第三章 正交试验设计(5)-水平数不

★ 同时具有二水平与四水平因子的数据分析 例 3.8 在聚氨酯合成橡胶的试验中， 要考察四个因子 A、B、 C、D 对抗张强度的影响，其中因子 A 取四水平，因子 B、C、D 取二水平，同时根据专业知识还需考察交互作用 A×B 与 A×C。 1．试验设计 （1） 选用正交表 由于在这一问题中考察的因子与交互作用的自 由度之和为： fA+fB+fC+fD+fA×B+fA×C=3+1+1+1+3+3=12 – 所选正交表的行数 n≥12+1=13，因此至少应该选用 n=16 的 具有二、四水平的混合水平正交表。 – 可选用 L16 (4 × 2 ) 。
7
yi2 ∑
例 3.7 的方差分析表
来源 A B△ C △ D△ E△ e 平方和 5904.1 499.0 9997.3 536.1 1.7 2832.3 3869.1 19770.5 自由度 2 2 2 2 1 8 13 17 均方和 2952.0 249.5 4998.7 268.0 1.7 354.0 297.6 F比 9.92 — 16.79 — —
L8(4×24)正交表
试验号 列号
1
2 1 1 2 2 3 3 4 4
3
4 1 2 1 2 1 2 1 2
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
显然，新的表L8(4×24)仍然是一张正交表，不难 验证，它仍然具有正交表均衡分散、整齐可比的性质。 （1）任一列中各水平出现的次数相同（四水平列 中，各水平出现二次，二水平列各水平出现四次）。
该试验是由刚起步的小厂组织，无专门测胶压板性 能的仪器，找了四位有经验的专家来评测打分。 选用L8(4×24)，这是一个完全正交表
试验方案及结果表
水平 因素 1 2 3 4 5 6 7 8 K1 K2 K3 K4 k1 k2 k3 k4 R R’ A 1 1 1 2 2 3 3 4 4 41 24 19 27 5.1 3.0 2.4 3.4 2.7 3.4 B 2 1 2 1 2 1 2 1 2 48 63 C 3 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 2 2 1 1 2 2 1 5 1 2 1 2 2 1 1 2 59 52 四块胶板得分 6 6 4 4 2 4 4 6 6 5 3 4 1 4 3 5 6 4 2 3 1 4 2 4 4 4 2 2 1 2 1 2 指标 总分 22 19 11 13 5 14 10 17
（2）任意两列中各横行的有序数对出现的次数相同 （对于两个二水平列，显然满足；对一列四水平，一 列二水平，它们各横行的八种不同搭配(1,1) 、(1,2) 、 (2,1) 、(2,2) 、(3,1) 、(3,2) 、(4,1) 、(4,2) 各出现一次。
用Minitab练习把L16（215）改 造成L16（8×28）
试验的安排方法有： 直接套用正交表、并列法、拟水平法、部分追加法
常用的正交表可以按其行数 n、列数 p、 水平数 q 之间的关系分为两大类： 一类正交表的行数 n、列数 p、水平数 q 之间有如下两个关系：
n = q , k = 2,3, L
k
n −1 p= q −1
它们被称为完全正交表， 譬如 L9(34) 、 8(27)， L 用这类正交表可以考察因子间的交互作用。
5 1 2 1 2 2 1 2 1
6 1 2 2 1 1 2 2 1
7 1 2 2 1 2 1 1 2
1 2 3 4 5 6 7 8
（1）首先从L8(27) 中随便选两列，例如1、2列，将次两 列同横行组成的8个数对，恰好4种不同搭配各出现两 次，我们把每种搭配用一个数字来表示：
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
选用混合百度文库平正交表L18（2×3 7），表头设计如下：
表头设计 列号
E 1
2
A 3
B 4
C 5
D 6
7
8
2．方差分析
L18（2×3 7），是一张不完全正交表，所以 S T ≠ S1 + S 2 + L + S 8 ,在进行方差分析时，S e 用ST减去各 因子的平方和得到，fe也用fT减去各因子的自由度得 到，所以空白列一般就不作计算。
e′
T
∙ 其中，因子右上角加“ Δ ”表示该因子的均方和小于 MSe，故 将有关因子的 S 并入 Se，同样将相关的自由度也并入 fe，为区 别起见，记在 e ′ 行中。 ∙ 由于 F0.95(2,13)=3.81，所以在显著性水平 0.05 上因子 A 与 C 与 是显著的。为使平均比油耗小，最好水平组合是 A1C3。
另外一类正交表， 上述两个关系中 至少有一个不成立。 如 L18(3 )、L12(2 )等，一般不能考 察因子间的交互作用，但是在某些场 合也常被使用。
7 11
一、直接套用混和正交表 （一）直观分析 例3.6：为了探索缝纫机胶压板的制造工艺， 选了如下因素和水平：
水平 1 2 3 4 因素 A 压力（公斤） 8 10 11 12 B 温度（℃ ） 95 90 C 时间（分 ） 9 12
二、并列法
对于有混和水平的问题，除了直接应用混和水平 的正交表外，还可以将原来已知正交表加以适当的 改造，得到新的混和水平的正交表。 L8(4×24)表就是由L8(27)改造而来：
试验号 列号
1 1 1 1 1 2 2 2 2
2 1 1 2 2 1 1 2 2
3 1 1 2 2 2 2 1 1
4 1 2 1 2 1 2 1 2
Hubei Automotive Industries Institute
试验优化设计
主讲：刘建永
材 料 工 程 系 Department of Materials Engineering
第三章 正交试验设计
水平数不等的正交试验设计
有时由于客观条件的限制或者对因素 的重视程度不同，使各因素的水平数不 全相等，这就是多因素水平不等的试验 问题，也称混合水平多因素试验问题。
(3 − 1)
其中n指该因素平均每个水平对应的指标数 由上计算可知因素主次顺序为：
A——C——B 主 次
Page(7)浮选试验方案与结果计算表
因素 试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 kj1 kj2 kj3 kj4 Kj1（平均） kj2 （平均） kj3 （平均） kj4（平均） Rj R j/ 1（20） 1 （20） 2（25） 2 （25） 3 （30） 3 （30） 4（35） 4 （35） 4.97 4.72 4.63 5.22 2.49 2.36 2.32 2.61 0.29 0.185 0.25 0.355 1.24 1.761 0.85 1.207 2.32 2.57 3.06 1.82 2.87 2.02 试按照上述原则进 行折算 1（81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2 (84.1) 1 （81.5） 2 (84.1) 1（81.5） 2(84.1) 9.26 10.28 1(4.375) 2(5) 1(4.375) 2(5) 2(5) 1(4.375) 2 (5) 1(4.375) 12.25 7.29 1(2.0) 2(2.5) 2(2.5) 1(2.0) 1(2.0) 2(2.5) 2(2.5) 1(2.0) 11.48 8.06 3.47 1.50 2.36 2.36 1.93 2.70 1.50 3.72
12
（2）表头设计 – 置因子 A 在表的四水平列上（由 L16 (215 ) 的第 1，2，3 列组成 的列） ， – 再将因子 B 置于余下的列上，如置于第 4 列。因子 A 与 B 的交 互作用的自由度为 3，应占三列：即 A 在 L 16 ( 215 ) 所占的三列 与 B 所在列的交互列。由交互作用表查得为第 5、6、7 列，那 么这三列为交互作用 A×B 所占据； – 再考虑因子 C，因为它与 A 也有交互作用，现在可将 C 置于余 下的八列中的任一列，如置于第 8 列，同理，A×C 位于第 9、 10、11 列上； – 最后将因子 D 置于留下列的任一列上，如置于第 12 列。 表头设计：
64 57 47 54
3.0 3.9
4.0 2.9
0.9 2.6
1.1 3.1
因素水平完全一样时，因素的主次关系可以由极差R的 大小来决定。当因素水平数不等时，直接比较是不行的，因 为当因素对指标有同等影响时，水平多的因素极差应大一些。 因此要用系数对极差进行折算。 — 正交与均匀试验设计，方开泰 马长兴 著 科学出版社 2001
L18(2×3 )的平方和计算表
表头设计 试验号 列号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 T1 T2 T3 S E 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2154.8 2149.3 1.7 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 A 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1340.2 1377.0 1586.9 5904.1 B 4 1 2 3 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 1392.6 1468.7 1442.8 499.0 C 5 1 2 3 2 3 1 1 2 3 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1632.8 1359.2 1312.0 9997.3 D 6 1 2 3 2 3 1 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2 1426.7 1478.2 1399.2 536.1 7 1 2 3 3 1 2 2 3 1 2 3 1 3 2 2 1 2 3 8 1 2 3 3 1 2 3 1 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 试验结果 y 240.7 230.1 236.5 217.1 210.5 306.8 247.1 228.3 237.7 208.4 253.3 232.0 209.2 245.1 234.1 217.7 209.7 339.8 T=4304.1 =1048952.57 ST=19770.5
折算系数
水平数 2 3 4 5 6 7 8 9 10 折算系数d 0.71 0.52 0.45 0.40 0.37 0.35 0.34 0.32 0.31
用折算后R ´的大小衡量因素的主次，R´的计算公式为：
R ' = Rd n 所以：
' RA = 2.7 × 0.45 × 8 = 3.4 ' RB = 0.9 × 0.71× 16 = 2.6 ' RC = 1.1× 0.71× 16 = 3.1
新列
试验号
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 2 2 3 3 4 4
规则： (1,1) (1,2) (2,1) (2,2)
1 2 3 4
（2）于是1、2列合起来形成一个具有4水平的新列，再 将1、2列的交互作用列第3列从正交表中去除，因为它已 不能再安排任何因素，这样就等于将1、2、3列合并成新 的一个4水平列：
A(℃)
B(-200目） C（公斤/吨） D（公斤/吨）
精矿品位(%)
（二）方差分析（Minitab运用） 例3.7 在某种化油器设计中希望寻找一种结 构，使在不同天气条件下均具有较小的比油耗。 1．试验的设计
试验中考察的因子水平如表:
因子 A：大喉管直径(φ) B：中喉管直径(φ) C：环形小喉管直径(φ) D：空气量孔直径(φ) E：天气 一水平 32 22 10 1.2 高气压 二水平 34 21 9 1.0 低气压 三水平 36 20 8 0.8
表头设计 A 1 2 3 B 4 A×B 5 6 7 C 8 9 A×C 10 11 D 12 13 14 15
L 16 ( 215 ) 的列号
2．方差分析 ∙ L16（4×212）仍然是完全正交表，且仍具有平方和分解式：
S T = S 1 + S 2 + L + S 15 ，
– 可以用改造前的 L16（215）计算各列平方和。 那么按表头设计有：SA=S1+S2+S3，fA=3，SA×B=S5+S6+S7， f A×B=3，SA×C=S9+S10+S11，f A×C=3。