复合函数求导法则
复合函数导数公式及运算法则
复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。
2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。
3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。
4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。
5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。
大学数学_8_4 复合函数的求导法则
( u 2 v 2 ) 高阶的无穷小，得 z z u z v ( u 2 v 2 )
t 0
lim
u t v t t z du z dv ( u 2 v 2 ) u 2 v 2 lim . 2 2 u dt v dt t 0 t u v z du z dv u dt v dt 所以复合函数 z f [ (t ), (t )] 可导，具有求导公式：
设 u (t ) v (t ) .w (t ) 均 在 点 t 处 可 导 ， z f (u , v, w) 在对应点(u , v, w) 处有连续的偏导数， 写出复合 函数 z f [ (t ), (t ), (t )] 的全导数公式. u t 函数的结构图是 z w t v t 由 z 经u , v, w 到 t 有三条途径，故和式中应有三项，所以全 导数为 dz z du z dv z dw . dt u dt v dt w dt dz 例 1 设 z uv ， u sin t ，v cos t ，求全导数 . dt dz z du z dv 解 dt u dt v dt v cos t u ( sin t ) cos 2 t sin 2 t cos 2t
例 5 设 z arcsin u, u x 2 y 2 ，求
z z , . x y
解 函数的结构如下： x z u y 所以 z z u 1 2x 2x x u x 1 u2 1 ( x 2 y 2 )2 z dz u 1 2y 2y 2 y du y 1 u 1 ( x 2 y 2 )2
t 0
t
lim(
复 合 函 数 的 求 导 法 则.
x 解： 设 2 由 y f (u) (v) ( x)
x 2
的导数
y u 2 , u tan v, v
得
x 2 2 y (u ) (tanv) (v) 2u sec v ( ) 2 1 x 2x 2 2 tanv sec v tan sec 2 2 2
e2 x (2x) sin 3x e2 x cos3x(3x)
2e2 x sin 3x 3e2 x cos3x
1 x
( A)2. y e e
1 x
x2 x2
解：y （e ） （e ） 1 1 x2 x e ( x 2 ) e（ ） x 1 1 2 1 1 x x2 x x e 2 xe 2 e 2 xe 2 x x
1 2 (1 ln x) 3 [1 (ln2 x)] 3 2 1 (1 ln 2 x) 3 [0 2 ln x(ln x)] 3
1 1 2 (1 ln x) 3 2 ln x 3 x 2
1
2
2 2 (1 ln x) 3 ln x 3x
2
综合运用求导法则求导
1 1 x [ln(1 x) ln( x 1)] 解：因为 y ln 2 x 1
所以
y
1 1 1 1 ( ) 2 1 x x 1 1 x2
练习 求下列函数的导数
( A)1. y e2 x sin 3x 解：y (e2 x ) sin 3x e2 x (sin 3x)
1 1 ' ' = [sin(4x)] = cos(4 x )(4 x ) sin 4 x sin 4 x 4 = sin 4 x cos(4x) 4 cot 4 x
复合函数的求导法则.
复合函数的求导法则是指对于一个复合函数而言，求导时
需要将自变量和函数进行分离，分别对自变量和函数求导，
再求和。
具体来说，复合函数的求导法则可以分为两种情况:
1. 直接求导法则
如果复合函数的内层函数是简单函数(即只包含一个自变
量的函数)，那么可以直接按照求导法则对内层函数进行求导，然后利用链式法则对外层函数进行求导。
例如，对于函数
f(x)=x^2+2x,求f(x)的导数，可以按照以下步骤进行:
f'(x) = (x^2 + 2x)' = (x^2)' + 2(x^2)'x = x^2 + 4x
其中，x^2的导数为2x,2x的导数为2,x的导数为1。
2. 间接求导法则
如果复合函数的内层函数是复合函数，那么需要先将内层
函数转化为简单函数，然后再按照求导法则对简单函数进行
求导。
例如，对于函数f(x)=sin(wx+b),求f(x)的导数，可
以按照以下步骤进行:
f'(x) = (sin(wx+b))' = (sin(wx+b))'w·cos(wx+b) + (sin(wx+b))'b·sin(wx+b) = w·cos(wx+b) + b·sin(wx+b)
其中，w为常数，表示角速度，cos(wx+b)为在wx+b方向
上的余弦函数，sin(wx+b)为在wx+b方向上的正弦函数。
复合函数的求导法则
z z u z v z z u z v ， . y u y v y x u x v x
链式法则如图示
u
z
x
y
v
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
y , 其中为可导函数, 七、设 z 2 2 f (x y ) 1 z 1 z z 2. 验证: x x y y y 八、设 z [ x ( x y ), y ], 其中 , 具有二阶导数,求 2z 2z , 2. 2 x yLeabharlann 练习题答案一、1、
du f ( u ,v , x ) x dx v
dv f ( u ,v , x ) x dx x
( u ,v , x )
.
练习题
一、填空题: x cos y z 1、设 z ,则 ________________； y cos x x z ________________. y x 2 ln( 3 x 2 y ) z z 2 、设 ,则 _______________； 2 x y z ________________. y sin t 2 t 3 dz z e 3、设 ,则 ________________. dt v z z 2 2 u 二、设 z ue ,而u x y , v xy ，求 , . x y
例：z = (1+ x )
2 sin3x
dz 求 dx
例：z = (x y )
2
2 2 x 3 y
z z 求 x y
2、复合函数求导注意事项：
复合函数求导公式运算法则
复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。
2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。
3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。
4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。
5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。
常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。
8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。
常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。
下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。
例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。
解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。
复 合 函 数 的 求 导 法 则
练习 求下列函数的导数
y = e3x (A)1.
3x 3x 3x 解：y ′ = ( e ) ′ = e ( 3 x ) ′ = 3 e
y = cos( x 3 ) (A)2.
2 3 3 3 3 解：y ′ = (cos x ) ′ = − sin x ( x ) ′ = − 3 x sin x
(B)3. y = e 解： y ′ = e
2x ′ 1 所以 yx = yu ⋅ ux = ⋅ (−2x) = 2 u x −1
′
′
(A) 例3 求函数 y = cos 2 x 的导 数 2 解：设 y = u 则 u = cos x
因为 所以
′ ′ yu = 2u, ux = −sinx
′ ′ ′ yx = yu ⋅ ux = 2u(−sin x) = −2cosx sin x = −sin2x
′ y u = 5u 4 , u ′ = 3, x
′ x y′ = yu ⋅ u′ = 5u4 ×3 = 5(3x + 2)4 ×3 =15(3x + 2)4 所以 x
2 (B) 例2 求函数 y = ln(1 − x ) 的导数
解：设 因为
y = ln u
则
u = 1− x2
′ 1 ′ yu = , u x = −2 x, u
x π (B) 例5 求 y = ln tan( + ) 的导数。 的导数。 2 4
x π 解： 设 y = ln u , u = tan v, v = + 2 4
由
y ′ = f ′ ( u ) ⋅ φ ′( v ) ⋅ ϕ ′( x ) 得
x π ′ = (lnu)′ ⋅ (tanv)′ ⋅ ( + )′ y 2 4
复合函数求导法则.
1 2 ( x 2 1) 1 x x 1 x 1 x 2 2 2 2 2 x 1 x x 1 x 1 2 2 1 1 2 x x 1 x 1 2 2 x 1 2 x x2 1
2
2x 1
（2）两个以上的函数复合，也有相应的类似结论。如三个函数
z f (t ), t g ( y), y h( x), 则有
dz dz dt dy f ( g (h( x))) f (t ) g ( y)h( x) dx dt dy dx
【3-3-6】
4、法则应用举例 例1 解：
2
2 x 1
2
1 2 x 1
2
x
2
x2 1
【3-3-16】
(5) y (1 2 x) ( x 0)
1 x
1 ln(1 2 x ) y (1 2 x) ln(1 2 x) (1 2 x) x x 2x ln(2 x 1) 1 2x 1 x (1 2 x) 2 x 1 2 x (2 x 1) ln(2 x 1) x (1 2 x) 2 x (2 x 1)
【3-3-5】
y f [ g ( x0 x)] f [ g ( x0 )] 0,(x 0)
即( f [ g ( x)])
x x0
0,因此此时法则结论亦成立
3、法则使用中应注意的问题
(1) f [ g ( x)] 与f [ g ( x)]的区别
前者是对x求导数, 后者是对g ( x) u求导数
复合函数求导法则有哪些呢
复合函数求导法则有哪些呢复合函数的求导法则同学们清楚吗，如果不清楚，快来小编这里瞧瞧。
下面是由小编为大家整理的“复合函数求导法则有哪些呢”，仅供参考，欢迎大家阅读。
复合函数求导法则有哪些呢Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′例1.y=Ln(x^3),Y=Ln(u),U=x^3,y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x^3)]*(x^3)′=[1/Ln(x^3)]*(3x^2)=(3x^2)/Ln(x^3)]例2.y=cos(x/3),Y=cosu,u=x/3由复合函数求导法则得y=-sin(x/3)*(1/3 )=-sin(x/3)/3拓展阅读：求导公式运算法则是什么运算法则是：加(减)法则，[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则，[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则，[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
导数也叫导函数值，又名微商，是微积分中的重要基础概念。
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
求导运算法则是：加(减)法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)';乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x);除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
复合函数求导
复合函数的求导法则可以写成: 复合函数的求导法则可以写成
dy dy du = dx du dx
即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求 即因变量对自变量求导， 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则 导乘以中间变量对自变量求导，我们称它为链式法则. 复合函数的微分公式为: 复合函数的微分公式为
n n1 (sin x n ) ′(sin x n ) cos x n nx n1
= n 3 x n1 cos x n f n1[ n (sin x n )]
n1 (sin x n ) f ′[ n (sin x n )] ′(sin x n ).
三、一阶微分的形式不变性
设函数 y = f ( x )有导数 f ′( x )
第四节
复合函数求导 法则及其应用
一、复合函数求导法则 二、初等函数的求导问题 三、一阶微分的形式不变性 四、隐函数的导数 五、对数求导法 六、参数形式的函数的求导公式
一、复合函数求导法则
定理4.4.1 (复合函数求导法则 ) 设函数 u = g( x ) 在 x0可导， 可导， 定理 复合函数求导法则 处可导， 而函数 y = f (u) 在 u0 = g( x0 ) 处可导，则复合函数 y = f [ g( x )] 在 x0 可导，且有 可导，且有:
d[ f ( g( x))] = f ′(u) g′( x)dx
推广
设 y = f ( u), u = (v ), v = ψ ( x ),
则复合函数
y = f { [ψ ( x )]}的导数为 :
dy dy du dv = dx du dv dx
例4.4.1 解: 求函数 y = ln sin x 的导数 .
复合函数求导公式有哪些
复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。
2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。
3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。
即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。
1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。
设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。
链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。
例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。
首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。
其次，求解du/dx=2x。
最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。
2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。
设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。
乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。
根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。
3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。
设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。
商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。
根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。
链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。
6.4 复合函数的求导法则
其中将偏导数记号记为
y
∂z ∂z +x = y 2 xf1′ − 2 xf 2′ + x −2 yf1′ + 2 yf 2′ ∂x ∂y
= 0.
(
) (
)
∂z ∂z = fu = f1′ , = f v = f 2′ ∂u ∂v
= f 可导，且有 g ( x ) 在点 x 可导，
dy dy du = ⋅ . dx du dx
z= f ϕ ( t ) , φ ( t )
z
u v
t t
情形2 情形2 如果 z = f ( u , v ) , u = ϕ ( x, y ) , v = φ ( x, y ) 则复合函数为二元函数
∂ 2 w ∂f1′ ∂f ′ = + yf 2′ + yz 2 ∂x∂z ∂z ∂z ′′ + xyf12 ′′ + yf 2′ + yz ( f 21 = f11 ′′ + xyf 22 ′′ )
z x = f1′ + yf 2′ ,
z
u
x
y
z xx =
∂f1′ ∂f ′ +y 2 ∂x ∂x
′′ + yf12 ′′ + y ( f 21 ′′ + yf 22 ′′ ) = f11 ′′ + 2 yf12 ′′ + y 2 f 22 ′′ = f11
x
∂z ∂z , . ∂s ∂t s
t
∂y ∂t
可写为
dy dt
s
x
∂z ∂z ∂x = ∂s ∂x ∂s y = et 1 − x2 y2
复合函数求导原则
复合函数求导原则链式法则是复合函数求导的基本原则，它是由德国数学家莱布尼茨提出的。
链式法则告诉我们，如果一个函数由一个内部函数和一个外部函数组成，在求导的时候应该分别对这两个函数求导，并将两个导数相乘。
具体说来，如果函数y=f(g(x))是一个由内部函数g和外部函数f组成的复合函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：dy/dx = dy/du * du/dx其中，u = g(x)，du/dx表示对函数g(x)求导，dy/du表示对函数f(u)求导。
这个公式的意义在于，它将求解一个复杂函数的导数问题转化为求解两个简单函数的导数问题。
值得注意的是，链式法则可以推广为多个函数的复合的情况。
比如，如果函数y=f(g(h(x)))是一个由三个函数组成的复合函数，那么它的导数可以通过以下公式来计算：dy/dx = dy/dv * dv/du * du/dx其中，u = h(x)，v = g(u)，dy/dv表示对函数f(v)求导。
除了链式法则，我们还可以使用其他方法来求解复合函数的导数。
对于一些特殊函数，我们可以直接使用它们的导数公式。
例如，对于幂函数y=x^n，它的导数可以直接计算出来：dy/dx = n * x^(n-1)对于指数函数y=e^x，它的导数也可以直接计算：dy/dx = e^x其他常见的函数，比如对数函数、三角函数、反三角函数等，也都有相应的导数公式。
如果我们要求解复合函数的导数，可以根据复合函数的具体形式，利用这些导数公式来计算。
对于实际问题，复合函数的导数求解可以帮助我们分析问题的变化率。
例如，在物理学中，我们经常研究速度、加速度等物理量的变化情况。
这些物理量往往是由时间的函数组成的复合函数。
通过求解这些复合函数的导数，我们可以获得物理量随时间变化的速度、加速度等信息。
在经济学中，复合函数的导数求解可以帮助我们分析市场的需求函数和供应函数对价格的反应程度。
通过求解这些复合函数的导数，我们可以计算出市场的价格弹性，从而了解消费者和生产者对价格变化的敏感程度。
复合函数求导法则
复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。
在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。
1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。
链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。
反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。
我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。
首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。
3-2.2复合函数求导法则
1 1 1 1 ′′ = = (arcsin x) = (arcsinx ) . = 2 2 (sin y )′ cos y 1 − sin y 1− x
同理可得
(arccos x)′ = −
1 1− x
2
.
1 (arctan x)′ = ; 2 1+ x
1 ( arccot x)′ = − . 2 1+ x
= f ′(u )ϕ ′( x)
推广 设 y = f ( u), u = ϕ ( v ), v = ψ ( x ),
则复合函数 y = f {ϕ [ψ ( x )]}的导数为 dy dy du dv = ⋅ ⋅ . dx du dv dx
例1 求函数 y = ln sin x 的导数 . 解
Q y = ln u, u = sin x .
(7) (sec x)′ = sec x tan x (9)
(a )′ = a ln a
x x
′ = ex (e )
x
1 (11) (log a x)′ = x ln a 1 (13) (arcsin x)′ = 1 − x2 (15) (arctan x)′ = 1 1 + x2
1 (ln x)′ = x
1 特别地 (ln x )′ = . x
dy 例8 设y = arshx( x ∈ R ), 求 . dx 解 y = arshx是双曲正弦x = shy的反函数，
由反函数求导定理得 1 1 1 1 (arshx)′ = = = = 2 2 ( shy )′ chy 1 + sh y 1+ x
所以
f [ g ( x )] =| sin x | 在 x = 0 处不可导，(1) × 处不可导，
复合函数的求导法则公式
复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。
下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。
1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。
例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。
2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。
2.4.2 复合函数求导法则、基本公式
x (2). y ; 2 tan x 2 x (4). y 2 ; 3 ( x 2) (6). y 2 .
x ln x
2
(5). y ln( x 1 x );
2
1 (1).(ln | x |) , x
/
( x 0);
(2). y x cot x,
2 2
y 2x cot x x 2 cot x ( csc x)
2 3 2 2 2 /
4 x(1 x ) 2 ; 4 ( x 2)
2
(5).y
/
1 x 1 x
2
(1
x 1 x
2
)
1 1 x
2
;
1 ln x x x x ln x 1 / x ln x ln x (6). y 2 ln 2 2 ln 2 . 2 2 (ln x ) (ln x)
/
ln x /
(a ) (e
x /
x ln a /
)
e
x ln a
( x ln a) e
/
x ln a
ln a a ln a.
x
[ x tan(sin x)] ( x)/ tan(sin x) x[tan(sin x)]/
tan(sinx) x sec (sin x) (sin x)
/ 2 /
1 1 x
2
1 x / 例 : (arctan arccos e ) x
1 e 1 1 x . 2 e 2 2 2x 1 x 1 (e x ) 2 1 x 1 e 1 x
1
x
课内练习
复合函数求导法则公式
复合函数求导法则公式复合函数求导法则是指在求解一个函数的导数时，若这个函数可以表示为另外两个函数的复合，那么可以通过复合函数求导法则来简化求导的过程。
复合函数指的是由两个或多个函数通过相互嵌套来构成的函数，例如：f(g(x))。
下面是复合函数求导法则的公式:1. 链式法则公式链式法则是复合函数求导中最常用的方法，它用于求解形如f(g(x))的复合函数的导数。
具体地说，设f和g都是可导的函数，则f(g(x))的导数为：(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(g(x))表示f对g(x)的导数，g'(x)表示g对x的导数。
链式法则可以看作是微元法在函数中的应用，它是通过链式的推导而得出的。
实际上，链式法则可以推广到一般的复合函数上，即：(f1(f2(...fn(x)..)))' = f1'(f2(...fn(x)..)) * f2'(f3(...fn(x)..)) * ... * fn-1'(fn(x)) * fn'(x)其中，f1、f2、...、fn为可导函数，'表示求导，()表示括号内的函数作为整体。
链式法则的推导可以用微元法来证明。
假设有一个函数y=f(u)和另一个函数u=g(x)，则y的微元(dy)可以表示为：dy = f'(u) * du根据微元法，dy是y对x的导数，因此：dy/dx = dy/du * du/dx = f'(u) * g'(x)将u=g(x)带入，得到：(dy/dx) = (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)2. 乘积法则公式乘积法则是用于求解两个可导函数f(x)和g(x)的乘积的导数。
具体地说，设f(x)和g(x)都是可导函数，则f(x)g(x)的导数为：(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)乘积法则的推导可以用微元法或是导数定义的极限来证明。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
课题
复合函数求导法则
课型：新授课
主备教师：刘素梅
总课时：
第课时
学习目标
1、牢记基本初等函数求导公式
2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数
3、能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式
4、会求简单的形如 的复合函数的导数
教学重难点
重点会分解简单的复合函数及会求导
【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．
例4求y＝sin4x＋cos4x的导数．
【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ sin22x
＝1－ （1－cos 4x）＝ ＋ cos 4x．y′＝－sin 4x．
【解法二】y′＝(sin4x)′＋(cos4x)′＝4 sin3x(sinx)′＋4 cos3x(cosx)′
复合函数的导数复合函数 的导数和函数 和 的导数间的关系为 ，即 对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
若 ，则
三．典例分析
例1（课本例4）求下列函数的导数：
（1） ；（2） ；
（3） （其中 均为常数）．
解：（1）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
= 。
（2）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
= 。
（3）函数 可以看作函数 和 的复合函数。根据复合函数求导法则有
= 。
【点评】
求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。
变式：求下列函数的导数
（1） （2）
例2求描述气体膨胀状的函数 的导数．
【点评】
求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．
五．课堂练习
1．求下列函数的导数
(1)y=sinx3+sin33x； （2）
(3) 2.求 的导数
六．作业
备课札记
教学反思
＝4 sin3xcosx＋4 cos3x(－sinx)＝4 sinxcosx(sin2x－cos2x)
＝－2 sin 2xcos 2x＝－sin 4x
【点评】
解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步．
四．回顾总结（1）会分解复合函数（2）会求复合函数的导数 其中 为中间变量。
难点正确分解复合函数的复合过程
一．创设情景
复习：求下列函数的导数
（1） （3） （2）
（4） （5）
设置情境：（4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗?
二．新课讲授
探究1、探究函数 的结构特点
探究:指出下列函数的复合关系
复合函数的概念一般地，对于两个函数 和 ，如果通过变量 ， 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 。