线性规划和整数规划应用举例解析
线性规划Lindo软件-整数规划
定制化不足
对于特定领域的整数规划问题， 可能需要针对具体问题对软件进 行定制化开发。
未来研究的方向与展望
算法改进
随着计算技术的发展，未来可以进一步优化 Lindo软件的算法，提高求解速度和精度。
扩展应用领域
随着整数规划问题的多样化，未来可以进一步拓展 Lindo软件的应用领域，如金融、物流、能源等领 域。
整数规划的求解方法
分支定界法
通过不断分割可行解空间和排除不可行解空 间来逼近最优解。
割平面法
通过逐步构建整数解来逼近最优解，适用于 小规模问题。
回溯法
通过添加割平面来缩小可行解空间，最终找 到最优解。
Lindo软件求解法
使用Lindo软件进行整数规划求解，具有高效 、稳定、易操作等优点。
04
使用Lindo软件进行整数规划
在求解结果查看界面中，可以查看问题的最优解、最优值、变量取值等信 息。
可以使用软件提供的图表功能，绘制变量取值与目标函数之间的关系图， 以便更好地理解问题的解。
05
案例分析
案例一：简单的整数规划问题
问题描述
01
考虑一个简单的整数规划问题，目标是最小化目标函数，同时
满足一系列线性约束条件。
解决方案
• 易用性：用户界面友好，操作简单，无需复杂的编程知识 即可使用。
Lindo软件在整数规划中的优势与限制
依赖性
Lindo软件的功能和性能高度依赖 于计算机硬件配置，高性能计算 机是求解大规模问题的必要条件。
模型限制
对于某些特殊类型的整数规划问 题，如非凸或非线性问题，Lindo 软件的求解效果可能有限。
在约束条件设置界面中，根据问题数据设置相 应的约束条件，如“less than”、“equal to”或“greater than”。
离散优化中的整数规划与线性规划
离散优化中的整数规划与线性规划离散优化是运筹学中的一个重要分支，研究如何寻找在一定限制条件下最优解的问题。
整数规划和线性规划是离散优化的两个主要方法，本文将对它们进行详细介绍和比较。
一、整数规划整数规划是一种在决策变量中引入整数限制的优化方法。
与线性规划相比，整数规划更符合实际问题的特性，能够解决更多实际应用中的优化问题。
在整数规划中，决策变量取值只能是整数，这意味着解集是一个离散的点集，而不是一个连续的区域。
整数规划可以应用于很多领域，如物流问题、生产计划、项目调度等。
以物流问题为例，整数规划可以帮助确定最优的货物配送路线，减少运输成本。
整数规划的求解方法主要有分枝定界法、割平面法、整数规划松弛法等。
二、线性规划线性规划是整数规划的一种特殊情况，即决策变量可以取任意实数值。
线性规划是一种在线性约束条件下寻找最优解的方法。
线性规划在数学上有较为完备的理论基础，并且具有较好的计算性质。
线性规划的应用十分广泛，如资源配置、生产计划、投资组合等。
以资源配置为例，线性规划可以帮助确定最优的资源分配方案，实现资源的有效利用。
线性规划的求解方法主要有单纯形法、内点法、对偶法等。
三、整数规划与线性规划的比较整数规划和线性规划在求解方法和应用领域上存在一些差异。
首先，在求解方法上，整数规划通常比线性规划更难求解。
由于整数规划的解集是一个离散的点集，所以需要经过更多的搜索和计算才能找到最优解。
其次，在应用领域上，整数规划更加灵活，可以应对更复杂的问题。
整数规划可以通过在决策变量中引入整数限制，更好地满足实际问题的约束条件。
而线性规划则更适用于连续变量的优化问题。
最后，整数规划和线性规划在计算效率上也存在差异。
线性规划的求解方法较为成熟，可以在较短的时间内找到最优解。
而整数规划的求解时间较长，通常需要使用一些特殊的算法来加快计算速度。
四、总结离散优化中的整数规划和线性规划是两种重要的优化方法。
整数规划通过在决策变量中引入整数限制，能够更好地解决实际问题。
线性规划与整数规划理论及应用研究
线性规划与整数规划理论及应用研究线性规划是一种优化问题，它通过求解数学函数的最大值或最小值，来找到能够满足约束条件的变量值。
线性规划的应用非常广泛，包括生产排程、运输问题、财务管理等领域。
整数规划则是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
本文将介绍线性规划及整数规划的理论和应用研究。
线性规划理论线性规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{R}^n} c^Tx$$ s.t. Ax \leq b ; $其中$x$是$n$维实向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
这个表达式的含义是，求出在满足约束条件$Ax \leq b$的同时，使得$c^Tx$达到最大值的$x$。
约束条件是对$x$的限制，使得$x$满足可行性条件。
线性规划存在的前提是可行性条件的存在，即在约束条件$Ax \leq b$下，存在至少一个$x$可以满足。
如果可行性条件不存在，则线性规划无解。
线性规划的求解可以使用线性规划算法进行，例如单纯形法、内点法等。
其中最常用的算法是单纯形法。
单纯形法的基本思想是从一个初始解开始，通过不断地找到更优的解，来逐步逼近最优解。
具体来说，单纯形法通过找到松弛条件的目标函数最优解对应的松弛变量，来进行解的更新。
线性规划应用线性规划在实际生产、物流等领域被广泛应用。
例如，在生产调度中，线性规划可以用来优化生产过程中的时间排程、机器分配等问题，从而达到最大化生产效率、最小化生产成本的目的。
在物流领域，线性规划可以用来优化物流运输路线，从而最小化运输成本。
另外，线性规划还可以应用于制定食物饮品配方，通过确定每种原料的数量和配比，来达到制作具有某种特定功能的食物饮品的目的。
此外，线性规划还可以用于网络资源规划、金融风险管理等领域。
整数规划理论整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求变量值是整数。
整数规划的数学表达式为：$\max_{x \in \mathbb{Z}^n} c^Tx$$s.t. Ax \leq b ;$其中$x$是$n$维整数向量，$c$是$n$维实向量，$A$是$m \times n$的实矩阵，$b$是$m$维实向量。
数学建模线性规划和整数规划实验
1、线性规划和整数规划实验1、加工奶制品的生产计划（1）一奶制品加工厂用牛奶生产A1, A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3千克A1产品，或者在乙车间用8小时加工成4千克A2 产品.根据市场需求，生产的A1、A2产品全部能售出，且每千克A1产品获利24元，每千克A2产品获利16元.现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且甲车间的设备每天至多能加工100 千克A1产品，乙车间的设备的加工能力可以认为没有上限限制.试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题: （i）若用35元可以买到1桶牛奶，是否应作这项投资?若投资，每天最多购买多少桶牛奶?(ii)若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元?(iii)由于市场需求变化，每千克A1产品的获利增加到30元，是否应改变生产计划?(2)进一步，为增加工厂获利，开发奶制品深加工技术.用2小时和3元加工费，可将1千克A1加工成0.8千克高级奶制品B1，也可将1千克A2加工成0.75千克高级奶制品B2，每千克B1可获44元，每千克B2可获32元.试为该厂制订一个生产销售计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下问题:(i)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加1小时劳动时间，是否应作这项投资?若每天投资150元，或赚回多少?(ii)每千克高级奶制品B1, B2的获利经常有10%的波动，对制订的生产销售计划有无影响?若每千克B1的获利下降10%，计划是否应作调整?解：由已知可得1桶牛奶，在甲车间经过十二小时加工完成可生产3千克的A1，利润为72元；在乙车间经八小时加工完成可生产四千克的A2，利润为64元。
利用lingo软件，编写如下程序：model:max=24*3*x1+16*4*x2;s.t.12*x1+8*x2≤480;x1+x2≤50;3*x1≤100;X1≥0,x2≥0end求解结果及灵敏度分析为：Objective value: 3360.000Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostX1 20.00000 0.000000X2 30.00000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 3360.000 1.0000002 0.000000 2.0000003 0.000000 48.000004 40.00000 0.000000Objective Coefficient RangesCurrent Allowable Allowable Variable Coefficient Increase DecreaseX1 72.00000 24.00000 8.000000X2 64.00000 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow Current Allowable AllowableRHS Increase Decrease2 480.0000 53.33333 80.000003 50.00000 10.00000 6.6666674 100.0000 INFINITY 40.00000 分析结果：1）从结果可以看出在供应甲车间20桶、乙车间30桶的条件下，获利可以达到最大3360元。
整数规划应用案例分析
投资项目的选择
利用线性规划可以来完成资金预算决策，决定对 不同项目投资额各是多少。但实际中，一些资金预算决策不是决定投资多少，而是是否进行一些固定金额的投资。
管理层必须经常面对的是：在预投入资金额度一定的情况下，是否进行一项或几项固定投资。
对每个是或否的决策： 1，是
引入决策变量x= 0，否
第四章 整数规划的应用
练习 (兼职值班)
例6.东方大学计算机实验室聘用4名大学生(代号1,2,3,4)和2名研究生(代号5,6)值班答疑.已知每人从周一至周五每天最多可安排的值班时间及每人每小时的值班报酬如下:
班次 报酬 每天最多可安排的值班时间 (元/时) 周一 周二 周三 周四 周五 1 10.0 6 0 6 0 7 2 10.0 0 6 0 6 0 3 9.9 4 8 3 0 5 4 9.8 5 5 6 0 4 5 10.8 3 0 4 8 0 6 11.3 0 6 0 6 3
设某公司在m个时段里有n项投资计划，由于资金限制不能全部进行。已知
第i个时段里该公司可动用的资金是b i，
第j项投资计划所需要的资金是a ij ,
能够得到的利润是c ij。 问该公司如何选择投资计划，使m个时段内的总利润最大。
例1 投资问题
表示第i个时段内选中第j个投资计划，
建立该投资问题的数学模型为：
问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小?
01
03
02
解： a) 设 xij为从Ai 运往Bj 的运输量(单位千箱)， yk = 1(当Ak 被选中时)或0（当Ak 没被选中时),k =2,3,4,5．这可以表示为一个整数规划问题： Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23 +4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10x51 +4x52+2x53 （其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。） s.t. x11+ x12+ x13 ≤ 30 ( A1 厂的产量限制) x21+ x22+ x23 ≤ 10 ( A2 厂的产量限制) x31+ x32+ x33 ≤ 20 ( A3 厂的产量限制) x41+ x42+ x43 ≤ 30 ( A4 厂的产量限制) x51+ x52+ x53 ≤ 40 ( A5 厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制) xij ≥0，i = 1,2,3,4,5； j = 1,2,3， yk 为0--1变量，k =2,3,4,5。
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
整数规划典型问题实例
2. 所用原料钢管总根数最少
决策 变量 xi ~按第i 种模式切割的原料钢管根数(i=1,2,…7) 目标1（总余量） Min Z 1 3 x 1 x 2 3 x 3 3 x 4 x 5 x 6 3 x 7
模 式 1 2 3 4 5 6 7 需 求 4米 根数 4 3 2 1 1 0 0 50 6米 根数 0 1 0 2 1 3 0 20 8米 根数 0 0 1 0 1 0 2 15 余 料 3 1 3 3 1 1 3
m in f 0 .1 x1 0 .3 x 2 0 .9 x 3 0 x 4 1 .1 x 5 0 .2 x 6 0 .8 x 7 0 .4 x 8
x8
2 x1 x 2 x 3 x 4 1 0 0 2 x 2 3 x3 3 x5 2 x6 x7 1 0 0 s .t . x1 x 3 3 x 4 2 x 6 3 x 7 4 x 8 1 0 0 x 0, i 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, x 取 整 i i
8米1根
8米1根
合理切割模式的余料应小于客户需要钢管的最小尺寸
钢管下料问题1
模式 1 2 3 4 5 6 7 4米钢管根数 4 3 2 1 1 0 0
合理切割模式
6米钢管根数 0 1 0 2 1 3 0 8米钢管根数 0 0 1 0 1 0 2 余料(米) 3 1 3 3 1 1 3
为满足客户需要，按照哪些种合理模式，每种模式 切割多少根原料钢管，最为节省？ 两种 标准 1. 原料钢管剩余总余量最小
建立模型：
m ax
f
cx
i i 1
7
i
7 bi x i b i 1 x1 x 2 x 3 2 s .t . x 4 x 5 1 x x 1 7 6 x i 0 或 1, i 1, 2， . . . , 7
线性规划与整数规划及其应用研究
线性规划与整数规划及其应用研究线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具。
线性规划是一种用于优化线性目标函数的方法，它在约束条件下寻找一组变量，使得目标函数达到最大值或最小值。
整数规划则是对线性规划做了一些限制，要求变量只能取整数值。
线性规划的应用非常广泛，例如在金融领域中，常用线性规划来优化投资组合，以达到最大化收益和最小化风险的目的。
在制造业中，线性规划可以用来规划生产计划，以最小化成本，同时满足产品需求和资源限制。
在运输和物流中，线性规划也常用于优化运输成本和货物配送计划。
整数规划则更加适用于那些需要做出离散决策的问题。
例如在生产计划问题中，需要确定生产多少个产品，这种情况下整数规划就非常有用了。
整数规划还可以用于解决一些NP-hard难题，例如在路线规划问题中，需要列出旅游路线以最小化时间或成本，但考虑到可能存在多条路线，这种问题需要运用整数规划来求解。
在实际应用中，线性规划和整数规划通常需要结合其他优化算法和工具来使用。
例如，在生产计划中，除了运用整数规划外，还需要考虑到物料采购、人员排班等其他因素，这时就需要研究者利用不同的优化算法来解决综合问题。
除了以上应用，线性规划和整数规划还可以应用于其他领域，例如供应链管理、网络设计、能源管理和金融学等领域。
这些领域中都有需要优化的问题，线性规划和整数规划都能成为有效的工具来提供最优解决方案。
需要注意的是，线性规划和整数规划并不是完美的，它们也有一些局限性。
例如，在处理大规模复杂问题时，线性规划和整数规划可能需要花费较长时间来求解，或者无法找到最优解；此外，线性规划无法处理非线性目标函数，而整数规划则只适用于整数变量，因此在实际应用中，需要评估问题的特性和规模，选择合适的数学方法来求解。
总之，线性规划和整数规划是运筹学中常用的数学工具，它们的应用范围广泛，可以提供有效的优化解决方案。
在实践中，需要根据问题的特性和规模选择合适的数学方法。
如今，随着机器学习和人工智能的快速发展，运筹学的未来也将更加广阔和充满挑战。
线性规划的应用
线性规划的应用一、引言线性规划是一种数学优化方法，广泛应用于生产计划、资源分配、运输问题等领域。
本文将介绍线性规划的基本概念和应用案例，并详细解释如何使用线性规划方法解决实际问题。
二、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
例如，最大化利润或最小化成本。
2. 约束条件：线性规划问题必须满足一组线性等式或不等式，称为约束条件。
这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
3. 决策变量：线性规划问题中需要做出决策的变量称为决策变量。
例如，生产数量、资源分配等。
4. 可行解：满足所有约束条件的决策变量取值称为可行解。
线性规划问题的解必须是可行解。
三、线性规划的应用案例1. 生产计划问题假设一家公司有两种产品A和B，每种产品的生产需要一定的资源和时间。
公司希望确定每种产品的生产数量，以最大化利润。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的生产计划。
2. 资源分配问题一个工厂有多个生产线，每个生产线可以生产不同的产品。
工厂希望确定每个生产线的产量，以最大化总产量。
通过线性规划，可以将总产量视为目标函数，将每个生产线的产量视为决策变量，建立约束条件，求解出最优的资源分配方案。
3. 运输问题一个物流公司需要将货物从多个供应商运送到多个客户，每个供应商和客户之间的运输成本不同。
公司希望确定每个供应商和客户之间的货物运输量，以最小化总运输成本。
通过线性规划，可以建立目标函数和约束条件，求解出最优的运输方案。
四、线性规划的解法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以通过绘制等式或不等式的图形来找到最优解。
最优解通常出现在图形的顶点处。
2. 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法求解。
单纯形法是一种迭代算法，通过不断调整决策变量的取值，逐步接近最优解。
3. 整数规划：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法求解。
整数规划是线性规划的扩展，适用于需要做出离散决策的问题。
运筹学中的线性规划与整数规划
运筹学中的线性规划与整数规划在运筹学中，线性规划和整数规划是两个常用且重要的数学模型。
它们被广泛应用于资源分配、生产调度、物流管理等问题的决策过程中。
本文将介绍线性规划和整数规划的基本概念、数学模型以及求解方法。
一、线性规划线性规划是一种通过线性关系来描述问题的数学模型。
它的目标是在给定的约束条件下，找到使目标函数达到最优的决策变量取值。
线性规划模型一般可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ≥ 0其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁,b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
线性规划的求解方法主要有两类：图形法和单纯形法。
图形法适用于二维问题，通过绘制目标函数和约束条件在坐标系中的图形，找到交点来确定最优解。
而单纯形法适用于多维问题，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种特殊情况，它要求决策变量的取值必须为整数。
整数规划模型可以表示为如下形式：Max/Min Z = c₁x₁ + c₂x₂ + ... + cₙxₙs.t. a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ ≤ b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ ≤ b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ ≤ bₙx₁, x₂, ..., xₙ ∈ Z其中，Z表示目标函数值，c₁, c₂, ..., cₙ表示目标函数的系数，x₁, x₂, ..., xₙ为整数决策变量，a₁₁, a₁₂, ..., aₙₙ为约束条件的系数，b₁, b₂, ..., bₙ为约束条件的右侧常数。
数学建模中的整数规划与线性规划
数学建模中的整数规划与线性规划数学建模是指利用数学方法解决实际问题的过程，其中整数规划和线性规划是常用的数学建模技术。
本文将探讨数学建模中的整数规划和线性规划的基本原理、应用领域以及解决实际问题的方法。
一、整数规划整数规划是指在线性规划的基础上，将决策变量限制为整数的优化问题。
在实际问题中，有些变量只能取整数值，而不能取小数值。
整数规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0,x为整数\}$其中，c是目标函数的系数向量，A是约束条件的系数矩阵，b是约束条件的常数向量，x是决策变量。
整数规划的应用非常广泛，比如生产调度、资源配置、旅行商问题等。
整数规划不仅可以帮助企业进行生产计划，还可以优化物流配送路线，解决旅行商的最优路径问题等。
二、线性规划线性规划是指目标函数和约束条件均为线性关系的优化问题。
线性规划的数学模型可以表示为：$max\{cx:Ax≤b,x\geq0\}$线性规划在数学建模中是最常用的优化工具之一，广泛应用于生产计划、资源分配、投资组合等领域。
通过线性规划，可以找到目标函数在约束条件下的最优解，从而为决策提供科学依据。
三、整数规划与线性规划的联系整数规划是线性规划的一个特例，即当决策变量限制为整数时，线性规划就变成了整数规划。
因此，整数规划可以通过线性规划来求解，但是整数规划的求解难度要高于线性规划。
在实际问题中，有时候整数规划难以求解，此时可以采用线性规划来近似求解。
例如，可以将决策变量限制为小数，然后通过计算得到的解来指导实际决策。
当然，这种近似解不一定是最优解，但可以提供一种可行的解决方案。
四、整数规划与线性规划的求解方法针对整数规划和线性规划问题，有多种求解方法。
其中，常用的方法包括暴力搜索、分支定界法、割平面法等。
暴力搜索是一种基础的求解方法，通过枚举所有可能的解来寻找最优解。
这种方法的好处是可以找到全局最优解，但计算时间较长，适用于问题规模较小的情况。
线性规划和整数规划应用举例解析
15
2020/11/10
投资机会
项目名称
A B C D
最优投资方案
第1年年初
X11=1 X21=5
第2年年初 X12=1.2 X32=0
第3年年初 X13=7.44
X43=2
16
2020/11/10
例6. 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题.该 公司生产甲、乙、丙3种产品，这3种产品都要经过铸造、机 加工和装配3个车间.甲、乙两种产品的铸件可以外包协作， 也可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量.有 关情况见表2.15.该公司中可利用的总工时为：铸造8000小时、 机加工12000小时和装配10000小时.为使该公司获得最大利 润，甲、乙、丙3种产品应各生产多少件？甲、乙两种产品 由本公司铸造多少件？外包协作铸造多少件？
A2 7 9 17 14 10
A3 6 9 12 8 7
解：由于每家建筑公司最多可以承建两项，因此可把每家建筑公司看 成两家建筑公司，其系数矩阵为
B1 B2 B3 B4 B5
4 8 4 8 7 9 7 9 6 9 6 9
7 15 12 A1
7
15
12
A1'
17 14 10 A2
17 14 10 A2'
19
2020/11/10
建立此问题的线性规划模型如下：
max f 15x1 10x2 7x3 13x4 9x5
s.t. 5x1 10x2 7x3 8000
（铸造工时约束）
6x1 4x2 8x3 6x4 4x5 12000 （机加工工时约束）
3x1 2x2 2x3 3x4 2x5 10000 （装配工时约束）
总数.
这里可以把连续休息2天的售货员按照开始休息的时间
线性规划与混合整数规划在物流运输中的应用
线性规划与混合整数规划在物流运输中的应用随着全球贸易的发展，物流运输变得愈发重要。
物流运输是产品从生产地到消费地的流动及相关服务的总称，它涉及到产品的储存、包装、运输、信息传递等环节。
为了提升物流效率，降低成本，使物流成为一项可持续发展的产业，线性规划与混合整数规划成为了物流运输中的重要工具。
一、线性规划在物流运输中的应用线性规划是一种以线性数学为基础的最优化方法，它被广泛应用于管理、经济、工程、科学等领域。
在物流运输中，线性规划可以用来确定运输最优方案及最优物流分配。
具体应用包括以下几个方面：1. 路线优化线性规划可以通过优化运输路线，降低物流运输成本。
以一个物流企业为例，它需要将一批货物从生产地点A运往销售地点B、C、D。
在确定最佳运输方案时，需要考虑到不同的运输方式、运输时间、运输成本等诸多因素。
线性规划可以考虑这些因素，确定最佳运输路径，同时满足生产地点A、销售地点B、C、D的运输需求，从而达到降低物流成本的目的。
2. 货源分配物流企业需要根据不同地区的销售情况，合理分配货源。
线性规划可以根据历史销售数据、市场预测等因素，计算出不同地区的销售量和需求量，并将其转化为数学模型，从而确定最佳货源分配方案。
3. 装载方式优化在运输货物时，货车的装载方式需要考虑到运输量、运输距离、装卸时间、货仓容量等因素，以满足不同客户的需求。
线性规划可以通过优化货车的装载方式，节约运输成本，提高物流效率。
二、混合整数规划在物流运输中的应用混合整数规划是一种将整数变量和实数变量混合在一起的最优化计算方法，常用于物流运输问题的解决。
混合整数规划可以应用于以下几个方面：1. 路线优化与线性规划相似，混合整数规划也可以用于优化运输路线。
但与线性规划不同的是，混合整数规划可以考虑到一些离散变量如货车的数量、形状等，从而实现更加精细化的运输路径优化。
2. 车辆调度物流企业需要合理调度运输车辆，以提高车辆利用率，降低物流成本。
线性规划运用举例
3、排班问题 邮局一年356天都要有人值班，每天需要的职工人 数因业务忙闲而异，据统计邮局每天需要的人数按 周期变化，一周内每天需要的人数如下：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
17
13
15
19
14
16
11
排班要符合每周连续工作五天，休息两天的规定， 如何排班可使用人最少？
4、背包问题 例：一登山队员做登山准备，需要携带的物品有： 食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设 备。每种物品的重要性系数和重量见下表：
大于等 于70 大于等 于80 大于等 于85
1200 1500
问题分析:最优调和方案 什么原料调入什么产品，调入的数量是多少 目标：调和方案的利润最大
利润=销售收入-调和成本
=产品价格*销售数量-原料成本*用量 变量：产品数量？原料数量？其他量？
j产品生产数量=各原料调入j产品数量和 i原料使用量=i原料调入各个产品的数量和
整数规划应用举例
• 整数变量
• 特殊约束处理
• 背包问题 • 集合覆盖问题 • 固定费用问题 • 旅行推销商问题
• 下料问题
…
1、整数变量 • 表示不可分割的数量； • 表示决策变量（0-1整数变量，具有很多优良特点）；
• 表示决策变量之间的逻辑关系，例如，决策i必须以决策
j的结果为前提；
• 描述互斥的选择，从多种方案中选择一个方案；
产品 普通洗衣粉 普通洗涤剂 浓缩洗衣粉 高级洗衣剂 销售价格 元/公斤 8 12 24 55 加工成本 元/公斤 3 3
3、多周期动态生产计划问题 例：华新机器制造厂专为拖拉机厂配套生产柴油机。今年 头四个月收到的订单数量分别为3000，4500,3500,5000 台柴油机，该厂正常生产每月可生产柴油机3000台，利用 加班还可生产1500台。正常生产成本为每台5000元，加 班生产还要追加1500元成本，库存成本为每台每月200元。 华新厂如何组织生产才能使其生产成本最低？
线性规划经典例题
线性规划经典例题引言概述：线性规划是运筹学中的一种重要方法，用于解决最优化问题。
它在许多领域中都有广泛的应用，如生产计划、资源分配、物流管理等。
本文将介绍几个经典的线性规划例题，以帮助读者更好地理解和应用线性规划方法。
正文内容：1. 线性规划的基本概念1.1 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，该函数称为目标函数。
目标函数通常表示为各项系数与决策变量的乘积之和。
1.2 约束条件：线性规划还包括一系列约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。
约束条件可以是等式或不等式，通常表示为线性方程或线性不等式。
1.3 决策变量：线性规划中的决策变量是需要优化的变量，其取值会影响目标函数的值。
2. 线性规划的解法2.1 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。
首先将目标函数和约束条件转化为直线或线段，然后通过图形的相交点来确定最优解。
2.2 单纯形法：对于高维线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。
该方法通过不断迭代改进当前解，直到找到最优解为止。
2.3 整数规划：如果线性规划的决策变量需要取整数值，那么就属于整数规划问题。
整数规划通常比线性规划更难求解，可以使用分支定界法等方法进行求解。
3. 线性规划的应用举例3.1 生产计划问题：假设一个工厂需要生产多种产品，每种产品的生产时间和利润不同。
线性规划可以帮助确定每种产品的生产数量，以最大化总利润。
3.2 资源分配问题：一个公司有多个项目需要投资，每个项目的投资回报率和所需资源不同。
线性规划可以帮助确定每个项目的投资金额，以最大化总回报率。
3.3 运输问题：假设有多个供应点和多个需求点，每个供应点和需求点之间的运输成本不同。
线性规划可以帮助确定每个供应点和需求点之间的运输量，以最小化总运输成本。
4. 线性规划的局限性4.1 线性假设：线性规划假设目标函数和约束条件都是线性的，但实际问题中，很多情况下并不满足这个假设。
4.2 多解性：线性规划可能存在多个最优解，这给决策者带来了一定的困扰。
如何使用Matlab进行线性规划与整数规划
如何使用Matlab进行线性规划与整数规划引言在现代科技逐渐发展的背景下，线性规划和整数规划作为一种数学优化方法，被广泛应用于各个领域。
Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了各种优化工具箱，可以方便地进行线性规划和整数规划的求解。
本文将详细介绍如何使用Matlab进行线性规划和整数规划求解，并结合实例进行说明。
一、线性规划的基本概念线性规划是一种数学规划方法，其目标是在一组线性约束条件下寻找一组变量的最优解，使得目标函数值达到最大或最小。
线性规划的标准形式可以表示为：min/max f(x) = c^T * xs.t. A * x <= bAeq * x = beqlb <= x <= ub其中，f(x)为线性目标函数，c为其系数向量；x为变量向量；A、b、Aeq、beq 分别为不等式约束和等式约束的系数矩阵和向量；lb和ub分别为变量的下界和上界。
二、使用Matlab进行线性规划求解Matlab提供了优化工具箱，其中的linprog函数可以方便地求解线性规划问题。
以下是使用linprog函数求解线性规划问题的基本步骤：Step 1: 定义目标函数和约束条件首先，需要定义目标函数和约束条件的系数。
假设我们要最小化目标函数 f(x) = 2x1 + 3x2，约束条件为 2x1 + x2 <= 10，x1 + 3x2 <= 15，x1和x2的取值范围均为非负实数。
c = [2; 3]; % 目标函数的系数向量A = [2, 1; 1, 3]; % 不等式约束的系数矩阵b = [10; 15]; % 不等式约束的右侧系数向量lb = [0; 0]; % 变量的下界Step 2: 调用linprog函数求解线性规划问题然后，可以使用linprog函数求解线性规划问题。
该函数的基本语法为：[x, fval] = linprog(c, A, b, [], [], lb);其中，x为求解得到的最优解，fval为最优解对应的目标函数值。
运筹学中的线性规划和整数规划
运筹学中的线性规划和整数规划运筹学是一门涉及决策分析、优化、模型构建和仿真等知识领域的学科，应用广泛，如供应链管理、交通规划、制造业生产、金融投资等方面。
其中，线性规划和整数规划是运筹学中最为基础和重要的优化技术，被广泛应用于各个领域。
一、线性规划线性规划是一种在一组线性约束条件下，求解线性目标函数极值问题的数学方法。
在生产、运输、选址等问题中，线性规划都有着重要的应用。
其数学模型可以表示为：$\max c^Tx$$s.t. Ax \leq b,x\geq 0$其中$c$为目标函数的向量，$x$为决策变量向量，$A$为约束矩阵，$b$为约束向量，$c^Tx$表示目标函数的值，$\leq$表示小于等于。
如果目标函数和约束都是线性的，则可以通过线性规划的求解方法来确定决策变量的最优值。
线性规划的求解方法一般分为单纯形法和内点法两种方法。
单纯性法是线性规划中最为常用的方法，通过对角线交替调整，逐步从可行解中寻找最优解，收敛速度较快，但是存在不稳定的情况。
内点法是近年来发展起来的用于求解大规模线性规划问题的数值方法，其核心思想是迭代求解一系列线性方程组，每次保持解在可行域内部，直到找到最优解为止。
这种方法对大规模问题求解能力强，使用较多。
二、整数规划整数规划是线性规划的升级版，它要求决策变量必须取整数值。
整数规划在很多实际问题中都有着重要的应用，比如很多生产过程中需要将生产数量取整数，物流路径问题需要选取整数条路径等。
与线性规划不同的是，整数规划是NP难问题，没有一种有效的算法能够完全解决所有的整数规划问题。
因此，通常需要采用分支定界、割平面等方法来求解。
分支定界是一种常用的整数规划求解方法。
它通过将整数规划问题分为多个子问题，依次求解这些子问题并优化当前最优解，以逐步逼近最优解。
割平面法则是在分支定界方法的基础上加入约束条件，使得求解过程更加严格化，最终得到更好的结果。
总的来说，运筹学中线性规划和整数规划是不可或缺的优化工具，我们可以通过理论和实践加深对它们的理解。
线性规划与整数规划
线性规划与整数规划线性规划（linear programming）是一种优化问题的数学建模方法，它的目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的极值。
线性规划的解决方法与整数规划（integer programming）有很大的联系，整数规划是线性规划的一种特殊形式，在选择决策变量时，限制其取值为整数。
线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
一、线性规划线性规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X \geq 0$其中，$C$是一个列向量，$X$是一个列向量，$A$是一个矩阵，$B$是一个列向量。
在上述模型中，$C^TX$表示我们要优化的目标函数，即我们希望最大化或最小化的线性函数。
目标函数的系数在矩阵$C$中定义。
约束条件由不等式$AX \leq B$表示。
约束矩阵$A$的每一行代表一个约束式，而约束向量$B$确定每个约束条件的边界。
最后一个条件$X \geq 0$表示决策变量$X_i$必须非负。
线性规划问题的解可以通过线性规划算法求解，如单纯形算法、内点法等。
这些算法能够有效地求解线性规划问题，但是当问题涉及到整数变量时，线性规划就无法得到整数解，这时就需要使用整数规划来解决。
二、整数规划整数规划是对线性规划的一种扩展，它的决策变量被限制为整数。
整数规划的数学模型可以用如下形式表示：$max\,C^TX$$s.t.\,AX \leq B$$X_i \in Z$其中，$X_i \in Z$表示决策变量$X_i$必须为整数。
整数规划相比于线性规划更加困难，因为整数规划的解空间更大。
对于非线性整数规划问题，甚至可能没有有效的解决方法。
求解整数规划问题的方法也有很多，比如分支定界法、割平面法、动态规划等。
这些方法能够在有限的时间内找到整数规划问题的近似解。
然而，由于整数规划问题是NP难问题，当问题规模较大时，求解时间呈指数增长。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
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D
x43
12
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下面分析每年资金的使用情况并建立线性规划模型. 第1年初，有A, B两个项目，只能提供6万元资金，故有:
x11 x21 6 .项目B不得超过5万元，有 x21 ≤5；
A2 7 9 17 14 10
A3 6 9 12 8 7
解：由于每家建筑公司最多可以承建两项，因此可把每家建筑公司看 成两家建筑公司，其系数矩阵为
B1 B2 B3 B4 B5
4 8 4 8 7 9 7 9 6 9 6 9
7 15 12 A1
7
15
12
A1'
17 14 10 A2
17 14 10 A2'
各区之间消防车行驶的时间见下表。请为该市 制定一个最节省的计划
解：xi
1
0
在第i个地区建站 不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
地1 2 3 4 5 6 区
1 0 10 16 28 27 20
2 10 0 24 32 17 10 3 16 24 0 12 27 21
布点问题模型：
线性规划在国内外很多部门的规划、管理、决策过程中有大 量成功的应用，并收到了良好的效果.但是，应用线性规划来解 决某一类实际问题时，由于问题的复杂性和情况的多变性，要 真正建立一个反映实际问题的、能得出正确结论的理想模型， 并不是一件容易的事情.它要求建模者具有丰富的经验、较强的 创造力和比较熟练的技巧.本节通过一些被简化了的问题，介绍 建立线性规划模型的基本思路和基本技巧.
(i,j=1,2,…, n)
数学模型为:
nn
min Z cij xij
i 1 j 1
n xij 1
i 1
s.t n xij 1
j 1
xij
0
or
1,
i, j 1,2,, n
例2 某大型工程有五个工程项目，决定向社会 公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别 获得中标承建。已知建筑公司Ai（I=1，2，3，4， 5）的报价cij（百万元）见表，问该部门应该怎样 分配建造任务，才能使总的建造费用最小？
8x31 9x32 8x33 10 x34 10 x41 10 x42 9x43 11x44 x11 x12 x13 x14 1
工作
1 2 34 人
1 3 5 45 2 67 6 8
3 8 9 8 10
4 10 10 9 11
x21
x22
x23
x24
1
x31 x32 x33 x34 1
x2 x5 x6 1 xi 0,1 i 1,2,,6
例5.某投资人在今后3年内有A,B,C,D共 4个投资项目，项目A 在3年内每年初投资，年底可获利润20%，并可将本金收回；项 目B在第1年年初投资，第2年年底可获利润60%，并将本金收回， 但该项目投资不得超过5万元；项目C在第2年初投资，第3年底 收回本金，并获利润40%，但该项目投资不得超过3万元；项目 D在第3年初投资，于该年底收回本金，且获利润30%，但该项 目投资不得超过2万元.该投资人准备拿出6万元资金，问如何制 订投资计划，使该企业在第3年底，投资的本利之和最大？
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x2 1 x1 x2 x6 1
x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1
x4 x5 x6 1
12 8 7 A3
12 8 7 A3'
上面的系数矩阵有6行5列，为了使“人”和“事”的数目相同，引入一 件虚拟的事B6，使之成为标准指派问题的系数矩阵：
• 例4（布点问题）某城市共有6个区，每个区都 可以建消防站。市政府希望设置的消防站最少
，但必须满足在城市任何地区发生火火警时， 消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，
11
2020/11/10
【解】 这是一个连续投资问题.设决策变量xij为第j年投资到第i 个
项目的资金(i= 1,2,3,4,分别对应于项目A,B,C,D； j 1, 2分, 3别对
应于投资年份),见下表.
投资项目
投资机会 项目名称
第1年年初
第2年年初
第3年年初
A
x11
x12
x13
B
x21
C
x32
xij 0,1 i 1,2,, n j 1,2,, n
1
指派问题
标准指派问题的提法及模型
指派问题的标准形式是：有n个人和n件事，已知第i 个人做第j件事的费用为cij（i，j=1，2，…，n），要求确 定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的 总费用最小。
设n2个0-1变量 1 若指派第i个人做第j件事 xij 0 若不指派第i个人做第j件事
j1
xij
0
or
1
i, j 1,2,,5
例3：对于例4的指派问题，为了保证工程质量， 经研究决定，舍弃建筑公司A4和A5，而让技术力
量较强的建设公司A1，A2，A3参加招标承建，
根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或
二项工程。求使总费用最少的指派方案。
工程 公司
B1
B2
B3
B4
B5
A1 4 8 7 15 12
1
2020/11/10
例1：现有4份工作，4个人应聘，由 Z表示总费用
于各人技术专长不同，他们承担 max Z 3x11 5x12 4x13 5x14
各项工作所需费用如下表所示，
6x21 7x22 6x23 8x24
且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
工程 公司
B1
B2
B3
B4
B5
A1 4 8 7 15 12
A2 7 9 17 14 10
A3 6 9 12 8 7
A4 6 7 14 6 10
A5 6 9 12 10 6
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
Байду номын сангаас
5 xij 1 j 1,2,,5
i 1
s.t 5 xij 1 i 1,2,,5
s.t
xx1411 x12
x42 x21 x22
x43 x31 x32
x44 x41 x42
1 1 1
解：
xij
1 0
第i人做第j 件事 第i人不做第j 件事
i=1,2, 3,4; j=1,2, 3,4
x13 x23 x33 x43 1
x14 x24 x34 x44