已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1

教学目标

1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤．

2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力．

3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展．

教学重点与难点

重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤．

教学过程设计

一、复习引入

师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？

生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．

师：那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？

(这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．)

生：角k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形．

师：α是什么样角？

生：使三角函数有意义的任意角．

师：如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数．

(如图1，帮助学生形象思维与记忆．)

师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？

生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了．

师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？

生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定．

师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关．

二、讲授新课

(板书)已知三角函数值求角．

师：我们先来研究给正弦值求角．

(板书)

例1 求满足下列条件的角α的取值集合．

师：满足这个条件的角α有几个？

生：因为α是三角形的内角，所以α∈(0，π)，而在这个范围内正弦值等于

师：那么这两个角有什么关系？

生：这两个角的和是π．

知条件的角还有别的吗？

师：在每个单调递增(或递减)区间内，角的正弦值随角α的增大而增大(或减小)，所以在每个象限由一个三角函数值求得的角将是唯一的(角存在)．以下情况类似，我

师：由(1)、(2)可以看到，正弦值相同的角，由于限制条件不同，求得的角的集合一般也不相同，我们再改变α的范围，看看情况又有什么变化．

(板书)

[0，2π)，所以α的范围缩小为[0，π)，这与(2)的条件是相同的，所以α的取值集

(板书)

师：这时满足条件的角α有多少个？

生：满足条件的角有无数个．

师：这无数个角之间有什么关系？(问题提得含糊)．

生：这些角终边相同．

师：这是从“形”的角度去看的，那么翻译成“数”的关系是什么呢？

生：这些角的弧度数相差2π整数倍．

师：怎么表示这些角？

生：先找一个特殊角，然后加上2kπ(k∈Z)就行了．

师：你准备找哪一个特殊角？为什么？

师：能写出α的取值集合吗？

师：如果把“α”是第一象限角”改为“α是第二象限角”，α的取值集合如何求？

师：如果去掉“α是第一象限角”这个条件呢？

师：由这几个例题可以看到，角α的取值与[0，2π)间的角密切相关，找到这个范围内的角，便可得到所有的角．再看(5)．

(板书)

师：满足这个条件的角α有几个？各是什么？如何求出？

(板书)

师：由上面六道题的解法能否概括出给正弦值求角的步骤？

生：需求正弦值等于所给的值的绝对值的锐角α0．

生：要求属于区间[0，2π)的角α0，π－α0，π＋α0，2π－α0．

师：是不是非要求这四个角？

生：根据所给的值判断一下角所在的象限，如果值为正，找第一、二象限的角α0，π－α0；如果值为负，找第三、四象限的角π＋α0，2π－α0．

生：还得根据角的限定范围求出适合条件的所有解．

师：我们把解决步骤归纳如下(为方便先不考虑轴上角)．

(板书)

(1)由已知正弦值确定角α所在象限；

(2)求出锐角α0，使α0的正弦值与已知值的绝对值相等；

(3)根据四个象限的角的形式，写出[0，2π)间的角(α0，π－α0，π＋α0，2π－α0)；

(4)写出满足条件的所有的角．

师：对于sinα=±1，sinα=0的类型，我们没有细致去分析，同学们可从角的终边位置加以判断，以下也暂不涉及轴上角．下面我们来研究给余弦值求角的问题．求解时注意类比和归纳．

(板书)

例2 根据下列条件求角α．

分析给余弦值求角的问题完全可以由正弦类比而来．找到[0，2π)上余弦值等

再根据余弦值的正负及α角限定的范围求α．

师：做完这几个题，能否归纳出给余弦值求角的步骤？