公共地的悲剧

• 每增加一只羊
• 正面效应：这只羊本身的价值v
• 负面效应：这只羊使所有之前的羊的价值下滑
g i v (G ) 0 • 所以该一阶条件满足边际成本等于边际收益的利润最 大化原则。
'
• 因为局中人一共有 n 个牧民，所以这个一阶条件 就可以定义 n 个反应函数，使得 n 个牧民中的每 一个牧民的利润都达到最大化，即：
g i* g i g1 ,..., g i 1 , g i 1 ,..., g n , i 1,2,..., n
• 对支付函数分别求出所有的二阶导数，即：
i v ' (G ) v ' (G ) g i v '' (G ) 0 g 2
2
2 i v ' (G ) g i v '' (G ) 0 g i g j
假设
• 假定有一个有 n 个牧民的村庄共同用于一片草地 • 每个牧民都有在草地上放牧的自由 • 每年春天，这些牧民都由自己决定自己要养多少 只养才能得到其最大的价值
博弈分析（完全信息静态）
• 局 中 人 • 策略空间
• 支付函数
• 求解过程
博弈分析（完全信息静态）
• 局 中 人：在同一片草地上养羊的 n 个牧民 • 策略空间： gi 0, 代表第 i 个牧民饲养羊的 数量。其中 i 1,2,..., n; G g i 代表 n 个牧民
** ' **
G v (G ) ' ** * G nv (G )
**
'
*
所以： ' (G* ) nv ' (G** ) v ' (G** ) v
与V’(G)是减函数 矛盾
V’(G*)> V’(G**)
• 故假设矛盾，则 G* ≥ G**
G* ' * v(G * ) v(G ** ) G **v ' (G ** ) v (G ) n
公共地的悲剧
（Tragedy of the Commons）
背
景
• 制度经济学中一个经典例子（Hardin，哈丁1968） • 证明：如果有一种资源没有排他性的所有权，即 任何人都可以无排他性的使用这种资源，那么就 会导致对这种资源的过度使用，从而导致这种资 源枯竭。 • 例如：公海捕鱼，小煤窑滥挖滥采
• 重要的假设：v是G的函数，v=v(G)。 • 因为每一只羊至少要一定数量的草才不至于被饿 死，有一个最大的可存活数量Gmax：当G<Gmax 时，v(G)>0；当G≥Gmax，v(G)=0。
求解过程
• 当草地上的羊很少时，增加一只羊也许不会对其 他羊的价值有太大的影响，但是随着饲养量的不 断增加，每只羊的价值就会急剧下降，因此，假 2 定： v v
• 如 G* ＝ G** 时，则 n=1。没有外部性。
结 论
• G*>G**
• 由此可以看出各人最优的饲养量大于社会 最优的饲养量，公共草地被过度的使用了， 造成了公共地的悲剧。

i 1
i
与社会最优饲养量比较
nv(G * ) G *v ' (G * ) nc • 将n个最优条件相加得到：
G* ' * • 两边同时除以n得出： (G * ) v (G ) c v n n • 其中的 G * g i* 便是个人最优饲养量的总和。
i 1
PK
MaxGv(G) Gc 其中G表示社 • 社会最优的饲养量： G 会的饲养量，对其求一阶导数得到：
i 1 n
饲养的总数量；v 代表每只羊的平均价值。
支付函数
• 每个牧民的问题是选择以最大化自己的利润。设 购买一只羊的价格为c，那么，利润函数便为：
i g1 ,..., g i ,..., g n g i v g j g i c, i 1,2,..., n
v 代表每只羊 的平均价值
• 根据隐函数求导法则，可以得出： 2 i
g j g i g i 2 0 g j i g i2
• 说明：第 i 个牧民的最优饲养量随着其他牧民的 饲养量的增加而递减。
• 把这 n 个反应函数联立起来求解方程组，就可以 * * g i* g1 ,..., g i* ,..., g n , i 1,2,..., n ， 得出 纳什均衡： n * 对应的纳什均衡的总量为 G * 。 g
G
0,
G
2
0
v(G) 是减函数 含义：随着羊的个数增加，单 位平均价值随之降低。
v’(G) 是减函数 含义：随着羊的个数增加，每 个羊的边际价值也随之降低。
• 对支付函数求一阶导数，得出最优化的一阶条件：
i v(G) g i v ' (G) c 0, i 1,2,..., n g i
v(G ** ) G **v ' (G ** ) c
G**：社会 的最优饲养 量
G*与G** 的大小比较
• 反证法。假设：G* < G**
G* ' * * v (G ) c v(G ) n v(G ** ) G **v ' (G ** ) c
G* ' v(G * ) v (G * ) ＝ v(G ** ) G **v ' (G ** ) n
G* ' * v(G * ) v(G ** ) G **v ' (G ** ) v (G ) n
• 因为：v(G)是减函数 且 G* < G**
G ' * 故：v(G ) v(G ) G v (G ) v (G ) 0 n *
* ** ** ' **
Hale Waihona Puke Baidu
*
G 即：G v (G ) v ' (G * ) n