高数一元函数积分学习题及答案

第四章 不定积分

一、是非题：

１．已知()211

arcsin x x -='π+，则⎰π+=-x dx x arcsin 112． 错

2. 连续函数的原函数一定存在． 对

3. ()()⎰⎰

=dx x f d dx x f dx d ． 错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数． 对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数． 对 5. ()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （k 是常数） 错

二、填空题： １．

()()⎰='dx x f x f （C x f +)(ln ）． ２．()⎰=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='⎰

)()( ）． ３．知()()⎰+=C x F dx x f ，则()⎰=+dx b ax f （C b ax F a

++)(1），b a ,为常数． ４．已知

()⎰+=C e dx x f x ，则()=⋅⎰dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）． ５．已知()[]x dx x f sin ='⎰，则()=x f （x sin ）．

6. 设()x f 、()x f '连续，则

()()[]=+'⎰dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =⎰（ 1C x

+ ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2

1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x

'=⎰（x C +）． 三、选择填空：

1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()⎰+=C x F x dF b ．()()⎰

='x F dx x F

c ．()[]()C x f dx x f +='

⎰ d ．()[]()C x f dx x f d +=⎰ ２．下列等式能成立的是（ d ）

a ．⎰+=--C e dx e x x

b ．⎰+=C x

xdx 1ln c ．⎰+=C x xdx 32

cos 3

1cos d ．⎰+=C x xdx 2sin 2sin ３．若()C x dx x f +=⎰2

sin 2 ，则()=x f （ b ） a ．C x +2cos b ．2cos x c ．C x +2cos 2 d ．2

sin 2x ４．函数x

x ln 的不定积分是（ b ） a ．C x x +ln 21 b ．C x +2ln 21 c ．C x

x +ln d ．C x +2ln 四、计算题： １．⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛π+-dx x

x 3cos 521C x x x ++-=3cos 52ln 2ln π ２．⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--dx e x e x x 121 C e e x x ++-=--1 ３．⎰+dx x x 2sin 1cos ⎰+=+=C x x d x )arctan(sin sin sin 112 ４．dx x x x ⎰++-3442C x x dx x x dx x

x x +⋅-=+=+=⎰⎰-453222141ln )11()( ５．⎰⎪⎭

⎫ ⎝⎛+dx x x 2tan 1sec ⎰+=dx x x 22)tan 1(sec C x x d x ++-=+=⎰tan 11tan )tan 1(12 ６．dx x x x ⎰+2

21arctan dx x x x ⎰+-+=221arctan )11(dx x x xdx ⎰⎰+-=21arctan arctan ⎰-+-=22)(arctan 211arctan x dx x

x x x C x x x x +-+-=22)(arctan 2

11ln 21arctan 7．⎰-⋅dx x x x x 4932⎰-=dx x x x 496⎰-=dx x

x )3

2()23(1 令x u )23(=

C u u du u du u u u ++--=--=⋅-⋅-=⎰⎰11ln )2ln 3(ln 21112ln 3ln 112ln 3ln 111

2 8．⎰⎰⎰+-+==-=C x x x x x xd dx x x xdx x 2222

1cos ln tan tan )1(sec tan 9．⎰⋅xdx x 23cos sin ⎰

⎰-=--=x d x x x xd x cos )cos (cos cos cos )cos 1(2422 C x x +-=35cos 3

1cos 51 10．⎰⋅xdx x 4sin 2cos 5x xd x xdx x x 2cos 2cos 2cos 2cos 2sin 22cos 55⋅-=⋅⋅=⎰

⎰ C x +-

=2cos 717 11．()⎰+dx x x 11 令t x 2tan =

C t t tdt tdt t t

t ++==⋅⋅⋅=⎰⎰tan sec ln 2sec 2sec tan 2sec tan 12 C x x +++=1ln 2

12．⎰+dx x

11

令t x = ()()⎰⎰++-+=+-+=⋅+=C t t dt t

t tdt t 2123141341112211 C x x ++-+=2123)1(4)1(3

4 13． ()⎰+dx x xe x

21C e x xe dx e x xe x d xe x x x x x

+++-=++-=+-=⎰⎰1111 14．dx x x ⎰⋅cos sin 12

⎰⎰+-+=+=⋅+=C x x x dx x x x dx x

x x x sin 1tan sec ln )sin cos cos 1(cos sin cos sin 2222 15．⎰-+dx x x x 2212⎰⎰+=⋅⋅+=dt t t tdt t

t t t x )sin 2sin 1(cos cos sin 2sin sin 22