正余弦定理高考真题.doc教学文稿
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案
高考数学《正弦定理、余弦定理及解三角形》真题练习含答案一、选择题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a ＝2 ，b ＝3 ，B ＝π3，则A ＝( )A ．π6B ．56 πC ．π4D ．π4 或34 π答案：C解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，∴sin A ＝a sin B b ＝2×323＝22 ，又a <b ，∴A为锐角，∴A ＝π4.2．在△ABC 中，b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定 答案：C解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220 ＝3 >1，∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝7 ，则角C ＝( )A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2答案：C解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4＋9－72×2×3 ＝12，又C 为△ABC 内角，∴C ＝π3 .4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2答案：C解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴2cos A ＝1，cos A ＝12 ，∴sin A ＝1－cos 2A ＝32 ，∴S △ABC ＝12 bc sin A ＝12 ×4×32＝3 . 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( )A.14 B ．6 C ．14 D ．6 答案：D解析：∵b sin A ＝3c sin B ，由正弦定理得ab ＝3bc ，∴a ＝3c ，又a ＝3，∴c ＝1，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B ＝9＋1－2×3×23＝6，∴b ＝6 .6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 答案：B解析：∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，∴sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，∴sin A ＝1，又A 为△ABC 的内角，∴A ＝90°，∴△ABC 为直角三角形．7．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2 ，则AC ＝( )A ．5B ．5C ．2D ．1 答案：B解析：∵S △ABC ＝12 AB ×BC ×sin B ＝22 sin B ＝12 ，∴sin B ＝22，若B ＝45°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝1＋2－2×2 ×22 ＝1，则AC ＝1，则AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不合题意；当B ＝135°时，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 135°＝1＋2＋2×2 ×22＝5，∴AC ＝5 .8．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 mD ．2522m答案：A解析：由正弦定理得AC sin B ＝ABsin C，∴AB ＝AC ·sin Csin B ＝50×22sin （180°－45°－105°） ＝502 .9．[2024·全国甲卷(理)]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝60°，b 2＝94ac ，则sin A ＋sin C ＝( )A ．32 B ．2C ．72D ．32答案：C解析：∵b 2＝94 ac ，∴由正弦定理可得sin 2B ＝94sin A sin C ．∵B ＝60°，∴sin B ＝32 ，∴34 ＝94 sin A sin C ，∴sin A sin C ＝13.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，将b 2＝94 ac 代入整理得，a 2＋c 2＝134ac ，∴由正弦定理得sin 2A ＋sin 2C ＝134 sin A sin C ，则(sin A ＋sin C )2＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C ＝134 sin A sin C＋2sin A sin C ＝214 sin A sin C ＝214 ×13 ＝74 ，∴sin A ＋sin C ＝72 或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，则B ＝________．答案：23π解析：由(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac 得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－12 ，又B 为△ABC 的内角，∴B ＝23π.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝a cos B ，①则A ＝________；②若sin C ＝13，则cos (π＋B )＝________．答案：①90° ②－13解析：①∵c ＝a ·cos B ，∴c ＝a ·a 2＋c 2－b 22ac，得a 2＝b 2＋c 2，∴∠A ＝90°；②∵cos B ＝cos (π－A －C )＝sin C ＝13 .∴cos (π＋B )＝－cos B ＝－sin C ＝－13 .12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6 ，∠BAC 的角平分线交BC 于D ，则AD ＝________．答案：2 解析：方法一 由余弦定理得cos 60°＝AC 2＋4－62×2AC ，整理得AC 2－2AC －2＝0，得AC＝1＋3 .又S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ，所以12 ×2AC sin 60°＝12 ×2AD sin 30°＋12 AC ×AD sin30°，所以AD ＝23AC AC ＋2 ＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二 由角平分线定理得BD AB ＝CD AC ，又BD ＋CD ＝6 ，所以BD ＝26AC ＋2，CD ＝6AC AC ＋2 .由角平分线长公式得AD 2＝AB ×AC －BD ×CD ＝2AC －12AC（AC ＋2）2 ，又由方法一知AC ＝1＋3 ，所以AD 2＝2＋23 －12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23 －(23 －2)＝4，所以AD ＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝8，b <4，c ＝7，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，则下列结论正确的是( )A ．C ＝60°B ．△ABC 的面积为63 C ．b ＝2D ．△ABC 为锐角三角形 答案：AB解析：∵(2a －b )cos C ＝c cos B ，∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ，∴2sin A cos C ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，即2sin A cos C ＝sin (B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵在△ABC 中，sin A ≠0，∴cos C ＝12 ，∴C ＝60°，A 正确．由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得49＝64＋b 2－2×8b cos 60°，即b 2－8b ＋15＝0，解得b ＝3或b ＝5，又b <4，∴b ＝3，C 错误．∴△ABC 的面积S ＝12 ab sin C ＝12 ×8×3×32 ＝63 ，B 正确．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A 为钝角，△ABC 为钝角三角形，D 错误． 14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P ABCD 的底面是边长为4的正方形，PC ＝PD ＝3，∠PCA ＝45°，则△PBC 面积为( )A ．22B ．32C ．42D ．62 答案：C解析：如图，过点P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，取DC 的中点M ，AB 的中点N ，连接PM ，MN ，AO ，BO .由PC ＝PD ，得PM ⊥DC ，又PO ⊥DC ，PO ∩PM ＝P ，所以DC ⊥平面POM ，又OM ⊂平面POM ，所以DC ⊥OM .在正方形ABCD 中，DC ⊥NM ，所以M ，N ，O 三点共线，所以OA ＝OB ，所以Rt △P AO ≌Rt △PBO ，所以PB ＝P A .在△P AC 中，由余弦定理，得P A ＝PC 2＋AC 2－2PC ·AC cos 45° ＝17 ，所以PB ＝17 .在△PBC 中，由余弦定理，得cos ∠PCB ＝PC 2＋BC 2－BP 22PC ·BC ＝13 ，所以sin ∠PCB ＝223 ，所以S △PBC ＝12 PC ·BCsin ∠PCB ＝42 ，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC 中，点D 在边BC 上，∠ADB ＝120°，AD ＝2，CD ＝2BD .当ACAB取得最小值时，BD ＝________．答案：3 －1解析：以D 为坐标原点，DC 所在的直线为x 轴，DC →的方向为x 轴的正方向，过点D 且垂直于DC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A 位于第一象限．由AD ＝2，∠ADB ＝120°，得A (1，3 ).因为CD ＝2BD ，所以设B (－x ，0)，x ＞0，则C (2x ，0).所以AC＝（2x －1）2＋（0－3）2＝4x 2－4x ＋4，AB ＝（－x －1）2＋（0－3）2＝x 2＋2x ＋4 ，所以⎝⎛⎭⎫AC AB 2＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4.令f (x )＝4x 2－4x ＋4x 2＋2x ＋4，x ＞0，则f ′(x )＝（4x 2－4x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（x 2＋2x ＋4）′（x 2＋2x ＋4）2＝（8x －4）（x 2＋2x ＋4）－（4x 2－4x ＋4）（2x ＋2）（x 2＋2x ＋4）2＝12（x 2＋2x －2）（x 2＋2x ＋4）2 ．令x 2＋2x －2＝0，解得x ＝－1－3 (舍去)或x ＝3 －1.当0＜x ＜3 －1时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，3 －1)上单调递减；当x ＞3 －1时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(3 －1，＋∞)上单调递增．所以当x ＝3 －1时，f (x )取得最小值，即ACAB 取得最小值，此时BD ＝3 －1.16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且6S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C ＝________．答案：125解析：由余弦定理得2ab cos C ＝a 2＋b 2－c 2，又6S ＝(a ＋b )2－c 2，所以6×12 ab sin C ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝2ab cos C ＋2ab ，化简得3sin C ＝2cos C ＋2，结合sin 2C ＋cos 2C ＝1，解得sin C ＝1213 ，cos C ＝513 ，所以tan C ＝125.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：3.7正弦定理和余弦定理Word版含答案
正、余弦定理掌握正、余弦定理的内容，并能解决一些简单的三角形度量问题．知识点 正弦定理和余弦定理 1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形： (1)a ∶b ∶c ＝sin_A ∶sin_B ∶sin_C . (2)a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin_C . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos_A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos_B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos_C ．余弦定理可以变形：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)．(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．易误提醒 (1)由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 必记结论 三角形中的常用结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C (A ，B ，C ≠π2)．[自测练习]1．已知△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b ＝( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3D.6－ 2解析：在△ABC 中，易知∠B ＝30°，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 30°＝4.∴b ＝2. 答案：A2．在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32 解析：在△ABC 中，根据正弦定理，得AC sin B ＝BCsin A， ∴AC ＝BC ·sin B sin A＝32×2232＝2 3.答案：B3．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°， 即49＝25＋BC 2＋5BC ，解得BC ＝3.故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝12×5×3×32＝1534.答案：1534考点一 利用正弦、余弦定理解三角形|1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2D. 3解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即4＝b 2＋12－6b ⇒b 2－6b ＋8＝0⇒(b －2)(b －4)＝0，由b <c ，得b ＝2.答案：C2．(2015·高考安徽卷)在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________. 解析：因为∠A ＝75°，∠B ＝45°，所以∠C ＝60°，由正弦定理可得AC sin 45°＝6sin 60°，解得AC ＝2.答案：23．(2015·高考福建卷)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 解析：因为△ABC 的面积S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以103＝12×5×8×sin A ，解得sin A ＝32，因为角A 为锐角，所以cos A ＝12.根据余弦定理，得BC 2＝52＋82－2×5×8×cos A ＝52＋82－2×5×8×12＝49，所以BC ＝7.答案：7正、余弦定理的应用原则(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．(2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．考点二 利用正、余弦定理判断三角形形状|(2015·沈阳模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [解] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12.又0<A <π，∴A ＝23π.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， ∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32， ∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B 、C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形．判定三角形形状的两条途径(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系．(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，S △ABC ＝334，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得(2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，sin B (2cos A －1)＝0.∵0<B <π，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.法二：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0，及余弦定理，得(2b －c )·b 2＋c 2－a 22bc －a ·(a 2＋b 2－c 2)2ab ＝0，整理，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)△ABC 为等边三角形． ∵S △ABC ＝12bc sin A ＝334，即12bc sin π3＝334，∴bc ＝3，① ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，a ＝3，A ＝π3，∴b 2＋c 2＝6，②由①②得b ＝c ＝3，∴△ABC 为等边三角形．考点三 三角形的面积问题|(2015·高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍．(1)求sin B sin C ；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长． [解] (1)S △ABD ＝12AB ·AD sin ∠BAD ，S △ADC ＝12AC ·AD sin ∠CAD .因为S △ABD ＝2S △ADC ，∠BAD ＝∠CAD ，所以AB ＝2AC . 由正弦定理可得sin B sin C ＝AC AB ＝12.(2)因为S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC ，所以BD ＝ 2. 在△ABD 和△ADC 中，由余弦定理知 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB ， AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos ∠ADC . 故AB 2＋2AC 2＝3AD 2＋BD 2＋2DC 2＝6. 由(1)知AB ＝2AC ，所以AC ＝1.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．2．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． 解：(1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ，∵△ABC 的面积等于3，∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4， 联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.7.三角变换不等价致误【典例】 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断△ABC 的形状． [解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )] ＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2sin A cos B ·b 2＝2cos A sin B ·a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cosB.法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B ， 又sin A ·sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin 2A ＝sin 2B . 在△ABC 中，0<2A <2π，0<2B <2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得： a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0，∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0.即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．[易误点评] (1)从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补情形． (2)代数运算中两边同除一个可能为0的式子，导致漏解． (3)结论表述不规范．[防范措施] (1)判断三角形形状要对所给的边角关系式进行转化，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断．(2)在三角变换过程中，一般不要两边约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解；在利用三角函数关系推证角的关系时，要注意利用诱导公式，不要漏掉角之间关系的某种情况．[跟踪练习] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且tan A ＋tan B ＝2sin C cos A .(1)求角B 的大小；(2)已知a c ＋ca ＝3，求sin A sin C 的值．解：(1)tan A ＋tan B ＝sin A cos A ＋sin Bcos B＝sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B＝sin (A ＋B )cos A cos B ＝sin C cos A cos B， ∵tan A ＋tan B ＝2sin C cos A ，∴sin C cos A cos B ＝2sin Ccos A ，∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)a c ＋c a ＝a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac， ∵a c ＋ca ＝3，∴b 2＋2ac cos B ac ＝3， 即b 2＋2ac cosπ3ac ＝3，∴b 2ca＝2，而b 2ca ＝sin 2B sin A sinC ＝sin 2π3sin A sin C ＝34sin A sin C， ∴sin A sin C ＝38.A 组 考点能力演练1．(2016·兰州一模)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝2a sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°解析：因为在锐角△ABC 中，b ＝2a sin B ，由正弦定理得，sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，又0<A <π2，所以A ＝30°，故选A.答案：A2．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，若S ＋a 2＝(b ＋c )2，则cos A 等于( )A.45 B ．－45C.1517D ．－1517解析：S ＋a 2＝(b ＋c )2⇒a 2＝b 2＋c 2－2bc ⎝⎛⎭⎫14sin A －1，由余弦定理得14sin A －1＝cos A ，结合sin 2A ＋cos 2A ＝1，可得cos A ＝－1517.答案：D3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3，故选C.答案：C4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.5214 解析：因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A ·sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.答案：C5．(2015·唐山一模)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝( )A.1010 B.31010C.55D.255解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos ∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos ∠DAC ，∴cos ∠DAC ＝31010. 答案：B6．(2015·高考重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________.解析：由3sin A ＝2sin B 及正弦定理，得3a ＝2b ，所以b ＝32a ＝3.由余弦定理cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab，得－14＝22＋32－c 22×2×3，解得c ＝4.答案：47．(2015·高考北京卷)在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.解析：由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝4∶5∶6，又由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝25＋36－162×5×6＝34，所以sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2×sin A sin C ×cos A ＝2×46×34＝1. 答案：18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.解析：∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B .由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35.答案：359．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23a sin B ＝5c ，cos B ＝1114.(1)求角A 的大小；(2)设BC 边的中点为D ，|AD |＝192，求△ABC 的面积． 解：(1)由cos B ＝1114得sin B ＝5314.又23a sin B ＝5c ，代入得3a ＝7c ， 由a sin A ＝csin C得3sin A ＝7sin C ， 3sin A ＝7sin(A ＋B )，3sin A ＝7sin A cos B ＋7cos A sin B ， 得tan A ＝－3，A ＝2π3.(2)AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝194，c 2＋⎝⎛⎭⎫76c 2－2c ·76c ·1114＝194，c ＝3，则a ＝7. S ＝12ac sin B ＝12×3×7×5314＝1534. 10．(2016·杭州模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C －12c ＝b .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，求△ABC 周长的取值范围．解：(1)由a cos C －12c ＝b 得sin A cos C －12sin C ＝sinB.又sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以12sin C ＝－cos A sin C .因为sin C ≠0，所以cos A ＝－12. 又因为0<A <π，所以A ＝2π3. (2)由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝23sin B ，c ＝23sin C . l ＝a ＋b ＋c ＝1＋23(sin B ＋sin C ) ＝1＋23[sin B ＋sin(A ＋B )] ＝1＋23⎝⎛⎭⎫12sin B ＋32cos B ＝1＋23sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3. 因为A ＝2π3，所以B ∈⎝⎛⎭⎫0，π3， 所以B ＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，2π3. 所以sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3∈⎝⎛⎦⎤32，1. 所以△ABC 的周长的取值范围为⎝⎛⎦⎤2，233＋1. B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________. 解析：由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b 12，所以b ＝1. 答案：12．(2015·高考天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________． 解析：由cos A ＝－14得sin A ＝154，所以△ABC 的面积为12bc sin A ＝12bc ×154＝315，解得bc ＝24，又b －c ＝2，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b －c )2＋2bc －2bc cos A ＝22＋2×24－2×24×⎝⎛⎭⎫－14＝64，故a ＝8.答案：83．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C .(1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)由题设及正弦定理可得b 2＝2ac .又a ＝b ，可得b ＝2c ，a ＝2c .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝14. (2)由(1)知b 2＝2ac .因为B ＝90°，由勾股定理得a 2＋c 2＝b 2.故a 2＋c 2＝2ac ，得c ＝a ＝ 2.所以△ABC 的面积为1.4．(2015·高考湖南卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝b tan A .(1)证明：sin B ＝cos A ；(2)若sin C －sin A cos B ＝34，且B 为钝角，求A ，B ，C . 解：(1)证明：由a ＝b tan A 及正弦定理，得sin A cos A ＝a b ＝sin A sin B， 所以sin B ＝cos A .(2)因为sin C －sin A cos B ＝sin[180°－(A ＋B )]－sin A cos B ＝sin(A ＋B )－sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝cos A sin B ，所以cos A sin B ＝34. 由(1)sin B ＝cos A ，因此sin 2B ＝34.又B 为钝角，所以sin B ＝32，故B ＝120°. 由cos A ＝sin B ＝32知A ＝30°，从而C ＝180°－(A ＋B )＝30°. 综上所述，A ＝30°，B ＝120°，C ＝30°.5．(2015·高考浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2A sin 2A ＋cos 2A的值； (2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝2，得 tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得 sin A ＝1010，cos A ＝31010. 又由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝b sin B，得b ＝3 5. 由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.。
正余弦定理的高考真题
一．正弦定理1（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，c=3，C=3π则A=（ ） 2（06湖北）在ABC ∆中，已知a=,30,4,3340==A b sinB=( ) 3（07北京）在ABC ∆中，若tanA=31，0150=∠C ，BC=1，则AB=（ ） 4（07重庆）在ABC ∆中，AB=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC=（ ） A 3-3 B 2 C 2 D 3+35（06山东）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，已知A=3π，a=3，b=1，则c=（ ） A 1 B 2 C 3-1 D 36（05北京）在ABC ∆中，AC=3，0075,45=∠=∠C A ，则BC 的长为（ ） 7若ABC ∆的周长为7.5cm ，且sinA ：sinB ：sinC=4：5：6，则下列式子中成立的个数是（ ）① a ：b ：c=4：5：6 ②a ：b ：c=2：5：6 ③a=2,b=2.5c=3 ④A ：B ：C=4：5：6A 0B 1C 2D 38在ABC ∆中，A=600，13=a ，则=++++CB A c b a sin sin sin （ ） A 338 B 3392C 3326 D23 二．余弦定理1（06江苏）在ABC ∆中，已知BC=12，A=600，B=450，则AC=（ ）2（07重庆）在ABC ∆中，AB=1，BC=2，B=600，则AC=（ ）3（07湖南）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a=1，b=7，c=3，则B=（ ）4（05上海）在ABC ∆中，若0120=∠A ，AB=5，BC=7，则AC=（ ）5（06辽宁）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，设向量m =（a+c ，b ）,n =(b-a ，c-a)若m//n ，则角C 的大小为（ ） A 6π B 3π C 2π D 32π 6（06全国）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若a,b,c 成等比数列，且c=2a ，则cosB=( ) A 41 B 43 C 42 D 32 7(06辽宁)已知等腰三角形ABC 的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值为（ ） A 23 B 3 C 815 D 715 8（06四川）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，则a 2=b(b+c)是A=2B 的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件9（07天津）在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则−→−∙−→−BCAD =（ ）10（07天津）在ABC ∆中，0120=∠BAC ，AB=2，AC=1，D 是BC 上一点，DC=2BD ，−→−∙−→−BCAD =（ ） 11（06全国理）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a,b,c ，若A ，B ，C 成等差数列，则AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为（ ）三．正弦定理与余弦定理的综合应用1（06北京）在ABC ∆中，若sinA ：sinB ：sinC=5：7：8，则B ∠的大小是（ ） 2在ABC ∆中，sinA ：sinB ：sinC=3：2：4，则cosC 的值为（ ） A-41 B 41 C-32 D 32 3在ABC ∆中，C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则∠A=（ ）A300 B 060 C 0120 D 01504（05江苏）在ABC ∆中，A=3π，BC=3，则ABC ∆的周长为（ ） A 3)3sin(34++πB B 3)6sin(34++πB C 3)3sin(6++πB D 3)6sin(6++πB5（05辽宁）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边与最小边的比值为m ，则m 的范围是（ ）A （1，2）B （2，)∞+C [3，)∞+D （3，)∞+6锐角ABC ∆中，B=2A ，则ab 的取值范围是（ ） A （-2，2） B （0，2） C （2，2） D 3,2）7钝角三角形边长为a,a+1,a+2，其最大角不超过1200，则a 的取值范围是（ ） A （0，30 B[23，3） C （2，3] D[1，)25 8(07广东)已知三个顶点的直角坐标分别为A （3，4），B （0，0）C （c ，0）。
高考数学真题全国卷(汇总5篇)
高考数学真题全国卷（汇总5篇）1.高考数学真题全国卷第1篇一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc*cosA二、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)三、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a四、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))五、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB2.高考数学真题全国卷第2篇集合与函数内容子交并补集，还有幂指对函数。
正弦、余弦定理(高考题)
正弦、余弦定理公式定理（1）△ABC 的面积公式：A bc B ac C ab S sin 21sin 21sin 21===∆ （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === （3）余弦定理：⎪⎩⎪⎨⎧-+=⋅-+=⋅-+=C ab b a c Bac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222余弦定理常见变形：abc b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=)1(2)(cos 22222cocC ab b a C ab b a c +-+=-+=常用三角关系拓展（1）2cos 2sin 2sin sin BA B A B A -+=+ （2）2cos 2sin 2sin sin BA B A B A +-=- 重要结论① △ABC 中，c b a ,,分别为A,B,C 的对边，C B A c b a C B A sin sin sin >>⇔>>⇔>> ② 在△ABC 中，给定A,B 的正弦或余弦值，则C 有解（即存在）的充要条件是0cos cos >+B A链接高考1、（2012年上海）在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定.2、（2012年陕西）在△ABC 中，角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,，若2222c b a =+，则C cos 的最小值为（ ） A ．23 B ．22C ．21D ．21-3、（2011年天津）如图，在ABC ∆中，D 是边AC 上的点，且AB AD =，23AB BD =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ）A ．33 B ．36 C ．63 D ．664、（2011年辽宁）△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,，a Ab B A a 2cos sin sin 2=+则=ab（ ） (A) (B) (C) (D)5、（2010年天津）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是c b a ,,，若223a b bc -=，sin 23sin C B =，则A=（ ）（A ）030 （B ）060 （C ）0120 （D ）01506、（2010年湖南）在中，角A,B,C 所对的边长分别为c b a ,,。
高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解(2021年整理)
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高中数学高考总复习正弦定理与余弦定理习题及详解一、选择题1．（2010·聊城市、银川模拟）在△ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对边，且sin2A－sin2C＝(sin A－sin B)sin B，则角C等于( ）A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误![答案］B［解析］由正弦定理得a2－c2＝(a－b)·b，由余弦定理得cos C＝错误!＝错误!，∵0<C<π，∴C＝错误!。
2．（文)（2010·泰安模拟)在△ABC中,若A＝60°，BC＝4错误!，AC＝4错误!，则角B的大小为( ）A．30° B．45°C．135° D．45°或135°[答案］B［解析] ∵AC·sin60°＝4错误!×错误!＝2错误!〈4错误!〈4错误!，故△ABC只有一解，由正弦定理得，错误!＝错误!，∴sin B＝错误!，∵4错误!〈4错误!，∴B<A，∴B＝45°.（理）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，A＝错误!，a＝错误!,b＝1,则c＝( ）A．1 B．2C.错误!－1 D。
_正弦定理和余弦定理高考题(2021年整理)
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温馨提示：此题库为Word 版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word 文档返回原板块.考点16 正弦定理和余弦定理一、选择题1。
（2011·浙江高考文科·Ｔ5）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 。
若cos sin a A b B =，则2sin cos cos A A B +=（ )（A ）-12 （B ）12(C ）—1 (D ）1【思路点拨】用正弦定理统一到角的关系上，再用同角三角函数的平方关系即可解决。
【精讲精析】选D.由cos sin a A b B =可得2sin cos sin A A B =所以222sin cos cos sin cos 1A A B B B +=+=．二、填空题2.（2011·安徽高考理科·Ｔ14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o,并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________.【思路点拨】设三角形一边的长为x,可以用x 表示其他两边，再利用余弦定理建立方程求出x ，最后利用三角形面积公式求出ABC ∆的面积.【精讲精析】设三角形中间边长为x ，则另两边的长为x —4，x+4，那么所以解得）（,10,120cos )4(2)4(4222=---+=+x x x x x x .315120sin 61021=⨯⨯⨯=∆ ABC S【答案】3。
(完整word)正弦余弦历年高考题及答案
正余弦定理1 在 ABC 中，A B 是 sin A sinB 的 A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件C2、 已知关于x 的方程x 2 xcosA cosB 2sin 2 0的两根之和等于两根之积的一半，2则 ABC - -定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形.3、 已知a,b,c 分别是△ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边，若 a=1,b^. 3, A+C=2B,则sinC=则角A 的大小为 _______________ . 6、在 ABC 中，a, b, c 分别为角A, B, C 的对边，且4sin 2 —C cos2A 72 2（1） 求 A 的度数（2）若a 3 , b c 3，求b 和c 的值7、 在厶ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ ABC 的形状.8、如图，在△ ABC 中，已知a , 3 , b . 2 , B=45求A C 及c .则a=5、在 ABC 中，角A,B,C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若acosB.2，c J4、2 2 21、 解：在 ABC 中，A B a b 2Rsi nA 2Rsi nB si nA si nB ，因此，选 C .1 2 C 1 cosC "十2、 【答案】由题意可知： cos A cos B 2 sin ，从而 2 2 2ABC 一定是等腰三角形选3、【命题立意】 本题考察正弦定理在解三角形中的应用4、【命题立意】 本题考查解三角形中的余弦定理。
5、【命题立意】 本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了考生 的推理论证能力和运算求解能力。
【思路点拨】 先根据si nB cosB ,2求出B,再利用正弦定理求出 si nA ，最后求出A. 1解得 sin A ，又 a<b ，所以 A<B=45 o ,所以 A=30o .2cos A cos B 1 cos(AB) 1 cosAcosB sin Asin BcosAcosB sin Asin B 1 , cos(A B) 1 又因为A B 所以A B 0,所以【思路点拨】 由已知条件求出B 、A 的大小，求出C ，从而求出sinC.【规范解答】由 A+C=2B 及 A1B C 180o 得B 60o ，由正弦定理得」sin A1sin A -, 260o ，所以 A 30o , C 180o 90o ，所以 sinC sin 90o1.【思路点拨】 对 C 利用余弦定理，通过解方程可解出【规范解答】由余弦定理或2 （舍）。
2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理
2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理第一篇：2014届高考数学：1.3.7正弦定理与余弦定理一、选择题1．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC一定是()A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形解析：方法一：由已知结合正、余弦定理得a2＋c2－b2ac，整理得a2＝b2，∴a＝b，2ac2R2R∴△ABC一定是等腰三角形．方法二：∵sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，∴由已知得sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0，又A－B∈(－π，π)，∴A－B＝0，即A＝B.∴△ABC为等腰三角形．答案：B2．满足A＝45°，c＝6，a＝2的△ABC的个数记为m，则am的值为()A．4B．2C．1D．不确定accsinA解析：由正弦定理，得sinC＝sinAsinCa22232＝∵c＞a，∴C＞A＝45°，∴C＝60°或120°，∴满足条件的三角形有2个，即m＝2.∴am＝4.答案：Aabc3．在△ABC中，若＝ABC是()cosAcosBcosCA．等腰三角形B．等边三角形C．顶角为120°的等腰三角形D．以上均不正确解析：由已知条件及正弦定理，得tanA＝tanB＝tanC，又0＜A ＜π，0＜B＜π，0＜C＜π，故A＝B＝C，所以△ABC为等边三角形，故答案为B.答案：BsinB4．在△ABC中，A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为()sinC 8553A.B.C.D.5835解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－10AC·cos120°，sinBAC3∴AC＝3.由正弦定理得.sinCAB5 答案：D15．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且面积S△ABC＝(b2＋c2－a2)，则A等于()4A．45°B．30°C．120°D．15°11解析：由S△ABC＝(b2＋c2－a2)＝42b2＋c2－a2得sinA＝＝cosA，∴A＝45°.2bc答案：A6．若△ABC的周长等于20，面积是103，A＝60°，则BC边的长是()A．5B．6C．7D．811解析：依题意及面积公式S＝，得3，得bc＝40.又周长为20，故a22＋b＋c＝20，b＋c＝20－a，由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－2bccos60°＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.故答案为C.答案：C二、填空题7．在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，则角C＝__________.a2＋b2－c2ab1解析：∵a2－c2＋b2＝ab，∴cosC＝＝2ab2ab2 又∵0°＜C＜180°，∴C＝60°.答案：60°π38．在△ABC中，BC＝2，B＝ABC的面积为，则tanC为__________． 3213解析：由S△ABC＝BC·BAsinB＝得BA＝1，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－222AB×BCcosB，∴AC＝3，∴△ABC为直角三角形，其中A为直角，AB3∴tanC＝.AC3答案：3319．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若三角形的面积S＝＋b2－c2)，4则C＝__________.111解析：由S＝(a2＋b2－c2)得absinC ＝·2abco sC.424π∴tanC＝1.∴C＝.4π答案： 4三、解答题10．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．(1)求证：A＝2B；(2)若a3b，判断△ABC的形状．解析：(1)证明：因为a2＝b(b＋c)，即a2＝b2＋bc，所以在△ABC中，由余弦定理可得，a2＋c2－b2c2＋bcb＋ca2asinAcosB＝＝＝ 2ac2ac2a2ab2b2sinB所以sinA＝sin2B，故A＝2B.a(2)因为a＝3b，所以＝3，b由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，a2＋c2－b23b2＋4b2－b23cosB＝＝2ac24所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°.所以△ABC为直角三角形．11．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tanC＝37.(1)求cosC；→→5(2)若CB·CA＝a＋b＝9，求c.2sinC解析：(1)∵tanC＝7，∴＝37，cosC1又∵sin2C＋cos2C＝1解得cosC＝.81∵tanC＞0，∴C是锐角．∴cosC.85→→5(2)∵CB·CA＝abcosC＝，∴ab＝20.22又∵a＋b＝9，∴a2＋2ab＋b2＝81.∴a2＋b2＝41.∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36.∴c＝6.C12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知sinC＋cosC＝1－sin.2(1)求sinC的值；(2)若a2＋b2＝4(a＋b)－8，求边c的值．C解析：(1)由已知得sinC＋sin＝1－cosC，2CCC2cos1⎫＝2sin2∴sin2⎭22CCC由sin，得2cos1＝2sin 222CC1∴sincos.22213两边平方，得1－sinC＝，∴sinC＝44CC1πCππ3(2)由sincos0＜＜C＜π，则由sinC＝得cosC＝－222422244由a2＋b2＝4(a＋b)－8得(a－2)2＋(b－2)2＝0，则a＝2，b＝2.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2bccosC＝8＋27，所以c7＋1.第二篇：正弦定理余弦定理[推荐]正弦定理余弦定理一、知识概述主要学习了正弦定理、余弦定理的推导及其应用，正弦定理是指在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通过两定理的学习，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用这两个定理去解斜三角形，学会用计算器解决解斜三角形的计算问题，熟悉两定理各自解决不同类型的解三角形的问题．认识在三角形中，已知两边和其中一边的对角解三角形，产生多解的原因，并能准确判断解的情况．二、重点知识讲解1、三角形中的边角关系在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，则有（1）角与角之间的关系：A＋B＋C＝180°；（2）边与角之间的关系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA2、正弦定理的另三种表示形式：3、余弦定理的另一种表示形式：4、正弦定理的另一种推导方法——面积推导法在△ABC中，易证明再在上式各边同时除以在此方法推导过程中，要注意对面积公式的应用．例1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面积S=15，求△AB C的三个内角．分析：在正弦定理中，由进而可以利用三角函数之间的关系进行解题．解：可以把面积进行转化，由公式∴C=30°或150°又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°显然A＋B=90°不可能成立当C=30°时，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°当C=150°时，由A－B=90°得B为负值，不合题意故所求解为A=120°，B=30°，C=30°.例2、在△ABC中，a、b、c分别是内角A、B、C的外边，若b=2a，B=A＋60°，求A的值．分析：把题中的边的关系b=2a利用正弦定理化为角的关系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA．解：∵B=A＋60°∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，试判断△ABC的形状．分析：三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a＋b＝c，a＋b>c（锐角三角形），a＋b＜c（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA ＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．解法一：由同角三角函数关系及正弦定理可推得，∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形状，此类问题主要考查边角互化、要么同时化边为角，要么同时化角为边，然后再找出它们之间的关系，注意解答问题要周密、严谨．例4、若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状．分析：本题既可以利用正弦定理化边为角，也可以利用余弦定理化角为边．解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°故△ABC为等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c 故△ABC为等腰三角形或直角三角形．6、正弦定理，余弦定理与函数之间的相结合，注意运用方程的思想．例5、如图，设P是正方形ABCD的一点，点P到顶点A、B、C的距离分别是1，2，3，求正方形的边长．分析：本题运用方程的思想，列方程求未知数．解：设边长为x(1设x=t，则1－5)=16t三、难点剖析1、已知两边和其中一边的对角，解三角形时，将出现无解、一解和两解的情况，应分情况予以讨论．下图即是表示在△ABC中，已知a、b和A时解三角形的各种情况．（1）当A为锐角时（如下图），（2）当A为直角或钝角时（如下图），也可利用正弦定理进行讨论．如果sinB>1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出sinB<1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2、用方程的思想理解和运用余弦定理：当等式a2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知数时，等式便成为方程．式中有四个量，知道任意三个，便可以解出另一个，运用此式可以求a或b或c或cosA．3、向量方法证明三角形中的射影定理在△ABC中，设三内角A、B、C的对边分别是a、b、c．4、正弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知两角和任一边解三角形；（2）已知两边和一边的对角解三角形．5、余弦定理解三角形可解决的类型：（1）已知三边解三角形；（2）已知两边和夹角解三角形．6、三角形面积公式：例6、不解三角形，判断三角形的个数．①a＝5，b＝4，A＝120°②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．③a④a0 ∴△ABC有两解．⑤b>c，C＝45°，∴△ABC无解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，这样B＋C>180°，∴△ABC 无解．第三篇：正弦定理和余弦定理大毛毛虫★倾情搜集★精品资料第一章解三角形§1.1.1正弦定理和余弦定理一、选择题1．已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30°，则∠B等于……………………....()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°2．已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝120°，则△ABC的面积为…………..()A．9B．18C．93D．1833．已知△ABC中，a∶b∶c＝13∶2，则A∶B∶C等于………………………..()A．1∶2∶3B．2∶3∶1C．1∶3∶2D．3∶1∶24．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k(k≠0)，则k的取值范围为…..()A．(2，＋∞)] 1B．(-∞，0)C．(-2，0)1D．(2，＋∞)5．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是………………………..()A．b＝7，c＝3，C＝30°B．b＝5，c＝42，B＝45°C．a＝6，b＝63，B＝60°D．a＝20，b＝30，A＝30°* 6．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则a+b+c等于….()sinA+sinB+sinCA．33二、填空题23983B．3C．3 39D．27．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积是________．8．设△ABC的外接圆半径为R，且已知AB＝4，∠C＝45°，则R ＝________．39．已知△ABC的面积为2，且b＝2，c＝3，则∠A＝________．10*．若三角形中有一个角为60°，夹这个角的两边的边长分别是8和5，则它的内切圆半径等于________，外接圆半径等于________．三、解答题11．在△ABC中，∠C＝60°，BC＝a，AC＝b，a＋b＝16．(1)试写出△ABC的面积S与边长a的函数关系式．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料(2)当a等于多少时，S有最大值？并求出这个最大值．12．在△ABC中，已知a2-a＝2(b＋c)，a＋2b＝2c-3，若sinC∶sinA＝4，求a，b，c．A-Ba-b=a+btan2． 13．在△ABC中，求证tan14*．在一个三角形中，若有一个内角不小于120°，求证：最长边与最短边之比不小于．大毛毛虫★倾情搜集★精品资料§1.1.1正弦定理和余弦定理参考答案一、选择题D C A D C B二、填空题77．2或8． 22 9．60°或120°10． 33三、解答题11．解：(1)∵ a＋b＝16，∴ b＝16-aS＝2absinC3＝2a(16-a)sin60°＝4(16a-a2)＝-4(a-8)2＋16（0＜a＜16)(2)由(1)知，当a＝8时，S有最大值163．12．解：∵ sinC∶sinA＝4∴ c∶a＝4设c＝4k，a＝k，则⎧⎪⎨13k2-k=2(b+4k)⎪⎩k+2b=8k-3由①、②消去2b，得13k2-16k＋3＝0③解得k＝13或k＝1，∵ k＝13时b＜0，故舍去．5-∴ k＝1，此时a＝，b＝2，c＝4．13．证明：由正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB大毛毛虫★倾情搜集★精品资料a-b2RsiAn-2RsiBnsiAn-siBn==a+b2RsiAn+2RsiBnsiAn+siBn A+BA-BA+BA-Bsi+)-si-)=si+)+si-)2222A-BA+BA-B2sicota==A+BA-BA+B2sicota222∴14．证明：在△ABC中，设C≥120°，则c最长，令最短边为a，由正弦定理得csiCnsinA+(B)==nsiAnasiA∵ A≤B∴ 2A≤A＋B≤180°-C≤60°π∵ 正弦函数在(0，3)上是增函数，∴ sin(A＋B)≥sin2A＞0csin(A+B)sin2A2sinAcosA==sinA≥sinAsinA∴ a＝2cosAc∴ a≥2cosA∵ 2A≤60°∴ 0°＜A≤30°∴ cosA≥cos30°＝2c3∴ a≥2·2c∴ a≥3∴ 最长边与最短边之比不小于3大毛毛虫★倾情搜集★精品资料第四篇：正弦定理,余弦定理正弦定理、余弦定理（4）教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点: 三角函数公式变形与正、余弦定理的联系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理：，二、讲解范例：例1在任一△ABC中求证：证：左边== =0=右边例2 在△ABC中，已知，B=45 求A、C及c解一：由正弦定理得：∵B=4590 即ba ∴A= 60第五篇：2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理2014年高考数学第一轮复习：正弦定理、余弦定理一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理： 1.正弦定理： ____________________.强调几个问题：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一；（4）公式的变形：①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；a=__R（R为∆ABCsinAsinA=②abc,sinB=,sinC=2R2R2R；③sinA:sinB:sinC=a:b:c．（5）三角形面积公式：S∆ABC=________=_________=________．(6)正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边和一角。
江苏版高考数学一轮复习：专题4.7正余弦定理应用讲解附答案.doc
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】专题4.7 正余弦定理应用【考纲解读】内容要求备注A B C解三角形正弦定理、余弦定理及其应用√掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．【直击考点】题组一常识题1．海上有A，B，C三个小岛，A，B两岛相距53海里，从A岛观测到C和B成45°角，从B岛观测到C和A成75°角，则B，C两岛间的距离是________海里．【解析】易知∠ACB＝60°，由正弦定理ABsin C＝BCsin A，得53sin 60°＝BCsin 45°，即BC＝5 2.2．已知△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，则△ABC的面积为________．【解析】由面积公式得S△ABC＝12AB·AC·sin A＝342.3．如图，山脚下有一座小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，则山高CD＝________m.【解析】如图，设CD＝x m，则AE＝(x－20) m，tan 60°＝CDBD，所以BD＝CDtan 60°＝x3＝33x(m)．在△AEC中，x－20＝33x，解得x＝10(3＋3)．题组二常错题4．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________．【解析】由已知可知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，所以∠BAC＝60°＋70°＝130°.5．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的方位是____________．题组三常考题6．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．【解析】设电视塔的高度为x m，则BC＝x m，BD＝3x m．在△BCD中，由余弦定理，得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝－20(舍去)或x＝40.7．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为________海里/小时．【知识清单】考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．方向角相对于某一方向的水平角(如图③)．图③(1)北偏东α°：指北方向向东旋转α°到达目标方向．(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.(3)其他方向角类似．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．图④坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．【考点深度剖析】这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．【重点难点突破】考点1 正弦定理、余弦定理的实际运用【1-1】甲，乙两船同时从B 点出发，甲以每小时km 20的速度向正东航行，乙船以每小时km 320的速度沿南偏东60的方向航行，1小时后，甲、乙两船分别到达C A ,两点，此时BAC 的大小为 ； 【答案】0120平分BC ，∴AB=AC=20km ，根据余弦定理BC 2=AB 2+AC 2-2AB •AC •cos ∠BAC ，得：1200=400+400-800cos ∠BAC ，∴cos ∠BAC=-12，又∠BAC 为三角形的内角，则∠BAC=120°．故答案为：120° 【1-2】某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC ， ∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．（Ⅰ）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF ⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；（Ⅱ）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．（Ⅱ）设正DEF ∆的边长为a ，CEF α∠=，【思想方法】(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 【温馨提醒】测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念，准确画出示意图是关键．【易错试题常警惕】(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程。
2020高考提分秘笈：正弦定理和余弦定理(原卷版+解析版)
3 A.
3
23 B.
3
3 C.
6
43 D.
3
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16 千里之行 始于足下
二、填空题
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6.(2018·浙江卷)在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 7，b＝2，A＝60°，则 sin B ＝________，c＝________.
sin A 5c
第四篇 三角函数与解三角形
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专题 4.06 正弦定理和余弦定理
【考试要求】
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
【知识梳理】
1.正、余弦定理
在△ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为△ABC 外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
公式
a
b
c
sin A＝sin B＝sin C＝2R
π
π
π
π
A.12
B.6
C.4
D.3
A＋B (2)(2019·北京海淀区二模)在△ABC 中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 2cos2 －cos 2C＝1，4sin
2 B＝3sin A，a－b＝1，则 c 的值为( )
A. 13
B. 7
C. 37
D.6
6 千里之行 始于足下
(3)在△ABC 中，已知 a＝2，b＝ 6，A＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1 个 B.2 个 C.0 个 D.无法确定
【真题体验】
π
π
4.(2018·烟台质检)已知△ABC 中，A＝ ，B＝ ，a＝1，则 b 等于( )
正弦定理和余弦定理教学课件—A3演示文稿设计与制作【微能力认证优秀作业】
1、在△ABC中，已知sinA：sinB：sinC＝5：7：8，
则B＝ 1 2 0 0
2 、 A B C 中 ， 若 a , b , c 成 等 比 数 列 ， 且 c 2 a , 则 c o s B ( d Bd d )
A.1
B .3
4
4
C. 2
D. 2
4
3
3、设△ABC的内角A、B、C所对的边为a、b、c， 已知a＝1，b＝2，cosC=1/4. ①求△ABC的周长； ②求cos(A-C)的值。
b
c
正弦定理：sin A ＝sin B ＝ sin C＝2R，其中 R 是三角形外接
圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝ sin A∶
sin B∶sin C ；(2)a＝ 2Rsin A，b＝ 2Rsin B，c= 2Rsin C；
a
b
c
(3)sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R等形式，以解
决不同的三角形问题．
(1)余弦定理：
余弦定理
a 2 b 2 c2 2 b cc o sA b2 c2 a2 2cacosB
c2 a2 b2 2abcosC
(2)常见变形公式： cosAb2 c2 a2 2bc
(边角互化，求角,判别角)
常见求解问题
问题一：三角形中的边角运算 问题二：三角形的形状判断 问题三：三角形的面积求解
则c＝ 2 7 。
可归纳出——
解斜三角形的类型：
求角时要注意用“大
①已知两角和任一边，求其他两边和一边角对，大用角正”弦进定行理取舍。
②已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，用 正弦定理。 ③已知三边求三角，用 余弦 定理。 ④已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，用 余弦定理。
正弦定理余弦定理(原卷版)
考点31 正弦定理、余弦定理【命题解读】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等 【基础知识回顾】1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．a 2＝b 2＋c2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)；(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．1、 在△ABC 中，若AB ＝13，BC ＝3，C ＝120°，则AC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2、 已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c 等于( )A ．2 5 B.5 C ．25或 5D ．均不正确3、 在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( ) A.32B.3 C ．2 3D ．24、 在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB 等于( )A ．4 2 B.30 C.29 D ．255、 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定6、在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形7、 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin C ＋c sin B ＝4a sin B sin C ，b 2＋c 2－a 2＝8，则△ABC的面积为 ．8、 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －3cos C cos B ＝3c －a b ，则sin Csin A的值为__________．考向一 运用正余弦定理解三角形例1、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4变式1、（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）ABC ．D ．变式2、【2020江苏淮阴中学期中考试】在ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么tan C =________．变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 变式4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=． （1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．方法总结：本题考查正弦定理、余弦定理的公式．在解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．考查基本运算能力和转化与化归思想．考向二 利用正、余弦定理判定三角形形状例2、（多选题）已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，下列四个命题中正确的是( )ABC 3AC =2BC =3cos 4C =tan A =33A ．若tan A ＋tanB ＋tanC >0，则△ABC 是锐角三角形 B ．若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰三角形 C ．若b cos C ＋c cos B ＝b ，则△ABC 是等腰三角形D ．若a cos A ＝b cos B ＝ccos C，则△ABC 是等边三角形变式1、△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a sin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．变式2、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形方法总结： 判定三角形形状的途径：①化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；②化角为边，通过代数变形找出边之间的关系．正(余)弦定理是转化的桥梁．考查转化与化归思想． 考点三 运用正余弦定理研究三角形的面积考向三 运用正余弦定理解决三角形的面积例3、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b cos C ＋c cos B ＝2a cos A ． (1) 求角A 的大小；(2) 若AB →·AC →＝3，求△ABC 的面积．变式1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知a ≠b ，c ＝3，cos 2A －cos 2B ＝3sin A cosA －3sinB cos B ．(1) 求角C 的大小；(2) 若sin A ＝45，求△ABC 的面积．变式2、（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________．变式3、【2020江苏溧阳上学期期中考试】在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3b =，222sin sin 3sin A B C -=，1cos 3A =-，则ABC ∆的面积是______．方法总结：1．求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解． (2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．考向三 结构不良题型例4、（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①b ac -=；②2cos 22cos 12A A +=；③a =④b = （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）变式2、（2020cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin2A Cb A +=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ∆的面积.1、【2020年高考全国III 卷理数】在△ABC 中，cos C =23，AC =4，BC =3，则cos B = A ．19B ．13C ．12D ．232、【2018年高考全国Ⅱ理数】在ABC △中，cos2C =1BC =，5AC =，则AB =A ． BCD ．3、【2018年高考全国Ⅲ理数】ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C =A ．π2 B ．π3 C ．π4D ．π64、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为_________．5、【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．6、【2018年高考浙江卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a =b =2，A =60°，则sin B =___________，c =___________．7、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.8、（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．9、【2020年新高考全国Ⅱ卷】在①ac =sin 3c A =，③c =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在ABC △，它的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin A B ，6C π=，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。
考点08 正、余弦定理(新高考地区专用)(解析版)
考点08 正、余弦定理一．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则二.三角形常用面积公式(1)S ＝12a·h a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ；(3)S ＝12r(a ＋b ＋c)(r 为三角形内切圆半径)．知识理解考向分析考向一 正余弦的选择【例1】（1）（2020·陕西省商丹高新学校）已知在ABC ∆中，15,1060BC AC A ===︒，，则cos B =_______．（2）（2020·全国高三专题练习）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C =60°，b，c =3，则A =_________. 【答案】（1）3（2）75 【解析】（1）由于15,1060BC AC A ===︒，，所以由正弦定理可得：sin sin BC AC A B =，即：01510sin 60sin B =，解得：sin 3B =， 由于在ABC ∆中，,60BC AC A >=︒，根据大边对大角可知：00A B >>，则cos 0B >, 由22sin cos 1B B +=，解得：cos 3=B，故答案为3（2）由正弦定理sin sin b c B C=，得sin 2sin 32b C Bc ===，结合b c <可得45B =，则18075A B C =--=.【举一反三】1．（2020·吉林高三其他模拟）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知30B =︒，2a =，1sin 5A =，则b =__．【答案】5【解析】因为30B =︒，2a =，1sin 5A =， 所以由正弦定理sin sin a b A B=，可得21sin 305b=︒，解得5b =．故答案为：5 2．（2020·海南华侨中学高三月考）在ABC 中，已知a =2b =，45B =︒，则角A 的度数为______． 【答案】30° 【解析】由正弦定理sin sin a b A B =，得1sin sin sin 4522a A Bb ==︒=，又因为b a >，故30A =︒．故答案为：30°．3．（2020·肥东县综合高中高三月考（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3C π=，b ，3c =，则A =________．【答案】512π【解析】由正弦定理知，sin sin b c B C=，所以3sin sin 3B π=，解得sin B =， 则4B π=或34B π=，又因为b c <，所以B 为锐角，即4B π=，所以512A BC ππ=--=，故答案为:512π. 4．（2020·上海市罗店中学）在ABC ∆中，已知1,6a b B π===，则c =______【答案】1或2.【解析】在ABC ∆中，因为1,6a b B π===，由正弦定理得sin sin a b A B =111sin 62π==所以sin A =，所以23A π=或3A π= 当23A π=时，得到6C AB ππ=--=，所以B C =，故1c b ==；当3A π=时，得到2C A B ππ=--=，所以2c ==.故答案为：1或2.5．（2020·湖北高三月考）在ABC 中，75∠=∠=B C ，2BC =，则AB =__________.【解析】因为75∠=∠=B C ，所以180757530A ∠=--=，所以2sin 306=AB =考向二 边角互换【例2】（1）（2020·上海高三其他模拟）在锐角△ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，若2sin b a B =，则角A 等于________.（2）（2020·上海格致中学高三月考）在三角形ABC 中，角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，若()()a b c b c a bc +++-=，则角A =________【答案】（1）6π（2）23π【解析】（1）利用正弦定理化简2sin b a B =，得sin 2sin sin B A B =，因为sin 0B ≠，所以1sin 2A =，因为A 为锐角，所以6A π=．（2）由()()a b c b c a bc +++-=得：22()b c a bc +-=，即222b c a bc +-=-，2221cos 22b c a A bc +-=-∴=，A 是三角形的内角，23A π∴=故答案为：23π.【举一反三】1．（2020·全国高三专题练习）在锐角ABC 中，角,A B 所对的边分别为,a b ，若2sin a B =，则角A =________．【答案】3π【解析】∵2sin a B =，∴ 根据正弦定理边角互化得：2sin sin A B B =，又∵0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴ sin 0B ≠，∴ sin 2A =， ∵ABC 为锐角三角形，∴0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ 3A π=故答案为：3π 2．（2020·全国高三专题练习）在ABC ∆中，角A B C ，，所对应的边分别为a b c ，，．已知cos cos 2b C c B b +=，则ba=______ ． 【答案】12【解析】将cos cos 2b C c B b +=，利用正弦定理可得：sin cos sin cos 2sin B C C B B +=， 即()sin 2sin B C B +=，∵()sin sin B C A +=，∴sin 2sin A B =，利用正弦定理可得：2a b =， 则12b a =． 故答案为12．3．（2020·广东中山纪念中学高三月考）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 若cos sin a B A =，则B=___________. 【答案】6π【解析】已知cos sin a B A =， 由正弦定理可得，sin cos sin A B B A =，由sin 0A >，化简可得tan B =，∵0B π<<，故6B π=．故答案为：6π4．（2020·西安市第六十六中学高三期末（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则角B =______.【答案】π3B =【解析】由正弦定理及πsin cos 6b A a B ⎛⎫=-⎪⎝⎭可得：πsin sin sin cos 6B A A B ⎛⎫=-⎪⎝⎭,在ABC 中，sin 0A ≠，∴πsin cos 6B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即ππsin cos cos sin sin 66B B B =+∴tanB =又B 为三角形内角，∴B =3π故答案为:3π. 5．（2020·拉孜县中学高三月考）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos cos cos c A a B b A =+.则A =_________【答案】π3【解析】由正弦定理可知， 2cos cos cos c A a B b A =+化简得，2sin cos sin cos sin cos sin()sin C A A B B A A B C =+=+=，又由(0,)A π∈，sin 0A ≠，得出1cos 2A =，3A π=故答案为：3π. 考向三 三角形的面积公式【例3】（1）（2020·天津耀华中学高三期中）在ABC 中.260AC BC B ===︒，.则ABC 的面积等于________．（2）（2020·北京铁路二中高三期中）若ABC 222)a c b +-，则B ∠=________．【答案】（1）2（2）π3【解析】（1）由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠，即2744cos60AB AB =+-︒，解得3AB =（1AB =-舍去），所以11sin 32sin 60222ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯⨯︒=△．故答案为：（2）因为222cos 2a c b B ac+-=，所以2222cos a c b ac B =+-，又因为1sin 2S ac B =，所以1sin 2cos 2ac B ac B =，解得tan B = 因为(0,)B π∈，所以3B π=，故答案为：π3【举一反三】1．（2020·陕西高三三模）已知a ，b ，c 分别为ABC 内角A ，B ，C 的对边，a =sin 3A =，b ，则ABC 的面积为__________.【解析】由于a =sin A =，b =，∵a b <，∴A B <，cos 3A =，由余弦定理得22232b c a bc+-=，解得2c =，∴ABC 的面积122S =⨯=.2．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））在ABC ∆中，2BC =，60B =︒，若ABC ∆的面积等于2，则边长AC 为__________．【解析】因为2ABC S ∆=，故1sin 22ac B =，所以2ac =.又2a =，所以1c =，故22212122132b =+-⨯⨯⨯=，从而AC b == 3．（2020·黑龙江鹤岗一中高三月考（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知sin sin sin sin b C c B B C +=，2226b c a +-=，则ABC 的面积为_______．【答案】32【解析】由已知条件及正弦定理可得2sin sin sin sin B C A B C =，易知sin sin 0B C ≠，所以sin A =， 又2226b c a +-=，所以2223cos 2b c a A bc bc+-==，所以cos 0A >，所以cos A =3bc =，bc =，所以ABC 的面积113sin 2222S bc A ==⨯=． 故答案为：32. 4．（2020·河南焦作·高三一模）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的2c a -=，1cos 4B =，则b 的值为_______. 【答案】4【解析】因为1cos 4B =，所以sin 4B ==，因为已知ABC所以11sin 224ABC S ac B ac ==⨯=△8ac =，由余弦定理得()222212cos 2162b ac ac B c a ac ac =+-=-+-=，所以4b =.故答案为：4 考向四 正余弦综合运用【例4】（2020·江苏宿迁中学高三期中）在①S =6b c +=，③3sin sin 14B C =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题的三角形存在，求b 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且a =23A π=，____________？【答案】选择见解析；三角形存在，2b =或4. 【解析】方案一：选条件①.在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 故2228b c bc ++=.由①S =23A π=可得1sin 2bc A =8bc =. 由此可得4220640b b -+=，解得2b =或4.因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时2b =或4. 方案二：选条件②.在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 故2228b c bc ++=.由②6b c +=可得2680b b -+=，解得2b =或4. 因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时2b =或4. 方案三：选条件③.在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-， 故2228b c bc ++=.由正弦定理和a =23A π=得sin sin b c B C == 从而112sin sin 83bc B C ==，由此可得4220640b b -+=，解得2b =或4.因此，选条件③时问题中的三角形存在，此时2b =或4. 【举一反三】1．（2020·江苏高三期中）在①222b a c =+，②cosB sin A a b =，③sin B +cos B 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，A =3π，b . （1）求角B ； （2）求△ABC 的面积.【答案】条件选择见解析；（1）4B π=；（2【解析】（1）若选①，222b a c =+，则由余弦定理得222cos 222a cb B ac ac +-===， 因为(0,)B π∈，所以4B π=若选②，cos sin a B b A =，由正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===得 sin cos sin sin A B B A =，又(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以cos sin B B = 又(0,)B π∈，tan 1B =，4B π=，若选③，由sin cos B B +=)4B π+所以sin()14B π+=，又(0,)B π∈，所以5(,)444B πππ+∈，42B ππ+=，所以4B π=，（2）由正弦定理得sin sin a bA B =，又3A π=，b =4B π=所以sinsin2b AaB===512C A Bππ=--=，所以5sin sin sin()sin cos cos sin124646464Cπππππππ==+=+=所以11sin224ABCS ab C===2．（2020·江苏高三期中）在①a＝6；②a＝8；③a＝12这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin B的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且a2＋b2－c2=4S，c=__________？【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】由题意可知在△ABC中，因为a2＋b2－c2=4S，且1sin2S ab C=，所以222sin2a b cCab+-=，由余弦定理可知222sin cos2a b cC Cab+-==，因为()Cπ∈，，且cos0,tanC=1C≠，所以4Cπ=，若选①a＝6，由正弦定理可得sin sina cA C=，解得3sin sin5aA Cc===，在△ABC中，因为c>a，所以C>A，又因为4Cπ=，则A只有一解，且02Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以4cos5A===，所以()34sin sin sin cos sin sin525210B AC A C C A=+=+=⋅+⋅=；若选②a ＝8，由正弦定理可得sin sin a c A C =，解得4sin sin 25a A C c ===， 在△ABC 中，因为c <a ，所以C <A ，又因为4C π=，则A 有两解，所以3cos 5A ===±，所以()43sin sin sin cos sin sin 52521010B AC A C C A =+=+=⋅±⋅=； 若选③a ＝12，由正弦定理可得sin sin a cA C=，解得6sin sin 125a A C c ===>， 则△ABC 无解，即三角形不存在.1．（2019·江西省信丰中学高三月考）在△ABC 中，三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，．若14,,sin 63b B A π=∠==，则a =______． 【答案】83【解析】∵三个内角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若14,,sin 63b B A π=∠==∴根据正弦定理得sin sin a b A B=，即41sin 36a π=∴83a =故答案为83 2．（2020·海南华侨中学高三月考）ABC ∆中，已知2,45a b B ===︒，则A 为__________．【答案】o 30【解析】在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B =，所以sin sin a B A b ==12=，又a b <，因此45A <︒，所以30A =︒．答案：30． 3．（2020·山东高三月考）在ABC 中，4B π=，AB =3BC =，则sin A =______.强化练习【解析】由题意得2222cos295AC AB BC AB BC B=+-⋅⋅=+-=，即AC=sin sinBC ACA B=，3sin2A=sin A=.4．（2020·肇东市第四中学校高三期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b＝2，A＝3π，则△ABC的面积为________．【解析】由正弦定理得sin B＝sinb Aa2sinπ＝7，∵b<a，∴B<A，∴cos B，∴sin C＝sin(A＋B)＝14，∴△ABC的面积为12ab sin C.5．（2020·云南高三期末（理））在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若1c=，=4Bπ，3cos5A=，则b=___________.【答案】57【解析】因为在ABC中，=4Bπ，3cos5A=，所以sin cos2B B==，4sin5A=，因此()34sin sin sin cos cos sin252510C B A B A B A=+=+=+=，又1c=，所以由正弦定理可得sin sin c b C B =，则sin 5sin 710c B b C ===.故答案为：57. 6．（2020·宁夏银川一中高三月考（文））在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若tan C =cos 8A =，b =ABC 的面积为________. 【答案】2【解析】sin tan cos CC C==22sin cos 1C C +=，解得sin C C ==cos 8A =，所以，sin 8A =，sin cos cos sin sin()sin A C A C A C B +=+==，,sin sin a bb A B==故11sin 2224ABCSab C =⨯=⨯⨯2=7．（2020·四川石室中学高三其他模拟）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3B π=，4Cπ，2a =，则ABC 的面积为______.【答案】3【解析】由题可知，在ABC 中，()1sin sin sin sin cos cos sin 34343422224A B C ππππππ⎛⎫=+=+=+=+⨯=⎪⎝⎭， 由正弦定理可得sin sin a b A B=，sinsinab BA∴=⨯==(11sin2322S ab C∴==⨯⨯=-故答案：3.8．（2020·山东高三期中）若ABC的面积()22214S b c a=+-，则A=______.【答案】4π【解析】依题意()22214S b c a=+-，即()22211sin24bc A b c a=+-，即222sin cos2b c aA Abc+-==，所以tan1A=，由于0Aπ<<，所以4Aπ=.故答案为：4π9．（2020·全国高三专题练习）在ABC∆中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c=，且cos3cosa Bb A=，则ABC∆的面积为______.【答案】2【解析】由余弦定理得222222322a cb bc aa bac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a+-=+-，解得a=，∴222cos2b c aAbc+-===，∴sin A==故11sin42222ABCS bc A∆==⨯=.故答案为：210．（2020·上海高三二模）在ABC中，内角、、A B C的对边分别为a b c、、，若222sina b c A++=，则A=______．【答案】3π.【解析】()22222222cos sin a b c b c bc A b c A ++=+-++=⇒222sin 6bc A b c π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，而22sin 62b c A bc π+⎛⎫+= ⎪⎝⎭212bc bc ≥=,sin 16A π⎛⎫⇒+≥ ⎪⎝⎭sin 163A A ππ⎛⎫⇒+=⇒= ⎪⎝⎭．故答案为：3π11．（2019·广西高三月考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2a =，则cos cos b C c B ⋅+⋅的值为______. 【答案】2【解析】由根据余弦定理，可得222222cos cos 222a b c a c b b C c B b c a ab ac+-+-+=⨯+⨯==.故答案为2.12．（2020·广东广州·高三月考）在条件①cos cos cos 2sin cos A B C A B +=，②sin sin 2B Cb a B +=，③225sinsin 224A B B C a c b +++=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a =2b c =，______，求ABC 的面积.【答案】选①，4ABCS =；选②，ABCS=；选③，ABCS =【解析】选择①cos cos cos 2sin cos A B C A B +=，()cos cos cos 2sin cos A B A B A B ∴-+=，即cos cos cos cos sin sin 2sin cos A B A B A B A B -+=， 化简得：2sin cos sin sin A B A B =， 又sin 0A ≠，tan 2B ∴=，即cos B =，sin B =，a ∴=2bc =，由余弦定理得:()(22222c c c =+-⨯⨯， 解得:2c =，4b =，ABC ∴的面积为1sin 42S ac B ==；选择②sinsin 2B Cb a B +=， 由正弦定理可得sin sin sin sin 2B CB A B +=， 又sin 0B ≠，sinsin 2B CA +∴=， 由180ABC ++=︒，sincos 22B C A+∴= 即cos 2sin cos 222A A A =，cos 02A≠，即1sin22A =，60A =︒，由余弦定理得(()22212222c c c c =+-⨯⨯⨯，解得：3c =，3b =，ABC ∴的面积为1sin 2S bc A ==选择③ 由225sinsin 224A B B C a c b +++=及A B C π++=， 得：225coscos 224C A a c b +=，即1cos 1cos 5224C A ac b +++=， 由正弦定理得：5sin sin cos sin cos sin sin 2A A C C A CB +++=， 3sin sin sin 2A C B ∴+=，即32a cb +=，2b c =，2a c ∴=，由a =a b ==，c =，2227cos 28b a c C ab +-∴==，sin 8C ==ABC ∴的面积为1sin 24S ab C ==. 13．（2020·昆明呈贡新区中学（云南大学附属中学呈贡校区）高三月考（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++.（1）求b 的值；（2）若满足cos cos a A b B =，c ＝3，求ABC 的面积.【答案】（1）2b =；（2）4【解析】（1）由余弦定理可得2cos 2cos 2cos ab C ac B bc A ++ 222222222222a b c a c b b c a a b c =+-++-++-=++，又()2242cos cos cos a c ab C ac B bc A ++=++，所以可得24b =. 由于0b >， 所以2b =.（2）已知cos cos a A b B =，由正弦定理可得sin cos sin cos A A B B =， 由正弦二倍角公式可得sin 2sin 2A B =，∵2(02π)A ∈，，2(02π)B ∈，， (0π)A B +∈，，22(02π)A B +∈，， 所以22A B =或者22πA B +=， 当22A B =时，A B =，2a b ==，2221cos 28a b c C ab +-==-，sin C =1sin 2ABC S ab C ==△； 当22πA B +=时，π2A B +=，π2C =，a ，12ABC S ab ==△.综上：ABC 的面积为414．（2020·广西北海·高三一）已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin (2)sin a b A c C a b B +=+-.（1）求角C 的大小；（2）若c =ABC 面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）2. 【解析】（1）()sin sin (2)sin a b A c C a b B +=+-，2()(2)a b a c a b b ∴+=+-，222a b c ab ∴+-=，222cos 2a b c C ab+-∴=2ab ab =12=.又(0,)C π∈，3C π∴=. （2）据（1）求解知，222a b c ab +-=.又2c =，222a b ab ∴+=+.又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，2ab ∴≤，()max max 1()sin 2ABC Sab C ∴=12sin 23π=⨯⨯2=a b ==15．（2020·安徽高三月考）如图，平面四边形ABCD 是由钝角ABC 与锐角ACD 拼接而成，且cos sin AC BAC BC ABC ⋅∠=⋅∠，∠BAD =2π.（1）求∠CAD 的大小；（2）若AC =4，CD ，求△ACD 的面积.【答案】（1）4π；（2）6. 【解析】（1）在ABC 中， ∵AC ⋅cos ∠BAC =BC ⋅sin ∠ABC ，∴由正弦定理得，sin ∠ABC ⋅cos ∠BAC =sin ∠BAC ⋅sin ∠ABC ，∵sin ∠ABC ≠0，∴tan ∠BAC =1，又∠BAC ∈(0，π)， ∴∠BAC =4π∵∠BAD =2π， ∴∠CAD =4π（2）在ACD 中，AC =4，CD ，∠CAD =4π 由余弦定理得，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ·AD ⋅cos ∠CAD ，即10=16+AD 2-2×4×AD 2⨯，解得AD 或AD当AD 时，cos ∠ADC 0<，此时ACD 为钝角三角形，不满足题意，舍去.当AD 时，ACD 的面积S =12AC ·AD ⋅sin ∠CAD =6 16．（2020·江苏常州·高三期中）在①4bc =，②cos 1a B =，③sin 2sin A B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 1b C =，sin 2sin c A C =，________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案不唯一，见解析.【解析】若选①，bc ＝4，由于c sin A ＝2sin C ，利用正弦定理可得ac ＝2c ，可得a ＝2，因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1b ＝2222a b c ab+-，整理可得2a ＝a 2+b 2﹣c 2，解得b ＝c ＝2，所以C ＝3π．若选②，a cos B ＝1，因为c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，解得a ＝2， 所以cos B ＝12，由B ∈（0，π），可得B ＝3π，又b cos C ＝1，可得a cos B ＝b cos C ， 由余弦定理可得a •2222a c b ac +-＝b •2222a b c ab+-，整理可得b ＝c ，所以C ＝B ＝3π．若选③，sin A ＝2sin B ，由正弦定理可得a ＝2b ，又c sin A ＝2sin C ，由正弦定理可得ca ＝2c ，可得a ＝2，所以b ＝1，又因为b cos C ＝1，可得cos C ＝1，又C ∈（0，π）， 所以这样的C 不存在，即问题中的三角形不存在．17．（2020·河北张家口·高三月考）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222sin sin sin sin sin B A C A C =+-．（1）求角B 的大小；（2）若3b =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）3π；（2【解析】（1）222sin sin sin sin sin B A C A C =+- 由正弦定理得222b a c ac =+-（*）由余弦定理：2222ccos b a c a B =+- ∴1cos 2B =，且()0,B π∈ ∴3B π=（2）当3b =时，由（*）得：2292a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时取等号所以1sin 92ABCSac B ==≤=∴()max ABC S=18．（2020·福建莆田一中高三期中）在ABC 中，23A π=，D为线段BC 边上一点，3BD =，6BAD π∠=．（1）若AB =AD ； （2）若4CD =，求tan B ．【答案】（1）3AD =；（2）tan B =. 【解析】（1）考察ABD △，记AD x =，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，即29272cos 6x x π=+-⋅⋅化简得：29180x x -+=，∴3x =或6， 由23A π=，6BAD π∠=，∴2DAC π∠=，∴BDA ∠为钝角，∴AB AD >，∴3AD =． （2）记B θ=，则6ADC πθ∠=+，由Rt ACD △可得cos 4cos 6AD CD ADC πθ⎛⎫=⋅∠=+⎪⎝⎭， 考察ABD △，由正弦定理可得：sin sin BD AD A B =即4cos 36sin sin 6πθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，∴13sin 2cos 2cos sin 622πθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：4sin θθ=，∴tan 4θ=，即tan 4B =．19．（2020·河南高三一模（理））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a =，4c =，2B C =.（1）求b ； （2）求πsin 6B ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）b =（2. 【解析】（1）∵2B C =，∴sin sin 22sin cos B C C C ==，由正、余弦定理得22222a b c b c ab+-=⋅，∵2a =，4c =，∴224b =，b =（2）由余弦定理得222416241cos 2164a cb B ac +-+-===-，∵0πB <<，∴sin B ==，故πππsin sin cos cos sin 666B B B ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11142428⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭. 20．（2020·西藏昌都市第一高级中学高三期中（理））已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()222cos cos b c a c a C c A +-=+.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 的面积为3，且3a =，求ABC 的周长. 【答案】（1）3π；（2）8. 【解析】（1）在ABC 中，由余弦定理可得：22222222222a b c b c a b c a c a c ab bc ⎛⎫+-+-+-=⨯+⨯ ⎪⎝⎭，即22222222222a b c b c a b c a c b b ⎛⎫+-+-+-=+ ⎪⎝⎭，即222b c a bc +-=，所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=，（2）11sin 22ABCSbc A ====，解得163bc =， 由余弦定理得：()222212cos 222a b c bc A b c bc bc =+-=+--⨯， 即()239b c bc +-=，所以5b c +=， 所以ABC 的周长为538a b c ++=+=.21．（2020·江苏南通·高三期中）ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos A ＋3a ＝c .（1）求cos B；（2）如图，D为ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，D＝2B，且AD＝1，CD＝3，BC，求AB的长．【答案】（1（2）【解析】（1）在ABC中，由正弦定理得sin B cos A A＝sin C，又C＝π－(A＋B)，所以sin B cos A＋3sin A＝sin (A＋B)，故sin B cos A＋3sin A＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，故cos B（2）因为D＝2B，所以cos D＝2cos2B－1＝13 -，又在ACD△中，AD＝1，CD＝3，所以由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos D＝1＋9－2×3×13⎛⎫- ⎪⎝⎭＝12，所以AC＝在ABC中，BC，AC＝cos B所以由余弦定理可得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ， 即12＝AB 2＋6－2·AB×3，化简得AB 2－－6＝0， 解得AB＝故AB的长为22．（2020·全国高三专题练习）在①22cos b c a C +=；②ABC的面积为)2224a b c --；③3sin csinA a B =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.问题，是否存在ABC ，其内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且a =，1c =，______？若三角形存在，求ABC 的周长；若三角形不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析【解析】选①：因为22cos b c a C +=，所以由正弦定理得2sin sin 2sin cos B C A C +=， 即()2sin sin 2sin cos A C C A C ++=，即2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A C A C C A C ++=，整理得()2cos 1sin 0A C +=.因为sin 0C ≠，所以1cos 2A =-.又()0,A π∈，所以23A π=.又因为a =，所以sin A B =，即1sin 2B =.由0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得:6B π=，所以6C π=.由正弦定理sin sin sin a c b A C B==，得12sin sin sin 366a bπππ==，解得a =1b =，所以ABC 的周长为2+.选②：因为)2221sin 24ABCa b c Sbc A --==，所以由余弦定理得)2cos 1sin 24bc A bc A =-，即sin A A =，所以tan A =()0,A π∈，所以23A π=，下同选①.选③：因为3sin csinA a B =，所以由正弦定理得3ac ab =，即133c b ==，又因为a =，所以3a =a b c +=<，所以问题中的三角形不存在.23．（2020·北京高三期中）如图，在ABC 中，D 是BC 上的点，4,3AB BD C π===，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）角B 的大小； （2）ACD △的面积．条件①：AD =3AC =．【答案】（1）6B π=，具体选择见解析；（2）2. 【解析】选择条件①：解：（1）在ABD △中4,AB BD AD ===， 由余弦定理，得222cos 2AB BD AD B AB BD +-=⋅=2=. 因为0B π<<， 所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形. 所以3AC =，6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅13222=⨯⨯⨯2=.选择条件②：解：（1）在ABC 中,3,AC AB ==3C π=.由正弦定理sin sin AC AB B C =，得1sin 2B =. 由题可知 BC π<<=03， 所以6B π=.（2）由（1）知，6B π=，因为3C π=，所以2BAC π∠=.所以ABC 为直角三角形， 得6BC =.又因为4BD =，所以2CD =.所以1sin 2ACDSAC CD C =⋅⋅1322=⨯⨯2=. 24．（2020·海伦市第一中学高三期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 已知π3A =，2223b c abc a +-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC 的面积．【答案】（1（2【解析】（1）由题意，得222b c a +-=． cos b c a bc A +-=2222，2cos bc A ∴=， π3A =，a A ∴==（2）3a =，由正弦定理sin sin a bA B =， 可得1sin 2B =．a b >， π6B ∴=， ππ2C A B ∴=--=．1sin 2ABCSab C ∴==． 25．（2020·河南高三期中）如图，在四边形ABCD 中，π3DAB ∠=，:2:3AD AB =，BD =AB BC ⊥．（1）求sin ABD ∠的值； （2）若2π3BCD ∠=，求CD 的长． 【答案】（1）7；（2. 【解析】（1）因为:2:3AD BD =，所以可设2AD k =，3AB k =，0k >．又BD =π3DAB ∠=，所以由余弦定理，得()()222π32232cos3k k k k =+-⨯⨯，解得1k =, 所以2AD =，3AB =，2sin sin 7AD DABABD BD∠∠===．（2）因为AB BC⊥，所以cos sin 7DBC ABD ∠=∠=，所以sin 7DBC ∠=， 因为sin sin BD CDBCD DBC=∠∠，所以2CD ==26．（2020·重庆南开中学高三月考）设函数()2cos sin 32f x x x π⎛⎫=-⋅- ⎪⎝⎭，x ∈R . （1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）在锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C的对边，且()f A =，2a =，ABCS =，求ABC 的周长.【答案】（1）5,122k x k ππ=+∈Z ；（2）周长为6. 【解析】（1）因为21()2cos sin sin cos 2222f x x x x x x x ⎛⎫=+⋅-=+- ⎪⎝⎭11cos21sin 2sin 2sin 2222223x x x x x π-⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭， 令2,32x k k πππ-=+∈Z ，解得5,122k x k ππ=+∈Z ， 所以函数()f x 的对称轴方程为：5,122k x k ππ=+∈Z （2）因为锐角三角形ABC ，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因为()sin 232f A A π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以3A π=因为1sin 24ABC S bc A ===△，所以4bc = 又因为22222()21cos 222b c a b c bc a A bc bc +-+--===，所以4b c +=所以ABC 的周长为6a b c ++=.。
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高一（下）数学（必修五）第一章 解三角形正弦定理、余弦定理高考真题1、（06湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2sin 23A =，则sin cos A A +=．．53 D ．53- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0， 又25(sin cos )1sin 23A A A +=+=，故选A2、（06安徽卷）如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形解：111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由211211211sin cos sin()2sin cos sin()2sin cos sin()2A A A B B B C C C πππ⎧==-⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩，得212121222A A B B C C πππ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，那么，2222A B C π++=，所以222A B C ∆是钝角三角形。
故选D 。
3、（06辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π(B)3π (C)2π(D) 23π【解析】222//()()()p q a c c a b b a b a c ab ⇒+-=-⇒+-=，利用余弦定理可得2cos 1C =，即1cos 23C C π=⇒=，故选择答案B 。
【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。
4、（06辽宁卷）已知等腰ABC △的腰为底的2倍，则顶角A 的正切值是（ ）解：依题意，结合图形可得tan 215A =，故222tan2tan 1tan 2AA A ===-，选D5、（06全国卷I ）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =A ．14B ．34CD解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则b =2a ，222cos 2a c b B ac +-==222242344a a a a +-=，选B.6、06山东卷）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =3π,a =3,b =1，则c =(A) 1 （B ）2 （C ）3—1 （D ）3 解：由正弦定理得sinB ＝12，又a >b ，所以A >B ，故B ＝30︒，所以C ＝90︒，故c ＝2，选B7、（06四川卷）设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2a b b c =+是2A B =的（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 解析：设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，若()2a b b c =+，则2sin sin (sin sin )A B B C =+，则1cos 21cos 2sin sin 22a BB C --=+， ∴1(cos 2cos 2)sin sin 2B A BC -=，sin()sin()sin sin B A A B B C +-=， 又sin()sin A B C +=，∴ sin()sin A B B -=，∴ A B B -=，2A B =， 若△ABC 中，2A B =，由上可知，每一步都可以逆推回去，得到()2a b b c =+，所以()2a b b c =+是2A B =的充要条件，选A.8、（06北京卷）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 5:7:8A B C =，则B ∠的大小是___________.解： sin :sin :sin 5:7:8A B C =⇔a :b :c ＝5:7:8设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，由余弦定理可解得B ∠的大小为3π. 9、（06湖北卷）在∆ABC 中，已知433=a ，b ＝4，A ＝30°，则sinB＝ . 解：由正弦定理易得结论sinB10、（06江苏卷）在△ABC 中，已知BC ＝12，A ＝60°，B ＝45°，则AC ＝【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识 【正确解答】由正弦定理得，sin 45sin 60AC BC=解得AC = 【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理11、（06全国II ）已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为 ．解析: 由ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列可得A+C=2B 而A+B+C=π可得3B π∠=AD 为边BC上的中线可知BD=2,由余弦定理定理可得AD = 本题主要考察等差中项和余弦定理,涉及三角形的内角和定理,难度中等。
12、（06上海春）在△ABC 中，已知5,8==AC BC ，三角形面积为12，则=C 2cos .解：由三角形面积公式，得1sin 20sin 122BC CA C C ⋅⋅==，即3sin 5C =．于是27cos 212sin 25C C =-=从而应填725．13、（06湖南卷）如图3,D 是直角△ABC 斜边BC 上一点,AB=AD,记∠CAD=α,∠ABC=β.（1）证明 sin cos 20αβ+=; （2）若DC,求β的值.解：(1)．如图3，(2)2,sin sin(2)cos 2222πππαπββαββ=--=-∴=-=-，即sincos 20αβ+=．（2）．在ABC ∆中，由正弦定理得,.sin sin sin()sin sin DC AC DC βααπβαβ=⇒=∴=-由(1)得sin cos 2αβ=-，2sin22sin ),βββ∴==-即2sin 0.sin sinββββ-===解得．0,sin .23ππβββ<<∴=⇒= 14、（06江西卷）在锐角ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，， 已知sin 3A =， （1）求22tan sin 22B C A++的值； （2）若2a =，ABC S=△b 的值．解：（1）因为锐角△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，sin A =，所以cosA ＝13，则22222B Csin B C A A 2tan sin sin B C 222cos 21cos B C 11cos A 171cos A 1cos B C 21cosA 33＋＋＋＝＋＋－（＋）＋＝＋（－）＝＋＝＋（＋）－（2）ABC ABC 11S 2S bcsin A bc 223•因为＝，又＝＝，则bc ＝3。
将a ＝2，cosA ＝13，c ＝3b代入余弦定理：222a b c2bccos A ＝＋－中得42b 6b 90－＋＝解得b15、（06江西卷）如图，已知△ABC 是边长为M 、N 分别是边AB 、AC 上的点，线段过△ABC 的中心G ，设∠MGA ＝α（233ππα≤≤） （1） 试将△AGM 、△AGN 的面积（分别记为S 1与S 2）表示为α的函数BDCαβA图AC（2）求y ＝221211S S ＋的最大值与最小值 解：（1）因为G 是边长为1的正三角形ABC 的中心，所以 AG＝2323⨯，∠MAG ＝6π， 由正弦定理GM GAsinsin 66πππα＝（－－）得GM 6sin 6α（＋）则S 1＝12GM •GA •sin α＝sin 12sin 6απα（＋），同理可求得S 2＝sin 12sin 6απα（－）（2） y ＝221211S S ＋＝222144sin sin sin 66ππααα〔（＋）＋（－）〕＝72（3＋cot 2α）， 因为233ππα≤≤，所以当α＝3π或α＝23π时，y 取得最大值y max ＝240当α＝2π时，y 取得最小值y min ＝21616、（06全国卷I ）ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos2B CA ++ 取得最大值，并求出这个最大值。
.解: 由A+B+C=π, 得B+C 2 = π2 －A 2 , 所以有cos B+C 2 =sin A2 .cosA+2cos B+C 2 =cosA+2sin A 2 =1－2sin 2A 2 + 2sin A 2 =－2(sin A 2 － 12)2+ 32当sin A 2 = 12 , 即A=π3 时, cosA+2cos B+C 2取得最大值为32 17、（06全国II ）在45,ABC B AC C ∆∠=︒==中，求 （1）?BC =(2)若点D AB 是的中点，求中线CD 的长度。
解：（1）由cos sin C C =sin sin(18045)sin )A C C C =--=+=由正弦定理知sin sin AC BC A B =⋅==（2）sin 2sin AC AB C B =⋅=，112BD AB ==由余弦定理知CD = 18、（06四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角， 向量()()1,3,cos ,sin m n A A =-=，且1m n ⋅= （Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若221sin 23cos sin BB B+=--，求tan B解：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
（Ⅰ）∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅= cos 1A A -=312sin cos 122A A ⎛⎫⋅-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵50,666A A ππππ<<-<-<∴66A ππ-= ∴3A π=（Ⅱ）由题知2212sin cos 3cos sin B BB B+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠ ∴2tan tan 20B B --= ∴tan 2B =或tan 1B =-而tan 1B =-使22cos sin 0B B -=，舍去 ∴tan 2B =∴()tan tan C A B π=-+⎡⎤⎣⎦()tan A B =-+tan tan 1tan tan A BA B +=--23123+=--85311+= 19、（06天津卷）如图，在ABC ∆中，2AC =，1BC =，43cos =C ．（1）求AB 的值；（2）求()C A +2sin 的值.本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考察基本运算能力及分析解 决问题的能力.满分12分. （Ⅰ）解： 由余弦定理，2222..cos AB AC BC AC BC C =+-341221 2.4=+-⨯⨯⨯=那么， 2.AB =（Ⅱ）解：由3cos 4C =，且0,C π<<得27sin 1cos .4C C =-=由正弦定理，,sin sin AB BCC A=解得sin 14sin 8BC C A AB ==。