现代密码学原理与应用第11章

【例11-4】341, 561, 645, 1105等都满足
2n-1≡1(mod n)
但它们都是合数，是基数为2的伪素数。
3．Miller-Rabin概率测试法
素数还具有更强的性质：设n是一个大于4的奇素数，n1=2s×r，s和t是正整数， r为奇数，则对所有满足 的整 数a，下面两个条件中至少有一个被满足：
• 定理11.1 如果整数a>1，则a的大于1的最小因子一定是素数 。
• 推论11.1 合数a的大于1的最小因子不超过 。
• 定理11.2 设n是一个大于1的正整数，如果对所有小于或等 于 的素数p，都有płn， 则n一定是素数。
• 1．Eratosthenes筛选法
【例11-3】求出所有不超过100的素数。 • 输出的结果为
第11章 密码学相关数学知识
11.1 素数和合数 11.1.1 素数和合数的定义 定义11.1 对于整数a和b，如果存在整数q，使得a=bq，则称b 整除a，记为b|a，a叫做b的倍数，b叫做a的一个因子。
【例11-1】有3|27，则27是3的倍数，3是27的一个因子； 再有 5|100，则100是5的倍数，5是100的一个因子。
定义11.2 对于整数p>1，如果因子仅为±1和±p，则称p为素 数（或质数）；否则称为合数。 1既不是素数也不是合数。在只考虑非负整数的情况下，素数是 只能被1和其自身整除的正整数。
【例11-2】17, 19是素数，存在 ， 323=17*19 则323是合数。
11.1.2 素数检测
• 素数有无限多个，但目前还没有一个规律能确定所有的素数 。有一些检测不太大的整数为素数的方法和对于大的整数的 近似检测算法。
1) ar≡1(mod n)；
2) 对于某个
，有
则称n通过以a为基的Miller-Rabin概率测试。
11.2 整数的因子分解
定理11.4（算术基本定理）任何大于1的整数n都可以分解为素
数的乘积，且在不记顺序的情况下，分解式是唯一的。 将分解式中相同的素数写出幂的形式，则得到如下的标准分解 式：
其中，p1<p2<…<pt是素数，n1, n2, …, nt是正整数。
• 定理11.8 如果 则
且a,b,q,r都为整数，
• 欧几里德（Euclid）算法。其具体思想描述如下：
• 设a与b是两个非零的整数，且b不整除a，则根据带余除 法定理可以写出一串等式
• 如何求gcd{a,b}呢？
a qb r,(a,b) (b, r) b q1r r1, (b, r) (r, r1) r q2r1 r2 , (r, r1) (r1, r2 ) (a,b) (b, r) (r, r1) (r1, r2 ) (rk1, rk ) rk
【例11-10】判断5874192是否能被3整除。
【例11-11】2005年7月26日是星期二，问此天后第 21000 天是星期几？
11.4 欧几里德算法
• 若a除尽b,且a 除尽c,则a是b和c的公因子。即 a = gcd{b,c} 或 a=(b,c)
• 若c是a的倍数，又c是b的倍数，则c是a和b的公倍数。 即 c = lcm{a,b} 或 c=[a,b]
• 求gcd{224,34}=?
• gcd{224,34} = gcd{34,20} = gcd{20,14} = gcd{14,6} = gcd{6,2} =2
11.4.2 乘法逆元
定义11.6 对于整数a和正整数n，当 gcd(a,n)=1时存在整数c ， 使得
称 c为a关于模n的乘法逆元，记为a-1。
【例11-8】 由于 5=1×3+2
所以 5 mod 3=2
又由于
-5=(-2) ×3+1
所以 -5 mod 3=1。
定义11.3对于整数a、b和正整数n，如果 a mod n=b mod n 则称a和b模n同余，记为a≡b(mod n)， n称为模数。
【例11-9】由于 9 mod 5=4，-1 mod 5=4 故 9 ≡-1(mod 5)；
【例11-19】求
的值
11.5.2 欧拉函数
定义11.7 欧拉函数φ (n)(n>1)表示比n小且与n互素的正整数
的个数。 【例11-20】求φ (15)
11.5 费尔玛定理和欧拉定理
11.5.1 费尔玛定理
• 定理11.10（费尔玛定理）如果p是素数，并且a是不能被p 整除的正整数，则
• 另一等价形式：如果p是素数，a是任意的正整数且 gcd=5，p=7
• 则 56≡1(mod 7)或57≡5(mod 7)。
定理11.6 a≡b(mod n)与以下条件等价：
1)
2)
定理11.7 模n的同余关系是整数集合上的等价关系，即具有 自反性：a≡a(mod n) 对称性：如果a≡b(mod n)，则b≡a (mod n) 传递性：如果a≡b(mod n)，b≡c(mod n)，则a≡c(mod n)
同余具有以下性质：
• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
2．费尔玛（Fermat）定理检测法
根据费尔玛定理可以对大的正整数近似检测其素性。费尔
玛定理给出了整数n为素数的必要条件： 对任意的整数a，如果满足gcd(a,n) 则an-1≡1(mod n)。 也就是说如果存在与n互素的整数a，不满足an-1≡1(mod n)， 则说明n肯定不是素数。 反之，如果有整数a，满足条件 且an-1≡1(mod n)，则n不 一定为素数，此时称n是关于基数a的伪素数。
【例11-5】900的标准分解式为：
11.3 同余运算
11.3.1 同余的性质
定理11.5 （带余除法定理）设n为不等于0的整数，则任意整 数a可唯一表示为如下形式： a=nq+r，q和r为整数且0≤r<|n|
q和r分别称为a除以n的商和余数。将r定义为a mod n，即a mod n=r。注意0≤a mod n<n。