北师大版七上 线段与角复习
北师大版七年级上册各章节数学知识点总结
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北师大版七年级上册数学各章节知识点复习第一章丰富的图形世界一、知识点复习1、几何图形从实物中抽象出来的各种图形,包括立体图形和平面图形。
立体图形:有些几何图形的各个部分不都在同一平面内,它们是立体图形。
(正方体、长方体、圆柱、圆锥、棱锥、球)平面图形:有些几何图形的各个部分都在同一平面内,它们是平面图形。
(三角形、圆、长方形、正方形、梯形、平行四边形)2、点、线、面、体(1)几何图形的组成点:线和线相交的地方是点,它是几何图形中最基本的图形。
线:面和面相交的地方是线,分为直线和曲线。
面:包围着体的是面,分为平面和曲面。
体:几何体也简称体。
(2)点动成线,线动成面,面动成体。
3、生活中的立体图形圆柱:可由一个长方形绕其一条边旋转而成。
柱生活中的立体图形球棱柱:三棱柱、四棱柱(长方体、正方体)、五棱柱、……(按名称分) 锥圆锥:可由一个直角三角形绕其一条直角边旋转而成。
棱锥4、棱柱与棱锥及其有关概念:棱柱:两个底面相互平行且相等。
底面为正多边形的直棱柱为正棱柱。
棱:在棱柱中,任何相邻两个面的交线,都叫做棱。
侧棱:相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
棱柱的所有侧棱均相等。
n棱柱有两个底面,n个侧面,共(n+2)个面;3n条棱,n条侧棱;2n个顶点。
棱锥:由一个多边形与平面外一点连接而成的立体图形。
这个多边形叫做棱锥的底面,其他的面均为侧面,所有侧面全部是三角形。
正棱锥,底面是正多边形,且顶点在底面的投影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥。
特别地,侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体。
n棱锥有1个底面,n个侧面,共(n+1)个面;2n条棱,n条侧棱;(n+1)个顶点5、正方体的平面展开图: 11种6、截一个正方体:用一个平面去截一个正方体,截出的面可能是三角形,四边形,五边形,六边形。
一个平面截一个n棱柱,截出的面最多是(n+2)边形,例如,一个平面区截八棱柱,所得截面最多是10边形。
用一个平面截去正方体的一个角,剩下的几何题一定剩余7个面,顶点可能为7,8,9,10,与之对应的棱数分别为12,13,14,15.7、三视图物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。
2024年北师大版七年级上册数学复习培优拔高练 线段和角中的动态问题
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第四章
培优拔高练
基本平面图形
线段和角中的动态问题
培优拔高练
1. 【2024宁波江北区模拟】如图,长方形纸片 ABCD ,点
E , M , N 分别是边 AB , AD , BC 上的动点,将∠ A ,
∠ B 分别沿 EM , EN 折叠,点 A , B 的对应点分别是点
F,G.
解:(3)存在,分三种情况:①当 OA4和 OA3都不从 ON 回
弹时,如图②,
根据题意得3α+4α=28°,
解得α=4°;
1
2
②当 OA4在 OA2的右边时,如图③,
根据题意得3α-28°+2(180°-6α)=4α,
解得α=
°;
1
2
③当 OA4在 OA2的左边时,如图④,
根据题意得4α-2(180°-6α)=3α+28°,
1
2
2. 【2024上海黄浦区模拟】如图①,点O是弹力墙MN
上一点,魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置
顺时针旋转,当转到ON位置时,则从ON位置弹回,
继续向OM位置旋转.按照这种方式将魔法棒进行如下
步骤的旋转.
第1步,从 OA0(OA0在 OM 上)开始旋转α至 OA1;
第2步,从 OA1开始继续旋转2α至 OA2;
(1)如图①,若∠ MEF =30°,∠ GEN =
20°,求∠ FEG 的度数.
1
2
பைடு நூலகம்
解:(1)由折叠,可得∠ MEA =∠ MEF =30°,
∠ BEN =∠ GEN =20°,
所以∠ AEF =30°×2=60°,∠ BEG =20°×2
=40°.
北师大版七年级数学上册典中点第4章专训一:线段或角的计数问题
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专训一:线段或角的计数问题名师点金:1.几何计数问题应用宽泛,解决方法是“有序数数法”,数数时要做到不重复、不遗漏.2.解决这种问题要用到分类议论思想及从特别到一般的思想.3.回首前方线段、直线的计数公式,比较这些计数公式的差别与联系.线段条数的计数问题1.先阅读文字,再解答问题.(第 1题)如图,在一条直线上取两点,能够获得此中以 A 1为端点的向右的线段有 2 条,以1 条线段,在一条直线上取三点可获得3 条线段, A 2为端点的向右的线段有 1 条,因此共有 2+ 1= 3(条 ).(1)在一条直线上取四个点,以 A 1为端点的向右的线段有______条,以 A 2为端点的向右的线段有________________________________________________________________________ 条,以 A 3为端点的向右的线段有 ______条,共有 ______+ ______+ ______= ______(条 );(2)在一条直线上取五个点,以 A 1为端点的向右的线段有______条,以 A 2为端点的向右的线段有 ________条,以 A 3为端点的向右的线段有________条,以 A 4为端点的向右的线段有 ______条,共有 ______+ ______+ ______+ ______= ______( 条);(3)在一条直线上取n 个点 (n ≥ 2),共有 ________条线段.(4)乘火车从 A 站出发,沿路过过 5 个车站方可抵达 B 站,那么 A , B 两站之间最多有多少种不一样的票价?需要安排多少种不一样的车票?平面内直线订交所得交点与平面的计数问题2.为了研究同一平面内的几条直线订交最多能产生多少个交点,能把平面最多分红几部分,我们从最简单的情况下手,以下图.(第2题)列表以下:直线条数最多交点个数平面最多分红部分数102214337(1)当直线条数为 5 时,最多有 ________个交点,可写成和的形式为________ ;把平面最多分红 ________部分,可写成和的形式为________;(2)当直线条数为10 时,最多有 ________个交点,把平面最多分红________部分;(3)当直线条数为n 时,最多有多少个交点?把平面最多分红多少部分?对于角的个数的计数问题3.有公共端点的两条射线构成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的极点,如图,假如过角的极点 A :(1)在角的内部作一条射线,那么图中一共有几个角?(2)在角的内部作两条射线,那么图中一共有几个角?(3)在角的内部作三条射线,那么图中一共有几个角?(4)在角的内部作n 条射线,那么图中一共有几个角?(第3题)专训一1.解:(1)3;2;1;3;2;1;6(2)4; 3; 2;1; 4; 3;2; 1; 10(3)n( n- 1)2(4)从 A 站出发,沿路过过 5 个车站抵达 B 站,近似于一条直线上有7 个点,此时共有线段7×(7-1)= 21(条 ),即 A , B 两站之间最多有21 种不一样的票价.由于来往两站的车2票起点与终点不一样,因此 A , B 两站之间需要安排21×2= 42(种)不一样的车票.2.解:(1)10;1+2+3+4;16;1+1+2+3+4+5(2)45; 56 (3)当直线条数为 n 时,最多有 1+ 2+3++ (n-1) =n(n-1)(个 )交点;2把平面最多分红 1+ 1+ 2+ 3++n=n(n+1)+ 1部分.23.解:(1)如题图①,已知∠BAC,假如在其内部作一条射线,明显这条射线就会和∠BAC 的两条边都构成一个角,这样一共就有1+ 2= 3(个 )角.(2)题图①中有1+ 2=3(个 )角,假如再在题图①的角的内部增添一条射线,即为题图②,明显这条射线就会和图中的三条射线再构成三个角,即题图②中一共有1+2+ 3= 6(个 )角.(3)如题图③,在角的内部作三条射线,即在题图②中再增添一条射线,相同这条射线就会和图中的四条射线再构成四个角,即题图③中一共有1+ 2+ 3+ 4= 10(个 )角.(4)综上所述,假如在一个角的内部作n 条射线,则图中一共有1+ 2+ 3++n+(n+( n+ 1)( n+ 2)1)=2(个 )角.。
北师大版初中数学七年级上册知识讲解,巩固练习(教学资料):第17讲《基本平面图形》全章复习与巩固(提高)
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《基本平面图形》全章复习与巩固(提高)知识讲解【学习目标】1.掌握直线、射线、线段、角这些基本图形的概念、性质、表示方法和画法;2. 掌握圆、扇形及多边形的概念及相关计算;3.初步学会应用图形与几何的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题;4.逐步掌握学过的几何图形的表示方法,能根据语句画出相应的图形,会用语句描述简单的图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、线段、射线、直线1.直线,射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线. (2)线段的性质:两点之间,线段最短. 要点诠释:①本知识点可用来解释很多生活中的现象. 如:要在墙上固定一个木条,只要两个钉子就可以了,因为如果把木条看作一条直线,那么两点可确定一条直线. ②连接两点间的线段的长度,叫做两点的距离.3.画一条线段等于已知线段(1)度量法:可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. (2)用尺规作图法:用圆规在射线AC 上截取AB=a,如下图:4.线段的比较与运算 (1)线段的比较:比较两条线段的长短,常用两种方法,一种是度量法;一种是叠合法.(2)线段的和与差:如下图,有AB+BC=AC ,或AC=a+b ;AD=AB-BD 。
(3)线段的中点:把一条线段分成两条相等线段的点,叫做线段的中点.如下图,有:12AM MB AB ==Cba要点诠释:①线段中点的等价表述:如上图,点M 在线段AB 上,且有,则点M 为线段AB 的中点.②除线段的中点(即二等分点)外,类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图,点M,N,P 均为线段AB 的四等分点.要点二、角 1.角的度量(1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边;此外,角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. (2)角的表示方法:角通常有三种表示方法:一是用三个大写英文字母表示,二是用角的顶点的一个大写英文字母表示,三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图:要点诠释:①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义;②当一个角的顶点有多个角的时候,不能用顶点的一个大写字母来表示. (3)角度制及角度的换算1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″,以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制. 要点诠释:①度、分、秒的换算是60进制,与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法:由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行;由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行. ③同种形式相加减:度加(减)度,分加(减)分,秒加(减)秒;超60进一,减一 成60.(4)角的分类:12AM AB =PNAB PB NP MN AM 41====MBA(1)借助三角尺能画出15°的倍数的角,在0~180°之间共能画出11个角.(2)借助量角器能画出给定度数的角.(3)用尺规作图法.2.角的比较与运算(1)角的比较方法: ①度量法;②叠合法.(2)角的平分线:从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线,例如:如下图,因为OC是∠AOB的平分线,所以∠1=∠2=∠AOB,或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地,还有角的三等分线等.3.方位角以正北、正南方向为基准,描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释:(1)方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西,三要确定旋转角度的大小.(2)北偏东45°通常叫做东北方向,北偏西45°通常叫做西北方向,南偏东45°通常叫做东南方向,南偏西45°通常叫做西南方向.(3)方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.要点三、多边形和圆的初步认识1.多边形及正多边形:多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中,各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.如下图:要点诠释:12∠β锐角直角钝角平角周角范围0<∠β<90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°(1)n 边形有n 个顶点、n 条边,对角线的条数为. (2)多边形按边数的不同可分为三角形、四边形、五边形、六边形等. 2. 圆及扇形:(1)圆:如图,在一个平面内,线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆,固定的端点O 叫做圆心,线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆,记作“⊙O ”,读作“圆O ”.要点诠释:圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.(2)扇形:由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA ,OB 所组成的图形叫做扇形.如下图:要点诠释: 扇形OAB 的面积公式:;扇形OAB 的弧长公式:.【典型例题】类型一、线段、射线、直线1.下列判断错误的有( )①延长射线OA ;②直线比射线长,射线比线段长;③如果线段PA =PB ,则点P 是线段AB 的中点;④连接两点间的线段,叫做两点间的距离. A .0个 B .2个 C .3个 D .4个 【答案】D【解析】①由于射线向一方无限延伸,因此,不能延长射线;②由于直线向两方无限延伸,射线向一方无限延伸,因此它们都是不能度量的,所以它们不存在相等或不相等的关系,而线段是可以度量的,可以比较线段的长短;③线段PA =PB ,只有当点P 在线段AB 上时,才是线段AB 的中点,否则就不是;④两点间的距离是表示大小的量,而线段是图形,二者的本质属性不同.【总结升华】本题考查的是基本概念,要抓住概念间的本质区别.(3)2n n-180n Rl π=举一反三:【变式】平面上有五条直线,则这五条直线最多有_____交点,最少有_____个交点.【答案】10, 0.类型二、角2.(2019春•南充校级期中)如图:若∠AOB与∠BOC是一对邻补角,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内部,并且∠BOE=∠COE,∠DOE=72°.则∠COE的度数是.【思路点拨】设∠EOB=x度,∠EOC=2x度,把角用未知数表示出来,建立x的方程,用代数方法解几何问题是一种常用的方法.【答案】72°.【解析】解:设∠EOB=x,则∠EOC=2x,则∠BOD=(180°﹣3x),则∠BOE+∠BOD=∠DOE,即x+(180°﹣3x)=72°,解得x=36°,故∠EOC=2x=72°.故答案为:72°.【总结升华】本题考查了对顶角、邻补角,设未知数,把角用未知数表示出来,列方程组,求解.角平分线的运用,为解此题起了一个过渡的作用.举一反三:【变式】(2018•陆川县校级模拟)在同一平面内,若∠AOB=90°,∠BOC=40°,则∠AOB的平分线与∠BOC的平分线的夹角等于.【答案】25°或65°.解:本题分两种情况讨论:(1)当OC在三角形内部时,如图1,∵∠AOB=90°,∠BOC=40°,OD,OE是∠AOB的与∠BOC的平分线,∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°,∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°,∴∠DOE=∠DOB﹣∠EOB=45°﹣20°=25°;(2)当OC在三角形外部时,如图2,∵∠AOB=90°,∠BOC=40°,OD,OE是∠AOB的与∠BOC的平分线,∴∠AOD=∠DOB=∠AOB=×90°=45°,∠BOE=∠EOC=∠BOC=×40°=20°,∴∠DOE=∠DOB+∠EOB=45°+20°=65°,故答案为:25°或65°.3.(2018•深圳校级模拟)如图,C岛在A岛的北偏东45°方向,C岛在B岛的北偏西25°方向,则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB的度数是()A.70° B.20° C.35° D.110°【思路点拨】根据两直线平行,同旁内角互补求得∠C的度数即可.【答案】A【解析】解:如图,连接AB,∵两正北方向平行,∴∠CAB+∠CBA=180°﹣45°﹣25°=110°,∴∠ACB=180°﹣110°=70°.【总结升华】本题考查了方向角,解决本题的关键是利用平行线的性质.举一反三:【变式】考点办公室设在校园中心O 点,带队老师休息室A 位于O 点的北偏东45°,某考室B 位于O 点南偏东60°,请在图(1)中画出射线OA 、OB ,并计算∠AOB 的度数.【答案】解:如图(2),以O 为顶点,正北方向线为始边向东旋转45°,得OA ;以O 为顶点,正南方向线为始边向东旋转60°,得OB ,则∠AOB =180°-(45°+60°)=75°.4. 如图所示,时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时,与分针第一次重合.【答案与解析】解:设时针转过的度数为x 时,与分针第一次重合,依题意有 12x =90+x 解得答:时针转过时,与分针第一次重合. 【总结升华】在相同时间里,分针转过的度数是时针的12倍,此外此问题可以转化为追及问题来解决.类型三、利用数学思想方法解决有关线段或角的计算 1.方程的思想方法9011x =9011⎛⎫⎪⎝⎭°5. 如图所示,B 、C 是线段AD 上的两点,且,AC =35cm ,BD =44cm ,求线段AD 的长.【答案与解析】解:设AB =x cm ,则 或于是列方程,得 解得:x =18,即AB =18(cm) 所以BC =35-x =35-18=17(cm)(cm) 所以AD =AB+BC+CD =18+17+27=62(cm)【总结升华】根据题中的线段关系,巧设未知数,列方程求解. 2.分类的思想方法6. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点,已知AD =DB ,AC =CB ,且CD =4cm ,求AB 的长.【思路点拨】先根据题意画出图形,再从图上直观的看出各线段的关系及大小. 【答案与解析】 解:利用条件中的AD =DB ,AC =CB ,设DB =9x ,CB =5y , 则AD =5x ,AC =9y ,分类讨论:(1)当点D ,C 均在线段AB 上时,如图所示:∵ AB =AD+DB =14x ,AB =AC+CB =14y ,∴ x =y∵ CD =AC -AD =9y -5x =4x =4,∴ x =1,∴ AB =14x =14(cm). (2)当点D ,C 均不在线段AB 上时,如图所示:方法同上,解得(cm). 32CD AB=3cm 2CD x =(35)cm BC x =-3(44)cm 2x -335442x x -=-33182722CD x ==⨯=5995599587AB =(3)如图所示,当点D 在线段AB 上而点C 不在线段AB 上时,方法同上,解得(cm).(4)如图所示,当点C 在线段AB 上而点D 不在线段AB 上时,方法同上,解得(cm).综上可得:AB 的长为14cm ,cm , cm .【总结升华】解决没有图形的题目时,一要注意满足条件下的图形的多样性;二要注意解决的方法,注意方程法在解决图形问题中的应用. 在正确答案中,(3)与(4)的答案虽然相同,但作为图形上的差别应了解.类型四、多边形和圆7.(1)操作与证明:如图所示,O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心,将一块半径足够长,圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处,并将纸板绕O 点旋转,求证:正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a .(2)尝试与思考:如图a 、b 所示,•将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处,并将纸板绕O 旋转,当扇形纸板的圆心角为________时,正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ;当扇形纸板的圆心角为_______时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a .11253AB=11253AB=8711253ECB O(a) (b)【答案与解析】解:(1)如图所示,不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB、AD•分别交于点M、N,连结OA、OD.∵四边形ABCD是正方形∴OA=OD,∠AOD=90°,∠MAO=∠NDO=45°,又∠MON=90°,∠AOM=∠DON.∴△AMO与△DNO形状完全相同.∴AM=DN∴AM+AN=DN+AN=AD=a(2),所以当扇形纸板的圆心角为120°时,正三角形边被纸板覆盖部分的总长度为定值a;同理可得,当扇形纸板的圆心角为72°时,正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a.【总结升华】一般地,将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长为a的正n边形的中心O点处,若将纸板绕O点旋转,当扇形纸板的圆心角为时,正n边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a.【巩固练习】一、选择题1.下面说法错误的是( ) .A.M是线段AB的中点,则AB=2AMB.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段C.一条射线把一个角分成两个角,这条射线叫做这个角的平分线D.同角的补角相等2.从点O出发有五条射线,可以组成的角的个数是( ) .A. 4个B. 5个C. 7个D. 10个3.用一副三角板画角,下面的角不能画出的是().A.15°的角 B.135°的角C.145°的角 D.150°的角4.(2018•河北)已知:岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上,符合条件的示意图是()3601203︒︒=360n︒A .B .C .D .5.(2019•花都区一模)已知线段AB=8cm ,点C 是直线AB 上一点,BC=2cm ,若M 是AB 的中点,N 是BC 的中点,则线段MN 的长度为( )A .5cmB .5cm 或3cmC .7cm 或3cmD .7cm 6. 平面内两两相交的6条直线,其交点个数最少为m 个,最多为n 个,则m+n 等于( ).A.12B.16C.20D.以上都不对 7.一块等边三角形的木板,边长为1,若将木板沿水平线翻滚(如图),则点从开始至结束走过的路径长度为( ). A. B.C.D.8.如图,扇形的圆心角为,且半径为,分别以,为直径在扇形内作半圆,和分别表示两个阴影部分的面积,那么和的大小关系是( ).A.B.C.D.无法确定二、填空题 9.(2018秋•栾城县期中)把34.27°用度、分、秒表示,应为 ° ′ ″.B 3π24π34322+πOAB 90oR OA OB P Q P Q P Q =P Q >P Q <Q OA P C B ABC10.若∠α是它的余角的2倍,∠β是∠α的2倍,那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度.11.已知圆的面积为,若其圆周上一段弧长为,则这段弧所对的圆心角的度数为.12.平面上有四个点,无三点共线,以其中一点为端点,并且经过另一点的射线共有_______条.13.如图,点B、O、C在同一条直线上,∠AOB=90°,∠AOE=∠BOD,下列结论:①∠EOD=90°;②∠COE=∠AOD;③∠COE=∠BOD;④∠COE+∠BOD=90°.其中正确的是 .14.如图,∠AOB是钝角,OC、OD、OE是三条射线,若OC⊥OA,OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,那么∠DOE的度数是.15. 如图所示,实线部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池,若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心,则游泳池的周长为.16.一根绳子弯曲成如下图1所示的形状.当用剪刀像下图2那样沿虚线a把绳子剪断时,绳子被剪为5段;当用剪刀像下图3那样沿虚线b(b∥a)把绳子再剪一次时,绳子就被剪为9段.若用剪刀在虚线a,b之间把绳子再剪(n-1)次(剪刀的方向与a平行),这样一共剪n次时绳子的段数是.281cmπ3cmπ图1图2图3……a a b三、解答题17.钟表在12点钟时三针重合,经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分?18.19.(2019春•龙口市期中)如图,∠AOB=90°,∠AOC=30°,且OM 平分∠BOC ,ON 平分∠AOC ,(1)求∠MON 的度数;(2)若∠AOB=α其他条件不变,求∠MON 的度数;(3)若∠AOC=β(β为锐角)其他条件不变,求∠MON 的度数; (4)从上面结果中看出有什么规律?20.(2018秋•栾城县期中)如图,已知点C 在线段AB 上,点M 、N 分别是AC 、BC 的中点.(1)若AC=8,CB=6,求线段MN 的长;(2)若点C 为线段AB 上任意一点,且满足AC+BC=a ,请直接写出线段MN 的长; (3)若点C 为线段AB 延长线上任意一点,且满足AC ﹣CB=b ,求线段MN 的长.【答案与解析】一、选择题 1.【答案】C ; 2.【答案】D ;【解析】(个) . 3.【答案】C ;【解析】用三角板能画出的角应该是15的倍数,因为145°不是15的倍数,所以选B .432110+++=4.【答案】D .5.【答案】B ;【解析】解:如图1,由M 是AB 的中点,N 是BC 的中点,得 MB=AB=4cm ,BN=BC=1cm , 由线段的和差,得 MN=MB+BN=4+1=5cm ; 如图2,由M 是AB 的中点,N 是BC 的中点,得 MB=AB=4cm ,BN=BC=1cm ,由线段的和差,得 MN=MB ﹣BN=4﹣1=3cm ; 故选:B .6.【答案】B ;【解析】①6条直线相交于一点时交点最少,所以;②6条直线任意两直线相交都产生一个交点时交点最多,又因为任意三条直线不过同一点,∴ 此时交点为:. 7.【答案】B ;【解析】点从开始至结束走过的路径是两个圆心角为120°,半径为1的扇形弧长之和. 8.【答案】A ;【解析】P =S 扇OAB -S 圆+Q ,即P -Q =S 扇OAB -S 圆=,所以P =Q . 二、填空题9.【答案】34°16′12″. 10.【答案】60度或180 .【解析】分∠α在∠β内部和外部两种情况来讨论. 11.【答案】60°;【解析】根据圆的面积求出半径,再根据弧长求扇形的圆心角. 12.【答案】12;【解析】每个点都可以作3条射线,共有4个点,所以3×4=12条射线. 13.【答案】①②④; 14.【答案】45°;【解析】设∠BOC =x ,则∠DOE =∠BOD -∠BOE =.1m =12345615n =+++++=B 2211()042ππR R -=1(902)452x x ︒︒+-=15.【答案】24m ;【解析】如下图,可得每个圆中虚线部分弧所对的圆心角为120°,利用弧长公式即得答案.16.【答案】4n +1. 三、解答题 17.【解析】解:设经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分. 6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x , 解得:x =(分). 答:经过分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分. 18.【解析】144014271440142719.【解析】解:(1)∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=60°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(2)∵∠AOB=α,∠AOC=30°,∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=+15°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=.(3)∵∠AOB=90°,∠AOC=β,∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=45°+,∠CON=.∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(4)从上面的结果中,发现:∠MON的大小只和∠AOB得大小有关,与∠A0C的大小无关.20.【解析】解:(1)∵M、N分别是AC、BC的中点,∴MC=AC,CN=CB,∴MN=MC+CN,=( AC+CB)=(8+6)=7;(2)∵若M、N分别是线段AC、BC的中点,∴AM=MC,CN=BN,AM+CM+CN+NB=a,2(CM+CN)=a,CM+CN=,∴MN=a;(3)∵M、N分别是AC、BC的中点,∴MC=AC,NC=BC,∴MN=MC﹣NC=(AC﹣BC)=b.。
初中数学北师大七年级上册 基本平面图形初中数学研究微专题14线段与角中的动态问题
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微专题线段与角中的动态问题一、专题介绍本专题主要包括线段与角的动态变化问题,主要包括线段上点的动态问题,角的边的动态变化问题,时钟问题等.这类问题的综合较强,涉及到的数学思想包括分类讨论思想、数形结合思想、方程思想.二、例题探究类型一:线段上的动态问题例 1.(2023·金牛区期末)如图1,已知线AB =24 ,点C 为线段AB 上的一点,点D 、E 分别是AC和BC 的中点.(1)若AC = 8 ,则DE 的长为;(2)若BC =a ,求DE 的长;(3)动点P ,Q 分别从A ,B 两点同时出发,相向而行,点P 以每秒3 个单位长度沿线段AB 向右匀速运动,Q 点以P 点速度的两倍,沿线段AB 向左匀速运动,设运动时间为t 秒,问当t 为多少秒时P ,Q 之间的距离为6?类型二:角的动态问题例 2 如图,已知∠AOB=120°,OC 是∠AOB 内一条射线.(1)如图①,若OD 平分∠AOB,∠BOC:∠COD=5:1,求∠AOC 的度数;(2)如图②,如果射线OC 从射线OA 的位置开始以5°/s 的速度绕点O 顺时针旋转,到与OB 重合时停止旋转,那么当射线OC 旋转多少秒时,图中出现直角?(3)如图③,射线 OP、OQ 分别从射线 OA、OC 位置开始,同时在∠AOC、∠COB的内部以 1°/s、3°/s 的速度绕点 O 顺时针旋转,当 OP 平分∠AOC时,∠COP=∠BOQ,求∠AOC 的度数.例3.射线OC在∠A OB的内部,图中共有三个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”。
如图2若∠MPN=60,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10度的速度逆时针旋转,射线PM同时绕点P以每秒5度的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180度时,PQ与PM同时停止旋转,设旋转的时间为t秒,当射线PQ是∠MPN的巧分线时,求t的值。
复习提分拔尖特训(与线段、角有关的计算与综合)课件+2024-2025学年北师大版数学七年级上册
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(3)请求出点 P 出发多少秒后追上点 Q ?
【解】当点 P 追上点 Q 时,依题
意有3 t = t +40,
解得 t =20.
因此,点 P 出发20 s后追上点 Q .
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(4)请计算出点 P 出发多少秒后,与点 Q 的距离是20 cm?
【解】当点 P 在点 Q 的左侧时,
所以∠ BOD = ∠ BOC = x =24°.
所以∠ DOE =∠ DOB +∠ BOE =24°+12°=36°.
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8. 已知∠ AOB =37°,∠ AOC =2∠ AOB ,求∠ BOC
的度数.
【解】因为∠ AOB =37°,∠ AOC =2∠ AOB ,
所以∠ AOC =2∠ AOB =2×37°=74°.
北师版 七年级上
复习提分拔尖特训
与线段、角有关的计算与综合
类型1 与线段有关的计算与综合
(1)与线段和差有关的计算
1. 如图, AB =2, AC =6,延长 BC 到点 D ,使 BD =4
BC ,求 AD 的长.
【解】因为 AB =2, AC =6,所以 BC = AC - AB =4.
因为 BD =4 BC ,所以 BD =16.
所以∠ BOD =2∠ BOC .
因为 OE 平分∠ AOC ,所以∠ AOE =∠ EOC .
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北师大七年级上-第11讲-线段和角度大小的变化
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线段和角度大小的变化一:比较线段的长短知识点一:线段的性质1.线段公理:两点之间的所有连线中,线段最短,简述为:两点之间,线段最短.2.“连线”是指以画出的两个点为端点的任意一条线,包括曲线、折线或线段.例1如下图,从A地到B地有多条道路,人们会走中间的直路,而不会走其他的曲折道路,这是因为( ).A.两点之间线段最短B.两直线相交只有一个交点C.两点确定一条直线D.垂线段最短分析:这个问题实际上就是研究两点间的不同连线的长短,联系生活实际,领会“两点之间,线段最短”的道理.解:A例2如图(1),在一条笔直的公路两侧,分别有A、B两个村庄,现在要在公路上建一个汽车站C,使汽车站C到A、B两个村庄的距离之和最小,问汽车站C的位置应该如何确定?分析:根据“两点之间,线段最短”,点C应该在线段AB上.解:连接AB,线段AB与公路所在直线a交于C.则点C即为汽车站的位置.如上图(2)变式训练1.下列可用公理“两点之间,线段最短”来解释的现象有( ).①用两个钉子就可以把木条固定在墙上;②植树时只要定出两棵树的位置,就能确定同一行树所在的直线;③从A地到B地架设电线,总是尽可能沿着线段AB架设;④把弯曲的公路改直,就能缩短路程.A.①②B.①③C.②④D.③④答案1.D提示:①②错误,③④正确.2.如图,在公园,为了方便人们观光,总把湖上的桥修成曲折形,你能说明其中的道理吗?解:设计成曲线增加了人们的观光路程.知识点二:两点之间的距离1.两点之间线段的长度,叫做这两点间的距离.2.距离是指线段的长度,是一个数值,不是指线段本身.线段的长度可用刻度尺度量.例3下列说法正确的是( ).A.过A、日两点的直线长是A、B两点间的距离B.线段AB是A、B两点间的距离C.乘火车从无锡到北京要走1280千米,这就是说无锡站与北京站间的距离为1280千米D.连接A、B两点的所有线中,其中最短的线的长度就是A、B两点间的长度分析:直线不可度量没有长度,A错;距离指线段AB的长度,而不是线段AB本身,B错;无锡到北京火车走的不是直线,不是线段的长度.C错.解:D变式训练1.点B在线段AC上,AB =5,BC=3,则A、C两点间的距离是( ).A.8 B.2 C. 4 D.无法确定答案.A知识点三:作一条线段等于已知线段作一条线段等于已知线段是几何中一种重要的基本作图,用到的工具是圆规和没有刻度的直尺.步骤如下:(1)作一条射线AB;(2)用圆规量出已知线段的长度(记作a);(3)以A为圆心,在射线AB上截取AC =a,则线段AC就是所求的线段。
北师大版(2024新版)七年级数学上册第四章课件:第四章 基本的平面图形 小结与复习
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第四章 基本的平面图形 小结与复习
知识梳理
基 本 平 面 图 形
直线 两点确定一条直线
线段 射线
两点之间线段最短 线段的中点 线段比较长短
角的定义
角
角平分线
角比较大小
尺规作图
知识梳理
基 本 平 面 图 形
多边形
定义 对角线 正多边形
定义
圆
弧 扇形
圆心角
知识回顾
伸
是否 可以 度量
不能 度量
不能 度量
表示方法
表示 方法
备注
作图 描述
射线 AB
A,B两点 以A为端点
有序,端 作射线
点在前
AB
直线
AB 或直 线BA 或直线
a
A,B两点
无序
过A,B两点 作直线AB
知识回顾
2.两点确定一条直线 经过两点有且只有一条直线.
二、比较线段的长度 1.线段的基本事实 两点之间的所有连线中,线段__最__短___. 简述为:两点之间,线段__最__短____ .
基础巩固
4.下午2时15分到5时30分,时钟的时针转过的度数 为__9_7_.5_°_.
解析:时钟被分成12个大格,相当于把圆分成12等份, 每一等份等于30°. 分针转360°时,时针转一格,即30°. 从2时15分到5时30分,时针走了(3.5-0.25)格, 即30°×(3.5-0.25)=97.5°.
知识回顾
4.角的度量 (1)角的度量单位是度、分、秒. (2)它们之间的关系是六十进制的,即1°=60′,1′=60″.
5.方向角 借助角表示方向,通常以正北或正南为基准,配以偏 西或偏东的角度来描述方向.
北师大版七年级数学上册第四章基本平面图形小结与复习课件
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第四章 |过关测试
第四章 |过关测试
第四章 |过关测试
试卷讲练
考查 意图
难易 度
平面图形是七年级数学的重要组成部分,在各类考试中常以 填空题、选择题、计算题出现.本卷主要考查了直线、射线、线 段、角、角的比较、多边形和圆等,重点考查了线和角.
易
1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13, 14,17,18,19,20,23
第四章 |过关测试
(3)单位及换算:把周角平均分成360份,每一份就是1°的 角,1°的1/60就是1′,1′的1/60就是1″,即1°= ____6,01′ ′= ________6.0′
(4)分类:小于平角的角可按大小分成三类:当一个角等于 平角的一半时,这个角叫做__直__角____;大于0°角小于直角的 角叫做___锐__角___;大于直角而小于平角的角叫做___钝__角_____.
[答案] 南偏西54°
第四章 |过关测试
针对第10题训练
1.如图4-3所示,A,B,C是一条公路上的三个村庄,A, B间路程为100 km,A,C间路程为40 km,现在A,B之间建一 个车站P,设P,C之间的路程为x km.
(1)用含x的代数式表示车站到三个村庄的路程之和; (2)若路程之和为102 km,则车站应建在何处? (3)若要使车站到三个村庄的路程总和最小,问车站应建在 何处?最小值是多少?
(2)已知A、B、C三点在一条直线上,如果AB=a,BC=b, 且a<b,求线段AB和BC的中点E、F之间的距离.
第四章 |过关测试
[解析] (1)根据图示,先分别计算一下从三个小区大门步行 到公交停靠点E、F的路程长之和,然后比较一下大小,路程小 的即为所求;
北师大版七年级上册数学[角(提高版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角(提高)知识讲解【学习目标】1.掌握角的概念及角的表示方法,并能进行角度的互换;2. 借助三角尺画一些特殊角,掌握角大小的比较方法;3.会利用角平分线的意义进行有关表示或计算;4. 掌握角的和、差、倍、分关系,并会进行有关计算.【要点梳理】要点一、角的概念1. 角的定义:(1)定义一:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.如图1所示,角的顶点是点O ,边是射线OA 、OB .(2)定义二:一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形,射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2所示,射线OA 绕它的端点O 旋转到OB 的位置时,形成的图形叫做角,起始位置OA 是角的始边,终止位置OB 是角的终边.要点诠释:(1)两条射线有公共端点,即角的顶点;角的边是射线;角的大小与角的两边的长短无关.(2)平角与周角:如图1所示射线OA 绕点O 旋转,当终止位置OB 和起始位置OA 成一条直线时,所形成的角叫做平角,如图2所示继续旋转,OB 和OA 重合时,所形成的角叫做周角.2.角的表示法:角的几何符号用“∠”表示,角的表示法通常有以下四种:图1 图2要点诠释:用数字或小写希腊字母表示角时,要在靠近角的顶点处加上弧线,且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.3.角的画法(1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角.(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.要点二、角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒,把一个周角平均分成360等份,每一份就是1°的角,1°的160为1分,记作“1′”,1′的160为1秒,记作“1″”.这种以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制.1周角=360°,1平角=180°,1°=60′,1′=60″.要点诠释:在进行有关度分秒的计算时,要按级进行,即分别按度、分、秒计算,不够减,不够除的要借位,从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算,在相乘或相加时,当低位得数大于60时要向高一位进位.要点三、角的比较与运算1.角的比较角的大小比较与线段的大小比较相类似,方法有两种.方法1:度量比较法.先用量角器量出角的度数,然后比较它们的大小.方法2:叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小:如下图,由图(1)可得∠AOB<∠A′O′B′;由图(2)可得∠AOB=∠A′O′B′;由图(3)可得∠AOB>∠A′O′B′.2.角的和、差运算如图所示,∠AOB是∠1与∠2的和,记作:∠AOB=∠1+∠2;∠1是∠AOB与∠2的差,记作:∠1=∠AOB-∠2.要点诠释:(1)用量角器量角和画角的一般步骤:①对中(角的顶点与量角器的中心对齐);②重合(一边与刻度尺上的零度线重合);③读数(读出另一边所在线的度数).(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外,根据角的和、差关系,还可以画出15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的角.3.角平分线从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线.如图所示,OC是∠AOB的角平分线,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC =12∠AOB.要点诠释:由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.要点四、方位角在航行和测绘等工作中,经常要用到表示方向的角.例如,图中射线OA的方向是北偏东60°;射线OB的方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角,就叫做方位角.要点诠释:(1)正东,正西,正南,正北4个方向不需要用角度来表示.(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”,“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”.(3)在同一问题中观察点可能不止一个,在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”,确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向.(4)图中的点O是观测点,所有方向线(射线)都必须以O为端点.要点五、钟表上有关夹角问题钟表中共有12个大格,把周角12等分、每个大格对应30°的角,分针1分钟转6°,时针每小时转30°,时针1分钟转0.5°,利用这些关系,可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.【典型例题】类型一、角的概念1. 利用一副三角板上的角,能画出多少个小于180°的角,试一一画出来.【思路点拨】首先发现一副三角板上有30°,45°,60°,90°这样4个不相等的角,利用这些角进行一次和差,可得小于180°的所有角.【答案与解析】解:除了可以画30°,45°,60°,90°外,还可画15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°的七个度数的角,画法如图所示.【总结升华】利用一副三角板共可以画出11个度数的角,分别是:30°,45°,60°,90°,15°,75°,105°,120°,135°,150°,165°.举一反三:【变式】(2015春•成武县期末)下列说法中,正确的是()A.两条射线组成的图形叫做角B.有公共端点的两条线段组成的图形叫做角C.角可以看做是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形D.角可以看做是由一条线段绕着它的端点旋转而形成的图形【答案】C.类型二、角度制的换算2. 计算下列各题:(1)152°49′12″+20.18°; (2)82°-36°42′15″;(3)35°36′47″×9; (4)41°37′÷3.【答案与解析】解:(1)解法一:∵ 20.18°=20°10′48″即:152°49′12″+20.18°=173°.解法二:∵ 152°49′12″=152.82°,∴ 152.82°+20.18°=173°.即:152°49′12″+20.18°=173°.(2)将82°化为81°59′60″,则∴ 82°-36°42′15″=45°17′45″.423″=7′3″, 324′+7′=5°31′,∴ 35°36′47″×9=320°31′3″.∴ 41°37′÷3=13°52′20″.【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位,都化成度或分、秒表示,然后进行计算;在进行乘法运算时,往往先把度、分、秒分别乘以倍数,将结果满60″进1′,满60′进1°;对于除法运算则是从度开始除,将余数化为分和以前的分数相加再除,将余数再化成秒和以前的秒数相加再除,若除不尽往往四舍五入.举一反三:【变式】计算:(1)23°45′36″+66°14′24″;(2)180°-98°24′30″;(3)15°50′42″×3; (4)88°14′48″÷4.【答案】(1)23°45′36″+66°14′24″=90°;(2)180°-98°24′30″=81°35′30″;(3)15°50′42″×3=47°32′6″;(4)88°14′48″÷4=22°3′42″.类型三、角的比较与运算3. 如图所示表示两块三角板.(1)用叠合法比较∠1,∠α,∠2的大小;(2)量出图中各角的度数,并把图中的6个角从小到大排列,然后用“<”或“=”连接.【答案与解析】解:(1)如图所示,把两块三角板叠在一起,可得∠1>∠α,用同样的方法,可得∠α<∠2.所以∠2=∠1>∠α.(2)用量角器量出图中各个角的度数,分别是∠1=∠2=45°,∠3=90°,∠α=30°,∠β=60°,∠γ=90°,把它们从小到大排列,有∠α<∠1=∠2<∠β<∠3=∠γ.【总结升华】比较角的大小有叠合法和度量法两种:①先将两个角的顶点与顶点重合,一条边与一条边重合再比较.②先量出每个角的度数,然后按它们的度数来比较.举一反三:【变式】如图,∠AOB的平分线OM,ON为∠MOA内的一条射线,OG为∠AOB外的一条射线.某同学经过认真分析,得到一个关系式是∠MON=12(∠BON-∠AON),你认为这个同学得到的关系式正确吗?若正确,请把得到这个结论的过程写出来.【答案】解:正确,理由如下:∵∠AOB的平分线OM,∴∠AOM=∠MOB又∵∠MON=∠AOM-∠AON=∠MOB-∠AON=(∠BON-∠MON) -∠AON 即有∠MON=∠BON-∠MON -∠AON∴ 2∠MON=∠BON-∠AON∴∠MON=12(∠BON-∠AON)4.(2016春•龙口市期中)如图,∠AOB=90°,∠AOC=30°,且OM平分∠BOC,ON平分∠AOC,(1)求∠MON的度数;(2)若∠AOB=α其他条件不变,求∠MON的度数;(3)若∠AOC=β(β为锐角)其他条件不变,求∠MON的度数;(4)从上面结果中看出有什么规律?【思路点拨】(1)要求∠MON,即求∠COM﹣∠CON,再根据角平分线的概念分别进行计算即可求得;(2)和(3)均根据(1)的计算方法进行推导即可.(4)根据(2)和(3)中的结论进行总结.【答案与解析】解:(1)∵∠AOB=90°,∠AOC=30°,∴∠BOC=120°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=60°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(2)∵∠AOB=α,∠AOC=30°,∴∠BOC=α+30°∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=+15°,∠CON=15°∴∠MON=∠COM﹣∠CON=.(3)∵∠AOB=90°,∠AOC=β,∴∠BOC=90°+β∵OM平分∠BOC,ON平分∠AOC∴∠COM=45°+,∠CON=.∴∠MON=∠COM﹣∠CON=45°.(4)从上面的结果中,发现:∠MON的大小只和∠AOB得大小有关,与∠A0C的大小无关.【总结升华】能够结合图形表示角之间的和差关系,根据角平分线的概念运用几何式子表示角之间的倍分关系.举一反三:【变式】如图,已知O是直线AC上一点,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,且∠BOE=12∠EOC,∠DOE=70°,求∠EOC的度数.【答案】解:设∠EOC=x °,则∠BOE =12∠EOC =12x °,根据题意可得: 1180127022x x x --+= , 解得: 80x = .∠EOC =2∠BOE =80°.类型四、方位角5.(2015•浦东新区三模)已知小岛A 位于基地O 的东南方向,货船B 位于基地O 的北偏东50°方向,那么∠AOB 的度数等于 .【答案】85°.【解析】解:如图:∵∠2=50°,∴∠3=40°,∵∠1=45°,∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°,故答案为:85°.【总结升华】本题主要考查了方位角的概念,根据方位角的概念,画图正确表示出A ,B 的方位,注意东南方向是45度是解答此题的关键.类型五、钟表上有关夹角问题6. 在7时到7时10分之间的什么时刻,时针与分针成一条直线?【答案与解析】解:设7时x 分钟,时针与分针成一条直线,由题意得:16302x x -=,5511x =. 答:7时5511分钟时针与分针成一条直线. 【总结升华】时钟上的分针与时针绕着中心顺时针均匀转动,在不同时刻,两针之间形成一定的角度.如果把单位时间分针和时针转过的度数当作它们的速度则:① 分针的速度为36060=6°/分;②时针的速度为3060°分=0.5°/分. 故分针速度是时针速度的12倍.举一反三:【变式】某人下午6点多外出购物,表上的时针和分针的夹角恰为110°,下午7点前回家时,发现表上的时针和分针的夹角又是110°,试算出此人外出用了多长时间?【答案】解:设此人外出用了x 分钟,则分针转了6x 度,时针转了0.5x 度.根据题意得: 6x-0.5x =110×2,解之得x =40.答:此人外出购物用了40分钟的时间.。
北师大版七年级上册数学《线段、射线、直线》基本平面图形培优说课教学复习课件
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线段都是直线的一部分。线段是射线的一部分。
区别:直线可以向两个方向无限延伸,射线可以向
一个方向延伸,线段本身不能延伸。直线没有端点,
射线有一个端点,线段有两个端点。
1、线段、射线、直线的画法:
拿出直尺和铅笔,用直尺来画线段、直线、射线。
ห้องสมุดไป่ตู้
A
(画线段要画出两个端点,且
探究新知
探究3 类比直线的表示方法,想一想线段该如何表示?
A
B
a
2. 线段 (1) 用表示端点的两个大写字母表示;
(2) 用一个小写字母表示.
记作:线段 AB ( 或线段 BA )
记作:线段 a
探究新知
讨论 分别画一条直线、射线和线段,议一议它们之间的
联系和区别.
直线、射线、线段三者的联系:
A
B
★ 射线有一个端点
笔直的铁轨向两个方向无限延伸。
将线段向两个方向无限延长形成了直线。
★ 直线没有端点
问题1
生活中,还有哪些物体可以近似的看作线段、射
线、直线?
线段:灯管、桌子的边沿…...
射线:把灯泡看成一点,光线射向远方……
直线:笔直的公路、数轴……
问题2
线段、射线、直线有什么联系和区别?
联系:都是直的,线段向一个方向延长可以得到射线,
4.1 线段、射线、直线
课件
情境导入
观察欣赏这一组生活中的图片,从中你能找出我们所熟悉
的几何图形吗?
获取新知
竖琴中紧绷的琴弦,马路上人
行横道都可以近似地看做线段。
★ 线段有两个端点
由灯和手电筒发出的光,流星划过天空留下的痕迹,
2024年北师大版七年级上册数学复习专项突破练8 线段的有关计算
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(1)若 AB =6, BD = BC ,求线段 CD 的长度;
解:(1)如图①,
由题意,得 BC = AB =3,所以 BD = BC =1.5.
所以 CD = BC - BD =1.5.
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(2)点E是线段AB上一点,且AE=2BE,当AD∶BD=
所以点A对应的数是1-6=-5,点C对应的数是
1+2=3.
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(2)经过 t 秒后,求点 P , Q 分别对应的数(用含 t 的式子表
=3, CM = AM =2,
所以 MN = MC + CN =5.
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(2)若 AB =10,求 MN 的长度.
解:(2)由题易得 MN = MC + CN = AC + BC =
(AC+ BC )= AB =5.
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2. 【2023西安高新一中月考】已知 A , B , C , D 四点在同
所以 MC = AC , CN = BC .
所以 MN = MC + CN = AC + BC = (AC+ BC )=
×(12+8)=10(cm).
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新北师大版七年级上册数学知识点总结
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新北师大版七年级上册数学知识点总结一、丰富的图形世界1、生活中的立体图形我们生活在一个充满立体图形的世界中。
常见的立体图形有:柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、球体。
圆柱:上下底面是两个完全相同且平行的圆,侧面是一个曲面。
棱柱:上下底面是两个完全相同且平行的多边形,侧面是多个长方形。
圆锥:底面是一个圆,侧面是一个曲面。
棱锥:底面是一个多边形,侧面是多个三角形。
2、展开与折叠很多立体图形都可以通过展开变成平面图形,同样,一些平面图形也可以折叠成立体图形。
例如,正方体有 11 种展开图,需要记住一些常见的展开图形式,以便能够快速判断一个平面图形能否折叠成正方体。
3、截一个几何体用一个平面去截一个几何体,截面的形状可能多种多样。
例如,用一个平面去截正方体,截面可能是三角形、四边形(包括正方形、长方形、梯形)、五边形、六边形。
二、有理数及其运算1、有理数的概念有理数包括整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数)。
能化成分数形式的小数也是有理数。
2、数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点,数轴上的点与有理数是一一对应的关系。
3、相反数绝对值相等,符号相反的两个数互为相反数。
例如,5 的相反数是-5,0 的相反数是 0。
4、绝对值数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。
正数的绝对值是它本身,负数的绝对值是它的相反数,0 的绝对值是 0。
5、有理数的比较大小正数大于 0,0 大于负数,正数大于负数。
两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
6、有理数的加法同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
异号两数相加,绝对值相等时和为 0;绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
一个数同 0 相加,仍得这个数。
7、有理数的减法减去一个数,等于加上这个数的相反数。
8、有理数的乘法两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘。
思想方法专题:线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级上册
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第03讲思想方法专题:线段与角计算中的思想方法(4类热点题型讲练)目录【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】 (1)【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】 (3)【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】 (9)【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】 (13)【考点一分类讨论思想在线段的计算中的应用】【考点二分类讨论思想在角的计算中的应用】OP 平分BOC ∠,AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠-∠当如图所示时:OP 平分BOC ∠,AOB ∠12AOP AOB BOC ∴∠=∠+∠故答案为:70︒或90︒.【点睛】本题考查了角平分线的定义,熟练掌握角平分线的定义,利用分类讨论解决问题是解题的关键.18AOB ∠=︒ ,AOC ∠54AOC ∴∠=︒,BOC AOC AOB ∴∠=∠-∠=②如图,当OB 在AOC ∠18AOB ∠=︒ ,AOC ∠54AOC ∴∠=︒,BOC AOC AOB ∴∠=∠+∠=综上可知,BOC ∠的度数为故答案为:36︒或72︒.∵80AOB ∠=︒,OC 平分∴12AOC BOC AOB ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒,∴AOM AOC COM ∠=∠-∠如图2,∵80AOB ∠=︒,OC 平分∴12AOC BOC ∠=∠=∠∵射线OM 与OC 所形成的角度是∴10COM ∠=︒,∴AOM AOC COM ∠=∠+∠综上可知AOM ∠的度数是当23AOC AOB ∠=∠时,如图:∵40AOC ∠=︒,23AOC AOB ∠=∠,∴60AOB ∠=︒,故答案为:20︒或10︒.【点睛】本题主要考查了角的三等分线和角平分线,解题的关键是掌握角的三等分线有两条.4.(2023秋·黑龙江大庆·六年级统考开学考试)如图,长方形纸片CB 上,连接PM ,PN .将A 落在直线PM 上的点A '处,得折痕【答案】75︒或105︒【分析】分两种情形:如图折变换的性质可知EPN ∠∵30MPN ∠=︒,∴180DPN APM ∠+∠=︒-由翻折变换的性质可知∴11502EPN FPM ∠+∠=⨯∴EPF MPN EPN ∠=∠+∠当点N 在点M 的下方时,设则180150x y MPN +=︒-∠=由翻折变换的性质可知12DPE ∠=【考点三整体思想及从特殊到一般的思想解决线段和差问题】①若4AC BC ==,则线段MN 的长度是,=,∵点M、N分别是线段AC,BC的中点,AC a BC ∵点M、N分别是线段AC,BC的中点,(2)设AB a=,C是线段AB上任意一点(不与点①如图2,当M,N分别是AC,BC的中点时,②如图3,若M,N分别是AC,BC的三等分点,即【考点四整体思想及从特殊到一般的思想解决角和差问题】例题:(2023秋·全国·七年级课堂例题)已知:如图,OC 在AOB ∠的内部,OM 平分()180AOB AOB ON ∠︒∠<,平分BOC ∠.(1)当9060AOC BOC ∠=∠=︒︒,时,MON ∠=___________︒;(2)当8060AOC BOC ∠︒∠=︒=,时,MON ∠=___________︒;(3)当8050AOC BOC ∠︒∠=︒=,时,MON ∠=___________︒;(4)猜想:不论AOC ∠和BOC ∠的度数是多少,MON ∠的度数总等于________的度数的一半.【答案】(1)45(2)40(3)40(1)如图1,若40AOM ∠=︒,求CON ∠的度数;(2)在图1中,若AOM α∠=,直接写出CON ∠的度数(用含(3)将图1中的直角三角板OMN 绕顶点O 顺时针旋转至图2的位置,数.【答案】(1)20°(2)1α∠=CON(2)因为O 为直线AB 上一点,且AOM α∠=,MON ∠=所以180BOM α∠=︒-,90BON α∠=︒-因为射线OC 平分MOB∠所以119022BOC BOM α∠=∠=-°因为C O N B O C B O N∠=∠-∠(1)一个角的平分线(2)如图2,若MPN ∠新知).(3)如图3,若∠的结果).【答案】(1)是(2)30°,20°或40(3)12α或13α或【分析】(1)根据答;(2)根据“巧分线”(3)根据“巧分线【详解】(1)解:如图∴2AOB AOC ∠=∠∴根据巧分线定义可得故答案为:是.(2)解:如图3:②当22NPQ ∠∠=③当32MPQ ∠∠=【点睛】本题主要考查了新定义下的计算、角平分线的定义等知识点,读懂题意、理解题的关键.3.(2023秋·河南安阳90,COD OM ∠=︒平分(1)如图1,当50AOC ∠=︒时,DOM ∠=__________;(2)如图2,当110AOC ∠=︒时,DOM ∠=__________;(3)如图3,当()150180AOC ∠αα=︒<<︒时,求DOM ∠的度数,借助图3计算;(4)由(1),(2),(3)问可知,当()0180AOC ββ∠=︒<<︒时,请直接写出无需说明理由)(2)解:如图2,∵AOC ∠∴40BOC ∠=︒,∵OM 平分BOC ∠,∴1202COM BOC ∠=∠=︒(3)解:∵(AOC ∠α=∴150BOC α∠=-︒,∵OM 平分BOC ∠,∴1122COM BOC ∠=∠=(4)解:当060β︒<<︒时,如图∵AOC β∠=,150AOB ∠=∴150BOC β∠=︒-,∵OM 平分BOC ∠,∴1752COM BOC ∠=∠=︒当60150β︒<<︒时,如图2,∵AOC β∠=,150AOB ∠=︒,∴150BOC β∠=︒-,∵OM 平分BOC ∠,∴117522COM BOC β∠=∠=︒-,。
《角》教案 2022年北师大版数学七上3

4.3角的度量与表示一、课题§4.3角的度量与表示二、教学目标1.使学生通过实际生活中对角的认识,建立起几何中角的概念,并能掌握角的两个定义方法.2.使学生掌握角的各种表示方法.3.通过角的第二定义的教学,学生进一步认识几何图形中的运动、变化的情况,初步会用运动、变化的观点看待几何图形,初步形成辩证唯物主义观点.4.使学生掌握平角、周角和直角的概念.三、教学重点和难点角的概念及两个定义和角的表示法是本节的重点也是难点.四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法启发式教学六、教学过程(一)、从实际生活中建立角的概念1.问题的提出:回忆前面的学习内容,都是单纯讨论直线、射线、线段的性质、关系.以后将要学习由它们构成的图形,同学们想一想,在实际生活中有没有由直线与直线或射线与射线,线段与线段组成的图形?(让学生思考几分钟后,举手发言,由于学生的几何知识还不多,因此可能举出的例子很少,或者有不妥之处,教师应加以鼓励并引导.)2.教师总结:三条线段组成的三角形、两条直线组成的坐标系、两条射线组成的角.这些图形的特点和性质在今后的学习中都要学到,今天我们先学习角的有关概念.3.让学生自己观察在实际生活中看到的角.(如:桌子的角、钟表的时针和分针所成的角、两条道路相交时所组成的角、红领巾的边所成的角等.)4.教师提问:通过同学们的例子,我们应该怎样给角下定义呢?引导学生观察这些角的共同特点:角的两边都有一个公共的端点,组成角的两边的是射线.由此引导学生得到角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.注意正确理解角的定义,首先组成角有两个条件(1)有两条射线.这两条射线叫做角的两边.(2)两条射线有一个公共的端点.这个公共的端点叫做角的顶点.(3)还应指出的是:我们平时画角的时候,只能将边画成两条线段,这是由于只能用角的一部分来研究角,而角的定义中边是两条射线,也就是说这两条边可以无限延伸.5.教师提问钟表的指针是怎样形成角的?学生能够回答:一个指针在转.教师这时指出角的第二个定义:一条射线OA由原来位置绕着它的端点O旋转到另一个位置OB所成的图形.(教师拿圆规演示出来射线的旋转情况,并在黑板上给出图形.)注意对这一定义的理解:(1)此定义与以前学过的定义有所不同,它是用运动的方法来定义角的.也就是从角的产生过程下定义,它对一条射线的原始位置开始描述,直到运动到最后位置.(2)在此定义中,对运动的方向并没有要求.也就是说,可以顺时针旋转,也可以逆时针旋转.但要明确:初中阶段是指逆时针方向旋转所形成的角.这一点要对学生讲清楚,以便为将来学习任意角埋下伏笔.(教师在讲解过程中要加以演示)(3)要告诉学生OA叫做角的始边,OB叫做角的终边.而且始边可以与终边重合,还可以在重合以后继续旋转,从而得到几种特殊的角.(二)、平角、周角和直角的概念教师设计以下提问:1.从角的第二定义出发,对射线OA的旋转可以到哪些特殊位置?2.这些特殊的角之间有哪些关系?针对学生的回答,教师与学生一起总结出直角、平角、周角的定义.平角:射线OA绕点O旋转,当终止位置OB与起始位置OA成一条直线时,所成的角叫做平角.周角:射线OA绕点O旋转,当终止位置OB与起始位置OA第一次重合时,所成的角叫做周角.直角:平角的一半叫做直角.(三)、角的表示法这部分内容主要由教师讲解,并指出这些表示法是一些规定,必须遵守.1.角的内部和外部角的内部:射线旋转时经过的平面部分是角的内部.角的外部:平面内除去角的内部和角的顶点、角的边以外的部分是角的外部.教师通过以下图形对角的内部、角、角的外部进行讲解,使学生有一个感性的认识,如图1-16.注:角将平面分为三部分.即角的外部、角的内部、和角的两边及顶点.2.大写字母表示角:规定用三个大写字母表示角;这三个大写字母应分别写在顶点、两条边上的任意的点;三个字母的顺序也有规定,顶点的字母必须写在中间,如图1-17.以上四个角依次表示为:∠ABC,∠ BOE,∠CAN,∠BDC.注意顶点的字母不一定用O,角的终边与始边的字母也可以随意.在下面的图形中,我们将看一看平角和周角的表示方法,如图1-18.左边的图为平角,记为∠AOB,右边的图为周角,记为∠AOB.注意周角由于终边与始边重合,所以OA与OB为同一条射线.标法如图.3.用一个大写字母表示角:如图1-17中的四个角也可以记为∠B,∠O,∠A,∠D.但要注意的是当两个或两个以上的角有同一个顶点时,不能用一个大写字母.如图1-19.左边的图中以O为顶点的角有三个∠AOC,∠COB和∠AOB,如果写∠O就不知道表示哪一个角,右边的图形中以A为顶点的角有六个,写成∠A后就会分不清表示的是哪一个角.因此用一个大写字母表示角的时候,一定要在不会发生混淆的情况下使用.4.用一个希腊字母表示角:方法是,在角的内部靠近角的顶点处画一弧线,写上一个希腊字母,如α,β,γ等,记作∠α,读作角α.如图1-20.5.用一个数字表示角,方法是,在角的内部靠近角的顶点处画一弧线,写上一个数字如1,2,3等,记作∠1,读作角1.如图1-20,在一个顶点的角较多的情况下,也可以这样表示,如图1-21.6.练习:(1)如图1-22,将下面图形中的角分别用两种方法表示.(2)写出图中大于直角且小于平角的角.(用三个大写字母表示)如图1-23.(四)、总结教师提问:1.这节课我们都学习了哪些概念?2.通过这节课你都认识了哪些角?它们都怎样定义的?学生回答后,教师再做总结.(1)这节课我们学习了角的概念,它是用两种方法定义的,一个是用静止的观点,另一个是用运动的观点.对第二定义的形式要加以重视.在此基础上,有了特殊角:平角、周角、直角的概念.(2)角的表示方法有四种:用三个大写字母表示;用一个大写字母表示;用一个希腊字母表示;用一个阿拉伯数字表示.七、练习设计1.每人在实际生活中找出三到五个角的实例,其中包括直角、平角和周角.2.如图1-24,指出每个图形中的所有直角.(直观判断)3.如图1-25(a),指出下列每个图形中的所有小于180°的角.4.(1)任意画一个角∠AOB,在它的内部取一点E,作射线OE,用大写字母写出图中所有的角;( 2)任意画一个角∠EOF,在它的内部取两个点A,B,作射线OA,OB.用希腊字母表示图中所有的角.八、板书设计九、教学后记1.本教案的教学时间为1课时45分钟.2.教学设计的主要指导思想是:(1)让学生了解第一章的总体知识结构,具体讲,就是在学习了直线、射线和线段性质的基础上,由它们组成新的几何图形,从而使学生认识:几何图形是由简单到复杂的组合过程.(2)借讲角的第二定义之机,用运动的观点研究几何图形,初步培养学生的辩证唯物主义观点.(3)加强数学的实践性,养成学生联系实际的好习惯,提高他们解决实际问题的能力.(4)通过角的不同表示法,使学生看到解决一个问题有多种方法的好处,为培养学生的发散性思维打下基础.3.本教案对课本的顺序进行了一定的更改,将直角的定义与平角、周角的一起给出,这样强调了知识的系统性,更有利于学生掌握知识的结构.4.在作业中,将有些以后常用的几何图形,如矩形、三角形、平行四边形、两个三角形的特殊位置关系等,都让学生见一见,为将来的学习打下基础.5.角的各种表示法的教学一定要重视,要反复练习,尤其是从一个顶点出发的角有两个以上时,一定让学生写对,并告诉学生在没有特殊要求的情况下,最好用数字表示角,这样既简便又清晰.6.以下思考题供参考:(基础较好的学校选用)(1)一条直线是一个平角吗?(由平角的定义知,平角的两边,即两条射线在一条直线上,且分别在顶点的两侧,而直线没有顶点,也不是两条射线,所以直线不能看成是一个平角) (2)如图1-25(b),∠AOB内部画99条射线,问图中一共有多少个角?从特殊性想起:角内没画射线——1个角角内画1条射线——(1+2)个角角内画2条射线——(1+2+3)个角……角内画99条射线——1+2+3+4+…+100=5050个角一、课题§4.2比较线段的长短二、教学目标1.使学生在理解线段概念的基础上,了解线段的长度可以用正数来表示,因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算.使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识,从而初步了解数形结合的思想.2.使学生学会线段的两种比较方法及表示法.3.通过本课的教学,进一步培养学生的动手能力、观察能力.三、教学重点和难点对线段与数之间的关系的认识,掌握线段比较的正确方法,是本节的重点,也是难点.四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法启发式教学六、教学过程(一)、复习线段的概念,引出线段的长度的度量和表示1.学生动手画出(1)直线AB.(2)射线OA.(3)线段CD.2.提出问题:能否量出直线、射线、线段的长度?(如果有学生将直线、射线也量出了长度,借此复习直线和射线的概念.)3.提出数与形的问题:线段是一个几何图形,而线段的长度可用一个正数表示.这就是数与形的结合.4.线段的两种度量方法:(1)直接用刻度尺.(2)圆规和刻度尺结合使用.(教师可让学生自己寻找这两种方法) 5.教师再讲表示法:线段AB=7cm.二、通过实例,引导学生发现线段大小的比较方法教师设计以下过程由学生完成.1.怎样比较两个学生的身高?提出为什么要站在一起,脚底要在一个平面上?2.怎样比较两座大山的高低?只要量出它们的高度.由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法:重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐,看另一个端点的位置.教师为学生演示,步骤有三:(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合.(2)线段AB沿着线段CD的方向落下.(3)若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记AB=CD.若端点B落在D上,则得到线段AB小于线段CD,可以记作AB<CD.若端点B落在D外,则得到线段AB大于线段CD,可以记作AB>CD.如图1-6.教师讲授此部分时,应用几个木条表示线段AB和线段CD,这样可以更加直观和形象.也可以用圆规截取线段的方法进行.数量比较法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.可以用推理的写法,培养学生的推理能力.写法如下:因为量得AB=××cm,CD=××cm,所以 AB=CD(或AB<CD或AB>CD).总结:现在我们学会了比较线段的大小,还会比较什么?学生可以回答出,可以比较数的大小,进而再问:数的大小如何比较?(数轴)再问:比较线段的大小与比较数的大小有什么联系?引导学生得到:比较线段的大小就是比较数的大小.三、应用实例,变式练习:1.如图1-7,量出以下图形中各条线段的长度,比较它们的大小.并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系.可以得出什么结论?2.如图1-8,根据图形填空.AD=AB+______+______,AC=______+______,CD=AD-______.3.如图1-9,已知线段AB,量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点.4.如图1-10,根据图形填空,(1)AB=______+______+______.(2)AB-a=______+______.(四)、小结1.教师提问:怎样表示线段的长度?怎样比较线段的大小?通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解?2.根据学生回答的情况,教师重点总结数与形的结合以及比较线段大小的两种方法.七、练习设计p.18,1.2题.p21,2.3.4题.九、教学后记1.本课的教学时间为1课时45分钟.2.本课时设计的主导思想是:将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识.为将来的学习打下基础,这节课是一堂起始课,它为学生的思维开拓了一个新的天地.在传统的教学安排中,这节课的地位没有提到一定的高度,只是交给学生比较线段的方法,没有从数形结合的高度去认识.实际上这节课大有可讲,可以挖掘出较深的内容.在教知识的同时,交给学生一种很重要的数学思想.这一点不容忽视,在日常的教学中要时时注意.3.学生在小学时只会用圆规画圆,不会用圆规去度量线段的大小以及截取线段,通过这节课,学生对圆规的用法有一个新的认识.4.在课堂练习中安排了度量一些三角形的边的长度,目的是想通过度量使学生对“两点之间线段最短”这一结论有一个感性的认识,并为下面的教学做一个铺垫.5.为避免本节课的枯燥,可以用提问的形式,出现悬念.如:开始的提问“线段是几何图形,它与数字有什么联系?”“在我们学过的知识和生活中,什么东西可以比较大小?”等.这样就会调动学生的学习的积极性,提高他们的学习兴趣,积极思维,使课堂的气氛更加活跃.6.如果感觉课堂密度小,还可以增加一些培养动手能力的题.如:(1)量一量老师的大三角板中的等腰三角形各边的长,然后再量一量自己手中同样的小三角板各边的长,算一算相等的角所对的边长度的比值,是否相等.(为相似三角形的内容做一些铺垫)(2)量一量课桌四条边的长,再量一量课本四条边的长,算一算长边与长边的比、短边与短边的比.(得到角相等的图形,边不一定成比例)(3)在同一时间下,两棵高矮不同的大树的影子的长度自己量出,然后比较大小,想一想这两棵树哪一棵高?(对相似三角形的边角关系有一定的感性认识)以上的三个题对学有余力的同学是很好的认识数学世界的实例.使本节课的内容更加生动丰富,课堂气氛更加活跃.一、课题§4.2比较线段的长短二、教学目标1.使学生在理解线段概念的基础上,了解线段的长度可以用正数来表示,因而线段可以度量、比较大小以及进行一些运算.使学生对几何图形与数之间的联系有一定的认识,从而初步了解数形结合的思想.2.使学生学会线段的两种比较方法及表示法.3.通过本课的教学,进一步培养学生的动手能力、观察能力.三、教学重点和难点对线段与数之间的关系的认识,掌握线段比较的正确方法,是本节的重点,也是难点.四、教学手段现代课堂教学手段五、教学方法启发式教学六、教学过程(一)、复习线段的概念,引出线段的长度的度量和表示1.学生动手画出(1)直线AB.(2)射线OA.(3)线段CD.2.提出问题:能否量出直线、射线、线段的长度?(如果有学生将直线、射线也量出了长度,借此复习直线和射线的概念.)3.提出数与形的问题:线段是一个几何图形,而线段的长度可用一个正数表示.这就是数与形的结合.4.线段的两种度量方法:(1)直接用刻度尺.(2)圆规和刻度尺结合使用.(教师可让学生自己寻找这两种方法) 5.教师再讲表示法:线段AB=7cm.二、通过实例,引导学生发现线段大小的比较方法教师设计以下过程由学生完成.1.怎样比较两个学生的身高?提出为什么要站在一起,脚底要在一个平面上?2.怎样比较两座大山的高低?只要量出它们的高度.由此引导学生发现线段大小比较的两种比较方法:重叠比较法将两条线段的各一个端点对齐,看另一个端点的位置.教师为学生演示,步骤有三:(1)将线段AB的端点A与线段CD的端点C重合.(2)线段AB沿着线段CD的方向落下.(3)若端点B与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记AB=CD.若端点B落在D上,则得到线段AB小于线段CD,可以记作AB<CD.若端点B落在D外,则得到线段AB大于线段CD,可以记作AB>CD.如图1-6.教师讲授此部分时,应用几个木条表示线段AB和线段CD,这样可以更加直观和形象.也可以用圆规截取线段的方法进行.数量比较法用刻度尺分别量出线段AB和线段CD的长度,将长度进行比较.可以用推理的写法,培养学生的推理能力.写法如下:因为量得AB=××cm,CD=××cm,所以 AB=CD(或AB<CD或AB>CD).总结:现在我们学会了比较线段的大小,还会比较什么?学生可以回答出,可以比较数的大小,进而再问:数的大小如何比较?(数轴)再问:比较线段的大小与比较数的大小有什么联系?引导学生得到:比较线段的大小就是比较数的大小.三、应用实例,变式练习:1.如图1-7,量出以下图形中各条线段的长度,比较它们的大小.并比较一个三角形中任意两边的和与第三边的关系.可以得出什么结论?2.如图1-8,根据图形填空.AD=AB+______+______,AC=______+______,CD=AD-______.3.如图1-9,已知线段AB,量出它的长度并找出它的中点、三等分点、四等分点.4.如图1-10,根据图形填空,(1)AB=______+______+______.(2)AB-a=______+______.(四)、小结1.教师提问:怎样表示线段的长度?怎样比较线段的大小?通过本节课你对图形与数之间的关系有什么了解?2.根据学生回答的情况,教师重点总结数与形的结合以及比较线段大小的两种方法.七、练习设计p.18,1.2题.p21,2.3.4题.九、教学后记1.本课的教学时间为1课时45分钟.2.本课时设计的主导思想是:将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识.为将来的学习打下基础,这节课是一堂起始课,它为学生的思维开拓了一个新的天地.在传统的教学安排中,这节课的地位没有提到一定的高度,只是交给学生比较线段的方法,没有从数形结合的高度去认识.实际上这节课大有可讲,可以挖掘出较深的内容.在教知识的同时,交给学生一种很重要的数学思想.这一点不容忽视,在日常的教学中要时时注意.3.学生在小学时只会用圆规画圆,不会用圆规去度量线段的大小以及截取线段,通过这节课,学生对圆规的用法有一个新的认识.4.在课堂练习中安排了度量一些三角形的边的长度,目的是想通过度量使学生对“两点之间线段最短”这一结论有一个感性的认识,并为下面的教学做一个铺垫.5.为避免本节课的枯燥,可以用提问的形式,出现悬念.如:开始的提问“线段是几何图形,它与数字有什么联系?”“在我们学过的知识和生活中,什么东西可以比较大小?”等.这样就会调动学生的学习的积极性,提高他们的学习兴趣,积极思维,使课堂的气氛更加活跃.6.如果感觉课堂密度小,还可以增加一些培养动手能力的题.如:(1)量一量老师的大三角板中的等腰三角形各边的长,然后再量一量自己手中同样的小三角板各边的长,算一算相等的角所对的边长度的比值,是否相等.(为相似三角形的内容做一些铺垫)(2)量一量课桌四条边的长,再量一量课本四条边的长,算一算长边与长边的比、短边与短边的比.(得到角相等的图形,边不一定成比例)(3)在同一时间下,两棵高矮不同的大树的影子的长度自己量出,然后比较大小,想一想这两棵树哪一棵高?(对相似三角形的边角关系有一定的感性认识)以上的三个题对学有余力的同学是很好的认识数学世界的实例.使本节课的内容更加生动丰富,课堂气氛更加活跃.。
北师大版初中七年级数学上册第四章复习要点及练习
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第四章基本平面图形小结与复习【教学目标】进一步了解线段与角的度量、表示、比较,并能用数学符号表示角、线段。
【教学重难点】重点:线段、角的有关概念、性质、图形表示难点:刚开始教学几何知识,对几何知识的概念不理解,对几何图形的识别不熟悉,对几何语言的运用不习惯【教学方法】小组合作教学【教学过程】模块一知识回顾一、线段、射线、直线2、直线的基本性质:经过两点有且只有一条直线。
3、线段(1)线段的性质:两点之间的所有连线中,线段最短。
(2)两点之间的距离:两点之间线段的长度。
(3)线段长短的比较方法:叠合法和度量法(4)线段的中点线段的中点是指在上且把线段分成两条线段的点。
线段的中点只有个。
1)文字语言:点M把线段AB分成_____的两条线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。
2)用几何语言表示:∵点M是线段AB的中点∴ AM=BM=12AB (或AB=2AM=2BM)例如:如图所示,点M、N分别是线段AB、BC的中点①若AB=4cm,BC=3cm,则MN= 。
②若AB=4cm,NC=2cm,则AC= 。
③若AB=4cm,BN=1cm,则AN= 。
④若MN=6cm,则AB= 。
二、角1、角的概念(1)角的定义:角是由两条______________的射线所组成的图形。
两条射线的________是这个角的顶点。
(2)角的(动态)定义:角也可以由一条射线绕着它的________旋转而成的图形。
(3)一条射线绕着它的_________旋转,当终边和始边成一条_________时,所成的角叫做_________;终边继续旋转,当它又和始边_________时,所成的角叫做_________2、角的表示方法:角用符号:“___”表示,读作“角”,通常的表示方法有:(1)用三个大写字母表示,其中表示顶点的字母必须写在__________,在不引起混淆的情况下,也可以只用__________表示角。
如图4-3-1的角可以表示为______________(2)用一个希腊字母表示角方法(如α、β、γ),这种方法表示角式要在靠近顶点处加上弧线,并标注___________如图4-3-2中的角分别可表示为_______、______、_____等。
北师大版七年级上册数学期末复习——尺规作图
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期末复习——尺规作图一、用尺规作角1、已知∠α,请你用直尺和圆规画一个∠BAC,使∠BAC=∠α.(不写做法,保留作图痕迹)2、如图,已知∠α和∠β,求作∠α+∠β.3、如图,已知∠1,∠2,求作∠ABC,使∠ABC=∠1−∠2.(不写做法,保留作图痕迹)4、如图,以点E为顶点,EB为一边,作∠FEB=∠A,EF交CD于点F.(不写做法,保留作图痕迹)5、如图,已知△ABC,AC>AB,∠C=45∘.请用尺规作图法,在AC边上求作一点P,使∠PBC= 45∘.(保留作图痕迹,不写作法)6、如图,有一块三角形木板ABC,D是AB边上一点,现要求过点D裁出一小块的三角形木板ADE,使DE//BC,请在图中作出线段DE.(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法)二、作三角形的高1、如图,已知钝角△ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.2、请在以下三个三角形中依次作出AB、AC、BC边上的高CD、BD、AD.三、用尺规作三角形1、如图,已知线段a,b,c,求作△ABC,使AB=c,BC=a,AC=b.(不写作法,保留作图痕迹.)2、已知∠α,∠β和线段a,用尺规作图作△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=a.3、尺规作图,已知线段a、线段c和∠α,用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠α.(要求画出图形,并保留作图痕迹,不必写作法)四、用尺规作垂直平分线1、利用尺规,作线段AB的垂直平分线.2、如图,已知△ABC.请用尺规作图法作出AC边的垂直平分线,交AB于D点(保留作图痕迹,不要求写作法)3、尺规作图:如图,已知直线l及两点A,B.(不写作法,保留作图痕迹)(1)在直线l上求一点P,使得到PA=PB;(2)在直线l上求一点Q,使得到A,B两点距离之和最短;五、用尺规作角平分线1、如图,尺规作图:作∠AOB的平分线OC;2、在△ABC中,请你按下列要求画图(不写作法,保留作图痕迹).①用尺规作图作∠BAC的平分线AD交边BC于D点;②作线段BC的垂直平分线EF,交AC于E点,交BC于F点.3、在Rt△ABC中,根据要求作图(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法):①作∠A的平分线AD交BC于点D;②作线段AD的垂直平分线交AB于点E,交AC于点F,垂足为H;③连接ED;4、如图,在直线CD上求作一点P,使点P到射线OA,OB的距离相等.(不写作法,保留作图痕迹)。
北师大版七年级数学上册《基本平面图形》知识点归纳
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北师大版七年级数学上册《基本平面图形》知识点归纳1.线段、射线、直线1)线段(2)概念:直线上两个点和它们之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点;有长度,有方向性;(2)表示法:一条线段可以用它的两个端点的大写字母来表示,以A, B为端点的线段,可以记作“线段AB〃或“线段BA〃;用一个小写字母表示,如“线段3〃. (3)线段基本性质:两点之间,线段最短.(4)两点间的距离:两点之间线段的长度(5)线段大小的比较方法:叠合法、度量法2)射线①概念:直线上的一点和它一旁的部分叫做射线,这点叫做射线的端点;可以向一端无限延伸,有方向性;② 表示法:一个射线可以用它的端点和射线上的另一点来表示,点0 是端点,点A是射线上异于端点的另一点,记作“射线0A〃;3)直线(2)概念:直线是直的,没有端点,可以向两边无限延伸.(2)表示法:一条直线可以用一个小写字母表示,如“直线屮;也可以用在直线上的两个点来表示,女旷直线AB〃. (3)性质:经过一点可以画无数条直线;经过两点有且只有一条直线(4)点与直线关系:点在直线上, 或者说直线经过这个点;点在直线外,或者说直线不经过这个点;(5)直线与直线关系:平行,相交,垂直;2.角1)角的定义:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两条射线是角的两条边.2)从运动的观点看,角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.3)平角和周角:一条射线绕它的端点旋转,当终边和始边成一条直线时,所成的角叫做平角,终边继续旋转,当它又和始边重合时,所成的角叫做周角.4)角的表示方法:(1)用三个大写字母表示,记作0AOB或0BOA其中0是角的顶点,写在中间;A, B分别是角的两条边上一点,写在两边,可以交换位置.(2)用大写的英文字母表示,记作E0,用这种方法表示角的前提是以这个点做顶点的角只有一个,否则容易引起歧义.(3)用数字或小写希腊字母表示,在靠近顶点处加上弧线注上阿拉伯数字或小写希腊字母;5)角的度量:量角器:对中(顶点对中心),重合(角的一边与量角器上零刻度重合),读数(读出角的另一边所在线的度数)角的单位换算:度分秒是常用的角的度量单位,把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°,把一度的角60等分, 每一份叫做1分的角,记作T ;把1分的角60等分,每一份叫做2 秒的角,叫做1" ; 1周角二2平角二4直角;1。
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(2)如图 AB=6cm,点C是AB的中点, 点D是CB的中点,则AD=_4_.5__cm
(3)如图,下列说法 ,不能判断 点C是线段AB的中点的是(C )
A、AC=CB
B、AB=2AC
C、AC+CB=AB
D、CB=
1 2
AB
回顾要点: 1.线段的基本性质:两点之间线段最短。
2.两点之间的距离:两点之间线段的长度。
__两__点__之__间__线__段__最__短_______________
l 3、线段的中点
A
M
B
如图:点M把线段AB分成相等的两条 线段AM与BM,点M叫做线段AB的
中点。这时AM=BM= 1 AB或AB=
2AM=2BM
2
A
M
B
?你如何确定一条线段的中点
4、线段的比较大小: 想一想:如何比较两条线段的大小
第四章 平面图形及其位置关系
一、线段、射线、直线的认识
竖琴中紧绷的琴弦,马路上人 行横道都可以近似的看做线段。
★ 线段有两个端点
由手电筒射出的光,流星划过天空留下的痕迹,导弹发射 后留下的白烟,我们可以把它看作一条一端无限延伸的线。
将线段向一个方向无限延长形成了射线
★ 射线有一个端点
笔直的铁轨向两个方向无限延长
AB﹥CD
叠合法
AB=CD
AB﹤CD
度量法
5、线段的和差及画法
例: 用圆规画一条线段等于 已知线段
.a .
第一步:先用直尺画一条射线AB 第二步:用圆规量出已知线段的长度
第三步:在射线AB上A以为圆心,截
取AC=a 结论:线段AC就是所求的线段
试一试
(1)如图,AD=AB—_B_D__=AC+ _C_D___
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
= ( ∠ AOD ) - ( ∠ COD)
∠ BOC=(∠ BOD) - (∠ COD )
= (∠ AOC ) -( ∠ AOB )
D
C
B O
A
如图∠ AOB= ∠ COD=900, ∠ AOD=1460,
∠ BOC= 340 ;
B
思考:
C 21
当∠BOA= 2∠1时, O
A
∠1、∠3是什么关系?
O
B
(1)
A (2)
BB
C
(3)
2、角的表示方法:
1.用三个大写字母及符号“∠”来表示.
2.用一个数字及符号“∠”来表示
A
3.用一个希腊字母及符号“∠” 来表示.
4.用顶点字母及符号“∠”来表示.
α
1
B∠ABC
∠1 或∠α
C 或∠B
试一试:
用适当方法分别表示下图中的每个角
B
B
C
A⑴C
∠BAC 或 ∠A
给出你的选择:
下面的式子中,能表示“OC是 ∠ AOB的平分线”的等式是( D )
A、2 ∠ AOC= ∠ BOC
B、∠ AOC= ∠ AOB C、∠ AOB=2 ∠ BOC
D、∠ AOC= ∠ BOC
E
冲
D
击
1
C
2
B
A
图中∠1= ∠2, 试判断∠BAD和 ∠EAC的大小, 并说明理由.
填一填:
(1) 长方形的棱 线段 , 其特点是 有两个端点 。 (2) 手电筒射出的的光线是 射线 ,其特点是 只有一个端点。 (3) 笔直的,并向两个方向无限延伸的铁轨可以看成 直线 。
其特点是 没有端点 。 (4) 如一图,过A条点直可线以。画 无数 条直线,过A、B两点只可以画
A●
●
●
A
B
三、 线段的性质及有关概念
3、读数—读出角∠的A另B一C边>所∠对D的E度F 数
700 B
D
300
C
E
F
二. 叠合法 1. 将两个角的顶点及一边重合
2. 两个角的另一边落在重合一边的同侧
3.由两个角的另一边的位置确定两个角
的大小 E
A
C
DO
B
∠ECD>∠AOB
A
E
C
D
O
B
∠ECD<∠AOB
E
A
C
DO
B
∠ECD=∠AOB
三. 角的和差
2、按图填空:
(1)∠ABC= ∠ABD+∠DBC
(2)∠ADB= ∠ADC- ∠BDC
3、BD是∠ABC的平分线,那么
(1)∠ABD= ∠DBC
D
(2)∠ABC= 2∠DBC
A
C B
已知: ∠ AOB=760,OC为∠ AOB的角平分线,
那么∠ AOC= 380 , ∠ AOC= ∠ AOB, ∠ AOB= 2 ∠ COB
●
●
O
A
(3) 直线:
♣ 用两个大写字母(既直线上任意两 点)表示。如:直线AB或直线BA
♣ 用一个小写字母表示。如:直线 a
a
●
●
A
B
l 想一想
线段、射线、直线的联系和区别?
联系:都是直的,线段向一个方向延长可以得
到射线, 线段向两个方向延长可以得到 直线。由此可知, 射线、线段都是直线 的一部分。线段是射线的一部分。
3.线段的两种比较方法:叠合法和度量法。 4.线段的中点的概念及表示方法。
四、角 的 度 量 和 表 示
A.
B. .
Back
1、角的概念: 有公共端点的两条射线组
成的图形.
两条射线的公共端点是这个 角的顶点.
两条射线是这个角的两条边.
1、说出下列各图中角 的顶点和角的两边.
A
C
A
区别:直线可以向两个方向无限延伸,射线可
以向一个方向延伸,线段本身不能延伸。 直线没有端点,射线有一个端点,线段 有两个端点。
想一想
(1) 过一点 A 可以画几条直线? (2) 过两点A、B可以画几条直线? (3) 如果你想将一根细木条固定在墙上,
至少需要几个钉子?
A●
●
●
A
B
经过两点有且只有一条直线
学以致用
例:计算
1度=60分
(1) 1.45°等于多少分?等于 多少秒?
1分=60秒
1秒=
1 60
分
(少2)度2?400″等于多少分?等于多1秒=
1 3600
度
(3) 3.58°+ 7°24′30″
问题:(1)在放大镜下,一个 角的度数变大了吗?(2)角的 两边的长短与角的大小有关吗?
如图
∠ AOC = ( ∠ AOB) + ( ∠ BOC )
A⑵D
∠BAC , ∠CAD ,∠BAD
你选择从哪一面上山呢?
成功永远属于肯攀高峰的人
A B
D C
∠ABC>∠DCB
1周角=3600 1平角=1800
钝角:1800> α>900 1直角=900 锐角:900>α>00
周角>平角>钝角>直角>锐角
一. 用量角器测量角的度数方法 :
1、对“中”—角的顶点对量角器的中心 2、重合—角的一边与量角器的零线重合
你会选吗
如图从A村到B村,有三条路径可选择你 愿意选第几条路径?说出你的理由。
A
B
1、线段公理:两点之间的所有 连线中,线段最短。即两点之
间线段最短
2、两点间的距离:连接两点的 线段的长度,叫这两点间的距 离。
练一练
(1)判断:两点之间的距离是指两点之 间的线段 的 ( 长度 )
( 2 ) 如 图 : 这 是 A、B 两 地 之 间 的 公 路 , 在公路工程改造计划时,为使A、B两地行 程最短,应如何设计线路?在图中画出。 你的理由是
⌒
1
3
2
∠2= ∠1+∠3
∠1= ∠2-∠3
∠3= ∠2- ∠1
四、 角 的 平 分 线
一条射线把一个角分成两个相等的角, 则这条射线叫这个角的角平分线。
∵∠1=∠3 (或∠AOB= 2∠1 ,
符 ∠AOB= 2∠3)
号 语
∴射线OC平分∠AOB
B
言 ∵射线OC平分∠AOB
C
∴∠1=∠3
21
O
A
将线段向两个方向无限延长形成了直线
★ 直线没有端点
二、线段、射线、直线的表示
(1)线段:
◆ 用两个大写字母(既线段的两端点) 表示 。 如:线段AB或BA
◆用一个小写字母表示。
如:线段 a
a
●
●
A
B
(2) 射线:
★ 用两个大写字母(既端点和射线另 外一点,端点必须写在前面)表示。 如:射线 OA ,但不能记为射 AO.