函数可导性与连续性的关系

函数可导性与连续性的关系
主讲人：张艳敏
两个重要概念
y f (x) 在点 x0 处可导
lim y x0 x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
f (x0 )
y f (x)在点x0处连续
lim y lim
x0
x0
f (x0 x)
f (x0 )
0
问题1
如果函数 y f (x)在点 x处可导，那么在该点是否连续 ？
拓展练习
1.讨论函数
f
(x)
x2
sin
1 x
,
x 0在点 x 0 处的连续性和可导性．
0,
x0
2.试找出其它连续但不可导的函数的例子，并思考函数连续 但不可导的点有什么特点？
3.数学家魏尔斯特拉斯曾构造出处处连续处处不可导函数的 例子，查阅资料，简单了解这方面的知识．
y 3 x在x 0处
连续但不可导
结论2
定理
函数在某点处连续是函数在该点处可 导的必要条件，但不是充分条件．
注：如果函数在某点处不连续，则函数在该 点一定不可导．
小结
如果y f (x)在点 x 处可导， y f (x)在点 x 处一定连续． 如果y f (x)在点 x 处连续，y f (x)在点 x 处不一定可导． 如果y f (x)在点 x 处不连续， y f (x)在点 x 处一定不可导．
证: 设
在点 x 处可导, 即
存在 , 因此必有
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其中
故 所以函数
x 0 在点 x 连续 .
结论1
问题2
如果函数 y f (x)在点 x处连续，那么在该点是否可导 ？
例1 讨论函数 y x2 x 在点x 0处的可导性与连续性.
y
y x
y x 在x 0处
连续但不可导
O
x
例2 讨论函数 y 3 x在点x 0处的可导性与连续性 .