信号分析与处理-杨西侠版-第3章习题答案
信号与系统课后习题与解答第三章
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。
图3-1解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n2112011201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n Edt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-====⎰⎰所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为⎪⎩⎪⎨⎧±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0,021n n jE n jb F n n π所以，指数形式的傅利叶级数为T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j πωππππωωωω2,33)(11111=++-+-=--3-2 周期矩形信号如图3-2所示。
若：图3-22τT-2τ-重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20=幅度 V E 10=求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。
解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====⎰⎰--22sin 12,)(1112212211τωττωππωττωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F tjn TT t jn n则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为∑∑∞-∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛==n tjn n tjn n e n Sa TE eF t f 112)(1ωωτωτ其直流分量为TE n Sa T EF n ττωτ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2lim100 基波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-2sin 2111τωπEF F 二次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-22sin 122τωπEF F 三次谐波分量的幅度为⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得s T s rad 441102,/10-⨯==πω将各参数的值代入，可得直流分量大小为V 110210201046=⨯⨯⨯--基波的有效值为())(39.118sin 210101010sin 210264V ≈=⨯⨯⨯- πππ二次谐波分量的有效值为())(32.136sin 251010102sin 21064V ≈=⨯⨯⨯- πππ三次谐波分量的有效值为())(21.1524sin 32101010103sin 2310264V ≈=⨯⨯⨯⨯- πππ3-3 若周期矩形信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图3-2所示，)(1t f 的参数为s μτ5.0=，s T μ1= ，V E 1=； )(2t f 的参数为s μτ5.1=，s T μ3= ，V E 3=，分别求：（1）)(1t f 的谱线间隔和带宽（第一零点位置），频率单位以kHz 表示； （2）)(2t f 的谱线间隔和带宽； （3）)(1t f 与)(2t f 的基波幅度之比； （4）)(1t f 基波与)(2t f 三次谐波幅度之比。
《信号与系统分析基础》第3章部分习题解答
第三章习题解答3.2 求下列方波形的傅里叶变换。
(a) 解：1102()()11()2j t j t j t j j a F j f t e dt e e dt j e S e j ωτωτωωτωτωωωττω+∞--∞----=-=⋅=-==⎰⎰(b) 解：200022()11()1[](1(1)1(1)j t t j t j t j t j j j j tF e dttde j j te e dt j j e e ej eτωωττωωωτωτωτωτωττωτωωτωτωωττω--------==⋅⋅-=--=+-=+-⎰⎰⎰(c) 解：13112211()()22111()()2211()cos21()21()21112()2()22j t j t j t j t j t j t j t j tF t e dte e e dt e e dt e ej j ωππωππωωππωωπωππωω-------+---+--=⋅=+⋅=+=--+⎰⎰⎰()()()()22221111[][]2222j j j j e e e e j j ππππωωωωππωω----++=⋅--⋅--+2222sin()sin()cos ()cos ()cos 2222()()2222ππππωωωωωωπωππππωωωω-+⋅++⋅-⋅=+==-+--3.3依据上题中a,b 的结果，利用傅里叶变换的性质，求题图3.3所示各信号的傅里叶变换. (b) 解：262()()()f t g t g t =+,而()()2g t Sa τωττ↔2()6(3)2()F Sa Sa ωωω∴=+如利用3.2中(a)的结论来解，有：211'()(3)(1)f t f t f t ττ=+++，其中6,'2ττ==.3211'()()()6(3)2()j j F e F e F Sa Sa ωωττωωωωω∴=⋅+⋅=+(如()()f t F ω↔，则00()()j t f t t eF ωω±↔)(c) 解：32222()2()2(),1f t f t f t τττ=++-+= 由3.2(b)知，2221()(1)j j F e j e ωτωτωωττω--=+-32222222222222()2()2(),1112(1)2(1)222222444cos (1cos )j j j j j j j j j j F e F e F e e j e e e j e je je ωτωτωωωωωωωωωωωτωωωωωωωωωωωωωωω-----∴=+-==⋅⋅+-+⋅⋅--=+-+--=-=-3.4利用对称性求下列各函数的傅里叶变换.(2) 222(),.f t t tαα=-∞<<+∞+ 解：222t e αααω-↔+ ，由对称性，2222et αωαπα-↔+(3)2()f t444444444244()(2)(2)1(2)()21111()(2)(2)[()]*[()][()()]22282,()()0.22,()()2;26,()()f t Sa t Sa t Sa t g f t Sa t Sa t g g g g g g g g d g g d πππππππωππππππππωππωωωωππωπωωπωπωωυωππωπωωυ-=⋅↔=⋅↔=*<-*=-<<*==+<<*=⎰解：而，利用频域卷积特性，得：积分：2444246.6,()()0g g πωππππωππωωπωω-=-+=->*=⎰3.8(3) ()(2)()2()dF t f t j F d ωωω-↔-(6) (25)f t -;由1[()]()j b a F f at b e F a a ωω--=⋅，2,5,a b == 2.51(25)()22j f t e F ωω-∴-↔⋅3.9 计算下列各信号的傅里叶变换.(2) 3()2(32)()2[2()],2u t t u t t δδδ+-=+-是偶函数332232()1,1[()]().2, 3.112(32)21,()().21()2(32)()j b aj j j t F f at b e F a aa b t e e u t j u t t e j ωωωωδωδπδωωδπδωω----↔-===∴-↔⋅⋅⋅=↔+∴+-↔++ 由(7) 33(2)63(3)9[(2)(3)](2)(3)tt t e u t u t eu t e e u t e --+---+--=⋅+-⋅-33(2)23(3)31().11();(2)331(3)3t t t j t j e u t j e u t e u t e j j e u t e j αωωαωωωω---+---↔+∴↔+↔++-↔+ 同理：32(3)3(3)1[(2)(3)]()3t j j e u t u t e e j ωωω-+-+∴+--↔-+3.13 已知阶跃函数和正弦、余弦函数的傅里叶变换如下：0000001[()]()[c o s ][()()][s i n ][()()]F u t j F t F t j πδωωωπδωωδωωωπδωωδωω=+=++-=+-- 求单边正弦函数和单边余弦函数的傅里叶变换。
信号分析与处理作者杨西侠柯晶1信号概述共24页文档
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
随机信号分析(第3版)第三章 习题答案
Z (t )的均值: E[ Z (t )] = E[ A ⋅ X (t ) ⋅ Y (t )] = E[ A] ⋅ E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )] = 2 E[ X (t )] ⋅ E[Y (t )]
2 mX = RX (∞) = lim
2 cos ω0τ = 0 → mX = 0 τ →∞ eτ
⎡ 2 1.3 0.4 __ ⎤ ⎢ __ 2 1.2 0.8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0.4 1.2 __ 1.1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0.9 __ __ 2 ⎦ 3.12 解：根据广义平稳随机信号过程的自相关函数矩阵的对称性，得到： ⎛ 2 1.3 0.4 0.9 ⎞ ⎜ 1.3 2 1.2 0.8 ⎟ ⎟ C= ⎜ ⎜ 0.4 1.2 2 1.1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0.9 0.8 1.1 2 ⎠ 3.13
= E[100 sin 2 (ω 0 t + θ ) ×100 sin 2 (ω 0 t + ω 0τ + θ ) ] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) − cos(4ω 0 t + 2ω 0τ + 4θ )] = 2500 E[1 − cos(2ω 0τ ) ] ∴ R Z (τ ) 仅与 τ 有关，且均值为常数，故 Y(t ) 是平稳过程。
3.6 给定随机过程 X ( t ) = A cos (ω 0t ) + B sin (ω 0t ) ，其中 ω 0 是常数， A 和 B 是 两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为 σ 2 。证明 X ( t ) 是广义平 稳而不是严格平稳的。 3.6 证明：Q m X (t ) = E[X(t )] = E[ A cos(ω 0 t ) + B sin(ω 0 t) ] = 0
信号分析与处理课后习题答案
信号分析与处理课后习题答案第五章 快速傅里叶变换1.如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需要50us ，每次复加需要10us ，用来就散N=1024点的DFT ，问：（1）直接计算需要多少时间？用FFT 计算呢？（2）照这样计算，用FFT 计算快速卷积对信号进行处理是，估计可实现实时处理的信号最高频率？ 解：分析：直接利用DFT 计算：复乘次数为N 2，复加次数为N(N-1)；利用FFT 计算：复乘次数为20.5log N N ，复加次数为2log N N ；（1） 直接DFT 计算：复乘所需时间2215010245052.4288T N us us s =⨯=⨯=复加所需时间2(1)101024(10241)1010.47552T N N us us s =-⨯=-⨯= 所以总时间1262.90432DFT T T T s =+=FFT 计算：复乘所需时间3220.5log 500.51024log 1024500.256T N N us us s =⨯=⨯⨯⨯= 复加所需时间422log 101024log 1024100.1024T N N us us s =⨯=⨯⨯= 所以总时间为340.3584FFT T T T s =+= （2） 假设计算两个N 长序列1()x n 和2()x n 的卷积计算过程为如下：第一步：求1()X k ，2()X k ；所需时间为2FFT T ⨯第二步：计算12()()()X k X k X k =•，共需要N 次复乘运算所需时间为501024500.0512To N us us s =⨯=⨯=第三步：计算(())IFFT X k ，所需时间为FFT T所以总时间为230.35840.0512 1.1264FFT T T To s s s =⨯+=⨯+= 容许计算信号频率为N/T=911.3Hz2.设x(n)是长度为2N 的有限长实序列，()X k 为x(n)的2N 点得DFT 。
信号分析与处理杨西侠版第3章习题答案
3-1 求以下序列的频谱)X(e j ω(1)δ(n) (2)δ(n-3)(3) δ(n+1)+δ(n)+ δ(n-1) (4) a n u(n), 0<a<1 (5) 矩形序列R N (n) 解：序列频谱的定义为)X(e j ω= ∑+∞∞=--n )(ωjn e n x(1) )X(e j ω=∑+∞∞=--n )(ωδjn e n = 1(2) )X(e j ω= ∑+∞∞=---n )3(ωδjn e n = ω-j3e(3) )X(e j ω=ωδδδjn e n n n -+∞∞=∑-+++-n )]1(5.0)()1(5.0[= ωj 0.5e + 1 +ω-j 0.5e= 1 +2ωωj j e e -+= 1 +ω cos (4) )X(e j ω=∑+∞∞=--n )(ωjn nen u a= ∑+∞=-0n ωjn n e a= n j ae )(0n ∑+∞=-ω (∵0 < a < 1, ∴收敛)= 11ωj ae-- (5) )X(e j ω=∑+∞∞=--n )(ωjn N e n R= ∑-=-1n N jn e ω= 11ωωj jN ee ----=22ωωj N jee--·2222ωωωωj j N jN je e ee ----= ω21-N j-e2sin 2sinωωN 3-2 设)X(e j ω和)Y(e j ω分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换 (1) x(n-n 0)(2) x *(n)(3) x(-n)(4) x(n)* y(n) (5) x(n) y(n) (6) nx(n) (7) x(2n)(8) x 2(n)x ( 2n), n 为偶数(9) x a (n) =0，n 为奇数(1) DTFT[x(n-n 0)] = ∑+∞∞=---n 0)(ωjn e n n xωω0-m 0)(jn jm e e m x n n m -+∞∞=-∑-== ωω0)X(e j jn e -(2) DTFT[x *(n)] = ∑+∞∞=--n *)(x ωjn e n= *-n ])(x [∑+∞∞=ωjn e n = *-n )(])(x [∑+∞∞=--ωjn e n= )(e X -j *ω(3) DTFT[x(-n)] = ∑+∞∞=--n x (-n)ωjn e∑-∞+∞=---=m )(x (m)ωjm enm= )X(e -j ω(4) DTFT[x(n)* y(n)] = ∑+∞∞=--n y(n)] * [x (n)ωjn e=∑∑+∞∞=-+∞∞=--n -m )()(ωjn e m n y m x= ∑∑+∞-∞=-+∞-∞=-n jn m e m n y m x ω)()( = ωωjm j m e e Y m x -+∞-∞=∑)()( = ωωjm m j e m x e Y -+∞-∞=∑)()(= )()(ωωj j e Y e X(5) DTFT[x(n) y(n)] = ωjn n e n y n x -+∞-∞=∑)()(= ωππθθθπjn n jn j e n y d e e X -+∞-∞=-∑⎰)(])(21[=θπθωππθd e n y e X n jn j ])()[(21)(∑⎰+∞-∞=---=θπππθωθd e Y e X j j ⎰--)()(21)(= )(*)(21ωωπj j e Y e X (6) DTFT[nx(n)] = ωjn n e n nx -+∞-∞=∑)(=)]([ωωj e X d d j (7) DTFT[x(2n)] = ωjn n e n x -+∞-∞=∑)2(2)(2ωjmm em x n m -+∞-∞=∑=∑+∞-∞=---+m jm m jm e m x e m x m ])()1()([2122ωω取整数 = 2)(21ωjmm em x -+∞-∞=∑+mj m e m x )()(212ω-+∞-∞=-∑ = )(212ωj e X +)(212ωj e X - (8) DTFT[x 2(n)] = )(*)(21ωωπj j e X e X (9) DTFT[x a (n)] = ωjn n a e n x -+∞-∞=∑)(= ωn j n a e n x 2)2(-+∞-∞=∑= ωn j n e n x 2)(-+∞-∞=∑= )(2ωj e X1 | ω | < ω03-3 已知)X(e j ω=0 ω0≤ | ω | ≤π求)X(e j ω的傅里叶反变换解：x(n) =ωπωππωd e e X jn j ⎰-)(21=⎰-21ωωωωπd e jn=0|21ωωωπ-jn e jn = je e n jn jn 2100ωωπ--⋅= πωn n 0sin = 000sin ωωπωn n ⋅ = )(00ωπωn Sa 3-4 周期序列x p (n), 如图3-44所示，周期N=4,求DFS[x p (n)] = X p (k)解： 由DFS 的定义 X p (k) = nk N N n pW n x∑-=10)(∴ X p (0) = 0210)(⨯--=∑πjn N n pen x=∑=3)(n pn x= 4X p (1) =n j n pen x23)(π-=∑= 2 + (–j ) + 0 + j = 2n-141图3-442-23512X p (2) = πjn n p e n x -=∑3)(= 2 + (–1 ) + 0 + (–1 ) = 0X p (3) =233)(πjnn pen x-=∑= 2 + j + 0 + (–j ) = 2∵ X p (k)是周期函数，其周期长度N=4∴ X p (k) = Z[1+cos( 2πk )]或 X p (0) = 4, X p (1) = 2, X p (2) = 0, X p (3) = 23-5 如果x p (n)是一个周期为N 的序列，也是周期为2N 的序列，令X p1(k)表示当周期为N 时的DFS 系数，X p2(k)是当周期为2N 时的DFS 系数。
随机信号分析(第3版)第三章习题及答案
3.1 随机电压信号()U t 在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：（1）密度函数();f u t 、()1212,;,f u u t t 和()1212,,...,;,,...,k k f u u u t t t ，k 为任意整数；（2）()U t 的平稳性。
3.1解：(1)2(;)}4x f u t =-22121,2121,12,21(;,)()()exp{}44u u f u u t t f u t f u t π+==-211,212,1(,,;,,)()}4kiki k k i i i uf u u u t t t f u t ====-∑∏(2)由于任意k 阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。
3.23.33.4 已知随机信号()X t 和()Y t 相互独立且各自平稳，证明新的随机信号()()()Z t X t Y t =也是平稳的。
3.4解：()X t 与()Y t 各自平稳，设X m =[()]E X t ，Y m =[()]E Y t ，()[X()X()]X R E t t ττ=+，()[Y()Y()]Y R E t t ττ=+Z ()[Z()][()Y()][()][()]X Y m t E t E X t t E X t E Y t m m ===⨯=，为常数(,)[Z()Z()][()Y()()Y()][X()()][Y()()]()()()Z X Y Z R t t E t t E X t t X t t E t X t E t Y t R R R τττττττττ+=+=++=+⨯+=⨯=∴()Z R τ仅与τ有关，故Z()t =()Y()X t t 也是平稳过程。
3.5 随机信号()()010sin X t t ω=+Θ，0ω为确定常数，Θ在[],ππ-上均匀分布的随机变量。
若()X t 通过平方律器件，得到2()()Y t X t =，试求：（1）()Y t 的均值； （2）()Y t 的相关函数；（3）()Y t 的广义平稳性。
信号分析与处理习题答案(P155)
信号分析与处理习题答案（P155）3、绘图程序：%sinusoidal sequence n=0:29;x=sin(16*pi/5*n+pi/4); stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('Sinusoidal sequence'); grid;55825162=∴===N N m序列为周期序列为有理数πππω4、绘图程序：%delta sequencen=[-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5]; x=[0 5 0 0 2 0 -4 0 3 0 0]; stem(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('delta sequence'); grid;8、根据DTFT 性质， （1）时域尺度变换特性：连续时间傅里叶变换的尺度变换表示为：⎪⎭⎫ ⎝⎛↔a X a at x ω1)( 然而，在离散时间的情况下，若a 不是整数，x[an]就不是一个序列。
另一方面，如果a 是一个整数，例如a=2，那么x[2n]仅包含x[n]的偶数样点。
因此，离散时间中的时域尺度变换与上式有些不同。
令m 为一正整数，则序列的傅里叶变换为⎩⎨⎧≠===km n kmn k x m n x n x m 0][]/[][)(()a b{})(][][][][)()()()(Ω====∑∑∑∞-∞=Ω-∞-∞=Ω-∞-∞=Ω-m X ek x ekm xen xn x F n km j n kmj m n nj m m所以)(0]/[][)(Ω↔⎩⎨⎧≠==m X km n km n m n x n x m⎪⎭⎫⎝⎛Ω↔a X an x )( （3）时域位移：)(][00Ω↔-Ω-X en n x n j)()1()()()2()(22Ω-=Ω-Ω↔--Ω-Ω-X e X eX n x n x j j10.（2）根据P109式3-26)())(()(1)()()(00101000Ω=Ω+=ΩΩ=∑∑-=Ω--=Ωk X qN k X en x Nk X e k X n x N k njk N k njk根据题意，序列x(n)的基本周期为N=8，Ω0=2π/N=π/4 根据欧拉公式，nj nj njnjee een 002121214cos 44Ω-Ω-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πππ则x(n)的傅里叶系数为X(1)=1/2，X(-1)= X(-1+8)= X(7)=1/2，其他系数等于0。
信号分析第三章答案
第三章习题参考解答3.1 求下列信号展开成傅里叶级数，并画出响应相应的幅频特性曲线。
解 (a) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=τω011dt AeTtjk 2121τωτωτk Sae T A k j -= )2(1Tπω=t jk k j k e e k Sa TA t x 11212)(ωωττωτ⋅=∴-∞-∞=∑3.1解 (b) ⎰-=Tt jk dt e t x Tk X 011)(1)(ωω⎰-=Tt jk dt te T A T011ω⎰--⋅=T t jk e td jk T A 012][11ωω ⎰-+-=T t jk dt e T jk Ak j A 02112ωωπkjA π2= )2(1T πω= ⎰=Tdt t x TX 0)(1)0(2A =∑∞≠-∞=+=∴)0(122)(k k t jk e kjA At x ωπ解 (c) ⎰-=Ttjk dt et x Tk X 011)(1)(ωωdt e TTtjk T T ωπ--⋅=⎰442cos1dt e e Tt k j t k j T T ][21111)1()1(44ωω+---+=⎰][)1(121][)1(1214)1(4)1(14)1(4)1(11111Tk j Tk j Tk j Tk j e ek j T e e k j T ωωωωωω++-----⋅+-⋅+--⋅=2)1sin()1(212)1sin()1(21ππππ--+++=k k k k π2)1(412)1(41-++=k Sa k Sa t jk k e k Sa k Sat x 1)2)1(2)1((41)(ωππ-++=∴∑∞-∞= )2(1T πω=解 (d) ⎰--=221)(1TT t jk n dt e t TF ωδT1=∑∞-∞==∴k tjk eTt x 11)(4ω3.2 求题图3.2所示信号的傅里叶变换。
信号分析与处理(第3版)-第3章part1(时域分析)
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五、离散信号的描述-序列的表示方法
• 集合表示法：
{x(n)}={……, 0，1，2，3, 4，3，2，1，0，……}
n=0
n值规定为自左向右逐一递增
• 公式表示法： x(n) 4 n , n 3
x(n)
• 图形表示法：
4
3
2 1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 n
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1、单位脉冲序列
奈奎斯特（Nyquist）频率： s 2m
10
2、由抽样信号恢复原连续信号
• 取主频带 X () ：
• 时域卷积定理： X () X s ()H ()
xs (t) x(nTs ) (t nTs ) n
h(t )
c
Sa( ct )
x(t) xs (t) * h(t)
n
c
x(nTs
• 频谱发生了周期延拓，即将原连续信号的频 谱X()分别延拓到以±s， ±2s ……为中心的
频谱，其中s为采样角频率
• 频谱的幅度乘上了因子1/Ts，其中Ts为采样周 期
9
二、时域采样定理
对于频谱受限的信号x(t)，如果其最高频率分量为 ωm，为了保留原信号的全部信息，或能无失真地恢 复原信号，在通过采样得到离散信号时，其采样频 率应满足ω s ≥ 2ωm
• 预习内容：
• 离散信号的频域分析
• 实验1：信号的采样与恢复
34
•即
y(n) {1,1,4,23,32,13,34,21,5,20} 32
7、两序列相关运算
• 序列的相关运算被定义为
xy (n) x(m) y(n m) m
• 可以用卷积符号“＊”来表示相关运算
xy (n) x(n) * y(n)
(2021年整理)信号与系统第3章习题
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信号与系统第3章习题一、选择题1、已知)(•x 为系统的输入，)(•y 为系统的输出，且系统满足IR 条件,则下列描述LTI 系统的是( )A 。
)()()(t x t ty t y =+'B 。
)()(5)(2)(2t x t y t y t y =+'+''C.1)()1(5.0)(+=-+k x k y k y D 。
)1()2(2)(-=-+k x k y k y2、已知系统微分方程为)()(2)(t x t y dtt dy =+，若1)0(=+y ，)()2sin()(t u t t x =，解得全响应为)452sin(4245)(02-+=-t e t y t ，0≥t 。
全响应中)452sin(420-t 为（ ） A 。
零输入响应分量 B 。
零状态响应分量 C.自由响应分量 D.稳态响应分量3、一个线性时不变的连续时间系统，其在某激励信号作用下的自由响应为)()(3t u e e t t --+，强迫响应为)()1(2t u e t --,则下面的说法正确的是（ )A 。
该系统一定是二阶系统B 。
该系统一定是稳定系统C.零输入响应中一定包含)()(3t u e e t t --+ D 。
零状态响应中一定包含)()1(2t u e t --4、已知一个LTI 系统的初始无储能，当输入 )()(1t u t x =时，输出为+=-)(2)(2t u e t y t )(t δ，当输入)(3)(t u e t x t -=时，系统的零状态响应)(t y zs 是( ）A.)()129(3t u e e t t --+- B 。
《数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案1.2 教材第一章习题解答1. 用单位脉冲序列()n δ及其加权和表示题1图所示的序列。
解：()(4)2(2)(1)2()(1)2(2)4(3)0.5(4)2(6)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=+++-+++-+-+-+-+-2. 给定信号：25,41()6,040,n n x n n +-≤≤-⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其它（1）画出()x n 序列的波形，标上各序列的值；（2）试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示()x n 序列； （3）令1()2(2)x n x n =-，试画出1()x n 波形； （4）令2()2(2)x n x n =+，试画出2()x n 波形； （5）令3()2(2)x n x n =-，试画出3()x n 波形。
解：（1）x(n)的波形如题2解图（一）所示。
（2）()3(4)(3)(2)3(1)6()6(1)6(2)6(3)6(4)x n n n n n n n n n n δδδδδδδδδ=-+-+++++++-+-+-+-（3）1()x n 的波形是x(n)的波形右移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（二）所示。
（4）2()x n 的波形是x(n)的波形左移2位，在乘以2，画出图形如题2解图（三）所示。
（5）画3()x n 时，先画x(-n)的波形，然后再右移2位，3()x n 波形如题2解图（四）所示。
3. 判断下面的序列是否是周期的，若是周期的，确定其周期。
（1）3()cos()78x n A n ππ=-，A 是常数；（2）1()8()j n x n e π-=。
解：（1）3214,73w w ππ==，这是有理数，因此是周期序列，周期是T=14； （2）12,168w wππ==，这是无理数，因此是非周期序列。
5. 设系统分别用下面的差分方程描述，()x n 与()y n 分别表示系统输入和输出，判断系统是否是线性非时变的。
信号分析与处理答案(第二版)
第二章习题参考解答2.1 求下列系统的阶跃响应和冲激响应。
(1)解当激励为时，响应为，即：由于方程简单，可利用迭代法求解：，，…，由此可归纳出的表达式：利用阶跃响应和冲激响应的关系，可以求得阶跃响应：(2)解 (a)求冲激响应，当时，。
特征方程，解得特征根为。
所以：…(2.1.2.1)通过原方程迭代知，，，代入式(2.1.2.1)中得：解得，代入式(2.1.2.1)：…(2.1.2.2)可验证满足式(2.1.2.2)，所以：(b)求阶跃响应通解为特解形式为，，代入原方程有，即完全解为通过原方程迭代之，，由此可得解得，。
所以阶跃响应为：(3)解(4)解当t>0时，原方程变为：。
…(2.1.3.1)…(2.1.3.2)将(2.1.3.1)、 (2.1.3.2)式代入原方程，比较两边的系数得：阶跃响应：2.2 求下列离散序列的卷积和。
(1)解用表格法求解(2)解用表格法求解(3)和如题图2.2.3所示解用表格法求解(4)解(5)解(6)解参见右图。
当时：当时：当时：当时：当时：(7) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：当时：(8)，解参见右图当时：当时：当时：当时：(9)，解(10) ，解或写作：2.3 求下列连续信号的卷积。
(1) ，解参见右图：当时：当时：当时：当时：Array当时：当时：解当时：当时：当时：当时：当时：解(4) ，解(5) ，解参见右图。
当时：当时：当时：当时：(6) ，解(7) ，解(8) ，解(9) ，解2.4 试求题图2.4示系统的总冲激响应表达式。
解2.5 已知系统的微分方程及初始状态如下，试求系统的零输入响应。
(1) ；解，，(2) ；，解，，，，可定出(3) ；，解，，，可定出2.6 某一阶电路如题图2.6所示，电路达到稳定状态后，开关S于时闭合，试求输出响应。
解由于电容器二端的电压在ｔ＝０时不会发生突变，所以。
根据电路可以立出ｔ＞０时的微分方程：，整理得齐次解：非齐次特解：设代入原方程可定出Ｂ＝２则：，2.7 积分电路如题图2.7所示，已知激励信号为，试求零状态响应。
信号分析与处理课后答案
答
案
网
(6) x(t ) = cos 2πt × u (t )
jΩ ( n + N )
.c
= e jΩn ，因此有 e jΩn = 1 。
om
da
课后答案网
答案： （1） 是周期信号， T =
（8） 是周期信号， T = 16
kh
3．试判断下列信号是能量信号还是功率信号。 （1） x1 (t ) = Ae
−t
t≥0
（2） x 2 (t ) = A cos(ω 0 t + θ )
解： （1） x1 (t ) = Ae
−t
t≥0
2
T →∞ 0
2 A2 A2 ⎛ 1 ⎞ A −2T lim ( e − 1) = − lim ⎜ = − 1⎟ = 2 T →∞ ⎝ e 2T −2 T →∞ ⎠ 2
∴ x1 (t )为能量信号
kh
=∞
da
= lim [ 2T −
sin 4T sin(2 + 2π )T sin(2 − 2π )T sin 4π T ⎤ + − − 4 2 + 2π 2 − 2π 4 ⎥ ⎦
w
sin(2 − 2π )T sin(2 − 2π )T sin 4π T sin 4π T ⎤ − − − 4 − 4π 4 − 4π 8 8 ⎥ ⎦
A2 1 ⎞ ⎛ 1 lim ⎜ − ⎟=0 2T T →∞ 2 2T ⎠ ⎝ 2Te
aw
T
答
案
网
（3） x3 (t ) = sin 2t + sin 2πt
（4） x 4 (t ) = e sin 2t
w
w
T →∞
信号分析与处理 中国电力出版社第三章习题解答第二版
习题33-1 如题3-1图所示电路，已知12R =Ω，24R =Ω，1L H =，0.5C F =，()2()t S u t e t V ε-=，列出()i t 的微分方程，求其零状态响应。
(S u t ()t题3-1图解：设通过电容C 的电流为)(t i c ，根据KVL 定律列写回路方程，可得)())()(()()()(12t u t i t i R dtt di Lt i t R s c =+++ )()()()())()())()((2212111212t u dt t i d CL R dt t di C R R t i R dt t di L t i R dtt di L t i R dt dCi s c =+++++= 整理得，)(2)(6)(5)(22t e t i dt t di dtt i d tε-=++ 两边求拉斯变换，在零状态响应下312211)3)(2)(1(2)(12)()65(2+++-+=+++=+=++s s s s s s s i s s i s s求拉斯反变换得)()2()(32t e e e t i t t t ε---+-=3-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下，试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
（1）22()()43()()d y t dy t y t x t dt dt ++=，(0)(0)1y y '==，()()x t t ε= （2）22()()()44()3()d y t dy t dx t y t x t dt dt dt++=+，(0)1y =，(0)2y '=， ()()t x t e t ε-=解：（1）求零状态响应)(t y zi当激励为零时，0)(3)(4)(22=++t y dt t dy dt t y d特征方程，0342=++λλ，解特征方程根，3,121-=-=λλ，则齐次解为t t zi e c e c t y 321)(--+=，代入初始条件：1)0()0(21=+==c c y y zi ，13)0()0(21''=--==c c y y zi ，解得1,21-==c c ，即零输入响应)()2()(3t e e t y t t zi ε---= 求零状态响应)(t y zs ，)()(t t x ε=，设方程的特解，0)(c t y p =，将其代入微分方程得，31)(=t y p )()31(321t e c e c y t t zs ε++=--，代入初始条件，031)0()0(21=++==c c y y zs03)0()0(21''=--==c c y y zs ，解得61,2121=-=c c零状态响应，)()612131(3t e e y tt zs ε--+-=； 全响应，).()652331(3t e e y y y tt zi zs ε---+=+= （2）求零输入响应)(t y zi当激励为零时，齐次微分方程，0)(4)(4)(2=++t y dtt dy dt t y d 特征方程，0442=++λλ，解得特征根，221-==λλ，则齐次解t zi e t c c t y 221)()(-+=，代入初始条件，4,2)0(,1)0(2'1====c y c y即零输入响应，)()14()(2t e t t y t zi ε-+=； 求零状态响应)(t y zs ，)()(t e t x t ε-=；设方程的特解，tp e c t y -=0)(，代入微分方程得，tp e t y -=2)(t t zs e e t c c y --++=2)(221，代入初始条件，2,02)0(11-==+=c c y zs1,01)0(22'-==+=c c y zs零状态响应，)(]2)2([2t e e t y t t zs ε--++-=； 全响应，)(]2)13[(2t e e t y y y t tzs zi ε--++=+=。
信号分析与处理3-1序列
0 5
10
15
20
n
显然，若2/0为整数时，正弦序列才具有周期2/0 ,若 2/0不是整数，而为有理数，则正弦序列2/0还是周 期性，但其周期要大于2/0，若2/0不是有理数，则 正弦序列就不是周期性。 18
(6) 复指数序列(complex exponential sequence) 复指数序列最常见的复序列 x(n) = e jn0 = cos(n0) + j sin(n0) (7) 周期序列(periodic sequence) x(n) = x(n + N) N为整数 x(n)称为周期序列，N是周期。 若正弦序列是周期序列，满足 sin(n0) = sin[(n + N)0] N0 = 2 m 2 N m 0 当2/0 为整数或有理数时，正弦序列才是周期序列。例 x (n) sin n N 2 m 2 m 12m 12 6 0 19 6
3
20世纪末期，数字信号处理技术迅速发展，应用广 泛，例如在通信、雷达、控制、航空与航天、声纳、生 物医学、地震学、核物理学、微电子学……等诸多领域 已卓见成效。随着应用技术的发展，离散时间信号与系 统自身的理论体系逐步形成，并日趋丰富和完善。 离散时间系统的分析方法在许多方面与连续时间系 统的分析方法有着并行的相似性。 连续系统 数学模型 微分方程 离散系统 差分方程 卷积和 Z、离散F、 系统函数
14
x( m )
h(m)
h(m)
0 1 2 3 h(1m)
m
3 2 1 0 h(4m)
m h(5m)
0 1 2 3
m
2 1 0 1
h(7m)
m
0 1 2 3 4
m
0 1 2 3 4 5 30 20
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证明：频移定理为
由IDFT的定义可知，
3-13
（1） ；
（2） 。
解：频移定理
（1）∵
∴
由频移特性：
（2）∵
∴
由频移特性：
3-14
求DFT[ y(n)]与X (k)的关系。
解：由DFT的定义可知，
3-15
证明：频域圆卷积定理，
若 则
同理可证
3-16
（1）x(n)(n) = x(n)；
（2）x(n)(nn0) = x(nn0)；
=
=
=
= = =
解：由DFS的定义
Xp(k)=
∴Xp(0)=
= = 4
Xp(1)= = 2 + (–j ) + 0 + j = 2
Xp(2)= = 2 + (–1 ) + 0 + (–1 ) = 0
Xp(3)= = 2 + j + 0 + (–j ) = 2
∵Xp(k)是周期函数，其周期长度N=4
证明：由卷积的定义可知来自（1）（2）3-17
解：
∴
∴
（3）
∴
3-9
解：
（1）
∴
. . .
. . .
∴
（2）
（3）
（4）
（5）
3-10
解：（1）
（2）
（3）
当 时，
当 时，
3-11
（1）x(n)与x(n)的线卷积；
（2）x(n)与x(n)的4点圆卷积；
（3）x(n)与x(n)的10点圆卷积；
（4）若要使x(n)与x(n)的线卷积等于圆卷积的结果，求序列长度的最小值。
0
0
0.5
相乘
0
0
0
0.25
取和
0.25
（2）
1) 反褶
2) 移位、相乘、求和
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(0-m)
0.5
0.5
1
1
相乘
0.25
0.5
1
0.5
取和
2.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(1-m)
1
0.5
0.5
1
相乘
0.5
0.5
0.5
0.5
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(2-m)
1
1
∴Xp(k)= Z[1+cos( k)]
或Xp(0)= 4,Xp(1)= 2,Xp(2)= 0,Xp(3)= 2
3-5
解：由DFS的定义
Xp1(k)=
Xp2(k)=
= +
+
=Xp1( )+
=
=
=
3-6
解：与3-4答案相同，可由定义求出。只不过此时的x(k)非周期的。
Xp(k)= Z[1+cos( k)]R4(k)
解：图解法求卷积的步骤为：
1)反褶
2)移位（线移或圆移）
3)相乘
4)求和
（1）
1)反褶
2)移位、相乘、求和
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(0-m)
0.5
0
0
0
相乘
0.25
0
0
0
取和
0.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(1-m)
1
0.5
0
0
相乘
0.5
0.5
0
0
取和
1
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(2-m)
1
1
0.5
3-1
(1)δ(n)(2)δ(n-3)
(3)0.5δ(n+1)+δ(n)+0.5δ(n-1)
(4)anu(n), 0<a<1
(5)矩形序列RN(n)
解：序列频谱的定义为
=
(1) = = 1
(2) = =
(3) =
= + 1 +
= 1 + = 1 +
(4) =
=
= (∵0 < a < 1,∴收敛)
=
(5) =
或Xp1(0)= 4,Xp1(1)= 2,Xp1(2)= 0,Xp1(3)= 2
3-7
解：先将有限长序列进行周期延拓，然后右移2位。再截取0~3点即得x1(n)，如下左图所示。
先将有限长序列后褶，然后再进行周期延拓。再截取0~3点即得x2(n)，如下右图所示。
3-8
解：（1）由定义得，
∴
（2）∵
∴只要 ，N就取整数
0
相乘
0.5
1
0.5
0
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(3-m)
0.5
1
1
0.5
相乘
0.25
1
1
0.25
取和
2.5
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(4-m)
0
0.5
1
1
相乘
0
0.5
1
0.5
取和
2
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(5-m)
0
0
0.5
1
相乘
0
0
0.5
0.5
取和
1
x(m)
0.5
1
1
0.5
x(6-m)
0
0.5
0.5
相乘
0.5
1
0.5
0.25
取和
2.25
x(m)
0.5
1
1
0.5
xp(3-m)
0.5
1
1
0.5
相乘
0.25
1
1
0.25
取和
2.5
（3）
反褶：
移位、相乘、求和：
（4）由（3）可得，当x(n)由4点通过补零扩为10点时，此时的圆卷积和线卷积的结果相同。由于线卷积的长度为4+4-1=7
∴可知x(n)由4点通过补零扩为最少7点时，圆卷积和线卷积相等。
=
=
= ·
=
3-2
(1)x(n-n0)(2)x*(n)(3)x(-n)
(4)x(n)*y(n)(5)x(n)y(n)(6)nx(n)
(7)x(2n)(8)x2(n)
x( ),n为偶数
(9)xa(n) =
0，n为奇数
(1)DTFT[x(n-n0)] =
=
(2)DTFT[x*(n)] =
=
=
=
(3)DTFT[x(-n)] =
=
(4)DTFT[x(n)*y(n)] =
=
=
=
=
=
(5)DTFT[x(n)y(n)] =
=
=
=
=
(6)DTFT[nx(n)]=
=
(7)DTFT[x(2n)]=
= +
= +
(8)DTFT[x2(n)]=
(9)DTFT[xa(n)]=
=
=
=
1|ω| <ω0
3-3
0ω0≤|ω|≤π
求 的傅里叶反变换
解：x(n)=