线性规划和整数规划应用举例解析

(i,j=1,2,…, n)
数学模型为:
nn
min Z cij xij
i 1 j 1
n xij 1
i 1
s.t n xij 1
j 1
xij
0
or
1,
i, j 1,2,, n
例2 某大型工程有五个工程项目，决定向社会 公开招标，有五家建筑能力相当的建筑公司分别 获得中标承建。已知建筑公司Ai（I=1，2，3，4， 5）的报价cij（百万元）见表，问该部门应该怎样 分配建造任务，才能使总的建造费用最小？
j1
xij
0
or
1
i, j 1,2,,5
例3：对于例4的指派问题，为了保证工程质量， 经研究决定，舍弃建筑公司A4和A5，而让技术力
量较强的建设公司A1，A2，A3参加招标承建，
根据实际情况，可允许每家建设公司承建一项或
二项工程。求使总费用最少的指派方案。
工程 公司
B1
B2
B3
B4
B5
A1 4 8 7 15 12
工程 公司
B1
B2
B3
B4
B5
A1 4 8 7 15 12
A2 7 9 17 14 10
A3 6 9 12 8 7
A4 6 7 14 6 10
A5 6 9 12 10 6
min Z 4x11 8x12 10x54 6x55
5 xij 1 j 1,2,,5
i 1
s.t 5 xij 1 i 1,2,,5
4 28 32 12 0 15 25
5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
x1 x2 1 x1 x2 x6 1
x3 x4 1 s.t x3 x4 x5 1
x4 x5 x6 1
xij 0,1 i 1,2,, n j 1,2,, n
1
指派问题
标准指派问题的提法及模型
指派问题的标准形式是：有n个人和n件事，已知第i 个人做第j件事的费用为cij（i，j=1，2，…，n），要求确 定人和事之间的一一对应的指派方案，使完成这n件事的 总费用最小。
设n2个0-1变量 1 若指派第i个人做第j件事 xij 0 若不指派第i个人做第j件事
各区之间消防车行驶的时间见下表。请为该市 制定一个最节省的计划
解：xi
1
0
在第i个地区建站 不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
地1 2 3 4 5 6 区
1 0 10 16 28 27 20
2 10 0 24 32 17 10 3 16 24 0 12 27 21
布点问题模型：
12 8 7 A3
12 8 7 A3'
上面的系数矩阵有6行5列，为了使“人”和“事”的数目相同，引入一 件虚拟的事B6，使之成为标准指派问题的系数矩阵：
• 例4（布点问题）某城市共有6个区，每个区都 可以建消防站。市政府希望设置的消防站最少
，但必须满足在城市任何地区发生火火警时， 消防车要在15分钟内赶到现场。据实地测定，
8x31 9x32 8x33 10 x34 10 x41 10 x42 9x43 11x44 x11 x12 x13 x14 1
工作
1 2 34 人
1 3 5 45 2 67 6 8
3 8 9 8 10
4 10 10 9 11
x21
x22
x23
x24
1
x31 x32 x33 x34 1
D
x43
12
2020/11/10
下面分析每年资金的使用情况并建立线性规划模型. 第1年初，有A, B两个项目，只能提供6万元资金，故有:
x11 x21 6 .项目B不得超过5万元，有 x21 ≤5；
1
2020/11/10
例1：现有4份工作，4个人应聘，由 Z表示总费用
于各人技术专长不同，他们承担 max Z 3x11 5x12 4x13 5x14
各项工作所需费用如下表所示，
6x21 7x22 6x23 8x24
且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
A2 7 9 17 14 10
A3 6 9 12 8 7
解：由于每家建筑公司最多可以承建两项，因此可把每家建筑公司看 成两家建筑公司，其系数矩阵为
B1 B2 B3 B4 B5
4 8 4 8 7 9 7 9 6 9 6 9
7 15 12 A1
7
15
12Байду номын сангаас
A1'
17 14 10 A2
17 14 10 A2'
x2 x5 x6 1 xi 0,1 i 1,2,,6
例5.某投资人在今后3年内有A,B,C,D共 4个投资项目，项目A 在3年内每年初投资，年底可获利润20%，并可将本金收回；项 目B在第1年年初投资，第2年年底可获利润60%，并将本金收回， 但该项目投资不得超过5万元；项目C在第2年初投资，第3年底 收回本金，并获利润40%，但该项目投资不得超过3万元；项目 D在第3年初投资，于该年底收回本金，且获利润30%，但该项 目投资不得超过2万元.该投资人准备拿出6万元资金，问如何制 订投资计划，使该企业在第3年底，投资的本利之和最大？
11
2020/11/10
【解】 这是一个连续投资问题.设决策变量xij为第j年投资到第i 个
项目的资金(i= 1,2,3,4,分别对应于项目A,B,C,D； j 1, 2分, 3别对
应于投资年份),见下表.
投资项目
投资机会 项目名称
第1年年初
第2年年初
第3年年初
A
x11
x12
x13
B
x21
C
x32
线性规划在国内外很多部门的规划、管理、决策过程中有大 量成功的应用，并收到了良好的效果.但是，应用线性规划来解 决某一类实际问题时，由于问题的复杂性和情况的多变性，要 真正建立一个反映实际问题的、能得出正确结论的理想模型， 并不是一件容易的事情.它要求建模者具有丰富的经验、较强的 创造力和比较熟练的技巧.本节通过一些被简化了的问题，介绍 建立线性规划模型的基本思路和基本技巧.
s.t
xx1411 x12
x42 x21 x22
x43 x31 x32
x44 x41 x42
1 1 1
解：
xij
1 0
第i人做第j 件事 第i人不做第j 件事
i=1,2, 3,4; j=1,2, 3,4
x13 x23 x33 x43 1
x14 x24 x34 x44