[教育]岩石力学课件第四章岩石本构关系与强度理论

。
因此决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和
位移，才能解决问题。
• 对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完 全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问 题都同样适用。
•二、平面问题的基本理论
•（三） 几何方程
• 在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移
。通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图所示。弹性 体受力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 •一、P点的正应变
• 对平面应力状态考虑体力时，仍可证明剪应力互等定理。以通过中
心D并平行于z轴的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程
：
•将上式的两边除以 得到：
•令
•，即略去微量不计，得：
•二、平面问题的基本理论
• 下面推导平面应力问题的平衡微分方程，对单元体列 平衡方程：
•二、平面问题的基本理论
• 整理得:
• 这两个微分方程中包含着三个未知数
由此导出平衡微分方程。从薄板取出一个微小的正平行六面体PABC，
它在z方向的尺寸取为一个单位长度。
• 设作用在单元体左侧面上的
正应力是
，右侧面上坐
标 得到增量 ，该面上的正应
力为
• 级数：
，将上式展开为泰勒
•二、平面问题的基本理论
•略去二阶及二阶以上的微量后便得
、
都一样处理，得到图示应力状态。
同样 、
应变问题时，可把对应的平面问 题的方程和解答中的弹性常数进 行上述代换，就可得到相应的平 面应变问题的解。
•二、平面问题的基本理论
•（五） 边界条件
• 当物体处于平衡状态时,其内部各点的应力状态应满足 平衡微分方程；在边界上应满足边界条件。
•1、位移边界条件 • 当边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移 与给定位移相等的条件。如令给定位移的边界为 ，则 有（在 上）：
• 在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩
是高一阶的微量，略去不计。
•二、平面问题的基本理论
•同理可求得：
•二、P点的剪应变 •线段PA的转角：
•同理可得线段PB的转角
：
•所以
•二、平面问题的基本理论
•因此得到平面问题的几何方程：
• 由几何方程可见，当物体的位移分量完全确定时，形 变分量即可完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移 分量却不能完全确定。
• 如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等 。
•x
• 图 2－2
•注意平面应变问题z = 0，
•问但题相反
•，这恰与平面应力
•二、平面问题的基本理论
•（二） 平衡微分方程
• 无论平面应力问题还是平面应变问题，都是在xy平面内研究问题
，
••所有物下理面量讨均论与物z体无处关于。平衡状态时，各点应力及体力的相互关系，并
•（一） 弹性力学的基本内容 •1、研究任务
• 弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性 体由于受外力作用或由于温度改变等原因而发生 的应力、形变和位移。
•2、研究对象
• 弹性力学的研究对象为一般及复杂形状的构 件、实体结构、板壳等。
•一、弹性力学的基本知识
•（二） 弹性力学的基本假设
• 在弹性力学中，在满足实用所需精度的前提 下做一些必要的假设，使问题得以求解。 • 弹性力学的基本假设为： • （1）连续性假设：这样物体内的一些物理量， 例如应力、应变和位移等可用坐标的连续函数表示 它们的变化规律。 • （2）完全弹性假设：假定物体为完全弹性体 ，则服从虎克定律---应力和相应的形变成正比， 弹性常数不随应力或形变的大小而变化。
•一、弹性力学的基本知识
•（四）各物理量之间的关系
•边界条件
•体积力 •面力 •应力 •形变 •位移
•几何方程
•物理方程
•平衡方程
•二、平面问题的基本理论
•（一） 平面应力问题与平面应变问
• 在实际问题中，任何一个题弹性体严格地说都是空间物
体，它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹 性体的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简 化和力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。
• （3）均匀性假设：假定物体由同一材料组成 ，这样物体的弹性不随位置坐标而变化。
•一、弹性力学的基本知识
• （4）各向同性假设：物体内一点的弹性性 质在所有各个方向都相同。
• （5）小变形假设：假定位移和形变是微小的 。这样，可以用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 ，在考察物体的应变和位移时，可以略去高阶小 量，这对于方程的线性化十分重要。
• 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
•1、平面应力问题
• 等厚度薄板，承受平行于 板面并且不沿厚度变化的面力 ，同时体力也平行于板面并且 不沿厚度变化。
•σz = 0 τzx = 0 τzy =
0
•二、平面问题的基本理论
• 特点： •1) 长、宽尺寸远大于厚度
•2) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
[教育]岩石力学课件第四章 岩石本构关系与强度理论
•第四章 •岩石本构关系与强度理论
•4.1弹性力学基础知识
• 岩石力学的研究对象是岩 石或岩体，其力学性质可用弹 性、塑性、粘性和三者组合来 表示，如弹性、弹塑性、粘弹 性、弹塑粘性等。
• 弹性力学是岩石力学的 基础理论。
•一、弹性力学的基本知识
•二、平面问题的基本理论
•（四） 物理方程
•一、平面应力问题的物理方程
•且有：
•二、平面问题的基本理论
•二、平面应变问题的物理方程wenku.baidu.com
•二、平面问题的基本理论
•三、平面应力的应力应变关系式与平面应变的关系式之间
的
变换关系
•将平面应力 中的关系式：
•作代 换
•就可得到平面应变中的关系式：
• 由于这种相似性，在解平面
•平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面
上 •
无外力作
•y
用。
•x
•注意：平面应力问题z =0，但
•问题相反 。
•，这与平面应变
•二、平面问题的基本理论
•2、平面应变问题 • 很长的柱体，在柱面上承受平行于柱面并且不沿长度 变化的面力，同时体力也平行于柱面并且不沿长度变化。
•εz = 0 τzx = 0 τzy = 0
• 以上的假设对于工程中不少问题是适用的 ，但对于一些问题的误差太大，就必须用另外 的简化方案，但许多概念基本理论仍然是共同 的，弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有 限元方法等学科的基础。
•一、弹性力学的基本知识
•（三） 弹性力学的解题程序
•平衡方程 •几何方程 •物理方程
•边界条件
•应力解 •位移解