整除的性质
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。
整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。
1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。
其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。
2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。
换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。
3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。
4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。
换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。
5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。
这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。
6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。
两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。
于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。
7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。
这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。
8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。
对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。
9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。
在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。
10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。
数的整除
数的整除性质、特征【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。
（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。
（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。
（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。
反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。
整除特征：1、能被2整除的数：个位数能被2整除，则这个数就能被2整除。
如个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
2、每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
3、最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。
4、个位上是0或5的数都能被5整除。
5、一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。
6、把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
7、最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。
8、每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
9、若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
10、若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差值能被11整除，则这个数能被11整除。
另外1，把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
另外2，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除.12、若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
13、若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
另外，把末三位数字截去，再从余下的数中减去截去的末三位数，如果差是13的倍数，则原数能被13整除.14、若一个整数能被2和7整除，则这个数能被14整除。
小学数学知识归纳数的整除性质
小学数学知识归纳数的整除性质整除是数学上一个重要的概念，它在小学数学的学习中起着至关重要的作用。
本文将归纳整除的性质，并探讨它们在解决数学问题中的应用。
一、整除的定义在数学中，如果一个整数a除以另一个整数b，余数为0，则称a能够被b整除，记作b|a。
其中，a称为被除数，b称为除数，0称为余数。
二、整除性质的归纳总结1. 任何整数a都能被1整除：1|a。
2. 任何整数a都能被自身整除：a|a。
3. 0是唯一一个既能被任何一个整数整除，又能整除任何一个整数的整数。
4. 如果a能被b整除，而b又能被c整除，那么a也能被c整除：如果b|a且c|b，则c|a。
5. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的倍数整除：如果b|a，则kb|a，其中k为任意整数。
6. 如果a能被b整除，而b不等于0，那么a也能被b的因数整除：如果b|a且c|b，则c|a。
三、整除性质的应用举例1. 判断数字的整除性：根据整除性质，可以快速判断一个数字是否能够整除另一个数字。
例如，如果一个数字能被2和3同时整除，那么它一定能被6整除。
2. 约数和因数的关系：根据整除性质，可以推导出约数和因数之间的关系。
例如，如果a能被b整除，那么b一定是a的约数，同时a一定是b的倍数。
3. 整除关系的推理：通过整除性质，我们可以在解决数学问题时进行推理和判断。
例如，如果a能被b整除，并且b能被c整除，那么我们可以得出结论：a一定能被c整除。
4. 整除性质在分数操作中的应用：在分数运算中，整除性质被广泛应用。
例如，当我们要进行两个分数的相加、相减、相乘、相除时，可以利用整除性质对分数进行化简和约分。
四、总结整除是小学数学中的重要概念，它帮助我们理解了数字之间的整除关系，并且在解决数学问题时起到了重要的作用。
通过对整除性质的归纳总结和应用举例，我们可以更好地理解和运用整除性质，提高数学解题的能力。
以此为基础，我们可以进一步学习更多关于整除的内容，如最大公约数和最小公倍数等，从而拓宽自己的数学知识面，为未来的学习打下坚实的基础。
整除
整除整除（一）基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c 是整数并且，a÷b=c。
则称a能被b整除或者b能整除a ，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2，4，6，8，0（5，0）结尾.3.被3，9整除特征：数字和被3，9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、113整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？[答疑编号5721130101]【解答】设六位数为，105=3×5×7，依次考虑被3，5，7整除得到得到唯一解a＝8，b＝5.故后两位为85.例2、求所有的x，y ，使得 .[答疑编号5721130102]【解答】72＝8×9，根据整除9性质易得x＋y＝8或17，根据整除4 的性质y＝2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.2[答疑编号5721130103]【解答】解得：a=7，b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？[答疑编号5721130104]【解答】63=7×9.再考虑该数能被9整除，有a＋b＋c＝2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a＝0. 此时，易验证b＝0，b＝1无解，而在b＝2时，有解c＝9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.3例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.[答疑编号5721130105]【解答】168=3×7×8，用6，7，8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768，776 .当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求。
1.3 整除 及其性质
§ 1.3 整除及其性质一、数的整除性在带余除法算式a=bq+r(0≤r<|b|)中，r=0的情况非常重要。
定义 1 设a,b是两个整数，其中b≠0，若存在一个整数q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）.这时我们也称b为a的约数，a为b的倍数，记作b|a.若不存在这样的整数q，则称a不能被b整除（或b不能整除a），记作b不整除a.性质一（传递性）若c|b，b|a，则c|a.性质二（可加性）若c|a，c|b，则c|(a±b).（请读者自己写出证明过程）性质三（可乘性）若b|a，d|c，则bd|ac.性质四若b能整除a，则|b|能整除|a|.（请读者自己写出证明过程）二、整除的奇偶性不能定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数.性质五偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数.推论: 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.性质六奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数.推论若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积为偶数.性质七设a为整，n为正整数，则a n与a奇偶性相同.例一求证：7│abcabc（a≠0）.证明：因为abcabc=abc×1000+abc=abc×1001，所以1001│abcabc.又因为7│1001，于是7│abcabc.例2 求证：37│（333777+777333）.证明：因为37×3=111，所以333777=（111×3）777=（37×9）777=37×（37776×9777），那么：37│333777.同理可证：37│777333，所以37│（333777+777333）.例3 若n>1,(n-1)│（n+11)，求n.解：因为（n+11)=(n-1)+12，且(n-1)│（n+11)，所以(n-1)│12.又因为n>1，所以n=2, 3, 4，5,7,13.例4求证：⑴若一个数的末尾数字能被2整除，则这个数能被2整除；⑵若一个数的末尾两位数字能被4整除，则这个数能被,4整除. 证明：⑴设a=10b+c(b是整数，c∈{0,1,2，…，9}）.因为2│10，故2│10b（为什么？）；又因为2│c，所以2│a.⑵设a=100b+cd(b是整数，c,d∈{0,1,2，…，9}).因为4│100，故4│100b；又因为4│cd，所以4│a.例5设9｜62ab427 11｜62ab427，求62ab427解：因为9｜62ab427，故9｜（6+2+a+b+4+2+7）(为什么？)即9｜（a+b+21）,所以9｜（a+b+3）.因为11｜ 62ab427，所以11｜（7+4+a+6-2-b-2）(为什么？) 即11｜(a-b+13),所以11｜(a-b+2).由0≤a,b ≥9,知3≤a+b+3≤21.因为9｜（a+b+3），所以a+b+3=9，或a+b+3=18.于是a+b=6,① 或 a+b=15.②同理a-b=-2,③ 或 a-b=9.④由①，②之一与③，④之一两两搭配成的四个方程组中，只有①和③搭配的方程组的解a=2,b=4符合题意， 所以 62ab427=6 224 427.“例6 对正整数a,若存在正整数b,使b 2=a,则a 叫做完全平均数.类似地，可定义完全立方数等.求证：下列各数都是完全平方数4 356, 443 556，44 435 556， 4 444 355 556， … 证明： 设an= 444n ⋯个 3 555n ⋯个6（n ∈N*),则an=6+5×10+5×102+…+5×10n +3×101+n+4×102+n +4×103+n +…4×12+n=6+50（1+10+…+101n -）+3×101n ++4×102+n （1+10+…+101n -）=6+50×110110n --+3×10（n+1）+4×10(n+2)×110110n --=（2×31101-+n ）2 显然3│（101+n －1）,故2×31101-+n 是正整数.所以an 是完全平方数.例7 7个茶杯，杯口全朝下，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动.可否经若干次运动，使杯口全朝下？解： 容易知道，一个茶杯由口朝上翻转为口朝下，需经奇数次翻转.设经k 次运动可使杯口全朝下.此时，每个茶杯翻转的次数依次为：a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7.因为杯口全朝下，所以 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7均为奇数，于是7个茶杯翻转的总次数 a 1 +a 2+a 3+ a 4+ a 5+a 6+a 7=s 必为奇数.另一方面，由每次同时翻转4个茶杯为一次运动，得s=4k ，这与s 为奇数矛盾.所以不可能经过若干次运动使杯口全朝下.例 8 设a 1，a 2...a n 是1,2,3....，n 的任一排列，n 为正奇数，求证：（a 1-1)(a 2-2)....(a n -n ）为偶数。
数的整除性质
数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。
在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。
整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。
在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。
一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。
设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。
简而言之，整除就是没有余数。
例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。
因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。
证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。
2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。
证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。
将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。
那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。
3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。
证明：假设a=b×m，其中m是整数。
我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。
根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。
因此，a+kb和a-kb都能被b整除。
三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。
整除的性质和特征
整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。
数的整除性质
数的整除性质数的整除性质是数学中一个非常基础且重要的概念。
整除是指一个数能够被另一个数整除，即能够整除的数叫做除数，能够被整除的数叫做被除数。
在数的整除性质中，有一些基本的定理和规律，我们一起来探讨。
一、整除的定义在数学中，如果存在整数a和b，使得b乘以a得到的结果等于一个整数c，那么我们就说b能够整除c。
这个定义可以用符号表示为：b|c，读作“b整除c”。
例如，4能够整除12，我们可以表示为4|12。
二、整除的性质1. 传递性：如果a能够整除b，b能够整除c，那么a一定能够整除c。
例如，如果2能够整除4，4能够整除8，那么2一定能够整除8。
2. 自身整除：任何一个数都能够整除自身。
例如，5能够整除5。
3. 1整除任何数：1能够整除任何一个数。
例如，1能够整除8。
4. 零的整除性：任何一个数都能够整除0。
例如，任何数都能够整除0。
5. 任何一个数都能够整除1：任何一个数都能够被1整除。
例如，任何数都能够被1整除。
6. 如果a能够整除b，那么a能够整除b的倍数。
例如，如果3能够整除6，那么3一定能够整除6的倍数12。
7. 如果a能够整除b，那么b能够整除a的因数。
例如，如果2能够整除4，那么4一定能够整除2的因数。
三、整除和最大公因数最大公因数是指两个或多个整数中最大的能够整除这些整数的数。
最大公因数可以通过求解数的因数来得到。
例如，求解12和15的最大公因数，我们可以找到12的因数：1、2、3、4、6、12，15的因数：1、3、5、15，他们的公因数有1和3，其中最大的公因数是3。
最大公因数有以下的性质：1. 最大公因数是两个数的公因数中最大的一个。
2. 如果最大公因数为1，那么这两个数互质。
3. 如果最大公因数为a，那么这两个数的倍数中最大的一个为a。
四、整除与质数质数是指大于1的正整数，除了1和本身，没有其他的因数。
质数和整除有着密切的关系。
1. 质数只能被1和自身整除。
2. 任何一个数都可以被质数整除。
整除的性13质
整除定义：整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。
我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a 能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；(3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．整除与除尽的区别与联系整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除有下列基本性质：①若a|b，a|c，则a|b±c。
（b>c）②若a|b，则对任意c（0除外），a|bc。
③对任意a，±1|a，±a|a。
④若a|b，b|a，则|a|=|b|。
对任意整数a，b，b>0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≢r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。
若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。
当d≣0时，d是a，b公因数中最大者。
若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。
累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。
又称欧几里得算法。
整除的规律：整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。
整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。
整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。
数的整除
典型题例
• 例2 、257a38 六位数能被3整除，数字a=？
解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，
•
数的整除具有如下性质：
性质1 ：如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么
甲数一定能被丙数整除。
性质2 ：如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的 和与差也一定能被这个自然数整除。 性质3 ：如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这 个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
• 一些整除的数字特征：
解：如果56□2能被9整除，那么 5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数 是5，即四位数是5652时能被9整除； 如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以 当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当 十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632， 5652，5672，5692时能被4整除。
3.由2，3，4，5这四个数字写成的没有重 复数字的三位数中，有几个能被3整除？12
17 4.被3，5除余2且不等于2的最小整数是几？
练习
5.同时能被2，3，5整除的最小自然数是几？
30
6.同时能被2，3，5整除的最大三位数是几？
整除性质及规律总结
整除性质及规律总结整除性质是指一个数能够被另一个数整除的特性。
在数学中，整除性质是一个非常重要的概念，它可以帮助我们解决一些数学问题，特别是在解决整数运算、因式分解等问题时起到重要的作用。
整除性质的基本概念是“整除”。
如果一个整数a能够被另一个整数b整除，那么我们就说a被b整除，记作a，b。
换句话说，如果存在一个整数c使得a=bc，那么我们就可以说a被b整除。
整除性质有以下几个重要的规律：1.任何整数都能被1整除。
对于任意整数a，都有a，12.任何整数都能整除它自己。
对于任意整数a，都有a，a。
3.如果整数a能被整数b整除，那么a也能被b的所有因数整除。
即如果a，b，且b，c，则a，c。
4.如果整数a能够整除整数b，且整数b能够整除整数a，那么a和b相等或它们都是0。
即如果a，b且b，a，那么a=b或a=b=0。
5.如果一个整数a能够整除整数b，那么a的绝对值一定小于或等于b的绝对值。
即如果a，b，则，a，≤，b。
这些整除性质和规律可以帮助我们解决许多数学问题。
以下是一些例子：1.素数判定：根据整除性质，如果一个数除了1和它本身外没有其他因数，那么这个数一定是素数。
因为只有1和它本身能够整除它。
例如，判断一个数a是否为素数，我们只需要从2到a的平方根遍历，看是否有能够整除a的数。
2.因式分解：根据整除性质，如果一个数a能够整除另一个数b，那么a就是b的因数。
因此，我们可以通过找出一个数的所有因数，然后对这些因数进行组合，得到这个数的因式分解式。
例如，将一个数b进行因式分解，我们可以从2开始遍历到b的平方根，找出所有能够整除b的数，然后将它们进行组合。
3.取模运算：取模运算是指将一个数除以另一个数，所得到的余数。
根据整除性质，如果一个整数a能够整除另一个整数b，那么b模a的结果一定为0。
因此，我们可以利用取模运算来判断一个数能否被另一个数整除。
例如，判断一个数b能否被3整除，我们只需要计算b模3的结果，如果结果为0，则说明b能够被3整除。
整除的数有哪些特征
整除的数有哪些特征？整除的性质：（1）如果a能被c整除，b也能被c整除，那么a+b和a-b也都能被c整除。
（2）如果a能被b整除，那么ac也能被bc所整除。
（3）如果a能被b整除，b能被c整除，那么a也能被c所整除。
（4）如果a能被b，c所整除，且（b,c）=1，那么a也能被b×c整除。
（5）如果a、b、c两两互质，且a、b、c都能整除m，那么abc能整除m。
能被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、18、19整除的数有哪些特征？1：所有整数2：所有偶数3：各个数位和为3的倍数4：偶数中4的倍数，后两位能被4整除5：个位为0或5的6：是3的倍数的偶数7：后三位与前几位的差能被7整除8：偶数中8的倍数，后三位能被8整除9：各个数位和为9的倍数10：末位为011：奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差为11的倍数13：末三位与前几位的差能被13整除14：7的倍数中的偶数15：3的倍数中末位为0或5的16：偶数中16的倍数，后四位能被16整除的17：末三位与前几位的差能被17整除18：9的倍数中的偶数19：19的倍数（7和13的可能不对，这都是小学的知识，现在都快忘了，除了那几个常用的，绝大部分应该都是正确的）11整除的特征：奇位数字的和与偶位数字的和之差可以被11整除。
举例132。
（1+2）-3=0=0*1113整除的特征：去掉个位数后的数加上个位数的4倍，能被13整除。
举例143。
14+3*4=26=13*2最佳答案能被7、11、13整除的特征是：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位前的数字相减（注意：大数减小数），能被7、11、13整除，这个数就是7、11、13的倍数。
若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数是17的倍数。
4的规律是：末两位的两位数能被4整除，则原数是4的倍数.125的规律：末三位的三位数能被125整除，则原数是125的倍数.整除的性质及应用整除有几个性质。
整除性质及应用
整除性质及应用整除性质及应用是数学中非常重要的概念，它们在数论、代数和几何中都有广泛的应用。
本文将从整除的定义开始，介绍整除性质，并探讨它们在数学问题中的应用。
一、整除的定义和性质整除是一个非常基本的概念，它是指一个数能够被另一个数整除，即被除数能够被除数整除。
我们用符号“|”表示整除，如果一个数a能够被另一个数b整除，就写作a|b。
例如，如果2能够整除6，即2|6。
整除具有以下性质：1. 任何数都能整除0，即对于任意的数a，都有a|0。
2. 任何数都能被1整除，即对于任意的数a，都有1|a。
3. 如果a能够整除b，而b能够整除c，那么a也能够整除c，即如果a|b且b|c，那么a|c。
4. 如果a能够整除b，那么a也能够整除a的倍数，即如果a|b，那么a|kb（其中k为整数）。
5. 如果a能够整除b，那么a也能够整除a与b的最大公因数，即如果a|b，那么a|(a,b)。
二、整除的应用整除性质在数学问题中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 最小公倍数最小公倍数是指能够同时被两个数整除的最小的正整数，常用符号为lcm（a，b）。
最小公倍数可以通过最大公因数求解，其中最小公倍数等于两个数的乘积除以最大公因数，即lcm（a，b）= a * b / (a，b)。
最小公倍数的求解方法在解决数学问题和约简分式中都有重要的应用。
2. 素数和因数分解素数是指除了1和本身之外没有其他正因数的数，例如2、3、5、7等。
素数在密码学中有广泛的应用，如RSA加密算法。
因数分解是将一个数表示为几个素数的乘积的形式，例如24=2^3 * 3。
因数分解在求解最大公因数、最小公倍数和求解方程等数学问题中起着重要作用。
3. 同余模运算同余模运算是指两个数在给定模数下具有相同余数的运算。
对于整数a、b和正整数m，如果a除以m与b除以m的余数相等，即a≡b （mod m），我们就说a与b在模m下相同余。
同余模运算在代数和密码学中都有广泛的应用。
整除的性质和特征
整除得性质与特征整除问题就是整数内容最基本得问题。
理解掌握整除得概念、性质及某些特殊数得整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题，增强孩子得数感。
一、整除得概念：如果整数ａ除以非0整数b，除得得商正好就是整数而且余数就是零，我们就说a能被b整除（或b能整除a),记作b/ａ，读作“b整除ａ”或“a能被ｂ整除".a叫做b得倍数，b叫做a得约数（或因数）.整除属于除尽得一种特殊情况.二、整除得五条基本性质:（1)如果a与ｂ都能被c整除，则a+b与ａ-ｂ也能被c整除;（２）如果a能被b整除，c就是任意整数,则积ac也能被b整除；(3）如果a能被b整除,ｂ能被ｃ整除，则积a也能被c整除；（4)如果a能同时被b、c整除,且ｂ与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立;（5)任意整数都能被1整除，即1就是任意整数得约数；０能被任意非０整数整除，即0就是任意非0整数得倍数。
三、一些特殊数得整除特征:根据整除得基本性质,可以推导出某些特殊数得整除特征，为解决整除问题带来方便。
(1)如果一个数就是整十数、整百数、整千数、……得因数，可以通过被除数末尾几位数字确定这个数得整除特征。
①若一个整数得个位数字就是2得倍数(0、2、4、6或8)或５得倍数（0、５),则这个数能被２或5整除；②若一个整数得十位与个位数字组成得两位数就是4或２5得倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数得百位、十位与个位数字组成得三位数就是8或125得倍数，则这个数能被8或125整除。
【推理过程】:２、5都就是10得因数,根据整除得基本性质（２）,可知所有整十数都能被１0、２、5整除。
任意一个整数都可以瞧作一个整十数与它得个位数得与,如果一个数得个位数字也能被２或5整除，根据整除得基本性质（1）,则这个数能被２或５整除。
又因为4、25都就是1００得因数,８、１２５都就是100０得因数，根据整除得基本性质(2)，可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、1２5整除.同时，任意一个多位数都可以瞧作一个整百数与它末两位数得与或一个整千数与它得末三位数得与,根据整除得基本性质(1），可以推导出上面第②条、第③条整除特征.同理可证,若一个数得末四位数能被１６或625整除，则这个数能被16或625整除，依此类推.(2）若一个整数各位上数字与能被3或9整除，则这个数能被3或9整除。
整除数的性质和规律
整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。
⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。
⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。
⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。
例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。
2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。
检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。
5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。
用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。
如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。
最后得出的6，就是7485除以9的余数。
即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。
能被3整除的数，却不一定能被9整除。
⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。
①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。
数的整除性及性质
数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。
整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。
性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。
性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。
性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。
性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。
性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。
性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。
性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。
性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。
性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。
性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。
性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。
性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。
性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。
性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。
性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。
整除性质及规律总结旭)
整除性质一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c 整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；（例如：72=8*9, 24=3*8, 90=9*10）5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。
二、（2、3、4、5、8、9、25、125）若一个整数的末位是0、2、4、6、8，则这个数能被2整除。
若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
若一个整数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除.若一个整数的末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除三、（7、11、13）能被七整除的数规律若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被11整除的数的规律(1)、把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除.奇位数字的和9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法".2、11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。
整除知识点总结
一、整除的定义首先，我们需要了解整除的基本定义。
如果整数 a 能被整数 b 整除，即 a ÷ b 的商是一个整数，我们就说 a 能整除 b，记作 b|a。
这个定义也可以表述为整除是指存在一个整数 c，使得 a=b*c。
例如，如果 6 能被 3 整除，我们就说 3|6；如果 8 不能被 3 整除，我们就说 3不整除 8。
二、整除的性质整除具有许多性质，下面我们来介绍几条重要的性质：1. 传递性：如果 a|b 且 b|c，则 a|c。
这个性质意味着如果一个数整除另外两个数，那么它也整除它们的和、差或积。
2. 整除的反对称性：如果 a|b 且 b|a，则 a=b 或 a=-b。
这个性质表明，如果一个数同时能整除另一个数，并且另一个数也能整除它，那么这两个数只能相等或互为相反数。
3. 整除的保序性：如果 a|b 且 c>0，则 a*c|b*c；如果 a|b 且 c<0，则 b*c|a*c。
这个性质说明，如果一个数能整除另一个数，那么它也能整除另一个数的倍数。
4. 整除与乘法的关系：如果 a|b 且 a|c，则 a|b±c 和 a|b*c。
这个性质说明，如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差和积。
以上性质是整除的一些基本性质，它们对于整除的应用有着重要的指导意义。
三、整除的规律在整除的运算中，有一些规律是很重要的，下面我们来介绍几条常见的整除规律：1. 末尾数字规律：如果一个整数能整除 2，则它的末尾数字一定是 0、2、4、6 或 8；如果一个整数能整除 5，则它的末尾数字一定是 0 或 5；如果一个整数能整除 10，则它的末尾数字一定是 0。
2. 末尾零规律：如果一个整数能整除 10，则它的末尾至少有一个零。
3. 奇偶规律：如果一个整数能整除 2，则它是偶数；如果一个整数能整除 3，则它的各位数字之和能整除 3，则该整数也能整除 3。
4. 整除定理：给定整数 a 和 b（b≠0），则 a 能整除 b 的充要条件是 a 的所有质因子都在 b 的质因子中存在，并且对应的指数小于等于 b 中对应的指数。
整除的概念和性质
教学过程
能被3、9、11、7整除的正整数的特征
一个正整数的各位数字之和 能被3整除，那么这个正整 数能被3整除。
一个正整数的奇数位数字之 和与偶数位数字之和的差能 被11整除，那么这个正整数 能被11整除。
一个正整数的各位数字 之和能被9整除，那么这 个正整数能被9整除。
一个正整数的末三位数字组成的数 与末三位数字之前的数字组成的数 之差能被7（或11）整除，那么这 个正整数能被7（或11）整除。
• 一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这 个正整数能被9整除。
教学过程
请用类似的方法证明能被11、7整除的正整数的下列特征
• 一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11整除，那么这个正整数能被11整除。
• 一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数 字组成的数之差能被7（或11）整除，那么这个正整数能 被7（或11）整除。
说明： 1.能被非零整数n整除的整数是n的倍数，其一般形式 为nq，这里q为任意整数。 2.能除尽n的整数是n的因数。
教学过程
整除的基本性质
（1）若a∣b,b∣a, 则a=b或a=-b。 （2）若a∣b,b∣c, 则a∣c。 （3）若a∣b,a∣c,则对任意整数x,y,
恒有a∣bx＋cy。
教学过程
教学过程
1.1整除的概念和性质
教学过程
如何从乘法角度来判断一个整数能除尽另一个整数
11能除尽1001吗？ 1001=11×91 7能除尽1001吗？ 1001=7×143 3能除尽1001吗？ 1001=3× b×q=a（b≠0） a÷b=q（b≠0）
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看被除数的各位数字和
3
数字和能被3整除
156 1+5+6能被3整除→156能被3整除
9
数字和能被9整除
675 6+7+5能被9整除→675能被9整除
看被除数各部分数字差
7
个位的2倍与剩下数之差能被7整除；
末三位数与剩下数之差能被7整除
3922*2-39=-35能被7整除→392能被7整除；
1274 274-1=273能被13整除→1274能被13整除
数的整除判定性质表
数的整除性质
1.如果数a能被b整除，数b能被c整除，则a能被c整除。
72能被9整除，9能被3整除，则72能被3整除。
2.如果数a能被c整除，数b能被c整除，则a+b、a-b均能被c整除。
56能被8整除，16能被8整除，则56+16=72能被8整除。
3.如果数a能被c整除，m为任意整数，则a*m能被c整除。
39能被13整除，所以39*15能被13整除。
4.如果数a能被b整除，同时能被c整除，且b和c互质，则数a能被b*c整除。162能被2整除，也能被9整除（1+6+2=9），且2和9互为质数，所以162能被2*9=18整除。
最大公约数与最小公倍数
8442 442-8=434能被7整除→8442能被7整除
11
奇数位置与偶数位置的数字之差能被11整除；
末三位数与剩下数之差能被11整除
9658→（9+5）-（8+6）=0→9658能被11整除；
15235 235-15=220能被11整除→15235能被11整除
13
末三位数与剩下数之差能被13整除
最大公约数：如果c是a的约数，c也是b的约数，那么我们称c是a、b的公约数。一般来说，公约数不止一个，我们把其中最大的一个称作最大公约数。
互质：如果两个数的最大公约数为1，则称这两个数互质。
最小公倍数：如果c是a的倍数，c也是b的倍数，那么我们称c为a和b的公倍数。两个数的公倍数有很多，我们把最小的那个称为这两个数的最小公倍数。
被除数
除数
整除判定
举例
看被除数末位数
个位
2
个位能被2整除
624 4能被2整除→624能被2整除
5
个位能被5整除
430 0能被5整除→430能被5整除
末位
4
末两位能被4整除
112 12能被4整除→112能被4整除
25
末两位能被25整除
375 75能被25整除→375能被75整除
末三位
8
末三位能被8整除