上海初三数学锐角三角函数

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上海初三数学锐角三角函数

上海初三数学锐角三角函数

第五讲 锐角三角函数【问题探索】一般地,如果锐角A 的大小确定,我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形(如图),那么图中:⋯===222111AC C B AC C B AC BC 成立吗? (1)当∠A 变化时,上面等式仍然成立吗?(2)上面等式的值随∠A 的变化而变化吗?【新课引入】由前面的探索可以看出:如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度,它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中,我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切,记作 tanA 即:baA A A =∠∠=的邻边的对边tan同理:当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________;它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______,记作________,即:sinA =________=________.3、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______,记作=_________,即:cosA=______=_____。

(你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗?)试试看____________________. 思考:你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗?并填写下表:【总结归纳】1、牢记三角函数的概念,紧紧抓住直角三角形,勤快画图,是解答三角函数题的关键;2、特殊角的三角函数值,只要记住两个三角板的各边比值(如图),严格按照三角函数的定义,即可心算推出。

C C 1 C 2【精选例题】(一)锐角三角函数的概念例1、(1)在Rt △ABC 中,各边都扩大5倍,则角A 的三角函数值( ) A .不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 (2)Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AC=6cm ,那么BC 等于( ) A .8cm B .24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5(3)菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BC=6cm ,那么tan2A为( ) A .35 B .45C解析:(1)角A 的三角函数值都是两条边的比值,根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数(或整式),分式的值不变,而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样,因此两边比值也不变。

沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件

沪科版九年级数学上册2锐角的三角函数(第3课时特殊角的三角函数值)课件

B
2a
a
45.0
A
C
a
Sin45°=
A 的 对 边 斜边
2 2
cos45°=
A的邻边 2
斜边
2
tan45°=
A的对边 1 A 的邻边
归纳
特殊角的三角函数值
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3 2
2 2
3
tanα
3
1
60o
3 2
1 2
3
讨论:
30o
45o
sinα
1 2
2 2
cosα
3
2
公式一
2、三角公式
当∠A+∠B=90°时
B
c
a

A
b
C
sinA=cosB cosA=sinB
tanA . tanB=1
公式二
sin2 A cos2 A 1 tan A sin A cos A
新知探究
已知Rt△ABC中,∠A=30°
B
a
2a
Sin30°=
A的对边 1
斜边
2
C
30.0 A
3a
60o
3 2
1 2
3
角度逐 渐增大
正切值 也增大
讨论: 锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围?
30o
1
sinα 2
cosα 3 2 3
tanα 3
45o
2 2
2 2
1
60o
3 2
1 2
3
0< sinA<1 0<cosA<1
归纳

沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数 课件(共13张PPT)

沪科版数学九年级上册 23.1 锐角三角函数  课件(共13张PPT)

(6) tan30°·tan60°+ cos230°
本节课学习了什么内容?
三角函数 sina cos a tan a
30°
1 2
3 2 3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2
3
拓展探究
求已知锐角的三角函数值:
21..求求csoint7603゜゜4552′′的41值″的.(值精. 确(到精0确.0到0001.)0001) 在先角用度如单下位方状法态将为角“度度单” 位的状情态况设下定:屏为幕“显度示”出
显示
按再下按列下列顺顺序序依依次次按按键键
由锐角三角函数值求锐角:
已知tan x=0.7410,求锐角 x.(精确到1′) 在角度单位状态为“度” 的情况下(屏幕显示 出 ),按下列顺序 依次按键:
显示结果为36.538 445 77.
再按键:
24.2锐角三角函数值
自学检测:
根据三角函数的定义,sin30°是一个常数.用刻度
尺量出你所用的含30°的三角尺中,30°所对的
直角边与斜边的长,与同桌交流,看看这个常数
是什么.
B
sin30°=
对边 =1 Βιβλιοθήκη 边 2理由:30在直角三角形中,如果A一个锐角等于30°,C
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
若 tan 1 则α=______3_0_°____;
3
若 cos 1 ,则α=______4_5_°____.
2
2.根据下列条件,求出相应的锐角A:
(1) sin A 2 ; (2) cos A 3 0;
2
2
(3) tan(A 20) 1.
基础练习:

沪科版初中数学初三数学上册《锐角的三角函数值》说课稿

沪科版初中数学初三数学上册《锐角的三角函数值》说课稿

沪科版初中数学初三数学上册《锐角的三角函数值》说课稿一、教材解析《锐角的三角函数值》是沪科版初中数学初三数学上册的一篇重要内容,主要涉及到锐角以及锐角三角函数的概念和性质。

通过学习本节内容,学生将会更深入地理解三角函数,并掌握求解锐角的三角函数值的方法。

本节的教学内容主要包括以下几个方面:1.锐角的定义:介绍了什么是锐角,以及锐角的特点和表示方法。

2.弧度制与角度制:介绍了弧度制和角度制之间的转换关系,并且通过实例演示了如何使用弧度制求解锐角的正弦、余弦和正切值。

3.正弦函数、余弦函数和正切函数的性质:详细讲解了正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质,并通过例题引导学生理解三角函数的特点。

4.求解锐角的三角函数值:提供了一些常见锐角的三角函数值,并通过练习题与学生互动,巩固概念。

二、教学目标本节课的主要教学目标如下:1.理解锐角的定义,能够运用所学知识判断一个角是否为锐角。

2.理解弧度制与角度制的转换关系,能够在不同制度下计算角的三角函数值。

3.掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质。

4.能够求解给定锐角的三角函数值,并运用所学知识解决相关问题。

三、教学重点和难点本节课的教学重点包括:1.锐角的定义和性质。

2.弧度制与角度制之间的转换关系。

3.正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和基本性质。

教学难点主要有:1.弧度制和角度制的混合运用。

2.正弦函数、余弦函数和正切函数的计算和应用。

四、教学内容和步骤1. 导入与导入预热(5分钟)在开始正式的教学过程前,教师可以通过提问的方式温习上节课所学的知识,引导学生重新回顾直角三角函数。

这样可以帮助学生进入学习状态并激发他们的学习兴趣。

2. 引入新知(10分钟)在本节课中,教师以锐角三角函数的定义为切入点,引入新知识。

通过简单的图示和实例,向学生介绍什么是锐角,并与直角和钝角进行对比,帮助学生更好地理解锐角的概念。

3. 弧度制与角度制(10分钟)本节课的重点之一是理解弧度制与角度制之间的转换关系。

沪科版九年级数学上册课件:23.1.1.3一般锐角的三角函数值

沪科版九年级数学上册课件:23.1.1.3一般锐角的三角函数值

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 13.求锐角 45°的正切值,先按键 tan ,再依次按键 4 , 5 , D·M′S ,再按键 = ,就可得到值为___1_. 14.cos27°51′≈__0_._8_8_4__2__;tan56°17′35″≈__1_.4__9_9_0__; sin75°31′12″≈___0_.9_6_8__2__.
(1)sin42.6°; 解:0.6769
(2)cos25°18′; 解:0.9041
(3)2tan46°23′;
(4)sin15°+cos49°.
解:2.0990
解:0.9149
17.(6 分)利用计算器求出下列各式中的锐角∠A.(精确到秒) (1)sinA=0.964 0; (2)cosA=0.291 0.
B.sin28°<cos28°<tan28°
C.cos28°<tan28°<sin28°
D.cos28°<sin28°<tan28°
12.已知 tanα=6.866,用计算器求锐角α(精确到 1″),按键顺 序正确的是( D )
A. tan 6 · 8 6 6 = 2ndF B. 2ndF tan 6 ·8 6 6 = 2ndF D·M′S C. tan 2ndF 6 ·8 6 6 = D. 2ndF tan-1 6 · 8 6 6 = 2ndF D·M′S
4.(4分)用计算器计算sin28°36′的值(保留四个有效数字)是( )A A.0.478 7 B.0.478 6 C.0.469 6 D.0.469 5
用计算器求锐角的度数 5.(4 分)已知 tanθ=0.3249,则锐角θ约为___1_8_°__. (精确到度) 6.(4 分)已知 tanA=0.5234,求锐角 A 的度数时按键顺序正确的 是( C ) A. tan-1 0 · 5 2 3 4 = B. 0 ·5 2 3 4 = 2ndf tan-1 C. 2ndf tan-1 0 ·5 2 3 4 = D. tan-1 2ndf · 5 2 3 4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4

沪科版数学九年级上册23.1《锐角的三角函数》教学设计4一. 教材分析《锐角的三角函数》是沪科版数学九年级上册第23.1节的内容。

本节主要介绍了锐角三角函数的定义及应用。

通过本节的学习,学生能够理解锐角三角函数的概念,掌握锐角三角函数的计算方法,并能够运用锐角三角函数解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基础知识,对函数的概念和性质有一定的了解。

但是,对于锐角三角函数的具体定义和应用,学生可能还比较陌生。

因此,在教学过程中,需要引导学生从实际问题出发,逐步理解和掌握锐角三角函数的概念和计算方法。

三. 教学目标1.了解锐角三角函数的定义及计算方法。

2.能够运用锐角三角函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.锐角三角函数的定义及计算方法。

2.运用锐角三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法:通过设置实际问题,引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

2.案例教学法:通过具体的案例,讲解和演示锐角三角函数的计算方法。

3.小组合作学习:学生分组讨论和解决问题,培养学生的合作意识和团队精神。

六. 教学准备1.教学课件:制作课件,展示锐角三角函数的定义和计算方法。

2.案例材料:准备一些实际的案例,用于讲解和演示锐角三角函数的应用。

3.练习题:准备一些练习题,用于巩固学生的学习成果。

七. 教学过程1.导入(5分钟)利用课件展示一些实际的例子,如建筑物的角度测量、滑翔机的起飞角度等,引导学生思考这些例子与三角函数的关系,从而引出锐角三角函数的概念。

2.呈现(10分钟)讲解锐角三角函数的定义和计算方法,引导学生从实际问题中抽象出锐角三角函数的概念。

3.操练(10分钟)学生分组讨论和解决一些实际的案例,如滑翔机的起飞角度问题、房屋建筑的倾斜度问题等,巩固学生对锐角三角函数的理解和应用。

4.巩固(10分钟)学生独立完成一些练习题,检测学生对锐角三角函数的掌握程度。

沪科版数学九年级上 23.1锐角的三角函数 课件(19张PPT)

沪科版数学九年级上   23.1锐角的三角函数 课件(19张PPT)

梯子AB和EF哪个更 陡?你是怎样判断
的?
?
小颖的问题,如图:
A
E
4m
3.5m
B 1.5m C F 1.3m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
小亮的问题,如图:
E A
4m
6m
B 2m C F 3m D
同类问题多种变化
小明和小亮这样想,如图:
如图,小明想通过测量B1C1及AC1, 算出它们的比,来说明梯子AB1的 倾斜程度;
课堂作业 1:书本练习1、2、3题 2:完成同步练习
如果改变B2在梯子上的位置 (如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
B1
B2 B3
A
C3 C2
C1
用心想一想
结论:仍能得到
当直角三角形中的锐角确定 之后,它的对边与邻边之比 也随之确定。
A
B1
B2 B3
C3 C2
C1
知识升华
在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么锐 角A的对边与邻边的比便随之确定,这个比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
23.1锐角的三角函数
从生活实践开始
源于生活的数学同类问题多种变化 Nhomakorabea梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
?
小丽的问题,如图:
E
A
5m
6m
B 2m C F 2m D
同类问题多种变化
梯子AB和EF哪个 更陡?你是怎样
判断的?
小明的问题,如图:
A
E
5m
5m
B 2m C F 2.5m D
同类问题多种变化
B
斜边 ∠A的对边

沪科九年级数学上册《锐角三角函数》课件(20页)

沪科九年级数学上册《锐角三角函数》课件(20页)

A B A2 C B2C 4 2 3 2 5
因此 sinA BC3
AB 5
A
sinB AC4 AB 5
B 3 4C
(2)在Rt△ABC中,
因此 sinA BC 5
B
AB 13
5
A CA2 B B2C 12 35 2 12
C sinB AC12
AB 13
13 A
练习 B 根据下图,求sinA和sinB的值.
谢谢观赏
You made my day!
我们,还在路上……
斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么
探 需要准备多长的水管?

B
C A
分析: 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35m,求AB
根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即
A的对边 斜边
BC AB
1 2
可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管.
sinA= ∠A的对边
斜边
斜边
1
Sin300 =
2
A
sin45°= 2
2
2.sinA是∠A的函数.
B
∠A的对边 ┌ C
3.只有不断的思考,才会有新的发现;只有 量的变化,才会有质的进步.
▪1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 ▪2、科学的灵感,决不是坐等可以等来的。如果说,科学上的发现有什么偶然的机遇的话,那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人,给那些善于 独立思考的人,给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 ▪3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022

沪科版初中九年级数学上册23-1-3一般锐角的三角函数值课件

沪科版初中九年级数学上册23-1-3一般锐角的三角函数值课件
第23章 解直角三角形
23.1 锐角的三角函数
23.1.3 一般锐角的三角函数值
基础过关全练
知识点1 用计算器求一般锐角的三角函数值
1.求cos 9°的值,以下按键顺序正确的是 ( A )
A.cos 9 =
B.cos 2ndF 9 =
C.9 cos =
D.9 cos 2ndF =
解析 计算cos 9°时,先按cos,再按9,最后按=.故选A.
AB 5.5
∵60°<66.4°<75°,∴此时人能够安全使用这架梯子.
素养探究全练
13.(创新意识)(教材变式·P123T4) (1)用计算器计算并比较sin 25°+sin 46°与sin 71°之间的大小 关系; (2)若α,β,α+β都是锐角,猜想sin α+sin β与sin(α+β)的大小关 系; (3)请借助如图所示的图形证明上述猜想.
知识点2 已知锐角的三角函数值求锐角的度数 7.已知cos A=0.559 2,运用科学计算器在开机状态下求锐角A 时,按下的第一个键是(M9123003)( A ) A.2ndF B.cos C.ab/c D.D·M'S
解析 根据锐角三角函数值求角度时,应先按2ndF键,故选A.
8.已知sin A=0.56,用计算器求∠A的大小,下列按键顺序正确 的是(M9123003)( A ) A.2ndF sin-1 0 ·5 6 = B.2ndF 0 ·5 6 sin-1 = C.sin-1 2ndF 0 ·5 6 = D.sin-1 0 ·5 6 2ndF =
6.(1)猜想下列两组数值的关系. 2sin 30°·cos 30°与sin 60°; 2sin 22.5°·cos 22.5°与sin 45°; (2)试一试:你自己任选一个锐角,用计算器验证上述结论是 否成立. (3)如果结论成立,试用α表示一个锐角,写出这个关系式.

沪科版数学九年级上册2.2锐角三角函数课件

沪科版数学九年级上册2.2锐角三角函数课件
简:
1 2sin Acos A
和余弦的关系:sin2 A cos2 A 1
(6)请你利用图示的三角形,说明你的结 论,相信你能给出简单的推理过程。
如果 为锐角,且 sin2 cos2 46 1,那么 的
度数为(A)
A. 46 B. 54 C. 44 D. 34
课堂作业:
教材122页 1.(1)(3) 5
选做题:在 RtABC 中,C 90 ,化
❖ 在数学领域中, 提出问题的一
α sinα cosα tanα
30° 1
这里的角
2
指的是锐 45°
2

2
60°
3
2
3
3
2
3
2
1
2
1
3
2
从以上的表格你能发现每一种三角函数随角度的变 化函数值是怎样变化的吗?
归纳:正弦和正切都是随角度的增大函数值 增大的;
sin A a , cos A b ,sin B b , cos B a .
c
c
c
c
sin A cos B,cos A sin B
A B 90
B 90 A
sin A cos B co( s 90 A),
cos A sin B sin(90 A)。
结论:任意锐角的正(余)弦的值,等于它们的余角的余 (正)弦的值。
余弦值是随角度的增大而减小。
思考: 二
α sinα cosα tanα
30° 1
3
3
2
2
3
45°
2
21
2
2
60°
3
1
3
2
2
从以上的表格你还能发现什么规律?

沪科版数学九年级上册23.锐角三角函数-正弦和余弦课件

沪科版数学九年级上册23.锐角三角函数-正弦和余弦课件

∵AB=AC, AD⊥BC
∴BD=
1 2BC=
21×6=3
47
B

C
3D
在Rt△ABD中,BD=3,AB=4
∴AD= AB2 BD2 42 32 7
∴在Rt△ABD中,
cosB= BD 3 , tanB= AD 7 ,
AB 4
BD 3
(拓展类)
⑴在如图所示的格点图中,
D
要求出锐角 的三角函数值;
B1 B
30°
A
C C1
B1
B
45°
A
C C1
上升高度 飞行路程
当∠A=30°时,BC B1C1 1
AB AB1 2
当∠A=45°时,BC B1C1 2
AB AB1 2
对于每一个确定的锐角,在角的边上 任意取一点B作BC⊥AC于点C,
BC B1C1 AB AB1
AC AC1 AB AB1
AC
的正切(tangent) ,记做tan

即tan= BC
AC
B’ B
C C’
锐角 的正弦,余弦和正切统称∠ 的三角函数
正弦 sinA =
A的对边 斜边
余弦
cosA =
A的邻边 斜边
正切 tanA = A的对边
A的邻边
一定要记住哦!
0<sinA<1 0<cosA<1
正对正
弦对斜
tanA﹥0 切无斜
你能说出下面直角三角形中各锐角的三角函数吗?
E B
A
c
b
C
A

GB
a
C


F
是是非非(巩固类)

九年级数学上册第23章解直角三角形锐角三角函数知识点考点总结新版沪科版

九年级数学上册第23章解直角三角形锐角三角函数知识点考点总结新版沪科版

锐角三角函数1 锐角三角函数定义锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan)叫做角A的锐角三角函数。

正弦(sin)等于对边比斜边;sinA=a/c余弦(cos)等于邻边比斜边;cosA=b/c正切(tan)等于对边比邻边;tanA=a/b锐角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的,所以在初中阶段求锐角的三角函数值,都是通过构造直角三角形来完成的,即把这个角放到某个直角三角形中。

角度30°45°60°正弦(sin) 1/2 √2/2 √3/2余弦(cos) √3/2√2/21/2正切(tan) √3/3 1 √3(注θ是锐角:0<sinθ<10<cosθ<1tanθ>0)3锐角三角函数值的符号及其变化规律1)锐角三角函数值都是正值。

2)当角度在0°~90°间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);4同角三角函数基本关系式sin⋅=acosa tana5互为余角的三角函数间的关系a a cos )90sin(=-a a sin )90cos(=-6 解直角三角形的基础知识在Rt ABC ∆中,90=∠C ,A ∠,B ∠,C ∠所对的边分别为a ,b ,c(1) 三边之间的关系:222c b a =+(2) 锐角之间的关系:A ∠+B ∠=C ∠= 90 (3) 边角之间的关系:c a A =sin ;c b A =cos ;ba A =tan ; c a B =cos ;cb B =sin ;ab B =tan (4) 面积公式:ch ab S 2121==∆(h 为斜边上的高) 7 类型已知条件 解法 两边 两直角边a 、b c=22a b +,tanA=a b,∠B=90°-∠A 一直角边a ,斜边c b=22c a -,sinA=a c,∠B=90°-∠A 一边一锐角 一直角边a ,锐角A ∠B=90°-∠A ,b=A a tan ,c=sin a A斜边c ,锐角A ∠B=90°-∠A ,a=c ·sinA ,b=c ·cosA解直角三角形的思路可概括为“有斜(斜边)用弦(正弦、余弦),无斜用切(正切),宁乘勿除,取原避中”。

沪科版初中数学九年级上册锐角的三角函数精品ppt精品ppt课件1

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3.如图 A 300
B
1
3 则 sinA=__2____ .
C 7
沪科版( 初2中01数2)学初九中年数级学上九册年锐级角上的册三2角3.函1数锐 精角品的三ppt角课函件数3 课优件秀ppt 课件
沪科版(2012)初中数学九年级上册2 3.1锐 角的三 角函数 课件
A b
c
归纳小结,反思提高
Ca B
沪科版( 初2中01数2)学初九中年数级学上九册年锐级角上的册三2角3.函1数锐 精角品的三ppt角课函件数3 课优件秀ppt 课件
练一练
2.在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大
100倍,sinA的值( C A.扩大100倍 C.不变
) cosA的值(C ) 1
B.缩小 100
D.不能确定
(2)直角三角形中一个锐角的度数越大,它的 对边与斜边的比值越大
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练习拓展,层层递进
例1.在Rt⊿ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3, 求锐角∠A的各三角函数值.
A
C
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OP,求OP与x轴正方向所夹锐角α的各个三角函数

沪科九年级数学上册第23章1 3 一般锐角的三角函数值

沪科九年级数学上册第23章1 3 一般锐角的三角函数值

2.用计算器求三角函数值:(精确到0.000 1). (1) sin 10°; (2) cos 50°18' . 解:(1)
按键顺序
显示
sin 1 0 =
0.173 648 177
∴ sin 10°= 0.173 6.
(2)
按键顺序
cos 5 0 D·M'S 1 8 D·M'S =
cos ( 5 0 + 1 8 ÷ 6 0 ) =
显示
0.638 767 817 0.638 767 817
∴ cos 50°18' = 0. 638 8.
3.比较下列各题中两个值的大小(借助计算器计算). (1) sin 46° > sin 44°; (2) cos 20° > cos 50°; (3) tan 33°15' > tan 33°14' .
23.1 锐角的三角函数
3.一般锐角的三角函数值
1. 会用计算器求锐角的三角函数值. 2. 会用计算器根据一个锐角三角函数的值求对应的锐角. 3. 经历动手操作求一般锐角的三角函数的过程,提高学生的
动手能力. 4. 让学生积极参与数学活动,经历计算器的使用过程,提高
学习数学的兴趣.
根据前面学习的特殊角的三角函数值,完成下面的表格.

操作即可;

计算器显示的是三角函数的近似值,不同计算器给
出近似值的数字个数也不同.
三角函数值 α
三角函数
sin α
cos α
tan α
30° 1 2 3 2 3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2 1 2
3
任意一个锐角,如何求它的三角函数值呢? 比如求sin 36°的值.

沪科版九年级数学下册锐角三角函数

沪科版九年级数学下册锐角三角函数

锐角三角函数一、锐角三角函数(正弦、余弦、正切)定义:二、锐角三角函数的性质:三、特殊角的锐角三角函数:案例1(1)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,tan∠A=.求AB的长和sin∠B的值.(2)如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,3AC=2AB,分别求∠A和∠B的四个锐角三角函数值.(3)如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,AD=BC=5,cos∠ADC=,求:sinB的值.(4)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上的一点,CD=3,AD=BD=5.求∠A的三个三角函数值.案例2(1)若角α,β都是锐角,以下结论:①若α<β,则sinα<sinβ;②若α<β,则cosα<cosβ;③若α<β,则tanα<tanβ;④若α+β=90°,则sinα=cosβ.其中正确的是()A.①②B.①②③C.①③④D.①②③④(2)若α为锐角,且,则m的取值范围是.(3)若tanα=5,则=.(4)若α为锐角,且sinα+cosα=,则sinα•cosα=.(5)如果α为锐角,且sinα=,那么cos(90°﹣α)=.(6)在△ABC中,∠C=90°,已知tanA=,则cosB的值等于()A.B.C.D.(7)三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是()A.cos43°>cos16°>sin30°B.cos16°>sin30°>cos43°C.cos16°>cos43°>sin30°D.cos43°>sin30°>cos16°案例3(1)若2sinA=,则锐角∠A=;若cos(B﹣10°)=1,则锐角∠B=.(2)在△ABC 中,若|sinA ﹣|+(﹣cosB )2=0,则∠C= .(3)在△ABC 中,已知两锐角A 、B ,且cos =,则△ABC 是三角形.(4)计算:+(5)计算:(sin30°)﹣1+﹣tan45°.1. 在Rt △ABC 中,∠C=90°,若斜边AB 是直角边 BC 的3倍,则 tan B 的值是() A . B .3 C D . 2.已知∠A 是锐角,且满足 3tan A- =0,则∠A 的大小为( )A .30°B .45°C .60°D .无法确定3. 如图,在 Rt △ABC 中,斜边 AB 的长为 m ,∠A=35°,则直角边 BC 的长是( )13A .msin 35°B .mcos 35°C .D . 4. 如图,在 Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=4,那么cos A 的值等于( )A .B .C .D . 5. cos60°的值等于( ) A.3 B .1 C.22 D .126. 如果∠A 为锐角,且cosA =23,那么∠A 的取值范围是( ) A .0°<∠A <30° B .30°<∠A <45°C.45°<∠A <60° D .60°<∠A <90°7. 在Rt △ABC 中,cosA =12,那么sinA 的值是( ) A.22 B .32 C.33 D .128. 正弦函数值 sin A 随着∠A 的增大而_____;余弦函数值 cos A 随着∠A 的增大而______;正切函数值 tan A 随着∠A 的增大而________.(增大;减小)9. 当角度在0°~90°间变化时,正弦值和正切值随着角度的增大而_______;余弦值随着角度的增大而_______.(增大;减小)10. 如图,在 Rt △ABC 中,∠C=90°,∠B=30°,BC=6,则 AB 的长为________.°sin 35m °cos 35m3443354511. 李红同学遇到了这样一道题:3tan(β+20°)=1,你猜想锐角β的度数应是______.12.若锐角α满足12<cosα<22,则∠α的取值范围为_____________. 13. sin 2α+cos 2α=_____;tanα=____________.14. 如图,Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =15,tanA =158,则AB =______.15.16. 计算:17. 如图所示,已知在Rt △ABC 中,∠C =90°,D 是BC 边上的一点,AC =2,CD =1,记∠CAD =α.(1)试写出α的三个三角函数值;(2)若∠B =α,求BD 的长.°112cos 301()2--+°tan tan(90)A A ⨯-=18. 若tanA 的值是方程x 2-(1+3)x +3=0的一个根.求锐角A 的度数.参考答案:1---7 DAADD CB8. 增大 减小 增大9. 增大 减小 10.11. 10°12.45°<α<60°13. 1 sinαcosα14. 1715. 116. 17. 解:(1)sinα=55,cosα=255,tanα=12; (2)BC =AC tanα=212=4,∴BD =BC -CD =4-1=3. 18. 解:x 2-(1+3)x +3=0,x 1=1,x 2=3,由题意知:tanA =1或tanA =3,∴∠A =45°或60°.解:原式2123=+=。

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第五讲 锐角三角函数【问题探索】一般地,如果锐角A 的大小确定,我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形(如图),那么图中:⋯===222111AC C B AC C B AC BC 成立吗? (1)当∠A 变化时,上面等式仍然成立吗?(2)上面等式的值随∠A 的变化而变化吗?【新课引入】由前面的探索可以看出:如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定,那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。

这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度,它与这个锐角的大小有着密切的关系。

1、在直角三角形中,我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切,记作 tanA 即:baA A A =∠∠=的邻边的对边tan同理:当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________;它的邻边与斜边的比值___________。

2、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______,记作________,即:sinA =________=________.3、如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______,记作=_________,即:cosA=______=_____。

(你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗?)试试看____________________. 思考:你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗?并填写下表:【总结归纳】1、牢记三角函数的概念,紧紧抓住直角三角形,勤快画图,是解答三角函数题的关键;2、特殊角的三角函数值,只要记住两个三角板的各边比值(如图),严格按照三角函数的定义,即可心算推出。

C C 1 C 2【精选例题】(一)锐角三角函数的概念例1、(1)在Rt △ABC 中,各边都扩大5倍,则角A 的三角函数值( ) A .不变 B .扩大5倍 C .缩小5倍 D .不能确定 (2)Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AC=6cm ,那么BC 等于( ) A .8cm B .24cm 5 C.18cm 5 D.6cm 5(3)菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BC=6cm ,那么tan2A为( ) A .35 B .45C解析:(1)角A 的三角函数值都是两条边的比值,根据分式的基本性质——分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数(或整式),分式的值不变,而Rt △ABC 各边都扩大5倍——倍数一样,因此两边比值也不变。

故选A ; (2)画直角三角形草图,根据cosA=AC AB 可知,635AB =,可求AB=10,再用勾股定理求得BC=8。

故选A ;(3)画菱形ABCD ,根据菱形“对角线互相垂直平分”、“每一条对角线平分一组对角”,可知两对角线把菱形分成四个全等的直角三角形,根据正切函数的定义即可求出tan 2A =35。

故选A 。

前思后想:解答锐角三角函数题时,要把握几点:解题必画图,概念记心中,定要找直角,没有就构造。

牛刀小试:1.在Rt △ABC 中,如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A .都缩小13B .都不变C .都扩大3倍D .无法确定2.如图,在正方形网格中,直线AB .CD 相交所成的锐角为α,则sinα的值是( ) A.34B.43 C. 35 D. 453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6,8,现将ABC △如图那样折叠,使点A 与点B重合,折痕为DE ,则tan CBE ∠的值是( )A .247BC .724 D .13A BCD4. 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,sinB=27则cosB= .5.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,则tanB= . 答案:1.B ; 2. C ; 3. C ;4. 5. 34(二)特殊角的三角函数值例2 计算下面各式:①23tan303cos 302sin30︒︒-︒②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒ 解析:①23tan303cos 302sin30︒︒-︒3②2222cos60tan 45cos 45tan 30tan 30-︒+︒+︒︒+︒2121⨯++=34 前思后想:关于三角函数的计算题,要先代入(代入特殊角的三角函数值),再求值。

记住三角函数值最关键。

例3. 已知∠A 是锐角,且A 等于( ) A .30°B .45°C .60°D .75°解析:根据对特殊角的三角函数值的记忆——sin60°A=60°,故选C 。

前思后想:对于特殊角的三角函数值,要相当熟练,做到“倒背如流”——既能顺推,又能倒推。

牛刀小试:1.计算:(1)104sin 60(2)2008)-︒+-- (2)2tan 604sin30cos45+⋅ 2.已知α为锐角,当21tan α-无意义时,求tan(α+15°)—tan(α-15°)的值。

68CEABD3.21θ=,则θ= ,4.在△ABC 中,若2|tan 1|cos )0A B -+=,则∠C 的度数为 .5. 在△ABC 中,若│sinA—12│+cosB )2=0,则∠C=_______度. 答案:1.(1)104sin 60(2)2008)-︒+--=412—1=12;(2)2tan 604sin30cos45+⋅=2+412⨯2.21tan α-无意义,∴tan α=1,=45α∴︒∴ tan(α+15°)—tan(α-15°)=tan60°—tan30°。

3.21θ=,∴tan2θ230θ∴=︒,15θ∴=︒。

4.2|tan 1|cos )0A B -+=,∴tan 1A =,cos B =,∴∠A=45°,∠B=30°,∴∠C=105°。

5.│sinA—12│+—cosB )2=0,∴sinA=12,。

∴∠A=30°,∠B=30°,∴∠C=120°。

(三)锐角三角函数的大小比较1、当角度在0°~90°间变化时,正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) 正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) 2、当角度在0°<α<90°间变化时,0<sinα<1, 1>cosα>0.当角度在0°<α<90°间变化时, tanα>0.例4.(1 )。

A .1 1 1- D.1 (2)当锐角α>30°时,则cosα的值是( )A .大于12B .小于12C D 解析:(1)tan 301︒-∴就要讨论tan30°—1的正负性tan30°<1,∴ tan30°—1<0,∴1)1 故选A(2)因为cos30°,且当0°<α<90°时,cos α随着α的增大而减小,所以锐角α>30°时,cos α。

故选D 前思后想:可以根据特殊角的三角函数值,总结正弦、余弦和正切值随角度的变化而变化情况,也可以总结在某个范围内正弦与余弦的大小情况,以及正切值与1的大小情况。

牛刀小试:1.用不等号“>”或“<”连接:sin50°________cos50°。

2.已知30°<α<β<90°cos 1cos βα-= 。

3.若太阳光线与地面成α角,30°<α<45°,一棵树的影子长为10米,则树高h 的范围是( )(取7.13=)A 、3<h <5B 、5<h <10C 、10<h <15D 、h >15 4.若0°<α<45°,则下列各式中正确的是( )A.sin α>cos αB.cos α>sin αC.tan α>1D.tan α>tan -1α 答案:1.因为sin45°=cos45°,角度增加,正弦增大,而余弦减小,所以,填“>”号; 2.因为“余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)”且30°<α<β<90°, 所以cos β—cos α<0,cos β—cos30°<0,1—cos α>0,∴)c 1c o sβα-+-=cos α—cos β——cos β)+1—cos α=13.h=10tan α,且30°<α<45°,∴10h <<,故选B 。

4.因为“正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)”,且“sin45°=cos45°”,“0°<α<45°”,故选B 。

(四)互余的两个角的三角函数sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sinα, 例5. 若sin28°=cosα,则α=________. 解析:因为“cos(90°-α)=sinα”,所以α=90°—28°=62°. 前思后想:sin(90°-α)=cos α, cos(90°-α)=sinα这两个公式可记可不记,直接用公式计算比较方便,也可以根据概念在直角三角形中求它互余的角的三角函数。

牛刀小试:1.sin60°=cos_____=______;cos60°=sin________=________. 2.已知tan α=1(0°≤α≤90°)则0cos(90)α-= 。

3.若001sin(90),cos(90)2αα-=-则=_____.4.在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,•根据勾股定理有公式a 2+b 2=c 2,根据三角函数的概念有sinA=a c ,cosA=b c,sin 2A+cos 2A=2222222a b a b c c c ++==1,sin cos A A =a c ÷b c =ab=tanA ,•其中sin 2A+cos 2A=1,sin cos A A =tanA 可作为公式来用.例如,△ABC 中,∠C=90°,sinA=45,求cosA ,tanA 的值.解法一:∵sin 2A+cos 2A=1; ∴cos 2A=1-sin 2A=1-(45)2=925. ∴cosA=35,tanA=sin cos A A =45÷35=43. 解法二:∵∠C=90°,sinA=45. ∴可设BC=4k ,AB=5k . 由勾股定理,得AC=3k .根据三角函数概念,得cosA=35,tanA=43.运用上述方法解答下列问题:(1)Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=35,求cosA ,tanA 的值;(2)Rt △ABC 中,∠C=90°,,求sinA ,tanA 的值; (3)Rt △ABC 中,∠C=90°,tanA=12,求sinA ,cosA 的值; (4)∠A 是锐角,已知cosA=1517,求sin (90°-A )的值. 答案:1.cos30°;sin30°,12;2.tan α=1(0°≤α≤90°),45α∴=︒,∴0cos(90)α-。

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