柯西古萨定理

§2 柯西——古萨定理及其应用一、引理与基本定理1.引理若()z f 在单连域D 内解析,且()z f '连续,则对任意简单闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。

证明 ()iv u z f += 解析,且()z f '连续，xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂∴,且它们均连续。

从而，由格林公式，()⎰Cdz z f ivdy udxC +-=⎰⎰+C udy vdx000=+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂-=⎰⎰⎰⎰DDdxdy y v xu i dxdy y u x v 。

推论 若()z f 在一条简单闭曲线C 的内部及C 上解析，则()0=⎰Cdz z f 。

例1 计算⎰+Cizdz z e12，其中曲线C 为正向圆周：13=-i z 。

解 奇点i z ±=不在闭曲线C 内，∴在C 内，被积函数()z f 解析，从而， ⎰+Cizdz z e12=0。

2.柯西——古萨基本定理s G C '-定理 若()z f 在单连域D 内处处解析，则对任意闭曲线D C ⊂,有：()0=⎰C dzz f 。

二、原函数与不定积分1.存在性定理由基本定理及高等数学的知识知道，必有：若()z f 在单连域D 内解析，则积分()⎰C dzz f 与路径无关。

即此时,()⎰Cdz z f ()⎰=1z z dz z f ，其中称1z 为上限，0z 为下限。

积分()⎰zz dz z f 0称为上限z 的函数,记为()z F ，并有：定理1 若()z f 在单连域D 内处处解析,则()z F 为解析函数,且()()z f z F ='.证明 ()z F =()⎰zz dz z f 0()()()()⎰⎰+=++-=∆y x y x y x y x iV U udy vdx i vdy udx ,,,,0000,()vi u z f +=在单连域D 内解析，∴xvy u y v xu ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,。

udy vdx dV vdy udx dU +=-=⇒,，即u yV v xV v yU u xU =∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂,;,。

从而，xV yU yV xU ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,，于是，()z F 为解析函数,且()()z f iv u xV ixU z F =+=∂∂+∂∂='.2.原函数概念与积分计算定义 若()()z f z F =',则称()z F 为()z f 的原函数或不定积分。

易见()⎰zz dz z f 0是()z f 的一个原函数，且任二原函数相差一常数。

类似牛顿——莱布尼兹定理的证明，有：定理2 若()z f 在单连域D 内解析, ()z F 为()z f 的原函数,则例2 计算⎰Czdz ,其中C 为从点0到点i -1的曲线段. 解 ()z z f = 处处解析, 从而,⎰C zdz()i i zzdz ii-=-===--⎰212210210.例3 求⎰+izdz 22cot ππ.解 ()z z f cot = 在π<<z D Re 0:内处处解析，且D i ∈+2,2ππ，从而，原式⎰++==iizdz zz 2222sin ln sin cos ππππ1cosh ln cos ln 2sin ln 2sin ln ==-⎪⎭⎫⎝⎛+=i i ππ.三、柯西——古萨定理的推广1.引理定义 两条曲线称为连续变形曲线，如果⑴开闭不变；⑵方向不变；⑶连续扫过其存在的解析区域.闭路变形原理 设()z f 在区域D 内解析，闭曲线1C 的任意连续变形曲线为2C ，则()()⎰⎰=21C C dz z f dz z f ，即闭曲线连续变形不改变解析函数的积分值.证明 如图：连b B a A --,,则由Th s G C '-知:()()()()()+=⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂⋂⋂aAbea Bb AEB AEBbeaAdzz f dz z f dz z f dzz f dzz f ()()()()+++=⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂⋂⋂BFAbB afb Aa AafbBFAf dzz f dzz f dzz f dzz f 二式相加,得()+⎰AEBFAdz z f ()0=⎰afbeadzz f ,即()+⎰1C dzz f ()02=⎰-C dzz f （*）⇒()=⎰1C dzz f ()⎰2C dz z f .例4 证明：i z z dz Cπ20=-⎰，其中C 为任意包含点0z 的闭曲线.证明 在C 的内部作圆周r z z C =-01:，则i z z dz C π21=-⎰。

()01z z z f -=只有一个奇点0z z =，1,C C ∴互为连续变形曲线，由原理知， =-⎰Cz z dz 0i z z dz C π21=-⎰.为任意包含点0z 的闭曲线。

注:由原理证明中的(*)式,若将-21,C C 视作一条复合闭路-+=Γ21C C ，其正向为外线逆时针,内线顺时针,则()0=⎰Γdz z f 。

进一步可由一般地：2.复合闭路定理定理3 设()z f 在多连域D 内解析,简单闭曲线D C C C C n ⊂,,,,21 ,且以其为边界(Γ---++++=n C C C C 21)的区域也属于D ,诸()n k C k ,,2,1 =互不相交，互不包含，但均在C 的内部，则⑴()0=⎰Γdz z f ；⑵()()∑⎰⎰==nk CCkdz z f dz z f 1。

注:定理3从理论上指明了闭路积分的计算方法：⑴若()z f 在闭曲线C 所围域内解析，则()0=⎰Cdz z f ；⑵若()z f 在闭曲线C 所围域内不解析，则()⎰Cdz z f 等于绕其内单个奇点的闭路积分之和。

例 5 计算()⎰+Czzdz 422，其中C 由正向圆周23=z 与负向圆周1=z 构成。

解 ()()4122+=z z z f 的奇点i z z 2,0±==即()z f 在C 内解析，()0422=+∴⎰Cz z dz.例6 计算⎰-Cz dz12，其中C 为正向圆周2=z 解 ()112-=z z f 在C 内有奇点1±=z ，如图在C 内作单独包含1,1-=z 的闭曲线21,C C ，于是，原式⎰-=112Cz dz⎰-+212Cz dz⎰--=11(21C z dz)11⎰+Cz dz⎰--+21(21C z dz 2⎰C()0022021=-+-=i i ππ.§3 柯西积分公式及其推广一、柯西积分公式1.定理与公式定理1 设()z f 在区域D 内解析，任意简单闭曲线D C ⊂，且D C I ⊂)(，对()C I z ∈∀0，有()()⎰-=Cdz z z z f iz f 0021π——柯西公式。

证明(思路) ()=-⎰Cdz z z z f 0()⎰+-Cdz z z z f 00()()⎰--Cdz z z z f z f 0()02z f i ⋅=π+()()⎰--Cdz z z z f z f 00,可以证明:()()000=--⎰Cdz z z z f z f .注：10.分析意义：()z f 在解析域内部的值可用其边界上的积分表示，即对D z ∈∀，有()()⎰∂=-=DC d z f iz f ζζζπ021——柯西型积分;20.计算意义：公式可用于求闭路积分2.应用举例例1 设C 为正向圆周2=z ，计算⎰+Cdz iz z icos 21π。

解 iz z +cos 在C 内有奇点i z -=，从而，由柯西公式，原式=()1cosh 2cos cos 1=+=-=--=e e i ziz 。

例2 计算⎰++Cdz zz z 212，其中C 为正向圆周4=z 。

解 zz z ++212 在C 内有奇点1,0-=z ，∴作21,C C 分别单包1,0-=z ，从而，原式=1121121221122121-==+++++++=++⎰⎰z z C zz C z z zz iz z idz z dz zππi i i πππ422=+=。

例3 设()⎰-=C d zez f ζζζπ2，其中C 为正向圆周2=ζ，试求()()i f i f 21,1-'+。

解 ()()zziez f iez f z 222,22ππππ='=<时， ，()()0,02='=>z f z f z 时，。

又221,221>-<=+i i ，从而，()()()021,221212=-'-==++i f e iei f i ππππ。

二、柯西积分公式的推广——导数公式1.定理与公式定理2 解析函数的导数仍为解析函数，且()()()()⎰+-=Cn n dz z z z f i n z f102!π，其中C 为()z f 的解析域D 内含D z ∈∀0的任一正向简单闭曲线，且D C I ⊂)(。

证明(思路) 应用数学归纳法，先证： ()()()zz f z z f z f z ∆-∆+='→∆0000lim()()⎰-=Cdz z z z f i 22!1π注：10.分析意义：解析函数任意阶可导;20.计算意义：公式可用于求闭路积分——化积分问题成微分问题2.应用举例 例4 计算()⎰+Czdz z e32，其中C 为正向圆周3=z 。

解 ()32+z ez在C 内有奇点2-=z ，从而，原式=()i eiee i z z222!22πππ=="--=。

例5 计算⎰=+-22-2344sin z dz zz z z 。

解 ()2232sin 44sin -=+-z z z zz z z在22=-z 内有一个奇点2=z ，从而，原式=()2222sin !122sin ==-'⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰z z z z i dz z zzπi izzz z iz πππ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-==22sin 2cos 42sin 2cos 22sin cos 222。