16.2.2二次根式除法
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16.2.2二次根式的除法(同步课件)-2023-2024学年八年级数学下册同步精品课堂(人教版)
2b2 3a
x x
3 2
b b2
8.已知，实数a、b满足：a 2b 6 12 4b 2， 求
ab ab 1 的值. ab
解：由已知，可得
2b－6≥0 12－4b≥0
解，得 b＝3 则 a＝2
原式＝
6
6 1 5
6
9.设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知 S 2 3,b 10 ，
1 b 4a 3 0 3
解：由已知，可得
4a－b＋11＝0
1 b 4a 3 0 3
解，得
a1 4
b＝12
原式＝ 2a b a b 2a b 2 1 12 3
ab
4
化简： a 1 a
一定要根据题目所给，判断字母的取值范围！
解：根据二次根式的定义，可知 1 0 ∴ a＜0 a
上节课我们计算了第二宇宙速度为
v1 10 6.4 106 , 第二宇宙速度为
v2
2
6.67 1011 6.4 106
6
1024
,
那么第二宇宙速度是第一宇宙速度的多少倍呢？
2 6.67 1011 6 1024
v2
6.4 106
v1
10 6.4 106
二次根式的 除法该怎样 算呢
计算下列各式:
1 3
3 9
3 3
⑷ 原式＝ b 20a2 4a2 ＝2a
5b
把
反过来，就得到：
利用它可以进行二次根式的化简.
例如，
25y 9x2
25y 5 y 9x2 3x
你还记得分数的基本性质吗？
分数的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分数与原分数相等.
即
f g
16.2.2二次根式的除法(教案)
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
在今天的课堂中，我们探讨了二次根式的除法，这是一个对学生来说相对新颖且具有一定难度的概念。我注意到，在引入新课时，通过联系日常生活的问题，学生的兴趣被成功激发，他们对接下来的学习内容充满了好奇心。
在理论介绍环节，我发现学生们对于被开方数相除的概念接受得比较快，但当我引入带分数的二次根式除法时，一些学生开始表现出困惑。我及时放慢了讲解速度，通过详细的步骤分解和例题演示，帮助学生逐步理解了这个难点。我认为，在未来的课程中，我需要准备更多的类似例题，让学生有更多的练习机会，以便更好地掌握这个知识点。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“二次根式除法在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式除法的基本概念。二次根式除法是指将两个含有二次根式的数相除，其基本法则是两个二次根式相除等于它们的被开方数相除。这个概念在数学运算和实际问题中都有广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们需要计算√36 / √4，通过二次根式除法的法则，我们可以简化这个计算过程，得到3。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次根式的除法》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算一个数是另一个数的平方根的几倍的情况？”（例如，计算一个正方形的边长是另一个正方形边长的平方根的两倍）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次根式除法的奥秘。
16.2.2 二次根式的除法
3 ；（2） 2 3
1 ． 18
结论
1 能否将二次根式 18 化简？
思考
a a b b
应用新知 例：化 简:
（1） 28
125 5
7 ； （2 ）
；
7 （3） 121 ；
36a （4 ） （ b＞ 0） ． 25b 2
随堂练习
计算：
1
16 2
y y 2 8 32x
2
56 7
4 4 = 9 9
16 16 = 25 25
6 = （ 3） 49 ____ 7 ；
36
36 = 49 49
36
结论
一般地，二次根式的除法法则：
a = （a≥0，b＞0） b b
a
练一练
m－3 1.等式 ＝ 成立的条件是 ____________。 m－5 m－5 m－3
2. 计算： （ 1）
24
3
6x 2 x
4
1 1 52 1 5 2 6
如果根号前 有系数，就 把系数相除， 仍旧作为二 次根号前的 系数。
课堂小结
（1）如何进行二次根式除法运算？ （2）如何逆用二次根式除法法则化简二次根式？ （3）能推导出二次根式除法法则吗？
课后作业
作业：课本第10页练习第1题（1）（2）（4）（计算）。
八年级
下册
16.2 二次根式的乘除（2）
课件说明
• 学习目标： 1．探索二次根式除法法则； 2．能根据二次根式除法法则进行二次根式的除法运 算． • 学习重点： 二次根式除法法则的探究和应用．
复习旧知
1.二次根式的乘法：
（a≥0,b≥0）
2.化简二次根式： 把开方开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
八年级数学人教版下册课件 16.2.2 二次根式的除法
1 C. 8 D. 2 9．判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1) 3a2b；(2) 52；(3) x2＋y2；(4) 6；(5) x2y2；(6) 0.21.
解：(3)(4)是最简二次根的取值范围是( C )
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
14．已知长方形的面积是 48 cm2，其中一边的长是 32 cm，则另
一边的长是__6___2__cm.
15．计算： (1) 45÷3 51×32 5；
解：原式＝125 5
(2)－43 18÷2 8×13 54； 解：原式＝－ 6
(3)2 xy÷(－32 x2y·3 x)． 解：原式＝－94x
16．在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于 边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长．
2．下列运算正确的是( C )
A. 10÷ 2＝2 2 B. 10÷2 5＝2 2
C. 27÷ 3＝3 D. 42＋32＝4＋3＝7
3. 23..56＝__56__；3 30÷ 10＝__3___3__． 4．计算：
(1)
12； 3
解：2
28 (2) 3÷ 27.
解：32
知识点 2：二次根式除法的逆用： ba＝ ab(a≥0，b＞0) 5．下列计算错误的是( C )
解：(3)(4)是最简二次根的取值范围是( C )
A．a≤0 B．a＜0
C．0＜a≤1 D. a＞0
11．若 a＞0，把 －b4a化成最简二次根式为( C )
2 A.b
－ab
B．－2b ab
C．－2b －ab D. 2b －ab
12．(2015·南京)计算
5× 3
15的结果是__5__．
13．若 xx－ －23＝ xx－ －23成立，则 x 的取值范围是__x_＞__3____.
14．已知长方形的面积是 48 cm2，其中一边的长是 32 cm，则另
一边的长是__6___2__cm.
15．计算： (1) 45÷3 51×32 5；
解：原式＝125 5
(2)－43 18÷2 8×13 54； 解：原式＝－ 6
(3)2 xy÷(－32 x2y·3 x)． 解：原式＝－94x
16．在△ABC 中，BC 边上的高 h＝6 3 cm，它的面积恰好等于 边长为 3 2 cm 的正方形的面积，求 BC 的长．
2．下列运算正确的是( C )
A. 10÷ 2＝2 2 B. 10÷2 5＝2 2
C. 27÷ 3＝3 D. 42＋32＝4＋3＝7
3. 23..56＝__56__；3 30÷ 10＝__3___3__． 4．计算：
(1)
12； 3
解：2
28 (2) 3÷ 27.
解：32
知识点 2：二次根式除法的逆用： ba＝ ab(a≥0，b＞0) 5．下列计算错误的是( C )
数学人教版八年级下册 16.2.2 二次根式的除法 课件
典例分析
例1、计算：1 3 1
2 18
2 24
3
满足(1)被开方数不含分母； 最简二次根式
(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简 二次根式,并且分母中不含二次根式。
合作释疑
a a a 0,b 0
bb
例5 化简：
(1)
3
100
(2) 75
27
⑴ 3；⑵ 3 ；⑶ 8
5
5
2a
解：⑴ 解法1：
3 = 3 = 3 5 = 15
5
5
5 5
52
3 = 15 = 15
5
52
5
合作释疑
1.计算
如何确定 积的符号？
(1) 28 7 (2) 1 ( 256 ) 4
(3)4 xy • 1 • x3 y
(4)6 27 (2 3) 3 18
拓展提升
3
a
*8.已知a b,化简二次根式 a3b的正确结果是 ( A )
A. a ab B. a ab C.a ab D.a ab
总结评价
总结评价
这节课我的收获是…
ab a b （a≥0，b≥0） 例 : 能使 x(2 x) x 2 x成立
的x的取值范围是____0___x____2____.
典例分析
例2：化简：1 3
100
2 75
27
3 1.25
练习：1 2 7
9
2
81 25 x 2
3
0.09 169 例6 计算：
解: (1)
3
＝
100
3
100
3 ＝__1__0__；
16.2.2 二次根式的除法 课件 人教版八年级数学下册
××
√
×
×
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×
√
√
课堂小测
4.计算:
解： 18 = 18 = 3.
;
6
6
2
25 5;
解： 25 = 5
25 = 5. 5
3 6x2 y 解： 6x2 y = 6x2 y = 2x.
3xy ;
3xy
3xy
4 56 解： 56 =- 1 56 =- 1 4= 1.
八年级数学人教版·下册
第十六章 二次根式
16.2.2 二次根式的除法
教学目标
1.会进行简单的二次根式的除法运算 , 会用商的算术平方根的 性质进行二次根式的化简与运算 ;（重点）
2.二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用 .（难点）
新课导入
如果 a≥0 , b≥0 , 那么有 a· b ab（a≥0 , b≥0）;
知识归纳
a = a (a≥0 , b>0) , 即商的算术平方根等于 bb 被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 .
(1) 当a<0 , b<0时 , 虽然 a 有意义 , 但是 a = -a , 而不等于 a .
b
b -b
b
(2) 如果被开方数是带分数 , 应先将其化成假分数 , 如 4 1 必
6
(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时 , 或 者被除式是整数而除式是二次根式时 , 可以利用分数的基本性质 把分母中的根号化去 . 如 2 = 2 5 = 10 ，2 = 2 7 = 2 7 .
5 5 5 5 7 7 7 7
16.2.2二次根式的除法课件
∴ 4= 9
4 9
∵ 0.25 ( ) =( 0.36 ( )
)； 0.25 = ( 0.36 (
) ( )
)
∴
0.25 0.36
=
0.25 0.36
活动探究
44
=
99
0.25 0.25
=
0.36 0.36
从中你发现了什么规律？
活动探究
计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？
（1） 16 =( 4 ), 25 5
B
C
在RT△ABC中，由勾股定理得：
AB AC2 BC2 (2 3)2 (3 5)2 57
4.计算：( 1 1 1 L 1 ) ( 11 1)
21 3 2 2 3
11 10
解：( 1 1 1 L 1 ) ( 11 1)
21 3 2 2 3
11 10
=
21
3 2
典例精讲
例3 计算： 1
3 5
2 3 2
27
3 8
2a
（2）3 2 = 27
32
=
32 3
32 =
32 3
2= 3
2 3
3
=
6
33
（3） 8 = 2a
8 2a 2a 2a
4a 2a
2
a a
举一反三
按照例题化简下列式子.
3 32
3 42 2
4
3 2
3 4 2
2 2
6 42
6 8
5 18
5
32 2 3
5 2 3
5 2
2 2
10 32
10 6
3 4
8 3 24
人教版数学八年级下册16.2.2 二次根式的除法课件
16.2.2 二次根式的除法
情境引入
1、二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质如何用字 母表示？等式成立的条件是什么？
a b a（b a 0，b 0）
ab a （b a 0，b 0）
s
2、设长方形的面积为S，其中一边长为a，另一边长表示为:__a_
(1)已知 s 24，a 3 则求另一边长时如何列式？ __2_4_____3__
二次根式的除法
例4 计算：
（1） 24 ；（2） 3
3
2
1 18
．(3)
11 2
0.5
解：2 3 1 ＝ 3 1 ＝ 3 18 ＝3 3
2 18
2 18
2
利用二次根式的除法法则进 行计算，被开方数相除时，除式是 分数（或分式）先要转化为乘法再 进行运算。
二次根式的除法
例4 计算：
商的算术平方根 例5 化简：
（1） 3 ；（2） 75 ．
100
27
解：（2） 75 25 5 27 9 3
被开方数能化简的可以先化简。 化简后可以使计算变得更简单。
巩固练习
1．能使等式
x x－2＝
x x－2成立的 x 的取值范围是(
C
)
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
2．下列各式不成立的是( C )
规律:
a a bb
二次根式除法法则
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数。
二次根式的除法
例4 计算：
（1） 24 ；（2） 3
3
2
1 18
．(3)
11 2
情境引入
1、二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质如何用字 母表示？等式成立的条件是什么？
a b a（b a 0，b 0）
ab a （b a 0，b 0）
s
2、设长方形的面积为S，其中一边长为a，另一边长表示为:__a_
(1)已知 s 24，a 3 则求另一边长时如何列式？ __2_4_____3__
二次根式的除法
例4 计算：
（1） 24 ；（2） 3
3
2
1 18
．(3)
11 2
0.5
解：2 3 1 ＝ 3 1 ＝ 3 18 ＝3 3
2 18
2 18
2
利用二次根式的除法法则进 行计算，被开方数相除时，除式是 分数（或分式）先要转化为乘法再 进行运算。
二次根式的除法
例4 计算：
商的算术平方根 例5 化简：
（1） 3 ；（2） 75 ．
100
27
解：（2） 75 25 5 27 9 3
被开方数能化简的可以先化简。 化简后可以使计算变得更简单。
巩固练习
1．能使等式
x x－2＝
x x－2成立的 x 的取值范围是(
C
)
A．x≠2 B．x≥0 C．x＞2 D．x≥2
2．下列各式不成立的是( C )
规律:
a a bb
二次根式除法法则
a 0, b 0
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的
被开方数。
二次根式的除法
例4 计算：
（1） 24 ；（2） 3
3
2
1 18
．(3)
11 2
16.2.2二次根式的除法学案人教版八年级数学下册
16.2.2 二次根式的除法及化简班别：_________ 姓名：_________ 学号：____________学习目标：1.利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则及其逆运算2.了解二次根式的除法运算法则，会用除法运算法则进行有关的简单运算。
3.了解最简二次根式的概念学习重点：二次根式除法法则及最简二次根式 学习难点：分母有理化一、课前准备，知识链接1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）A 、7-B 、32mC 、12+aD 、x2.253⎪⎪⎭⎫⎝⎛=______ ()243=______()26-=______3.计算：（1）232⨯； （2）265x x ⋅； （3）153521⨯⨯ 二、自主探究，构建新知认真阅读课本P810的内容，独立完成下面的练习（一）独立思考，解决问题1.探究二次根式的除法法则 ①3232 ； ②52 52。
归纳二次根式的除法法则： 2.二次根式的除法法则的逆用)0,0(≥≥=b a b aba ，反过来，就得到 。
3.满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。
（1）被开方数________分母；（2）被开方数中不含_____________因数或因式。
（二）深入研讨，展示交流例1 计算：（1）348÷； （2）362÷⨯； （3）a a b a ÷÷23； （4）ab ab 11÷⨯ 例2 把下列各式化为最简二次根式。
（1）31； (2) 21； (3) 5.1；(4) 2775-（5）212+ （6）231- （三）对点练习，巩固新知1. 计算 (1)28； (2)2136÷； 2. 先化简，再求值)241(4422+-÷++-a a a a ，其中22-=a3、指出下列各式中的最简二次根式。
（1）x6； （2）22b a +； （3）32ab ； （4）ab 5.0； （5）3a； （6）46； （7）x 24； （8）32（四）链接中考，精准应考1、（2021年潍坊市）实数0.5的算术平方根等于（ ）A. 2 B. 2 C.22 D. 212、（2023•玉林）化简：=三、总结升华，自我评价（1）本节课所学到的数学知识：_____________________________________________ （2）本节课所运用的数学思想：____________________________________________四、当堂检测，知识过关 （一）基础过关 A 组：1.下列计算正确的是（ ） A.8216-=-- B.2323= C.2828= D.2172272⨯=÷ 2.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A 、24BC 、b aD 、14+a(B 组：4. 化简：121+ 231- （二）拓展提高化简：。
16.2.2 二次根式的除法
C. y
D. y
（来自《典中点》）
1 知识小结
1.二次根式的除法： 两个二次根式相除，把被开方数相除，根指
数不变，即： a a (a≥0，b＞0)． bb
2.最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
2 易错小结
计算： 23 3 2 3 1 . 23
(4)
2
3 .
3
（来自《教材》）
知3－练
2 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S=16，b= 10 ，求a.
解：由题意得S=ab，所以 a S 16 16 10 16 10 8 10. b 10 10 10 10 5
（来自《教材》）
知3－练
3 【 2017·荆州】下列根式是最简二次根式的是
( C)
A. 1 3
C. 3
B. 0.3 D. 20
（来自《典中点》）
知3－练
4 【中考·锦州】下列二次根式中属于最简二次 根式的是( D )
A. 24 C. a
b
B. 36 D. a 4
（来自《典中点》）
知3－练
5
已知xy＜0，化简二次根式
x
－y x2
的正确
结果为( B )
A. y
B. y
3
2 18
知1－讲
解：(1) 24 24 = 8= 4 2=2 2; 33
(2) 3 1 3 1 = 3 18= 3 9=3 3. 2 18 2 18 2
（来自《教材》）
总结
知1－讲
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方 数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这 个数的倒数”进行约分、化简．
人教版数学八年级下册16.2.2二次根式的除法课件
1 4 9
2 112 18
合作探究
活动1：探究二次根式的除法法则及运算 问题1 我们知道，两个二次根式可以进行乘法运 算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
如：
4 9
；
4
1
3
12
我们在学习之前先计算下列各式，观察计算结果， 你能发现什么规律？
1 4
2
4
9 ＿＿3 ＿ ﹔ 9
2 ＿＿3 ＿
）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2
D.x ≥2
2.化简。
1 2.25
2
3a2 4
a0
3计算：
2 1
153
18 5
4b2 a
25b2 a
3 4 521 223 2
课后作业
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
3-3 4
18 2
2 3
活动2：探究商的算术平方根的性质及化简
因为： a
b
所以：
a b
a a0,b0
b
a a0,b0
b
公式的逆用 这就是商的算术平方根的性质
典例分析
例2 利用商的算术平方根的性质计算下列各题。
这就是商的算术平方根的性质
课后作业
1 2 2 掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
作为商的被开方数.
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
一般地，二次根式的除法法则
a = a （a≥0，b＞0）
bb
思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？
例1、计算。
2 112 18
合作探究
活动1：探究二次根式的除法法则及运算 问题1 我们知道，两个二次根式可以进行乘法运 算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？
如：
4 9
；
4
1
3
12
我们在学习之前先计算下列各式，观察计算结果， 你能发现什么规律？
1 4
2
4
9 ＿＿3 ＿ ﹔ 9
2 ＿＿3 ＿
）
A.x≠2 B.x≥0 C.x＞2
D.x ≥2
2.化简。
1 2.25
2
3a2 4
a0
3计算：
2 1
153
18 5
4b2 a
25b2 a
3 4 521 223 2
课后作业
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
3-3 4
18 2
2 3
活动2：探究商的算术平方根的性质及化简
因为： a
b
所以：
a b
a a0,b0
b
a a0,b0
b
公式的逆用 这就是商的算术平方根的性质
典例分析
例2 利用商的算术平方根的性质计算下列各题。
这就是商的算术平方根的性质
课后作业
1 2 2 掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
作为商的被开方数.
掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质;（重）
一般地，二次根式的除法法则
a = a （a≥0，b＞0）
bb
思考：等式中 的a和b有没有 条件的限制？
例1、计算。