1.2.2 同角三角函数的基本关系(公开课)
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人教版高一数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系(课件)
知识探究（一）：基本关系
思考1：如图，设α是一个任意角，它
的终边与单位圆交于点P，那么，正弦
线MP和余弦线OM的长度有什么内在联
系？由此能得到什么结论？
y P
1
MO
x
思考2：上述关系反应了角α的正弦和 余弦之间的内在联系，根据等式的特点， 将它称为平方关系.那么当角α的终边 在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y P
P Ox
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
P（x，y），根据三角函数定义，有
，
，
，
由此可得sinα，cosα，tanα满足什
么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商 数关系成立的条件是多么？
思考5：平方关系和商数关系是反应同一 个角的三角函数之间的两个基本关系， 它们都是恒等式，如何用文字语言描述 这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
知识探究（二）：基本变形 思考1：对于平方关系 可作哪些变形？
sin2 cos2 1
思考2：对于商数关系 哪些变形？
可作
思考3：结合平方关系和商数关系， 可得到哪些新的恒等式？
思考4：若已知sinα的值，如何求cosα 和tanα的值？
思考5：若已知tanα的值，如何求sinα 和cosα的值？
理论迁移
例1 求证：
例2 已知
,求
若α是第三象限角，则
若α是第四象限角，则
， 的值.
，
.
，
.
例3 已知tanα=2，求下列各式的值.
（1）
；（2）
5 2
例4 已知 求
， 的值.
小结作业
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个 角而言的，由此可以派生出许多变形公式， 应用中具有灵活、多变的特点.
高中数学必修四 第一章三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系
故 tan ������
1 sin2������
-1
=
tan
������
1-sin2������ sin2������
=
tan
������
cos������ sin������
=
sin������ cos������
·-scions������������
=
−1.
(2)证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α
sin������ 1 + cos������ ∴ 1-cos������ = sin������ .
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
题型四 已知 tan α 的值求其他代数式的值
【例4】 已知tan α=7,求下列各式的值.
(1)
sin������+cos������ 2sin������-cos������
则 sin α=−
1-cos2 ������
=
−
15 17
,
tan
������
=
sin������ cos������
=
185.
反思已知cos α(或sin α)求tan α时,先利用平方关系求出sin α(或 cos α),再利用商关系求出tan α.注意在求sin α(或cos α)时,往往需分 类讨论α所在的象限.
证明三角恒等式就是通过转化和消去等式两边的差异来促成统 一的过程,证明的方法在形式上显得较为灵活.常用的有以下几种:
(1)直接法——从等式的一边开始直接化为等式的另一边,常从比 较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)综合法——由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到 所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
同角三角函数的基本关系说课稿
《同角三角函数的基本关系》说课稿(总7页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除《同角三角函数的基本关系》说课稿《同角三角函数的基本关系》说课稿——选自人教A版数学4第一章1.2.2一、教材分析1、教材的地位与作用:《同角三角函数的基本关系》是学习三角函数定义后安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值,化简三角函数式,证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，起承上启下的作用，同时，它体现的数学思想方法在整个中学学习中起重要作用。
2、教学目标的确定及依据A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1)已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值;2)证明简单的三角恒等式。
B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式;通过公式的推导过程培养学生用旧知识解决新问题的思想;通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力;通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
3、教学重点和难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数函数基本关系在解题中的灵活选取及使用公式时由函数值正、负号的选取而导致的角的范围的讨论。
二、学情分析：学生刚开始接触三角函数的内容，学习了任意角的三角函数，对这一方面的内容既感到新鲜又感到陌生，很有好奇心，跃跃欲试，学习热情高涨。
三、教法分析与学法分析：1、教法分析：采取诱思探究性教学方法，在教学中提出问题，创设情景引导学生主动观察、思考、类比、讨论、总结、证明，让学生做学习的主人，在主动探究中汲取知识，提高能力。
2、学法分析：从学生原有的知识和能力出发,在教师的带领下，通过合作交流,共同探索,逐步解决问题.数学学习必须注重概念、原理、公式、法则的形成过程，突出数学本质。
1.2.2同角的三角函数基本关系式
能力训练(化简)
例3.化简 : 1 2 sin 2 10 cot 10 sin 10 1 sin 2 10
sin 10 cos 10 1. (sin 10 cos 10 ) (sin 10 cos 10 ) 2 sin 10 cos 10
补充题 : 已知cot m(m 0), 求cos .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
第二课时
学习本节的目的要求:
5.已知tan m(m 0), 求的其他三角函数值 .
同角三角函数基本关 系式的记忆方法
sin
cos
tan
1.倒三角形上两角数的平 方等于下角数的平方.
1
sec
csc
cot
2.实线的端点数的乘积等 于中间数 3.虚线的端点数的乘积等于中间数.
能力训练(化简)
例1.化简 : 1 sin 2 440
2.三角函数的定义域
三角函数 定义域
R R
sin cos tan
{ | R且
cot sec
2 { | R且 k , k Z }
k , k Z } k , k Z }
{ | R且
csc
2 { | R且 k , k Z }
1 2
2 2 2 2
3 2
1
0 1
0
cos
同角三角函数的基本关系(公开课)
具体形式
sin(x) = cos(x - π/2)， cos(x) = sin(x + π/2)， tan(x) = sec(x) - 1， cot(x) = csc(x) - 1等。
意义
同角三角函数是三角函数 的基本关系之一，是解
同角三角函数具有周期性， 其周期为2π。
同角三角函数的和差公式
定义
总结词
同角三角函数的和差公式是三角函数 中重要的基本公式之一，用于描述两 个同角三角函数值之间的关系。
详细描述
同角三角函数的和差公式表示为 sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny和 cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny，其中x 和y为角度，sin和cos为正弦和余弦函 数。
具体形式
sin(x/2) = ±√[(1-cosx)/2]、
cos(x/2) = ±√[(1+cosx)/2]、
tan(x/2)
=
±√[(1-
cosx)/(1+cosx)]。
性质
奇偶性
半角公式具有奇偶性，即当角度加上或减去180度时，其对应的半 角函数值会变成相反数。
周期性
半角函数具有周期性，其周期为180度，即当角度增加或减少360 度时，其对应的半角函数值不变。
物理应用
在物理中，同角三角函 数的基本关系可以用来 描述一些物理现象，例 如振动、波动等。
THANKS
感谢观看
y = cos(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = tan(ax + b)，其中 a、b为常数。
y = cot(ax + b)，其中a、 b为常数。
02
高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系课件2 新人教A版必修4.ppt
5
55
5
5
3.已知cos α= 1 ，且α是第四象限角，则sin α=（ ）
2
A . 1
B .3 C .3 D . 1
2
2
2
2
【解析】选C.因为α是第四象限角，所以sin α＜0，
所以 sin 1cos21(1)23.
22
6
4.化简：s i n =_______.
tan
【解析】
sin tan
10
10 10
方法二：(cosα+2sinα)2= cos24sincos4sin2
sin2cos2
1 4 ta n 4 ta n 2 1 4 3 4 3 2 4 9
由已知条件得
分子分母同除以cos2α可得关于tanα的方程.
(cos2sin)2 sin2cos2
5，
12
【解析】方法一：因为cosα+2sinα= 5 ， 所以cosα=-2sinα 5 ， 又因为sin2α+cos2α=1，所以sin2α+(-2sinα- )2=5 1， 整理得5sin2α+4 s5 inα+4=0，( si5 nα+2)2=0，
sin sin
cos.
答案：cos θ cos
7
5.已知tan φ=- 2 ，φ∈( ，π)，则sin φ=_____.
2
sin 2 cos 2 1，
【解析】由已知得
sin cos
所以
2，
sin2(sin)2 1， 2
所以sin2φ= 2 ，由φ∈( ， π)得sin φ＞0，
3
2
限决定的，不可凭空想象.
11
(公开课)同角三角函数的基本关系省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
知识探究(一)：基本关系
思索1：如图，设α是一种任意角，它 旳终边与单位圆交于点P，那么，正弦 线MP和余弦线OM旳长度有什么内在 联络？由此能得到什么结论？
MP2 OM 2 1
y P(x, y)
1α
sin2 cos2 1 M O x
知识探究(一)：基本关系
思索2：上述关系反应了角α旳正弦和
1 sin2
cos2
1 sin =右边 cos
所以 cos 1 sin 1 sin cos
三角函数恒等式证明旳一般措施
（1）从一边开始证明它等于另一边（由繁到简） （2）证明原等式旳等价关系 （3）证明左、右两边等于同一式子
注：要注意两边都有意义旳条件下才恒等
问题2、求证
1 2 cos 2
cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x
所以原等式成立
左边
右边
四、归纳总结：
本节课同学们有哪些学习体验与收获，学到了 哪些数学知识与措施
（1）同角三角函数旳基本关系式（应用极为广泛；巧用 1 sin 2 cos2
sin 2 cos2 1, R
(cos x sin x)(cos x sin x)
cos x sin x cos x sin x
cos x sin x
左边=右边
cos x sin x 左边
中间
所以原等式成立
右边
证法二：
左边 cos x sin x (cos x sin x) cos x 1 tan x 右边
即 sin tan cos
cos
{ sin2 cos2 1 sin tan cos
sin 3
{scions2 cos2 1
高一数学必修四-6.同角三角函数的基本关系PPT教学课件
17
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
2 5
13
例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
分析：∵cosα＜0 ∴α是第二或第三象限 角．因此要对α所在象限分类讨论. 解：当α是第二象限角时，
s in1 c o s2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
15
tansin 17 15.
cos 8 8
17
2020/10/16
7
当α是第三象限角时，
s in 1 c o s 2 1 ( 8 )2 1 5 , 1 7 1 7
A(1,0)
思考 当角α 的终边在坐标轴上时,关系式是否还成立？
当角 α 的终边在x 坐标轴上时, s2 i n c2 o 0 s 1 1
当2角020/α10/的16 终边在y坐标轴上时, s2 i n c2 o 1 s0 12
探究2 观察任意角α的三角函数
siny, c o s x ,tany,(x0) x
2020/10/16
tan tan21
2
22
1
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例 3、已知 tan 2，求下面各式的值。
( 4 ) sin cos 2
5
2020/10/16
14
应用2:化简三角函数式:
例4:化简： 1sin2440
解： 1 sin 2 440 1 sin 2 80 cos 2 80 cos 80
1 sin 2 440 cos 2 440 cos 440 cos 80
cos 80
2020/10/16
cos 80 15
1co tsan 212c2os2sin21
切化 ta弦 ncs： ions
解 co ： ts an co •s c si o nssin
2020/10/16
角.2020/10/16
高中数学第一章三角函数1.2.2同角三角函数的基本关系教材省公开课一等奖新优质课获奖课件
的结果是(
B.sin
3
4
5
)
3π
5
3π
D.-sin
3π
2
cos
5
2
5
= cos
3π
5
=-cos
3π
5
.
答案:C
25/29
1
3
2.已知 α 是第三象限角,sin α=- ,则 tan α 等于(
3
5
4
A.-
B.-
4
C.
3
3
3
4
D.
2
3
4
5
)
4
3
解析:∵sin α=- ,α 为第三象限角,
5
∴cos α=-
)
B.tan 40°-sin 40°
D.cos 40°-sin 40°
解析:原式= sin2 40° + cos 2 40°-2sin40°cos40°
= (sin40°-cos40°)2 =|sin 40°-cos 40°|
=cos 40°-sin 40°.
答案:D
17/29
探究一
探究二
探究三
思想方法
探究三证明三角恒等式
【例 4】 求证:
sin
1-cos
=
1+cos
sin
分析:思路一:平方关系
.
平方差公式展开→作商→结论
思路二:作差:左-右
变形
差为 0→结论
证法一:sin2α+cos2α=1⇒1-cos2α=sin2α⇒(1-cos α)·
(1+cos α)=sin
α·
sin α⇒
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.2.2 同角三角函数的基本关系
互动探究 探究点1 同角三角函数的基本关系式对任意角α都成立吗？
提示 同角三角函数的基本关系式成立的条件是使式子两边都
有意义．所以sin2α＋cos2α＝1对于任意角α∈R都成立，而
sin cos
αα＝tan
α并不是对任意角α∈R都成立，这时α≠kπ＋π2，k∈
Z.
探究点2 在利用平方关系求sin α或cos α时，其正负号应怎样确 定？
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
[规律方法] (1)证明三角恒等式的实质：清除等式两端的差异， 有目的的化简． (2)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简． (3)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右同时证．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【活学活用2】 化简：
1－2sinα2cosα2＋ 1＋2sinα2cosα20<α<π2.
解 原式＝
cosα2－sinα22＋
cosα2＋sinα22
＝cosα2－sinα2＋cosα2＋sinα2.
∵α∈0，π2，∴α2∈0，π4.
利用tan α＝csoins αα和sin2α＋cos2α＝1向等号左边式子进行转化；
也可利用tan
α＝
sin cos
α α
将等号左、右两边式子进行切化弦，结
合sin2α＋cos2α＝1达到两边式子相等的目的．
证明
∵右边＝ tan
tan2α－sin2α α－sin αtan αsin
α
＝tantaαn2－α－sintaαn2tαacnoαs2sαin α＝tantαan－2αsi1n－αctaons2ααsin α
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：同角三角函数的基本关系课件
即
cos
α＝－2
5
6，∴tan
α＝csoins
αα＝－51×－2
5
6＝
6 12 .
(2)∵cos α＝－35<0，∴α 是第二或第三象限角． 当 α 是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝ 1－－352＝45， tan α＝csoins αα＝－34； 当 α 是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
2 4.
(2)ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝ttaann θθ＋ －12＝21，解得 tan θ＝－4.
答案：(1)D (2)A
题型二 利用 sin θ±cos θ 与 sin θcos θ 关系求值——师生共研
例 3 已知 θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12，求：
(1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值——微点探究 微点 1 由一个三角函数值求其他三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－－152＝2245. 又∵α 是第三象限角，∴cos α<0，
§1 同角三角函数的基本关系
最新课标 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
1.1 基本关系式 1．2 由一个三角函数值求其他三角函数值
1．3 综合应用
[教材要点]
要点 同角三角函数的基本关系式 (1)sin2α＋cos2α＝___1_____.
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-2-2同角三角函数的基本关系
【例】 已知 tanα＝2，则 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝________； (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝________.
【思维导图】
【解】 (1)24ssiinnαα－ －39ccoossαα＝24ttaannαα－－39＝24× ×22－ －39＝－1. (2)4sin2α－3sinαcosα－5cos2α ＝4sin2α－si3ns2iαn＋αccoossα2－α 5cos2α， 因为 cos2α≠0，所以分子和分母同除以 cos2α， 则 4sin2α－3sinαcosα－5cos2α＝4tan2tαa－n2α3＋tan1α－5 ＝4×4－4＋3×1 2－5＝1.
(2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2.
(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意 义，如式子tan90°＝csoins9900°°不成立．
(4)注意公式变形的灵活应用． (5)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角 α所在的象限决定的．当角所在象限不明确时，要进行分类 讨论．
cos2α sin2α
(2)原式＝1－sincoαsα·
csoinsαα－sinα csoinsαα＋sinα
＝1－sincoαsα·
1－cosα 1＋cosα
＝1－sincoαsα·
1－cosα2 1－cos2α
＝1－sincoαsα·1－|sincoαs| α
＝±1.
通法提炼 同角三角函数关系化简常用方法有： ①化切为弦，减少函数名称；②对含根号的，应先把 被开方式化为完全平方，去掉根号；③对含有高次的三角 函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化 简．
【评析】 形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换， 将整式变为分式，即可利用分式的性质将式子变为关于 tanα 的代数式，从而代入求值．
1.2.2同角三角函数基本关系
基本变形 2 2 思考：对于平方关系 sin cos 1 可作哪些变形？
sin 1 cos , cos 1 sin , 2 (sin cos ) 1 2 sin cos 2 (sin cos ) 1 2 sin cos
又是第二象限角， cos 0
1 2 2 sin 2 cos t an 3 3 cos 4 2 2 3
三、应用示例
3 例2.已知 sin , 求 cos , tan 的值。 5 解:因为 sin 0, sin 1, 所以 是第三或第四象限角.
1的替换 — 3 3 1 3(sin cos )
2 2
1 (1) 2 1 ( 2) 32 20 (3) 13
1的替换 — 看作分母为 1 sin 2 cos 2
cos x 1 sin x 例4 求证 1 sin x cos x
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简 可以从左边往右边证，
因此
cos 1 sin 1 sin cos
化简
例5．化简
解：原式
1 sin 440
2
2
2
2
1 sin (360 80 ) 1 sin 80
cos 80 cos80
例6．化简 解：原式
1 2sin40 cos40
sin 40 cos 40 2sin40 cos40
2 2
2 2
思考：对于商数关系 哪些变形？
sin tan 可作 cos
sin cos tan ,
sin cos . tan
1.2.2同角三角函数的基本关系
sin 3 cos 3 １
2 2
练习1.化简下列各式
(1) cos tan
2 cos2 1 (2) 1 2 sin 2
1 cos 2 sin 2 2a 2 2 a
2
1 sin
2
cos
2
sin( ) 6 tan( ) 6 cos( ) 6
M O
你能利用三角函数的定义说 明这个平方关系吗？ 由三角函数定义知： y 2 x 2 2 2 sin α＋cos α＝（ ） ＋（ ） r r y2＋x2 = r2 r2 = r2 =1 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1.
你还能从三角函数定义出发， 找到同一个角的三种三角函数间的 联系吗？ 注意：今后凡没有 π 当α≠kπ+ （k∈Z）时 特别注明，我们假定三 2 角恒等式都是在使两边 y sinα y r 都有意义的情况下的恒 = tan α = = x cosα x 等式． r 所以，同一个角的正弦与余弦的商等于这个角的 正切.
3 例1：已知sinα= - 5，求cosα，tanα的值． 解：因为sinα＜0，sinα≠-1，所以α是第三或第四 象限角． 由sin2α+cos2α=1，得 32 16 2 2 cos α=1-sin α＝1-（ - ） 5 ＝ 25 如果α是 第三象限角，那么cosα＜0，于是 16 - 4 cosα= - 25 = 5 从而 3 5 3 sinα tanα= =（ - 5 ）×（ - 4 ）= 4 cosα
已知某个角的一个三角函数值，可求 出它的其余三角函数值. 步骤：
分类讨论
先判断角的象限，再利用平方关系求解
变式二：已知tan 3, 求sin , cos值
人教版必修四1.1.2同角三角函数基本关系课件
§1.2.2 同角三角函数的基本关系
一、问题导学 1、任意角的三角函数是如何定义的？
2、设P(x,y)是角 α 终边与单位圆的交点， x与y之间有什么关系？sinα 与 cosα 之间有 什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？
y 角 的终边
P(x,y)
Mo
A(1,0) x
二、探讨新知
探究：sin ,cos , tan 之间有何关系？
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于情势 α， ，6α 等等都可以.
2
如sin24α+cos24α=1. 3. 商数关系中注意限制条件. 即 cosα≠0， k (k Z)
2
4. 公式变形：
sin2 1 cos2 sin 1 cos2
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 cos 1 sin2
sin y 3
r5
cos x 4
r5
（2）当 III 时 x 0, y 0
不妨设x=-4，y=-3 r x2 y2 5
sin y 3
r5
cos x 4
r5
例3、已知tan 2,求下面各式的值。
（1）sin cos sin cos
sin cos (2) sin2 cos 2
cos
2
2.同角三角函数关系的基本关系的应用
求值、化简、证明等式
17 17
15
tan
sin cos
17 8
15 . 8
17
（ⅱ）当α是第三象限角时，
sin 15 , tan 15 .
17
8
例2、已知
tan
3 4
，求
sin , cos 的值。
一、问题导学 1、任意角的三角函数是如何定义的？
2、设P(x,y)是角 α 终边与单位圆的交点， x与y之间有什么关系？sinα 与 cosα 之间有 什么关系？这个关系对于任意角都成立吗？
y 角 的终边
P(x,y)
Mo
A(1,0) x
二、探讨新知
探究：sin ,cos , tan 之间有何关系？
不成立. 如sin230º+cos260º≠1. 2.同角不要拘泥于情势 α， ，6α 等等都可以.
2
如sin24α+cos24α=1. 3. 商数关系中注意限制条件. 即 cosα≠0， k (k Z)
2
4. 公式变形：
sin2 1 cos2 sin 1 cos2
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 cos 1 sin2
sin y 3
r5
cos x 4
r5
（2）当 III 时 x 0, y 0
不妨设x=-4，y=-3 r x2 y2 5
sin y 3
r5
cos x 4
r5
例3、已知tan 2,求下面各式的值。
（1）sin cos sin cos
sin cos (2) sin2 cos 2
cos
2
2.同角三角函数关系的基本关系的应用
求值、化简、证明等式
17 17
15
tan
sin cos
17 8
15 . 8
17
（ⅱ）当α是第三象限角时，
sin 15 , tan 15 .
17
8
例2、已知
tan
3 4
，求
sin , cos 的值。
21-22版：1.2.2 同角三角函数的基本关系（创新设计）
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课前预习
课堂互动
课堂反馈
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会 用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证 明(难点)．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
知识点 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__s_in_2_α_＋__c_o_s_2α__＝__1___． (2)商数关系：_t_a_n_α_＝__cs_oi_ns_αα___(α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_)________．
答案 B
课前预习
课堂互动
课堂反馈
2．已知 sin α＝13，tan α＝－ 42，则 cos α＝( )
A．－2
2 3
B．2 3 2
C．－13
D．
2 4
解析 由 sin α＝13>0，tan α＝－ 42<0，可知 α 是第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－232．
答案 A
课前预习
课堂互动
＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
课前预习
课堂互动
课堂反馈
课堂达标
1．若 cos α＝－45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于( )
A．34
B．－34
C．43
D．－43
解析 由题意可得 sin α＝ 1－cos2α＝35， ∴tan α＝csoins αα＝－34．
课堂反馈
3．化简1＋cocsoθs θ－1－cocsoθs θ的结果是________．
课前预习
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学习目标 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系(重点).2.会 用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证 明(难点)．
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知识点 同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：__s_in_2_α_＋__c_o_s_2α__＝__1___． (2)商数关系：_t_a_n_α_＝__cs_oi_ns_αα___(α_≠__k_π_＋__π2_，__k_∈__Z_)________．
答案 B
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2．已知 sin α＝13，tan α＝－ 42，则 cos α＝( )
A．－2
2 3
B．2 3 2
C．－13
D．
2 4
解析 由 sin α＝13>0，tan α＝－ 42<0，可知 α 是第二象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－232．
答案 A
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＝tan
tan2αsin2α α－sin αtan
αsin
α＝tatnanαα－sisninαα＝左边，
∴原等式成立．
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课堂达标
1．若 cos α＝－45，且 α 是第二象限角，则 tan α 的值等于( )
A．34
B．－34
C．43
D．－43
解析 由题意可得 sin α＝ 1－cos2α＝35， ∴tan α＝csoins αα＝－34．
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3．化简1＋cocsoθs θ－1－cocsoθs θ的结果是________．
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根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边
在坐标轴上时，上述关系成立吗？
y
仍然有 sin2 cos2 1
P
P
O
x
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5
当 a k (k Z ) 根据三角函数定义,sinα，cosα，
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱanα满足什么关系？
sin y cos x tan y (x 0) x sin tan cos
1.2.2 同角三角函数的基本关系
授课人：林玮 宋基中学高一年级数学组 2018年04月26日
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1
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2
三角函数的定义
α的终边 y P(x,y)
（1）y叫做的正弦，记作 sin ， M O
即 sin y =MP
（2）x叫做的余弦，记作 cos ，即
cos x =OM
（3）y叫做 的正切，记作 tan ，即
答案，这时一般有两组结果.
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14
【合作探究】高考链接
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15
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17
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19
五、【练习与展示】
A B
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20
1.同角三角函数的两个基本关系是对同一个角而言的.
2.利用平方关系求值时要根据角所在的象限确定三角函 数值符号．
3.化简、求值、证明，是三角变换的三个基本问题.
5 (2) cos 5
13
(3) tan 2
不存在
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11
三、【预习效果与检测】
× B
√ ×
B
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12
四、【疑难点拨】
同角三角函数的基本关系式的灵活应用
方法点拨：如果已知正弦、余弦、正切中的一个具体值，且角所在的象 限也已指定，那么只有一组结果.
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13
方法点拨：如果已知正弦、余弦、 正切中的一个具体值，但未指定 角所在的象限，那么要按角所在 的可能象限进行讨论，分别写出
x
tan
y x
(x
0)
=AT
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A(1,0) x
T
3
同角三角函数的基本关系
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，
那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？
由此能得到什么结论？
MP2 OM2 1
y P
1
sin2 cos2 1
MO
x
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4
上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，
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6
同角三角函数的基本关系: 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1， 商等于这个角的正切.
“同角”二层含义:一是“角相同”, 二是“任意”一个角.
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7
平方关系变形公式
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8
商数关系变形公式
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9
基本公式
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10
是否存在同时满足下列三个条件的角 ?
(1) sin 3
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21
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