=ππ时，1cos )44cos()4cos(±==-+=-πππππk k x 即1)]4[cos(max =-πx ，所以，当4ππ+=k x 时，max 122y .2.6 单调性法当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值．在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况．若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值．若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值[5]．例. 设函数()f x 是奇函数，对任意x 、y R ∈均有关系()()()f x y f x f y +=+，若x 0>时，()0f x <且(1)2f =-．求()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.解：先确定()f x 在[]3,3-上的单调性，设任意1x 、[]23,3x ∈-且12x x <，则210x x ->.所以有212121()()()()()0f x f x f x f x f x x -=+-=-<即21()()f x f x <.所以，()f x 在[]3,3-上是减函数.因此，()f x 的最大值是(3)(3)(21)f f f -=-=-+=[](1)(1)(1)6f f f -++=; ()f x 的最小值是(3)3(1)6f f ==-.2.7 导数法设函数()f x 在[]a b ，上连续，在()a b ，上可导，则()f x 在[]a b ，上的最大值和最小值为()f x 在()a b ，内的各极值与()f a ，()f b 中的最大值与最小值．要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通常都用该方法．导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视．例. 求函数32()362f x x x x ，]1,1[-∈x 的最大值和最小值．解：求导得663)(2'+-=x x x f .令0)('=x f ，方程无解.因为03)1(3663)(22'>+-=+-=x x x x f ，所以函数()f x 在]1,1[-∈x 上时增函数. 故当1x 时，min ()(1)12f x f ;当1x 时，max ()(1)2f x f .综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活.没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法，如：消元法、数形结合法、复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等.因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间．3 求解函数最值时应注意的一些问题3.1 注意定义域遇到求最值问题的时候，我们切记在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况，在最初解题之时，应当先把函数的定义域确定；在解题过程中，当函数变形时注意定义域是否发生改变，如果又引入新变量也要确定这个变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是否包含在定义域的范围内．例. 求函数12xyx 的最值. 错解：将1xy两边同时平方并去分母得2222(41)410y x y x y . 因为R x ∈，所以0)14(4)14(2222≥---=∆y y y ，化简得142≤y .所以2121≤≤-y ，故min 12y ，max 12y . 分析：这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了.正解：将1xy两边平方并去分母，得2222(41)410y x y x y . 因为R x ∈，所以0)14(4)14(2222≥---=∆y y y ，化简得142≤y .所以2121≤≤-y ，注意到原函数的定义域是1≤x ，则有01≥-x ，20x ，于是必有0≤y .所以021≤≤-y ，故min 12y ，max 0y .3.2 注意值域求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化.例. 求2221x yx 的最值. 错解：原式变形为2(1)(2)0y x y ，因为R x ∈，所以0)2)(1(4≥+--=∆y y .解之得12≤≤-y ，所以min 2y ，max 1y .分析：把1y 代入2221x y x 得12211x x .而这个方程无解，故1y 不在函数的值域内.事实上，由22223111x yx x 知]1,2[-∈y ，故y 只有最小值-2无最大值.由此可以看出用“判别式法”求最值，有可能扩大y 的取值范围.3.3 注意参变数的约束条件有一类求最值的问题，在题设函数里含有参变数，在计算过程中，当问题转化为参数的二次函数时，如不考虑参变数的约束条件，易误人用一般情况下求函数最值的方法代替求函数在特定区间最值的歧途．例. 设1≥x ，21≥y ，24x y ，求22x y 的最值.错解：由题设知31≤≤x ，2321≤≤y ，对其分别平方得：91≤≤x ，49412≤≤y ，则4454522≤+≤y x . 所以 22min 5()4x y ，22max45()4x y . 分析：根据约束条件1≥x ，21≥y ，要225()4x y ，只有1x 且12y 而它们又不满足24x y ，因此54不是22x y 的最小值，类似可推知454也不是22x y 的最大值，错误处在上面不等式的变形不是同解变形，为了避免这类错误，一方面要尽量减少不等式之间的四则运算，另一方面，对不等式进行四则运算时，要注意等号成立的条件.正确的解法是：通过22xy把原式转换为一个一元二次函数即25()244f x x x （]3,1[∈x ），从而转化为求函数在区间上的最值问题.3.4 注意对判别式的运用用判别式求函数的最值，由于各种因素、各种条件的互相约束一不留神就会出现错误，所以用这种方法解题时应注意把握好约束条件.例. 求函数21sin 22sin sin xyx x的最值. 错解：原式可化为2sin (21)sin 210y x y x y ，因为R x ∈sin ，所以0)12(4)]12([2≥----=∆y y y 即0)12)(12(≤-+y y ,解得2121≤≤-y . 则min12y ,max 12y . 分析：本题错在0≥∆只保证2sin (21)sin 210y x y x y 有实根，而不能保证其根属于[1,1]，当12y时，方程变为2sin 4sin 40x x ，sin 2x 不属于[1,1]，因此不能立即就断定函数最小值认为是12，最大值是12，应对判别式取等号时的y 值进行校验.事实上，因为]1,1[sin -∈x ，可知1sin 0x -≥，222sin sin 0x x ，即0y ≥.所以可知原函数最小值min0y .最大值由前面分析可知即为12.3.5 注意均值不等式的运用○1注意当且仅当这些正数相等时，它们的积(和)才能取大(小)值. 例. 求函数23(0)yx x x的最小值. 错解：因为0x ，所以20x ，10x，20x，于是3222213213xx x x x x x x y ••≥++=+= 332所以y 的最小值是分析：上面解法错误，是没有注意到当且仅当212x x x时，函数y 才能取得最小值，但1x 显然不等于2x，所以y 不能取○2对均值不等式中等号成立的条件生搬硬套例. 已知+∈R z y x ,,，且1231x y z，求xyz 的最小值，并求xyz 的最小值时的x ，y ，z 的值.错解：因为+∈R z y x ,,，所以+∈++R z y x 321，06332133211333>=••≥++=xyz z y x z y x ，从而16333≥xyz ，3363≥xyz ，162≥xyz ，当且仅当xy z 时，上式取等号，又1231x y z，所以当且仅当6x yz时，xyz 有最小值162.分析：上面解法错误，是对均值不等式中等号成立的条件没有理解而直接套用的结果，事实上，当6x yz时，36216xyz不等于162.正确的解法是：在162≥xyz ，即33213321zy x z y x ••≥++中，等号当且仅当12313x y z，即3x ，6y ，9z时成立，所以当3x ，6y ，9z时，xyz 有最小值162.○3连续进行几次不等式变形，并且各次不等式中的等号不能同时成立而造成的错误例. 已知+∈R y x ,，且141xy，求x y 的最小值. 错解：因为+∈R y x ,，所以24121410⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤•<y x y x ，则16≥xy ，所以81622=≥≥+xy y x ，因此x y 的最小值是8.分析：上面解法中，连续进行了两次不等变形：xy y x 2≥+与2412141⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤•y x y x ，且这两次不等式中的等号不能同时成立，第一个不等式当且仅当xy 时等号成立，第二个是当且仅当1412x y 即2x ，8y 时等号成立，因此x y 不可能等于8.事实上，题中的y 依然可以由x 替换，从而将x y 转化成关于x 的函数：23()1x xf x x (1)(4)41x x x441x x4141x x .由题意知1x ，所以运用均值不等式即可求得该函数最小值, 即当411x x 时取最小值，求得3x ，6y ，符合题意.所以最小值为9.4 函数最值在实际问题中的应用例1. 某工厂要建造一个长方形无盖储水池，其容积为48003m ，深为33m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元,怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？分析：从题中分析可以得出，水池高度已知，进而问题转化为求池壁的长和宽的问题，从而确定取什么值使总造价最低.即涉及到两个变量，因为池壁的长和宽不可能为负数，由此我们可以想到利用均值不等式来求解.解：设底面的长为x m ,宽为y m ，水池的总造价为z 元.根据题意有：)(720240000)3232(12034800150y x y x z ++=⨯+⨯+⨯=，由容积为48003m ，可得34800xy ，因此，1600xy .由均值不等式与不等式的性质，可得：xy y x 2720240000)(720240000⨯+≥++即 160002720240000⨯+≥z 297600.当x y ，即40x y 时，等号成立.所以，将水池的地面设计成边长为40m 的正方体时总造价最低，最低总造价是297600元.例2. 某工厂2003年的纯收入为500万元，因设备老化等原因，工厂的生产能力将逐年下降.如果不对技术进行改造,从今年起预计每年将比上一年减少纯收入20万元, 所以今年年初该工厂为了进行技术改造，一次性投入资金600万元，预计在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年（第一年从今年算起）的利润为1500(1)2n 万元（n 为正整数）.设从第一年起的前n 年，如果该工厂不进行技术改造的累计纯收入为n A 万元，进行技术改造后的累计纯收入为n B 万元（须扣除技术改造资金），则从今年起该工厂至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯收入超过不进行技术改造的累计纯收入？分析：首先根据题意写出n A 、n B 的表达式，可知它们都为数学上一个简单的数列求和问题.继而对它们作差就建立起一个函数关系式，即转化为数学上的函数最值问题,再利用合适的方法进行求解即可.解：依题设有(50020)(50040)+(50020)nA n …249010n n2111500[(1)(1)(1)]600222nn B (500)5001002nn. 则2500(500100)(49010)2n nnB A nn n 250010101002nn n5010[(1)]10]2nn n . 因为函数50(1)102xy x x 在),0(+∞上为增函数，所以当31≤≤n 时，0108501210250)1(<--≤--+nn n ；当4≥n 时，01016502010250)1(>--≥--+nn n .所以，仅当4≥n 时，n n B A .即至少要经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.例3. 某公司为资助尚有26.8万元无息贷款尚未偿还的化妆品商店，借出20万元将该店铺改造成经营状况良好的某体育用品专卖店，并约好用该店赚取的利润逐步对债务进行偿还(全部债务均不算利息)．已知该体育用品的进价为40元/件；该店月销量q (百件)与售价p (元/件)之间的关系可用右图(图一)的一条折线表示；员工的月工资为600元/人，该店还需交纳的其他费用为13200元/月．(1)若售价p 为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的员工有多少；(2)若该店只招聘了40名员工，则该店最快可在几年后把所有债务还清，此时每件体育用品的价格定为多少元？分析：由题中给出的图可以看出，我们可以把它看做是在闭区间上的一个分段函数问题，从而转化为数学问题，利用函数图象所表示的几何意义，借助于几何图形的直观性来求分段函数最值问题．解：(1)设该店的月利润为S 元，有职工m 名.则132********)40(--⨯-=m p q S ．又由图可知：⎩⎨⎧<<+-≤≤+-=)8158(82)5840(1402p p p p q所以， ⎩⎨⎧<<--⨯-+-≤≤--⨯-+-=)8158(132********)40)(80()5840(13200600100)40)(1402(p m p p p m p p S由此知，当 52p 时，0S，即013200600100)40)(1402(=--⨯-+-m p p ，解得50m，即此时该店有50名职工.(2)若该店只安排40名职工，则月利润⎩⎨⎧<<-⨯-+-≤≤-⨯-+-=)8158(37200100)40)(80()5840(37200100)40)(1402(p p p p p p S 当5840≤≤p 时，求得55p 时，S 取最大值7800元；当8158≤<p 时，求得61p 时，S 取最大值6900元．综上，当55p 时，S 有最大值7800元．设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有0200000268000780012≥--⨯n ，解得5≥n ．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元．由此我们可以总结出实际问题利用函数求最值的一般步骤：(1)分析实际问题中各量之间的关系，正确选择自变量和因变量，找准等量关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步；(2)确定函数定义域，根据函数关系式，选择合适的求解方法； (3)求出满足条件的定义域范围，结合实际，确定最值或最值点.4 结论本文简单的介绍了几种有关求函数最值问题的解法，以及在解题时需要注意的一些问题，告诉我们在解题时要学会分析思考，选择合适的解法，尽量用简便的方法快速地解答出问题，通过几个在实例问题中的运用分析，学好函数最值的求解方法是至关重要的,通过它可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题,即要“学以致用”.当然对于函数最值求解的方法还有很多，例如，反函数法、二次函数法等．本文中只是对求最值问题的方法作部分的介绍与探讨，具体的求解方法还有待我们更深层次去的发现、研究和总结．由于函数最值问题的求解方法的灵活多样性，所以不管是我们在对待最值问题的教学内容，还是我们在求解实际问题的时候，都应该把思想方法的掌握与渗透作为重点，把建构和发展数学思维作为一项重要任务.致谢行文至此，我的这篇论文也快完了，回顾这几年来的学习经历，有辛酸，也有欢乐，面对现在的自己，我感到无限欣慰.在此论文撰写过程中，要特别感谢我的导师指导与督促，同时感谢她的谅解与包容.求学的历程是艰苦的，但又是快乐的，感谢这几年来传授我专业知识的各位老师，是你们的悉心教导使我有了良好的专业课知识，这也是论文得以完成的基础. 同时感谢我身边的同学，感谢你们给我学习、生活中的帮助，由于你们的帮助和支持，我才能一个一个克服困难、解明疑惑，才使我顺利的完成了这篇论文.参考文献[1]方晓华，吴凤香，黄宝存.函数最问题的解法探讨.金华职业技术学院学报，2002,2(2).[2]潘玉晓.关于函数最值问题的探讨[J].南阳师范学院学报，2005(9).[3]戴宝尔，李杏莲.初等方法求解函数最值问题[J].科技资讯，2008(20).[4]戚雪敏.浅谈求函数最值问题的方法[J].2011(11).[5]刘南山.不等约束条件下二元函数最值问题的解法[J].数学通讯，2003(11).[6]张天雄.利用重要不等式求函数最值问题应注意的几个问题[J].中学数学，1996(8).[7]董国阳.关于求函数最值问题的探讨[J].2011(11).[8]吉艳霞.求函数极值问题的方法探讨[J].运城学院学报2006,24(5).。

关于函数最值问题的理论探讨与解法示例

删勰5＞试题研究关于函数最值问题的理论探讨与解法示例李彬彬江苏省盐城幼儿师范高等专科学校224000［摘要］函数最值问题可以全面考查学生的能力，以该类问题为基础开展教学探讨，引导学生掌握解法对于提升学生能力、发展核心素养极为有利.文章剖析函数最值问题，探讨理论基础,举例探析常用解法.［关键词］函数;最值;理论;方法;建议卩问题综述函数最值问题是数学的一类典型问题,涉及众多数学知识，与生产实际也息息相关.函数是问题的灵魂所在，其中的最值则是函数的一种重要属性，问题突破需要从函数的性质角度出发来探究，对学生基础知识和数学思维有着一定的要求.同时该类问题的求解过程需要利用一些思想方法,利用数学思想来构建解题思路，因此解题过程可视为是基础知识、解题方法和数学思想的综合.分析函数最值问题类型，总体上有以下两个特点：（1）问题的呈现形式主要有三种命题形式，①直接给出函数,求该函数的最值;②在解答问题中作为子问题,需要给出解析过程;③以隐含问题构建，如不等式、存在性问题、几何应用题优化等,解析时需要将其转化为最值问题.（2）问题的变量多变，单一变量较为简单,多变量函数最值问题，虽形式简单，但难以找到突破口，需要进行化归转化.卩突破理论函数最值问题较为典型，对学生的解析思维有着一定的要求,提升学生问题解析能力需要从三方面入手：（1）深入理解最值概念,从不等式角度加以剖析,把握其中的两个要素，①不等式与函数最值的关联,关注不等式恒成立中的定义域;②关注不等式成立时等号的选取.（2）透视复杂函数,归纳多变量函数最值问题，提升学生发现问题、解析问题的能力.（3）函数最值的概念与其他知识有着紧密的关联,综合性和应用性较强，应强化学生的应用意识和转化意识，深入培养学生的建模能力、数学分析能力，提升学生的核心素养.函数最值问题的求解需要掌握一定的理论基础，从本质上看就是求函数的最大值和最小值，因此需要深入理解最值定理,定理内容中对函数的区间进行了分类,明确了连续函数和有断点的函数，理解时需要关注有最值的情形，而对于不连续的函数则需要讨论断点处是否有最值，不能一味地照搬连续函数最值问题的解析思路.对于函数最值问题,求解时可以结合函数区间上连续与图像曲线连续之间的关联，即于3）在区间上连续”二“函数图像为连续曲线”.求函数的最值实则就是求在区间上曲线的最值点，可能的点包括曲线的端点和曲线内部的凸点和凹点.在解析教学时需要利用宜观的图像来展示问题，如图1函数,将其转化为较为简单的宜接的问题.同时引导作者简介:李彬彬（1983-）,本科学历，讲师，主要从事大专院校数学教学与研究.2020年40冃（下旬）＜87数学教学通讯投稿邮箱:**********＞试题研究学生关注问题根本，可以肯定的是:在函数区间上的最值必然也是局部的最大值或最小值，因此在该情形下，函数的极值点就是其最值点；而对于开区间(a,b),其驻点和不可导点就是其极值点，只需要提取函数中的这些特殊点，然后计算特殊点对应的值，并加以比较就可以确定结论.教学中同样可以借助直观的图像，如图2所示，端点坐标是(a,/(a))和(6/(6)),驻点坐标为(%! /(%!)) 和(%3 /(«3))＞而(%2 xf(X 2))为其不可导点.若求解/&)的最值，通过比较上述特殊点位置处的函数值大小就可实现.图2从上述分析可以得出如下结论:求解闭区间上连续函数的最值，只需要关注其中的端点、驻点和不可导点.具体求解可以按照一定的思路方法进行，概括为“求导，找点，计算，比较”八字.① 首先，根据题设条件明确/■(%)的区间，求解/J);② 其次，根据导函数提取开区间上的特殊位置的点(驻点、不可导点);③ 然后，逐个计算三大类点(端点、驻点、不可导点)处具体的值；④ 对比三大类点的函数值,根据值的大小即可确定函数的最大值和最小直卩方法解读对于函数最值问题,在掌握基本的解题思路基础上,还需要关注其具体的解题方法,该类问题的解法也较为多样,合理利用可以显著提高解题效率.解析问题时可采用代数转化法和函数单调性等方法,针对具体的问题需要根据函数的解析式、变量个数、函数曲线、区间特点等来选定方法，下面举例讲解.1.配方法配方法是求解该类问题的有效解法,主要内容是将函数解析式中的某些项分配为一个或多个多项式,从而达到简化问题的效果.该方法较为简单，容易掌握，对于三角函数最值问题，可以采用配方法对函数解析式进行转化，后续利用正弦或余弦函数的值域来确定原函数的最值；而对于复合性函数，则可以整体上转化为二次函数形式，利用二次函数的性质来解决,如下列问题可用配方法解决.例4:已知函数y=2*+2-3 -4-,如果-1WX0,试求该函数的最值.解析:上述函数属于复合函数，利用配方法可逐步将问题变为对应的二次函数，具体如下,y=-3(2*-■ ) +号■，已知-1W ”WO,则*W2*W1.由二次函数的性质即可得：当2"=1时,取得最小值1 ；当2"=?时，取得最大值仝.3 3评析：上述函数采用配方法，最终将最值问题变为了二次函数问题，从而借用二次函数的性质确定了最值.这是由于转化后函数单调性简单明了，可直接确定函数在区间上的变化趋势，问题中最小值的点位于其端点处，而最大值的点位于其驻点处.2.单调性法单调性法，即利用函数的单调性来确定函数在定义域上变化趋势的方法.求解时可以借用求导的方式来确定函数的单调性，然后根据其单调性直接获得最值点.例2：已知■/&)=/-3%+1,试求函数在区间［-3,0］上的最值.解析：上述为一元三次函数，可以结合求导利用函数单调性法来求解，则^f(x)=3x 2-3，分析可知在［-3,-1)上，f(x)＞O,f(x)在该区间内为增函数；在［-1,0］上＞/G)W0/3)在该区间内为减函数.综合分析可知x=-l^f(x)取得最大值,卫孑(-1)=3,则其最小值在端点处，由-J/(-3)=-17＜/(0)=l.综上可知原函数的最大值为3,最小值为-17.评析：上述求解函数的最值采用了单调性法，而函数的单调性确定使用了求导的方式，其中函数的定义域对函数最值的确定十分重要，解析时需要结合函数单调性和定义域来确定最值点.3.换元法换元法也是求函数最值常用的方法，同样可用于复合性函数，可有效降低思维难度.该方法指的是在解析时通过引入一个或多个新的变量来替换原函数中的某些变量，从而简化函数解析函数最值问题，换元的方式有两类，包括代数换元和三角换元,具体解题时可以根据函数形式来灵活选取.例3：试求函数尸空叱业的最l+sinx大值.解析：该问为涉及三角函数的最值问题，可以对函数进行适当变形，采用换元的方法来简化.变形可得，=(曲+.1)2-2=(述+1) +上令 1 +1+sinx1+sinxsiiu;=i ,则0V W 2,则可将其变为y=t +t进一步分析可确定在(0,+8)上y 为增函数,则匸2时,即sinx=l 时，可取得最大值，畑二1.评析:上述函数复合了三角函数，显然采用换元的方法更为有效，将问题转化为了更为简洁的函数.同时换元过程中重新确定了新函数的定义域，为后续的最值分析提供了条件，解析时需要关注定义域的变化.卩思考建议函数最值属于综合性问题,在实际教学中需要注重教学重点,注意调动学生参与思考.如课堂教学应深入探究函数最值问题的根本，将解题步骤和方法作为教学重点，引导学生掌握不同问题的解析方法,提升学生解题思维的灵活性.课堂教学中应充分激发学生的学习兴趣,尊重学生的主体地位，引导其参与教学讨论，主动思考问题.同时教学中可适当借助知识框图,帮助学生梳理问题难点、知识脉络、方法核心,用形象的联想来构建类型问题的解题策略.88 > 2020年40冃(下旬)。

函数极值与最值研究毕业论文

函数极值与最值研究摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。

求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。

求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。

求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。

求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。

对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等，关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧．Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number ofvariables,so that the more complicated the problem, find the function extreme value method mainly has: conditional extremum of multivariate Lagrange method, directional derivative, for multivariate function most value the most value problem with the function of one variable can be used to find the function extreme value is similar. The main methods are: vector method, the mean value inequality method, substitution, elimination method, the method of Cauchy inequality, the combination method,Keywords: function, extreme value, the value, extreme points, methods and techniques引言作为函数性质的一个重要分支和基本工具，函数极值和最值在数学与其他科学领域，如数学建模优化问题、概率统计等学科都有广泛应用。