2011电磁场数值计算(本)-08
电磁场数值计算及其应用简介
例 1) 忽略端部效应的平板电源自器中的静电场其为一维问题, 可以解析求解。
•
场域中电位满足Laplace方程： 边界条件：
2 2
x 2
0
|x0 0
|xd U
通解与特解： C1x C2 U x d
E=U/d
d
2) 考虑端部效应的平板电容器
• •
二维Laplace方程: 边界条件：
四、现状
算法研究较少，主要是应用研究。 因算法研究效果大大低于计算机发展速度带来的效果。 但仍有计算技术方面的研究。
重点为通用、实用软件的开发。
商业软件已经使得非电磁场数值计算人员可以实现对实际 问题的计算机仿真。
目前流行的软件： OPERA(算法专业、使用较难)， Ansoft(傻瓜型、低频、高频、时变电路计算模块齐全)， ANSYS(开放型、专业型、以低频为主、多场耦合计算)
▲ 同时也在算法上做了一些改进。
3. 80年代国外提出一些有效处理Maxwell方程组求解的方法。 ▲ 有效位函数的引入与求解。
关键与难点是解的唯一“规范”约束的实现问题。
4. 74年在英国召开第一届COMPUMAG
Conference on Computation of Electromagnetic Fields
六、有待解决的问题 软件性能的提高。计算方法和技术，时变瞬态场，耦合场
问题，场路结合, 优化问题，逆问题（故障诊断、多解性）
七、我们的工作
有七限、元我法们的计工算作
变压器升高座电磁场
升高座涡流分布
低磁钢板
导磁钢板
升高座涡流损耗密度分布
电流互感器磁场计算
三维计算模型
电流互感器磁场计算
电流互感器电场计算
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法物理系0702班学生杜星星指导老师任丽英摘要：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864年Maxwell建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell方程以来，经典的数学分析方法是一百多年来电磁学学科发展中一个极为重要的手段, 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短,将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
1电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz法[1]，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
电磁场数值计算与分析技术研究
电磁场数值计算与分析技术研究1. 研究背景电磁场是物理学中重要的研究领域，涉及到电磁波传播、电磁辐射、电磁场对物质的影响等多个方面。
在现代科学技术中，电磁场的应用十分广泛，如无线通信、电子设备、雷达测量等。
而电磁场数值计算与分析技术则是电磁场研究中的基础工具，它能够通过计算机模拟的方式帮助我们快速地了解电磁场的特性，分析电磁场对物体的影响。
2. 电磁场数值计算的方法电磁场数值计算的方法主要分为两类，即有限元法和有限差分法。
这两种方法在具体应用中各有优缺点。
有限元法是一种适用于复杂结构的数值计算方法，它将电磁场模型划分为有限个小的单元，然后在每个单元内进行计算，最后整合得到整个模型的计算结果。
有限元法的优点在于它能够处理各种复杂结构，如非线性材料、异形结构等，并且具有精度高、计算速度快等特点。
但是，有限元法的计算成本比较高，需要大量的计算资源，并且需要较高的计算技术水平。
有限差分法是一种比较简单的数值计算方法，它将空间分为一个个离散的网格，然后通过在不同的网格点上进行计算，得到整个空间内的电磁场分布。
有限差分法的优点在于它很容易实现且计算速度快，但是对于复杂的结构和材料效应处理能力较弱，并且需要网格的密度比较高才能够得到比较精确的结果。
3. 电磁场数值计算技术的应用电磁场数值计算技术的应用非常广泛，其中包括电磁波传播、电磁场对物体的影响、电磁设备设计等。
在电磁波传播方面，电磁场数值计算技术可以通过计算电磁波在空间中的传播路径、干扰区域等，来帮助无线通信等领域的设计和优化。
在电磁场对物体的影响方面，电磁场数值计算技术可以帮助我们计算电磁场对物体的激发情况，例如电磁波照射在人体上的吸收情况等，这对于电磁辐射防护等领域非常重要。
在电磁设备设计方面，电磁场数值计算技术可以帮助我们了解电磁场在设备内的分布情况，优化电磁场对设备的影响，提高设备的性能和可靠性。
4. 电磁场数值计算技术的未来发展随着计算机技术的不断进步，电磁场数值计算技术也在不断发展。
电磁场数值计算(平行平面和轴对称)
任课教师：王泽忠
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
2
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
开域截断-人工边界
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
3
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电位1
远 边 界 电位2 ？
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
9
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
10
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
流
流
正
负
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
6
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
对称性简化
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
7
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
正
2020年1月31日
华北电力大学（北京）－电力工程系－高电压与电磁兼容研究所
8
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
电
电
位
位
正
负
2020年1月31日
21
电磁场数值计算
任课教师：王泽忠
rz 平面的轴对称矢量场经过旋度运算可以得到另一个相应的矢量场，
M r, z
电磁场数值分析
电磁场数值分析电和磁现象在自然界普遍存在，两者相互依存形成一个不看分割的整体。
电能产生磁，磁能生电。
很早以前人们就注意到电现象和磁现象，但是两者之间的这种相互联系在很长的一段时间内都没有被人们认识。
直到奥斯特首先发现了通电直导线周围存在磁场这一现象人们才开始把电和磁放在一起来研究。
然而这个时候人们依然没有办法揭示电和磁中间的秘密，只是停留在实验研究阶段，没有形成科学的理论。
1831年法拉第发现了电磁感应定律，从此电和磁的计算可以量化了，人类历史也开启了一个新的时代—电气时代。
由于法拉第的杰出工作，电和磁不再是不可触摸的了，人们已经掌握了运用它的钥匙。
在法拉第之后，另一位杰出的科学家麦克斯韦则更进一步，建立了麦克斯韦方程组，电和磁的理论已经到了相当完美的程度。
现代电机，不管结构多么复杂，都是基于法拉第电磁感应定律和麦克斯韦方程组的原理来运行的，其电和磁的相关量都可以利用这两个定律来进行精确地分析，在设计电机时，我们也是基于这两个定律对电机的电磁过程来进行精确的设计，从而设计出理想的电机。
学会电磁场分析，主要是基于麦克斯韦方程组的相关计算，对电机的学习非常重要。
它为我们今后的学习打下基础。
在学习过程中，主要要把握以下几个度之间的关系：梯度、旋度、散度，这三者的变换正体现了电和磁之间的转换。
一基本原理电磁场的内在规律由电磁场基本方程组—麦克斯韦（Maxwell ）方程组表达。
这些方程是由麦克斯韦对大量实验结果及基本概念进行了数学加工和推广归纳而成的。
麦克斯韦方程组是分析和计算电磁场问题的出发点，它既可写成微分形式，又可写成积分形式。
微分形式的麦克斯韦方程组为 t DJ H ∂∂+=⨯∇（1） t BE ∂∂-=⨯∇（2） 0=⋅∇B（3） ρ=⋅∇D （4）式中，E 为电场强度（V/m ）；B 为磁感应强度（T ）；D 为电位移矢量（C/m 2）；H 为磁场强度（A/m ）；J 为电流密度（A/m 2）；ρ为电荷密度（C/m 2）。
工程电磁场数值计算(七)
SndS Sm 40 r rn
矩量法算例（五）
• 阻抗矩阵的计算（二）
zmn
Sm
1 dS 'dS
Sn 40 r r '
In (r)dS
Sm 40
zmn
Sm
In (r)dS 4 0
Sm
N i1
wi In (ri )
1
In(r)
Sn
dS rr'
可解析求解
zmn
Sm
1 dS 'dS
s (r ') S 40
1 rr'
dS ' s (r) 2 0
1n E1(r) 2n E2(r)
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
20 1 2 S 40 r r '
稳恒电流场问题（六）
s (r) 1 2 n s (r ') 1 dS ' 0
取 q dV '
根据叠加原理,某点电位是所有电荷的贡献和
(r) (r ')dV '
V 40 r r '
静电场问题（三）
• 定义Green 函数
G(r, r ') 1
40 r r '
显然满足
2G(r, r ') (r r ')
可见，给定源分布求解电磁场分布的关键在 于获得Green函数。
O'
S
S
'
nˆ
P P P P0
l l
l
源
矩量法的难点（六）
dS ' lim
S R 0
S S
s
电磁场数值方法计算
电磁场数值方法姓名： 侯大有 学号： P1******* 专业： 电磁场与微波技术1. TM 极化平面波以00=ϕ入射到半径a=λ的无限长理想导体圆柱，应用MOM 编程计算目标上的电流分布和双站RCS 。
程序如下：clc;clear;ticlamda=0.01;a=lamda;k=2*pi/lamda;e=2.7183;sita=[pi/180:pi/180:2*pi];delta_sita=pi/180;N=length(sita); %计算x 和Cnsita=sita-delta_sita/2;% 取弧长中心x=a*cos(sita);y=a*sin(sita);Cn=sqrt((a*sin(sita)).^2+(a*cos(sita)).^2)*delta_sita; %小段弧长V=exp(-j*k*x);%入射波for m=1:NZ(m,:)=Cn.*k*120*pi/4.*besselh(0,2,k*sqrt((x-x(m)).^2+(y-y(m)).^2));Z(m,m)=k*120*pi/4*Cn(m)*(1-j*2/pi*log(1.78107*k*Cn(m)/(4*e)));endJ=inv(Z)*(V.');S=200*lamda;%远区场；K=exp(-j*(k*S+3*pi/4))/sqrt(8*pi*k*S);E_s=k*120*pi*K*exp(-j*k*(cos(sita.')*x+sin(sita.')*y))*(Cn.'.*J);%散射场RCS=2*pi*S*(abs(E_s).^2).';figure(1);plot(sita(1:360),abs(J(1:360).')*120*pi);xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('J')title('电流分布');figure(2);plot(sita(1:360),sqrt(RCS(1:360)));xlim([0,2*pi]);xlabel('phi');ylabel('RCS')title('雷达散射截面');toc运行结果如下图:2. 设一接地金属槽如图1-1所示，其上盖对地绝缘且具有电位 1002=ϕ(相对值) ，侧壁与底壁为地电位01=ϕ。
电磁场数值分析,有限差分法
可得：
(K ) x (x x 0 )K 0 x x 0 )n ) (( K 0 K ! 1 2 2 1 3 3 1 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x 1 2 2 1 3 3 3 0 h( ) 0 h ( 2 ) 0 h ( 3 ) 0 x 2! x 3! x
有限差分法的基本步骤 （1）剖分场区，确定离散点。将所研究的电位分布 按某种几何形状(如矩形、任意多边形等)剖分成网络系统。 （2）建立电位分布问题的差分方程组。
（3）求解差分方程组。可以采用各种迭代法，如简 单迭代法，塞德尔迭代法，超松弛迭代法等等。
100 V 1 4 OV 7 2 5 8 3 6 9
在xoy 平面内把所求解区域 划分为若干个相同的正方形格 子，边长均为h，假设0点点位 为φ0 ，其余各点为φ1，φ2，φ3，
φ4，φ5。
将这几个点的点位用泰勒级数展开：
f 1 2f 1 3f f f0 (x x 0 ) 2 (x x 0 )2 3 (x x 0 )3 ... x 2! x 0 3! x 0 0
四，计算实例
1V
如图，一正方形区域，四个边的电位分 别是0V,0V,1V,100V，求解该区域内部 的电位分布。
0V
解： 将该正方形区域分割成4X4的小正 方形区域，则一共有9个内点。按照前 面得出的结论，任意一点的电位等于他 周围四个点电位的平均值。可以得到方 程组：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 二源自差分方程的数值解法简单迭代法
电磁场数值方法（ＰＤＦ）
时变场中的差分法&21&2.1波动方程的差分法222u u ⎧∂∂−=220,0,0a x l t T t x <<<<⎪∂∂⎪0:(),(),0u t u x x x l t ϕψ∂⎪===≤≤⎨∂120,();,()0(0)()(0)x u u t x l u u t t T ⎪====≤<⎪12(0)(0),u l u ϕϕ⎪==⎩¾差分方程的形成和求解N第(n+1)层t τ+第n层时刻t xj-1τhJj+1jj 11[,(1)](,)n n j j u u u jh n u jh n ττ+−=+−4232341234(,)111()()(),()2!3!4!j nn n j j j n n u x t u u u t t t tt t t ττττ+∂∂∂∂=+++≤≤∂∂∂∂%%1(1)]()n nu −423234[,(,(,)111j j j n n n u u jh n u jh n u x t u u u t t t ττττττ−−=−−∂∂∂∂=−+−+≤≤%%%%1234()()(),()2!3!4!j j j n n t t t t∂∂∂∂4421124(,)(,)1n n n n u x t u x t u +−∂∂∂++%%%2442()[]4!j j j j j j u u u t t tττ−+=∂∂∂11n n n +−∂22222()()jj jn j uu uu O tττ−+=+∂21122n n n j j j n uu u u +−−+∂22()()j O h hx=+∂n n 1()()jjnj uuu O tττ+−∂=+∂⎧1111222220,(1,1;1,1)n n n n n n jjjj jj U U U U U U a j J n N h τ+−+−−+−+−==−=−⎪L L 10(),(),(1,1)j j j U U U jh jh j J ϕψ⎪⎪−⎪===−⎨L 012(),(),(0,1,,)n n J U u n U u n n N τττ⎪⎪===L ⎪⎪⎩aτλ=h122212(1,(1,1;1,1n n n n n U U U U U J n N λλλ+−−⎧=+−+−=−=−L L 1110()()),(),(1,1)jj jj jj j j U U U jh jh j J +⎪−⎪===−L 012())(),(),(0,1,,)j n nJ j j U u n U u n n N ϕψτττ⎨⎪⎪===L (＊)⎩显式差分¾类似(＊)，直接从下面两层的值解出上面一层的值¾τ收敛性¾稳定性n n j jU u −−>1a τλ=≤hτ在缩小步长时,要按同一比率缩小。
电磁场公式总结
电场的无旋性
磁场的无源性
∫ 电位差（电压）：单位正电荷的电位能差．即：U AB
=
WAB q
=
AAB q
=
B �� � Ed l ．
A
磁介质：在磁场中影响原磁场的物质称为磁介质．
名称
电通量
电通量就是垂直通过某一面积的电力线的条数,
定义 用 Φe表示.即： Φe = ∫∫ EidS = ∫∫ EdScosθ
均匀磁化：
� M
=
∑
� pm
+
∑
� ∆pm
∆V
不均匀磁化：
� M
=
lim
�
∑ Pm
�
+ ∑ ∆pm
∆V →0
∆V
��
� ��
L = IS（n × B）
电力线
磁力线
静电场的等势面
就是一簇假想的曲线,其曲线上任一点 就是一簇假想的曲线,其曲线上 就是电势相等的点集 定
的切线方向都与该点处的 E 方向一致. 任一点的切线方向与该点 B 的方 合而成的曲面. 义
ss名称静电感应磁化定义电场对电场中的物质的作用磁场对磁场中的物质的作用利用电介质时电场的高斯定理求电场感应利用磁介质中的安培环路定理求磁场感应强度强度原理通过电介质中任一闭合曲面的电位移通量等于该面包围的自由电荷的代数和
电荷守恒定律：电荷既不能被创造,也不能被消灭,它们只能从一个物体转移到另一个物体,或从物体的 一部分转移到另一部分,在任何物理过程中电荷的代数和总是守恒的．
��
��
高斯面,求出电位移矢量 D ．
环路,求出磁场强度 H ．
解题 步骤
��
��
��
��
电磁场数值计算.
U0＝ n1
Fnsh(nπ)
sin(
nπ a
x)
n1
En
sin(
nπ a
x)
En
2 a
U a 00
sin
nπ xdx a
0 4U 0
nπ
n 0,2,4..... n 1,3,5.....
局限性
得不到槽外空间电场。
上页 下页
1 有限差分法
数值计算
1. 二维差分方程的建立 ① 场域的离散
x2 y2
（阴影区域）
U ( xb,0 yb及yb,0 xb)
0 ( x2 y2 a2 ,x0, y0)
x 0 ( x0,b ya )
y 0 ( y0,bxa ) 上页
下页
2. 数值计算的基本过程
物理 问题
计算 模型
选择数值 计算方法
注
局部坐标只
在单元中有定义。
η Nm
上页 下页
局部坐标与整体坐标的转换
数值计算
i
y
Δm Δj
Δi
m
Ni
N
j
i j
21（a1 b1x c1y) 21（a2 b2x c2 y)
j
N
m
i
21（a3
b3x c3 y)
计算 结果 的可 视化 处理
关键步骤
数值计算
评判 结果 的合 理性 和正 确性
上页 下页
3. 数值计算的基本思想
数值计算
① 将电磁场连续域内的问题变换为离散系统的问题求 解，用离散点的数值解逼近连续域内的真实解。
电磁场数值计算边值问题分解备课讲稿
条件构成。基本方程为矢量双旋度方程
1
A
J
在库仑规范下，为矢量泊松方程
1 2 A J
2024/10/21
电磁场数值计算
相应的边界条件，第一类边界条件，在整个边界上给 定矢量磁位或其切线分量。（对应的法向分量）
A A0 或 At At0
2 0
相应的边界条件，在已知电压的电极表面上有 第一类边界条件
0
2024/10/21
电磁场数值计算
在已知流出或流入电流分布的电极表面上有第 二类边界条件
n
J n0
在导体与绝缘体分界面上有第二类齐次边界条
件
0
n
2024/10/21
电磁场数值计算
根据电流分布的对称性，也可构造对称 面上相应的齐次边界条件。
当材料和边界条件沿直角圆柱坐标系中 z 方向不变
时，三维恒定电场简化为二维平行平面场。
2024/10/21
电磁场数值计算
平行平面恒定电流场中，拉普拉斯算子表示为
2 2 2 x2 y2
在平行平面场中，内部衔接条件和外部边界条 件设置在材料的分界线和场域的边界线上。
当材料和边界条件沿圆柱坐标系中旋转坐标 方向不变， 即材料和边界条件围绕圆柱坐标系的 z
电磁场数值计算
电磁场数值计算边值问题分解
电磁场数值计算
2.1 静电场的边值问题
1、电位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据静电场环路定理的微分形式
E 0 由矢量恒等式 0 ，可以设
E
静电场的辅助方程为
2024/10/21
电磁场数值计算
D E
有
电磁场数值计算方法
第四组
数值计算背景
数值计算
数值计算方法是一种研究并解决数学问 题数值近似解的方法， 广泛运用于电气、 军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众 多领域。
数值计算方法从求解方程的形式看，主要分 为积分方程法和微分方程法两大类。积分方程法
主要有矩量法和边界元法，微分方程法主要有
有限差分法和有限元法
当正方形网格分的足够多时，网格的边长h可以足够
小，则式（1-6）中的
以上项都可以忽略，
则式子（1-6）可以近似为：
（1-7）
同理你妹~，老子最讨厌同理！
（1-8）
（1-9） （1-10）
将式（1-10）代入式（1-9）得
（1-11）
这是一个二维区域中一点的泊松方程的有 限差分形式，它描述了该节点与周围四个节点 的电位和该点电荷密度的之间的关系。对于无 源区域， =0，则式（1-11）变为
（1-12）
此式子记住了，后 面会用到，很重要
对于给定的区域和电荷分布，当用网格将区域 划分后，对于每一个节点我们可以写出式（1-11） 或式（1-12）那样的差分方程，于是就可以得到一 个方程数与未知电位网点数相等的线性差分方程组。 对于给定的连续边界条件，当用网络将区域划分后， 我们可以给出它在边界节点上的离散值。余下的问 题就是在已知边界节点电位的条件下，用迭代法求 解区域内各节点上的的电位。
用有限差分法求解电位的精度主要取决于两个因素， 一是划分网格数的多少，二是迭代次数的多少。如 果区域划分网格较细，则网络的边长h较小。若将式 （1-4）减去式（1-5），并忽略三次方及以上的项， 可得
（1-13）
小结
差 分 方 程 组 的 求 解 这™什
么玩意？
电磁场数值计算及模拟技术研究
电磁场数值计算及模拟技术研究随着电磁场在现代科技领域中的广泛应用，如电子技术、通信技术、能源技术、医学技术等，在电磁场理论研究与工程应用方面已成为研究的热点，其中，电磁场数值计算及模拟技术是电磁场研究与应用领域中的一项关键技术。
本文将从电磁场数值计算及模拟技术的基本原理，发展历程及应用前景等方面进行论述，旨在对该领域的研究提供一定的参考价值。
一、电磁场数值计算及模拟技术的基本原理电磁场是空间中存在着电场和磁场并可以相互影响的一种物理现象，其数学表示是通过麦克斯韦方程组进行的。
电磁场数值计算及模拟技术的基本原理即是利用数值方法和计算机模拟技术对电磁场的性质及分布进行研究和计算。
该技术主要基于两大数学分支：有限元法和有限差分法。
有限元法是一种数值分析方法，主要用于解决物理场的问题，因其能计算任意复杂场物的优点而被广泛应用于电磁场数值计算及模拟中。
它是通过对物理问题离散化，将任意形状的系统分离成有限数量的区域，并在每个单元内建立网格，运用有限元的基本原理，将微分方程转化为代数方程，最终得到电磁场的数值解。
有限差分法则是将微分方程中的导数用差分表示，然后利用离散化的方法对差分方程进行求解，最终得到电磁场的数值计算结果。
二、电磁场数值计算及模拟技术的发展历程电磁场数值计算及模拟技术的发展历程可以追溯至上世纪五六十年代，当时该技术主要应用于磁力学、电动力学等领域内，随着计算机技术的大力发展，特别是计算机硬件性能的大幅提升，该技术得以快速发展，为现代应用领域的研究与工程应用提供了强有力的支持。
目前，电磁场数值计算及模拟技术已广泛应用于各种领域，如通信领域的时域反演电磁场计算、光波导、雷达反射问题等；物理领域的磁场和粒子运动问题、电磁波的传播和反射等；医学领域的磁力共振成像等。
同时它也成为了电磁场工程发展研究的重要手段之一，如微波器件、电路板、天线等的设计；电磁辐射、防雷防护等的配套测量和认证等都离不开其数值计算及模拟技术的支持。
电磁场数值计算方法
电磁场数值计算方法引论计算电磁学：现代数学方法、现代电磁场理论与现代计算机相结核的一门新兴学科。
目的：求解电磁场分布以及计算电磁场与复杂目标的相互作用。
电磁场计算方法分类分类方法按数学模型：微分方程、积分方程、变分方程。
按求解域：频域、时域法。
按近似性：解析法、半解析法、渐进法和数值法。
1、解析法求出电磁分布的数学表达式。
其优点：（1）、精确（2）、参数改变时不要重新推导（3）、解中包含了对某些参数的依赖关系，容易发现规律性主要方法有：分离变量法、级数展开法、格林函数法、保角变换法和积分变换法。
缺点：只有个别情况才能用解析法解决，一般情况较难应用。
2、渐进法由求解物体的线度l与波长λ的关系可以划分为（1）、低频区。
lλ≈（2）、谐振区。
lλ（3）、高频区。
lλ低频区：静态场近似，电路近似（等效电路）高频区：光学近似。
GO 几何光学法 GTD 几何绕射光学UTD 一般几何绕射 UAT 一致渐进理论PTD 衍射的物理理论 STD 衍射谱理论缺点：求解复杂系统的电磁场问题时可能引起大的误差，只能应用于简单的电大系统。
3、数值法把数学方程离散化，把连续问题化为离散问题，把解析方程化为代数方程。
把连续连续的场分布转换为计算离散点的场值或者表达场的级数表达式的数值化系数。
（1）、有限差分法——求解电磁场满足的微分方程。
（麦氏方程、泊松方程以及波动方程）△、用差商近似代替导数，用查分近似代替微分。
△、把微分方程转化为差分方程（代数方程）。
特点：简单，物理概念明确。
（2）、矩量法——求解电磁场积分方程。
△、把未知函数展开为选定基函数表示的级数，存在未知函数。
△、把求解未知函数问题转变为求解系数问题。
△、再选择合适权函数，计算加权平均意义下的误差。
△、令误差为零，积分方程变为关于系数的代数方程。
△、矩量法在应用时若直接采用分解法和迭代法求解则计算量非常大，例如计算电大目标散射问题的计算，为解决这个问题，产生了一系列的快速算法。
工程电磁场数值计算第2版课件教学配套课件倪光正杨仕友邱捷等编著..
a
图4-13 场域离散化
迭代运算的差分方程：
( n 1)
(n)
4 ( 4 ) (i, j)
(i, j)
(n)
(n)
( n 1)
( n 1)
(n)
(i1, j )
(i, j1)
(i1, j )
(i, j1)
(i, j)
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尚辅教学配套课件
启动 给定边值1，2 填写域内的初值 迭代次数计数N=0
x
x
2
x
n
b1
b
b2
bn
(1) 正消过程 在 aii≠0，(i＝1，2，…，n)的前提下，共包含如下 n-1步：
将A 和右端项向量b 合写成增广矩阵的形式，并对各元素加注上标“0”，即
aa12((1001))
A(0) , b(0) a3(10)
a (0) 12
a (0) 22
a (0) 32
H z y
H y z
Ex t
H z
x
H z x
Ey t
H y x
H x y
Ez t
E
n1 x
(i
1 2
,
j, k )
Exn (i
1 2
,
j, k )
1
t y
[H n
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
,k)
Hn
1 2
z
(i
1 2
,
j
1 2
, k )]
1
t z
[H n
1 2
y
(i
1 2
,
j, k
尚辅教学配套课件
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864 年Maxwell 建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短, 将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz ，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
1964 年美国加州大学学者Winslow 以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）1965年，Winslow 首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969 年加拿大MeGill 大学P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。
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电磁场数值计算
6.1 有限元网格划分
主讲人： 王泽忠
在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形
或四边形。单元边长尽量接近或内角大小尽量接近。
如图，将一个较大的区域划分成有限个三角形单
元，显示网格的一部分。
在三维情况下，可以将求解区域划分为有限个四
面体或六面体。
（ m 1, 2,, nn ）
将不含未知函数 u 的项移至方程右端，得
aM m ud bM mud M m f d cM md
Biblioteka 将由基函数线性组合构成的近似函数代入方程，
得
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电磁场数值计算
六十年代初有限元法被正式命名，随后被广泛应 用于结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
六十年代中期以来在电磁场数值计算（计算电磁
学）领域，有限元法迅速成为一种主要方法。
目前，有限元法（FEM）、矩量法（MOM）和时域
第 4 章中已经论述了基函数与单元插值形状函数的
关系。这里利用这种关系将整个场域中有限元离散化方
程组系数矩阵和右端向量的计算转化为单元系数矩阵
和右端向量的计算。
通过逐个单元系数矩阵和右端向量的计算和对应
叠加，形成整体有限元离散化方程组。
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电磁场数值计算
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
作为深入探讨，将轴对称标量场和轴对称矢
量场转化为二维场（圆柱坐标系），分别给出了这
两种二维场有限元系数矩阵和右端向量的通用计
算公式。
具体讨论了三角形单元及其边界线单元系数
矩阵和右端向量元素的计算公式。
最后给出了典型问题的举例。
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aM m
ud
Mma
u n
d
Mm
f
d
m 1, 2,, nn
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主讲人： 王泽忠
将第二、三类边界条件式代入，得
aM m ud M m (bu c)d M m f d
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主讲人： 王泽忠
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三角形网格划分
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主讲人： 王泽忠
6.2 泊松方程的有限元公式
1、电磁场边值问题
电磁场边值问题一般满足微分方程和相应的边界
条件。
泊松方程是电磁场位函数满足方程中的一大类，下
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主讲人： 王泽忠
2、近似函数
以插值方式构造近似函数， u 的近似解表示为
nn
u M nun n1
其中基函数为
M1, M 2 , , M nn
相应的待定常数为 u1, u2 , , unn
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有限差分法（FDTD）并列，号称计算电磁学三大方法。
有限元法一般直接求解位函数的偏微分方程。在
高频电磁场领域有时也直接求解场矢量的微分方程。 有限元法的数学基础是变分原理和加权余量原理。
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加权余量原理对应于力学中的虚功原理，理论比
较简单。
本章讨论加权余量原理基础上的有限元离散化
过程。
用基函数和线性组合方法构造场域近似函数，借
助于加权余量原理（伽辽金法）将场域的偏微分方程
离散为代数方程组。
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主讲人： 王泽忠
有限元法的关键是用分块（片或段）插值方法构造
基函数和权函数。
面主要介绍泊松方程的有限元公式。
泊松方程表示为
a2u f
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
边界条件表示为
u 1 u0
u
a n
2 ,3
bu c
式中， u 为空间的位函数， u0 为边界上已知的 位函数， a 为方程系数（与场域的材料有关）， b 和 c 为已知的边界条件系数， f 是场域中源密度函数。
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
根据基函数和权函数与单元形状函数的关系，在 伽辽金有限元法中一个单元内基函数和权函数的值等
于相应的形状函数的值，表示为在单元 e 中 M ne,i Ni ； M me, j N j
3、伽辽金加权余量方程 采用伽辽金加权余量形式，设一组与基函数相同的权
主讲人： 王泽忠
在论述泊松方程伽辽金有限元计算的基础上，
分别给出了三维、二维（直角坐标）、和一维（直角
坐标）问题中的计算公式。
二维有限元中，具体讨论三角形线性插值单元
及其边界线性插值线单元的计算公式。
在三维有限元中，具体讨论四面体线性插值单
元及其边界线性插值三角形单元的计算公式。
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函数 M1, M 2 , , M nn 。
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主讲人： 王泽忠
将权函数代入伽辽金加权余量方程，得一组方程
M m (a2u)d M m f d
S
S
m 1, 2,, nn ，对应节点的整体编号。
对上式应用格林定理，得
主讲人： 王泽忠
nn
nn
[aM m (M nun )]d [bM m (M nun )d
n 1
n1
(M m f )d (cM m )d
将近似函数的梯度运算分配到各项，得
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主讲人： 王泽忠
电磁场数值 计算
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主讲人： 王泽忠
6 有限元法
有限元法是一种求解偏微分程的数值计算方法。 该方法上世纪四十年代从结构力学领域发展起来的。 数学工作者的参与，使之成为计算数学的一个强大分 支。