2019-2020巴蜀高三上理科数学第9次周考测试题
2019-2020年高三第9周周考数学理试题(重点班) 含答案
2019-2020年高三第9周周考数学理试题（重点班）含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共50分，第Ⅱ卷为11-22题，共100分．全卷共计150分．考试时间为120分钟．注意事项：1．答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．3．考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回．第Ⅰ卷（本卷共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={},B={},则=（）A．{-1,0} B．{0,1} C．{0} D．{1}2.下列说法错误的是（）A．命题“若x2—4x+3=0,则x=3”的逆否命题是“若x≠3,则x2-4x+3≠0”B．“x>l”是“|x|>0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题,则p、g均为假命题D．命题P:″,使得x2+x+1<0”,则3.在中，，，是边上的高，则的值等于（）A．0 B．C．4 D．4.函数(其中>0,<的图象如图所示,为了得到的图象,只需将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度5.xx第12届全国运动会将在沈阳举行,某校4名大学生申请当A,B,C三个比赛项目的志愿者,组委会接受了他们的申请,每个比赛项目至少分配一人,每人只能服务一个比赛项目,若甲要求不去服务A比赛项目,则不同的安排方案共有（）A．20种B．24种C．30种D．36种6．某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10人给一个代表名额,当班级人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数([x]表示不大于*的最大整数)可表示为（）A． B． C． D．7.已知,满足,则的最大值是（ ）A ．B ．C ．D ．8.已知中,三个内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若的面积为S,且等于（ ）A ．B ．C ．D ．9.已知函数的图象与直线交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为，则＋＋…＋的值为（ ）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log xxD ．1 10．已知函数的图象关于直线对称,且当成立若a=(20.2)···,则a,b,c 的大小关系是（ ） A ． B ． C ． D ．二．填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上.11.在的二项展开式中,常数项等于 . 12.的值是 . 13．已知，点在内,,设则 .考生注意：14～16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知∠D =46°，则∠A = ． 15．在极坐标系中，直线θ＝6π截圆＝2cos 6π(∈R)所得的弦长是________．14题图 16．函数的最小值为______.三．解答题：本大题共6小题，共75分。
重庆市巴蜀2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题含解析
数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”的否定是（）A.x ∃∈R ，2210x x ++≥B.x ∃∈R ，2210x x ++<C.x ∀∈R ，2210x x ++>D.x ∀∈R ，2210x x ++<【答案】B 【解析】【分析】利用全称量词命题的否定即可解答.【详解】命题“x ∀∈R ，2210x x ++≥”为全称量词命题，它的否定是存在量词命题，即x ∃∈R ，2210x x ++<，故选：B.2.今年高二（1）班的同学参加语文和数学两个学科的结业水平考试，每科满分为100分．考试成绩非常优秀，每个同学都至少有一科成绩在90分以上，其中语文90分以上的有45人，数学90分以上的有48人，这两科均在90分以上的有40人，高二（1）班共有（）个同学．A.45B.48C.53D.43【答案】C 【解析】【分析】由题意设出集合,A B 得到集合,A B 以及A B ⋂中元素的个数，即可得出A B 中元素的个数．【详解】设集合A 表示语文在90分以上的学生，则集合中有45个元素，集合B 表示数学在90分以上的学生，则集合中有48个元素，A B ⋂表示两科均在90分以上的学生，则集合A B ⋂中有40个元素，A B 表示至少有一科成绩在90分以上的学生，由题意可知A B 中有个45484053+-=元素，又因为每个同学都至少有一科成绩在90分以上，所以高二（1）班共有53人，故选：C ．3.关于x 的不等式lg lg lg 10k x x k x ⋅+-<对一切x +∈R 恒成立，则k 的取值范围是（）A.(,4]-∞-B.(,4][0,)-∞-+∞C.(4,0)-D.(4,0]-【答案】D 【解析】【分析】当0k =时，可知不等式恒成立；当0k ≠时，由二次函数图象和性质可得不等式组，解不等式组求得结果.【详解】x 的不等式2lg lg lg 1lg lg 10k x x k x k x k x ⋅+-=+-<对一切x +∈R 恒成立，当0k =时，不等式对一切x +∈R 恒成立，当0k ≠时，x +∈R 时lg x ∈R ，则有2Δ40k k k <⎧⎨=+<⎩，解得40k -<<，所以k 的取值范围是(4,0]-.故选：D4.19世纪美国天文学家西蒙·纽康和物理学家本·福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量10进制随机数据中，以()n n +∈N 开头的数出现的概率为1()lgn P n n+=，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若()193333log 8log 2(),19log 2log 5n k P n k k +=-=∈≤+∑N （说明符号()1,,jk i i j k i a a a a k i j ++==+++∈∑N ），则k 的值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】B 【解析】【分析】根据题意利用对数的运算法则可得19()lg 4n kP n ==∑，再由符号说明表达式即可求得5k =.【详解】易知19333333log 8log 2log ()lg 4log o 4102log 5l g n kP n =-===+∑，由1()lg n P n n +=可得191212()lg l 19g lg lg l 2020201119g n kk k k k k k k k k P n =++++⎛⎫=++⋅⋅⋅+=⨯⨯⋅⋅⋅⨯= ⎭++⎪⎝∑；所以lglg 420k=，解得5k =.故选：B5.某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，若小轮的半径为2cm ，则小轮每秒转过的弧长是（）cm．A.10πB.5πC.π3D.π6【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，求出小轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得.【详解】由大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转3圈，得小轮每分钟转的圈数为325515⨯=，因此小轮每秒钟转的弧度数为52ππ606⨯=，所以小轮每秒转过的弧长是2cm cm ππ63⨯=.故选：C6.已知函数32()6f x x x =-，若()()g x f x a b =+-为奇函数，则（）A.2a =，16b =B.2a =-，16b =-C .2a =-，16b = D.2a =，16b =-【答案】D 【解析】【分析】根据奇函数定义可得()()0f x a b f x a b +-+-+-=恒成立，化简可求,a b .【详解】因为()()g x f x a b =+-为奇函数，32()6f x x x =-，所以()()0f x a b f x a b +-+-+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+-+-+--+-=，所以()()()()3232660x a x a b x a x a b +-+------=，所以()23261221220a x a a b -+--=，所以6120a -=，3221220a a b --=，所以2a =，16b =-，故选：D.7.若函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++在区间(0,3)上不单调，则k 的取值范围是（）A.(4,3)--B.(5,2)-- C.(5,3)-- D.(4,2)--【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数()f x '，利用()f x '在(0,3)上有变号零点列式求解即得.【详解】函数32()(1)(5)2f x x k x k x =+-+++，求导得2()32(1)5f x x k x k '=+-++，由函数()f x 在区间(0,3)上不单调，得()f x '在(0,3)上有变号零点，由()0f x '=，得2232(1)50(21)325x k x k k x x x +-++=⇔-+=-+，则24(21)3(2)4220k x x x -+=-⋅+，令21(1,7)x t +=∈，于是2243(1)4(1)2031027kt t t t t -=--⋅-+=-+，即有943(10k t t-=+-，令9()3()10,17g t t t t=+-<<，函数()g t 在(1,3]上单调递减，函数值从20减小到8，在[3,7)上单调递增，函数值从8增大到1047，由()f x '在(0,3)上有变号零点，得直线4y k =-与函数(),17y g t t =<<的图象有交点，且当有两个交点时，两个交点不重合，因此8420k <-<，解得52k -<<-，所以k 的取值范围是(5,2)--.故选：B8.已知函数()e e x x f x -=+，若关于x 的方程()2f x x k +=有4个不同的实数根，则k 的取值范围是（）A.11442,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.()222,e e -+ C.11222,e e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D.11114422e e ,e e --⎛⎫++ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】先得到()e e x x f x -=+的奇偶性和单调性，从而令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时推出只有两个根，不合要求，若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，故210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，有根的判别式得到11144t -<<且10t ≠，结合函数单调性和奇偶性得到11441()2,e e k f t -⎛⎫=∈+ ⎪⎝⎭.【详解】()e e x x f x -=+的定义域为R ，且()e e ()x x f x f x --=+=，故()e e x x f x -=+为偶函数，且当0x >时，0()e e x x f x -=->'恒成立，故()e e x x f x -=+在0,+∞上单调递增，由对称性可知()f x 在(),0∞-上单调递减，()min ()02f x f ==，令2x x t +=，若()f t k =仅有一个实数根0t ，则00t =，2k =，此时20x x +=，解得10x =或1-，仅有2个实数根，不合要求，舍去；若()f t k =有两个实数根12,t t ，由对称性可知21t t =-，需要满足21x x t +=和21x x t +=-均有两个解，即210x x t +-=和210x x t ++=均有两个解，由11140,140t t ∆=+>∆=->，解得11144t -<<，又10t ≠，故11144t -<<且10t ≠，即1111441()e e 2,e e t t k f t --⎛⎫==+∈+ ⎪⎝⎭.故选：A【点睛】方法点睛：复合函数零点个数问题处理思路：①利用换元思想，设出内层函数；②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.若tan α=，则下列与角α的终边可能相同的角是（）A.4π3B.5π3C.ππ3k +，k ∈Z D.2π2π3k -，k ∈Z 【答案】ACD 【解析】【分析】通过正切函数值相等，分析判断对应角的终边是否相同.【详解】对于A ，4πtan 3=，因此A 正确；对于B ，5πtan3=B 不正确；对于C ，πtan π3k ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此C 正确；对于D ，2πtan 2π3k ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因此D 正确。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)(含解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．06．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．29．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．610．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣5211．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝时取得最小值．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x＜1}，B＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】求得抛物线的焦点F和准线方程，代入M的坐标，解得x0，再由抛物线的定义可得所求值．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，M（x0，2）在抛物线C上，可得8＝4x0，即x0＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝2+1＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．0【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的余弦值的和，n从1取到1009．【解答】解：通过分析知该算法是求和cos+cos+cos+cos+…+cos，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，由于1009＝168×6+1，故cos+cos+cos+cos+…+cos＝168（cos+cos+cos+cos+…+cos）+cos＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象【分析】求出f（x）的对称轴，将代入，根据φ的取值范围求得φ，进而得到函数解析式，根据正弦函数的性质作答；【解答】解：由题意得，2×+φ＝+kπ，φ＝﹣+kπ，∵∴φ＝﹣，A选项不正确；∴f（x）＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得函数的单调增区间为﹣+kπ≤x≤+kπ，B选项不正确；f（x）＝2sin2（x﹣），D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象性质及图象变换，属于基础题．7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tan＝＝3，∴解得tanα＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】由已知可知，f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，从而可知函数的周期T＝4，然后代入可求．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，∴函数的周期T＝4，∵当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝f（2﹣）＝f（）＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是灵活利用性质．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．6【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V＝V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC＝＝2+＝，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣52【分析】根据中点的性质以及对称性，转化为三角形的中位线关系，结合双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：设M，N的中点是P，∵点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，∴F1是AM的中点，F2是BM的中点，则PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，则|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|﹣|NB|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝﹣2×2a＝﹣4a，由双曲线的方程得a2＝169，得a＝13，即|NA|﹣|NB|＝﹣4a＝﹣4×13＝﹣52，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，结合三角形中位线的性质是解决本题的关键．注意数形结合．11．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种【分析】首先分析题意，将原题转化为“走3次向上，2次向右，2次向前且3次向上不连续的”排列组合问题，再由组合数得其数目．【解答】解：根据题意最近路线，那就是不走回头路，不走重复路线；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共七次；因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列共；因为2次向右没有顺序，所以再除以；同理还需在除以接下来就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排3个元素共；则共有；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原题转化为排列、组合问题，特别注意题干中“不连续向上攀登”的限制．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【分析】根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），对其求导分析可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，进而分情况讨论可得f（x）＞0，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），g′（x）＝x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，g（x）＝x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为240．【分析】求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：若a＝＝e x＝e ln3﹣e0＝2，则＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为•16＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝1时取得最小值．【分析】根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值．【解答】解：∵m，n为正实数，∴＝≥＝5，当且仅当，即时取等号，∴当＝1时，取得最小值．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是（，+∞）．【分析】由题意可得f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立可转化为，可令x＝cos2θ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．【解答】解：f（x+）＝x3+2017x﹣2017﹣x+1，可得f（﹣x）＝﹣x+2017﹣x﹣2017x+1，则f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（+x）+f（﹣x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x+）在R上递增，f（x+）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2﹣（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m＝sin（θ+），则﹣≤m≤，则g（m）＝m2﹣m﹣2，其对称轴m＝，故当m＝﹣时，g（m）取的最大值，最大值为2+﹣2＝．则t＞，故答案为：（，+∞）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先确定周期，再确定ω，代入最值点求得φ值．（Ⅱ）观察角度之间的关系，根据二倍角公式、辅助角公式化简g（x），求得周期，并用整体法求函数在区间的最值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知：A＝1，T＝，∴ω＝＝2．又∵2×+φ＝+2kπ，∴φ＝+2kπ，又，∴φ＝，即函数解析式为f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）g（x）＝sin（2x+）+2sin（x﹣）sin[（x﹣）+]＝sin（2x+）+2sin （x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）＝sin2x+cos2x﹣sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣）．∴g（x）的最小正周期为π，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝﹣，即x＝0时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查根据函数图象求解析式，掌握二倍角公式，辅助角公式，属于基础题．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况列表，利用对立事件概率计算公式有求出所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表：∴所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：P1＝1﹣＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结DG，推导出四边形BCDG是平行四边形，AD⊥BD，AD⊥平面BFED，由此能证明平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）由于BFED是矩形，BD⊥DE，由AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点G，连结DG，则CD AB，∴CD DG，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，又平面ABCD⊥平面BFED，且平面ABCD∩平面BFED＝BD，∴AD⊥平面BFED，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）解：由于BFED是矩形，∴BD⊥DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），＝（2，0，0），设点P（0，t，2），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，t，2），平面P AB的法向量＝（x，y，z），∴，取y＝2，得平面P AB的一个法向量为＝（2，2，2﹣t），∴sinθ＝＝，当t＝2时，（sinθ）max＝，∴θmax＝．∴θ的最大值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，求得NE的方程为y＝x﹣，由椭圆离心率把椭圆方程化为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由抛物线方程利用导数求得抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1，由点P（x0，y0）在切线l1上，得，同理，则点B，C的坐标都满足方程，可得直线BC的方程为，再由点A（1，1）在直线BC上，得，可得点P的轨迹方程为y＝，进一步得到直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），可得直线y＝与椭圆C1有两个交点，则满足条件的P有两个．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k NE＝1，NE的方程为y＝x﹣．∵椭圆C1的（a＞b＞0）的离心率为，即，则a＝2c，b＝，∴椭圆C1的方程：，联立，得．由△＝，得c＝1．∴椭圆C1的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2＝4y，得，y，∴抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1为，即，∵，∴y＝．∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴，①同理，②综合①②得，点B，C的坐标都满足方程．∵经过B，C两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为．∵点A（1，1）在直线BC上，∴，∴点P的轨迹方程为y＝．又∵点P在椭圆C1上，又在直线y＝上，∴直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），∴直线y＝与椭圆C1有两个交点，∴满足条件的P有两个．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合，考查计算能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点x1，x2，关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a ＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，进而解出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知⇒，＝＝，只需确定它的最大值就可证明．【解答】解：由题意：f′（x）＝2x﹣（x＞﹣4），∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，令s（x）＝2x2+8x（x＞﹣4），t（x）＝a，则s（x）与t（x）的图象有两个不同的交点，结合图象可得a∈（﹣8，0），（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⇒，＝，＝，令g（x）＝x++8﹣2（x+2）ln（﹣x）（﹣1＜x＜0），g′（x）＝1﹣﹣2ln（﹣x）﹣2（x+4）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），令F（x）＝g′（x）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），（﹣1＜x＜0），则F′（x）＝+﹣＝＜0，∴F（x）在（﹣1，0）单调递减，从而F（x）＜F（﹣1）＝﹣9＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，从而g（x）＜g（﹣1）＝﹣9，即，又x2∈（﹣1，0），∴f（x1）＞﹣9x2，故f（x1）+9x2＞0．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）首先利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用参数方程点的坐标公式，利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及函数的性质的应用求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＝0，转换为直角坐标方程为．圆心坐标为（0，2），r＝．曲线C2的参数方程为，（θ为参数）转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）根据曲线C2的参数方程为，（θ为参数）设点Q（2cosθ，sinθ），则点Q与圆心的距离d＝＝＝，当时，，所以|PQ|的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m＝4，然后解方程可得a＝﹣1．（2）结合（1）的结论，原不等式即p2+2q2+r2＝4，利用不等式的性质和均值不等式的结论即可证得题中的结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2|x+1|+|x+3|≥|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，当且仅当，即x＝﹣1时，f（x）min＝4，∴m＝4，a＝﹣1．（2）证明：由（1）知：p2+2q2+r2＝4，∵p2+q2≥2pq，q2+r2≥2qr，∴p2+2q2+r2≥2pq+2qr＝2q（p+r），即2q（p+r）≤4，∴q（p+r）≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的应用以及均值不等式的应用，属于中档题．。
重庆市巴蜀2019届高三上学期一诊模拟考试试题 数学理Word版含答案
重庆市巴蜀2019届高三上学期一诊模拟考试试题数学理第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数i a a a a z )23(222+-+-+=为纯虚数，那么实数a 的值为 A.-2 B.1 C.2 D.1或-22.已知集合{})4(log 22x y x A -==，{}12+==x y y B ，则=B A A.φ B.(1,3) C. ),1(+∞ D.(1,2)3.直线l 过点(0,2)，被圆0964:22=+--+y x y x C 截得的弦长为32，则直线l 的方程是 A.234+=x y B.231+-=x y C.y=2 D. 234+=x y 或y=24.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为 A.87 B.109 C.98 D.11105.已知各项不为0的等差数列{}n a 满足0328274=+-a a a ，数列{}n b 是等比数列，且77a b =，则1083b b b = A.1 B.8 C.4 D.26.已知函数f(x)是定义在),(+∞-∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当)2,0[∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2016()2015()2014(f f f +-+的值为 A.-1 B.-2 C.2 D.17.对于函数f(x)=xcosx ，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是π2；③点)0,2(π是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间]4,0[π上单调递增.其中是真命题的为A.②④B.①④C.②③D.①③9.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知b c a =-22，且C A C A sin cos 2)sin(=-，则b=A.6B.4C.2D.110.已知正三棱锥V-ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是 A.39 B.36 C.38 D.611.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最大值为A.2B.33 C.1 D.332 12.若函数f(x)在[a,b]上的值域为]2,2[ba ，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①411)(+-=x x g ；②)81)21((log )(21+=x x h ；③x x p 1)(=；④x x q ln )(=.“和谐函数”的个数为 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数⎩⎨⎧≤>=,0,2,0,log )(3x x x x f x 则=)))31(((f f f _______.14.二项式)()212(*∈-N n xx n的展开式中，二项式系数最大的项是第4项，则其展开式中的常数项是_____. 15.△ABC 中，∠A=120°，∠A 的平分线AD 交边BC 于D ，且AB=2，CD=2DB ，则AD 的长为_____16.A ，B ，C ，D 四点在半径为225的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是______.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项11=a ，且满足)(0)1(11*++∈=+-N n a a a n n n . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设nnn a c 3=，求数列{}n c 的前n 项和n S .18.（本小题满分12分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，...，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘（2）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60)记0分，在[60,80)记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面是边长为1的正方形，侧棱21=AA ，E 是侧棱1BB 的中点. （1）求证：平面E AD 1⊥平面E D A 11； （2）求二面角B AC E --1的正切值.20（本小题满分12分）椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，M 为线段PQ 的中点，O 为坐标原点，设直线l 的斜率为1k ，直线OM 的斜率为2k ，3221-=k k . （1）求椭圆C 的离心率；（2）设直线l 与x 轴交于点)0,3(-D ，且满足2=，当△OPQ 的面积最大时，求椭圆C 的方程.21.（本小题满分12分） 已知函数1ln )(+-=kx x x f .（1）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围；（2）证明：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n .请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知曲线C 的参数方程为：θθθ(,sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数），直线l 的参数方程为：t t y t x (,1,32⎩⎨⎧+=+=为参数），点P(2,1)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.（1）写出曲线C 和直线l 在直角坐标系下的标准方程； （2）求PB PA ⋅的值.23（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 （1）设函数a x x x f --++=21)(的定义域为R ，试求a 的取值范围；（2）已知实数x ，y ，z 满足x+2y+3z=1，求222z y x ++的最小值.重庆市巴蜀2019届高三上学期一诊模拟考试试题数学理参考答案一、选择题1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC 【解析】1.⎩⎨⎧≠+-=-+,023,0222a a a a 即a=-2，故选A.4.98981321211=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=S ，故选C. 5.设等差数列的公差是d ，由0328274=+-a a a ，0)(3237277=++--d a a d a ，解得27=a 或者07=a （舍去），所以8)(371083==b b b b ，故选B.6.由已知f(x)为R 上的奇函数，且对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，则1)0()1()0()2016()2015()2014(-=+-=+-+f f f f f f ，故选A.7.f(0)=0，ππ2)2(=f ，)2()0(πf f ≠，所以②错；f(0)=0，ππ-=)(f ，)()0(πf f -≠，所以③错，故选B.8.由题意，当直线)0,0(>>+=b a by ax z 过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而6252613)(613632)32(32=+≥++=++=+b a a b b a b a b a ，故选A. 9.222)(2sin cos 3cos sin b c a C A C A =-⇒=，又b c a =-22，代入得b=2，故选C.10.如图，根据三视图间的关系可得32=BC ，∴侧视图中32)322332(422=⨯⨯-=VA ，∴三棱锥侧视图面积6323221=⨯⨯=VBC S △，故选D.11.过A ，B 分别作抛物线准线的垂线AQ ，BP ，垂足分别为Q ，P ，连接AF ，BF ，设a AF =，b BF =.由抛物线定义及余弦定理得：120cos 2222ab b a AB -+=，2ba MN +=，由均值不等式得：33≤AB MN ，故选B.12.由题意知，若f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足：2)(a a f =，2)(bb f =，结合图象知：①②正确，④错误.若f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足：2)(b a f =，2)(ab f =，对于③，代入有⎪⎩⎪⎨⎧==2121a b b a ，ab=2即可.例如：]4,21[满足题意，所以③正确，故选C.二、填空题 13.21log 3【解析】21log )21())1(()))31(((3==-=f f f f f f . 14.-20 【解析】由题意知，展开式中有7项，n=6，r r r r rr r r x C xx C T 262666612)1()21()2(---+-=-=，6-2r=0，解得r=3，所以常数项为-20.15.34【解析】由题意B ，C ，D 三点共线，且12=BD CD ，则AD=，根据角平分线的性质21==CD BD AC AB，所以AC=4，91622=AD ，所以34=AD .16.20 【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为a ，b ，c ，则有2522=+b a ，4122=+c a ，50222=++c b a ，解得a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是20.三、解答题 17.解：（1）整理得1111=-+nn a a ， ....................................3分 所以n n a n=-+=)1(11，所以n a n 1=. ....................................6分（2）由（1）知，n n n c 3⋅=， ....................................7分n n n S 333323132⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=，①143233)1(3332313+⨯+⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n n n S ，② (9)分①-②有132333332+⨯-+⋅⋅⋅+++=-n n n n S ， 解得：4334)12(1+⨯-=+n n n S . ....................................12分 18.解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有110)005.0025.02015.001.0(=+⨯++⨯+x ，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示. .....................................4分估计本次考试的平均分为7105.09525.0853.07515.06515.0551.045=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=x . ....................6分（2）学生成绩在[40,60)的有156025.0=⨯人，在[60,80)的有276045.0=⨯人，在[80,100]的有18603.0=⨯人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4. ......................7分则1187)0(260215===C C P ξ；11827)1(260127115===C C C P ξ，590207)2(260227118115=+==C C C C P ξ； 29581)3(260118127===C C C P ξ；59051)4(260218===C C P ξ. ..........................9分 所以ξ的分布列为...................................11分1.2590514295813590207211827111870)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . ........................12分 19.（1）证明：如图，在矩形11A ABB 中，E 为1BB 中点且21=AA ，AB=1， 所以21==E A AE ，所以AE A 1△为等腰直角三角形，AE EA ⊥1. .......................................2分在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，因为底面是边长为1的正方形， 所以⊥11D A 平面11ABB A . 又因为⊂AE 平面11ABB A ，所以AE D A ⊥11，所以⊥AE 平面E D A 11. ........................4分又因为⊂AE 平面E AD 1，所以平面E AD 1⊥平面E D A 11. ....................6分（2）解：方法一：因为AB ⊥平面11BCC B ，所以平面1ABC ⊥平面11BCC B ，所以只需在平面11BCC B 内过点E 作EF ⊥1BC 于F ，而EF ⊥平面1ABC . 如图，过F 作FG ⊥1AC 于G ，连接EG ，则∠EGF 就是二面角B AC E --1的平面角. .....................8分在1EBC △中，55211111=⋅==BC B C EB BC S EF EBC △， 所以5532211=-=EF E C F C . 在1ABC △中，1030sin 1111=⋅=∠⋅=AC AB F C G FC F C FG . ..................10分 在EFG RT △中，36tan ==∠FG EF EGF . 所以二面角B AC E --1的平面角的正切值大小为36. .................12分 方法二：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由题意)2,0,1(1A ，E(1,1,1)，)2,0,0(1D ，A(1,0,0)，)2,1,0(1C ，C(0,1,0)，B(1,1,0)， .......7分 )1,1,0(=AE ，)1,0,1(1-=E C ，设平面1AEC 的一个法向量为),,(z y x =， 则)1,1,1(00-=⇒⎩⎨⎧=-=+z x z y ， 同理可得，平面1ABC 的一个法向量为)1,0,2(=， ..................10分 代入公式有：515353,cos =⋅>=<n m ， 所以二面角B AC E --1的平面角的正切值大小为36. .................12分 20.解：（1）设),(11y x P ，),(22y x Q ，代入椭圆C 的方程有：1,1221221222222=+=+by a x b y a x ， .........................2分 两式相减：02212222122=-+-b y y a x x ， 即0))(())((2121221212=+-++-b y y y y a x x x x ， 又⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=--=1212212121x x y y k x x y y k ， 联立两个方程有322221-=-=a b k k ， ........................4分 解得：33==a c e . ..................5分 （2）由（1）知33==a c e ，得22222,3c b c a ==， 可设椭圆C 的方程为：222632c y x =+，设直线l 的方程为：3-=my x ，代入椭圆C 的方程有06634)32(222=-+-+c my y m ， .............................6分 因为直线l 与椭圆C 相交，所以0)66)(32(448222>-+-=∆c m m ， 由韦达定理：3234221+=+m m y y ，32662221+-=m c y y . 又QD DP 2=，所以212y y -=， 代入上述两式有：329666222+-=-m m c ， ...................8分 所以32)66)(32(448232*********+-+-=∆=-=∆m c m m a y y OD S OPQ ..................9分 2633211832182≤+=+=m m m m， .......................10分 当且仅当232=m 时，等号成立，此时52=c ，代入∆，有0>∆成立， 所以所求椭圆C 的方程为：1101522=+y x . .........................12分 21.（1）解：由0)(≤x f 有：1ln +≥x kx ， 即：x x k 1ln +≥，令xx x h 1ln )(+=， 0ln )(2=-='xx x h ，解得x=1， ........................2分 在(0,1)上，0)(>'x h ；在),1(+∞上，0)(<'x h .所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即1≥k . ..................4分（2）证明：由（1）知，当k=1时，1ln -≤x x ，当且仅当x=1时，取等号.令)2,(2≥∈=*n N n n x ，有1ln 22-≤n n ， 即2211ln 2n n n <<-， ..................6分 4)2)(1()32(211ln 154ln 83ln 32ln 2+-=+⋅⋅⋅++<-+⋅⋅⋅+++n n n n n ，① ...........9分 令n x 11+=，有3)11(1)11ln(<<+⇒<+e n n n n ，② ...............11分 ①+②有：)2,(410)11(1ln 154ln 83ln 32ln 22≥∈++<++-+⋅⋅⋅+++*n N n n n n n n n . ......12分 22.解；（1）曲线C 的标准方程为：1222=+y x ， 直线l 的标准方程为：0323=+--y x . ..........................5分（2）将直线l 的参数方程化为标准方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 211232（t 为参数）， ................6分 代入椭圆方程得：016)13(852=+++t t ， ...........................8分 所以51621==⋅t t PB PA . ..........................10分 23.解：（1）由题设知，当R x ∈时，恒有021≥--++a x x ， 即a x x ≥-++21，又321≥-++x x ，∴3≤a . ........................................5分（2）由柯西不等式1)32()321)((2222222=++≥++++z y x z y x ， ∴141222≥++z y x ， 当且仅当321z y x ==时，即141=x ，71=y ，143=z 时， 222z y x ++取最小值141. .........................10分。
四川省巴中市市第九中学2019-2020学年高三数学理联考试卷含解析
四川省巴中市市第九中学2019-2020学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 偶函数满足，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是（）A．1 B.2 C.3 D.4参考答案：【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】解析：解：∵∴∴原函数的周期T=2又∵是偶函数，∴.又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．方程根的个数，即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y1=f（x），的图象：又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），共有4个交点．∴在[0，4]上，原方程有4个根．故选D．【思路点拨】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．2. 若(为虚数单位)是关于的实系数方程的一个复数根，则 ( )A.，B.，C.，D.，参考答案：D【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/实系数一元二次方程的解.【试题分析】因为是关于的实系数方程的一个复数根，所以方程的另一个根为，由根与系数的关系得，，所以，故答案选D.3. 若关于x，y的混合组：有解，则a的取值范围是( )A.[1，3]B.[2，]C.[2，9]D.[，9]参考答案：C4. 已知集合A. B. C. D.参考答案：A5. 下列有关命题的说法正确的是（）(A) 命题"若，则X=1”的否命题为：“若，则;x1”(B) "x=-l"是“”的必要不充分条件(C) 命题“^，使得：”的否定是：“，均有”(D) 命题“若x=y,则”的逆否命题为真命题参考答案：D略6. 已知点三点不共线，且有，则有（）A、B、C、D、参考答案：B略7. 已知正方体ABCD一A1B1C1D1，，下列命题：③向量与向量的夹角为600④正方体ABCD一A1B1C1D1的体积为，其中正确命题序号是A.①③B.①②③C.①④D.①②④．参考答案：A【知识点】空间向量及应用F1解析：如图所示：以点D为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），D1（0，0，1），对于①：，∴，，∴，∴||=，||=1，∴①正确；对于②：，，∴=2．∴②错误；对于③：，，∴，∴③正确；对于④：∵，∴④错误，故选A.【思路点拨】结合图形，以点D为坐标原点，以向量，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后结合空间向量的坐标运算，对四个命题进行逐个检验即可．8. 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（）A．7 B．12 C．17 D．34参考答案：C【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=2，当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；故输出的S值为17，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．9. 已知各项均为正数的等比数列{}中,则( )A. B.7 C.6D.4参考答案：A由得又，所以，即，所以，选A.10. 若a>l，设函数f（x）=a x+x －4的零点为m，函数g（x）= log a x+x－4的零点为n，则的最小值为A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在平行四边形ABCD中，，，，且，则平行四边形ABCD的面积的最大值为．参考答案：12. 已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是___________.参考答案：3略13. 点 A，B，C，D在同一球面上，AB=BC=，AC=2，若球的表面积为，则四面体ABCD体积的最大值为．参考答案：【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：根据题意知，△ABC是一个直角三角形，其面积为1．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，球的半径为r，因为球的表面积为，所以4πr2=所以r=，四面体ABCD的体积的最大值，底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，就是D到底面ABC距离最大值时，h=r+=2．四面体ABCD体积的最大值为×S△ABC×h==，故答案为：．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD 的体积的最大值，是解答的关键．14. 阅读下列程序框图，该程序输出的结果是．参考答案：729【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．【解答】解：分析框图可得该程序的作用是计算并输出S=9×9×9的值．∵S=9×9×9=729故答案为：729【点评】要判断程序的运行结果，我们要先根据已知判断程序的功能，构造出相应的数学模型，转化为一个数学问题．15. 已知，那么▲；参考答案：16. （ax+）5的展开式中x3项的系数为20，则实数a= ．参考答案：4【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】通项得出r，在根据系数列方程解出a．【解答】解：展开式的通项为T r+1==a5﹣r x，令5﹣=3得r=4，∴a?C=20，解得a=4．故答案为4．17. 已知矩形ABCD的顶点都在半径为13的球O的球面上，且，，过点D 作DE垂直于平面ABCD，交球O于E，则四棱锥E-ABCD的体积为_____________.参考答案：384三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019届重庆巴蜀中学上学期高三期中复习数学(文)试题(解析版)
2019届重庆巴蜀中学上学期高三期中复习数学（文）试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带等。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将答题卡依序排列上交。
8、本科目考试结束后，请将试卷自行保管，以供教师讲评分析试卷使用。
一、单选题1．已知集合为实数，且，为实数，且，则的元素个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】【分析】解方程组即得的元素个数.【详解】联立两集合中的函数关系式得：，解得，故，元素个数为2，故选C．【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2．设，，则是成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据对数函数的性质求出关于p的x的范围，结合集合的包含关系，得到答案即可．【详解】由得，，解得或，所以是成立的必要不充分条件.故选：B【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．3．若实数x，y满足，则的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．14【答案】C【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，平移直线，利用目标函数的几何意义，可求最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分），由得，平移直线，由图象可知，当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，由，解得，即，代入目标函数得，即目标函数的最大值为，故选C.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．为了得到函数的图像，可以将的图像向A．右平移个单位B．左平移个单位C．右平移个单位D．左平移个单位【答案】A【解析】【分析】先根据诱导公式将函数化为同名，再根据函数左加右减的原则进行平移即可.【详解】= 将函数图像向右平移个单位得到，.故答案为：A. 【点睛】点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x 的系数提出来，针对x 本身进行加减和伸缩.5．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若236,,a a a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ）A ． 24-B ． 3-C ． 3D ． 8 【答案】A【解析】∵等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.a 2,a 3,a 6成等比数列， ∴a 23=a 2⋅a 6，∴(a 1+2d )2=(a 1+d )(a 1+5d ),且a 1=1，d ≠0， 解得d =−2，∴{a n }前6项的和为61656242S a d ⨯=+=- . 本题选择A 选项.点睛：(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． 6．已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（ ）A ．B ． 或C ．D ． 或【答案】D【解析】分析：由过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，可判定一定在抛物线上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点代入即可得结果.详解：过，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，一定在抛物线上：一条切线，一条对抛物线的对称轴平行的直线，若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，将代入方程可得，物线的标准方程为；若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，代入方程可得得，将物线的标准方程为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.,7．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】运行程序框图即得解.【详解】根据程序框图，要得到，则需要循环50次，每次循环加2，的初始值为2，的最大值为100，故判断框内填入的条件应为．故选D．【点睛】(1)本题主要考查程序框图，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题要注意等号问题，不要错选B了.8．已知，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】构造函数，求导当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，即可得出结论.【详解】因为，当，当，所以函数在上增函数在上减函数，所以，，故选C.【点睛】本题主要考查了观察推理能力，函数的极值，函数的导数在单调性极值方面的应用，属于中档题.9．若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如图所示，则所截去的三棱锥的外接球的表面积等于A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原原图，进而得到切掉的三棱锥的形状，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，根据勾股定理列出方程即可.【详解】由三视图知几何体是底面为边长为3，4，5的三角形，高为5的三棱柱被平面截得的，如图所示，截去的是一个三棱锥，底面是边长为3，4，5的直角三角形，高为3，的棱锥，如图蓝色线条的图像是该棱锥，三棱锥上底面外接圆半径圆心设为M半径为r，球心到底面距离为设球心为O，由勾股定理得到故选A.【点睛】这个题目考查的是三视图和球的问题相结合的题目，涉及到三视图的还原，外接球的体积或者表面积公式。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(文科)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合M＝{x|x2−x−20<0}，集合N＝{x|y=√x−1}，则M∩N＝（）A.(−4, 1]B.[0, 4)C.[1, 5)D.(1, 5)【答案】C【考点】交集及其运算【解析】先分别求出集合M，N，由此能求出M∩N．【解答】∵集合M＝{x|x2−x−20<0}＝{x|−4<x<5}，集合N＝{x|y=√x−1}＝{x|x≥1}，∴M∩N＝{x|1≤x<5}＝[1, 5)．2. 已知254+3i=4−ni，其中n是实数，i为虚数单位，则n＝（）A.3B.−3C.1D.−1【答案】A【考点】复数的运算【解析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵254+3i =25(4−3i)(4+3i)(4−3i)=4−3i=4−ni，n是实数，∴n＝（3）3. 设命题p：“∀x>2，x2−x>ln2x”，则￢p为（）A.∃x0>2，x02−x0>ln2x0B.∃x0≤2，x02−x0≤ln2x0C.∃x0>2，x02−x0≤ln2x0D.∀x>2，x2−x≤ln2x【答案】C【考点】命题的否定【解析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可【解答】命题p：“∀x>2，x2−x>ln2x”，则￢p为∃x0>2，x02−x0≤ln2x0，4. 已知等比数列{a n}的前n项和是S n，若a32=a1a2，三个数4a4，5，8a7成等差数列，则S4＝（）A.154B.30C.32D.15【答案】B【考点】等比数列的前n项和【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a32=a1a2，三个数4a4，5，8a7成等差数列，可得2a1= a12q3，10＝4a4+8a7＝4a1(q3+2q6)，联立解得a1，q．利用求和公式即可得出．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，∵a32=a1a2，三个数4a4，5，8a7成等差数列，∴2a1=a12q3，10＝4a4+8a7＝4a1(q3+2q6)，联立解得a1＝16，q=12．则S4=16(1−1 24 )1−12=(30)5. 已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.16π−163B.16π−323C.8π−163D.8π−323【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱，挖去一个四棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个半圆柱，挖去一个四棱锥所得的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，故体积为：12π22⋅4=8π．四棱锥的底面边长为4，高为2，故体积为：13⋅42⋅2=323．故组合体的体积V＝8π−323．6. 已知变量x ，y 满足约束条件{x −y +4≥04x +y −4≤0y ≥1 ，则5x +y 的最小值为（ ）A.194B.4C.−14D.−15【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z ＝5x +y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最小值即可． 【解答】先根据变量x ，y 满足约束条件{x −y +4≥04x +y −4≤0y ≥1，画出可行域，如图：当直线z ＝5x +y 过点A(−3, 1)时， z 最小是−14，7. 设函数f(x)＝log a (√4x 2+1+ax)为奇函数，则实数a 的值为（ ） A.4 B.1 C.−2 D.2 【答案】 D【考点】函数奇偶性的性质 【解析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可得到结论 【解答】∵ 函数f(x)＝log a (√4x 2+1+ax)为奇函数， ∴ f(−x)＝−f(x)， 即f(−x)+f(x)＝0，则log a (√4x 2+1+ax)+log a (√4x 2+1−ax)＝log a (4x 2+1−a 2x 2)＝0， 即a 2＝4，又由a >0且a ≠1得： a ＝2，8. 如图所示的程序框图，输出的y 满足1<y ≤2，则输入值x 的取值范围为（ ）A.(−log 23, −1]∪(1, 3]B.(−1, −log 32]∪[1, 2)C.[−1, −log 32)∪(1, 2]D.[−log 23, −1)∪(1, 3] 【答案】 A【考点】 程序框图 【解析】算法的功能是求y ={log 2(x +1),x ≥02−x −1,x <0 的值，分段求出输出值y ∈(1, 2]时x 的范围，再求并集 【解答】当x <0时，1<y ＝2−x −1≤2⇒−log 23<x ≤−(1) ∴ 输入值x 的取值范围为：(−log 23, −1]∪(1, 3]． 故选：A ．9. 已知抛物线C:y 2＝2px 的焦点为点F(1, 0)，斜率为√3的直线m 过焦点F ，且m 交抛物线于点P ，P 在第一象限，l 为C 的准线，过点P 作PQ ⊥l ，垂足为点Q ，则△PQF 的内切圆的半径为（ ） A.43B.23C.2√33D.√3 【答案】C【考点】 抛物线的性质 【解析】根据抛物线的定义和性质，分别求出P ，Q 的坐标，即可求出三角形的三条边的长，根据面积法即可求出． 【解答】抛物线C:y 2＝2px 的焦点为点F(1, 0)，∴ p2=1，即p ＝2，抛物线C 的准线l 为x ＝−1， ∵ 斜率为√3的直线m 过焦点F ， ∴ 直线m 的方程为y =√3(x −1)，由{y 2=4x y =√3(x −1) ，解得{x 1=13y 1=−2√33，或{x 2=3y 2=2√3 ， ∵ P 在第一象限，∴ P(3, 2√3)， ∵ PQ ⊥l ，∴ Q(−1, 2√3)，∴ |PQ|＝3−(−1)＝4，|PF|=√(3−1)2+(2√3−0)2=4，|QF|=√(−1−1)2+(2√3−0)2=4，∴ S △PQF =12|PQ|⋅y 2=12×4×2√3=4√3， 设内切圆的半径为r ，∵ S △PQF =12(PF +PQ +QF)⋅r =12×12r ＝6r ， ∴ 6r ＝4√3， ∴ r =2√3310. 已知直线x +y +mn ＝0与圆x 2+y 2+2x −3＝0相交所得的弦长为4，m >n >0，则m−nm 2+n 2的最大值等于（ ） A.√24B.√55C.2−√3D.√36【答案】 A【考点】直线与圆的位置关系 【解析】求出直线过圆心，得到mn ＝1，根据基本不等式的性质求出代数式的最大值即可． 【解答】由x 2+y 2+2x −3＝0得：(x +1)2+y 2＝4， 故圆心是(−1, 0)，半径r ＝2， 而弦长是4，故直线过圆心，将(−1, 0)代入直线方程得：mn ＝1， 故m−nm 2+n 2(m >n >0) =m −n(m −n)2+2=1(m −n)+2m −n≤2√(m −n)⋅2m −n=√24，当且仅当m−n=√2时“＝”成立，11. 中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”．某中学为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛．现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐．规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为a，b，c(a>b>c，且a，b，c∈N∗)；选手最后得分为各场得分之和．在六场比赛后，已知甲最后得分为31分，乙最后得分为11分，丙最后得分为12分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，则下列推理正确的是（）A.每场比赛第一名得分a为5B.乙有五场比赛获得第三名C.甲可能有一场比赛获得第二名D.丙可能有一场比赛获得第三名【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】由题可知(a+b+c)×N＝31+11+12＝54，且a、b、c及N都是正整数，推出N的可能结果，即可判断出正确选项．【解答】由题可知(a+b+c)×N＝31+11+12＝54，且a、b、c及N都是正整数，所以a+b+c也是正整数，54能被N整除，N的可能结果是1、2、3、6、9、18、27、54经检验当N＝6时a+b+c＝9且a>b>c推断出a＝6，b＝2，c＝1，最后得出结论：甲5个项目得第一，1个项目得第三；乙1个项目得第一，5个项目得第三；丙6个项目得第二．12. 设函数f(x)在R上存在导数f′(x)，对任意x∈R都有f(−x)−f(x)＝4x，且在x∈(−∞, 0)上，f′(x)>−2，若f(2−a2)−f(a)≥2(a+2)(a−1)，则实数a的取值范围是（）A.[−2, −1)∪[1, 2]B.(−∞, −2]∪[−1, 1]∪[2, +∞)C.[−2, 1]D.(−∞, −2]∪[1, +∞)【答案】A【考点】导数的运算【解析】令g(x)＝f(x)+2x，可得g(−x)−g(x)＝（0）因此g(−x)＝g(x)是R上的偶函数．在x∈(−∞, 0)上，g′(x)＝f′(x)+2>0，可得函数g(x)在x∈(−∞, 0)上单调递增，在[0, +∞)上单调递减．再利用函数的奇偶性与单调性即可得出．【解答】令g(x)＝f(x)+2x，则g(−x)−g(x)＝f(−x)−2x−[f(x)+2x]＝f(−x)−f(x)−4x ＝（0）∴ g(−x)＝g(x)是R 上的偶函数．在x ∈(−∞, 0)上，g′(x)＝f′(x)+2>0，因此函数g(x)在x ∈(−∞, 0)上单调递增，在[0, +∞)上单调递减．若f(2−a 2)−f(a)≥2(a +2)(a −1)＝2a 2+2a −4， 即f(2−a 2)+2(2−a 2)≥f(a)+2a ，∴ g(2−a 2)≥g(a)，∴ g(|2−a 2|)≥g(|a|)， ∴ |2−a 2|≤|a|， ∴ 1≤a 2≤4，解得−2≤a ≤−1，或1≤a ≤(2) 实数a 的取值范围是[−2, −1]∪[1, 2]．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量a →=(1, 0)，b →=(1, −1)，则向量a →与向量b →的夹角为________． 【答案】 45∘【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】根据题意，设向量a →与向量b →的夹角为θ，由向量a →、b →的坐标可得|a →|、|b →|以及a →⋅b →的值，由数量积的计算公式可得cosθ=a →⋅b→|a →||b →|=√22，结合θ的范围即可得答案． 【解答】设向量a →与向量b →的夹角为θ，(0∘≤θ≤180∘) 又由a →=(1, 0)，b →=(1, −1)，则|a →|＝1，|b →|=√1+1=√2，a →⋅b →=1×1+0×(−1)＝1，则有cosθ=a →⋅b→|a →||b →|=√22， 又由0∘≤θ≤180∘，则θ＝45∘；已知等差数列{________． 【答案】a n }的前n 项为S n ，且a 3＝3，S 4＝10，则数列1a 1a 2+1a 2a 3+⋯+1a 2018a 2019=20182019【考点】等差数列的前n 项和 【解析】利用等差数列{a n }的前n 项公式及通项公式列出方程组，求出a n ＝n ，从而1a n a n+1=1n(n+1)=1n −1n+1，由此能求出1a1a 2+1a2a 3+⋯+1a2018a 2019的值．【解答】∵ 等差数列{a n }的前n 项为S n ，且a 3＝3，S 4＝10，∴ {a 1+2d =34a 1+4×32d =10，解得a 1＝1，d ＝1，∴ a n ＝1+(n −1)×1＝n ， ∴ 1a n a n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，∴ 1a1a 2+1a2a 3+⋯+1a2018a 2019=1−12+12−13+⋯+12018−12019=1−12019=20182019．已知三棱锥D −ABC 的外接球球心到底面ABC 的距离等于外接球半径的一半，且∠ABC ＝60∘，AC ＝3，则外接球的表面积是________． 【答案】 16π【考点】球的体积和表面积 【解析】设外接球的半径为R ，底面ABC 的外接圆半径为r ，由正弦定理及勾股定理可得R 2＝4，进而得到答案． 【解答】设外接球的半径为R ，底面ABC 的外接圆半径为r ， ∵ ∠ABC ＝60∘，AC ＝3， ∴ 2r =3sin60，解得：r =√3，双∵ 三棱锥D −ABC 的外接球球心到底面ABC 的距离等于外接球半径的一半， ∴ R 2=3+14R 2，解得：R 2＝4，故外接球的表面积是：S ＝4πR 2＝16π，在△ABC 中，已知bsinC ＝bsinB −asinA ，且∠B −∠A ＝85∘，则cosC ＝________． 【答案】√6−√24【考点】 余弦定理 【解析】利用正弦定理和平方正弦公式化简可得答案． 【解答】由bsinC ＝bsinB −asinA ，正弦定理，可得sinBsinC ＝sin 2B −sin 2A平方正弦公式：sin(B +A)sin(B −A)＝sin 2B −sin 2A 可得sinCsin(B −A)＝sinBsinC ∵ 0<C <180∘，sinC ≠(0) 则sin(B −A)＝sinB∴ B −A ＝B 或B −A ＝π−B ∵ ∠B −∠A ＝85∘， ∴ B ＝95∘，∴∠A＝10∘．那么C＝180∘−105＝75∘．故cos75∘＝cos(45∘+30∘)=√6−√24．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）设函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+32．(Ⅰ)求f(x)的最小正周期及值域；(Ⅱ)求f(x)的对称轴方程和单调递增区间．【答案】（1）f(x)=√3sinxcosx−cos2x+32．=√32sin2x−cos2x+12+32，=sin(2x−π6)+1，则：①函数的额最小正周期为T=2π2=π．②由于x∈R，所以：−1≤sin(2x−π6)≤1，进一步解得：0≤f(x)≤(2)所以f(x)的值域为[0, 2]．（2）①令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得：x=kπ2+π3(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x=kπ2+π3(k∈Z)．②令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)，解得：−π6+kπ≤x≤kπ+π3(k∈Z)，即函数的单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和最值．(Ⅱ)利用整体思想求出函数的对称轴方程和单调区间．【解答】（1）f(x)=√3sinxcosx−cos2x+32．=√32sin2x−cos2x+12+32，=sin(2x −π6)+1，则：①函数的额最小正周期为T =2π2=π．②由于x ∈R ，所以：−1≤sin(2x −π6)≤1， 进一步解得：0≤f(x)≤(2) 所以f(x)的值域为[0, 2]．（2）①令2x −π6=kπ+π2(k ∈Z)， 解得：x =kπ2+π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为：x =kπ2+π3(k ∈Z)．②令−π2+2kπ≤2x −π6≤π2+2kπ(k ∈Z)， 解得：−π6+kπ≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)，即函数的单调递增区间为：[−π6+kπ,π3+kπ](k ∈Z)．已知函数f(x)＝|2x −1|+1． (Ⅰ)求不等式f(x)≤6的解集；(Ⅱ)若不存在实数x 使f(x)≤m −f(−2x)成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）不等式f(x)≤6，即|2x −1|≤(5) ∴ −5≤2x −1≤5， ∴ −2≤x ≤3∴ 原不等式的解集为{x|−2≤x ≤3}．（2）根据不存在实数x 使f(x)≤m −f(−2x)成立，即任意实数x 使f(x)>m −f(−2x)恒成立，可得：|2x −1|+1>m −|−4x −1|+1 即：|2x −1|+|4x +1|>m 令g(x)＝|2x −1|+|4x +1| ∴ g(x)={6x,(x ≥12)2x +2,(−14<x <12)−6x,(x ≤−14)由一次函数的性质可得：g(x )的最小值为g(−14)=32． ∴ m <32．故得实数m 的取值范围是(−∞, 32)． 【考点】绝对值不等式的解法与证明(Ⅰ)不等式f(x)≤6，即|2x −1|≤5，绝对值的意义即可求解；(Ⅱ)根据不存在实数x 使f(x)≤m −f(−2x)成立，即任意实数x 使f(x)>m −f(−2x)恒成立，利用零点分段即可求解不等式． 【解答】（1）不等式f(x)≤6，即|2x −1|≤(5) ∴ −5≤2x −1≤5， ∴ −2≤x ≤3∴ 原不等式的解集为{x|−2≤x ≤3}．（2）根据不存在实数x 使f(x)≤m −f(−2x)成立，即任意实数x 使f(x)>m −f(−2x)恒成立，可得：|2x −1|+1>m −|−4x −1|+1 即：|2x −1|+|4x +1|>m 令g(x)＝|2x −1|+|4x +1| ∴ g(x)={6x,(x ≥12)2x +2,(−14<x <12)−6x,(x ≤−14)由一次函数的性质可得：g(x )的最小值为g(−14)=32． ∴ m <32．故得实数m 的取值范围是(−∞, 32)．某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入3.5万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）．由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的．(Ⅰ)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；(Ⅱ)该公司投入广告费用之后，根据频率分布直方图，试估计对应销售收益的平均值； (Ⅲ)该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为∧b =∑−i=1n xiyi nxy∑ n i=1x i 2−nx2，a ^=y −b ^x ．【答案】（2）根据频率分布直方图，估计平均值为x =1×0.08×2+3×0.1×2+5×0.14×2+7×0.12×2+9×0.04×2+11×0.02×2＝5；(Ⅲ)根据题意，计算x =15×(1+2+3+4+5)＝3，y =15×(2+3+2+5+7)＝3.8，∑ 5i=1x i y i ＝69，∑ 5i=1x i 2=55，∴ b ^=∑−i=1n xiyi nxy∑ n i=1x i 2−nx2=69−5×3×3.855−5×32=1.2，a ^=y −b ^x =3.8−1.2×3＝0.2；∴ y 关于x 的回归直线方程y ^=1.2x +0.(2)【考点】求解线性回归方程 【解析】(Ⅰ)根据频率和为1，求出图中各小长方形的宽度； (Ⅱ)根据频率分布直方图，计算平均值；(Ⅲ)计算平均值，求出回归系数，写出回归直线方程． 【解答】（1）设小长方形的宽度为m ，则(0.08+0.1+0.14+0.12+0.04+0.02)×m ＝1， 解得m ＝2；（2）根据频率分布直方图，估计平均值为x =1×0.08×2+3×0.1×2+5×0.14×2+7×0.12×2+9×0.04×2+11×0.02×2＝5；(Ⅲ)根据题意，计算x =15×(1+2+3+4+5)＝3，y =15×(2+3+2+5+7)＝3.8，∑ 5i=1x i y i ＝69，∑ 5i=1x i 2=55，∴ b ^=∑−i=1n xiyi nxy∑ n i=1x i 2−nx2=69−5×3×3.855−5×3=1.2，a ^=y −b ^x =3.8−1.2×3＝0.2；∴ y 关于x 的回归直线方程y ^=1.2x +0.(2)在如图所示的四棱锥中，点G ，F 分别再线段PC ，PD 上，AP ⊥平面ABCF ，△PAB 是等腰三角形，PA ＝1，在平行四边形ABCD 值，CA ⊥AB ，AC ＝1，BE =13BA ． (Ⅰ)证明：AG ⊥CD ；【答案】证明：(Ⅰ)如图，依题意，∵AB // CD，AC⊥BA，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AG⊂平面PAC，∴CD⊥AG．（2）设点F到平面ABCD的距离为d，V P−ABC=13×S△ABC×PA=13×12×AB×AC×PA=16，S△EBC=13S△ABC=13×12×AB×AC=16，∵三棱锥P−ABC的体积是三棱锥B−CEG体积的15倍，∴V B−CEF＝V F−BEC=13×S△EBC×d=190，∴d=15，∴FDPD =dPA=15，∴FD=√35．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算空间中直线与直线之间的位置关系【解析】(Ⅰ)由AB // CD，AC⊥BA，推导出AC⊥CD，PA⊥CD，从而CD⊥平面PAC，由此能证明CD⊥AG．(Ⅱ)设点F到平面ABCD的距离为d，推导出S△EBC=13S△ABC=13×12×AB×AC=16，由V B−CEF＝V F−BEC=13×S△EBC×d=190，由此能求出FD．【解答】证明：(Ⅰ)如图，依题意，∵AB // CD，AC⊥BA，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AG⊂平面PAC，∴CD⊥AG．（2）设点F到平面ABCD的距离为d，S △EBC =13S △ABC =13×12×AB ×AC =16，∵ 三棱锥P −ABC 的体积是三棱锥B −CEG 体积的15倍， ∴ V B−CEF ＝V F−BEC =13×S △EBC ×d =190，∴ d =15， ∴ FDPD =dPA =15， ∴ FD =√35．平面内一动点S(x, y)与两点A(−a, 0)，B(a, 0)(a >0)的连线所在的两条直线的斜率乘积等于−14．(Ⅰ)求动点S 的轨迹方程；(Ⅱ)记动点S 的轨迹为曲线Γ，点M 为直线y ＝kx 与曲线Γ在第一象限的交点，平行于OM 的直线l 与曲线Γ交于P ，Q 两点，问：是否存在实数k ，使得MP ，MQ ，x 轴围成以x 轴为底边的等腰三角形，若存在，求出实数k 的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（I ）由题意可得：k AS ⋅k BS =y x+a ⋅y x−a =−14(x ≠±a)． 化为：x 2a 2+y 2a 24=(1)(x ≠±a)．(II)假设存在实数k ，使得MP ，MQ ，x 轴围成以x 轴为底边的等腰三角形．则k MP +k MQ ＝（0）设M(x 0, y 0)，直线l 的方程为：y ＝kx +t ，(t ≠0)， P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立{y =kx x 2+4y 2=a 2 ，化为：x 2=a 21+4k 2，x 0>0，解得x 0=√1+4k 2． 联立{y =kx +t x 2+4y 2=a 2 ，化为：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−a 2＝0， △＝64k 2t 2−4(1+4k 2)(4t 2−a 2)>0，化为：a 2+4a 2k 2>4t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−a 21+4k 2．∴ k MP +k MQ =y 0−y1x 0−x 1+y 0−y2x 0−x 2=(0)化为：(y 0−y 1)(x 0−x 2)+(y 0−y 2)(x 0−x 1)＝0， 2y 0x 0−(y 1+y 2)x 0−y 0(x 1+x 2)+y 1x 2+y 2x 1＝0，2kx 02−(kx 1+kx 2+2t)x 0−kx 0(x 1+x 2)+(kx 1+t)x 2+(kx 2+t)x 1＝0，2kx 02−2tx 0+2kx 1x 2+(t −2kx 0)(x 1+x 2)＝0， ∴ 2k ⋅a 21+4k 2−2t ⋅√1+4k22k ⋅4t 2−a 21+4k 2+(t −2kx 0)⋅−8kt1+4k 2=(0)【考点】 轨迹方程 【解析】（I ）由题意可得：k AS ⋅k BS =y x+a ⋅y x−a =−14(x ≠±a)．化简即可得出．(II)假设存在实数k ，使得MP ，MQ ，x 轴围成以x 轴为底边的等腰三角形．则k MP +k MQ ＝（0）设M(x 0, y 0)，直线l 的方程为：y ＝kx +t ，(t ≠0)，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立{y =kx x 2+4y 2=a 2 ，解得x 2，x 0>0，x 0．联立{y =kx +t x 2+4y 2=a 2，化为：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−a 2＝0，k MP +k MQ =y 0−y 1x 0−x 1+y 0−y2x 0−x 2=(0)化为：2kx 02−2tx 0+2kx 1x 2+t(x 1+x 2)＝0，把根与系数的关系代入即可得出． 【解答】（I ）由题意可得：k AS ⋅k BS =y x+a ⋅y x−a =−14(x ≠±a)． 化为：x 2a 2+y 2a 24=(1)(x ≠±a)．(II)假设存在实数k ，使得MP ，MQ ，x 轴围成以x 轴为底边的等腰三角形．则k MP +k MQ ＝（0）设M(x 0, y 0)，直线l 的方程为：y ＝kx +t ，(t ≠0)， P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)，联立{y =kx x 2+4y 2=a 2 ，化为：x 2=a 21+4k 2，x 0>0，解得x 0=2． 联立{y =kx +tx 2+4y 2=a 2 ，化为：(1+4k 2)x 2+8ktx +4t 2−a 2＝0， △＝64k 2t 2−4(1+4k 2)(4t 2−a 2)>0，化为：a 2+4a 2k 2>4t 2． ∴ x 1+x 2=−8kt 1+4k 2，x 1x 2=4t 2−a 21+4k 2．∴ k MP +k MQ =y 0−y1x 0−x 1+y 0−y2x 0−x 2=(0)化为：(y 0−y 1)(x 0−x 2)+(y 0−y 2)(x 0−x 1)＝0， 2y 0x 0−(y 1+y 2)x 0−y 0(x 1+x 2)+y 1x 2+y 2x 1＝0，2kx 02−(kx 1+kx 2+2t)x 0−kx 0(x 1+x 2)+(kx 1+t)x 2+(kx 2+t)x 1＝0，2kx 02−2tx 0+2kx 1x 2+(t −2kx 0)(x 1+x 2)＝0， ∴ 2k ⋅a 21+4k 2−2t ⋅22k ⋅4t 2−a 21+4k 2+(t −2kx 0)⋅−8kt1+4k 2=(0)已知函数f(x)＝e x−x．(Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)当x∈[0, +∞)时，不等式f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）f′(x)＝e x−1，令f′(x)＝0，解得：x＝0，x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，f(x)递减，x∈[0, +∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)极小值＝f(0)＝1，无极大值；（2）当x∈[0, +∞)时，f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立⇔e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．令g(x)＝e x−(x+1)，x≥(0)g(0)＝（0）则g′(x)＝e x−1≥0，∴x≥0时，函数g(x)单调递增，因此g(x)≥g(0)＝0，因此e x≥x+(1)①若mxln(x+1)+x+1≤x+1，则e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．则mxln(x+1)≤0，可得：m≤(0)∴m≤0时，x≥0时，f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立．②m>0时，x≥0时，mxln(x+1)+x+1≤e x．令F(x)＝mxln(x+1)+x+1−e x，(x≥0)，F(0)＝（0）由F(x)≤0，可得mxln(x+1)≤e x−x−1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x>0时，化为：m≤e x−x−1xln(x+1)，下面证明：12≤e x−x−1xln(x+1)，令ℎ(x)＝2e x−2x−2−xln(x+1)，ℎ(0)＝0，ℎ′(x)＝2e x−2−ln(x+1)−xx+1，ℎ′(0)＝0，ℎ″(x)＝2e x−1x+1−1(x+1)2≥ℎ″(0)＝0，∴ℎ′(x)≥(0)∴函数ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝（0）因此：12≤e x−x−1xln(x+1)成立，并且12是其最小值．∴m≤12，【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)当x∈[0, +∞)时，f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立⇔e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．令g(x)＝e x−(x+1)，x≥(0)g(0)＝（0）利用导数研究其单调性可得：e x≥x+1，①若mxln(x+1)+x+1≤x+1，则e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．可得：m≤0；②m>0时，x≥0时，mxln(x+1)+x+1≤e x．令F(x)＝mxln(x+1)+x+1−e x，(x≥0)，F(0)＝0，由F(x)≤0，可得mxln(x+1)≤e x−x−1，x>0时，化为：m≤e x−x−1xln(x+1)，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】（1）f′(x)＝e x−1，令f′(x)＝0，解得：x＝0，x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，f(x)递减，x∈[0, +∞)时，f′(x)>0，f(x)递增，∴f(x)极小值＝f(0)＝1，无极大值；（2）当x∈[0, +∞)时，f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立⇔e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．令g(x)＝e x−(x+1)，x≥(0)g(0)＝（0）则g′(x)＝e x−1≥0，∴x≥0时，函数g(x)单调递增，因此g(x)≥g(0)＝0，因此e x≥x+(1)①若mxln(x+1)+x+1≤x+1，则e x−x−1−mxln(x+1)≥0恒成立．则mxln(x+1)≤0，可得：m≤(0)∴m≤0时，x≥0时，f(x)≥mxln(x+1)+1恒成立．②m>0时，x≥0时，mxln(x+1)+x+1≤e x．令F(x)＝mxln(x+1)+x+1−e x，(x≥0)，F(0)＝（0）由F(x)≤0，可得mxln(x+1)≤e x−x−1，x＝0时，化为0≤0，恒成立，m∈R．x>0时，化为：m≤e x−x−1xln(x+1)，下面证明：12≤e x−x−1xln(x+1)，令ℎ(x)＝2e x−2x−2−xln(x+1)，ℎ(0)＝0，ℎ′(x)＝2e x−2−ln(x+1)−xx+1，ℎ′(0)＝0，ℎ″(x)＝2e x−1x+1−1(x+1)2≥ℎ″(0)＝0，∴ℎ′(x)≥(0)∴函数ℎ(x)在[0, +∞)上单调递增，∴ℎ(x)≥ℎ(0)＝（0）因此：12≤e x−x−1xln(x+1)成立，并且12是其最小值．∴m≤12，。
2019年重庆市巴蜀中学高2019级高考模拟理科数学试卷答案
参考答案选择题： ADCCA DBCBC BD13． 14． 15． 16．17．（1）原式可变形得：()()11211121n n n nn t a a a t ++-+=--+-，则()()11212111112121n n n n n n n n n a a a t a t a t t +++++-==+-+-+-，记11n nn a b t +=-， 则112,22n n n b b b b +==+，易求得2n b n =，所以()211n n t a n -=-． （2）()()()2112111n n n n t a a nt t t t n n -+-⎡⎤-=-++++⎣⎦+，易知，当0t >且1t ≠时，1t -与()211n n nt t t t -⎡⎤-++++⎣⎦同号，所以1n n a a +>．18．（Ⅰ）∵，，∴在中，，，∴，，又为正方形，∴，又，∴，，又面，面，，∴平面，又平面，∴平面平面.（Ⅱ）方法一：平面平面，，∴平面，，即、、两两垂直，以、、分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，取平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，故，设平面与平面所成锐二面角为，则.方法二：连接，，则、、共线，是平面与平面的交线，取的中点为，连接，，则由平面平面，平面平面，，且面，∴平面，即平面，又为正方形，为的中点，∴，∴.∴是平面与平面所成锐二面角的平面角，由（Ⅰ）可得，，，在中，. ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为..19．（Ⅰ）抽取的螺帽质量指标值的样本平均数和样本方差分别为：.（Ⅱ）（ⅰ）由（Ⅰ）知，，从而，，，，，（ⅱ）由（ⅰ）知，一件螺帽的质量指标值位于区间的概率为，依题意知，所以.20．（Ⅰ）由，则，，则，又，所以.（Ⅱ）设直线的方程为：，设，，由，得，所以，得，又，，由，，可知，，由，点到直线的距离为，所以.又，所以，因为，所以.21．（Ⅰ）当时，，由，得，∴在上单调递减，在上单调递增.∴时，取得极小值，即最小值.当时，，，∵，∴，即.（Ⅱ）证明：当时，，则，∴时，，单调递减，时，，单调递增，令，则，∴，当时，，，，∴，单调递减，∴，即，∴当时，.又在内是增函数，在内是减函数.，且，∴，不再同一单调区间内，不妨设，由上可知：，∵，∴.∵，，又在内是增函数，∴，即.22．（Ⅰ）由，得到曲线的普通方程是：，又，，代入得，，即（也可得分）.（Ⅱ）因为，所以，由，故，设点的极坐标为，则点的极坐标可设为，所以.23．（Ⅰ）当时，由，即，两边平方，得：，即，解得：，所以不等式的解集为：.（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，即成立，所以存在，使得成立，令，只需即可.又函数，当时，单调递减，；当时，单调递增，；当时，单调递减，；可知函数，所以.。
四川省2019届高三上学期开学考试数学(理科)试卷含答案(2套).doc
2018-2019学年高三上学期开学考试数学（理）试题考试说明：（1）本试卷分第1卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间为120分钟.（2）第I卷、第II卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I卷（选择题，共60分.）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列复数是纯虚数的是A. 3 — 3iB. 1 + i2018C. i2019D. 1i42.某校共有500名高二学生，在一次考试中全校高二学生的语文成绩X服从正态分布N（110,/）（b>0）,若P（1OO<X <110） = 0.3，则该校高二学生语文成绩在120分以上的人数大约为A. 70 B. 80 C. 90 D. 100° 13.已知集合A = {x\x2 >x,xe7?}, B = {x \ — < x < 2, x e R} f则=A. [x\-^< x< 1}B. {x | -^- < x < 2}C. {x\x< \^x> 2}D. [x\x<^或x> 1}4.已知命题"：>0 ,使得（x0 + 2）e< 1,则-7?为A. VxWO,总有O + 2）/nlB. 3x0 > 0 ,使得（x0 + 2）e Xo < 1C. Vx> 0,总有（x + 2）Cl D・ 3x（）<0,使得（x0 + 2）^ < 1x-y+2>05.若无，y满足约束条件<2x+y — 350,贝ij z = x-2y的最小值是、13A. — 1B. —3C. -----D. —56. —个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个.现从盒 子中随机取出两个球，记事件4为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取岀一个黄球，一个绿球”, 则 P(B\A) =7.方程6/x 2+2x + l = 0至少有一个负根的充要条件是8•设*2。