第2章 长度测量基础-6

（3）扩展不确定度——合成标准不确定度的倍数表示的测 量不确定度，即用包含因子乘以合成标准不确定度得到一 个区间半宽度。通常测量结果的不确定度都用扩展不确定 度表示 。
（二）系统误差的判断与消除
在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值 和符号保持不变，或者在条件改变时，误差按一定的规 律变化。多次测量求平均不能减少系统误差。
误收
20 ~ 20.004 19.987 ~ 19.979
误废
20 ~ 19.996 19.983 ~ 19.987
测量误差对验收结果有无影响？
验收极限的确定方法
上验收极限＝最大极限尺寸－A 下验收极限＝最小极限尺寸＋A
对极限尺寸内缩确定验收极限
或 一边内缩另一边不内缩方式 两边不内缩方式
第二章 长度测量基础
第四节 测量误差与数据处理
一、测量误差
由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平 等多种因素的限制，测量结果与真值之间总有一定的差 异——测量误差。
误差存在于一切测量之中。分析测量过程中产生的误差， 将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差 做出估计，是实验测量中不可缺少的一项重要工作。
x1 2
1 2
2 f x22
x2 2
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1 2
2 f xn2
xn 2
略去高阶项，有
y
f x1
x1
f x2
x2
f xn
xn
n i 1
f xi
xi
2.随机误差的函数误差
y f (x1, x2 , , xn )
若已知 x1 …… xn
2
2
y
f
x1
2 x1
f x2
2 x2
2
2
f xn
②求出算术平均值
x
1 n
n i 1
xi
③列出残差 i xi x，并验证
n
i 0
i 1
④按贝塞尔公式计算标准偏差的估计值 s
⑤按拉依达准则检查和剔除粗大误差；
1
n 1
n
2 i
i 1
⑥判断有无系统误差。如有系统误差，应查明原因，
修正或消除系统误差后重新测量； ⑦计算算术平均值的标准偏差 ： ⑧写出最后结果的表达式：
2 xn
n f
i 1
xi
2 xi
极限误差的合成
lim y
f x1
2
2 lim
x1
f x2
2
2 lim
x2
2
f
xn
2 lim xn
第五节 光滑工件尺寸的检验
——通用计量器的选用
一、光滑工件尺寸的检验
采用通用计量器具检验工件尺寸问题。 已知工件尺寸公差带，如何确定验收极限？
D( X ) E( X E( X ))2
标准偏差 D(X )
（3）正态分布的概率密度函数和统计特性
y 1 exp[ (x )2 ]
2
2 2
y
0.135%
-δ -3σ
0
+δ
+3σ
0.135% δ
曲线下面的面积对应误差在不同区间出现的概率。
标准偏差 代表测量误差离散程度的特征数。
标准偏差越小，分布曲线形状越尖锐，测量结果的精密 度越高；标准偏差越大，曲线形状越平坦，测量结果的精 密度越低。
二、计量器具的选用
1. 应考虑被测工件的部位、外形、尺寸
2. 按被测工件的公差T选择计量器具 被测尺寸的精度越高（公差越小），则计量器的 不确定（衡量测量精度）则应越小。 测量不确定由计量器具的不确定u1和由于温度、 压陷效应及工件形状误差等因素引起的不确定度 u2组成。
若安全裕度A=测量不确定度允许值，有
（1）随机误差的分布规律
当测量次数足够多时，随机误差服从正态分布 规律，随机误差的特点为对称性、有界性、单峰 性、抵偿性。
（2）随机误差的特征参数 数学期望
连续型随机变量的 数学期望
E( X ) xp(x)dx
方差和标准偏差
方差描述随机变量对其数学期望的分散程度。 设随 机变量X的数学期望为E（X），则X的方差为：
定值系统误 差和随机误差 n
变值系统误 差和随机误差
3. 准确度、精密度和精确度
准确度 系统误差越小，测量值与真值符合的程度越高。 精密度 精密度越高，表示随机误差越小。 精确度 精确度越高，表示正确度和精密度都高，系统 误差和随机误差都小。
二、测量误差的处理
（一）随机误差处理 1.随机误差的统计特性
（三）粗大误差的处理
粗大误差出现的概率很小，列出可疑数据，分析是否是粗 大误差，若是则应将对应的测量值剔除。
粗大误差的判断
给定一置信概率，确定相应的置信区间，凡超过置信区 间的误差就认为是粗大误差，并予以剔除。
拉依达准则
i 3
三、等精度测量列的数据处理
1.测量结果的处理步骤
①对测量值进行系统误差修正，将数据依次列表；
根据概率论和数理统计，算术平均值是数学期望的无偏 估计值、一致估计值和最大似然估计值。
x
1 n
n i 1
xi
采样测量数据的算术平均值作为的测量值。
算术平均值的标准偏差
2(x)
2(1 n
n i1
xi )
1 n2
2(
n i1
xi )
1 n2
[
2
(x1
)
2
(
x2
)
2(xn )]
1 n 2(X ) 1 2(X )
1.系统误差的发现方法
不变的系统误差
校准、修正和实验比对。
变化的系统误差
将所测数据及其残差按先后次序列表或作图，观察各数 据的残差值的大小和符号的变化。
v
v
v
n
n
n
无变值系统误差 有线性系统误差 有周期线性系统误差
2.系统误差的削弱或消除方法
（1）从误差源上采取措施减小系统误差 （2）用修正方法减少系统误差
安全裕度A一般取为工件尺寸公差的1/10
单边内缩
几种典型情况下验收极限的确定方法
采用包容要求的尺寸、公差等级高的尺寸，验收极限按双 边内缩的方式确定。 工艺能力指数大于1时，验收极限可按双边不内缩的方式 确定；但对采用包容要求的尺寸，应采用单边内缩的方式。 偏态分布的尺寸，验收极限可采用单边内缩的方式，即 仅对尺寸偏向的一边按内缩的方式确定。 非配合和一般公差尺寸，验收极限按不内缩确定。
（2）系统误差
在同一测量条件下，多次测量重复同一量时，测量误差 的绝对值和符号都保持不变，或在测量条件改变时按一定 规律变化的误差，称为系统误差。
（3）粗大误差
超出在一定的测量条件下预计的测量误差。 产生粗差的原因 测量操作疏忽和失误 测量方法不当或错误 测量环境条件的突然变化
δ 粗大误差
粗大误差
（4）测量结果的表示
f ( )d p( ) 68.26% 2
f ( )d p(2 2 ) 95.44% 2 3
f ( )d p( ) 99.73% 3
在置信概率为99.73%的水平下，随机误差出现的范围 是在-3σ~+3σ之间。
以单次测量的测得值x表示测量结果：
1. 测量误差的表示
被测量真值
绝对误差
x x 被测量（测量结果）与真值之差
0
测量结果
相对误差 绝对误差与真值之比的百分数
x0
2. 测量误差分类
根据测量误差的性质，测量误差可分为随机误 差、系统误差、粗大误差三类。
（1）随机误差
在同一测量条件下（指在测量环境、测量人员、测量 技术和测量仪器都相同的条件下），多次重复测量同一 量值时（等精度测量），每次测量误差的绝对值和符号 都以不可预知的方式变化的误差，称为随机误差。
n2
n
(x) (X)
n
算术平均值的标准偏差比总体或单次测量值的标 准偏差小 倍n 。原因是随机误差的抵偿性 。
用算术平均值作为测量结果的精度高。
（2）标准偏差的估计值 贝塞尔公式
s(x)
1 n 1
n
2 i
i 1
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
i ——残差
算术平均值标准偏差的估计值
s(x) s(x) n
x 3
如何理解“测量结果”的含义？
x x0 3 x0 x 3
表示真值以99.73%的置信概率在以测得值x 为中心，由-3σ~+3σ这和区间内。
被测量的测量结果和测得值不是一个值，而 是分散在测得值附近的无穷多个值。
2. 有限次测量的数学期望和标准偏差的估计
（1）数学期望的估计值——算术平均值
1.00A 0.9A2 0.45A2
u1 0.9A u2 0.45A
计量器具的不确定度u1应不大于其不确定度 的允许值。
标准中，计量器具的不确定允许值有三档： I 档：T×０.１×０.９ II档：T/６ III档：T/4
作业
s sx n
A x 3sx
四、函数误差
研究目的：根据间接测量的函数关系及各个 测量值的误差，求测量结果的误差。
1.函数误差的基本公式
y f (x1, x2 , , xn )
f
f
f
y y f (x1, x2 , , xn ) x1 x1 x2 x2 xn xn
1 2
2 f x12
测量不确定度的概念
不确定度是说明测量结果可能的分散程度的参数。可用 标准偏差表示，也可用标准偏差的倍数或置信区间的半 宽度表示。
（1）标准不确定度——用概率分布的标准偏差表示的不 确定度。
（2A）类合标成准标不准确不定确度定：度用—统—计由方各法不得确到定的度不分确量定合度成。的标准 不确B定类度标。准不确定度：用非统计方法得到的不确定度。