配方法公开课 PPT

∴方程的两根为
x1
1 2
5，
x2
1 2
5
∴方程的两根为
x1 3 2，x2 3 2
回顾
将前面“实际问题2”中花
园调整方案改动如下：
23.. 某 某小 小区 区为 为了了美美化化环环境境，，将将花正园 方的 形布 小局 花做 园 了的如 布下 局调 做整 如： 下将调一整个：正使方长形比小宽花多园4 每m，边且扩面大积2m 后为9，6改m造2 ，成那一么个花面园积的为长10和0宽m应2 的各大是花多园少，？那么 原来小花园的边长是多少？
由题意得，1 1 x 1 x2 3.31
令 1 x a，
则原方程变为 1 a a2 3.31
a2 a 2.31
a2

a


1 2
2

2.31

1 2
2
a 0.52 2.56
a 0.5 1.6
a1 1.1 a2 2.1（不合题意，舍去）
知识要点
x2＋4x = 96 x2＋4x＋4 = 96＋4
(x＋2)2= 100
像上面的解题方法，通过配成完全平方形式来 解一元二次方程的方法，叫配方法。
配方法是为了降次，把一个一元二次方程转化 为两个一元一次方程来解。
使用配方法应该注意的问题
配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必 须熟悉完全平方式的特征。 使用配方法，先配方，再降次。 配方法适用于一切一元二次方程。
1 x 1.1 x 0.1
所以该公司二、三月份营业额平均 增长率是 10%。
4. 解方程。 （1）x2 2x 35 0
x2 2x 12 35 1
x 12 36
x 1 6 x 1 6, x 1 6 x1 7, x2 5 可以，验证x1 7, x2 5都是 x2 2x 35 0的两根。
5. 某数学兴趣小组对关于 x 的方程
m 1 xm21 m 2 x 1 0
提出了下列问题。
（1）若使方程为一元二次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。
（2）若使方程为一元一次方程，m 是否存在？ 若存在，请求出 m 并写出此方程。
m 1 xm21 m 2 x 1 0
小练习
(2x 1)2 5
形如 ( mx＋n)2 = p（p≥0）的方程，我 解方程。 们可以用直接开平方 的方法来求根。
x2 4x 4 3
解： 2x 1 5
解： (x 2)2 3
2x 1 5， 2x 1 5 x 2 3，x 2 3
例题 （1）x2 x 7 0
4
解：（1） 移项，得 x2 x 7 4
配方
x2

x


1
2

2

7 4


1
2

2

x

1 2
2

2
由此可得
x1 2 2
x1

1 2

2，
x2

1 2

2
例题 （2）3x2 6x 4 0
把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一 元一次方程。我们把这种思想称为“降次转化思 想”。
如果方程能化成 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0）
的形式，那么可得 x p 或 mx n p 。
解方程
1. 2x2 1 0 2. 2x2 1 9
3. 2x2 x 0 4.2x2 x 9
把方程转化为 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0） 的形式。
3.配方法解方程的一般步骤:
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
课堂小结
1. 直接开平方法：
解形如 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0）的一元 二次方程时 ，利用直接开平方法解方程达到降次
转化的目的， x p，mx n 。p
2.配方法解方程的基本思路 ：
怎样解一元二次方程？
3x2＋5 = 8x2 x2＋5x＋6 = 0
教学重难点
运用直接开平方法解形如x2 = p 或(mx＋n)2 = p（p≥0）的方程，领会降次──转化的数学思想。 配方法的解题步骤。 把常数项移到方程右边后，两边加上的常数 是一次项系数一半的平方。
1. x 2 = 16
（2）2x2 4x 1 0
x2 2x 1 2
x2 2x 12 1 1 2
x 12 3
2
x 1 6 x 1 6 , x 1 6
2
2
2
x1 1
6 2
,
x2
பைடு நூலகம்

1
6 2
可以验证：x1 1
6, 2
x2 1
6 都是方程的根。 2
配方法解
(x－5)2 = 36
方程，应在方 程两边同时加
开平方，得 x－5 =±6
上一次项系数
∴ x1 = 11 , x2 =－1
一半的平方。
3. 某公司一月份营业额为1万元，第一 季度总营业额为 3.31万元，求该公司二、三 月份营业额平均增长率是多少？
解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x，
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
( x+ p )2 =－q＋ ( p )2
2
2
求解：解一元一次方程。
定解：写出原方程的解。
随堂练习
1. 解方程。
（1） 2x2 8 0 （2） x2 4x 4 5
解：（1） 2x2 8 0 2x2 8 x2 4
2. x 2 = 0
3. x 2 = -16
解方程
4. 2 x 12 16
5. 2 x 12 0 6. 2x 12 16
7. 22x 12 16
这些方程在解法 上有什么共同点？
x2 16
(2x＋1)2 = 16 2(2x＋1)2 = 16
x 4
解：（2） 移项，得 3x2 6x 4
二次项系数化为1，得
x2 2x 4 3
配方
x2

2x


2 2
2


4 3


2 2
2
x 12 1
3
解一元二次 方程时，会 出现无实数
∵ (x-1)2 ≥ 0
根的情况。
∴ 当 x 取任何实数时，上式都不成立
x1 2, x2 2
（2）x2 4x 4 5
x 22 5
x2 5 x1 2 5,
x2 2 5
2. 下列解方程 x2－10x －36 = 0的过程 正确吗？如果不正确，请指出错误的地方。
解：移项，得 x2－10x = 36
配方 x2－10x ＋25 = 36 ×
根据这个技巧，我们来把 x2＋4x－96 = 0 转化为 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0）的形式。
× 方程左边是完全平方式吗？
x2＋4x－96 = 0
？ × 能用刚才的直接开平方的方法求根吗？
能不能转不化是为 x2 = p 或( mx＋n)2 = p（p≥0）这样的形式。
加其他的 数行吗
解：（1）若使方程为一元二次方程，
m2 1 2 m 1
当m = 1时，m＋1 = 1＋1 = 2≠0
当m =－1时，m＋1 =－1＋1 = 0 （不合题意，舍去）
∴当m = 1时，一元二次方程为
2x2 1 x 0。
m 1 xm21 m 2 x 1 0
（2）若使方程为一元一次方程，
设设原花来园小的花宽园x m的，边长长（x mx+，4）m。
则则有有 (xx(＋x＋2)42)==19060 即 x2＋4x－96 = 0
继续解答……
3. 某小区为了美化环境，将正方形小花园 的布局做如下调整：使长比宽多 4 m，且面积 为96 m2 ，那么花园的长和宽应各是多少？
设花园的宽 x m，长 （x+4）m。 x2＋4x－96 = 0
x1 = 8， x2 = －12（不合题意，舍去） 所以花园的宽 8 m，长 12m。
小练习 将下列方程写成完全平方式。
（1） x2 8x 16 x __4__ 2
（2） 9x2 12x 4 3x __2__ 2
（3）
x2
px


p 2
2
p
x __2__
探究 根据完全平方公式填空。
（1）x2＋8x ＋ ___1_6___ = ( x＋ __4___ )2
（2）x2－4x ＋ ___4____ = ( x－ __2___ )2
（3）x2－10x＋___2_5___ = ( x－ __5___ )2
二次项系 数为1时
一次项系数 一半的平方
一次项系数 的一半
即原方程无实数根。
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x＋px＋q = 0 的形式。
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q。
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
x2＋px＋ ( p )2 = －q＋ ( p )2
方程右边
开方：根据平方根的2 意义，方程两边2 开平方。是非负数
x2＋4x－96 = 0
移项
x2＋4x
= 96
两边加上 全平方式

4 2

2
,使左边配成完
x2＋4x＋4 = 96＋4
为什么方程两 边都加上 4 2
左边写成完全平方式 2
(x＋2)2= 100
降次
x＋2 = ±10
x＋2 = 10， x＋2 = －10
解一次方程
x1 = 8， x2 = －12
2x＋1 =±4 2x＋1=±8
方程一边是一个完全平方式，另一边是一个 常数。根据平方根的意义求解。
完全平方公式 a2＋2ab＋b2 = (a＋b)2 a2－2ab＋b2 = (a－b)2
2x 1 5
(2x 1)2 5
2x 1 5
知识要点
(x 2)2 3
x2 3 x2 3
①由题意，得：m2 1 1 m0
当m = 0时，方程为 x－2x－1 = 0 。
②当m2＋1 = 0 时， m 不存在。
∴当m = 0 时，一元一次方程为
x 2x 1 0。