立体几何高考真题大题

立体几何高考真题大题

1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60．

（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值．

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）19

-

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n m

n m n m

⋅=

求二面角． 试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．

（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．

以G 为坐标原点,GF 的方向为x 轴正方向,GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -．

由（Ⅰ）知

DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =,则

DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -,(D ．

由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ． 又平面CD

AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．

由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,

C F 60∠E =．从而可得()

C 2,0,3-．

所以()C 1,0,3E =,()0,4,0EB =,()

C 3,4,3A =--,()4,0,0AB =-． 设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则

C 0

n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩,即3040x z y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()

3,0,3n =-．

设m 是平面CD AB 的法向量,则C 0

m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩,

同理可取()

0,3,4m =．则219

cos ,n m n m n m ⋅=

=-

． 故二面角C E-B -A 的余弦值为219-

．

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主．第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决．

2．（2016高考新课标2理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将

DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H

'⊥平面ABCD ；

（Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）

295

25

． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'

D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解．

试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得

AE CF

AD CD

=，故//AC EF ．

因此

EF HD ⊥，从而EF D H

'⊥．由5AB =,6AC =得

2204DO B AB AO =-=．

由//EF AC 得

1

4

OH AE DO AD ==．所以1OH =，3D H DH '==． 于是1OH =，2

2

2

2

3110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥． 又D H

EF '⊥，而OH EF H ⋂=，

所以D H ABCD '⊥平面．

B

y

（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系

H xyz -，

则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-，

()6,0,0AC =，()3,1,3AD '=．设()111,,m x y z =是平面ABD '的法向量，则

m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨

++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-．设()222,,n x y z =是平面'

ACD 的法向量，则0

n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，

即222260

330

x x y z =⎧⎨

++=⎩，

所以可以取()

0,3,1n =-．于是cos ,||||50m n m n m n ⋅<>=

==⋅，

295

sin ,m n <>=

因此二面角B D A C '--的正弦值是

25

． 考点：线面垂直的判定、二面角．

【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α；③α∥β，a ⊥α⇒a ⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个