周炳琨激光原理第二章习题解答(完整版)
激光原理第二章习题答案
2.1 证明：如图2.1所示，当光线从折射率1η的介质，向折射率为2η的介质折射时，在曲率半径R 的球面分界面上，折射光线所经受的变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 其中，当球面相对于入射光线凹（凸）面时，R 取正（负）值。
证明：由图可知 11201θ⋅+⋅=x x 又)()(222111θηθη-=-RxR x 21121122x R ηηηθθηη-∴=+ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∴11212122201θηηηηηθx Rx ∴变换矩阵为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2121201ηηηηηR 2.2 试求半径R=4cm,折射率η=1.5的玻璃球的焦距和主面的位置1h 和2h 。
解：变换矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=2112121221210110101n n R n n n l n n R n n n M 把11=n ，5.12=n ，cm R R 421=-=，cm l 8=代入，可得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=3531316355.1145.115.10110815.145.1101M )(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -= 求得 mm f 30-= mm h 201= mm h 202=2.3 焦距1f =5cm 和2f =-10c=m 的两个透镜相距5cm 。
第一个透镜前表面和第二个透镜后表面为参考平面的系统，其等效焦距为多少？焦点和主平面位置在何处？距1f 前表面20cm 处放置高为10cm 的物体，能在2f 后多远地方成像？像高为多少？ 解：（1）2110101010********1131101011110552A B L M CD f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦)(12f h A -=, f C 1-=, )(11f h D -=，求得cm f 5-= cm h 5.21= cm h 52-=第一个透镜前表面与前主面的距离为2.5cm ，第二个透镜后表面与后主面的距离为-5cm,前主面离焦点的距离为-5cm ，） （2）21201011===l x θ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡45252110235150235150111122θθθx x D C B A xcm l cm x 2,5.222-==（距2f 后表面-2cm ）2.4 一块折射率为η，厚度为d 的介质放在空气中，其两界面分别为曲率半径等于R 的凹球面和平面，光线入射到凹球面上。
激光原理 第六版 周炳琨编著2章a
§2.1 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔
最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片
平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔）
共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成
i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器）
根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
二、腔的模式 腔的模式：光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态 谐振腔所约束的一定空间内存在的电磁场，只能存在 于一系列分立的本征态
腔内电磁场的本征态
因此：
麦克斯韦方程组 腔的边界条件
腔的具体结构
腔内可能存在的模式（电磁场本征态）
模的基本特征主要包括：
1、每一个模的电磁场分布 E(x,y,z)，腔的横截面内的 场分布（横模）和纵向场分布（纵模）； 2、每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗 ； 3、每一个模的激光束发散角 。
1 . 22 a
2
L
a
1
2
L
1 N
N 腔的菲涅耳数，表征衍射损耗大小，N，衍射损耗
1、光子在腔内的平均寿命
设，初始光强I0，在腔内往返m次后，光强为Im，则
I m I 0 (e
2 m
)
I 0e
2 m
则在 t 时刻时，往返次数 则 t 时刻光强
I (t ) I 0 e
E Nh V P hV dN dt
储存在腔内的总能量（E） 单位时间内损耗的能量（P）
t
Q的普 遍定义
2 nL
N N 0e
R
Q
R
c
前面定 义
Q
激光原理第二章答案
第二章开放式光腔与XX光束1.证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，根据几何关系可知傍轴光线则，写成矩阵形式得证2.证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为。
证明：设入射光线坐标参数为，出射光线坐标参数为，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2xx自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得化简后得证。
3.试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示:其往返矩阵为:由于是共焦腔，则有R i = R2 = L将上式代入计算得往返矩阵T m [A D1"101〔01 一可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件其中对平凹共轴球面镜腔有则，再根据稳定性条件可得。
对双凹共轴球面腔有，则根据稳定性条件可得。
对凹凸共轴球面镜腔有，则根据稳定性条件可得。
5•激光器的谐振腔由一面曲率半径为的凸面镜和曲率半径为的凹面镜组成，工作物质长，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜和的曲率半径分别为和，工作物质长，折射率当腔内放入工作物质时，稳定性条件中的腔长应做等效，设工作物质长为,工作物质左右两边剩余的腔长分别为和，贝y。
设此时的等效腔长为，则光在腔先经历自由传播横向距离，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离，则。
］「1 ql1 °=1 町n J(0dj o 冷0 1-所以等效腔长等于1 ■01.17m<L ：：2.17m6. 图2.3所示三镜环形腔，已知，试画出其等效透镜序列图，并求 球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
激光原理第二章习题答案
2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？ 解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈0/1.16mms L ωλπ==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mλωπλπ-⎡⎤--=⎢⎥-⎣⎦⎡⎤-==⨯⎢⎥⎣⎦1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)L R R L L R L R L R L mRL L λωωπλπ-⎡⎤-==⎢⎥--⎣⎦⎡⎤==⨯⎢⎥-⎣⎦2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g L Lw L R L R R L g g g R R L g LL w mmL R L R R L g g g λλππλλππ⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤-===⎢⎥⎢⎥-+--⎣⎦⎣⎦1/41/42221212120212121212(2)(2)220.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L L g g g g λλθππ⎡⎤⎧⎫--+-===⎨⎬⎢⎥--+--⎣⎦⎩⎭2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
激光原理 周炳琨版课后习题答案
在连续激发时，对能级 、 和 分别有：
所以可得：
很显然，这时在能级 和 之间实现了粒子数反转。
7．证明当每个模式内的平均光子数(光子简并度)大于1时，辐射光中受激辐射占优势。
证：受激辐射跃迁几率为
受激辐射跃迁几率与自发辐射跃迁机率之比为
式中， 表示每个模式内的平均能量，因此 即表示每个模式内的平均光子数，因此当每个模式内的平均光子数大于1时，受激辐射跃迁机率大于自发辐射跃迁机率，即辐射光中受激辐射占优势。
激光原理
周炳琨
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第一章
习题
2．如果激光器和微波激射器分别在 、 和 输出1W连续功率，问每秒从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少？
解：若输出功率为P，单位时间内从上能级向下能级跃迁的粒子数为n，则：
14．某高斯光束腰斑大小为 =1.14mm， 。求与束腰相距30cm、10m、1000m远处的光斑半径 及波前曲率半径R。
解：入射高斯光束的共焦参数
根据
z
30cm
10m
1000m
1.45mm
2.97cm
2.96m
0.79m
10.0m
1000m
求得：
15．若已知某高斯光束之 =0.3mm， 。求束腰处的 参数值，与束腰相距30cm处的 参数值，以及在与束腰相距无限远处的 值。
图2.1解：ຫໍສະໝຸດ 稳定条件左边有所以有
对子午线：
对弧失线：
有：
或
所以
同时还要满足子午线与弧失线
5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L=30cm， ， ，镜的反射率为 ，其他的损耗以每程0.003估计。此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择 模，小孔的边长应为多大？试根据图2.5.5作一个大略的估计。氦氖增益由公式计算。
周炳坤激光原理课后习题答案
《激光原理》习题解答第一章习题解答1 为了使氦氖激光器的相干长度达到1KM ，它的单色性0λ∆应为多少？解答：设相干时间为τ，则相干长度为光速与相干时间的乘积，即 c L c ⋅=τ根据相干时间和谱线宽度的关系 cL c ==∆τν1又因为 0γνλλ∆=∆，00λνc=，nm 8.6320=λ由以上各关系及数据可以得到如下形式： 单色性=0ννλλ∆=∆=cL 0λ=101210328.61018.632-⨯=⨯nmnm解答完毕。
2 如果激光器和微波激射器分别在10μｍ、500nm 和Z MH 3000=γ输出1瓦连续功率，问每秒钟从激光上能级向下能级跃迁的粒子数是多少。
解答：功率是单位时间内输出的能量，因此，我们设在dt 时间内输出的能量为dE ，则功率=dE/dt激光或微波激射器输出的能量就是电磁波与普朗克常数的乘积，即d νnh E =，其中n 为dt 时间内输出的光子数目，这些光子数就等于腔内处在高能级的激发粒子在dt 时间辐射跃迁到低能级的数目（能级间的频率为ν）。
由以上分析可以得到如下的形式：ννh dth dE n ⨯==功率 每秒钟发射的光子数目为：N=n/dt,带入上式，得到：()()()13410626.61--⨯⋅⨯====s s J h dt n N s J νν功率每秒钟发射的光子数 根据题中给出的数据可知：z H mms c13618111031010103⨯=⨯⨯==--λν z H mms c1591822105.110500103⨯=⨯⨯==--λνz H 63103000⨯=ν把三个数据带入，得到如下结果：19110031.5⨯=N ，182105.2⨯=N ，23310031.5⨯=N3 设一对激光能级为E1和E2（f1=f2），相应的频率为ν（波长为λ），能级上的粒子数密度分别为n2和n1，求(a)当ν=3000兆赫兹，T=300K 的时候，n2/n1=? (b)当λ=1μm ，T=300K 的时候，n2/n1=? (c)当λ=1μm ，n2/n1=0.1时，温度T=？解答:在热平衡下，能级的粒子数按波尔兹曼统计分布，即： TK E E T k h f f n n b b )(expexp 121212--=-=ν（统计权重21f f =） 其中1231038062.1--⨯=JK k b 为波尔兹曼常数，T 为热力学温度。
激光原理周炳坤-第2章习题答案
第二章 开放式光腔与高斯光束习题（缺2.18 2.19 2.20）1． 题略证明：设入射光()11,r θ，出射光()22,r θ，由折射定理1122sin sin ηθηθ=,根据近轴传输条件，则1122sin ,sin θθθθ≈≈1122ηθηθ∴=，联立21r r =，则所以变换矩阵为 2． 题略证明：由题目１知，光线进入平面介质时的变换矩阵为:经过距离ｄ的传播矩阵为： 光线出射平面介质时： 故3. 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭212211100r r θηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭121100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭2100d T ⎛⎫=⎪⎝⎭312100T ηη⎛⎫= ⎪⎝⎭3113213112211101010000r r r d T T T θθηηηηθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123211221101011000000d d T T T T ηηηηηη⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由于是共焦腔，有 12R R L == 往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4. 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
激光原理习题答案第二章
第二章 开放式光腔与高斯光束习题1．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，有12R R L ==往返矩阵变为若光线在腔内往返两次，有可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
3．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：设两腔镜1M 和2M 的曲率半径分别为1R 和2R ，121m,2m R R =-=122212111210101122110101212(1) 222222[(1)][(1)(1)]A B L L T C D R R L L L R R L L L L R R R R R R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-- ⎪⎪= ⎪-+----- ⎪⎝⎭1001T -⎛⎫= ⎪-⎝⎭21001T ⎛⎫= ⎪⎝⎭工作物质长0.5m l =，折射率 1.52η= 根据稳定条件判据： 其中由(1)解出 2m 1m L '>> 由(2)得 所以得到：2.17m 1.17m L >>4．图2.1所示三镜环形腔，已知l ，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形腔为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式()中的(cos )/2f R θ=，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，/(2cos )f R θ=，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
图2.1解：22222101011211110101442132221A B l l C D ff l l l l f f f l l f l f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫-+- ⎪⎪=⎪-- ⎪⎝⎭()221312l l A D f f+=-+011 1 (1)21L L ''⎛⎫⎛⎫<-+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭() (2)lL L l η'=-+10.5(1)0.171.52L L L ''=+⨯-=+稳定条件 223111l lf f-<-+<左边有 22320210l lf fl l f f -+>⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以有21l lf f><或 对子午线： 对弧失线： 有：或 所以同时还要满足子午线与弧失线5．有一方形孔径的共焦腔氦氖激光器，L =30cm ，20.12cm d a ==，λ=632.8nm ，镜的反射率为121,0.96r r ==，其他的损耗以每程0.003估计。
激光原理 第六版 周炳琨编著2章f
缺点：腔长太短，输出功率低。
腔内插入F-P标准具法
物理基础： F-P只能对某些特定频率的光通过。产生振荡的频率 不仅要符合谐振腔共振条件，还要对标准具有最大的透过率
腔内插入F-P标准具法
平板组合透过率是入射光波频率和平板反射率的函数
T ( ) (1 R )
2 2 2
(1 R ) 4 R sin
双凸非稳定腔的几何放大率
将从腔镜边缘外 侧逸出的球面波 作为激光器的有 用输出，非稳腔 中每一往返的平 均能量损耗率就 是其往返输出耦 合率。
双凸非稳定腔的几何放大率
球面波经M1反射到达M2的几何自 再现波型放大率： a2 l1 L m1 a2 l1
M2的几何自再现波型放大率：
纵模的选择
激光器的振荡频率范围和频谱：由工作物质增益曲线 的频率宽度来决定。P165表2-10-1给出了几种典型 激光器系统的光谱特征。
一般的谐振腔中，不同的纵模具有相同的损耗，因而进 行模式鉴别和选择时应可以利用不同纵模的不同增益。 同时，也可以引入人为的损耗差。
缩短腔的长度(短腔法)
相邻两个纵模的频率差： q q q 1 c 2L c 则当： q 2 L T 时可以实现单纵模谐振。
系统中总存在一对 轴上共轭像点p1和 P2,腔内存在一对发 散球面自再现波型， 由这一对像点发出的 球面波满足在腔内往 返一次成像的自再现 条件。
双凸腔中光线传输路径
根据球面镜成像公式，对凸面反射镜M2:
1 l1 L 1 l2 2 R2
对凸面反射镜M1:
1 l2 L
1 l1
2 R1
l2
l1 L
g 1 g 2 ( g 1 g 2 1) g 1 g 2 g 2 2g1g 2 g1 g 2 g 1 g 2 ( g 1 g 2 1) g 1 g 2 g 1 2g1g 2 g1 g 2
激光原理第二章习题解答
《激光原理》习题解答 第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义——两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。
共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。
公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。
两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。
） 根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。
设两个凹镜的曲率半径分别是1R 和2R ，腔长为L ，根据对称共焦腔特点可知：L R R R ===21因此，一次往返转换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=211121222121221221221R L R L R L R L R R R L L R L D C B A T 把条件L R R R ===21带入到转换矩阵T ，得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001D C B A T 共轴球面腔的稳定判别式子()1211<+<-D A 如果()121-=+D A 或者()121=+D A ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。
本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。
经过两个往返的转换矩阵式2T ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10012T坐标转换公式为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1111112221001θθθθr r r T r其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。
2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。
解答如下：共轴球面腔的()21221222121R R L R L R L D A +--≡+，如果满足()1211<+<-D A ，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是稳定腔，要具体分析。
激光原理第二章答案
第二章 开放式光腔与高斯光束1. 证明121 00 ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，根据几何关系可知211122, sin sin r r ηθηθ== 傍轴光线sin θθ则1122ηθηθ=，写成矩阵形式2121121 00 r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证 2. 1210 1d ηη⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
证明：设入射光线坐标参数为11, r θ，出射光线坐标参数为22, r θ，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d ，最后经界面2折射后出射。
根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得212121121 0 1 01 0 0 0 1r r d θθηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 化简后2121121 0 1d r r θθηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦得证。
3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下列图所示：其往返矩阵为：由于是共焦腔，则有12R R L ==将上式代入计算得往返矩阵()()()121010110101n nnn n n r L r L ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B C D T T T T T 可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。
于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。
4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔稳定性条件1201g g <<其中121211,1L Lg g R R =--=- 对平凹共轴球面镜腔有12,0R R =∞>。
则1221,1Lg g R ==-，再根据稳定性条件 1201g g <<可得22011LR R L <-<>⇒。
激光原理第六版周炳琨编著2章a
t 2 2 L 'c
I e 0
t
R
物理意义为 I ( R )
I( t)Nh
t N 1 1 腔内光子 0 R R t dN t t e dt td e R 平均寿命 N N 0 0 R 0 0 t
2
I 0 I1 2 ' I0
I I I e I I ( 1 2 ) 0 1 I 0 0 0 0 2 ' 2 I I I 0 0 0
损耗举例
反射镜反射不完全损耗：
I0 I1 r1 r2
I1 I0r r 1 2
I1 I0e
2 r
1 r lnr 1r 2 2
1 I0 ln 2 I1
(2.1.8)
I1
对于由多种因素引起的损耗，总的损耗因子可由各损 耗因子相加得到
i 1 2 3
损耗因子也可以用 ' 来定义 当损耗很小时，两种定义方式是一致的 2
I I e e e I e 1 0 0
2 2 2 3 1 2
第二章 开放式光腔与高斯光束
§2.1 光腔理论的一般问题 一、光学谐振腔
最简单的光学谐振腔：激活物质+反射镜片
平行平面腔：法布里-珀罗干涉仪（F-P腔）
共轴球面腔：具有公共轴线的球面镜组成
i.开放式光学谐振腔（开腔） ：在理论处理时，可以 认为没有侧面边界 （气体激光器）
根据几何逸出损耗的高低分为-稳定腔、非稳腔和临界腔
I0 R e t t N0 R dN e dt N N0 e R
激光与原理习题解答第二章
激光原理第二章习题答案1．估算2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆和碰撞线宽系数α。
并讨论在什么气压范围内从非均匀加宽过渡到均匀加宽。
解：2CO 气体在室温(300K)下的多普勒线宽D ν∆为11822770693103007.16107.161010.61044 0.05310HzD T M νν---⨯⎛⎫⎛⎫∆=⨯=⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭=⨯ 2CO 气体的碰撞线宽系数α为实验测得，其值为49KHz/Pa α≈2CO 气体的碰撞线宽与气压p 的关系近似为L p να∆=当L D νν∆=∆时，其气压为930.053101081.6Pa 4910Dp να∆⨯===⨯所以，当气压小于1081.6Pa 的时候以多普勒加宽为主，当气压高于1081.6Pa 的时候，变为以均匀加宽为主。
2．考虑某二能级工作物质，2E 能级自发辐射寿命为s τ，无辐射跃迁寿命为τ。
假定在t=0时刻能级2E 上的原子数密度为2(0)n ，工作物质的体积为V ，自发辐射光的频率为ν，求：(1)自发辐射光功率随时间t 的变化规律；(2)能级2E 上的原子在其衰减过程中发出的自发辐射光子数；(3)自发辐射光子数与初始时刻能级2E 上的粒子数之比2η，2η称为量子产额。
解：(1) 在现在的情况下有可以解得：11()22()(0)s tn t n eττ-+=可以看出，t 时刻单位时间内由于自发辐射而减小的能级之上的粒子数密度为2/s n τ，这就是t 时刻自发辐射的光子数密度，所以t 时刻自发辐射的光功率为：222()()s dn t n ndt ττ=-+(2) 在t dt →时间内自发辐射的光子数为：所以(3) 量子产额为：3．根据红宝石的跃迁几率数据：7151332312121310.510,310,0.310,S sA sA s S S ---=⨯=⨯=⨯=估算13W 等于多少时红宝石对694.3nm λ=的光是透明的。
激光原理第二章习题答案
激光原理第二章习题答案2.19某共焦腔氦氖激光器，波长λ＝0.6328μm ，若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm ，试求共焦腔的腔长，若腔长保持不变，而波长λ＝3.39μm ，问：此时镜面上光斑尺寸多大？解：20/ 1.24s L m ωπλ=≈01.16mms ω==2.20考虑一台氩离子激光器，其对称稳定球面腔的腔长L=1m ，波长λ= 0.5145μm ，腔镜曲率半径R=4m ，试计算基模光斑尺寸和镜面上的光斑尺寸。
解：1/42021/42242()(2)(22)(2) 4.65104L R L R L R L RL L mωλπ-??--=??-??-==1/42121/4222422()()(2)4.9810(2)R R L L R L R L R L mRL L ωωλπ-??-==--??==-??2.21腔长L ＝75cm 的氦氖平凹腔激光器，波长λ＝0.6328μm ，腔镜曲率半径R ＝1m ，试求凹面镜上光斑尺寸，并计算该腔基模远场发散角θ。
解：1/41/4212211121121/41/422112212212()0.295mm()()(1)()0.591()()(1)s s R R L g w L R L R R L g g g R R L g w mm L R L R R L g g g ??-===??-+--?-===-+--?1/42221212120212121212(2)(2)20.0014rad=0.0782()()()(1)L R R g g g g L R L R L R R L g g g g λθπ--+-===?--+--o2.22设稳定球面腔的腔长L ＝16cm ，两镜面曲率半径为1R ＝20cm ，2R ＝－32cm ，波长λ=410-cm ，试求：（1）最小光斑尺寸0ω和最小光斑位置；（2）镜面上光斑尺寸1s ω、2s ω；（3）0ω和1s ω、2s ω分别与共焦腔（1R ＝2R ＝L ）相应值之比。
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周炳琨激光原理第二章习题解答（完整版）1.试利用往返矩阵证明对称共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。
证明：设从镜M 1→M 2→M 1,初始坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r ，往返一次后坐标变为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ11r =T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ00r ,往返两次后坐标变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ22r =T •T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r 而对称共焦腔，R 1=R 2=L 则A=1-2R L 2=-1 B=2L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2R L 1=0 C=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+121R L 21R 2R 2=0 D=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--211R L 21R L 21R L 2=-1 所以，T=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001故，⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ22r =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θ00r =⎪⎪⎭⎫⎝⎛θ00r 即，两次往返后自行闭合。
2．试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。
解：共轴球面腔的稳定性条件为0<g 1•g 2<1,其中g 1=1-1R L ,g 2=1-2R L（a 对平凹腔：R 2=∞,则g 2=1,0<1-1R L<1，即0<L<R 1 (b)对双凹腔：0<g 1•g 2<1, 0<⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1 LR >1，L R >2或L R <1L R <2且LR R >+21(c)对凹凸腔：R 1=1R ,R 2=-2R ,0<⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21R L 1R L 1<1，L R >1且LR R <-||213．激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m 的凸面镜和曲率半径为2m 的凹面镜组成，工作物质长0.5m ，其折射率为1.52，求腔长L 在什么范围内是稳定腔。
解：由图可见有工作物质时光的单程传播有效腔长减小为无工作物质时的⎪⎭⎫⎝⎛--=n 11L L L C e ？由0<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+2111e e L L <1，得2m L 1m e << 则17m .2L 17m .1c <<4.图2.1所示三镜环形腔，已知l ,试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R 在什么范围内该腔是稳定腔。
图示环形强为非共轴球面镜腔。
在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式（2.2.7）中的2/)cos (θR f =，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，)cos 2/(θR f =，θ为光轴与球面镜法线的夹角。
解:透镜序列图为该三镜环形腔的往返矩阵为：∞=R ∞=R⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A 10L 11f 1-0110L 11f 1-0110L 11001T2f L f L 31D A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==由稳定腔的条件：()1D A 211<+<-，得：22f L 1f L 0<⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-< 2Lf 3L <<或L f >。
若为子午光线，由 30cos R 21f =则32L R 33L 4<<或34L R > 若为弧矢光线，由 2cos30R f =，则2L3R 3L <<或R 3R >5．有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，L ＝30cm ，d=2a=0.12cm,nm 8.632=λ,镜的反射率为11=r ，96.02=r ，其他损耗以每程0.003估计。
此激光器能否作单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔阑来选择TEM 00，小孔边长应为多大？试根据图2.5.5作一大略的估计、氦氖增益由公式d le lg 10*3140+=-计算。
解: 菲涅耳数9.18.632*30)06.0(22≈==nm cm cm L a N λ增益为075.112.03010*314=+=-e lgTEM0模衍射损耗为910*7.4- TEM 01模衍射损耗为106-，总损耗为0.043，增益大于损耗;TEM 02模衍射损耗为10*56-，总损耗为0.043，增益大于损耗;衍射损耗与腔镜损耗和其它损耗相比均可忽略，三横模损耗均可表示为234.0=δ105.1e *e 0g >=-l δ 因此不能作单模运转为实现TEM0单横模运转所加小孔光阑边长为：m L s 10*0.58.632*3022240≈==-ππλω6．试求出方形镜共焦腔面上TEM 30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？解：012833)(=-=X X H X01=X ，263,2±=X ，由26,02±=x L λπ得节线位置：1=x ，πλ433,2L x ±=因此节线是等间距分布的。
7．求圆形镜共焦腔TEM 20和TEM 02模在镜面上光斑的节线位置。
解：TEM 02模的节线位置由缔合拉盖尔多项式：由02)()42(2102=+-=ζζζL 得222,1±=ζ，又ωζ2022sr =则ωs r 0221±=TEM 20模的节线位置为0r =或sin2φ＝0，即：23,,2,0πππφ=8.今有一球面腔，m R 5.11=，m R 12-=，L ＝80cm 。
试证明该腔为稳定腔；求出它的等价共焦腔的参数。
解：g 1=1-1R L =0.47 g 2=1-2R L=1.8 ，g 1•g 2=0.846即：0< g 1•g 2<1，所以该腔为稳定腔。
由公式（2.8.4） Z 1=()()()212R L R L L R L -+--=-1.31mZ 2=()()()211R L R L L R L -+---=-0.15mf 2=()()()()()[]2212121R L R L L R R L R L R L -+--+--=0.25m 2f=0.5m9.某二氧化碳激光器采用平凹腔，L ＝50cm ，R ＝2m ，2a ＝1cm ，m μλ6.10=。
试计算ω1s 、ω2s 、ω0、θ0、δ100、δ200各为多少。
解：1111=-=R L g，43122=-=R L g，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=))(()(211221411L R R L R L L R R L s πλω)]([241L R L -=πλ )(1∞→Rπλ443=m 10*7.13≈-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=))(()(212122412L R R L R L L R R L s πλω)(22241LR R L -=πλ，)(1∞→Rπλ434=m10*0.23≈-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+=)1(]2[2212121212410g g g g g g g g L πλθrad 10*0.43≈-∞==2s121ef1a N πω,0100=δ05.2a N 2s222ef2==πω, -1020010*8.1=δ10．试证明，在所有λL a 2相同而R 不同的对称稳定球面腔中，共焦腔的衍射损耗最低。
这里L 表示腔长，R R R ==21为对称球面腔反射镜的曲率半径，a 为镜的横向线度。
证明：在共焦腔中，除了衍射引起的光束发散作用以外，还有腔镜对光束的会聚作用。
这两种因素一起决定腔的损耗的大小。
对共焦腔而言，傍轴光线的几何偏折损耗为零。
只要N 不太小，共焦腔模就将集中在镜面中心附近，在边缘处振幅很小，衍射损耗极低。
11．今有一平面镜和一R=1m 的凹面镜，问：应如何构成一平凹稳定腔以获得最小的基模远场角；画出光束发散角与腔长L 的关系曲线。
解：⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--+=)1(]2[2212121212410g g g g g g g g L πλθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=g g L 221241πλ，)1(1=g⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)(12241L R L L πλ当m R L 5.022==时，θ0最小.12．推导出平凹稳定腔基模在镜面上光斑大小的表达式，作出：（1）当R ＝100cm 时，ω1s ，ω2s 随L 而变化的曲线；（2）当L ＝100cm 时，ω1s ，ω2s 随R 而变化的曲线。
解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=))(()(211221411L R R L R L L R R L s πλω)]([241L R L -=πλ， )(1∞→R⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=))(()(212122412L R R L R L L R R L s πλω)(22241LR R L -=πλ)(1∞→R（1）cm R R 1002==(2)cm L 100=13.某二氧化碳激光器，采用平凹腔，凹面镜的R ＝2m ，腔长L ＝1m 。
试给出它所产生的高斯光束的腰斑半径ω0的大小和位置、该高斯光束的f 及θ的大小。
解：)]()[())()((21221212R L R L L R R L R L R L f -+--+--=21m )12(*1)(2=-=-=L R L即：m 1=f10*7.3230-≈=fπλθ mf 10*8.130-≈=πλω14．某高斯光束腰斑大小为mm 14.10=ω，m μλ6.10=。
求与束腰相距cm 30、m 10、m 1000远处的光斑半径ω及波前曲率半径R 。
解：2)(1)(fz z +=ωω，z f z z R 2)(+= 其中，m f 385.02≈=λπωcm z 30=： mm cm 45.1)30(≈ω，m cm R 79.0)30(≈ m z 10= ： mm m 6.29)10(≈ω， m m R 0.10)10(≈ m z 1000=：m m 96.2)1000(≈ω，m m R 1000)1000(≈15．若已知某高斯光束之mm 3.00=ω，nm 8.632=λ。
求束腰处的q 参数值，与束腰相距cm 30处的q 参数值，以及在与束腰相距无限远处的q 值。
解：∞→-=)0(,)0(11200R i R q πωλ 束腰处：cm i if i q 66.44200⋅≈==λπω )8.10.2()(0 z q z q +=cm i cm q cm z )66.4430()30(:30+≈= ∞=∞∞=)(:q z16．某高斯光束mm 2.10=ω，m μλ6.10=。
今用cm F 2=的锗透镜来聚焦，当束腰与透镜的距离为m 10、m 1、cm 10、0时，求焦斑大小和位置，并分析所得的结果。
解：m f 43.020≈=λπω 222)()(f F l F F l F l +--+=' （2.10.17）22222)(f l F F +-='ωω (2.10.18)m l 10=: m l 210004.2-⨯≈', m 601040.2-⨯='ω m l 1=: m l 210034.2-⨯≈', m 501025.2-⨯='ω cm l 10=: m l 210017.2-⨯≈', m 501053.5-⨯='ω 0=l : m l 210996.1-⨯≈', m 501062.5-⨯='ω可见，透镜对束腰斑起会聚作用，位置基本不变在透镜焦点位置。