基本不等式 Word版含答案

第四节 基本不等式

1．基本不等式

(1)了解基本不等式的证明过程．

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 2．不等式的综合应用

会运用不等式性质解决比较大小、值域、参数范围问题．

知识点 基本不等式 1．基本不等式ab ≤a ＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时等号成立．

(3)其中a ＋b

2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．

2．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)．

那么当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)．

那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 2

4

.(简记：“和定积最大”)

易误提醒 (1)求最值时要注意三点：一是各项为正；二是寻求定值；三是考虑等号成立的条件．(2)多次使用基本不等式时，易忽视取等号的条件的一致性．

必记结论 活用几个重要的不等式： (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a

b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22

(a ，b ∈R )．

(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2

＋b 2

2(a ，b ∈R )． (5)

a 2＋

b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2

1a ＋1

b

(a >0，b >0，当且仅当a ＝b 时取等号)．

[自测练习]

1．下列不等式中正确的是( ) A ．若a ∈R ，则a 2＋9>6a B ．若a ，b ∈R ，则a ＋b

ab

≥2

C ．若a ，b >0，则2lg a ＋b

2≥lg a ＋lg b

D ．若x ∈R ，则x 2＋1

x 2＋1>1

解析：∵a >0，b >0，∴a ＋b

2≥ab .

∴2lg a ＋b 2≥2lg ab ＝lg (ab )＝lg a ＋lg B.

答案：C

2．已知f (x )＝x ＋1

x －2(x <0)，则f (x )有( )

A ．最大值为0

B ．最小值为0

C ．最大值为－4

D ．最小值为－4

解析：∵x <0，∴－x >0，∴x ＋1

x －2＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2

(－x )·1

(－x )

－2＝－4，

当且仅当－x ＝－1

x

，即x ＝－1时等号成立．

答案：C

3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4

x

B ．y ＝sin x ＋

4

sin x

(0

x D ．y ＝x 2＋1＋

2

x 2

＋1

解析：∵y ＝x ＋4

x 中x 可取负值，

∴其最小值不可能为4； 由于0

sin x

>2

sin x ·4

sin x

＝4，

其最小值大于4；由于e x >0， ∴y ＝e x ＋4e －

x ≥2e x ·4e －

x ＝4，

当且仅当e x ＝2时取等号， ∴其最小值为4；∵x 2＋1≥1， ∴y ＝x 2＋1＋2

x 2＋1

≥22，当且仅当x ＝±1时取等号，∴其最小值为22，故选C. 答案：C

4．已知x >1，则x ＋4

x －1的最小值为________．

解析：∵x >1，∴x －1>0，

∴x ＋4x －1＝(x －1)＋4

x －1＋1≥4＋1＝5，

当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时等号成立．

答案：5

考点一 利用基本不等式证明简单不等式|

(1)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，

求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭

⎫1＋1

b ≥9. (2)设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1

b 2＋ab ≥2 2.

[证明] (1)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a .同理，1＋1b ＝2＋a

b

.

∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时取“＝”．

∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9，当且仅当a ＝b ＝1

2

时等号成立． 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2

ab ，∵a ，b 为正数，a ＋b ＝1， ∴ab ≤⎝⎛

⎭⎫a ＋b 22＝14

，当且仅当a ＝b ＝1

2时取“＝”．

于是1ab ≥4，2ab ≥8，当且仅当a ＝b ＝1

2时取“＝”．

∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭

⎫1＋1

b ≥1＋8＝9， 当且仅当a ＝b ＝1

2时等号成立．

(2)由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b

2≥2

1a 2·1b 2＝2ab

， 当且仅当1a 2＝1

b 2，即a ＝b 时等号成立，

又因为2

ab

＋ab ≥2

2ab

·ab ＝22， 当且仅当2

ab ＝ab 时等号成立，

所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2

ab

＋ab ≥22，

当且仅当⎩⎨⎧

1a 2＝1b 2

，2

ab ＝ab ，

即a ＝b ＝4

2时取等号．

考点二 利用基本不等式求最值|