结构动力学(5)-第四章结构动力学的求解

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结构动力学4

2
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
u c (t ) = e
−ζω n t
( A cos ω D t + B sin ω D t )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
p0 && & u + 2ζω n u + ω n u = sin ωt m
1 − (ω / ω n ) 2 C = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 − 2ζω / ω n D = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t ) = e
u (t ) = C sin ωt + D cos ωt = u 0 sin(ωt − ϕ )
u0 —稳态振动的振幅 φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
D 2 2 −1 u 0 = C + D , ϕ = tan (− ) C
u 0 = u st 1 [1 − (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t
ωn = k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
&& mu + ku = p 0 sin ωt
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动荷载p0sinωt直接引起的振动解。设特解为：u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt

结构动力学

第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。

确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。

根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。

根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。

2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。

广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。

有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。

①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。

②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。

5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。

结构的动力学方程

结构的动力学方程()g MX CX KX MIx t ++=-clear; clc; n=4;II=sqrt(-1);%主结构质量、阻尼、刚度矩阵123400000000000m mM m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M=eye(n)*1.0e+4; K=eye(n)*1.6*1.0e+7; %主结构刚度矩阵聚合 zk=zeros(n);122223333444400000k k k kk k k K k k k k k k +-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎣⎦for j=1:(n-1)zk(j,j)=K(j,j)+K(j+1,j+1); zk(j,j+1)=-K(j+1,j+1); zk(j+1,j)=-K(j+1,j+1); endzk(n,n)=K(n,n); k=zk; m=M;%求解各阶模态频率 [tzxl,tzz]=eig(k,m); d=diag(sqrt(tzz)); %振型规一化 for i=1:n[tzz1(i),j]=min(d); tzxl1(:,i)=tzxl(:,j); d(j)=max(d)+1; end%振型归一化取第一层振型为1 for j=1:ntzxl1(:,j)=tzxl1(:,j)/tzxl1(1,j); endw0=tzz1;w=tzz1/(2*pi); zhx=tzxl1;广义阻尼矩阵1112220333444200002000020002M M C M M ζωζωζωζω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦各阶模态阻尼比都取0.05i ζ= %阻尼比ks0=0.05;ks=ones(n,1)*ks0;第n 阶广义质量：Tn n n M M φφ=%求广义质量 Mn=zhx'*m*zhx; 阻尼矩阵为：()()110TC C φφ--=%求阻尼矩阵 C=zeros(n); for i=1:nC(i,i)=2*ks(i)*w0(i)*Mn(i,i); endc=(zhx')\C/zhx;()()4222022222244g g g g x g g gS S ωζωωωωωζωω+=-+参数eg 即g ζ%过滤白噪声参数 eg=0.6; wg=15.708; S0=0.001574;%按照书上的要求，取频率和时间的最大值和步长 %频率间隔 dw=0.3;%最大频率范围 maxw=45; %最大时间值 maxt=40; %时间间隔 dt=0.2;%各层各时间点频率点的功率谱密度,循环变量：层数，时间点，频率点 Pwt=zeros(n,maxt/dt,maxw/dw); %频率点数循环变量wn wn=1;%对频率进行循环，求解各频率点的时间历程 for w=0:dw:maxwx1=1+4*eg^2*(w/wg)^2;x2=(1-(w/wg)^2)^2+4*eg^2*(w/wg)^2; Sgw=x1*S0/x2; s=sqrt(Sgw);%采用精细积分法进行求解时间历程，得到位移和速度时程 [disp,velp]=JINGXI67(M,zk,c,dt,maxt,w,s,n); Ywt=disp;for kkk=1:maxt/dt%求确定频率下各时间点的功率谱 Yw=Ywt(:,kkk);()()()()()1234t t t t t y y y y y ωωωωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭每一时刻和频率点的位移向量，对其进行求共轭和装置得到协方差矩阵，对角上的元素即是每一时刻的各层的功率谱y1=conj(Yw);y2=transpose(Yw);()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11121314212223243132333441424344t t t t t t t t t t t t t t t t yy t t t t t t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y y y y ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω****************⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ %确定时间点确定频率下的功率谱Yw,取对角线元素Syyw=y1*y2; for kk=1:nPwt(kk,kkk,wn)=Syyw(kk,kk); end endwn=wn+1; end()()()()()()()()()()()()()()2012311231212222yyy yy yy yy n yy yy yy n yy yy n yy yy yy n S d S d S S S S S d S S S S S d σωωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞--==⎡⎤ =⨯++++⋯+⎣⎦⎡⎤ =++++⋯+⎣⎦⎰⎰ %求解完成后实际上wn 为maxw/dw+2，实际频率点个数为maxw/dw+1%各层的时变方差，循环变量为：层数，时间点 Fangcha=zeros(n,maxt/dt); for tn=1:maxt/dt%求解各层的时变方差 for kk=1:nxx1=zeros(wn-1,1);%每一个时刻的方差对各频率点进行积分，频率点数取maxw/dw+1，即wn-1 for wn0=1:wn-1xx1(wn0)=Pwt(kk,tn,wn0); end%采用复合梯形求积公式对功率谱进行积分得到方差Fangcha(kk,tn)=(xx1(1)+xx1(wn-1)+2*sum(xx1(2:wn-1-1)))*dw; end end%画图c1=(1:maxt/dt)*dt; d1=Fangcha(1,:)/S0; d2=Fangcha(2,:)/S0; d3=Fangcha(3,:)/S0; d4=Fangcha(4,:)/S0; figure(3)plot(c1,d1,'k',c1,d2,'r',c1,d3,'m',c1,d4,'r-')精细积分的程序function [disp,velp]=JINGXI67(m,k,c,dt,maxt,w,s,n) %虚数单位 II=sqrt(-1); % i teω中的i ωIIW=II*w; I=eye(n); Z=zeros(n);离散化n 自由度结构受均匀调制演变随机激励(){}f t 时的运动微分方程可表示为：()()()My Cy Ky f t MIg t x t ++==-其中()x t 为平稳高斯白噪声随机过程向量，()g t 为调制函数。

结构动力学课件PPT

地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通常称为结构振动分析。结构在随机荷载作用下的响应分析，被称为结构的随机振动分析。本课程主要学习确定性荷载作用下的结构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中）分布弹性（弹性变形在整个结构或某些元件上连续形成）只要可假定只有单一形式的位移，使得结构按照单自由度体系运动，就可以按照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8

y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁：比较：刚架：基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移随时间变化的规律。建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方程，得到体系的运动方程。

结构动力学(5)-第四章结构动力学的求解

H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲，反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘和右乘
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性：质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) 0 u(0) 0,
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为

结构动力学第四章结构动力学的求解演示文稿

Mu(t) Ku(t) 0
u(0) u0
u(0) u0
u Φq
得到：
Mqq(t) Kqq(t) 0
M rqr (t) Krqr (t) 0, r 1, , N
解为：
qr (t) ar cosrt br sinrt, r 1, , N
其中
a1 cos1t b1 sin1t
0
可知 j2, φ j 都是实数，取 2 2
u φeit 化为
(2M K)φ 0
（广义特征值问题）
（1）当质量矩阵式正定、刚度矩阵半正定时，可以找到非零的 φ0 ，满足：
于是有：
Kφ0 0 0 0 φ0
（2）当质量矩阵半正定时，则可以改写为
(M 2K)φ 0
由
Mφ 0
解出得到纯静态模态, 有：
t
t
u(t) 0 h(t ) f ( )d 0 h( ) f (t )d
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
)
Φ
diag
1r N
sin r t M rr
ΦT
Φ
diag
1r N
sin r r
t
Φ
1Φ
diag
1r N
1 Mr
ΦT
V (t)M 1
其中 V (t) 是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上
依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是 M 1 ．
（2）任意激励下的响应有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为
取特解
u(t) usint
得到
Z()u (K 2M )u f
式中
def
Z() (K 2M)

结构动力学方程常用数值解法

结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。

二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。

对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。

现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。

二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。

这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。

通常又称为逐步积分法。

模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。

二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。

一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。

振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。

5-结构动力学(有限元计算)解读

结构分析模型
结构分析模型是结构模型的一种，是反映真实结构几何与物理特性、供结构分析使用的简化抽象计算图形。建立结构分析模型是是实施结构动力反应分析的关键环节之一，直接影响分析结果的可靠性。确定分析模型的基本原则是反映真实结构的质量分布和抗力体系，能描述结构在外界荷载作用下的变形性质、且便于使用。模型的简化程度取决于结构特征和计算目标，并与计算方法密切相关；电子计算机的普及应用极大推动了分析模型的发展。
f I f D fS p(t )
3.2.1.1-3 3.2.1.1-4
即
mu cu ku p(t )
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移），则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力（包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是此法的主要优点。当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5）为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时域反应。

结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)

华南理工大学土木与交通学院土木工程系
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学第四章多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学第四章多自由度体系 3 of 42 华南理工大学土木与交通学院土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠

结构动力学(课用ppt)

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（4）一般任意荷载荷载的幅值变化复杂、难以用解析函数解析表示的荷载。由环境振动引起的地脉动、地震引起的地震动，以及脉动风引起的结构表面的风压时程等。
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1.5 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
结构动力学和静力学的一个本质区别：考虑惯性力的影响
结构产生动力反应的内因（本质因素）：惯性力惯性力的产生是由结构的质量引起的动力自由度（数目）：在动力计算中，一个体系的动力自由度是指为了确定运动过程中任一时刻全部质体位置所需的独立的几何参数数目。
独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。
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二. 自由度的简化实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
张亚辉林家浩编著, 结构动力学基础，大连理工大学出版社，2007. 刘晶波等编著，结构动力学，机械工业出版社，2005. 张子明等编著，结构动力学，河海大学出版社，2001.
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第一章绪论
1.1 动力问题的基本特征 1.2 结构动力分析的目的
1.3 结构动力学研究的内容
1.4 动力荷载类型
注意！
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和超静定次数无关，如下图所示的体系。
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2、广义坐标法
广义坐标：能决定体系几何位置的彼此独立的量，称为该体系的广义坐标
变形曲线可用三角级数的和来表示：
nx nx u( x, t ) bn sin bn (t ) sin L L n 1 n 1

结构动力学计算

变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值；
➢ 由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，于是可在幅值
处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，把微分方程转化为
代数方程，使计算得以简化。
例7. 求图示体系的自振频率
m1 m
B
EI C
m2
1 3
m
m l22kl2
A
0 .5 l
l
kD 0 .5 l
在质量上沿位移方向施加惯性力；求外力（包括惯性力）引起的质量的位移；令该位移等于体系的位移；
例2. 用柔度法建立体系的运动方程
m
l EI EI
l
O
y
my y
ym y
my 1 y 0
2l 3
11 3EI
my(t)32E l3Iy(t)0
P=1
图乘法
?
l
例3：用柔度法列运动方程
m y(t)
12 EI h3
6 EI h2
1
6 EI
k
h2
12 EI
h3
6 EI h2
k m
24EI mh3
T 2
练习3：计算图示结构水平振动和竖直振动时的自振频率，自重忽略不计。
m
EI常数
l
l
l
Horizontal Vibration： -----Flexibility Method
Anti-symmetrical Load +symmetrical Structure
✓ 自振频率计算公式
k m
1
m
tan1
y
0 0
v
0
✓ 计算k或δ：静力学知识 l 3 1 8EI

第四章结构动力学多自由度体系详解

此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22

结构动力学（ＰＤＦ）

机械振动系统，师汉民，华中科技大学出版社cos sin i t e t i t ωωω=+Ch1 单自由度线性系统自由振动1.3 无阻尼自由振动()()0mxt kx t += 解()()22002()cos sin cos cos n n n n nnv v x t x t t x t A t ωωωϕωϕωω=+=++=-振幅和相位由初始条件确定。

确定自然频率的方法： 1、静变形法：kx mg =，n g xω=2、能量法：无阻尼弹性振动能量守恒，因此取动能Tmax=势能Vmax 。

1.4 有阻尼自由振动22()()()020n n mx t cx t kx t s s ξωω++=⇒++= ，通解wt Ae通常自然频率可以很容易的通过实验测定，但阻尼比ξ的计算或辨识则比较困难，需要利用自由振动衰减曲线计算。

在间隔1个振动周期T 的自由振动减幅振动曲线上，取两个峰值A1和A2，A1/A2=EXP(ξωn T)Ch2 单自由度线性系统的受迫振动 2.1 谐波激励()()()cos cos mxt cx t kx t F t kA t ωω++= →22()2()()cos n n n x t x t x t A t ξωωωω++= ，设通解cos()X t ωϕ-，ϕ表响应对激励的滞后通解X1为：()20020002cos n t n n d dd v x v x xe t ξωξωξωωωω-+⎛⎫++- ⎪⎝⎭，瞬态响应，逐步衰减。

特解X2为：()()i t H Ae ωϕω-，稳态响应，实际上的激励和响应仅取实部，响应的频率是激励的频率！222222222222cos arctan cos arctan 112112n n n n n n n n AA t t i ωωξξωωωωωωωωωωξξωωωωωω⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪-=- ⎪⎪⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭幅频特性221()12n n X H Ai ωωωξωω==-+，相频特性222()arctan1n nωξωϕωωω=-若激励表示为i t Ae ω，响应表示为i t Xe ω，可表述()()()x t H f t ω=，则()()()i t x t H Ae ωϕω-=共振频率212r n ωωξ=-，有阻尼自然频率21d n ωωξ=-，因此，对共振的研究应考虑阻尼比ξ=0.707的特殊点。

结构动力学分析

MIDAS/GEN六层框架结构的动力分析工程概况建筑地点：北京市建筑类型：六层综合办公楼，框架填充墙结构。

地质条件：根据设计任务说明地震设防烈度为8度。

柱网与层高：本办公楼采用柱距为6.0m的内廊式小柱网，边跨为6.0m，中间跨为2.7m，层高取首层为4.5m,其余为3.3m，如下图所示：框架结构的计算简图：典型结构单元梁、柱、板截面尺寸的初步确定：1、梁截面高度一般取梁跨度的1/12至1/8。

本方案取1/10×6000=600mm，截面宽度取600×1/2=250mm，可得梁的截面初步定为b×h=250*600。

楼板取120mm，楼梯板及休息平台板为100mm,平台梁250×400。

2、框架柱的截面尺寸梁截面尺寸（mm）柱截面尺寸（mm）结构动力学分析用来求解随时间变化的载荷对结构或部件的影响。

与静力分析不同，动力分析要考虑随时间变化的力载荷以及它对阻尼和惯性的影响。

MIDAS/GEN可进行的结构动力学分析类型包括:瞬态动力学分析、模态分析、屈曲分析、动力非线性分析等。

本文将以一个六层框架结构为例对结构进行模态分析和谱分析。

一．模态分析模态分析是用于确定设计中的结构或机器部件的振动特性。

它也是其他更详细动力学分析的起点，例如瞬态动力学分析和谱分析等，可以通过模态分析确定结构部件的频率响应和模态。

一般对于动力加载条件下的结构设计而言，频率响应和模态是非常重要的参数，即使在谱分析及瞬态分析中也是需要的。

1.1动力学求解方法MIDAS目前提供了三种特征值分析方法，它们是子空间法、分块Lanczos 算法、多重Ritz向量法。

本文采用子空间法进行计算求解。

子空间法使用迭代技术，求出结构的前r阶振型，它内部使用广义Jacobi迭代算法。

由于该方法采用了完整的质量和刚度矩阵，因此精度很高，但计算速度较慢，特别适用于大型对称特征值求解问题。

分块Lanczos法特征值求解器采用Lanczos算法，Lanczos算法是用一组向量来实现递归计算。

结构动力学5

p(t )e
i j t
dt
p(t )e
k k 0
N 1
i j t k
t t
p(t )e
k k 0
N 1
i
2kj N
将离散化的谱值代入Fourier逆变换公式，并应用矩形积分公式得：
1 u (t k ) 2 1 2

U ( )e
it k
p(τ)dτ的动力反应
：
du(t ) p( )d h(t ) , t
在任意时间t结构的反应，等于t以前所有脉冲作用下反应的和：
u (t ) du
0

t
p( )h(t )d
0
t
5.1 时域分析方法—Duhamel积分 2、对任意荷载的反应
无阻尼体系动力反应的Duhamel积分公式：
1 U ( ) i 2 nU ( ) n U ( ) P( ) m
2 2
U ( ) F u(t ) , P( ) F p(t )
5.2 频域分析方法—Fourier变换法
2U ( ) i 2 nU ( ) n U ( )
结构动力学
（2003春）
结构动力学
第五章
单自由度体系对任意荷载的反应
在实际工程中，很多动力荷载既不是简谐荷载，也不是周期性荷载，而是随时间任意变化的荷载，需要采用更通用的方法来研究任意荷载作用下体系的动力反应问题。
本章介绍三种动力反应问题的分析方法：时域分析方法—Duhamel积分法，频域分析方法—Fourier变换法，时域逐步积分法—中心差分法；Newmark—β法； Wilson—θ法。

结构动力学哈工大版课后习题解答

第一章单自由度系统1.1 总结求单自由度系统固有频率的方法和步骤。

单自由度系统固有频率求法有：牛顿第二定律法、动量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恒定理法。

1、牛顿第二定律法适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析,得到系统所受的合力；（2）利用牛顿第二定律∑=F x m,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

2、动量距定理法适用范围：绕定轴转动的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行受力分析和动量距分析；（2）利用动量距定理J ∑=M θ,得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

3、拉格朗日方程法：适用范围：所有的单自由度系统的振动。

解题步骤：（1）设系统的广义坐标为θ，写出系统对于坐标θ的动能T 和势能U 的表达式；进一步写求出拉格朗日函数的表达式：L=T-U ；（2）由格朗日方程θθ∂∂-∂∂∂LL dt )( =0，得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

4、能量守恒定理法适用范围：所有无阻尼的单自由度保守系统的振动。

解题步骤：（1）对系统进行运动分析、选广义坐标、写出在该坐标下系统的动能T 和势能U 的表达式；进一步写出机械能守恒定理的表达式 T+U=Const （2）将能量守恒定理T+U=Const 对时间求导得零,即0)(=+dtU T d ，进一步得到系统的运动微分方程；（3）求解该方程所对应的特征方程的特征根，得到该系统的固有频率。

1.2 叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法和步骤。

用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个：衰减曲线法和共振法。

方法一：衰减曲线法。

求解步骤：（1）利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线，并测得周期和相邻波峰和波谷的幅值i A 、1+i A 。

结构动力学课件

矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量φi时, 它们的乘积等于一个数:
Mi Mi

Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.
i Ki Ki
T
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自测题
一、判断题
1. 动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而且使结构产生不容忽视的惯性力。（ √ ） 2. 动力位移总是要比静力位移大一些。（ ╳ ） 3. 多自由度体系，刚度系数与柔度系数的关系是： kij=1/δij 。（ ╳） 4. 图示体系作动力计算时，若不计轴向变形影响则为 m 单自由度体系。（ ╳ ）
F F
t 1
自测题
三、考研题选解
1. 在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分别为：（ A ）（4分）（西南交通大学1997年）
A. 1，4
(a)
B. 2，3
(b)
C. 2，2
(c)
D.3，4
(d) (d)
(a)
(b)
(c)
提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别如图 c、d，有几个附加链杆，就有几个自由度。
4. 建立运动方程的方法
基本方法是惯性力法，即在体系的各运动质点上加入惯性力并认为各质点处于瞬时的平衡状态，采用静力学方法列出运动方程。 y ，速注意，通常取静平衡位置为位移 y的坐标原点，位移度、加速度 y 的正方向取为一致。 y
（1）刚度法
FI (t ) Fc (t ) Fe (t ) Fp (t ) 0 (t ) cy (t ) k11 y(t ) Fp (t ) m y
X (1) X (2) X X (n)

1 X (2) X (1) X ( n ) X ( 1 )

结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解

结构动力学4

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