第三章 正交试验设计(5)-水平数不
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水平不等的正交试验设计及质量功能展开5
2、比较分析。就是对企业的产品或服务 进行满意度评价，也就是对认知质量 和感知质量的效果进行比较得出是否 满意的判断。
让顾客对某项顾客需求的实际感知 效果的大小依次从“5”、“4”、“3”、 “2”、“1”中选择评价值。
一般认为，5表示非常满意；4表示 满意；3表示无所谓满意不满意；2表 示不满意；1表示非常不满意。
三、确定关键质量需求表（II）
1、重要度。也就是此项需求在顾客心目 中的重要程度。
可以请顾客对某项需求依照满意程度 （或关注程度）的大小从“5”、“4”、 “3”、“2”、“1”中选择一个数为评 价值。
一般情况下，5表示影响大（非常关 注）；4表示有影响（关注）；3表示 一般（无所谓）；2表示没有影响（不 关注）；1表示完全没有影响（很不关 注）。
为此，可对此项需求提出改进目标 为“5”（至少为“4”），只有这样才 能确保顾客期望的实现。
② 水平提高率。
水平提高率
改进目标 本公司满意度评价
例：改进目标设定为“5”，而确定的此项 顾客需求的满意度评价为“3”，则其水 有3项内容：改进目标、 水平提高率、商品特性点。
① 改进目标。 根据重要度（认知质量）和比较分
析（感知质量）的评价结果，结合项 目目标，可以制定出改进目标。
例：某项顾客需求的重要性评价为 “4”，比较分析结果为“3”。
这说明顾客的期望是“4”，认为此 项需求对满意度有影响，而比较结果 为“3”，说明感知质量只是一般，无 所谓满意不满意。
实验优化设计考试答案
第一题考察温度对烧碱产品得率的影响，选了四种不同温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验（三数据见下表）。
希望在显着性水平为。
1.SSE的公式2.SSA的公式3.将表格粘贴进Excel，然后进行数据分析，勾选标于第一行，显示在下面P=，远小于，所以是显着的“方差分析”“响应C1C2C3C4”“选单因素未重叠”4.打开Minitab，复制表格，“统计”点击“比较”勾选第一个，确定结果:工作表3单因子方差分析:60度,65度,70度,75度来源自由度SSMSFP因子误差合计S==%R-Sq（调整）=%平均值（基于合并标准差）的单组95%置信区间水平N平均值标准差------+---------+---------+---------+---60度度度度合并标准差=Tukey95%同时置信区间所有配对比较单组置信水平=%60度减自:下限中心上限------+---------+---------+---------+---65度度度度减自:下限中心上限------+---------+---------+---------+---70度度度减自:下限中心上限------+---------+---------+---------+---75度获得结果，区间相交包含的不明显，反之明显第二题为研究线路板焊点拉拔力与烘烤温度、烘烤时间和焊剂量之间关系。
从生产过程中收集20批数据，见下表:1.将表格粘贴进Minitab，然后“统计”“回归”“回归”“响应，变量”“图形，四合一”2.P小于，显着4.残差分析第三题钢片在镀锌前需要用酸洗方法除锈，为提高除锈效率，缩短酸洗时间，需要寻找好的工艺参数。
现在试验中考察如下因子与水平：1.在Minitab中建立，“统计”“DOE”“田口”“建立田口”“粘贴Y值”2.“田口”“自定义田口”“因子（ABC）”“田口”“田口分析”“响应值y”“图形分析（取消信嗓比）”“选项（望小）”，之后进行分析，复制答案田口设计田口正交表设计L9(3**4)因子:4试验次数:9列L9(3**4)阵列1234田口分析:y与A,B,C均值响应表水平ABC排秩2313.“统计”“方差分析”“一般线性模型”“响应（y）”“模型（ABC）”“确定”均值主效应图一般线性模型:y与A,B,C因子类型水平数值A固定31,2,3B固定31,2,3C固定31,2,3y的方差分析，在检验中使用调整的SS来源自由度SeqSSAdjSSAdjMSFP误差合计S==%R-Sq（调整）=%3.时间单位越小越好，效率越高，因此选择（A3B1C3）之后在Excel中进行函数计算（AVERAGE），计算y值，得到如下结果然后在下面分别对应A3B1C3减去的值，如下用函数（SUM）计算平均酸洗时间进行点估计就是第四题玉米淀粉改性试验，需考察两个指标：取代度、酯化率，两指标均为望大特征，试验因素和水平如下：1.将表格粘贴到Excel，然后选择性粘贴后两项，转制成竖起来的，再同第三题建立Minitab数据表格，然后粘贴进取代度，酯化率2.同第三题，进行自定义田口设计，因子为（ABC），再同第三题分析田口，响应（取代度，酯化率）（两个分开，一次只能进行一个），然后分别复制粘贴结果到Excel文件下面再进行分析，因为其中重要程度：酯化率＞取代度，所以如图3.（第二问）回到Excel，建立公式（F4相对引用）（F4按两下）第一个是成型的公式最后结果3.按照权重对上面得到的值进行计算，公式如下整体答案在数值设置单元格格式里面，把最后一项数值改为小数点之后两位将合成好的数据设为Y值，粘贴到Minitab里面再一次进行田口分析，同上面一样，但是响应值改为Y值，结果如图然后回到Excel，进行分析如图第五题某钢厂生产一种合金，为降低合金的硬度需要进行退火处理，希望通过实验寻找合理的退火工艺参数，以降低硬度。
第三章-正交试验设计(5)-水平数不等的正交试验设计说明
22 212
5
31 212
6
32 121
7
41 221
8
42 112
K1 41 48 64 57 59 K2 24 63 47 54 52 K3 19 K4 27 k1 5.1 3.0 4.0 k2 3.0 3.9 2.9 k3 2.4 k4 3.4 R 2.7 0.9 1.1 R’ 3.4 2.6 3.1
ABCD
123 4 5 678
2．方差分析
L18（2×3 7），是一张不完全正交表，所以
ST S1 S2 S8 ,在进行方差分析时，S e 用ST减去各
因子的平方和得到，fe也用fT减去各因子的自由度得到， 所以空白列一般就不作计算。
表头设计 试验号 列号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A
压力（公斤）
B
C
温度（℃ ） 时间（分 ）
1
8
95
9
2
10
90
12
3
11
4
12
该试验是由刚起步的小厂组织，无专门测胶压板性
能的仪器，找了四位有经验的专家来评测打分。
选用L8(4×24)，这是一个完全正交表
试验方案及结果表
因素 A B C
水平
1 2345
1
11 111
2Hale Waihona Puke 12 222321 121
4
T1
T2
T3 S
L18(2×37)的平方和计算表
E
A
B
C
D
12 3
4
5
67
11 1
1
1
第三章 正交试验设计
因素水平表
第三步选择正交表 可选择正交表L9（34）安排正交试验，将
A、B、C三个因素安排在前3列，见下表。
正交表L9（34）
第四步安排试验及试验结果
第五步试验结果分析
直观分析 极差分析 方差分析
直观分析
直观分析就是找正交表中安排的9次试验中 好的试验条件。本例试验目的是降低启动 压力，所以压力越小越好，即第3号试验的 试验条件在9次试验中是最好的。试验条件 是A1B3C3，压缩量为6%，粗糙度为0.8， 内径大小28。
二战后实验设计法在工业中得到推广和应用； 日本学者田口玄一首先将实验设计成功得应用于
新产品的开发。对于一些复杂的过程和产品，利 用实验设计法合理的选择适当的参数，可以大大 改善产品功能目标值的稳定性，即所谓稳健性设 计； 20世纪70年代初期，我国着名数学家华罗庚带 头在我国推广实验设计法。
三、实验设计法
设计质量管理——试验设计
质量管理中，经常会遇到多因素、有误差、 周期长之类试验，希望解决以下问题：
1. 对质量指标的影响，哪些因素较重要？ 2. 每个因素取什么水平为好？ 3. 各个因素按什么水平搭配较好？ 试验设计是处理这类试验问题的一种简便易
行、行之有效的方法。
产品开发的三个阶段
顾客 要求
系统设计 容差设计
第二节单指标正交试验设计
正交表 正交试验设计
一、正交表
正交表为试验设计表的一类，具有较强的 代表性。
正交表的符号表示为：L a(b c) 其中：L----正交试验表的代号 a----正交表的试验次数 b----正交试验的水平数 c---- 正交试验的因素数 N=bc--- 全因子试验次数（即全部的因素和
参数设计
稳定性好 的产品
正交试验设计水平数不等的正交试验设计(课堂PPT)
1（20） 1 （20） 2（25） 2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35）
4.97 4.72 4.63 5.22 2.49 2.36
2.32 2.61 0.29 0.185
1（81.5） 2 (84.1)
1（81.5） 2 (84.1)
1 （81.5） 2 (84.1)
1
2
32
23 1
3
2
31
23 2
1
3
12
23 3
2
1
23
2154.8 1340.2 1392.6 1632.8 1426.7
2149.3 1377.0 1468.7 1359.2 1478.2
1586.9 1442.8 1312.0 1399.2
1.7
5904.1 499.0 9997.3 536.1
列号 试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
L8(4×24)正交表
1234567
1
1 11 1
1
2 22 2
2
1 12 2
2
2 21 1
3
1 21 2
3
2 12 1
4
1 22 14Fra bibliotek2 11 2
验证显，然它，仍新然的具表有L正8(4交×表24均)仍衡然分是散一、张整正齐交可表比，的不性难 质。
（1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中， 各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
T1
T2
T3 S
L18(2×37)的平方和计算表
E
A
B
C
D
12 3
4
5
67
11 1
正交试验设计
1．每一列中，不同数字出现的次数相等 2．任意两列中，每种有序数对出现的次数相等 这种性质即正交性，它决定了每个因子各水平的重 复次数相等,并且各个处理组合出现的次数也相等。因 而使得正交设计具有均衡分散、整齐可比的特性。 (2)可伸可缩，效应明确
例如： L9(34)
三、选用正交表设计试验方案的步骤
15.28 17.26 10.76 16.62 15.20 20.56 13.98 22.94 11.68 40.32 35.25 29.46
3（7305） 1
6
7 8
3
4（酸） 4
2
1 2
1
2 1
2
2 1
1
1 2
10.11
7.70
9.14
33.64 31.90 24.84 23.02 22.46 10.98
水平数：各列的数字数即因子的水平数 L=(Lattice Design=格子设计）表示一张正交表
横行数
（处理组合数）
列数
例：L9(34) L8(4×24)
LK (m j )
水平数
正交表决定从全部处理组合中选哪几个处理组合参加试验。
2、正交表的性质 (1)均衡分散、综合可比 正交表中:
例：L9(34) L8(4×24)
例： L8(4×24)
列号 横行 1 2 3 4 5 6 7 8 1 A 1 1 2 2 3 3 4 4 2 B 1 2 1 2 1 2 1 2 3 C 1 2 1 2 2 1 2 1 4 D 1 2 2 1 1 2 2 1 5 1 2 2 1 2 1 1 2
L9（34） 处理 组合号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 列 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 号 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 4 1 2 3 3 1 2 2 3 1
第三章 正交试验设计(5)-水平数不等的正交试验设计
L8(4×24)正交表
试验号 列号
1
2 1 1 2 2 3 3 4 4
3
4 1 2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
显然，新的表L8(4×24)仍然是一张正交表，不难 验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性 质。 （1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中， 各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
（2）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同 （对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平， 一列二水平，它们各横行的八种不同搭配(1,1) 、 (1,2) 、(2,1) 、(2,2) 、(3,1) 、(3,2) 、(4,1) 、(4,2) 各 出现一次。
用Minitab练习把L16（215）改 造成L16（8×28）
精矿品位(%)
3.47 1.50
3
4 5 6 7 8 kj1 kj2 kj3
2（25）
2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35） 4.97 4.72 4.63
1（81.5）
2 (84.1) 1 （81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2(84.1) 9.26 10.28
(3 1)
其中n指该因素平均每个水平对应的指标数
由上计算可知因素主次顺序为：
A——C——B 主 次
Page(7)浮选试验方案与结果计算表
因素 试验号 1 2
A(℃)
1（20） 1 （20）
B(-200目） C（公斤/吨） D（公斤/吨）
1（81.5） 2 (84.1) 1(4.375) 2(5) 1(2.0) 2(2.5)
试验号 列号
1
2 1 1 2 2 3 3 4 4
3
4 1 2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
显然，新的表L8(4×24)仍然是一张正交表，不难 验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性 质。 （1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列中， 各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
（2）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同 （对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平， 一列二水平，它们各横行的八种不同搭配(1,1) 、 (1,2) 、(2,1) 、(2,2) 、(3,1) 、(3,2) 、(4,1) 、(4,2) 各 出现一次。
用Minitab练习把L16（215）改 造成L16（8×28）
精矿品位(%)
3.47 1.50
3
4 5 6 7 8 kj1 kj2 kj3
2（25）
2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35） 4.97 4.72 4.63
1（81.5）
2 (84.1) 1 （81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2(84.1) 9.26 10.28
(3 1)
其中n指该因素平均每个水平对应的指标数
由上计算可知因素主次顺序为：
A——C——B 主 次
Page(7)浮选试验方案与结果计算表
因素 试验号 1 2
A(℃)
1（20） 1 （20）
B(-200目） C（公斤/吨） D（公斤/吨）
1（81.5） 2 (84.1) 1(4.375) 2(5) 1(2.0) 2(2.5)
水平不等的正交试验设计及质量功能展开1
保温时间/小时 B
1
2
冷却介质 C
空气
水
选择正交表
本例有3个因素，有一个因素有4个水 平，另外两个因素各有两个水平，可 以在常见的正交表中选择：
L8（41×24）
安排试验方案 并记录
正交试验方案及结果统计表
因素 水平
1 2 3 4 5 6 7 8
A
B
C
硬度HRC
1（730℃） 1（1小时） 1（空气）
B 127.4 122.8
31.85 30.7
1.15
C 124.5 125.7
31.125 31.625
0.5
31.6
1
2（2小时） 2（水）
31.0
2（760℃）
1
1
31.6
2
2
2
30.5
3（790℃）
1
2
31.2
3
2
1
31.0
4（820℃）
1
2
33.0
4
2
1
30.3
2、试验结果分析
（1）直观比较。
本例正交表的8次试验中，最好的 是第8号试验，试验条件为：
A4B2C1
（2）极差分析
因素
T1 T2 T3 T4
T1
T2 T3
T4
R
极差分析表
A 62.6 62.1 62.2 63.3 31.3 31.05 31.1 31.65 0.6
B 127.4 122.8
C 124.5 125.7
（2）极差分析因素T1 NhomakorabeaT2 T3 T4
T1
T2 T3
T4
R
极差分析表
《化工技术基础实验》课件-第三章正交试验法
投曲量w/%
八、正交试验结果的方差分析法
★适宜操作条件 发酵时间取4水平:72h
初始pH值取1水平: pH=4 投曲量取2水平: 10% 发酵温度:20～50℃ ★ 进一步试验方向
发酵时间＞72h 投曲量＞10% 效果怎样? 方差分析与极差分析的比较: ①在方差分析中必须有不安排因素或交互作用的空列，作为误 差列；②在极差分析中以极差大小确定因素或交互作用的重要 性，而在方差分析中，以各因素的显著程度决定因素或交互作 用的显著程度。
1
三种方案 数据点的分布
全面搭配法 简单比较法
正交设计正法交的实数验据法点分布
正交试验法能回答的问题:
用正交表做实验,除了搭配均衡、实验次数少之 外，还可以回答以下问题: ▲ 因素的主次，即各因素对指标影响的哪个大
哪个小； ▲ 指标随因素取不同水平的变化规律； ▲ 适宜的操作条件； ▲ 进一步的实验方向。
接上表
列号 1 试验号 T
2
3
456 789
总酸度/ %
τ
pH e e e e e w
y
9
3
1
3 122 22
1
12.08
(30) (12) (5)
(5%)
10
3
2
4 121 11
2
13.13
(30) (24) (4)
(10%)
11
3
3
1 212 21
2
8.03
(30) (48) (7)
(10%)
大于所考察的因素和交互作用列；用极差法分析 实验结果时，正交表的列数要大于或等于因素和 交互作用列。 ★对试验精度要求高的，要选实验次数多的大表。
五、正交表的表头设计
水平不等的正交试验设计
试验结果分析
由计算结果可知，适宜的好条件为 A3B1C1D3，各因素对试验指标酸洗时间 的显著性顺序为D→C→A→B。
二、选择水平不等的正交表
• 对于各因素水平不等的情况，如果在常见的正交表中能 找到适宜的水平不等的正交表，则可直接选用水平不等 的正交表进行试验设计。
举例
• 某种合金在冷加工之前，应进行一次退火热处理工序来 降低硬度，以便于校直。为确保冷加工的工艺要求，现 通过试验来寻求退火工艺参数。
• 试验指标是为缩短酸洗时间。因素水平表为：
选择正交表，安排正交试验
• 本例中有三个因素各有3个水平，一个因素有2个水平。 由于在常见的正交表中无适合的正交表可安排试验，或 者试验次数太多，所以可以考虑为因素C虚拟一个水平， 将因素C也凑为三个水平，就可采用水平相等的正交表 L9（34）安排试验。试验结果见下表。
• 正交试验的指标为合金的硬度，要求硬度越小越好。
因素水平表
正交试验方案及结果统计表
试验结果分析
根据各因素各水平平 均指标的大小可知， 较优的因素水平组合 为A2B2C1，即退火 温度为760℃，保温 时间为2小时，冷却 介质为空气。各因素 从显著到不显著的顺 序为B→A→C。
质量管理学
13
质量管理学
1
水平不等的正交试验设计
一、拟水平法 二、选择不等的正交试验设计，如果在常见的正交表中 无现成的正交表可用，则可将水平数较少的因素虚拟一 些水平，以便采用水平相等的正交表安排正交试验。
举例
• 钢片在镀锌前需进行酸洗除锈处理，为提高 除锈效率、缩短酸洗时间，安排酸选试验， 寻求工艺参数。
第3章正交试验设计讲义
例如因素A的平方和: 1 2 1 2 2 ss A ( K11 K 21 K31 ) P (248.38 344.84 976.56) 477.86 45.4 3 3 同理可得: SSB=6.49，SSC=0.31 , SSe =0.83（空列）
河南工业大学
自由度的计算:
1 2 3 1 2 3 1 2 3 25. 18 21. 41 18. 99
1 2 3 2 3 1 3 1 2 22. 65 21. 45 21. 48
1 2 3 3 1 2 2 3 1 20. 74 21. 87 22. 97
6. 25 4. 97 4. 54 7. 53 5. 54 5. 50 11. 4 10. 9 8. 95
注： 平方和与F统计值的大小不可用来决定因素或交互作用的主 次顺序。
河南工业大学
5. 方差分析表
方差来源 平方和 自由度
试验设计与数据处理
shiyanshujuchulishiyongfangfa
均方
SA fA S SB B fB SA
F值
FA S A Se FB SB Se
显著性
为弥补极差分析法的不足,可以借助于假设检验的思想,利 用方差分析的方法对正交试验的结果进行分析和处理, 并确定 试验的误差以及各因素对试验指标的影响程度。 方差分析基本思想就是将试验数据的总波动(总变异)分解 为由因素引起的波动(变异)和由误差引起的波动(变异)这两部 分,然后利用假设检验的方法来判断因素作用是否显著。
A →B→C A3 B1 C1
见ExceL程序.
河南工业大学
(3) 方差分析的相关计算
修正值的计算:
m
试验设计与数据处理
DOE正交试验设计
②再根据因子的个数及交互作用个数确定具体的表 ③把因子放到表的列上去，但是要先放有交互作用
的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用 所在列，以便于今后的数据分析。 ④把放因子列中的数字改为因子的真实水平，便成 为一张试验计划表
L8（27）的交互作用表
列
号 1234567
(1) 3 2 5 4 7 6
正交试验设计
正交试验设计
一、正交试验设计的基本概念 二、无交互作用的正交试验设计 三、有交互作用的正交试验设计 四、有重复试验的正交试验设计 五、水平不等的试验设计
一、 基本概念
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因 素取两个不同状态进行比较，有210=1024、
常用的正交表有两大类
(1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q
n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等。 这类正交表可以考察因子间交互作用。 (2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足 上述的两个关系，不能用于考查交互作用。 如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等。
70 60
B1
B1
B1
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
-
• • •
•
头选 考水确 明 明
设用 察平定 确 确
3
计合 的
试试 试
适 交并验 验 验 列的 互确中 指 目 出正 作定所 标 的
2试 验
试交 用可考
设
验表
能虑
计
存的
划进
在因
计 步
行
并子
的两个因子，并利用交互作用表，标出交互作用 所在列，以便于今后的数据分析。 ④把放因子列中的数字改为因子的真实水平，便成 为一张试验计划表
L8（27）的交互作用表
列
号 1234567
(1) 3 2 5 4 7 6
正交试验设计
正交试验设计
一、正交试验设计的基本概念 二、无交互作用的正交试验设计 三、有交互作用的正交试验设计 四、有重复试验的正交试验设计 五、水平不等的试验设计
一、 基本概念
多因素试验遇到的最大困难是试验次数太 多，若十个因素对产品质量有影响，每个因 素取两个不同状态进行比较，有210=1024、
常用的正交表有两大类
(1) 一类正交表的行数n，列数p，水平数q
n=qk, k=2,3,4,…, p=(n-1)/(q-1) 如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等。 这类正交表可以考察因子间交互作用。 (2) 另一类正交表的行数，列数，水平数之间不满足 上述的两个关系，不能用于考查交互作用。 如： L12(211)， L18(37)，L36(313)等。
70 60
B1
B1
B1
B2
A1 A2
A1 A2 A1 A2
-
• • •
•
头选 考水确 明 明
设用 察平定 确 确
3
计合 的
试试 试
适 交并验 验 验 列的 互确中 指 目 出正 作定所 标 的
2试 验
试交 用可考
设
验表
能虑
计
存的
划进
在因
计 步
行
并子
(完整版)正交实验设计
正交实验设计当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。
因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。
正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
1．正交表正交表是一整套规则的设计表格，用。
L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。
一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。
根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
正交表具有以下两项性质：(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。
例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。
正交试验设计(三)
正交试验设计(三)
佚名
【期刊名称】《上海化工》
【年(卷),期】1975(000)001
【摘要】前面讲了如何用正交表安排水平数相同的多因子试验,本章将研究水平数不全同情况下的试验设计法。
研究的方法是通过实例着重叙述用正交表进行灵活应用时的操作程序,请读者特别注意每种方法与前面所学的方法在试验的设计与统计分析上的差别。
【总页数】18页(P47-64)
【正文语种】中文
【中图分类】G6
【相关文献】
1.正交试验设计最优条件选择的三种优化分析方法比较 [J], 仇丽霞;凌建春;寇林元
2.用正交试验设计方法寻找三元复合驱油体系配方的研究 [J], 牟建海
3.正交试验设计下的三元树选择权的定价公式 [J], 郭君默;李时银;江良
4.基于正交试验设计优化三疣梭子蟹SRAP-PCR反应体系 [J], 胡则辉;徐君卓;王跃斌;柴学军
5.正交试验设计中正交表的特点及正交的意义浅析 [J], 于慧春; 殷勇; 李欣; 袁云霞; 吴昊
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正交试验设计
碱耗较好的工艺是G1C2V1，含硅量的较好工艺是G1C1V2 为了找到两个指标都较好的工艺，原则分析如下： 因子C对碱耗是主要因素，取较好水平C2，对含硅量是次 要的，因此，决定C取C2.
因子V……….
因子G……… 总上，这个多指标试验的较好工艺条件是G1C2V2. 法二：综合评分法 通过硫酸亚铁镀膜模拟试验，对成膜的较好工艺条件做比 较系统的探讨。 得分表
B 15 17 18
C 835 845
方案表
举例―（单指标、等水平、有交互作用）
1、有些多因子试验，不仅各因子各自独立地对指标产生影
响，而且两因子联合起来对指标产生影响，增加了交互作用
列，试验次数增多，那正交表该如何选择？ 数码种数与因子的水平数相符
原则
因子及交互作用的自由度总和不能大于正交 表的自由度 在满足需要的条件下，尽可能减少试验次数
的相互影响情况等优点。
基本术语
（一）：指标、因子、水平
（二）：若试验包含n个因子，每个因子都
是3水平的话，就叫它3n因子试验，如 2n，2nX3m,可表示为 “水平因子数” （三）：正交表的表示方法：LN（SK）， 如L9（34），L8（4X24）.
正交设计法
1
原理
2
步骤
3
举例
1、原理―较少时间获得最优条件
2、表头设计 某实验选定四个二水平A、B、C、D及交互作用AB、AC、BC. f总=4+3=7 选L8(27) 若不经考虑，就依次排列； N=8
因子
A B C (AB) (AC) (AB) 2 3 列号 1
D
AB
AC
BC
4
5
6
7
出现混杂，对实验结果分析有难度
试验设计(陈魁)第三章
表 3.1.6
因素
1
试验号
A
2
B
3
C
铁水温度/℃
铁水温度值 减去 1350
1
1
1
1
1365
15
2
1
2
2
1395
45
3
1
3
3
1385
35
4
2
1
2
1390
40
5
2
2
3
1395
45
6
2
3
1
1380
30
7
3
1
3
1390
40
8
3
2
1
1390
40
9
3
3
2
1410
60
K1
95
95
85
K2
115
130
145
K3
140
这是正交表的优点.
下面通过具体例子来说明如何用正交表进行试验设计.
例 3.1.1 某炼铁厂为了提高铁水温度，需要通过试验选择最好的生产方案，经初步
分析，主要有 3 个因素影响铁水温度，它们是焦比、风压和底焦高度，每个因素都考虑 3 个
水平，具体情况如表 3.1.2.问对这 3 个因素的 3 个水平如何安排，才能获得最高的铁水
都是 3 水平的，要做的试验次数分别为 9,27；最多可安排的因素分别为 4,13.还有 4 水
平的正交表如 L15 45 ，5 水平的正交表如 L25 56 ，等等.详细情况见书后的附表.
正交表有下面两条重要性质：
（1）每列中不同数字表现的次数是相等的，如 L9 34 ，每列中不同的数字是 1,2,3，
正交试验设计
查表得F0.05(2,2)=19; FA F0.05(2,2), FB F0.05(2,2), FC F0.05(2,2)
因此,反应温度对产品转化率有显著影响;用碱量与反应时间对产品转化率 没有显著影响
2考虑交互作用的正交设计
具有交互作用的正交设计需要选用含交互作用
的正交表.就是在正交表的后面附有一张”两列间
ˆ2
1 3
(Y4
Y5
Y6 ) , ˆ2
1 3
(Y2
Y5
Y8 ) , ˆ2
1 3
(Y2
Y4
Y9 )
ˆ3
1 3
(Y7
Y8
Y9 )
ˆ3
1 3
(Y3
Y6
Y9 )
ˆ3
1 3
(Y3
Y5
Y7 )
其中
1 9
Y 9
我们可得到
i 1
Yi ,
Yi Yi Y
SST SSA SSB SSC SSE
其中
方差分析法:以上例为例加以说明
记第i次试验指标为Yi ,且 Yi
则我们可以写成下列模型
N(i, 2),假定没有交互作用,令
1 9
9 i 1
i
其中
Y1 1 1 1 1 Y2 1 2 2 2
YYY543
1 2 2
3 1 2
3 2 3
3 4 5
Y6 2 3 1 6
Y7 3 1 3 7 Y8 3 2 1 8
Y9 3 3 2 9
11
2 2
3 3
0 0
1 2 3 0
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是
ˆ Y ,
ˆ1
1 3
(Y1
因此,反应温度对产品转化率有显著影响;用碱量与反应时间对产品转化率 没有显著影响
2考虑交互作用的正交设计
具有交互作用的正交设计需要选用含交互作用
的正交表.就是在正交表的后面附有一张”两列间
ˆ2
1 3
(Y4
Y5
Y6 ) , ˆ2
1 3
(Y2
Y5
Y8 ) , ˆ2
1 3
(Y2
Y4
Y9 )
ˆ3
1 3
(Y7
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Y9 )
ˆ3
1 3
(Y3
Y6
Y9 )
ˆ3
1 3
(Y3
Y5
Y7 )
其中
1 9
Y 9
我们可得到
i 1
Yi ,
Yi Yi Y
SST SSA SSB SSC SSE
其中
方差分析法:以上例为例加以说明
记第i次试验指标为Yi ,且 Yi
则我们可以写成下列模型
N(i, 2),假定没有交互作用,令
1 9
9 i 1
i
其中
Y1 1 1 1 1 Y2 1 2 2 2
YYY543
1 2 2
3 1 2
3 2 3
3 4 5
Y6 2 3 1 6
Y7 3 1 3 7 Y8 3 2 1 8
Y9 3 3 2 9
11
2 2
3 3
0 0
1 2 3 0
容易证明在上述约束条件下,参数的最小二乘估计是
ˆ Y ,
ˆ1
1 3
(Y1
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e′
T
∙ 其中，因子右上角加“ Δ ”表示该因子的均方和小于 MSe，故 将有关因子的 S 并入 Se，同样将相关的自由度也并入 fe，为区 别起见，记在 e ′ 行中。 ∙ 由于 F0.95(2,13)=3.81，所以在显著性水平 0.05 上因子 A 与 C 与 是显著的。为使平均比油耗小，最好水平组合是 A1C3。
该试验是由刚起步的小厂组织，无专门测胶压板性 能的仪器，找了四位有经验的专家来评测打分。 选用L8(4×24)，这是一个完全正交表
试验方案及结果表
水平 因素 1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 K3 K4 k1 k2 k3 k4 R R’ A 1 1 1 2 2 3 3 4 4 41 24 19 27 5.1 3.0 2.4 3.4 2.7 3.4 B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 48 63 C 3 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 2 2 1 1 2 2 1 5 1 2 1 2 2 1 1 2 59 52 四块胶板得分 6 6 4 4 2 4 4 6 6 5 3 4 1 4 3 5 6 4 2 3 1 4 2 4 4 4 2 2 1 2 1 2 指标 总分 22 19 11 13 5 14 10 17
试验的安排方法有： 直接套用正交表、并列法、拟水平法、部分追加法
常用的正交表可以按其行数 n、列数 p、 水平数 q 之间的关系分为两大类： 一类正交表的行数 n、列数 p、水平数 q 之间有如下两个关系：
n = q , k = 2,3, L
k
n −1 p= q −1
它们被称为完全正交表， 譬如 L9(34) 、 8(27)， L 用这类正交表可以考察因子间的交互作用。
选用混合水平正交表L18（2×3 7），表头设计如下：
表头设计 列号Βιβλιοθήκη E 12A 3
B 4
C 5
D 6
7
8
2．方差分析
L18（2×3 7），是一张不完全正交表，所以 S T ≠ S1 + S 2 + L + S 8 ,在进行方差分析时，S e 用ST减去各 因子的平方和得到，fe也用fT减去各因子的自由度得 到，所以空白列一般就不作计算。
L18(2×3 )的平方和计算表
表头设计 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 T1 T2 T3 S E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2154.8 2149.3 1.7 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 A 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1340.2 1377.0 1586.9 5904.1 B 4 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1392.6 1468.7 1442.8 499.0 C 5 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1632.8 1359.2 1312.0 9997.3 D 6 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1426.7 1478.2 1399.2 536.1 7 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 2 2 1 2 3 8 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 试验结果 y 240.7 230.1 236.5 217.1 210.5 306.8 247.1 228.3 237.7 208.4 253.3 232.0 209.2 245.1 234.1 217.7 209.7 339.8 T=4304.1 =1048952.57 ST=19770.5
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
（1）首先从L8(27) 中随便选两列，例如1、2列，将次两 列同横行组成的8个数对，恰好4种不同搭配各出现两 次，我们把每种搭配用一个数字来表示：
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
64 57 47 54
3.0 3.9
4.0 2.9
0.9 2.6
1.1 3.1
因素水平完全一样时，因素的主次关系可以由极差R的 大小来决定。当因素水平数不等时，直接比较是不行的，因 为当因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。 因此要用系数对极差进行折算。 — 正交与均匀试验设计，方开泰 马长兴 著 科学出版社 2001
二、并列法
对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平 的正交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的 改造，得到新的混和水平的正交表。 L8(4×24)表就是由L8(27)改造而来：
试验号 列号
1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 2
3 1 1 2 2 2 2 1 1
4 1 2 1 2 1 2 1 2
(3 − 1)
其中n指该因素平均每个水平对应的指标数 由上计算可知因素主次顺序为：
A——C——B 主 次
Page(7)浮选试验方案与结果计算表
因素 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 kj1 kj2 kj3 kj4 Kj1（平均） kj2 （平均） kj3 （平均） kj4（平均） Rj R j/ 1（20） 1 （20） 2（25） 2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35） 4.97 4.72 4.63 5.22 2.49 2.36 2.32 2.61 0.29 0.185 0.25 0.355 1.24 1.761 0.85 1.207 2.32 2.57 3.06 1.82 2.87 2.02 试按照上述原则进 行折算 1（81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2 (84.1) 1 （81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2(84.1) 9.26 10.28 1(4.375) 2(5) 1(4.375) 2(5) 2(5) 1(4.375) 2 (5) 1(4.375) 12.25 7.29 1(2.0) 2(2.5) 2(2.5) 1(2.0) 1(2.0) 2(2.5) 2(2.5) 1(2.0) 11.48 8.06 3.47 1.50 2.36 2.36 1.93 2.70 1.50 3.72
A(℃)
B(-200目） C（公斤/吨） D（公斤/吨）
精矿品位(%)
（二）方差分析（Minitab运用） 例3.7 在某种化油器设计中希望寻找一种结 构，使在不同天气条件下均具有较小的比油耗。 1．试验的设计
试验中考察的因子水平如表:
因子 A：大喉管直径(φ) B：中喉管直径(φ) C：环形小喉管直径(φ) D：空气量孔直径(φ) E：天气 一水平 32 22 10 1.2 高气压 二水平 34 21 9 1.0 低气压 三水平 36 20 8 0.8
7
yi2 ∑
例 3.7 的方差分析表
来源 A B△ C △ D△ E△ e 平方和 5904.1 499.0 9997.3 536.1 1.7 2832.3 3869.1 19770.5 自由度 2 2 2 2 1 8 13 17 均方和 2952.0 249.5 4998.7 268.0 1.7 354.0 297.6 F比 9.92 — 16.79 — —
L8(4×24)正交表
试验号 列号
1
2 1 1 2 2 3 3 4 4
3
4 1 2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
显然，新的表L8(4×24)仍然是一张正交表，不难 验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。 （1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列 中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
折算系数
水平数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折算系数d 0.71 0.52 0.45 0.40 0.37 0.35 0.34 0.32 0.31
用折算后R ´的大小衡量因素的主次，R´的计算公式为：
R ' = Rd n 所以：
' RA = 2.7 × 0.45 × 8 = 3.4 ' RB = 0.9 × 0.71× 16 = 2.6 ' RC = 1.1× 0.71× 16 = 3.1
新列
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 2 3 3 4 4
规则： (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
1 2 3 4
（2）于是1、2列合起来形成一个具有4水平的新列，再 将1、2列的交互作用列第3列从正交表中去除，因为它已 不能再安排任何因素，这样就等于将1、2、3列合并成新 的一个4水平列：
表头设计 A 1 2 3 B 4 A×B 5 6 7 C 8 9 A×C 10 11 D 12 13 14 15
L 16 ( 215 ) 的列号
2．方差分析 ∙ L16（4×212）仍然是完全正交表，且仍具有平方和分解式：
S T = S 1 + S 2 + L + S 15 ，
– 可以用改造前的 L16（215）计算各列平方和。 那么按表头设计有：SA=S1+S2+S3，fA=3，SA×B=S5+S6+S7， f A×B=3，SA×C=S9+S10+S11，f A×C=3。
★ 同时具有二水平与四水平因子的数据分析 例 3.8 在聚氨酯合成橡胶的试验中， 要考察四个因子 A、B、 C、D 对抗张强度的影响，其中因子 A 取四水平，因子 B、C、D 取二水平，同时根据专业知识还需考察交互作用 A×B 与 A×C。 1．试验设计 （1） 选用正交表 由于在这一问题中考察的因子与交互作用的自 由度之和为： fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=3+1+1+1+3+3=12 – 所选正交表的行数 n≥12+1=13，因此至少应该选用 n=16 的 具有二、四水平的混合水平正交表。 – 可选用 L16 (4 × 2 ) 。