计算机图形学第7章曲线和曲面分析

2
czt
d
z
t [0,1]
在此,介绍两种三次样条:
▪ 自然三次样条 ▪ 三次Hermite样条
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曲线和曲面
7.2.1 自然三次样条
定义：给定n+1个型值点，现通过这些点列构造一 条自然三次参数样条曲线，要求在所有曲线段的公 共连接处均具有位置、一阶和二阶导数的连续性， 即自然三次样条具有C2连续性。
基矩阵: Ms
几Fra Baidu bibliotek约束条件: G
基函数(blenging function)，或称混合函数。
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曲线和曲面
7.2 三次样条
给定n+1个点，可得到通过各个点的分段三次多项式曲线：
x(t) y(t)
axt ayt
3 3
bxt byt
2 2
cxt cyt
dx dy
z(t)
azt
3
bzt
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶几何连续性，记作G1连续性，指一阶导数在 相邻段的交点处成比例
2阶几何连续性，记作G2连续性，指相邻曲线段 在交点处其一阶和二阶导数均成比例。
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曲线和曲面
7.1.6 样条描述
n次样条参数多项式曲线的方程: (计算机图形学中多采用多项式)
6．参数变化对各因变量的影响可以明显地表示出来
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曲线和曲面
7.1.4 插值和逼近样条
▪ 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲 面的形状称为样条。
▪ 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成 的曲线，在每段的边界处满足特定的连 续条件。
▪ 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来 描述。
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曲线和曲面
自由变化的曲线和曲面：飞机、汽车的外形
对复杂方式表示的自由曲线曲面的表示:
传统方法: 模线样板法表示，以模拟量传递形状信 息
CAGD(计算机辅助几何设计): 用数学方法表示，以数 值量传递形状信息（美国犹他大学，1974）
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曲线和曲面
7.1 曲线曲面基础
7.1.1 曲线曲面数学描述的发展 7.1.2 曲线曲面的表示要求 7.1.3 曲线曲面的表示 7.1.4 插值和逼近样条 7.1.5 连续性条件 7.1.6 样条的描述
参数形式 p p(t) t [0,1]
p(t)=(x,y,z)=(x(t),y(t),z(t)) t∈[0,1]
参数表示相对非参数表示的优越性:
1．点动成线
2．选取具有几何不变性的参数曲线曲面表示形式。
3．避免了斜率无穷大的问题
4．t∈[0,1] ，使其相应的几何分量是有界的
5．可对参数方程直接进行仿射和投影变换
x(t) y(t)
ant n bnt n
a2t b2t
2 2
a1t1 b1t1
a0 b0
z(t)
cnt n
c2t
2
c1t1
c0
t [0,1]
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曲线和曲面
x(t )
p(t)
y(t)
tn
z(t)
t
an
1 aa10
bn
b1 b0
cn
c1 c0
T C T M S G t[0,1]
pi (ti1) p(i1) (t(i1)0 ) 且pi(ti1) p(i1) (t(i1)0 )
2阶参数连续性:记作C2连续性，指两个相邻曲线段的方程
在相交点处具有相同的一阶和二阶导数。（举例 P218）
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几何连续性
曲线和曲面
▪ 0阶几何连续性，记作G0连续性，与0阶参数连 续性的定义相同，满足：
▪ 曲线曲面的拟合：当用一组型值点来指定曲线曲
面的形状时，形状完全通过给定的型值点列。
图8-1 曲线的拟合
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曲线和曲面
▪ 曲线曲面的逼近：当用一组控制点来指定曲线
曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列
图8-2 曲线的逼近
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曲线和曲面
7.1.5 连续性条件
假定参数曲线段pi以参数形式进行描述：
pi pi (t) t [t i0 , ti1 ]
曲线段相连包括两种意义上的连续性: ➢ 参数连续性 ➢ 几何连续性
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参数连续性
曲线和曲面
▪ 0阶参数连续性:记作C0连续性，是指曲线的几何位置连 接，即
pi (ti1 ) p(i1) (t(i1)0 )
1阶参数连续性:记作C1连续性，指代表两个相邻曲线段的 方程在相交点处有相同的一阶导数：
p(0) Pk , p(1) Pk1 p(0) Rk , p(1) Rk1
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曲线和曲面
7.3 几种典型的曲线曲面介绍
▪ Bezier 曲线曲面 ▪ B样条曲线曲面 ▪ 有理样条曲线曲面(NURBS)
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曲线和曲面
7.3.1 Bezier曲线的定义
▪ Bezier曲线是参数多项式曲线，它由一组控制多 边形折线的顶点唯一地定义。如下图所示，在各 个控制多边形的顶点中，只有第一个和最后一个 在曲线上，其它的用来定义曲线的导数、阶次和 形状。
曲线和曲面
第七章 曲线和曲面
▪ 引言 ▪ 7.1曲线曲面基础知识 ▪ 7.2三次样条 ▪ 7.3几种典型的曲线曲面介绍 ▪ 7.4曲线曲面的转换和计算
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引言
曲线和曲面
▪ 问题的提出:
如何根据已知的一系列离散点来构造出一 条光滑的曲线或一个光滑的曲面?(举例)
初等几何平面:平面、圆柱面、球面
▪ B样条方法：解决局部控制 ▪ 有理Bezier ▪ 非均匀有理B样条方法
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曲线和曲面
7.1.2 曲线曲面的表示要求
1.唯一性 2.几何不变性 3.易于定界 4.统一性 5.易于实现光滑连接 6.几何直观
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曲线和曲面
7.1.3 曲线曲面的表示
曲线和曲面的表示分为:
非参数形式(y=kx+b,f(x,y))
特点: 只适用于型值点分布比较均匀的场合 不能“局部控制”
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曲线和曲面
7.2.2 三次Hermite样条
定 义 ： 假 定 型 值 点 Pk 和 Pk+1 之 间 的 曲 线 段 为 p(t),t∈[0,1]，给定矢量Pk、Pk+1、Rk和Rk+1，则 满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条 曲线：
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曲线和曲面
7.1.1 曲线曲面数学描述的发展
▪ 美国波音公司弗格森双三次曲面片,引入参数法表 示自由区面的标准形式（参数矢量方法）
▪ MIT孔斯双三次曲面片具有一般性，给定四条边界 可定义一块去面片
▪ 舍恩伯格（1964）的样条函数解决连接问题，通过 曲线、曲面插值构造整体
▪ Bezier方法：以逼近为基础，有控制多边形定义曲 线、曲面。