(重要保留)傅里叶变换TheFourierTransform

傅立叶变换
离散傅立叶变换
假设连续函数f(x),通过取N个x单位的采样点 sampling point，被离散化为一个序列sequence： {f(x0), f(x0+x) , f(x0+2x), … ,f(x0+[N–1] x)}
无论将x作为离散的或连续的变量，在子序列 中来研究都将是方便的，仅仅依赖于讨论的上 下文。为作到此要求定义：
如果把傅立叶变换的积分解释为离散项的和，则易 推出F(u)是一组sin和cos函数项的无限和，其中u的每个 值决定了其相应cos, sin函数对的频率。
傅立叶变换
二维连续傅立叶变换
如果f(x,y)连续可积，并且F(u,v)可积，则存在 以下傅立叶变换对，其中u,v为频率变量：

F{f(x,y)}=F(u,v)=f(x,y)exp[-j2(ux+vy)]dxdy
快速傅立叶变换Fast Fourier Transform FFT算法arithmetic、逆向FFT算法、算法实现
第十章 Fourier变换
傅立叶变换导言
理论基础 连续与离散的傅立叶变换
理论基础
理论基础
线性系统 卷积与相关
Fra Baidu bibliotek
理论基础
线性系统linear system
-

F-1 {F(u,v)}=f(x,y)=F(u,v)exp[j2(ux+vy)]dudv
-
傅立叶变换
二维连续傅立叶变换
二维傅立叶模、相位和模平方分别为： 模： |F(u,v)| = [R2(u,v) + I2(u,v)]1/2 相位： (u,v) = tan-1 (I(u,v) / R(u,v)) 模平方：P(u,v)= |F(u,v)|2= R2(u,v) + I2(u,v)
-
理论基础
离散二维卷积 h(x,y) = f*g = f(m,n)g(x – m, y – n)
mn
相关的定义

h(t) = g(t + )f()d 记为：y = g x
-
Fourier变换
连续与离散的傅立叶变换
一维连续傅立叶变换 二维连续傅立叶变换 离散傅立叶变换 离散傅立叶变换的计算与显示
10 傅里叶变换 The Fourier Transform
我们人类视觉所感受到的是在空间域space domian和时间域time domain的信号。但是， 往往许多问题在频域中frequency domain讨 论时，有其非常方便分析的一面。
Fourier变换有两个好处：
1）可以得出信号在各个频率点上的强度intensity。 2）可以将卷积convolution运算operation化为乘积

h(t) = g(t - )f()d 记为：h = g * f
-
g(t)称为冲激响应函数impulse response function
理论基础
离散一维dimension卷积 h(i) = f(i)*g(i) = f(j)g(i-j)
j
二维卷积的定义

h(x,y)=f*g= f(u,v)g(x – u, y – v)dudv
f(x) = f(x0+ xx)
傅立叶变换
离散傅立叶变换
其中假设x现在的离散值是：0,1,2, … ,N-1。 {f(x0),f(x0+x),f(x0+2x), ... , f(x0+[N–1]x)}
傅立叶变换
一维连续傅立叶变换：几个概念
假设函数f(x)为实函数。但一个实函数的傅立 叶变换可能为复函数：
F(u) = R(u) + jI(u) （1） f(x)的傅立叶模model记为： |F(u)|
|F(u)| = [R2(u) + I2(u)]1/2 （2） f(x)的傅立叶模平方记为： P(u)
理论基础
卷积
卷积的定义 离散一维卷积 二维卷积的定义 离散二维卷积 相关的定义
理论基础
卷积的定义
对于一个线性系统的输入f(t)和输出h(t)，如果有一 个一般表达式，来说明他们的关系，对线性系统的 分析，将大有帮助
卷积积分convolution integral就是这样的一般表达式
multiplication运算。
第十章 Fourier变换
傅立叶变换导言 理论基础、连续continuous与离散discrete的傅立叶变 换
二维傅立叶变换特性 可分离性、周期period与共轭对称、平移性、 旋转特性、线性与相似性 、均值性、 拉普拉斯、卷积与相关correlation
系统的定义：
接受一个输入input，并产生相应输出output的任何 实体。
系统的输入是一个或两个变量variable的函数fuction， 输出
是相同变量的另一个函数。
x(t)输入
系统
y(t)输出
理论基础
线性系统
线性系统的定义：
对于某特定系统，有：
x1(t) y1(t)
x2(t) y2(t)
傅立叶变换
一维连续傅立叶变换：定义
设 f(x)为实变量x的连续函数， f(x)的傅立叶变换表示为F{f(x)},定义为：

F{f(x)} = F(u) = f(x)exp(-j2ux)dx
其中 j2 = -1
-
如果给定F(u),f(x)可以由傅立叶逆变换得到：
F-1{F(u)} = f(x) = F(u)exp(j2ux)du
该系统是线性的当且仅当：
x1(t) + x2(t)
y1(t)+ y2(t)
从而有：a*x1(t) a*y1(t)
理论基础
线性系统
线性系统移不变性shift invariance的 定义：
对于某线性系统，有：
x(t) y(t)
当输入信号沿时间轴平移T，有：
x(t - T)
y(t - T)
则称该线性系统具有移不变性
P(u) = |F(u)|2 = R2(u) + I2(u)
傅立叶变换
一维连续傅立叶变换：几个概念
（3） f(x)的傅立叶相位phase记为： (u) (u) = tan-1 (I(u) / R(u))
（4） 傅立叶变换中的变量u通常称为频率变量 这个名称源于欧拉公式中的指数项
exp[-j2ux] = cos2ux - jsin2ux