04183 概率论与数理统计(经管类)讲义 (4)
04183 概率论与数理统计(经管类)讲义
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例6. 习题1.2 13 设A，B，C为三个随机事件，且P（A）＝P（B）＝P（C）＝ ，P（AB）＝P（BC）＝ ，P（AC）＝0。求： （1）A，B，C中至少有一个发生的概率； 【答疑编号：12010305】 （2）A，B，C全不发生的概率。 【答疑编号：12010306】 解： （1）“A，B，C至少有一个发生”表示为A∪B∪C，则所求概率为 P（A∪B∪C）＝P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）－P（AC）－P（BC）+P（ABC）
④A与B相互对立 A与B互不相容. 小结：关系：包含，相等，互不相容，互为对立； 运算：和，积，差，对立. （7）事件的运算性质
①（和、积）交换律 A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
②（和、积）结合律 （A∪B）∪C＝A∪（B∪C），（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；
③（和、积）分配律 A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）；A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C）
mk:@MSITStore:C:\Users\lenovo\AppData\Local\Temp\RarSFX4\gll01... 2011/1/12
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2.全概率公式与贝叶斯公式
（1）划分：设事件 ① ， ，…， ② 当 ， ，…，
， ，…， 满足如下两个条件：
互不相容，且
，i＝1，2，…，n；
设a表示第一次取球取到白球b表示第二次取球取到白球则例10p16例125在某工厂中有甲乙丙三台机器生产同一型号的产品它们的产量各占303535并且在各自的产品中废品率分别为543求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率
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第一章 随机事件与概率
04183概率论与数理统计(经管类)基础知识
D(aX b) a2 D( X )
,
D(Y ) [ x j E(Y )]2 p j
j
D( X ) [ x E( X )]2 f X ( x)dx
协方差与 相关系数
3、二维随机变量关系特征 协方差 cov(x,y) 相关系数 cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)
p j , i 1,2,
，
5、分布函数 F(x,y)的基本性质： ⑴ 0 F ( x, y) 1; 其中 x=h(y)为 y=g(x)的反函数 ⑵F(x,y)分别对 x 和 y 是非减的，即当 x2>x1，F（x2,y）≥F(x1,y);当 y2>y1，有 F(x,y2) ≥F(x,y1); ⑶F(x,y)分别对 x 和 y 右连续，即 F ( x, y) F ( x 0, y), F ( x, y) F ( x, y 0); ⑷ F (,) F (, y) F ( x,) 0, F (,) 1. ⑸当 x
i 1 i i
k
n
f ( x) 0 ；
②
f ( x)dx 1。
xk x
③ P(a ；
X b) F (b) F (a) =
F ( x)
Pn(k ) Cn p k q nk
二、随机变量及其分布
④对于离散型随机变量，
F ( x)
p
⑤对于连续型随机变量，
2 2 N (, 2 ) ，则①aX+b～N(aµ+b,a σ ), ②(X-µ)/σ～N(0,1)
X X
b(n, p) P( )
2022年自考04183概率论与数理统计(经管类)核心考点资料
（2） =φ，φ=Ω.
（3）A-B=
=A-AB.
在进行事件运算时，经常要用到下述运算律，设 A，B，C 为事件，则有： 交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A. 结合律：A∪(B∪C)=(A∪B) ∪C，
A∩(B∩C)=(A∩B)∩C. 分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C). 对偶律：
， 其中 0＜p＜1，p+q=1，则称 X 服从参数为 n，p 的二项分布，简记为 X~B(n，p). 泊松分布： 设随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，…，n，…，而 X 的分布律为
其中λ＞0，则称 X 服从参数为λ的泊松分布，简记为 X~P(λ). 泊松( Poisson)定理设λ＞0 是常数，n 是任意正整数，且 npn=λ，则对于任意取定的非负整 数 k，有
当 g(x1)，g(x2)，…，g(xk)，…有相等的情况时，应把使 g(xk)相等的那些 xi 所对应的概率相 加，作为 Y 取 g(xk)时的概率，这样才能得到 Y 的分布律. 设 X 为连续型随机变量，其概率密度为 fx(x).设 g(x)是一严格单调的可导函数，其值域为[α， β]且 g’(x)≠0.记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的概率密度
.
即当 n 很大很小时，有近似公式
，其中λ=np.
二、随机变量的分布函数 设 X 为随机变量，称函数
F(x)=P{X≤x}，x∈(-∞，+∞) 为 X 的分布函数. 当 X 为离散型随机变量时，设 X 的分布律为
pk=P{X=k}，k=0，1，2，…
由于
，由概率性质知，
，
即
，
其中求和是对所有满足 xk≤x 时，xk 相应的概率 pk 求和. 分布函数有以下基本性质：
最新自考04183概率论与数理统计(经管类)-特训1
2023年直播特训《04183概率论与数理统计（经管类）》目录◎第一章 随机事件与概率◎第二章 随机变量及其概率分布◎第三章 多维随机变量及其概率分布◎第四章 随机变量及其数字特征◎第五章 大数定律及中心极限定理◎第六章 统计量及其抽样分布◎第七章 参数估计◎第八章 假设检验◎第九章 回归分析第一章 随机事件与概率第一节 随机事件一、随机事件的基本概念在现实世界中，我们经常会遇到一些无法预测结果的现象.比如抛硬币出现正面或反面；学生参加比赛抽签确定参赛顺序等。
本课程，我们将进一步研究随机事件的有关问题。
一、随机事件的基本概念根据现象发生的结果是否可以准确预测，把现象分成两类，即必然现象和随机现象。
能在一定条件下确定事件发生结果的是必然现象，反之是随机现象.比如水满则溢，太阳从西边升起都是必然现象，而二月的天空大雪纷纷，买彩票中头等大奖等等都是随机现象。
一、随机事件的基本概念我们把在相同条件下，对随机现象进行的观察试验称为随机试验，简称为试验。
如，抛掷一枚质地均匀的硬币，就是一个随机试验。
虽然每次随机试验的结果是不能确定的，但在多次重复试验后，结果会出现一定的规律性。
随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，常用小写希腊字母ω表示。
所有样本点组成的集合称为样本空间，通常用大写希腊字母Ω表示。
如，抛掷一枚质地均匀的硬币这个随机试验的样本点为“正面向上”和“反面向上”，样本空间Ω={正面向上，反面向上}。
一、随机事件的基本概念如果随机试验的样本空间是Ω，那么Ω的任意一个非空真子集称为随机事件，简称为事件，常用大写字母A、B、C…表示，事件中的每一个元素都称为基本事件.如，抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子出现的点数，这个试验的样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，若事件A={2，4，6}，则事件A就是一个随机事件，而且事件A也可以用语言描述为事件A={出现的点数为偶数}，其中事件“出现的点数为2”就是一个基本事件。
自考4183概率论与数理统计课件_OK
解 从8个球中任意取两个,共有C82 种取法,即基本事件总 数n C82 .
记A表示“取到的两个球颜色相同”,A包含两种可能:
全是白球或全是黑球.
全是白球有C52 种取法,全是黑球有C32 种取法,由加法原理
知,A的取法共C52 C32 中, 即A包含的基本事件数 r = C52 C32
故
P A
第三章 多维随机变量及其概率分布(重点)
第四章 随机变量的数字特征(重点)
第五章 大数定律及中心极限定理
第六章 统计量及其抽样分布
第七章 参数估计(重点)
第八章 假设检验(重点)
第九章 回归分析
5
第一章 随机事件与概率
• §1.1 随机事件 • §1.2 概率 • §1.3 条件概率 • §1.4 事件的独立性
（3）在试题中，概率论和数理统计内容试题分数的分布大 致是75分和25分.
3
序言
概率论是研究什么的？ 概率论——从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
数理统计——从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的 统计方法，进行统计推理。
4
目录
第一章 随机事件与概率(重点)
第二章 随机变量及其概率分布(重点)
i1
3.积事件 :事件A与事件B同时发生，记作 AB
或AB。
显然： 1.ABA，ABB； 2.若AB，则AB=A。 推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An 16
4.差事件 ：A－B称为A与B的差事件,表示事件 A发生而事件B不发生
显然： 1.A-BA； 2.若AB，则A-B=φ。
k
k
k
k
21
例1-4、设A、B、C表示三个事件，试以A，B，C的运算表示 以下事件： （1）仅A发生； （2）A，B，C都发生； （3）A，B，C都不发生； （4）A，B，C不全发生； （5）A，B，C恰有一个发生。
概率论与数理统计第4讲
P( A1A2 )
P( A1)P(
A2
|
A1)
10
9
. 15
22
注: 乘法公式(4.2)和(4.3)可以推广到有限 个事件积的概率情形: 设A1,A2,,An为n个事件, 且 P(A1A2An1)>0, 则 P(A1A2An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
P(An|A1A2An1) (4.4)
28
定理1 设A1,A2,,An,是一个完备事件组, 且P(Ai)>0, i=1,2,, 则对任一事件B, 有 P(B)=P(A1)P(B|A1)++P(An)P(BAn)+
(4.5) 证明
P(B) P(B S) P[B ( Ai )] i
P[ (B Ai )] P(B Ai )
i
i
P( Ai )P(B | Ai ).
P(B | A) P( AB) P( A)
由这些共性得到启发, 我们在一般的概 率模型中引入条件概率的数学定义.
9
二, 条件概率的定义 定义1 设A,B是两个事件, 且P(A)>0, 则称
P(B | A) P( AB)
(4.1)
P( A)
为在事件A发生的条件下, 事件B的条件 概率. 相应地, 把P(B)称为无条件概率. 一 般地, P(B|A)P(B).
9
9
36
五, 贝叶斯公式 利用全概率公式, 可通过综合分析一事件 发生的不同原因或情况及其可能性来求 得该事件发生的概率. 下面给出的贝叶斯 公式则考虑与之完全相反的问题, 即一事 件已经发生, 要考察引发该事件发生的各 种原因或情况的可能性大小.
37
定理2 设A1,A2,,An,是一完备事件组, 则对任一事件B, P(B)>0, 有
自考04183概率论与数理统计(经管类)总结2-数理统计部分
高等教育自学考试辅导《概率论与数理统计（经管类）》第二部分数理统计部分专题一统计量及抽样的分布I.考点分析近几年试题的考点分布和分数分布II.内容总结一、总体与样本1.总体：所考察对象的全体称为总体；组成总体的每个基本元素称为个体。
2.样本：从总体中随机抽取n个个体x1,x2…,x n称为总体的一个样本，个数n称为样本容量。
3.简单随机样本如果总体X的样本x1,x2…,x n满足：（1）x1与X有相同分布，i＝1，2，…，n；（2）x1,x2…,x n相互独立，则称该样本为简单随机样本，简称样本。
得到简单随机样本的方法称为简单随机抽样方法。
4.样本的分布（1）联合分布函数：设总体X的分布函数为F（x），x1,x2…,x n为该总体的一个样本，则联合分布函数为二、统计量及其分布1.统计量、抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体的样本，若样本函数T=T（x1,x2…,x n）不含任何未知参数，则称T为统计量；统计量的分布称为抽样分布。
2.样本的数字特征及其抽样分布：设x1,x2…,x n为取自某总体X的样本，（2）样本均值的性质：①若称样本的数据与样本均值的差为偏差，则样本偏差之和为零，即②偏差平方和最小，即对任意常数C，函数时取得最小值. （5）样本矩（7）正态分布的抽样分布A.应用于小样本的三种统计量的分布的为自由度为n的X2分布的α分位点.求法：反查X 2分布表.III.典型例题[答疑编号918020101]答案：D[答疑编号918020102]答案：[答疑编号918020103]答案：B[答疑编号918020104]答案：1[答疑编号918020105]答案：B[答疑编号918020106]故填20.[答疑编号918020107]解析：[答疑编号918020108]答案：解析：本题考核正态分布的叠加原理和x2－分布的概念。
根据课本P82，例题3－28的结果，若X～N（0，1），Y～N（0,1）,且X与Y相互独立，则X＋Y～N（0＋0，1＋1）＝N（0，2）。
《概率论与数理统计(经管类)》(代码4183)自学考试复习提纲-附件1
《概率论与数理统计（经管类）》（4183）自学考试复习提纲第一章 随机事件与概率1、排列组合公式：排列数)!(!n m m P n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
组合数)!(!!n m n m C n m-= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例如：袋中有8个球，从中任取3个球，求取法有多少种？解：任取出三个球与所取3个球顺序无关，故方法数为组合数388*7*6561*2*3C ==注：排列数经常用组合数及乘法原理得到，并不直接写出。
2、加法和乘法原理：加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1、从北京到上海的方法有两类：第一类坐火车，若北京到上海有早、中、晚三班火车分别记作火1、火2、火3，则坐火车的方法有3种；第二类坐飞机，若北京到上海的飞机有早、晚二班飞机，分别记作飞1、飞2。
问北京到上海的交通方法共有多少种。
解：从北京到上海的交通方法共有火1、火2、火3、飞1、飞2共5种。
它是由第一类的3种方法与第二类的2种方法相加而成。
例2、从北京经天津到上海，需分两步到达。
第一步从北京到天津的汽车有早、中、晚三班，记作汽1、汽2、汽3 第二步从天津到上海的飞机有早、晚二班，记作飞1、飞2 问从北京经天津到上海的交通方法有多少种？ 解：从北京经天津到上海的交通方法共有：①汽1飞1，②汽1飞2，③汽2飞1，④汽2飞2，⑤汽3飞1，⑥汽3飞2。
共6种，它是由第一步由北京到天津的3种方法与第二步由天津到上海的2种方法相乘3×2=6生成。
3、基本事件、样本空间和事件：如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
自考4183概率论与数理统计(经管系)大纲
概率论与数理统计（经管系）自考大纲代码4183第一章随机事件与概率(一）考核的知识点1．随机事件的关系及其运算2．概率的定义与性质3．古典概型4．条件概率、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式5．事件的独立性、贝努利概型(二)自学要求本章总的要求是：掌握随机事件之间的关系及其运算；理解概率的定义，掌握概率的基本性质，会用这些性质进行概率的基本计算；理解古典概型的定义，会计算简单的古典概型问题；理解条件概率的概念，会用乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式进行概率计算；理解事件独立性的概念，会用事件独立性进行概率计算．重点：随机事件的关系与运算，概率的概念、性质；条件概率，事件独立性的概念，乘法公式、全概率公式，贝叶斯公式。
难点：古典概型的概率计算，全概率公式，贝叶斯公式，事件独立性的概念．（三）考核要求1随机事件的关系与运算1.1随机事件的概念及表示，要求达到“识记”层次1.2事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念1.3和事件、积事件、对立事件的基本运算规律，要求达到简单应用层次2率的定义与性质2.1频率的定义，要求达到“领会”层次2.2概率的定义，要求要求达到“领会”层次2.3概率的性质，要求达到“简单应用”层次3古典概型3.1古典概型的定义，要求达到“领会”层次3.2简单古典概型的概率运算，要求达到“简单应用”层次4条件概率4．1条件概率的概念，要求达到“领会”层次4．2乘法公式．会用乘法公式进行有关概率的计算，要求达到“简单应用’’层次4.3 全概率公式与贝叶斯公式，会用这两个公式进行计算，要求达到“综合应用’’层次5事件的独立性5.1 事件独立性的概念，要求达到“领会”层次5.2用事件的独立性计算概率，要求达到“简单应用”层次5.3 贝努利概型，要求达到“简单应用”层次第二章随机变量及其概率分布（一）考核的知识点1.随机变量的概念2.分布函数的概念和性质3.离散型随机变量及其分布律4.连续型随机变量概率密度函数5．随机变量函数的分布（二）自学要求本章总的要求是：理解随机变量及其分布函数的概念；理解离散型随机变量及其分布律的概念；掌握较简单的离散型随机变量的分布律的计算；掌握两点分布、二项分布与泊松分布；掌握连续型随机变量及其概率密度函数的概念、性质及有关计算；掌握均匀分布、指数分布及计算；熟练掌握正态分布及其计算；了解随机变量函数的概念，会求简单随机变量函数的概率分布．重点：随机变量的分布律与概率密度函数的概念、性质和计算，随机变量函数的分布，几种常用分布．难点：随机变量的分布律、概率密度函数，随机变量的函数的分布律、分布函数、概率密度函数．（三）考核要求1．随机变量的概念随机变量的概念及其分类，要求达到“识记”层次2．离散型随机变量的分布律2.1 离散型随机变量的概念，要求达到“识记’’层次2.2求较简单的离散型随机变量的概率分布律，要求达到“简单应用’’层次2.3两点分布，二项分布、泊松分布、要求达到“简单应用’’层次3.随机变量的分布函数3.1随机变量分布函数的定义、性质，要求达到“领会”层次3.2求简单离散型随机变量的分布函数，要求达到。
2021年4月自考04183概率论与数理统计真题及答案
2021年4月高等教育自学考试概率论与数理统计（经管类）试题（课程代码04183）一、单项选择题:本大题共10小题,每小题2分共20分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的,请将其选出。
1.某人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是A.“两次都不中靶”B.“两次都中靶”C.“只有一次中靶”D.“至多有一次中靶”2.设事件A与B互不相容,且P(A)=0.5,P(B)=0.3,则P(A-B)=A.0.2B.0.3C.0.5D.0.83.甲、乙两人对弈一局,两人下成和棋的概率是1/2,乙获胜的概率是1/3,则甲获胜的概率是A.1/6B.1/3C.1/2D.2/34.设随机变量X~N(3,2²),且P{X>c}=P{x≤c},则常数c=A.0B.2C.3D.45.对于任意参数,随机变量X均可满足E(X)=D(X),则X服从的分布一定是A.均匀分布B.指数分布C.二项分布D.泊松分布6.设随机变量X~N(1,4²),Y~N(0,2²),X与Y相互独立,则D(X-Y)=A.2B.6C.12D.207.设X1,X2,X3,X4是来自总体X~N(0,4)的样本, Y=a（X1-2X2）²+b（3X3-4X4）²,如果Y~x ²(2),则常数a,b的值分别为A. BC.a=20,b=100D.a=12,b=288.设总体X~N（0，σ²），X1,X2,…,X n (n>1)为来自X的样本, 为样本均值,则未知参数σ²的无偏估计是A. B.C. D.9.设总体已知,μ的置信度为1-α的置信区间长度为l,则当α增大时,l的变化为A.增大B.减小C.不变D.不确定10.在线性回归模型中，总的偏差平方和为SST,剩余平方和为SSE,回归平方和为SSR,三者之间的关系是A. SSE= SST +SSRB. SSR=SST+SSEC. SST=SSE+SSRD. SST+SSE+SSR=0二、填空题:本大题共15小题,每小题2分,共30分。
【尚德教材】概率论与数理统计(经管类)(全国)
第七章 参数估计 ......................................................................................................................................................51 第一节 点估计的几种方法 .............................................................. 52 第二节 点估计的评价标准 .............................................................. 53 第三节 参数的区间估计 ................................................................ 54
第四章 随机变量的数字特征 ..................................................................................................................................32 第一节 随机变量的期望 ................................................................ 33 第二节 方差 .......................................................................... 35 第三节 协方差与相关系数 .............................................................. 37
04183概率论与数理统计(经管类)(有答案)
04183概率论与数理统计（经管类）一、单项选择题1．若E(XY)=E(X))(Y E ⋅,则必有( B )。
A ．X 与Y 不相互独立B ．D(X+Y)=D(X)+D(Y)C ．X 与Y 相互独立D ．D(XY)=D(X)D(Y2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 A 。
A ．0.1B ．0.2C ．0.3D ．0.43．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是 D 。
A ．1)(=+∞FB ．0)(=-∞FC ．1)(0≤≤x FD ．)(x F 连续4．当X 服从参数为n ，p 的二项分布时，P(X=k)= ( B )。
A ．nk k m q p CB ．kn k k n q p C -C ．kn pq-D ．kn k qp -5．设X 服从正态分布)4,2(N ，Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立，则(23)D X Y ++= CA ．8B ．16C ．20D ．246．设n X X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DX σ=都存在，则当n 充分大时，用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为 B 。
A ．1a n n μσ-⎛⎫-Φ⎪⎝⎭ B．1-Φ C ．a n n μσ-⎛⎫Φ ⎪⎝⎭ D．Φ7．设二维随机变量的联合分布函数为，其联合分布律为则(0,1)F = C 。
A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.88．设k X X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从（ D ）分布A ．正态分布B ．t 分布C ．F 分布D ．2χ分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则 B 。
A ．21)0(=≤+Y X P B ．21)1(=≤+Y X PC ．21)0(=≤-Y X PD ．21)1(=≤-Y X P10．设总体X~N (2,σμ)，2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量（ C ）。
04183-概率论与数理统计(经管类)
04183概率论与数理统计（经管类） 1．若E （XY)=E （X))(Y E ⋅,则必：D(X+Y ）=D(X ）+D(Y)2．一批产品共有18个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为 0。
1 。
3．设随机变量X 的分布函数为)(x F ，下列结论错误的是:)(x F 连续4．当X 服从参数为n,p 的二项分布时，P （X=k ）=k n k k n qp C -5．设X 服从正态分布)4,2(N ,Y 服从参数为21的指数分布，且X 与Y 相互独立,则(23)D X Y ++= 20 6．设nX X X 21独立同分布，且1EX μ=及2DXσ=都存在,则当n 充分大时,用中心极限定理得()1n i i P X a a =⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭∑为常数的近似值为1-Φ7．设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，其联合分布律为则(0,1)F = 0.6 .8．设kX X X ,,,21 是来自正态总体)1,0(N 的样本，则统计量22221k X X X ++服从(2χ分布 ）分布9．设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从)1,0(N 和)1,1(N ，则：21)1(=≤+Y X P10．设总体X~N （2,σμ），2σ为未知，通过样本n x x x 21,检验00:μμ=H 时，需要用统计量：ns x t /0μ-=12．设A 、B 表示三个事件,则AB 表示 ：A 、B 都不发生；13．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-,0,0;0,e )(5x x c x f x则常数c 等于( 0.2 )14。
设随机变量X 的概率密度为其他10,,0)(3≤≤⎩⎨⎧=x ax x f ，则常数a= （ 4 ）.15.设21)(=A P ，31)(=B P ，61)(=A B P ，则=)(AB P 11216. 随机变量F~F （n1 ，n2),则F1~ ( F(n2，n1） )18．设()~0,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则随机变量~Z X Y =- (0,3)N19．抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为32，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的概率是：81820、设C B A ,,为三事件，则=⋃B C A )(B C A ⋃)(21．已知)(A P =0.7，)(B P =0.6，3.0)(=-B A P ,则=)(B A P 0.1 。
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第五章大数定律及中心极限定理【字体：大中小】【打印】
内容介绍
本章讨论概率论与数理统计的重要理论：大数定律及中心极限定理。
内容讲解
§5.1 切比雪夫不等式
1.切比雪夫不等式定理：设随机变量X的期望E（X）及方差D（X）存在，则对任意小正数ε＞0，有
因为事件与事件是对立事件，所以
证明：先设X是离散型随机变量，分布律为p
k =P{X=x
k
}，则有
因为 所以，
再设X是连续型随机变量，概率密度为f（x），则有
同理可得另一个不等式.
2.切比雪夫不等式的意义：估计X落入区间（E（X）-ε，E（X）+ε）的概率，当ε很小时此区间也很小，若D（X）也很小时，X几乎不会落到此区间的外部，所以有第一个不等式；反之，有第二个不等式.
例题1. P 117
【例5－1】设X是抛掷一枚骰子所出现的点数，若给定ε=2，2.5，实际计算
并验证切比雪夫不等式成立。
【答疑编号：12050101】
例题2. P117
【例5－2】设电站供电网有10 000盏灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定所有电灯开或关是彼此独立的。
试用切比雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6 800～7 200的概率。
【答疑编号：12050102】
§ 5.2 大数定律
本节从理论高度解决通过试验得到的频率随试验次数增大逐渐稳定于概率等问题.
1.贝努利大数定律
（1）定理：设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A的概率，则对于任意正数ε，有
证明：由已知，m～B（n,p），所以，E（m）=np，D（m）=npq，其中q=1-p；而
由切比雪夫不等式，对任意正数ε＞0，有
当n→∞时，上式右端的极限值为1，而左端的概率不超过1，所以
.
（2）解释：此定理从理论上说明了“概率是频率的稳定值”.
贝努利大数定律表明，当n充分大时，“事件A发生的频率与概率p的绝对偏差小于任意给定的正数ε”这一事件的概率可以任意接近于1，即当n充分大时“频率与概率的绝对偏差小于任意给定的正数ε”几乎必然发生。
这正是“概率是频率稳定值”的确切的含义。
2.独立同分布随机变量序列的切比雪夫大数定律
（1）定理：设X 1, X 2，…，X n ，…是独立同分布随机变量序列，E（X i ）=μ，D（X i ）=σ2，（i＝1，2，…）均存在，则对于任意ε＞0有
.
证明：由于X 1, X 2，…，X n ，…相互独立，则有
再由切比雪夫不等式可得
当n→∞时，上式右端的极限值为1，而左端的概率不超过1，所以
.
（2）解释：这个定理从理论上说明，随机变量序列的算术平均值在统计上具有一定的稳定性，稳定于期望附近. 3.贝努利大数定律是切比雪夫大数定律的特殊情况
§5.3 中心极限定理
引言：论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。
许多观察表明，如果大量独立的偶然因素对总和的影响都是均匀的、微小的、彼此又是独立的，即其中没有哪一项起特别突出的作用，那么就可断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机变量是近似服从正态分布的。
1.独立同分布随机变量序列的中心极限定理
（1）定理：设X 1, X 2，…，X n ，…是独立同分布随机变量序列，且具有相同数学期望和方差E（X i ）=μ，D（X i ）=σ2，（i＝1，2，…）均存在；再设随机变量
的分布函数为F n （x），则对任意实数x有
其中Φ（x）为标准正态分布函数.
（2）两个结论
① 定理说明，当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其和近似服从正态分布；
② 定理说明：当n充分大时，不论独立同分布随机变量服从什么分布，其平均值
例题1. P121
【例5－3】对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击时命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为1.5，求在100次射击中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率。
【答疑编号：12050201】
例题2. P121
【例5－4】某种电器元件的寿命服从均值为100（单位：小时）的指数分布。
现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率。
【答疑编号：12050202】
2.D－L中心极限定理
（1）定理：设随机变量Z
n
是独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意实数x有
，
其中q=1-p，Φ（x）为标准正态分布函数.
证明：定义随机变量序列
i＝1，2，…，n，
且P（X
i =0）=q，P（X
i
=1）=p，由上述定理知，
E（Z
n ）=np，D（Z
n
）=npq，
且 .
（2）两个结论：
①当n充分大时， ；
②当n充分大时， .
例题3. P122
【例5－5】用中心极限定理求解§5.1例5-2的概率。
【答疑编号：12050203】
例题4. P123
【例5－6】设某单位内部有1000台电话分机，每台分机有5%的时间使用外线通话，假定各个分机是否使用外线是相互独立的，该单位总机至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概率保证每台分机需要使用外线时不被占用？
【答疑编号：12050204】
至此，概率论知识全部结束.
本章小结：
一、内容
切比雪夫不等式
二、试题选讲
1.（071023）设随机变量序列X
1, X
2
，…，X
n
，…独立同分布，且E（X
i
）=μ，D（X
i
）=σ2＞0，i＝1，2，…，则对任意实数
x，
【答疑编号：12050205】
答案：1－Φ（x）
前言【字体：大中小】【打印】
同学们好！欢迎你来到自考365网校。
1.本课程包括两大部分：第一部分为概率论部分：第一章至第五章，第五章为承前启后章，第二部分为数理统计部分：第六章至第九章。
2.本课程不同于此前所学的其他课程，它是以研究某一结果出现的可能性为目的，运用统计方法进行推断、预测和决策，以便指导人们的行为；其内容更贴近人们的思维方式，因而有广泛的应用。
3.本课程自从单独考试以来，题目难度略高于线性代数，但是，线性代数比较抽象，概率统计往往有比较清楚的实际背景，各有不同的“难”的方式，所以，总的看来，两门考试的难度基本相当，并且，与以前的考题相比，难度略有下降。
4.自从2005年以来，自考数学的试题难度都有一定程度的降低。
对于能够坚持学习，注意方法，反复收看讲座的学员来说，取得理想的成绩并不困难。
希望学员们坚定信心，克服困难，坚持到底，取得优异成绩。