2011电磁场数值计算(本)-08

面主要介绍泊松方程的有限元公式。
泊松方程表示为
a2u f
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电磁场数值计算
主讲人： 王泽忠
边界条件表示为

u 1 u0
u
a n
2 ,3
bu c
式中， u 为空间的位函数， u0 为边界上已知的 位函数， a 为方程系数（与场域的材料有关）， b 和 c 为已知的边界条件系数， f 是场域中源密度函数。
六十年代初有限元法被正式命名，随后被广泛应 用于结构力学、流体力学、传热学和电磁学等领域。
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六十年代中期以来在电磁场数值计算（计算电磁
学）领域，有限元法迅速成为一种主要方法。
目前，有限元法（FEM）、矩量法（MOM）和时域
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电磁场数值 计算
王泽忠
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6 有限元法
有限元法是一种求解偏微分程的数值计算方法。 该方法上世纪四十年代从结构力学领域发展起来的。 数学工作者的参与，使之成为计算数学的一个强大分 支。
第 4 章中已经论述了基函数与单元插值形状函数的
关系。这里利用这种关系将整个场域中有限元离散化方
程组系数矩阵和右端向量的计算转化为单元系数矩阵
和右端向量的计算。
通过逐个单元系数矩阵和右端向量的计算和对应
叠加，形成整体有限元离散化方程组。
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Fra Baidu bibliotek
（ m 1, 2,, nn ）
将不含未知函数 u 的项移至方程右端，得
aM m ud bM mud M m f d cM md




将由基函数线性组合构成的近似函数代入方程，
得
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2、近似函数
以插值方式构造近似函数， u 的近似解表示为
nn
u M nun n1
其中基函数为
M1, M 2 , , M nn
相应的待定常数为 u1, u2 , , unn
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作为深入探讨，将轴对称标量场和轴对称矢
量场转化为二维场（圆柱坐标系），分别给出了这
两种二维场有限元系数矩阵和右端向量的通用计
算公式。
具体讨论了三角形单元及其边界线单元系数
矩阵和右端向量元素的计算公式。
最后给出了典型问题的举例。
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在论述泊松方程伽辽金有限元计算的基础上，
分别给出了三维、二维（直角坐标）、和一维（直角
坐标）问题中的计算公式。
二维有限元中，具体讨论三角形线性插值单元
及其边界线性插值线单元的计算公式。
在三维有限元中，具体讨论四面体线性插值单
元及其边界线性插值三角形单元的计算公式。
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有限差分法（FDTD）并列，号称计算电磁学三大方法。
有限元法一般直接求解位函数的偏微分方程。在
高频电磁场领域有时也直接求解场矢量的微分方程。 有限元法的数学基础是变分原理和加权余量原理。
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加权余量原理对应于力学中的虚功原理，理论比
较简单。
本章讨论加权余量原理基础上的有限元离散化
过程。
用基函数和线性组合方法构造场域近似函数，借
助于加权余量原理（伽辽金法）将场域的偏微分方程
离散为代数方程组。
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有限元法的关键是用分块（片或段）插值方法构造
基函数和权函数。
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三角形网格划分
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6.2 泊松方程的有限元公式
1、电磁场边值问题
电磁场边值问题一般满足微分方程和相应的边界
条件。
泊松方程是电磁场位函数满足方程中的一大类，下
函数 M1, M 2 , , M nn 。
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将权函数代入伽辽金加权余量方程，得一组方程
M m (a2u)d M m f d
S
S
m 1, 2,, nn ，对应节点的整体编号。
对上式应用格林定理，得

aM m

ud


Mma
u n
d


Mm
f
d
m 1, 2,, nn
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将第二、三类边界条件式代入，得
aM m ud M m (bu c)d M m f d
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6.1 有限元网格划分
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在二维情况下，单元可以是三角形和四边形。
网格划分就是把求解区域划分成有限个三角形
或四边形。单元边长尽量接近或内角大小尽量接近。
如图，将一个较大的区域划分成有限个三角形单
元，显示网格的一部分。
在三维情况下，可以将求解区域划分为有限个四
面体或六面体。
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根据基函数和权函数与单元形状函数的关系，在 伽辽金有限元法中一个单元内基函数和权函数的值等
于相应的形状函数的值，表示为在单元 e 中 M ne,i Ni ； M me, j N j
3、伽辽金加权余量方程 采用伽辽金加权余量形式，设一组与基函数相同的权
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nn
nn
[aM m (M nun )]d [bM m (M nun )d

n 1

n1
(M m f )d (cM m )d


将近似函数的梯度运算分配到各项，得