第五章 有心力场中的运动

§5-1 有心力场的普遍性质
1. 有心力场 质点受力F的作用线始终 通过惯性空间的固定点O，则 称此力我有心力，点O为力心， 有心力构成的力场称为有心 力场。O至质点的矢径记为r， 有心力F的作用线与r共线。
2-3
r F (r ) F (r ) r r m r F ( r ) 0 r
e 1 e 1 e 1
椭圆 抛物线 双曲线
将轨道方程代人动量矩 积分并分离变量，得到 dt t p3 d (1 cos ) 2 p3



0
d (1 cos ) 2
此式就是质点的运动方 程。 式中积分常数为 0，即矢径r与e重合的时刻，称为 过近地点时间。
r
3. 面积积分
r mr F (r ) 0 r 0 r v

mr v
F (r ) rr r v L(常矢量）
称为动量矩积分（ 守恒）。L为单位质量的质点对 O的动 量矩。常矢量L垂直于r与v构成的平面，因此质点 必永远在此 平面内运动，此平面称 为轨道平面。 因此可以采用极坐 标来研究问题。
2. 动力学方程与初积分 r 由上节mr F (r ) 0知， r 二体问题的动力学方程 为： r 3 r 0 (5.2.5) r 此方程为二阶矢量微分 方程，
可化为三个二阶标量微 分方程组， 应有六个积分常数。如 图所示。 我们不直接使用积分的 方法 求解此问题，而是使用 初积分与 直接积分相结合的方法 来求解。
高等动力学
中国矿业大学力建学院力学系 李毅
2-1
目 录
第五章 有心力场中的运动
§5-1 有心力场的普遍性质 §5-2 二体问题 §5-3 限制性三体问题
2-2
有心力场是自然界中最普遍的力场。天体或航天器的 运动可简化为质心运动和绕质心的转动，即轨道运动和姿 态运动。忽略轨道运动和姿态运动的耦合作用，可分别独 立研究这两种运动。
设航天器射入轨道的起 始位置和速度为 r0 和v 0，两者垂直。则积分常 数E，L为：
2 v0 E 2 r0
L r0 v0 v0 2 p r0 ( ) vc
v0 2 e 1 ( ) vc vc r0 (圆速度)
抛物线速度v p 2 r0 2vc
在质点m上作用冲量，使速度产生突变，则轨道根数发生 改变，质点m转移至另一轨道。

p
(1 e cos )

p
e sin
速度v : v v v
2 r 2

p
1 e 2 2e cos
太阳系中的行星，地球 附近的航天器轨道都是 椭圆轨道。 p rmin r (0) 记为r，称为近地点（ 点） 1 e p rmax r ( ) 记为r，称为远地点（ 点） 1 e 由于p r ( / 2)，p的几何意义为 2 时，质点到O点的距离。 1 p 椭圆长半轴： a (r r ) 2 1 e2 椭圆短半轴： b a 2 (ae) 2 a 1 e 2
§5-2 二体问题
1. 万有引力场
m me r ( ) 2 r r G 6.67 1011 m 3 /kg s 2，万有引力常数。 F G m me V (r ) G r 两质点组成的系统，无 外力作用，仅在 两者的万有引力作用下 的运动，称为二体问题 。
将地球和航天器均视作均值球体，根据上例的分析，可以 质量集中于球心的质点me和m分别表示地球和航天器。由于
代人时间积分： t a3


0
(1 e cos )d
a3

( e sin )
令 2，导出质点椭圆运动周 期T0： T0 2 a3

从而证明了开普勒第三 定律，即行星运动周期 的平方与轨道 长半轴的立方成正比。
4. 轨道的射入与转移
由偏心率矢量e可确定角， 称为近地点幅角。 偏心率矢量e与矢径r点积： 1 1 r e r ( v L r) r L
2

r re cos
从而导出极坐标形式的 轨道方程： p r 1 e cos 式中参数p L
2

称为半轴参数。
此轨道方程显然是以 O为焦点，且相对于 e为对称轴的圆锥曲线。
me＞＞m，可足够精确地认为系统的质心O与地球的球心Oe重合。 二体问题简化为只需研究质点m在静止的地球万有引力作用下 的运动。
me 5.9761024 kg， Gme 3.986105 km3 /s 2
称为地球引力参数
m me m F (r ) G 2 2 m g r r 地球表面处g 9.82m / s 2。 m V (r ) r
2. 能量积分
r v F (r ) v 0 mv r 1 d F (r ) 1 d m (v v ) (r r ) 0 2 dt r 2 dt d 1 2 0 ( m v ) F (r )r dt 2 1 2 1 v V (r ) E 称为能量积分（守恒） 2 m V (r ) F (r )dr， 称为势能
3. 开普勒运动
二体问题描述的运动称为开普勒运动。从轨道方程：
p r 1 e cos 可以看出轨道曲线是以 O为焦点，且相对偏心率 矢量e为对称轴 的圆锥曲线。曲线的类 型取决于偏心率 e的值 : e 1 e 1 e 1 椭圆 抛物线 双曲线
从 (5.2.10)判断，e 1 ，e 1 ，e 1等价于 E 0, E 0，E 0


r
r e (常矢量)
(5.2.9)
vL

r 称为拉普拉斯积分。 1
r e (常矢量)
(5.2.9)
积分常数矢量e称为偏心率矢量。 e
2
2
(v L L2

r
r )2
1 1
2
(v 2
2 ) r (5.2.10)
2 EL2
2
面积积分表明质点的轨 道为平 面，该平面在惯性空间 中是固定的。 为确定轨道平面的位置 ，以O为原 点建立惯性参考系 (OX 0Y0 Z 0 )，其中 Z 0沿地球的极轴， X 0Y0为赤道平面。 轴X 0沿地球公转轨道的春分 点，在 轨道与赤道平面相交的 两个交点中， 对应于航天器上升的交 点称为升交 点，记作N，ON与OX 0的夹角称 为升交点赤经，轨道面 与赤道面的 倾角i称为轨道面倾角。 与i是确定 轨道面的空间方位的两 个独立的广义坐标。
轨道平面方位（ ，i）和偏心率矢量 e的方位确定后，轨道 方程和时间积分即完全 确定二体问题的运动规 律。 以上积分过程中出现 8个积分常数， E，L，，i，，p，e， 2 EL2 L2
，称为轨道根数，由于 有关系式e 1

2
，p

的存在，
其中有6个是独立的。通常选择 ，i，，p，e，作为独立的轨 道根数。
二体问题的能量积分和 面积积分可由上节得出 ： v2 E 2 r r v L (5.2.6) (5.2.7)
此外。二体问题还存在 另一个初积分。由 (5.2.5) d d L 3 r L (v L) 3 (r (r r )) (v L r ) 0 v r dt r dt r vL
1. 地月轨道
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。
近地点速度：vπ v(0) vmax (1 e) p 远地点速度：vα v( ) vmin (1 e) p 当e 0时，轨道为圆形， r r r a b p，此时速度

称为圆速度vC，矢径的角速度 C： vC
§5-3 限制性三体问题
上节讨论的二体问题是 多体问题中唯一可导出 解析积分 的最简单情况。三体问 题，即三个相互以万有 引力吸引的质 点运动，不存在解析积 分。 若三体问题中有一体质 量m远小于另外两体的质量 m1，m2， 以至于它对后两者运动 的影响可以忽略不计， 则可以认为m1， m2 作为独立的二体运动， 只需要讨论m在m1，m2的共同引力场 中的运动。这种简化的 三体问题称为限制性三 体问题。考虑 地球和月球引力共同作 用的航天器运动就是典 型的限制性三 体问题。
动量矩积分在极坐标中 的的标量形式： L r 2 (5.1.9)
质点的矢径扫过的面积 为： 1 2 dA r d 2 1 2 1 A r L 2 2 因此，动量矩积分又称 为面积积分。
将能量积分也用极坐标 表示： 1 2 2 2 1 r ) V (r ) E (r (5.1.12) 2 m (5.1.9)与(5.1.12)组成封闭方程组，可用 来求解此类问题。
设冲量沿速度v方向，引起速度增量 v，引起速率增量 v，
v v 0v，其中v 0为速度v方向单位矢量。引起偏 心率矢量e变化 1 e，利用偏心率公式 e (v L r )： r
e 1 v v 1 0 2 0 0 [ L v (r )] [v L v L] v L v v v e 2v 0 e v v L v 可以看出e在轨道面内且与速度方 向垂直。在近地点 e与e 方向一致，在远地点 e与e方向相反，在其它位置 e与e有夹角。
解：航天器m在半径为a和2a的圆轨道速度 vc1 a，vc 2 (2a ) 霍曼转移轨道近地点远 地点距离分别为 a和 2a，利用(5.2.20)可得： 4 1 p a，e 3 3 利用(5.2.24)计算霍曼转移轨道近地 点和远 地点速度： v 4 3a，v 3a