第7讲 容斥原理
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记
高考数学冲刺复习容斥原理考点速记在高考数学的复习冲刺阶段，容斥原理是一个不可忽视的重要考点。
它虽然不是高频出现的重难点，但一旦出现，往往能成为区分考生水平的关键。
为了帮助同学们在高考中应对自如，下面我们就来对容斥原理进行一次全面且深入的速记梳理。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是指，先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
简单来说，就是在计算多个集合的并集时，要减去它们的交集，以避免重复计算。
举个例子，假设一个班级里有喜欢数学的同学集合 A，喜欢语文的同学集合 B。
那么既喜欢数学又喜欢语文的同学就是 A 和 B 的交集，而喜欢数学或者喜欢语文的同学总数就是 A 和 B 的并集。
但在计算并集时，如果直接把 A 的人数和 B 的人数相加，就会把既喜欢数学又喜欢语文的同学重复计算一次，所以需要减去交集的人数，这就是容斥原理的基本应用。
二、容斥原理的公式1、两个集合的容斥原理公式：｜A∪B| ＝｜A| ＋｜B| ｜A∩B|其中，｜A|表示集合 A 的元素个数，｜B|表示集合 B 的元素个数，｜A∪B|表示 A 和 B 的并集的元素个数，｜A∩B|表示 A 和 B 的交集的元素个数。
2、三个集合的容斥原理公式：｜A∪B∪C| ＝｜A| ＋｜B| ＋｜C| ｜A∩B| ｜B∩C| ｜C∩A| ＋｜A∩B∩C|这个公式相对复杂一些，但原理是一样的，都是在计算并集时，减去两两集合交集的元素个数，然后再加上三个集合交集的元素个数，以保证计算结果的准确性。
三、容斥原理的应用场景1、计数问题比如计算在一定范围内满足多个条件的元素个数。
例如，在 1 到100 的自然数中，能被 3 整除或者能被 5 整除的数有多少个？2、概率问题在计算某些事件发生的概率时，如果涉及多个条件，可以运用容斥原理来准确计算。
3、图形问题在计算图形的面积或周长等问题时，如果图形之间存在重叠部分，也可以使用容斥原理来求解。
容斥原理的三个公式
容斥原理的三个公式容斥原理是数学中一个挺有意思的概念，它有三个重要的公式，今天咱们就来好好聊聊这三个公式。
我先跟您说啊，这容斥原理在解决集合相关的问题时，那可真是大显身手。
就拿咱们生活中的例子来说吧，比如说学校组织活动，有参加书法比赛的同学，有参加绘画比赛的同学，还有既参加书法又参加绘画比赛的同学。
那怎么算总共有多少同学参加了这两类比赛呢？这时候容斥原理就派上用场啦！咱们先来说说容斥原理的第一个公式。
这个公式可以表述为：两个集合 A 和 B 的并集的元素个数，等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去 A 和 B 的交集的元素个数。
简单来说就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
举个例子哈，一个班级里，喜欢语文的有 20 个同学，喜欢数学的有 30 个同学，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 个同学。
那喜欢语文或者喜欢数学的同学一共有多少个呢？咱们就可以用这个公式来算。
|A|就是喜欢语文的 20 个同学，|B|就是喜欢数学的 30 个同学，|A∩B|就是既喜欢语文又喜欢数学的 10 个同学。
把数字带进去，那就是 |A∪B| = 20 + 30 - 10 = 40 个同学。
您瞧，是不是很清楚明了？再来说说第二个公式。
如果是三个集合 A、B、C ，那它们的并集的元素个数就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| +|A∩B∩C| 。
咱们还是拿例子来说事儿。
比如说在一个班级里，喜欢体育的有 25 个同学，喜欢音乐的有 15 个同学，喜欢美术的有 20 个同学，既喜欢体育又喜欢音乐的有8 个同学，既喜欢音乐又喜欢美术的有6 个同学，既喜欢体育又喜欢美术的有 9 个同学，三个都喜欢的有 3 个同学。
那喜欢体育或者音乐或者美术的同学一共有多少个呢？咱们就把数字往公式里带：|A|是 25 ，|B|是 15 ，|C|是 20 ，|A∩B|是 8 ，|B∩C|是 6 ，|C∩A|是 9 ，|A∩B∩C|是 3 。
容斥原理
A1
A2
...
An ( 1)k C ( n, k )2k (2n k 1)!
k 0
n
(2n 1)! 2C ( n,1)(2n 2)!
( 1)n 2n ( n 1)!.
2. 有禁区的排列
先看一个例子：设对于1234的排列P=P1P2P3P4， 规定P1≠3，P2≠1,4，P3≠2,4，P4≠2。
A1中的集合是把dog作为一个元素参加排列，因此 有|A1|=24!。 类似有：|A2|=|A3|=24!， |A4|=|A5|=22! 。 由于dog和god不能同时出现，所以|A1∩A2|=0。 由于dog和gum可以以dogum的方式出现，所以有 |A1∩A3|=22!。 类似有：|A1∩A4|=0， |A1∩A5|=0。
A B A B A B 166 100 33 233.
500 B 100, 5
因此能被3或5除尽的数的个数为：
例4 求由abcdef这六个字符组成的全排列中不允许出 现ace和df图象的排列数。 令A、B分别表示出现ace、df图象的排列的集合。 A中是出现ace图象的排列，即ace作为一个元素参 加排列，因此有|A|=4!。 类似有|B|=5!，|A∩B|=3！。 而全集的元素个数为|U|=6!， 因此满足条件的排列数为：
例10 第二类Stirling数，是指m个不同的球放到n个 相同的盒子里，且无一空盒的方案数。 先考虑盒子都不相同的情形。 令Ai (i=1,2,…,n)表示第i个盒子为空的放法的集合。 则显然有|U|=nm，|Ai|=(n-1)m。 类似有：|Ai∩Aj|=(n-2)m， |Ai∩Aj∩Ak|=(n-3)m，… 因此第二类Stirling数为： n ! S ( m, m ) A1 A2 ... An
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
小五数学第7讲：容斥定理(教师版)
第七讲容斥定理1两集合容斥定理如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B = A+B - A∩B) 2三集合容斥定理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C教学重点：两集合容斥定理找对A BA∪B A∩B教学难点：三集合容斥定理例1.某区100个外语教师懂英语或俄语,其中懂英语的75人,既懂英语又懂俄语的20人,那么懂俄语的教师为人.答案45解析：依题意，被计数的事物懂英语的教师和懂俄语的教师有两类，懂英语的教师称为“A 类元素”，懂俄语的教师称为“B类元素”，设懂俄语的教师为x人A∪B = A+B - A∩B=75+x-20=100X=45例2.有长8厘米,宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形,如图,放在桌面上(阴影是图形的重叠部分),那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米.依题意，被计数的事物长方形的面积与正方形的面积有两类，长方形的面积称为“A A∪B = A+B - A∩B=6×8+5×5-4×3×1/2=67例3. 求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
答案 13例7对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则有既喜欢看球赛又喜欢看电影的有多少人?答案3解析记A类元素为：喜欢看球赛的人；记B类元素为：喜欢看戏剧的人；记C类元素为：喜欢看电影的人。
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中一种重要的计数方法，它常常被用来解决包含排列组合、集合运算等问题。
容斥原理的应用范围非常广泛，它可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，掌握容斥原理是非常重要的。
首先，容斥原理是什么呢？简单来说，容斥原理是一种通过排除重复计数来得到准确计数结果的方法。
在解决问题时，我们常常会遇到需要计算某个集合的元素个数的情况，而有时候直接计算会非常复杂甚至不可行。
这时，我们就可以利用容斥原理来简化计数过程，从而得到准确的结果。
容斥原理的核心思想是利用集合的互斥性质，通过排除重复计数来得到准确的计数结果。
具体来说，对于给定的若干个集合，我们可以利用容斥原理来计算它们的并集的元素个数。
容斥原理的表达式可以用一个简单的公式来表示：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。
其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，A ∪ B 表示集合 A 和集合 B 的并集，A ∩B 表示集合 A 和集合 B 的交集。
通过这个公式，我们可以利用容斥原理来计算任意若干个集合的并集的元素个数，从而解决各种复杂的计数问题。
容斥原理的应用非常灵活，我们可以将其应用于各种不同类型的问题中。
例如，在排列组合问题中，容斥原理可以帮助我们计算满足某些条件的排列或组合的个数；在集合运算问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个集合的并集的元素个数；在概率统计问题中，容斥原理可以帮助我们计算多个事件的概率之和等等。
总之，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数来得到准确的计数结果。
掌握容斥原理可以帮助我们解决各种复杂的计数问题，因此对于学习组合数学的同学来说，深入理解和灵活运用容斥原理是非常重要的。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
什么是容斥原理
什么是容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要方法，它常常被用来解决计算某种特定情况下的元素个数的问题。
容斥原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
首先，我们来看一个简单的例子来理解容斥原理的基本思想。
假设有三个集合A、B、C，我们需要计算它们的并集的元素个数。
根据容斥原理，我们可以通过如下的公式来计算，|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式的意义是，先将A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们三个集合的交集的元素个数。
这样计算得到的结果，就是A、B、C三个集合并集的元素个数。
通过这个简单的例子，我们可以看到容斥原理的核心思想是通过加减交替的方式，来排除重复计数，最终得到不重复的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决各种组合数学问题。
例如，在排列组合中，我们常常需要计算满足某种条件的排列或组合的个数，这时就可以运用容斥原理来进行计算。
在概率统计中，容斥原理也常常被用来计算事件的概率，特别是在计算事件的互斥和独立性方面，容斥原理能够提供简洁而有效的计算方法。
除了上面提到的例子，容斥原理还可以应用于更加复杂的情况。
例如，在计算某个集合的补集元素个数时，容斥原理同样可以提供便利的计算方法。
在实际问题中，我们常常需要计算满足一定条件的集合的补集的元素个数，这时就可以利用容斥原理来简化计算过程，提高计算效率。
总的来说，容斥原理是组合数学中一种非常重要的计数方法，它通过排除重复计数的方式，来计算不同集合的交集和并集的元素个数。
在实际应用中，容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
通过深入理解和灵活运用容斥原理，我们可以更加高效地解决各种计数问题，提高数学问题的解决能力。
容斥原理(数学技巧点拨系列)
容斥原理【知识点讲解】1、原理容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
2、解释由图可以直接看出各部分之间的关系由Venn图可知：（A∪B=A+B-A∩B)由Venn图可知：（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）3、应用两类如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
三类如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
4、解题导语使用容斥原理一般用于集合相关问题中，但是此类思想在数学学习中仍有巨大作用。
例如在计数原理中使用间接法等等。
因此学习此类问题对数学能力的提升是有很大帮助的，它可以帮助你换一个角度看数学题，从而找到更简单的办法。
【例题详析】例1、（2020宁夏）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为（）A ．80B ．70C ．60D ．50【参考答案】B【详解】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有90-60=30位，因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有80-60=20位，所以只阅读过《西游记》的学生共有30-20=10位，故阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70位，【方法解析】由两类的容斥原理得：总人数=阅读过《西游记》+阅读过《红楼梦》-阅读过《红楼梦》和《西游记》的，由此得阅读过《西游记》的学生人数=90+60-80=70（位）例2：某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96名学生喜欢足球或游泳，60名学生喜欢足球，82名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有（）名．A ．62B ．56C ．46D ．42【参考答案】C【详解】喜欢足球的学生、喜欢游泳的学生形成的集合分别记为A ，B ，依题意，集合A ，B ，A B 中元素个数分别为：()60,()82,()96n A n B n A B ==⋃=，则()()()()60829646n A B n A n B n A B ⋂=+-⋃=+-=，所以中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有46名.例3．某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生共有多少人？（）A ．120B ．144C ．177D ．192【参考答案】A 【详解】如图所示，用韦恩图表示题设中的集合关系，不妨将参加舞蹈、唱歌、体育课外活动的小学生分别用集合,,A B C 表示，则()63,()89,()47,()24card A card B card C card A B C ===⋂⋂=不妨设总人数为n ，韦恩图中三块区域的人数分别为,,x y z即()24,()24,()24card A B x card A C y card B C z ⋂=+⋂=+⋂=+46x y z ++=，由容斥原理：15()()()()()()()n card A card B card C card A B card A C card B C card A B C -=++-⋂-⋂-⋂+⋂⋂638947(24)(24)(24)24x y z =++-+-+-++解得：120n =【跟踪训练】一、单选题1．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（）A ．27B ．23C ．15D ．72．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有（）．A．25种B．27种C．29种D．31种3．为了丰富同学们的课外生活，某班58名同学在选课外兴趣小组时，选择篮球小组的有28人，选择乒乓球小组的有36人，既没有选择篮球小组又没有选择乒乓球小组的有12人，那么选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为（）A．8B．10C．18D．204．某班有50名同学，有20名同学既不选修足球课程也不选修篮球课程，有18名同学选修了足球课程，28名同学选修了篮球课程，则既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有（）名A．10B．12C．14D．165．中共一大会址、江西井冈山、贵州遵义、陕西延安是中学生的几个重要的研学旅行地.某中学在校学生3000人，学校团委为了了解本校学生到上述红色基地研学旅行的情况，随机调查了500名学生，其中到过中共一大会址或井冈山研学旅行的共有40人，到过井冈山研学旅行的20人，到过中共一大会址并且到过井冈山研学旅行的恰有10人，根据这项调查，估计该学校到过中共一大会址研学旅行的学生大约有（）人A．240B．180C．120D．606．某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：等级优秀合格合计项目除草301545植树202545若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（）A．5B．10C．15D．207．高考“33 ”模式指考生总成绩由语文、数学、外语3个科目成绩和高中学业水平考试3个科目成绩组成．计入总成绩的高中学业水平考试科目，由考生根据报考高校要求和自身特长，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择．某中学为了解本校学生的选择情况，随机调查了100位学生的选择意向，其中选择物理或化学的学生共有40位，选择化学的学生共有30位，选择物理也选择化学的学生共有10位，则该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为（）A．0.1B．0.2C．0.3D．0.48．移动支付、高铁、网购与共享单车被称为中国的新“四大发明”，某中学为了解本校学生中新“四大发明”的普及情况，随机调查了100位学生，共中使用过移动支付或共享单车的学生共90位，使用过移动支付的学生共有80位，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60位，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A．0.5B．0.6C．0.7D．0.89．某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为45％，电视机拥有率为55％，洗衣机拥有率为65％，拥有上述三种电器的任意两种的占35％，三种电器齐全的为25％，那么一种电器也没有的农户所占比例是（）A．20％B．10％C．15％D．12％10．某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（）A．8B．7C．6D．5二、填空题11．学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23人参加羽毛球赛，35人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6人，则该班学生数为______．12．某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为__________．13．某单位共有员工85人，其中68人会骑车，62人会驾车，既会骑车也会驾车的人有57人，则既不会骑车也不会驾车的人有___________人.14．高一某班有学生45人，其中参加数学竞赛的有32人，参加物理竞赛的有28人，另外有5人两项竞赛均不参加，则该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的有___.人．15．某班有学生48人，经调查发现，喜欢打羽毛球的学生有35人，喜欢打篮球的学生有20人.设既喜欢打羽毛球，又喜欢打篮球的学生的人数为x，则x的最小值是_________.16．网络流行词“新四大发明’’是指移动支付､高铁､网购与共享单车.某中学为了解本校学生中“新四大发明”的普及情况，随机调查了100名学生，其中使用过移动支付或共享单车的学生共90名，使用过移动支付的学生共有80名，使用过共享单车的学生且使用过移动支付的学生共有60名，则该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为___________. 17．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组.已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参见数学和化学小组有多少人__________. 18．某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则只喜欢其中一项运动的人数为________19．某班有45名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有20人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有9人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有15人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有11人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.20．某班进行集体活动，为活跃气氛，班主任要求班上60名同学从唱歌、跳舞、讲故事三个节目中至少选择一个节目、至多选两个节目为大家表演，已知报名参加唱歌、跳舞、讲故事的人数分别为40，20,30，同时参加唱歌和讲故事的有15人，同时参加唱歌和跳舞的有10人，则同时只参加跳舞和讲故事的人数为__________．21．对班级40名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成，另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A、B都赞成的学生有________人. 22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________【参考答案】1．B【详解】设高三（1）班有50名学生组成的集合为U ,参加田赛项目的学生组成的集合为A ，参加径赛项目的学生组成的集合为B由题意集合A 有15个元素，B 有20个元素，A B 中有8个元素所以A B 有15+20827-=个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为5027=23-故选：B2．C【详解】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有19316-=（种)；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是1416129+-=（种)；分别用集合A 、B 、C 表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时，如图所示．故选：C ．3．B【详解】设既选择篮球小组又选择乒乓球小组的有x 人，则选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的有()28x -人，选择乒乓球小组但没有选择篮球小组的有()36x -人.由题意可得()()12283658x x x +-+-+=，解得18x =，所以选择篮球小组但没有选择乒乓球小组的人数为2810x -=.【详解】设既选修了足球课程也选修了篮球课程的同学有x 名，由容斥原理得20182850x ++-=，解得16x =.故选：D.5．B【详解】如下图所示，设调查的学生中去过中共一大会址研学旅行的学生人数为x ，由题意可得()102040x -+=，解的30x =，因此，该学校到过中共一大会址研学旅行的学生的人数为303000180500⨯=.6．C【详解】用集合A 表示除草优秀的学生，B 表示植树优秀的学生，全班学生用全集U 表示，则U A ð表示除草合格的学生，则U B ð表示植树合格的学生，作出Venn 图，如图，设两个项目都优秀的人数为x ，两个项目都是合格的人数为y ，由图可得203045x x x y -++-+=，5x y =+，因为max 10y =，所以max 10515x =+=．故选：C ．【详解】选择物理的学生人数为40301020-+=，即该校选择物理的学生人数与该校学生总人数比值的估计值为200.2100=．故选：B8．C【详解】根据题意使用过移动支付、共享单车的人数用韦恩图表示如下图，因此，该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值700.7100=，故选C.9．A【详解】解：设农户总共为100家，则有55家农户有电视机，45家农户有电冰箱，65家农户有洗衣机，有25家农户同时拥有这三种电器，另外75家只有其中两种或一种或没有电器．设只有电冰箱和电视机的农户有a 家，只有电冰箱和洗衣机的农户有b 家，只有洗衣机和电视机的农户有c 家，只有电视机、电冰箱、洗衣机的分别有d 、e 、f 家，没有任何电器的农户有x 家．那么对于拥有电冰箱的农户可得出：2545a b e +++=①那么对于拥有电视机的农户可得出：2555a c d +++=②那么对于拥有洗衣机的农户可得出：2565b c f +++=③把上面三个式子相加可得：()290a b c d e f +++++=④对于拥有上述三种电器的任意两种的占35%，得到：35a b c ++=⑤把⑤代入④可得到20d e f ++=⑥因为农户共有100家，所以25100a b c d e f x +++++++=，把⑤和⑥代入上式得到20x =，即一种电器也没有的农户所占比例为20%，10．C【详解】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A ，B ，C ，集合A ，B ，C 中元素个数分别为n A ．，n B ．，n C ．，则n A ．14=，n B ．10=，n C ．8=，()20n A B C ⋃⋃=，因为()n A B C n ⋃⋃=A ．n +B ．n +C ．()()()()n A B n A C n B C n A B C -⋂-⋂-⋂+⋂⋂，且()()n A B n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n A C n A B C ⋂⋂⋂ ，()()n B C n A B C ⋂⋂⋂ ，所以1410820()3()n A B C n A B C ++-+⋂⋂⋂⋂ ，即1410820()62n A B C ++-⋂⋂= ．故选：C ．11．52【详解】解：设参加羽毛球赛为集合A ，参加乒乓球赛为集合B ，依题意可得如下韦恩图：所以该班一共有1762952++=人；故答案为：5212．23【详解】由题意，15名参加田赛的同学中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的同学中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的同学共有781227++=人，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为502723-=人.13．12【详解】设会骑车的人组合的集合为A ，会驾车的人组成的集合为B ，既会骑车也会驾车的人组成的集合为集合C ,易知A B C = ，记card()A 表示集合A 中的元素个数，则有()()()()68625773card A B card A card B card A B =+-=+-= ，所以既不会骑车也不会驾车的人为857312-=.故答案为：1214．20【详解】设该班既参加数学竞赛又参加物理竞赛的学生人数为x ，以集合U 表示该班集体，集合A 表示参加数学竞赛的学生组成的集合，集合B 表示参加物理竞赛的学生组成的集合，如下图所示：由题意可得()()322856545x x x x -++-+=-=，解得20x =.故答案为：20.15．7【详解】设既不喜欢打羽毛球，又不喜欢打篮球的学生的人数为y ，则352048x y +-+=，即7x y -=，因为0y，所以7x .因为20x ，所以720x .故答案为：7.16．710##0.7【详解】根据题意，将使用过移动支付､共享单车的人数用如图所示的韦恩图表示，所以该校使用共享单车的学生人数与该校学生总数比值的估计值为6010710010+=.故答案为：710.17．5【详解】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为A ，B 、C ，同时参加数学和化学小组的人数为x ，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，如图所示：由图可知：20654939x x x -+++++-=，解得5x =，所以同时参加数学和化学小组有5人.故答案为：5.18．28【详解】6 人这两项运动都不喜欢，∴喜欢一项或两项运动的人数为40634-=人；∴喜欢两项运动的人数为：2416346+-=人，∴喜欢篮球的人数为24618-=人；喜欢乒乓球的人数为16610-=人；∴只喜欢其中一项运动的人数为181028+=人.故答案为：28.19．5【详解】以集合A 、B 、C 表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：设同时参加这三个兴趣小组的同学有x 人，由图可得()()()209111555245x x x x x +-+-+-+=-=，解得5x =.故答案为：5.20．5【详解】参加唱歌、跳舞、讲故事的人分别用集合,,A B C 表示，作出Venn 图，如图，图中字母表示相应区域人数，则0n =，又40a b m ++=，20b c d ++=，30d e m ++=，15m =，10b =，60a b c d e m +++++=，则()()()a b m b c d d e m b m ++++++++--2a b c d e m =+++++，∴4020301510605d =++---=，∴同时只参加跳舞和讲故事的人数为5人．故答案为：5．21．18【详解】赞成A 的人数为340245⨯=，赞成B 的人数为24327+=，设对A 、B 都赞成的学生有x ，则112724403x x x x ++-++-=，解得18x =.故答案为：18.22．3【详解】把大学社团50人形成的集合记为全集U ，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21人，则只看了《青春之歌》的有214638---=(人)，因观看了《建党伟业》的有23人，则只看了《建党伟业》的有234739---=(人)，因观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有2667310---=(人)，因此，至少看了一支短视频的有3467891047++++++=(人)，-=所以没有观看任何一支短视频的人数为50473。
小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习
1、先包含——A ＋B 重叠部分A ∩B 计算了2次，多加了1次；2、再排除——A ＋B －A ∩B小学奥数总复习第七讲《容斥原理》练习容斥原理1：两量重叠问题计算公式：A ∪B=A ＋B-A ∩B说明：A ∪B 读作：“A 并B ”，表示A 、B 情况的总和。
A ∩B 读作：“A 交B ”，表示A 、B 的公共部分。
容斥原理2：三量重叠问题计算公式： A ∪B ∪C= A ＋B ＋C －A ∩B －B ∩C －A ∩C －A ∩B ∩C说明：A ∪B ∪读作：“A 并B 并C ”，表示A 、B 、C 情况的总和。
A ∩B ∩C 读作：“A 交B 交C ”，表示A 、B 、C 的公共部分。
1、有两块一样长的木板，各长130厘米，中间钉在一起后成了一块长木板，中间钉在一起的重叠部分时10厘米，长木板的长度是多少？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
中间重叠部分长11厘米。
这两块木板各长多少厘米？3、老师出了两道数学题，在40人中，做对第一题的有31人，做对第二题的有28人，每人至少做对一道，两道题都做对的有几人？4、三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种，已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。
问两项比赛都参加的有几人？5、某班共有42人，参加美术小组的有11人，参加陶艺小组的有15人，有6人两个小组都参加。
这个班既没参加美术小组也没参加陶艺小组的有多少人？6、三（2）班订《数学报》的有32人，订《阅读报》的有30人，两份报纸都订的有10人，全班每人至少订一种报纸，三(1)班有学生多少人？7、校运动会上，四个年级共有118人参加跑步比赛。
其中一、二年级共有70人参加，一、三年级共有65人参加，二、三年级共有59人参加。
问:四年级有多少学生参加跑步比赛？8、某校三年级共有三个班级128名学生，一班和二班共有89人，二班和三班共有87人。
三年级各班有多少名学生？A ∩C A ∩B ∩C B ∩C A ∩B 图中小圆表示A 的个数，中圆表示B 的个数，大圆表示C 的个数 1、先包含——A ＋B ＋C 重叠部分A ∩B 、 B ∩C 、 A ∩C 重叠了2次， A ∩B ∩C 重叠了3次。
第七讲 容斥问题-小学奥数
第七讲 容斥问题告诉你本讲的重点、难点当两个计数部分有重复时，为了不熏复计数，就要从它的和中减法重复部分，这就是简单的容斥原理，也叫做包含与排除原理．在解答容斥问题时，经常需要通过画集合圈的方法来帮助思考，找出解题的思路．看老师画龙点晴，教给你解题诀窍【例1】在1～100的自然数中，3的倍数和5的倍数的个数共是多少？分析与解 在1～100的自然数中，3的倍数有33个，5的倍数有20个，但并不能认为3的倍数和5的倍数的个数共有532033=+个，因为在这些倍数中还有像15，30，…这样的数，它们既是3的倍数，又是5的倍数，在统计3和5的倍数的总数时，这样的数就被计算了两次，所以还要减去15的倍数，经计算，在1～100的自然数中，15的倍数一共有6个．所以4762033=-+答：3的倍数和5的倍数的个数共是47．【例2】某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀．这部分学生达到优秀的项目、人数如下表： l 短跑 游泳 篮球 短跑、游泳 游泳、篮球 篮球、短跑 短跑、游泳、篮球117 18 15 6 6 5 2求这个班的学生人数．分析与解 如图，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数．只有篮球一项达到优秀的有625615=+--（人）；只有游泳一项达到优秀的有826618=+--（人）；只有短跑一项达到优秀的有825617=+--（人）．获得两项或者三项优秀的有1322566=⨯-++（人）．另有4人一项都没获优秀，所以，这个班学生人数是39488613=++++（人）．【例3】分母是385的最简真分数有多少个，并求这些真分数的和.分析与解 因为,1175385⨯⨯=所以在1～385这385个自然数中，5的倍数有：;775385=÷ 7的倍数有：11;557385=÷的倍数有：35,3575=⨯的倍数有：55,55115;1135385=⨯=÷的倍数有：;755385=÷77,77117=⨯的倍数有577385=÷（个）；385的倍数有1个，由容斥原理知，在1～385中能被5，7或11整除的数有=+++-++1)5711(355577145（个），而5，7，11互质的数有240145385=-（个），即分母为385的真分数有240个．若有一个真分数为,385a 则必还有另一个真分数,385385a -即以385为分母的最简真分数是成对出现的，而每一对之和恰为1．故以385为分母的240个最简分数可以分成120对，它们的和为.1201201=⨯【例4】某年级的课外学科小组分为数学、语文、外语三个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人，参加外语小组的有18人；同时参加数学、语文两个小组的有4人，同时参加数学、外语小组的有7人，同时参加语文、外语小组的有5人；三个小组都参加的有2人，问：这个年级参加课外学科小组的共有多少人？分析与解 设A ，B ，C 分别表示参加数学、语文、外语小组的同学的集合，其图分割成七个互不相交的区域，区域Ⅶ表示三个小组都参加的同学的集合，由题意，应填2．区域Ⅳ表示仅参加数学与语文小组的同学的集合，其人数为224=-（人）．区域Ⅵ表示仅参加数学与外语小组的同学的集合，其人数为527=-（人）．区域V 表示仅参加语文、外语小组的同学的集合，其人数为325=-（人）．区域I 表示只参加数学小组的同学的集合，其人数为1452223=---（人）．同理可把区域Ⅱ、Ⅲ所表示的集合的人数逐个算出，分别填入相应的区域内，则参加课外小组的人数为54235282014=++++++（人）． 答：这个年级参加课外学科小组的共有54人，做题也有小窍门噢!计算这类问题 ，关键是弄清楚计数时哪些是重复计数了，重复了几次，扣除时根据重复计数的次数扣除；防止漏扣和多扣。
第七节 竞赛中的容斥原理
第七节竞赛中的容斥原理[#]1．邦德第三届运动会要开幕了，琳琳老师班的学生当然是积极参加，他们排好队准备入场，正好排成了7行，队长菜菜站在第一行，从左数，他是第6个，从右数，他是第4个，队伍中一共有多少位琳琳老师的学生？[#]2．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人．全班得优的共有多少人？[#]3．一张正方形的纸片面积是80平方厘米，一张圆形的纸片面积是70平方米．两张纸片覆盖在桌面上的面积是100平方厘米，则这两张纸片重合部分的面积是多少？[#]4．乖乖当过一次导游，他带领着的旅行团参观了深圳的华侨城，在这个旅行团中，会中文的有26人，会英文的有20人，两种都会的有13人，两样都不会的有3人，你知道乖乖带领的这个旅行团共有多少人吗？5．一个组织有117人，其中会下军旗的有75人，会下象棋的63 人，这两种棋都不会下的有12人．问这两种都会下的有多少人？6. 某班40位同学在一次数学测验中，答对第一题的有23人，答对第二题的有27人，两题都答对的有17人，问有几个同学两题都不对？7．某班共50人，参加学书法兴趣小组的32人，学绘画兴趣小组的28人，其中两种都学的15人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？[#]8．一个国外旅游团中，每人至少会一种外语，会讲英语的有36 人，会讲德语的有15人，会讲日语的有7人，同时会讲英语和日语的有6人，同时会讲英语和德语的有10人，同时会讲德语和日语的有3人，三种语言都会讲的有2人，这个国外旅游团共有多少人？[#]9．某校四（一）班的学生54人，每人至少爱好一种球类，爱好乒乓球的有40人，爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好足球又爱好乒乓球的有14 人，既爱好足球又爱好排球的有12人，三种球都爱好的有多少人？[#]10．某研究所共有研究员91人，每人至少懂英、日、俄三种外语之一，其中懂英语的47人，懂日语的50人，懂俄语的49人，懂英、日两种语言的22人，懂日、俄两种语言的23人，懂英、俄两种语言的21人．问三种语言都懂的有多少人？11．福田小学四年级学生中，有55人爱好踢足球，90人爱好打篮球，53人爱好打排球，40人既爱好踢足球又爱好打篮球，39人既爱好踢足球又爱好打排球，46人既爱好打篮球又爱好打排球，有22人这三项球类活动都爱好，那么四年级学生中，对三项球类活动至少爱好一项的有几人？12．（一）班28个男生中，有14人喜欢打篮球，9人喜欢打排球，13人喜欢打羽毛球，其中有2人既喜欢打羽毛球又喜欢打篮球，有3人既喜欢打羽毛球又喜欢打排球，每人至少喜欢打一种球，但没有一个人三种球都喜欢．既喜欢打篮球又喜欢打排球的有几人？13．64人订A、B、C三种杂志，订A种杂志的28人，订B种杂志的有41人，订C种杂志的有20人．订A、B两种杂志的有10人，订B、C两种杂志的有12人，订A、C两种杂志的有12人．请问三种杂志都订有多少人？14．某进修班有50人，开甲、乙、丙三门进修课，选修甲这门课的有38人，选修乙这门课的有35人，选修丙这门课的有31人，兼选甲乙两门课的有29人，兼选甲、丙两门课的有28人，兼选乙、丙两门课的有26人，甲、乙、丙三科都选的有24人，那么三科都未选的有人．[*]15．200名学生面向老师站成一行，老师先让大家从左到右按1，2，3，…依次报数，再让报数是3的倍数的学生向后转，接着又让报数是7的倍数学生向后转，问此时还有多少学生面向老师？[*]16．红球和白球共有83个，白球和蓝球共有86个，蓝球和绿球共有88个，已知红球比绿球多3个，那么红球有多少个？[*]17．有长8厘米，宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图右图，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分）那么这两个图形盖住桌面的面积是平方厘米．[*]18．在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是50平方厘米，三个圆片共同重叠的面积是12平方厘米，三个圆片盖住的桌面总面积是92平方厘米．图中阴影部分的面积是多少平方厘米？6。
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用来计算多个事件的概率或计数。
容斥原理的核心思想是通过逐步剔除重复计数的方式得到准确的计数结果。
下面将详细介绍容斥原理及其应用。
一、容斥原理的基本概念：设集合U为一个样本空间，A₁，A₂，...，Aₙ为U的n个子集，容斥原理给出了如下关于这些集合的计数或概率的公式：```P(A₁∪A₂∪...∪Aₙ)=Σ[P(A₁)-P(A₁∩A₂)+P(A₁∩A₂∩A₃)-...+(-1)ⁿ⁻¹P(A₁∩A₂∩...∩Aₙ)]```其中P(A₁)表示事件A₁的概率，P(A₁∩A₂)表示事件A₁与A₂同时发生的概率，依此类推。
二、容斥原理的证明：容斥原理的核心思路是通过排除重复计数的方法得到准确的计数结果。
可以用一个数轴来表示样本空间U，集合A₁，A₂，...，Aₙ所对应的子集分别在数轴上画出，然后逐步排除交集的部分。
具体证明过程如下：1.先考虑只有两个集合A₁和A₂的情况，根据概率的加法原理可得：```P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)-P(A₁∩A₂)```这里P(A₁∩A₂)表示事件A₁和A₂同时发生的概率，由于在P(A₁)和P(A₂)中分别计算了P(A₁∩A₂)，所以要减去一次P(A₁∩A₂)去除重复计数。
2.推广到三个集合A₁、A₂、A₃的情况，根据加法原理得：```P(A₁∪A₂∪A₃)=P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)-P(A₁∩A₂)-P(A₁∩A₃)-P(A₂∩A₃)+P(A₁∩A₂∩A₃)```这里减去了P(A₁∩A₃)和P(A₂∩A₃)是因为它们在P(A₁)、P(A₂)和P(A₃)中分别计算了两次，要减去一次去除重复计数。
加上P(A₁∩A₂∩A₃)是因为它在前面的计算中被减去了两次，要加回来。
3.对于n个集合的情况，以此类推可以得到容斥原理的一般形式。
三、容斥原理的应用：容斥原理在组合数学和概率论中具有广泛的应用1.计数问题：利用容斥原理可以解决一些与集合计数相关的问题，如给定集合A₁，A₂，...，Aₙ，求它们的并集的元素个数。
数学奥赛辅导 第七讲 抽屉原则、容斥原理
数学奥赛辅导 第七讲 抽屉原则、容斥原理知识、方法、技能 I ．抽屉原则10个苹果放入9个抽屉中，无论怎么放，一定有一个抽屉里放了2个或更多个苹果.这个简单的事实就是抽屉原则.由德国数学家狄利克雷首先提出来的.因此，又称为狄利克雷原则.将苹果换成信、鸽子或鞋，把抽屉换成信筒、鸽笼或鞋盒，这个原则又叫做信筒原则、鸽笼原则或鞋盒原则.抽屉原则是离散数学中的一个重要原则，把它推广到一般情形就得到下面几种形式：原则一：把m 个元素分成n 类（m >n ），不论怎么分，至少有一类中有两个元素. 原则二：把m 个元素分成n 类（m >n ）（1）当n |m 时，至少有一类中含有至少n m个元素； （2）当n |m 时，至少有一类中含有至少[nm]+1个元素.其中n m 表示n 是m 的约数，n m 表示n 不是m 的约数，[nm ]表示不超过nm的最大整数.原则三：把1221+-+++n m m m 个元素分成n 类，则存在一个k ，使得第k 类至少有k m 个元素.原则四：把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素.以上这些命题用反证法极易得到证明，这里从略.一般来说，适合应用抽屉原则解决的数学问题具有如下特征：新给的元素具有任意性.如10个苹果放入9个抽屉，可以随意地一个抽屉放几个，也可以让抽屉空着. 问题的结论是存在性命题，题目中常含有“至少有……”、“一定有……”、“不少于……”、“存在……”、“必然有……”等词语，其结论只要存在，不必确定，即不需要知道第几个抽屉放多少个苹果.对一个具体的可以应用抽屉原则解决的数学问题还应搞清三个问题：（1）什么是“苹果”？（2）什么是“抽屉”？（3）苹果、抽屉各多少？用抽屉原则解题的本质是把所要讨论的问题利用抽屉原则缩小范围，使之在一个特定的小范围内考虑问题，从而使问题变得简单明确.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的基本思想是根据问题的自身特点和本质，弄清对哪些元素进行分类，找出分类的规律.用抽屉原则解题的关键是利用题目中的条件构造出与题设相关的“抽屉”. Ⅱ. 容斥原则当我们试图对某些对象的数目从整体上计数碰到困难时，考虑将整体分解为部分，通过对每个部分的计数来实现对整体的计数是一种明智的选择.将整体分解为部分也就是将有限集X 表示成它的一组两两互异的非空真子集A 1，A 2，…A n 的并集，即},,,{.2121n n A A A A A A X ==ϕ集合叫做集合X 的一个覆盖.一个特殊情况是，集族ϕ中的任意两个集合都不相交，这时我们称集族ϕ为集合X 的一个（完全）划分.如ϕ为集合X 的划分，则对集合X 的计数可通过熟知的加法公式||||||||||321n A A A A X ++++= ①进行，但是，要找到一个划分并且其中所有子集易于计数的有时并非易事. 我们可以考虑通过对任意的集族中的子集的计数来计算|X|，当集族ϕ中至少存在两个集合的交非空时，我们称这个覆盖为集合X 的不完全划分. 对于集合X 的不完全划分，显然有有||||||||21n A A A X +++< ②因为在计算|A i |时出现了对某些元素的重复计数，为了计算|X|，就得将②式右边重复计算的部分减去，如果减得超出了，还得再加上，也就是说我们要做“多退少补”的工作.完成这项工作的准则就是容斥原理. 是十九世纪英国数学家西尔维斯提出的. 容斥原理有两个公式.1．容斥公式定理1 设则为有限集,),,2,1(n i A i = ∑∑=≤<≤=-=-++-=ni nj i i ni n j i i i ni A A A A A 11111||)1(|||||| ③证明：当,/,/,,1221121B A A B A A B A A n ='='== 设时由加法公式有|||||||||)||(||)||(|||||||||||,||||||,|||||2121212121212211A A A A B B A B A B A A B A A A A A B A A B A -+=+-+-=++'+'=''==+'=+'结论成立.若n =k 时结论成立，则由∑∑∑=≤<≤=+=-+=+=+=+=+=-+-++-=-+=-+=ki kj i ki i k i ki k j i i i i ki k i ki k i ki k i ki i k i A A A A A A A A A A A A A A A 1111111111111111||||)1(|||||)(||||||)(|||||||∑≤<≤+=+++-+-+ki i k i ki kk j k i k A A A A A A A 111111|)(|)1(|)()(||∑∑+=+≤<≤+=-++-=111111||)1(||||k i k j i i k i kj i i A A A A 知，1+=k n 时结论成立.由归纳原理知，对任意自然数n ，公式③成立. 公式③称为容斥公式，显然它是公式①的推广.如果将i A 看成具有性质i P 的元素的集合，那么n A A A X 21=就是至少具有n 个性质n P P P ,,,21 之一的元素的集合. 因此，容斥公式常用来计算至少具有某几个性质之一的元素的数目. 2．筛法公式与容斥公式讨论的计数问题相反，有时需要计算不具有某几个性质中的任何一个性质的元素的个数，即||21n A A A . 为此，我们先引入下面的引理.引理1 设A 关于全集I 的补集为A ，则.||||||I A A =+引理2 ,11i n i i n i A A === ,11i ni i n i A A ===引理简单证略. 利用二引理改写公式③便是 定理 2 设),,2,1(n i A i =为有限集I 的子集，则||||||||111i ni i ni i ni A I A A ===-==∑∑=≤<≤=-+++-=ni nj i i ni nj i i A A A A I 111||)1(|||||| ④赛题精讲例1设ABC 为一等边三角形，E 是三边上点的全体. 对于每一个把E分成两个不相交子集的划分，问这两个子集中是否至少有一个子集包含着一个直角三角形的三个顶点？（第24届IMO 第4题） 【证明】如图I —3—2—1，在边BC 、CA 、AB 上分别取三点P 、Q 、R ，使.3,3,3ABRB CA QA BC PC ===显然 △ARQ ，△BPR ，△CQP 都是直角三角形. 它们的锐 角是30°及60°.设E 1，E 2是E 的两个非空子集，且==2121,E E E E E 由抽屉原则P 、Q 、R 中至少有两点属于同一子集，不妨设P 、Q ∈E 1. 如果BC 边上除P 之外还有属于E 1的点，那么结论已明.设BC 的点除P 之外全属于E 2，那么只要AB 上有异于B 的点S属于E 2，设S 在BC 上的投影点为Ｓ′，则△SS ′B 为直角三角形.再设AB 内的每一点均不属于E 2，即除B 之外全属于E 1，特别，R 、A ∈E 1，于是A 、Q 、R ∈E 1，且AQR 为一直角三角形. 从而命题得证.【评述】此例通过分割图形构造抽屉. 在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行讨论，使问题得到解决.例2：在1，4，7，10，13，…，100中任选出20个数，其中至少有不同的两组数，其和都等于104，试证明之. （第39届美国普特南数学竞赛题）【证明】给定的数共有34个，其相邻两数的差均为3，我们把这些数分成如下18个不相交的集合.{1}，{52}，{4，100}，{7，97}，…{49，55}.且把它们分作是18个抽屉，从已知的34个数中任取20个数，即把前面两个抽屉中的数1和52都取出，则剩下的18个数在后面的16个抽屉中至少有不同的两个抽屉中的数全被取出，这两个抽屉中的数互不相同，每个抽屉中的两个数的和都是104.【评述】此例是根据某两个数的和为104来构造抽屉. 一般地，与整数集有关的存在性问题也可根据不同的需要利用整数间的倍数关系、同余关系来适当分组而构成抽屉.例3 设 ,,,321a a a 是严格上升的自然数列：<<<321a a a ，求证：在这个数列中有无穷多个m a 可以表示为q p m ya xa a +=，这里q p ≠是两个正整数，而y x ,是两个适当的整数. （第17届IMO 第2题）【证明】对严格上升的自然数列 <<<321a a a ，取以1a 为模的剩余类，则可分为1a 类 {0}，{1}，{2}，…，{11-a }.考虑无穷数列,,,32 a a 由抽屉原则，其中有无穷多项属于同一类，不妨设这一剩余类是{r}，且记其中数值最小的那一项为q a ，显然1>q ，于是,1r ua a q +=其中的u 是某个正整数，其他的属于这一剩余类的任一项m a 可表示为 .1r a a q +=ν由于,,u a a q m >>ν故所以有.)(111q q m a a u ua a a a +-=-+=νν令u x -=ν，这是一个正整数，再令1=y ，则上式成为.1q m ya xa a -=显然，这里的q p <=1.例4：设n x x x ,,,21 为实数，满足12232221=++++n x x x x ，求证：对于每一整数2≥k ，存在不全为零的整数),,2,1(1||,,,,21n i k a a a a i n =-≤使得并且.1)1(||2211--≤+++nn n k n k x a x a x a 【证明】由柯西不等式得))(111(|)||||(|2232221222221n n x x x x x x x +++++++≤+++即n x x x n ≤+++||||||21 . 所以，当有时,10-≤≤k a i ||||||2211n n x a x a x a +++.)1(|)||||)(|1(21n k x x x k n -≤+++-≤把区间))1(,0[n k -等分成12-k 个小区间，每个小区间的长度为1)1(--n k nk ，由于 每个i a 能取k 个整数，因此n n n k x a x a x a 共有||||||2211+++ 个正数，由抽屉原则知必有二数会落在同一个小区间之内，设它们分别是 ||||11i ni i ini i x a xa ∑∑=='''与，因此有∑=--≤''-'ni n i i i k nk x a a 11)1(|||)(| ① 很明显，我们有.,,2,1,1||n i k a a i i =-≤''-'现在取⎩⎨⎧<'-''≥''-'=)0(,)0(,i i i i ii i x a a x a a a 如果如果这里i =1,2,…,n ，于是①可表示为∑=--≤ni ni i k nk x a 1.1)1(||这里i a 为整数，适合.,,2,1,1||n i k a i =-≤【评述】如上例所示，在证明存在某些有界量使相关的不等式成立时，可类似地把某区间划分为若干小区间作为抽屉，借用抽屉原则来证明.例5：一个国际社团的成员来自六个国家共有1978人，用1，2，…，1977，1978来编号，试证明：该社团至少有一个成员的编号或者与他的两个同胞的编号之和相等，或者是其中一个同胞的编号的两倍. （第20届IMO 第6题）【证明】可用反证法来证明与本题完全相当的下列问题：把整列1，2，…，1978按任一方式分成六组，则至少有一组具有这样的性质：其中有一个数或等于四组中其他两数之和，或等于其中某一个数的两倍.假设这六组中的每一组数都不具备上述性质，也就是说每一组数都具备下列性质，记作性质（P ）： 同组中任何两数之差必不在此组中.因为如果有b a ,连同b a -都在同一组中，那么由)(b a b a -+=可知，这组已具备题目所要求的性质.因1978÷6>329，所以由抽屉原则可以肯定有一个组A ，其中至少有380个正整数，现在从A 中任意取出330个数业，记其中最大的那个数为1a ，把1a 分别减去其余329个数而得到329个差，它们互不相等且均小于1978. 由性质（P ），它们不会再在组A 中，即应属于其余五组. 又因329÷5÷>65.再由抽屉原则可以肯定有一组B ，其中至少含有上述329个数中的66个数，从B 中任取66个数且记其中最大的那个数为b 1，再把b 1减去其余65个数，得出的差显然不再属于B ，当然也不会属于A.假如其中的某一个数b b -1属于A ，由于1b 与b 分别可以写为 a a b a a b -='-=111,其中a a '与都属于A ，于是 a a a a a a b b '-=--'-=-)()(111这就同A 具备性质（P ）的假设相违背，这就是说上述65个数必属其余四个数组.由于65÷4>16，所以至少有一组，称为C ，至少会有上述65个整数中的17个，反复进行上述推理，最后可得一数组F ，其中至少会有两个数，大数与小数之差是一个小于1978的正整数，可是它不在A 、B 、C 、D 、E 、F 的任一组中，这显然是一个矛盾，这矛盾说明至少有一组数不具备性质（P ）.即题目的结论是正确的.【评述】我们容易发现，如果把此题中1978改为任何一个不小于1957的正整数后其结论仍是成立的. 上例的解答过程说明了对有些数学问题需要我们连续运用抽屉原则，而且每构造一次抽屉都把范围缩小一些.例6：已知1与90之间的19个（不同的）正整数，两两的差中是否一定有三个相等？（匈牙利数学竞赛题，1990年）【证明】设这19个数为.9011921≤<<<≤a a a由于)()()(1217181819119a a a a a a a a -++-+-=- ，若右边的18个差中无三个相等，而只有两个相等，且取最小的，则,90)921(2119=+++⨯>- a a这与89190119=-≤-a a 矛盾. 所以两两的差中定有三个相等. 抽屉原则实际上都是重叠原则，这里再介绍抽屉原则的几种变形：平均量重叠原则：把一个量S 任意分成n 份，则其中至少有一份不大于n S ，也至少有一份不少于nS .面积的重叠原则：在平面上有n 个面积分别是A 1，A 2，…，A n 的图形，把这n 个图形按任何方式一一搬到某一个面积为A 的固定图形上去，（1）如果A 1+A 2+…+A n >A ，则至少有两个图形有公共点；（2）如果A 1+A 2+…+A n <A ，则固定图形中至少有一个点未被盖住. 例7：在一个面积为20×25的长方形内任意放进120个面积为1×1的正方形，证明：在这个长方形内一定还可以放下一个直径为1的圆，它和这120个正方形的任何一个都不相重叠. （第1届全俄数学奥林匹克试题）【证明】要使直径为1的圆完全放在一个矩形里，它的圆心应与矩形任何一条边的距离不小于21，这可从20×25的长方形ABCD 的每一边剪去一个宽为21的长条，则余下的长方形A ′B ′C ′D ′的面积为19×24=456[如图I —3—2—2（a ）].这样，任意放进长方形ABCD 内的直径为1的圆心都在长方形A ′B ′C ′D ′中，此外，圆心应与任何一个正方形的边界的距离也大于21，即在任何一个小正方形以外加上21的框[如图I —3—2—2（b ）所得图形的面积是4342141ππ+=+⨯+.用这样的120个图形互不相交地去覆盖长方形A ′B ′C ′D ′，它们的总面积等于).43(120π+⨯ 但是 ).43(120π+⨯.4562.153042.312120=⨯=+⨯< 这说明用这样的120图形不能覆盖一个面积为456的长方形，从而可以在长方形ABCD内放置一个直径为1的圆，它不与所有的小正方形中的任何一个重叠. 例8：设n 与k 是正整数，n k n n <<>2,3平面上有n 个点，其中任意三点不共线，如果其中每个点都至少和其他k 个点用线段连接，则连接的线段中至少有三条围成一个三角形.（波兰数学竞赛题，1968年）【证明】因为nk n 2,3>>所以2≥k .这表明：n 个点中必有两个点a 与b ，它们之间连一段线段，余下的点构成的集合记作X.X 中用线段与a 连接的所有点的集合记作A ，而与b 连接的所有点的集合记作B. 显然A ∪B 是X 的子集，因此，|A ∪B|≤|X|=n －2. 另一方面，由已知条件，1||,1||-≥-≥k B k A ，则由容斥公式，||22||||||||2B A k B A B A B A n --≥-+=≥-即 02||>-≥n k B A .这就证明了φ≠B A ，也就是说B A 中必有一点c ，它与a ，b 构成一个△abc .。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
高中数学,容斥原理
容斥原理是一种常见的统计原理，它主要应用于多个集合的交集和并集的计算。
在高中数学中，容斥原理的应用非常广泛，尤其是在解决组合问题、排列问题、计数问题等方面。
下面我将从定义、应用和注意事项三个方面，详细介绍高中数学中的容斥原理。
一、容斥原理的定义容斥原理的基本思想是，当两个集合不重叠时，它们的并集的数量可以看作是两个集合数量的和，减去重叠数量的两倍。
具体来说，假设我们有两个集合A和B，它们的并集数量为N，重叠数量为K，那么A中元素属于B或B中元素属于A的数量为N-K。
同时，我们需要减去A和B完全重叠的元素数量，即K。
这个原理可以用公式表示为：(A∪B)个案数= A个案数+ B个案数- (A∩B)个案数。
二、容斥原理的应用1. 组合问题：在解决组合问题时，常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，从n个人中选出m个组成一个小组，需要考虑到每个人是否被选中。
这时，我们可以用容斥原理来计算选出小组的总人数和被选中的人数。
2. 排列问题：在解决排列问题时，也常常需要考虑多个事件同时发生的情况。
例如，将n 个元素按照一定的顺序排列，需要考虑元素之间的顺序关系。
这时，我们可以用容斥原理来计算所有可能的排列数和满足某种条件的排列数。
3. 计数问题：在解决计数问题时，需要考虑到一些条件对计数的影响。
例如，计算从n个元素中取出k个元素的方案数时，需要考虑k的取值范围和元素之间的相关性。
这时，我们可以用容斥原理来计算总的方案数和满足条件的方案数。
三、注意事项1. 容斥原理的前提条件是两个集合之间没有重叠。
如果两个集合之间有重叠，那么需要使用其他的方法来计算它们的并集数量和重叠数量。
2. 在使用容斥原理时，需要正确理解公式中的各个量所代表的含义，并且需要仔细考虑问题中的条件和限制。
3. 容斥原理的应用范围比较广泛，需要灵活运用公式和方法来解决不同类型的问题。
总之，容斥原理是高中数学中一个非常重要的统计原理，它可以帮助我们更好地理解和解决组合、排列、计数等问题。
7.容斥原理及其应用(二)
例如：
R( R( R(
)=1+ x； )= xR( )+ R( )= x+ (1+ x)=1+2x；
)= x R( ) + R( ) = x(1 + x )+1 + x =1+ 2x +x2
如果 C由相互分离的C1，C2组成，即C1的任一 格子所在的行和列中都没有C2的格子。则有： R(C) = R(C1) R(C2) (2) 利用（1）和（2），可以把一个比较复 杂的棋盘逐步分解成相对比较简单的棋盘， 从而得到其棋盘多项式。
这样的排列对应于有 禁区的布子。如右图 有影线的格子表示禁 区。
定理2 设 ri 为 有i个棋子布入禁区的方案数，i =1,2,3,···,n。有禁区的布子方案数（即禁区内不布子 的方案数）为 r0 n! －r1(n－1)! ＋ r2(n－2)!－···＋(－1)nrn ＝∑(－1)k rk ( n－k)! 证 用容斥原理，此处略。
x x x x x
如图所示的布局对应 于排列41352。
可以把棋盘的形状推广到任意形状：
Байду номын сангаас
布子规定称为无对攻规则，棋子相当于 象棋中的车。令r k（C）表示k个棋子布到棋盘C 上的方案数。如：
r1(
)=1， r1(
)=2， r1(
)=2，
r2(
)=0， r2(
)=1。
为了形象化起见，（ ）中的图象便是棋盘 的形状。 定义 设C为一棋盘，称R(C)= ∑ rk(C) xk为C的棋 盘多项式。规定 r0(C)=1，包括C=Ф时。 设Ci是棋盘C的某一指定格子所在的行与列都去掉 后所得的棋盘；Ce是仅去掉该格子后的棋盘。 在上面定义下，显然有 rk(C)=rk－1(Ci)＋rk(Ce)，
第7讲 容斥原理
例3在l到100的自然数中，既不是3的倍数也不是4与5的倍数的数有多少个？
分析与解只需求出是3或4，5的倍数有多少个，问题也随之解决了。
3的倍数有3，6，9，…，99，共33个；
4的倍数有4，8，12，…，100，共25个；
5的倍数有5，10，15，…，l00，共20个。
习题：
1．一个班有45个学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人．语文、数学两种课外书都借的有人。
2．有长8厘米、宽6厘米的长方形与边长为5厘米的正方形，如图7-7，放在桌面上（阴影是图形的重叠部分），那么这两个图形盖住桌面的面积是____平方厘米。
一般地，对n个事物，如果我们采用两种不同的分类标准：按性质A分类与按性质B分类，那么具有性质A或性质B的事物个数等于具有性质A的事物的个数nA与具有性质B的事物个数nB的和减去同时具有性质A和性质B的事物个数nAB。从图7-4中可以比较清楚地看到这一点。
如果采用三种不同的分类标准：A性质、B性质和C性质，要计算具有性质A或B或C的事物个数将会更复杂些。这是因为简单地把具有性质A的事物nA个，具有性质B的事物nB个，具有性质C的事物nc个相加得和nA+nB+nC，那么同时具有性质A及B，B及C或C及A的事物都分别被加了两次，用nAB,nBC，nCA分别表示它们的个数，于是作差
例1如图7-2，在边长为1的正方形中，以其一
对相对顶点为圆心，边长为半径作圆弧，则图中阴影部
分的面积是
解:正方形可以看作是两个的圆重叠而成的，而图7—2重叠部分是阴影部分，所以有
正方形面积=圆面积+圆面积-阴影部分面积，
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250 AI B IC I D = =1 2× 3× 5× 7
于是有 |A∪B∪C∪D| = 125+83+50+35 -41-25-17-16-11-7 +8+5+3+2 -1 = 193
练习： 练习： 习题1. 习题 10个球迷，已知 个青年，7个男性，3个 个球迷， 个青年， 个男性 个男性， 个 个球迷 已知5个青年 男青年，问有几个非青年女性球迷？ 男青年，问有几个非青年女性球迷？
容斥原理: 容斥原理 | A∪ B |=| A| + | B | | A∩ B | . 容斥原理的另一种形式: 容斥原理的另一种形式
| A∩ B |=| U | | A| | B | + | A∩ B | .
三个集合并的基数 |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| ∪ ∪ -|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| 四个集合并的基数 |A∪B∪C∪D| ∪ ∪ ∪ = |A|+|B|+|C|+|D| -|A∩B|-|A∩C|-|A∩D|-|B∩C|-|B∩D|-|C∩D| +|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D| +|B∩C∩D| -|A∩B∩C∩D|
集合的计数 1 一般结论 为两个有限集合， 设 A，B为两个有限集合，根据集合运算的定义有 ， 为两个有限集合 1) |A∪B|≤|A|+|B|; ∪ 2) |A∩B|≤min{|A|, |B|}; 3) |A－B|≥|A|－|B|; 4) |A⊕B|=|A|+|B|-2|A∩B| ⊕
2 包含排斥原理
推广到n个集合情形 推广到 个集合情形
包含排斥原理推论 为有限集合， 设A1,A2,…,An为有限集合，则
A U A2 ULU An 1 = ∑| Ai |
i =1 n 1≤i < j≤n i
∑| A I A |
i j j k
+
1≤i < j<k≤n
∑| A I A I A | +L
+ (1)n1 | A I A2 I... I An | 1
计算由1， ， ， ， 例 计算由 ，2，3，…，n(n≥4) 做成的1与 不相邻且 不相邻且3与 不相邻的全排列个数 不相邻的全排列个数。 做成的 与2不相邻且 与4不相邻的全排列个数。
例：对100名学生进行调查，结果是: 34人爱好音乐，24人爱好美术，48人爱好舞蹈， 13人既爱好音乐又爱好舞蹈，14人既爱好音乐又 爱好美术，15人既爱好美术又爱好舞蹈，有25人 这三种爱好都没有，问这三种爱好都有的学生人 数是多少？ 解：设A是爱好音乐的学生集合，B是爱好美术的学生 集合，C是爱好舞蹈的学生集合。由题意可知： |A|=34 |B|=24 |C|= 48 |A∩B|=14 |A∩C|=13 |B∩C|=15 100-|A∪B∪C| = 25 |A∪B∪C| = 100-25= 75
例求1到250间能被2、3、5和7中任何一个整除 的整数的个数。 解:设A表示1到250能被2整除的整数集合，B 表示能被3整除的整数集合，C表示能被5整除 的整数集合，D表示能被7整除的整数集合.
250 | A|= = 125 2 250 | C |= = 50 5
250 | B |= = 83 3 250 | D |= = 35 7
由包含排斥原理可知： |A∪B∪C| = |A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C| +|A∩B∩C| 75=34+24+48–14-13-15 +|A∩B∩C| 所以 |A∩B∩C|=11 这三种爱好都有的学生人数为11人
例：某班有学生76人，其中有18人学习PASCAL语 言，有55人学习C语言，有6人学习COBOL语言； 有2人这三种语言都学习，有2人这三 种语言都不 三 学习，问仅学两门语言的学生数是多少？ 解：设A为学习PASCAL语言的学生集合；B为学习C语 言的集合；C为学习COBOL语言的学生集合。则 |A|=18 |B|=55 |C|=6 |A∩B∩C|= 2 76-|A∪B∪C|= 2 因为 |A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|- |A∩C|- |B∩C|+ |A∩B∩C| 得 |A∩B|+|A∩C|+|B∩C|= 7
250 AI B IC = =8 2× 3× 5 250 AI B I D = =5 2× 3× 7 250 AIC I D = =3 2× 5× 7 250 B IC I D = =2 3× 5× 7
250 250 AI B = = 41 B IC = = 16 3× 5 2× 3 250 250 BI D = AIC = = 11 = 25 3× 7 2× 5 250 250 AI D = = 17 C I D = 5× 7 = 7 2× 7
仅学两门语言的人不是7，因为 |A∩B| |A∩B∩C| 所以仅学习PASCAL语言和C语言的学生数应是 |A∩B|-|A∩B∩C|=|A∩B|-2 同理，仅学习PASCAL语言和COBOL语言学生数是 |A∩C|-|A∩B∩C|=|A∩C|-2 仅学习C语言和COBOL语言的学生数是 |B∩C|-|A∩B∩C|=|B∩C|-2 所以仅学习两门语言的人数是 |A∩B|+|B∩C|+ |A∩C|-3|A∩B∩C|= 1
计数的基本原理有大家熟知的加法原理、 计数的基本原理有大家熟知的加法原理、乘法原 下面介绍的容斥原理. 理，下面介绍的容斥原理 设A，B为有限集合，则 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B| 证明：1) 当 A与B不相交时，即A∩B=时 |A∪B|=|A|+|B| 2) A∪B = A∪(B-A)，且A∩(B-A)=, 从而有 |A∪(B-A)|= |A|+|(B-A)| 又因 B=(B-A)∪(A∩B)，且(B-A) ∩(A∩B)= ， 从而 |B| = |B-A| +|A∩B|，亦即有 |(B-A)| = |B|-|(A∩B)| 所以 |A∪B| = |A∪(B-A)| =|A|+|(B-A)| = |A|+|B|-|(A∩B)|
习题2. 习题 30户居民，有洗衣机、 大屏幕彩电和高级 音 户居民， 户居民 有洗衣机、 响的分别有15、 、 户 户有全部3大件 响的分别有 、8、6户，有3户有全部 大件。 户有全部 大件。 问至少有几户没有三大件中的任何一件？ 问至少有几户没有三大件中的任何一件？